阻抗与导纳
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瞬时值表达式为
i + + u R – + u u L – + uC – – R L C
i = 4.4 2 sin( 314t − 33.1o )A uR = 132 2 sin( 314t − 33.1o )V
uL = 351.1 2 sin( 314t + 56.9 )V
o
uC = 175.1 2 sin( 314t − 123.1o )V
(a)
+
•
•
I
U
Z (b)
_
对于阻抗需要说明以下几点： 对于阻抗需要说明以下几点： 1、单一元件R、L、C的阻抗分别为： 、单一元件 、 、 的阻抗分别为 的阻抗分别为：
ZR = R ZL = jωL= jXL Z C
1 = −j = − jX C ωc
2、阻抗Z 取决于网络结构、元件参数和电源的 、阻抗 取决于网络结构、 频率。 频率。 3、阻抗Z是一个复数。 、阻抗 是一个复数 是一个复数。
XL
jXL - jX C
= [( 32.2 − j30) + (15 + j16.1)]A = (47.2 − j13.9) = 49.2∠ - 16.4A
i2 = 22 2sin(314t + 47 )A i = 49.2 2sin(314t −16.4o )A
•
ɺ 与 ɺ相 π ， 与ɺ同 。 ɺ IB U 差 IG U 相 2
•
•
+
•
I
IG
U
IB
jB
G
单口无源网络的 并联等效电路
_
4、由于电路结构、参数或电源频率的不同导纳角 ϕ′ 、由于电路结构、参数或电源频率的不同导纳角 会出现以下三种情况： 会出现以下三种情况： ϕ ′ > 0( B > 0 ) 导纳性质为容性，电路为电容性电路。 导纳性质为容性，电路为电容性电路。 容性
注意： 注意： U ≠ U + U + U R L C
如图所示电路。 例2 如图所示电路。已知R1=3Ω、 R2=8Ω， Ω Ω o XC=6 Ω 、XL=4 Ω ， u = 220 2 sin( 314t + 10 )V 各支路电流及总电流的瞬时值表达式。 求：各支路电流及总电流的瞬时值表达式。 ɺ I i 解: U = 220∠10o V ɺ
Z
Y = ∑Yk
k=1
n
Z1Z2 两个阻抗并联时，等效阻抗为： 两个阻抗并联时，等效阻抗为： Z = Z1 + Z2
分流公式为： 分流公式为：
ɺ I
ɺ U
+ I ɺ1 –
ɺ I2
Z2 ɺ I1 = I Z1 + Z2
ɺ Z2 I2 = Z1 I Z1 + Z2
•
•
Z1
注意： 注意： ≠ I1 + I2 I 一般
Z 1 = R1 + jX L = 3 + j4 Z 2 = R2 − jX c = 8 − j6
+ i1 u
。
R 1
i2
+
R 2
Xc
ɺ U
R 1
ɺ ɺ I1 I2
R 2
ɺ U 220∠10 o 220∠10 o – – ɺ I1 = = = Z1 3 + j4 5∠53 o 相量模型 = 44∠ − 43o A ɺ U 220∠10 o 220∠10 o ɺ I2 = = = = 22∠47 o A Z2 8 − j6 10∠ − 37 o i1 = 44 2sin(314t − 43o )A ɺ ɺ ɺ I = I 1 + I 2 = 44∠ − 43o + 22∠47 o A o
ɺ U U U Z= Z = = ∠ψu −ψi = Z∠ϕ I 式中： 式中： ɺ I I ϕ =ψu −ψi
直角坐标形式） Z = Z∠ = R+ jX （直角坐标形式） ϕ 式中， 实部R： 式中， 实部 ：电阻分量 可正可负） 虚部X： 虚部 ：电抗分量 （可正可负）
