张宇 题 版 习题详解

是无穷大量．
2
12. 【答案】（C）
【解】 sin x 是有界量， −x ≤ f (x) ≤ x .
13. 【答案】（D）
( ) ( ) 【解】 xn′
=
1

2n
+
1 2
π
，则
f
xn′
=

2n
+
1 2
2
π
2
，当 n
→
∞
时，
f
xn′
→∞.
14. 【答案】（D）
【解】
取 xn
1
x +ex
=
lim
t →+∞
1− 1+
et et
t
= −1
39. 【答案】0
【解】
lim
x→0
1− ex
1− x2 − cos x
1 x2
=
lim
x→0
ex
2 −
cos
x
=
lim
x→0
ex
x + sin
x
=0
40. 【答案】0
1
( ) 【解】
lim
x→0+
x ln
x
=
lim
x→0+
ln x 1 x
1+ 3x
2 sin x
= lim
1+ 3x
2 sin x
2⋅3 x
= e lim sin x x→ 0
= e6
x→0
x→0
3
43. 【答案】
2
3sin x + x2 cos 1
【解】
lim
x→0
(1
+
cos
x
)
ln
(1
x +x
)
=
1 3sin lim
2 x→0
x + x2 cos x
1 x
=
1 3sin x
【解】
∫ lim ∫ x→0
x 0
f (t )sin tdt x tϕ (t ) dt
= lim x→0
f
( x)sin x xϕ ( x)
=
lim
x→0
sin x
x
⋅
f ϕ
( (
x) x)
=
f (x)
lim
x→0
ϕ
(
x
)
= 0,
0
.
25. 【答案】(D)
【解】取ϕ
(x)
=
x
+
1
x2
, +1
f
(x)
=
x
+
2 x2 +1,
g
(x)
=
x
+
3 x2 +1 .
26. 【答案】（B）
【解】
∫ ∫ ∫ lim F ( x) = lim x2
x
f
x2
(t ) dt = lim
x
f
a
(t) dt
2x = lim
x a
f (t ) dt + x2 f ( x)
= a2 f
(a)
x→a
x→a x − a a
x→a x − a
arctan ln 1+
x−x 2x3
=
lim
x→0
arctan x − 2x3
x
=
lim
x→0
− 1 x3 3 2x3
=
−
1 6
47. 【答案】 − 2 6
【解】
( )( ) lim ( ) x→1
3− x − 1+ x2 + x − 2
x
= lim x→1
3− x − 1+ x
( x + 2)( x −1)
x
(α ≠ 1) .
10. 【答案】（C） 【解】根据极限的定义直接可得出答案.
11. 【答案】（D）.
【解】此题考查无穷大量和无界变量的区别：
（1）无界函数的逻辑含义在于“存在性”而已．若对于任意的正数 M ，总存在某个点
x0 ∈[a,b] ，使| f (x0 ) |> M ，则称函数 f (x) 是区间[a,b] 上的无界函数． （2）无穷大量是指在自变量的某个趋限的全过程中（例 x → x0 ），其逻辑含义在于“任意 性 ”． 若 对 于 任 意 正 数 M ， 总 存 在 δ > 0 ， 对 一 切 满 足 0 < x − x0 < δ 的 x ， 总 有 | f (x) |> M ，则称函数 f (x) 是 x → x0 时的无穷大量．无穷大量必是无界量，无界量未必
3x
−1

=
ln
2
+
ln
3
≠
1.
x→0
x
x→0 x
x
17. 【答案】（B）
【解】
∫ ( ) ( ) lim
x→0
f g
(x) (x)
=
lim
x→0
sin x
sin
t2
0
x3 + x4
dt
=
lim
x→0
sin
sin2 x cos 3x2 + 4x3
x
=
lim
x→0
x2 3x2 + 4x3
=
lim
5
【解】 lim 3x2 + 5 sin 2 = lim 3x2 + 5 ⋅ 2 = 3 . x→∞ 5x + 3 x x→∞ 5x + 3 x 5
35. 【答案】 e−3

