2005年研究生入学考试数学一模拟试题参考答案

2005年研究生入学考试数学一模拟试题参考答案一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题 （1） [解] 0()()()()lim x f x x f x f x x f x x x αβ∆→+∆---⎡⎤-⎢⎥∆∆⎣⎦0()()()()lim x f x x f x f x x f x x x αβαβαβ∆→⎡⎤+∆---=+⎢⎥∆-⎣⎦()()()()f x f x f x αβαβ'''=+=+（2）[解] ,01()1,1x x f x x x≤<⎧⎪=⎨≥⎪⎩ 100113()2eef x dx xdx dx x =+=⎰⎰⎰（3）[解]令,,y dy duu y ux u x x dx dx===+ 代入方程 1()du u x u dx uϕ+=+ln .1()du dx Cx x u ϕ⇒==⎰由通解1ln .ln x x y Cx Cx y u =⇒== 11()du u uϕ=⎰.两边取微分，得 2221111()().1()u x u u x uϕϕϕ=-⇒=-⇒=-（4） [解]22?4L xdy ydx x y -=+⎰22222224(,), 4(4)y P y x P x y x y y x y ∂-=-=+∂+ ()22222224(,), 44x Q y x Q x y x y x x y ∂-==+∂+L 包含(0,0)O 于其内，∴P Q y x∂∂≠∂∂. 作222*:4,((0,1))L x y εε+=∈ 则**22214LL L xdy ydx xdy ydx x y ε-==-+⎰⎰⎰**2212(11)D D dxdy dxdy εε=+=⎰⎰⎰⎰222επεπε==（5）[解] 2311(2)(5)0A A E A E A E E +-=-+-=(2)(5),A E A E E ⇒-+=∴1(2)5.A E A E --=+（6）[解] 22(234)(234)[(234)]E X Y D X y E X Y -+=-++-+24()9()2cov(2,3)(434)42593622(3)0.45625305D X D Y X Y =++-+-+=⨯+⨯+⨯⨯-⨯⨯+=二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）[解] 112lim ()n n n n n nI e→∞++=＋ 11001ln 1dxx x ee⎰===. 选（A ）（8）[解] 000210.()2()()10,y yy f x f x f x ''''''--=--=　00()0,()1f x f x '''=⇒= 选（A ）（9）[解]11(1),(0)n n n n u u ∞-=->∑条件收敛.由条件收敛级数的所有正项与所有负项所构成的级数发散. ∴选 (C)（10 [解] 212,2()yy f f y C x '''==+ 由1(,0)()y f x x C x x '=⇒=222(,)()y f y x f x y y xy C x '⇒=+⇒=++由2(,0)1() 1.f x C x =⇒=故2(,)1f x y y xy =++ 选(B)（11） [解] 11121121322212n n m m mn m a a a b a a a b A aa ab ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭选 (B) 先考虑：行对行、列对列即可知（12）[解] 选 (C)（13）[解] 由题设(,)X Y 的联合分布密度21, 0,0(,)0, x b y bf x y b ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它(min(,))min(,)(,)X Y X Y f X Y +∞+∞-∞-∞E =⎰⎰dxdy22211=23y xy xb yxdxdy y dxdy b b b dy xdx b ><+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰选(C)（14） [解] ∵0u 已知，拒绝域只能是(A),(B)，又∵是单侧检验， ∴选(B)三、解答题（本题共9小题，满分94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）(15) (本题满分12分)[解] 2201lim 1sin xx tI tdt xx→=-⎰220021200100202301lim 1sin 11lim 1sin lim (1)sin (1)sin 11cos 2sin 22sin lim 1cos 2sin 22sin lim 1tu xx x x x x u xu xduxu xudu u xudu u xudu x x x x x x x x x x x x x =→→→→→-⎡⎤=-=-+-⎢⎥⎣⎦--⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦--⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰令(16) (本题满分11分)[解] 等式两边从0到2π积分 42220(()())cos xf t x f t dt dx xdx πππ-=⎰⎰⎰20()(())t I f t dt f t x dx π=-⎰⎰2220001()(())(())2tu t xf t dt f u du f u du ππ=-=⎰⎰⎰令又42031cos 422xdx ππ=⎰2202013(())216()f u du f u du πππ⇒=⇒=⎰⎰ ∵()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的平均值A. 2226()A f u du ππππ==±=⎰(17) (本题满分12分)[解] 设两旋转抛物面由xoy 平面上两抛物线22,y Ax y Bx a ==+，绕y 轴旋转而成，设1V 为被第二个抛物面所排开液体体积，则21()()2Hay a H a V dy Bππ--==⎰.