Z = R +X X ϕ =arctan R R= Zco ϕ s = X= Zsinϕ =
_
1、单一元件R、L、C的导纳分别为： 、单一元件 、 、 的导纳分别为 的导纳分别为： 1 1 1 B = −j = − jω L Y = = G YL = R jω L ωL R
Y = C
1 1 −j ω c
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c = jω = jB C
2、单口网络的Y由网络结构、元件参数和电源 、单口网络的 由网络结构、元件参数和 的频率决定 决定。 的频率决定。 3、导纳Y是一个复数 、导纳 是一个复数 ɺ I I Y ∴ = Yϕ′ = ɺ = ∠ ϕi −ϕu ) （ U U
2
+ U – +U – ɺ1 ɺ + U – ɺ
Z1 ɺ U1 = U Z1 + Z2
•
Z2 ɺ U2 = U Z1 + Z2
•
2、单口无源网络中各阻抗为并联时，等效 、单口无源网络中各阻抗为并联时 并联 阻抗为 阻抗为： n个电阻并联： Z1 Z2 Zn 个电阻并联： 个电阻并联
1 n 1 =∑ 或 Z k=1 Zk
•
UR ϕ U
•
I
•
•
ϕ < 0( X < 0 )
阻抗性质为容性， 阻抗性质为容性，电路为电 容性 容性电路。 容性电路。
UX
容性相量图
二、导纳
如果单口无源网络， 如果单口无源网络，端口上电压相量和电流 相量参考方向一致， 相量参考方向一致，其导纳定义为 •
• •
Y=
I U
+
•
I
U
Y
其中导纳Y的单位是西 门子 其中导纳 的单位是西[门子 （S） 的单位是 门子]（ ） 对导纳说明以下几点： 对导纳说明以下几点：
串联交流电路如图所示。 例1 R、L、C串联交流电路如图所示。已知 串联交流电路如图所示 已知R=30Ω、 Ω 。 L=254mH、C=80µF， = 220 2 sin( 314t + 20o )V 、 µ ， u 电流及各元件上的电压瞬时值表达式。 求：电流及各元件上的电压瞬时值表达式。 i 解: U = 220∠ 20o V ɺ +
+
X L = ωL = 314 × 254 × 10 = 79.8Ω 1 1 XC = = = 39.8Ω −6 ωC 314 × 80 × 10
−3
Z = R + j( X L − X C ) = 30 + j(79.8 - 39.8)
= ( 30 + j40) = 50∠53.1o Ω
ɺ U 220∠20o ɺ I= = = 4.4∠ − 33.1o A Z 50 ∠53o
1 Z= Y
或
1 Y= Z
1、极坐标形式Z、Y之间的等效互换 、极坐标形式 、 之间的等效互换 形式 1 Z= 1 Y 即： ϕ 若 Z = Z ∠ϕ 则 Z∠ = Y∠ ′ ϕ ϕ = −ϕ′ 2、直角坐标形式Z、Y间的等效互换 、直角坐标形式 、 间的等效互换 形式 (1) 已知 Z=R+jX
1 则 Y = =G+ jB ： Z
I Y= U 上式： 上式：
ϕ′称为导纳角，它是电流和电压的相位差。 称为导纳角 它是电流和电压的相位差。 导纳角，
ϕ′ =ϕi −ϕu
直角坐标形式） Y = G + jB （直角坐标形式） 实部G： 实部 ：电导分量 （ 正值） 正值） 可正可负） 虚部B： 虚部 ：电纳分量 （可正可负）
ɺ ɺ （ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ∴ I = YU = G + jB )U = GU + jBU = I G + I B
ϕ ′ = 0( B = 0 )
导纳性质为阻性，电路为电阻性电路或谐振电路。 导纳性质为阻性，电路为电阻性电路或谐振电路。 阻性 谐振电路