【解】
lim
n→∞

n − 2 n n +1
=

lim
n→∞
1
+
−3 n n +1
=
e lim n→∞
n⋅
2
lim
x→0

x
+
x
cos
1 x

=
3 2
44. 【答案】 − 1 4
【解】
lim
x→0
1+
x
+ 1− x2
x
−
2
=
lim
x→0
2
1− 1+ x 2
2x
1 1− x
= lim 1− x − 1+ x x→0 2x ⋅ 2 1+ x ⋅ 1− x
= 1 lim 1− x − 1+ x = − 1
=
lim −1 − 2b(1 + x)
=
2
x→0
2x
x→0 2x(1 + x)
x→0 2(1 + x )
即
−1 − 2b = 4 b = −5 / 2
.
【注】本题还可直接用泰勒展开，更为方便，请同学们自练。 8. 【答案】（C）
( ) 【解】 sin 6x = 6x − (6x)3 + ο x3 ，故 3!
【编者注】
本习题详解是张宇老师主编的《考研数学题源探析 1000 题》的
赠送资料，对《1000 题》中没有给出详解的题目做出解析，供同学
们复习时参考。
第一篇 高等数学
第一章 函数、极限与连续
【经典题答案与解析】
一．选择题 1. 【答案】（C）
【解】当 x 充分大时，有重要关系： eαx >> xβ >> lnγ x ，其中α , β ,γ > 0 .
30. 【答案】（D）
【解】分母不为零，故 λ ≤ 0 ；又 lim f (x) = 0 ，故 k > 0 ． x→−∞
31. 【答案】（C）
【解】取 f (x) = −1, x < a, 排除（A）和（B），取 f (x) = x − a ，排除（D），选（C）． 1, x ≥ a,
证明（C）：因为 lim 1 = 1 ，于是 f (a) ≠ 0 ，故 lim f (x) = f (a) ．
( ) x3 +o x3
3
xn
=C
≠0
.
19. 【答案】（B）
【解】 x − sin x 1 x3 . 6
20. 【答案】（A）
( ) ( ) ( ) ex −
【解】 lim x→0
ax2 + bx +1 x2
1+ x + x2 + o
= lim
2
x→0
x2 − x2
ax2 + bx +1
( ) =
−3 n +1

=
e−3
36. 【答案】1

【解】
lim
x→0+

1 tan x
lim tan x⋅ln 1
− 1 lim sin x⋅ln x
− 1 lim x⋅ln x
− 1 lim ln x 2 x→0+ 1
x = e = e = e = e = e = 1 x→0+
x
2 x→0+ cos x
lim
x→0

1 2
−
a

x2
+
(1 −
x2
b)
x
+
o
x2
=0
1 − a = 0，1− b = 0 . 2
3
21. 【答案】（B）
( ) ( ) 1− cos x ln 1+ x2
【解】由 lim x→0
x sin xn
= lim x→0
x2 ⋅ x2 2 xn+1
=
1 lim
2 x→0
4. 【答案】（D）
【解】
g
(
f
(x))
=
2 f
− f (x), ( x) + 2,
f f
(x) (x)
≤ >
0 0
=
2 − (−x),
x2 + 2,
x x
≥ <
0 0
=
2 + x,
2
+
x2
,
x x
≥ <
0 0
.
5. 【答案】（A）

【解】
lim
x→0+
1
+
1 x x
7. 【答案】（A）
【解】
假设
1
lim ln(1 + x) − (ax
+ bx 2)
=
1 lim 1 + x
−a
− 2bx
=2
x→0
x2
x →0
2x
知
lim( 1 − a) = 0 因此a = 1.
x→0 1 + x
从而再假设
1 lim 1 + x
− a − 2bx
=
lim −x
− 2bx(1 + x)
=
lim
x→0
1−cos x sin t 2dt
0
x5 + x6
=
sin (1− cos x)2
lim
x→0
x5 +
⋅(1− cos
x6
x)′
=
lim
x→0
(1− cos x)2
x5 + x6
⋅x
56
56
56

x2
2
⋅
x
=
lim
x→0
2 x5
+
x6
= 5. 4
56
24. 【答案】（B）
2 x→0+
x
0
1
37. 【答案】
2
【解】 lim x cot 2x = lim x ⋅ cos 2x = lim x ⋅ cos 2x = 1 lim 2x = 1
x→0
x→0 sin 2x x→0 sin 2x 2 x→0 sin 2x 2
38. 【答案】 −1
【解】
5
1
lim
x→0+
1− ex
3− x + 1+ x 3− x + 1+ x
=
6
1 2
lim
x→1
2(1− x) ( x −1)
=
−
2 6
48. 【答案】 − 1 6
x4 xn+1
=0，
lim
x→0
x sin xn ex2 −1
= lim x→0
xn+1 x2
= 0，
可得出 2 < n +1 < 4 .
22. 【答案】（D）
【解】排除法. （B）选项与 x2 等价，（C）选项与 − x2 等价.
2
2
23. 【答案】（C）
【解】
∫ lim
x→0
f g
(x) (x)
4 x→0
x
4
1
45. 【答案】
3

