概率论与数理统计第四章习题及答案

概率论与数理统计习题 第四章 随机变量的数字特征

习题4-1 某产品的次品率为，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1个，就去调整设备，以X 表示一天中调整设备的次数，试求)(X E （设诸产品是否为次品是相互独立的）.

解：设表示一次抽检的10件产品的次品数为ξ

P =P （调整设备）=P (ξ>1)=1－P (ξ≤1)= 1－[P (ξ=0)+ P (ξ=1)]

查二项分布表

1－=.

因此X 表示一天调整设备的次数时X ～B (4, . P (X =0)=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛04××

=.

P (X =1)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛14××=, P (X =2)= ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛24××=.

P (X =3)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛34××=, P (X =4)= ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛44××=. 从而

E (X )=np =4×=

习题4-2 设随机变量X 的分布律为Λ,2,1,323)1(1==⎭⎬⎫⎩

⎨⎧-=+j j X P j

j

j ,说明X

的数学期望不存在.

解： 由于

1

11

1133322(1)

((1))3j j j j j j j j j P X j j j j ∞

∞∞++===-=-==∑∑∑，而级数1

12j j ∞

=∑发散，故级数1

11

33(1)

((1))j j

j j j P X j j

∞

++=-=-∑不绝对收敛，由数学期望的定义知，X 的数学期望不存在. 习题X

-2 0 2 k p

求)53(),(),(2

2

+X E X E X E .

解 E (X )=(-2)+0+2=

由关于随机变量函数的数学期望的定理，知

E (X 2)=(-2)2+02+22=

E (3X 2+5)=[3 (-2)2+5]+[3 02+5]+[3

22

+5]

=

如利用数学期望的性质，则有

E (3X 2+5)=3E (X 2)+5=3+5=

4

.135)(3)53(,

8.23.04.0)(,2.03.023.004.02)(2

22

2

22)2(=+=+=⨯+⨯=-=⨯+⨯+⨯-=-X E X E X E X E

习题4-4 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨

⎧≤>=-0

,

0,

0,

)(x x e x f x 求X

e

Y X Y 2)2(;2)1(-==的数学期望.

解

2

2)(2)

0(2)(2)2()()(0

0=-=+-=+⋅===∞-∞

+-∞-+∞

-∞

-+∞∞

-⎰

⎰

⎰⎰x

x x

x e dx e xe dx xe dx x dx x xf X E Y E I

3

13

1)()()(0

30

30

22=

-==⋅==∞

-∞

+-∞

+---⎰

⎰

x

x x x X e

dx e dx e e e E Y E II 习题4-5 设),(Y X 的概率密度为⎩⎨

⎧≤≤≤=其它

,

0,10,

12),(2x y y y x f

求)(),(),(),(2

2Y X E XY E Y E X E +.

解 各数学期望均可按照⎰

⎰

+∞∞-+∞

∞

-=dxdy y x f y x g Y X g E ),(),()],([计算。因),(y x f 仅

在有限区域}10|),{(:≤≤≤x y y x G 内不为零，故各数学期望均化为G 上相应积分的计算。

5

4

1212),()(10

22=

===⎰⎰⎰⎰⎰

⎰∞+∞-∞

+∞

-x

G

dy xy dx dxdy xy dxdy y x xf X E 531212),()(1

032=

===⎰⎰⎰⎰⎰

⎰∞+∞-∞

+∞

-x

G

dy y dx dxdy yy dxdy y x yf Y E 2

11212),()(1

32=

===⎰⎰⎰⎰⎰

⎰∞+∞-∞

+∞

-x

G

dy xy dx dxdy xyy dxdy y x xyf XY E 15

16)(1212)()(1

42222222=

+=+=+⎰⎰⎰⎰x

G

dy y y x dx dxdy y y x Y X E 习题4-6 将n 只球)~1(n 号随机地放进n 只)~1(n 盒子中去，一只盒子装一只球，若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X 为总的配对数，求)(X E .

解：10i i i X i i ⎧=⎨⎩第只球放在第只盒子中

第只球没有放在第只盒子中