ϕ ′ < 0( B < 0 )
感性， 导纳性质为感性 电路为电感性电路。 导纳性质为感性，电路为电感性电路。
三、阻抗与导纳的等效互换
由单口无源网络的阻抗Z和导纳 的定义可 由单口无源网络的阻抗 和导纳Y的定义可 和导纳 对于同一单口无源网络Z与 互为倒数 互为倒数， 知，对于同一单口无源网络 与Y互为倒数，即
R G= 2 R + X2
−X B= 2 R + X2
(2) 已知 Y=G+jB ，求等效阻抗 Z 1 推导过程略） Z = = R+ jX （推导过程略） Y −B G 其中： 其中： R= X=
G2 + B2
G2 + B2
注意： 注意：
一般
1 1 G≠ G≠ B≠ B≠ R X
四、无源网络的等效变换
3、三端无源网络为星形或三角形联接时等效 、三端无源网络为星形或三角形联接时等效 星形 变换公式为： 变换公式为： （1）已知星形电路，求等效的三角形电路 ）已知星形电路，
Z1Z2 + Z2Z3 + Z3Z1 Z12 = Z3 Z1Z2 + Z2Z3 + Z3Z1 Z23 = Z1 Z1Z2 + Z2Z3 + Z3Z1 Z31 = Z2
电压三角形
相量图 (X >0)
串联等效电路
4、由于电路结构、参数或电源频率的不同阻抗 、由于电路结构、 可能会出现以下三种情况： 角 ϕ 可能会出现以下三种情况：
X Z = Z ∠ = R+ jX ϕ =arctan ϕ R
ϕ > 0( X > 0 )
ϕ = （X = 0） 0
阻抗性质为感性，电路为电感性电路。 阻抗性质为感性，电路为电感性电路。 感性 阻抗性质为阻性， 阻抗性质为阻性，电路为电 阻性 阻性电路或谐振电路。 谐振电路 阻性电路或谐振电路。
第四节
一、阻抗
阻抗与导纳
对一单口网络， 对一单口网络，端口电压相量与电流相量之 • 定义为该网络的阻抗Z。 比，定义为该网络的阻抗 。
•
U 单位 即 ：Z = • I
(Ω )
+
•
I
U
_
N
上式定义为欧姆定律的相 上式定义为欧姆定律的相 量形式。 量形式。 无源单口网络)的电路模型。 无源单口网络 的电路模型。 的电路模型
u R – + u u L – + uC – –
R L C
各元件上的电压为 ɺ ɺ U R = RI = 30 × 4.4 ∠ − 33.1o = 132∠ − 33.1o V
ɺ ɺ U L = jX L I = j79.8 × 4.4 ∠ − 33.1o = 351.1∠56.9o V ɺ C = − jX C I = − j39.8 × 4.4 ∠ − 33.1o = 175.1 ∠ − 123.1o V ɺ U
2
2
Z
ϕ
X
R
阻抗三角形
ɺ U ∵ = Z ɺ I ɺ U ɺ ∴ ɺ = ZI =( R+jX) I
•
+
•
I
U
_
N
ɺ ɺ ɺ ɺ = RI +jXI =UR+UX
UR 与 I 同相
•
•
π UX 与 I 相差 2
•
•
•
I
+
U
U UX ϕ UR
•
•
UX I
•
•
R
jX
•
U
+ ɺ _ UR +
ϕ
UR
_
ɺ UX _
（2）已知三角形电路，求等效的星形电路 ）已知三角形电路， Z31Z12 Z1 = Z12 + Z23 + Z31
Z12Z23 Z2 = Z12 + Z23 + Z31
Z23Z31 Z3 = Z12 + Z23 + Z31
使用以上公式时注意以下几点： 使用以上公式时注意以下几点： 熟记基本元件的阻抗和导纳。 熟记基本元件的阻抗和导纳。 基本元件的阻抗和导纳 同一元件或同一端口的阻抗和导纳互为倒数。 同一元件或同一端口的阻抗和导纳互为倒数。 倒数 一般来讲，以上各公式中的阻抗和导纳用各 一般来讲， 自的模表示时，各等式不成立。 自的模表示时，各等式不成立。 例： Z ≠ Z1 + Z2 + Z3 +⋯ Zn + 和电阻电路中的分压、分流公式相同， 和电阻电路中的分压、分流公式相同，在使 用时， 注意符号与参考方向的关系。 用时，要注意符号与参考方向的关系。
