2005年研究生入学考试数学一模拟试题参考答案

2005年研究生入学考试数学一模拟试题参考答案

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题 （1） [解] 0

()()()()lim x f x x f x f x x f x x x αβ∆→+∆---⎡⎤

-⎢

⎥∆∆⎣⎦

0()()()()lim x f x x f x f x x f x x x αβαβαβ∆→⎡⎤

+∆---=+⎢⎥∆-⎣⎦

()()()()f x f x f x αβαβ'''=+=+

（2）[解] ,01()1,1x x f x x x

≤<⎧⎪

=⎨≥⎪⎩

100113

()2

e

e

f x dx xdx dx x =+=⎰⎰⎰

（3）[解]令,,y dy du

u y ux u x x dx dx

===+

代入方程 1

()du u x u dx u

ϕ+=+

ln .1

()du dx Cx x u ϕ⇒==⎰

由通解1ln .ln x x y Cx Cx y u =⇒== 11()du u u

ϕ=⎰.两边取微分，

得 2221111()().1()u x u u x u

ϕϕϕ=-⇒=-⇒=-

（4） [解]

22?4L xdy ydx x y -=+⎰

22

22222

4(,), 4(4)

y P y x P x y x y y x y ∂-=-=+∂+ ()22

2

22224(,), 44x Q y x Q x y x y x x y ∂-==+∂+

L 包含(0,0)O 于其内，∴

P Q y x

∂∂≠∂∂. 作2

2

2

*:4,((0,1))L x y εε+=∈ 则

*

*

222

1

4L

L L xdy ydx xdy ydx x y ε

-=

=-+⎰⎰

⎰

**

2

2

1

2

(11)D D dxdy dxdy ε

ε

=

+=

⎰⎰⎰⎰2

2

2

ε

πε

πε

=

=

（5）[解] 2

311(2)(5)0A A E A E A E E +-=-+-=

(2)(5),A E A E E ⇒-+=

∴1

(2)

5.A E A E --=+

（6）[解] 2

2

(234)(234)[(234)]E X Y D X y E X Y -+=-++-+

24()9()2cov(2,3)(434)42593622(3)0.45625

305

D X D Y X Y =++-+-+=⨯+⨯+⨯⨯-⨯⨯+=

二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）[解] 112lim ()n n n n n n

I e

→∞++=＋ 110

01

ln 1dx

x x e

e

⎰===. 选（A ）

（8）[解] 000210.()2()()10,y yy f x f x f x ''''''--=--=　

00()0,()1f x f x '''=⇒= 选（A ）

（9）[解]

1

1

(1)

,(0)n n n n u u ∞

-=->∑条件收敛.

由条件收敛级数的所有正项与所有负项所构成的级数发散. ∴

选 (C)

（10 [解] 212,2()y

y f f y C x '''==+ 由1(,0)()y f x x C x x '=⇒=

222(,)()y f y x f x y y xy C x '⇒=+⇒=++

由2(,0)1() 1.f x C x =⇒=

故2

(,)1f x y y xy =++ 选(B)

（11） [解] 11121121322212n n m m mn m a a a b a a a b A a

a a

b ⎛⎫

⎪ ⎪

= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

选 (B) 先考虑：行对行、列对列即可知

（12）[解] 选 (C)

（13）

[解] 由题设(,)X Y 的联合分布密度

2

1

, 0,0(,)0, x b y b

f x y b ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它

(min(,))min(,)(,)X Y X Y f X Y +∞+∞

-∞

-∞

E =⎰

⎰

dxdy

222

11=23

y x

y x

b y

x

dxdy y dxdy b b b dy xdx b ><+=

=

⎰⎰⎰⎰⎰⎰

选(C)

（14） [解] ∵0u 已知，拒绝域只能是(A),(B)，又∵是单侧检验， ∴选(B)

三、解答题（本题共9小题，满分94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

(15) (本题满分12分)

[解] 22

01

lim 1sin x

x t

I tdt x

x

→=-⎰