设被挤上升的液体体积为2V ，则22222()()2h ah a HH y y a V dy dy A B h a H h H a AA B B πππ++-⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎡⎤+-=--+⎢⎥⎣⎦⎰⎰由12V V =,得22222()()()[]22H a h a H h H a BA AB Bππ-+-=--+ 222().A h a H h B⇒+=+∵0h a +>.∴h a +=故液面上升高度h a H H +-= （18）（本题满分11分）[解] (1)由题设0()(),xF x f t dt =⎰又'()xxxy e xy e c =⇒=+0, lim 111()x x x c x xe c e c y y l x xe c y F x x→→++⇒===-⇒=-⇒==211()()(1.........)2!3!!x n d e d x x x f x dx x dx n --⇒==+++++321222211231..........2!3!4!!11(2)!!(1)!n n n n n n n n x x x n n nxx x n n n n --∞∞∞--===-=+++++-===-+∑∑∑ (2)即1211(1)(1)!n xx n nx e e n x x -∞==--++∑令1,x =得11(1)!n nn ∞==+∑ a（19）（本题满分12分）[解] (1)''202()2()2()22()LP Qx y y x y y y y xϕψψϕ∂∂=⇔≡⇒+=+-∂∂⎰○＊ 令'20()()x y y y ψϕ=⇒+= ①代入○＊'()()y y ϕψ⇒= ② '''()()y y ϕψ= ③③代入① 得:''2()()y y y ϕϕ+= 特征方程210, i λλ+==±*222221()(1)21y y D y y D ϕ==-=-+ 故212()cos sin 2y c y c y y ϕ=++- 令0y =,得11220c c -=-⇒=22'2()sin 2()cos 2y c y y y c y yϕϕ⇒=+-=+令'20,(0)1y c ϕ===2'()sin 2()()cos 2y y y y y y yϕψϕ⇒=+-==+故 2()sin 2x x x ϕ=+-()cos 2x x x ψ=+(2)22002()()22()2()()2()2222OA AB I x dxx x ππππϕψππππϕψπϕπψ⎡⎤=+=++⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰x（20）[解] ① A =231112322223333234441111a a a a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 231112322223333234441111a a a a a a A a a a a a a ==14()j i i j a a π≤≤≤-由于1,2,3,4a a a a 两两不相等,从而0A ≠,于是()4,R A =而()3,R A ≤故方程组无解. ② 当1324,(0)a a k a a k k ====-≠时,方程组为23123231232312323123x kx k x k x kx k x k x kx k x k x kx k x k⎧++=⎪-+=-⎪⎨++=⎪⎪-+=-⎩ ， 即 2312323123x kx k x k x kx k x k ⎧++=⎨-+=-⎩ ()()2,R A R A ==导出组的基础解系所含向量个数()321n R A -=-=12202ξββ⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪-⎝⎭ ,--------为导出组的基础解系,故原方程组的通解1111x k βξ-⎡⎤⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦+202k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,(k 为任意常数)（21）（本题满分9分）[解]A 为正定矩阵,∴对任意的n 维非零列向量x ,有T x Ax >0,设m ∃个常数12,,,m k k k 使11220m m k x k x k x ++=两边左乘以A ,得 11220m m k Ax k Ax k Ax +++=两边左乘以(1,2,)Ti x i m =，由题设0,()0TTi j i i i x Ax i j k x Ax =≠⇒=由于0Ti i x Ax >, 则0 (1,2,)i k i m ==故1,2,,m x x x 线性无关。

（22）（本题满分9分）[解](3)1234563643636123636X E =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=222555()()1296D X X EX =E -=同理可得：1612555,361296Y DY E ==（23）（本题满分9分）[解] 由题设s 可知区域D 的面积S=2，于是（x,y ）的联合分布密度为0.5, 01,02(,)0 x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩，其它 Z E = 12min(,)0.50.5D D x y xdxdy ydxdy E =+⎰⎰⎰⎰12100.50.5xxdx xdy dx ydy =+⎰⎰⎰⎰[]12211001233022212112202220.5(2)0.521150.536120.50.510.50.541511.412144D D xx x x dx dxx x x Z x dxdy y dxdyx dx dy dx y dy DZ Z EZ =-+⎛⎫=-+=⎪⎝⎭E =+=+=⎛⎫=E -=-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x。