1、单口无源网络中各阻抗为串联时，等效 、单口无源网络中各阻抗为串联时 串联 阻抗为 阻抗为： n个阻抗串联： 个阻抗串联： 个阻抗串联
Z1 Z2 Zn Z
Z = ∑Zk
k=1
n
+ 一般 Z ≠ Z1 + Z2 + Z3 +⋯ Zn
两个阻抗串联电路的分压公式： 两个阻抗串联电路的分压公式：
Z1 Z2
i + + u R – + u u L – + uC – – R L C
i = 4.4 2 sin( 314t − 33.1o )A uR = 132 2 sin( 314t − 33.1o )V
uL = 351.1 2 sin( 314t + 56.9 )V
o
uC = 175.1 2 sin( 314t − 123.1o )V
(a)
+
•
•
I
U
Z (b)
_
对于阻抗需要说明以下几点： 对于阻抗需要说明以下几点： 1、单一元件R、L、C的阻抗分别为： 、单一元件 、 、 的阻抗分别为 的阻抗分别为：
ZR = R ZL = jωL= jXL Z C
1 = −j = − jX C ωc
2、阻抗Z 取决于网络结构、元件参数和电源的 、阻抗 取决于网络结构、 频率。 频率。 3、阻抗Z是一个复数。 、阻抗 是一个复数 是一个复数。
XL
jXL - jX C
= [( 32.2 − j30) + (15 + j16.1)]A = (47.2 − j13.9) = 49.2∠ - 16.4A
i2 = 22 2sin(314t + 47 )A i = 49.2 2sin(314t −16.4o )A
•
ɺ 与 ɺ相 π ， 与ɺ同 。 ɺ IB U 差 IG U 相 2
•
•
+
•
I
IG
U
IB
jB
G
单口无源网络的 并联等效电路
_
4、由于电路结构、参数或电源频率的不同导纳角 ϕ′ 、由于电路结构、参数或电源频率的不同导纳角 会出现以下三种情况： 会出现以下三种情况： ϕ ′ > 0( B > 0 ) 导纳性质为容性，电路为电容性电路。 导纳性质为容性，电路为电容性电路。 容性
注意： 注意： U ≠ U + U + U R L C
如图所示电路。 例2 如图所示电路。已知R1=3Ω、 R2=8Ω， Ω Ω o XC=6 Ω 、XL=4 Ω ， u = 220 2 sin( 314t + 10 )V 各支路电流及总电流的瞬时值表达式。 求：各支路电流及总电流的瞬时值表达式。 ɺ I i 解: U = 220∠10o V ɺ
Z
Y = ∑Yk
k=1
n
Z1Z2 两个阻抗并联时，等效阻抗为： 两个阻抗并联时，等效阻抗为： Z = Z1 + Z2
分流公式为： 分流公式为：
ɺ I
ɺ U
+ I ɺ1 –
ɺ I2
Z2 ɺ I1 = I Z1 + Z2
ɺ Z2 I2 = Z1 I Z1 + Z2
•
•
Z1
注意： 注意： ≠ I1 + I2 I 一般
Z 1 = R1 + jX L = 3 + j4 Z 2 = R2 − jX c = 8 − j6
+ i1 u
。
R 1
i2
+
R 2
Xc
ɺ U
R 1
ɺ ɺ I1 I2
R 2
ɺ U 220∠10 o 220∠10 o – – ɺ I1 = = = Z1 3 + j4 5∠53 o 相量模型 = 44∠ − 43o A ɺ U 220∠10 o 220∠10 o ɺ I2 = = = = 22∠47 o A Z2 8 − j6 10∠ − 37 o i1 = 44 2sin(314t − 43o )A ɺ ɺ ɺ I = I 1 + I 2 = 44∠ − 43o + 22∠47 o A o
