向量的概念及线性运算

向量的概念及线性运算

编制人：马兰主审人: 朱礼强

一、新课引入

1. 老鼠以10 m/s的速度向东跑，猫以50 m/s的速度向西追，猫能否追上老鼠？

分析：老鼠逃窜的路线、猫追逐的路线实际上都是有方向、有长短的量.

2. 问题：质量、力、速度这三个物理量有什么区别？

质量只有大小；力、速度既有大小，又有方向.

二、概念建构

1．向量的有关概念

2.向量的线性运算

3.共线向量定理

向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa ． 三、例题选讲

【例1】（1）已知下列结论： ① 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；

① 非零向量a 与b 同向是a =b 的必要不充分条件； ① 四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是DC AB =； ① λ，μ为实数，若λa = μb ，则a 与b 共线. 其中正确的序号为 .

（2）设,a b 都是非零向量，下列四个条件中，使

=a b

a b

成立的充分条件是( ) A .|a |=|b |且a ∥b B .a =-b C .a ∥b D .a =2b

【解题导引】（1）利用共线向量定理及向量相等的概念逐一判断.

（2）利用单位向量与向量相等的概念求解.

【规范解答】（1）对于①，当b =0时，条件满足但结论不成立；

对于①，因为向量a 与b 都是非零向量，所以该命题是正确的；

对于①，四边形是大前提，当AB DC =时，即AB∥DC ，且AB=DC ，所以四边形ABCD 是平行四边形，反之，若四边形ABCD 是平行四边形，则AB DC =，所以①正确；

对于①，当λ=μ=0时，a 与b 可为任意向量，不一定共线，所以①不正确.

答案：①①.

（2）选D .由a a 表示与a 同向的单位向量，表示与b 同向的单位向量，故只要a 与b 同向即可，观察可知D 满足题意. 【变式】

1. 本例（2）①中，若b ≠0，该结论是否正确?

【解析】若b ≠0，又a ①b ，b ①c ，所以a ①c 显然成立，故该结论正确. 2. 若本例（2）①中的实数λ，μ满足λ2+μ2 ≠ 0，该结论是否正确?

【解析】由λ2+μ2 ≠ 0知实数λ，μ 中至少有一个不为0. (①)若λ≠0，μ=0，则λa =0·b =0.因为λ≠0，所以a =0，又0与任何向量共线，

所以结论正确.

(①)同理，若λ=0，μ≠0，结论也正确； (①)若λ≠0，μ≠0，由λa = μb 得a =μ

λ

b ，由共线向量定理知结论正确. 综上所述，该结论正确.

【易错警示】解答本例题（1）有两点容易出错. （1） 不清楚

,a b

a b 表示何种向量，不知道a a

是a 方向上的单位向量. （2） 求解时易忽视两向量是同向还是反向，是共线还是相等. 【规律方法】把握向量有关概念的关键点 （1）定义：方向和长度.

（2）非零共线向量：方向相同或相反，长度没有限制. （3）相等向量：方向相同且长度相等.

（4）单位向量：方向没有限制，但长度都是一个单位长度.

（5）零向量：方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线. 【变式训练】设a 0为单位向量，下列命题中：

① 若a 为平面内的某个向量，则a=|a|·a 0； ① 若a 与a 0平行，则a=|a|·a 0； ① 若a 与a 0平行且|a|=1，则a= a 0. 假命题的个数是( )

A.0

B. 1

C. 2

D. 3

【解析】选D .向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|·a 0的模相同，但方向不一定相同， 故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a= -|a|·a 0，故 ①① 也是假命题.综上所述，假命题的个数是3.

【例2】（1）设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB FC +=( ) A. AD B.

AD 21 C. BC 2

1

D. BC （2）在△ABC 中，点M ，N 满足2,AM MC BN NC ==，若,MN xAB y AC =+则x =________，

y =________.

【解题导引】（1） 结合图形和三角形法则求解.

（2） 结合图形利用向量线性运算的法则求解.

【规范解答】（1）选A .

()()EB FC EC BC FB BC EC FB +=-++=+111

().222

AC AB AC AB AD =

+=+= （2）由2,AM MC BN NC ==得1,3

CM AC =-11(),

2

2

CN BC AC AB =-=--

所以1111

().2326MN CN CM AC AB AC AB AC =-=--+=-

所以11,.26x y ==-

答案：11.26-， 【规律方法】

1. 平面向量的线性运算技巧

（1）不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解.

（2）含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向

量三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解. 2. 利用平面向量的线性运算求参数的一般思路

（1） 没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置.

（2） 利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式. （3） 比较，观察可知所求.