解直角三角形及其应用

解直角三角形及其应用

1． 某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图J 25－2①所示，点A 是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆最多只能升起到如图J 25－2②所示的位置，其示意图如图J 25－2③所示(栏杆宽度忽略不计)，其中AB⊥BC，EF ∥BC ，∠AEF ＝143°，AB ＝AE ＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)( )

图J 25－2

图J 25－3

2．如图J 25－4，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB.已知观测点C 到旗杆的距离CE ＝8 m ，测得旗杆的顶部A 的仰角∠ECA＝30°，旗杆底部B 的俯角∠ECB＝45°，那么旗杆AB 的高度是( )

图J 25－4

A ．(8 2＋8 3)m

B ．(8＋8 3)m

C ．(8 2＋

8 33)m D ．(8＋8 3

3

)m 3．如图J 25－5所示，河堤横断面迎水坡AB 的坡角是30°，堤高BC ＝5 m ，则坡面AB 的长度是( )

图J 25－5

A ．10 m

B ．10 3 m

C ．15 m

D ．5 3 m

4．奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度(测角仪高度忽略不计)．他们的操作方法如下：如图J 25－6，他们先在B 处测得最高塔塔顶A 的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90米到达C 处，再次测得最高塔塔顶A 的仰角为58°.请帮助他们计算出最高塔的高度AD 约为多少米(参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60)．

图J 25－6

5．如图J 25－7，某小区在规划改造期间，欲拆除小区广场边的一根电线杆AB ，已知距电线杆AB 水平距离14米处是观景台，即BD ＝14米，该观景台的坡面CD 的坡角∠CDF 的正切值为2，观景台的高CF 为2米，在坡顶C 处测得电线杆顶端A 的仰角为30°，D ，E 之间是宽2米的人行道．如果以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区

域．请你通过计算说明在拆除电线杆AB 1.41，3≈1.73)．

图J 25－7

6． 已知：如图J 25－8，在△ABC 中，AC ＝b ，BC ＝a ，锐角∠A＝α，∠B ＝β. (1)求AB 的长； (2)求证：

a

sin α＝b sin β.

图J 25－8

7.如图J 25－1，电线杆AB 的中点C 处有一标志物，在地面D 点处测得标志物的仰角为45°.若点D 到电线杆底部点B 的距离为a ，则电线杆AB 的长可表示为( )

图J 25－1

A ．a

B ．2a

C .32a

D .52

α

一、选择题

1．如图J25－9是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB的长为( )

图J25－9

A．4 3米B．6 5米

C．12 5米D．24米

2．某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况．如图J25－10，通过直升机的镜头C观测水平雪道一端A处的俯角为30°，另一端B处的俯角为45°.若直升机镜头C处的高度CD为300米，点A，D，B在同一直线上，则雪道AB的长度为( )

图J25－10

A．300米B．1502米

C．900米D．(300 3＋300)米

二、填空题

3．如图J25－11，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120 m，这栋高楼BC的高度为________m.

图J25－11

4．如图J25－12，线段AB和射线AC交于点A，∠A＝30°，AB＝20.点D在射线AC上，且∠ADB是钝角，写出一个满足条件的AD的长度值：AD＝________．

图J25－12

5．如图J25－13，为解决停车难的问题，在一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出________个这样的停车位(2≈1.4)．

图J25－13

三、解答题

6．小方与同学一起去郊游，看到一棵大树斜靠在一小土坡上，他想知道树有多长，于是他借来测角仪和卷尺．如图J25－14，他在点C处测得树AB顶端A的仰角为30°，沿着CB方向向大树行进10米到达点D，测得树AB顶端A

的仰角为45°，又测得树AB的倾斜角∠1＝75°.

(1)求AD的长；

(2)求树长AB.

图J25－14

7．如图J25－15，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在它的北偏东60°方向上，在A的正东方向400米的B处，测得海中灯塔P在它的北偏东30°方向上．问：灯塔P到环海路的距离PC约等于多少米？(3取1.732，结果精确到1米)

图J25－15

参考答案

1．A 2.D 3.A

4．解：(1)在Rt △ADB 中，∵∠ADB ＝90°，∠B ＝45°， ∴∠BAD ＝90°—∠B ＝45°， ∴∠BAD ＝∠B，∴AD ＝DB. 设AD ＝x 米．

在Rt △ADC 中，∵tan ∠ACD ＝AD

DC ，∠ACD ＝58°，

∴DC ＝

x

tan 58°

米．

∵DB ＝DC ＋CB ＝AD ，CB ＝90米， ∴

x

tan 58°

＋90＝x.

将tan 58°≈1.60代入方程， 解得x≈240.

答：最高塔的高度AD 约为240米．

5．解：由题意可知，∠CGB ＝∠B＝∠CFD＝90°. 在Rt △CDF 中，∵tan ∠CDF ＝CF

DF ＝2，CF ＝2米．

∴DF ＝1米，BG ＝2米．

∵BD ＝14米，∴BF ＝GC ＝15米． 在Rt △AGC 中，由tan 30°＝33

， 得AG ＝15×

3

3

＝5 3(米)， ∴AB ＝5 3＋2≈10.65(米)． ∵BE ＝BD －ED ＝12米， ∴AB

∴人行道不在危险区域内．

6．解：(1)AB ＝b cos α＋a cos β.

(2)证明：过点C 作CD⊥AB 于点D.由b sin α＝CD ＝a sin β可得b sin α＝a sin β，从而a

sin α＝b sin β

. 7.B

1．B [解析] 在Rt △ABC 中，∵i ＝BC AC ＝1

2，AC ＝12米，

∴BC ＝6米．根据勾股定理得AB ＝AC 2

＋BC 2

＝6 5米．故选B . 2．D

3．160 3

4．AD ＝10(答案不唯一)

5．17 [解析] 如图，BC ＝2.2×sin 45°＝2.2×

2

2

≈1.54(米)，