概率统计4-1

每出售一吨可赚3万元 ,售不出去，则每吨需仓库保管费1万元， 问应该生产这种商品多少吨, 才能使平均利润最大？(类例 类例4.16） 类例 ） 解 设每年生产 N 吨的利润为 Y 显然，2000 < N < 4000 3N, N ≤ X, Y = g( X ) = 3X − (N − X ) ⋅1, N > X 1 N ≤ x, 3N, , 2000 < x < 4000, f X (x) = 2000 g(x) = 0, 4x − N, N > x 其 它
0,
+∞ 0
−λx 5
其 ， 它
60λ
E(M) = ∫−∞ xfM (x)dx = ∫ 5λxe−λx (1− e−λx )4 dx = 137
E(M) 13760λ = >11 1 E(N) 5λ
可见, 并联组成整机的平均寿命比串联组成整机的平均寿 命长11倍之多.
11
r.v.函数 r.v.函数 Y = g(X ) 的数学期望 设离散 r.v. X 的概率分布为 若无穷级数
1 即 N ~ E( 5λ), E(N) = 5λ
10
m ax (2) 设整机寿命为 M = k=1,2,L,5{Xk }
5 i=1
FM (x) = P(M < x) = P(∏Xi < x) =∏F (x) = [F(x)]5
k =1
5
fM (x) = (x
+∞
(1− e ) , x > 0, = 0, 其 ， 它 5λe−λx (1− e−λx )4 , x > 0,
4000 1 1 E(Y) = ∫−∞ g(x) f X (x)dx = ∫ (4x − N) dx + ∫ 3N dx 2000 20006 N 2000 1 2
+∞
N
=
令 dE(Y) 1 (−4N +14000) =0 = dN 2000 2
(−2y +14000y − 8×10 ) 2000
N=3500
k = np∑Cn−1 pk (1− p)(n−1)−k = np k=0 n−1
特例 若Y ~ B ( 1 , p ), 则 E(Y)
=p
例3 （类P117例4.7） 从装有 m 个白球和 n 个红球的袋中有放回地取球， 直到出现白球为止，试求取出红球数的数学期望。（几何分布） 解 设取出红球数为 X ,则分布律为
k= 1
+∞
数学期望的本质 —— 加权平均 (它是一个数，不再是 r.v.)
注意 不是所有的 r.v.都有数学期望 例1 设离散型随机变量X的概率分布为
求 E(X) 解 由于
1 P( X = n) = P( X = −n) = 2n(n +1)
1 ∑| xk pk |= ∑n +1 是发散的 k =1 k =1
显然，
d E(Y) 4 =− <0 2 dN 2000
15
故 N=3500 时, E(Y )最大, E (Y )= 8250万元
数学期望的性质 E (C ) = C 常数 E (aX ) = a E (X ) E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
n a X + C = n a E( X ) + C E ∑ i i ∑ i i i=1 i=1
k= , 2,L5 1 ,
FN (x) = P(N < x) = P(UXi < x) =1− P(∏Xi ≥ x) =1− ∏(1− Fk (x))
i=1
5
5
5
=1−[1− F(x)]
5
1− e , x > 0, = 其 ， 它 0,
x > 0, 其 ， 它
−5λx
i =1
k =1
5λe−5λx , f N (x) = 0,
m+ n
则
P( X = k) = pk−1q
定义2 定义 设连续 r.v. X 的 d.f. 为
+∞
f (x)
若广义积分
∫−∞ xf (x)dx
绝对收敛, 则称此积分为 X 的数学期望记作 E( X ), 即
E( X ) = ∫ ∞ xf (x)dx −
+∞
例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为
多元r.v.函数 多元r.v.函数 Z = g(X，Y ) 的数学期望 r.v. 设离散 r.v. X 的概率分布为 若无穷级数
P( X = xi ,Y = y j ) = pij , i, j =1,2,L
i
∞
∑g(x , y
i= 1
∞
j
) pij
∞ j
绝对收敛，则
E(Z) = E[g( X,Y)] = ∑∑ g(xi , yj ) pij
§4.1随机变量的数学期望 随机变量的数学期望 引例 学生甲乙参加数学竞赛, 观察其胜负 初 复 决 算术 加 权 平 均 总成绩 赛 赛 赛 平均 3:3:4 2:3:5 2:2:6 甲 228 90 85 53 76 73.7 70.0 66.8 乙 88 80 57 73.2 70.1 67.8 225 75 胜者 甲 乙 乙 甲 甲 乙 甲 甲 称
i=1
2
⋅ pi
= (−2) ⋅ 0.4+ 0 ⋅ 0.3+3 ⋅ 0.3 = 4.3
2 2 2
例8 设 X~U(a,b) ,求 E(X2) 解 由均匀分布的定义 则
2 +∞ 2
1 f (x) = b − a 0
b 2
a ≤ x ≤b
其它
1 dx E(X ) = ∫ x ⋅ f (x)dx = ∫a x ⋅ −∞ b−a 2 2 b 1 3 a + ab + b = x = 3(b − a) a 3
令
p=
∞
n k−1 m P( X = k) = ( ) ( ) m+ n n m m+ n
m+ n q=
∞
k = 0,1,2,…….. k = 1,2,……..