【解】
lim
x→0

1 x2
−
x
1 tan
x


=
lim
x→0

tan x − x x2 tan x
=
lim
x→0
tan x − x x3
= lim x→0
1 x3 3 x3
=
1 3
6
46. 【答案】 − 1 6
( ) 【解】 lim x→0
x→a
1
27. 【答案】（A） 【解】对于后三个选项，关键是要讨论分段函数的分段点. 28. 【答案】（D）
【解】设 F
(x)
=
ϕ ( x) f (x)
为连续函数，则ϕ ( x)
=
f
( x) F ( x) 必连续，矛盾.
29. 【答案】（D）
4
【 解 】 由 于 ebx > 0, f ( x) 在 (−∞, +∞) 内 连 续 ， 故 a ≥ 0 ； 又 lim f ( x) = 0 ， 故 x→−∞ lim ebx = +∞ ，从而 b < 0 . x→−∞
x→a f (x) f (a)
x→a
二．填空题 32. 【答案】1
【解】 对任意 x ∈(−∞, +∞), f ( x) ≤ 1
1 x2
33. 【答案】 e100
【解】当 x 充分大时，有重要关系：eα x
>>
xβ
>> lnγ
x ，其中α , β ,γ
1 x2
> 0 ，故本题填 e100
.
6
34. 【答案】
选（C）.
2. 【答案】（D）
【解】
f
(−x)
=
(−x)2 ,

(−x)2 + (−x)
,
−
x
≤
0
=

x2,
−x > 0 x2 − x,
x≥0
.
x<0
3. 【答案】（B）
【解】
f
(
Leabharlann Baidu
f
(x))
=
1, 0,
f (x) ≤1
f
(x)
=1， >1
f
(
f
(
f
(x))) =
f
(1)
=1.
lim x→0
sin
6x + xf x3
(x)

=
lim
x→0
6
+
f (x)
x2
−
36

=
0
，
从而
lim
x→0
6
+
f(
x2
x)
=
36
.
9. 【答案】（B）
【解】
令 1 = t ，则 x
sin 1
lim
x→∞
(1 +
e 1 )α
x −1 − (1+
1)
=
α
1 −1
x
x→0
1 3+ 4x
=
1 3.
18. 【答案】（C）
【解】
lim
x→0
etan
x− xn
ex
( ) x+ x3 +o x3
= lim e x→0
3
xn
− ex
=
lim
x→0
e
x

e
x3 3
+o( xn
x3
)
−1
( ) x3 +o x3
= lim e 3 x→0
xn
−1 = lim x→0
= e lim x→0+
x
ln
1+
1 x

ln (1+ t )
lim
= et→+∞ t
1 lim
= et→+∞ t
= e0
=1.
6. 【答案】（C）
【解】由
lim x→∞
x2 x +1
−
ax
−
b

=
lim
x→∞
(1 −
a)
x2
− (a +
x +1
b)
x
−
b
=
0
，
可知1− a = 0 ， a + b = 0 .
=
lim
x→0+
x
−
1 x2
= lim x→0+
−x
=0
1
41. 【答案】
6
【解】 lim cot x→0
x
1 sin
x
−
1 x

=
lim
x→0
cos x sin x

x − sin x x sin x

=
lim
x→0
x
− sin x3
x
=
1 6
42. 【答案】 e6
( ) ( ) 【解】 lim
=
n, yn
=
1 n2
，排除（A）；取 xn
=
1
+
(
−1)n

n,
yn
=
1
−
(
−1)n

n
，排除（B）；
取
xn
=
1 n2
,
yn
=
n
，排除（C）.
15. 【答案】（A）
【解】无穷小的和、差、积、绝对值还是无穷小量.
16. 【答案】(B)
【解】
lim
2x
+
3x
−
2
=
lim

2x
−1
+