p ′ q 1 ∞ k ′ k −1 k −1 = E( X ) = ∑kp q = q∑kp = q ∑ p = q = 2 q k=1 1− p (1− p) k =1 k =1
例5 X ~ N ( µ , σ 2 ), 求 E ( X ) . 解 E( X ) = x ⋅ ∫
x−µ =u 令
2
0
1
2
+∞
−∞
1 e 2πσ
( x−µ)2 − 2σ 2
dx
u2 − 2
σ
=
1 （ ⋅ ∫−∞ uσ + µ） 2π e
+∞
du
=µ
的数学期望（P159） 常见 r.v. 的数学期望 分布
第四章 随机变量的数字特征
1
分布函数能完整地描述 r.v.的概率特性, 但实际应用 中并不都需要知道分布函数，而只需知道 r.v.的某些特征. 例如： 平均长度又要看 例如 判断棉花质量时, 既看纤维的平均长度 平均长度 纤维长度与平均长度的偏离程度平均长度越长,偏离程 纤维长度与平均长度的偏离程度 度越小, 质量就越好; 考察一射手的水平, 既要看他的平均环数是否高, 还要看他弹着点的范围是否小, 即数据的波动是否小. 由上面例子看到，与 r.v. 有关的某些数值，虽不能 完整地描述 r.v.但能清晰地描述 r.v.在某些方面的重要特 征 , 这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义. 随机变量某一方面的概率特性,都可用数字 数字来描写 数字 本 r.v.的平均取值 —— 数学期望 章 r.v.取值平均偏离均值的情况 —— 方差 内 描述两 r.v.间的某种关系的数 —— 协方差与相 容 关系数
+∞
的数学期望，不必知道Y的分布 的分布， 可见求 Y = g(X) 的数学期望，不必知道 的分布， 只要知道X的分布 的分布即可 只要知道 的分布即可
例 7 设随机变量X的分布列为 X P -2 0.4
2
0 0.3
3 0.3
解 E(Y) = E( X ) =
试求 Y = X 2 的数学期望 ∞
∑X
2 +∞
E( X ) = ∫ xf (x)dx = ∫ x ⋅ 0dx + ∫ x⋅ xdx + ∫ x⋅ (2 − x)dx + ∫ x⋅ 0dx
−∞
−∞
1 2 1 2 1 2 1 4 1 7 = x + x − x = + (4 − −1+ ) = 3 0 3 1 3 3 3 3
i=1
设连续 r.v. 的 d.f. 为f (x) 若广义积分
∫ ∫
+∞ +∞
E(Z) = E[g(x, y)] = ∫
−∞ −∞
g(x, y) f (x, y)dxdy 绝对收敛, 则
+∞ −∞
∫
+∞
−∞
g(x, y) f (x, y)dxdy
例10 市场上对某种产品每年需求量为 X 吨 ,X ~ U [ 2000,4000 ],
参数为p 的 0-1分布 B(n,p) P(λ)
概率分布
P( X =1) = p P( X = 0) =1− p
P( X = k) = C p (1− p)
k n k n−k
期望
p
k = 0,1,2,L, n
P( X = k) =
np
λe
k −λ
k! k = 0,1,2,L
λ
8
分布
概率密度