ɺ U U U Z= Z = = ∠ψu −ψi = Z∠ϕ I 式中： 式中： ɺ I I ϕ =ψu −ψi
直角坐标形式） Z = Z∠ = R+ jX （直角坐标形式） ϕ 式中， 实部R： 式中， 实部 ：电阻分量 可正可负） 虚部X： 虚部 ：电抗分量 （可正可负）
Z = R +X X ϕ =arctan R R= Zco ϕ s = X= Zsinϕ =
_
1、单一元件R、L、C的导纳分别为： 、单一元件 、 、 的导纳分别为 的导纳分别为： 1 1 1 B = −j = − jω L Y = = G YL = R jω L ωL R
Y = C
1 1 −j ω c
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c = jω = jB C
2、单口网络的Y由网络结构、元件参数和电源 、单口网络的 由网络结构、元件参数和 的频率决定 决定。 的频率决定。 3、导纳Y是一个复数 、导纳 是一个复数 ɺ I I Y ∴ = Yϕ′ = ɺ = ∠ ϕi −ϕu ) （ U U
2
+ U – +U – ɺ1 ɺ + U – ɺ
Z1 ɺ U1 = U Z1 + Z2
•
Z2 ɺ U2 = U Z1 + Z2
•
2、单口无源网络中各阻抗为并联时，等效 、单口无源网络中各阻抗为并联时 并联 阻抗为 阻抗为： n个电阻并联： Z1 Z2 Zn 个电阻并联： 个电阻并联
1 n 1 =∑ 或 Z k=1 Zk
•
UR ϕ U
•
I
•
•
ϕ < 0( X < 0 )
阻抗性质为容性， 阻抗性质为容性，电路为电 容性 容性电路。 容性电路。
UX
容性相量图
二、导纳
如果单口无源网络， 如果单口无源网络，端口上电压相量和电流 相量参考方向一致， 相量参考方向一致，其导纳定义为 •
• •
Y=
I U
+
•
I
U
Y
其中导纳Y的单位是西 门子 其中导纳 的单位是西[门子 （S） 的单位是 门子]（ ） 对导纳说明以下几点： 对导纳说明以下几点：
串联交流电路如图所示。 例1 R、L、C串联交流电路如图所示。已知 串联交流电路如图所示 已知R=30Ω、 Ω 。 L=254mH、C=80µF， = 220 2 sin( 314t + 20o )V 、 µ ， u 电流及各元件上的电压瞬时值表达式。 求：电流及各元件上的电压瞬时值表达式。 i 解: U = 220∠ 20o V ɺ +
+
X L = ωL = 314 × 254 × 10 = 79.8Ω 1 1 XC = = = 39.8Ω −6 ωC 314 × 80 × 10
−3
Z = R + j( X L − X C ) = 30 + j(79.8 - 39.8)
= ( 30 + j40) = 50∠53.1o Ω
ɺ U 220∠20o ɺ I= = = 4.4∠ − 33.1o A Z 50 ∠53o
1 Z= Y
或
1 Y= Z
1、极坐标形式Z、Y之间的等效互换 、极坐标形式 、 之间的等效互换 形式 1 Z= 1 Y 即： ϕ 若 Z = Z ∠ϕ 则 Z∠ = Y∠ ′ ϕ ϕ = −ϕ′ 2、直角坐标形式Z、Y间的等效互换 、直角坐标形式 、 间的等效互换 形式 (1) 已知 Z=R+jX
1 则 Y = =G+ jB ： Z
I Y= U 上式： 上式：
ϕ′称为导纳角，它是电流和电压的相位差。 称为导纳角 它是电流和电压的相位差。 导纳角，
ϕ′ =ϕi −ϕu
直角坐标形式） Y = G + jB （直角坐标形式） 实部G： 实部 ：电导分量 （ 正值） 正值） 可正可负） 虚部B： 虚部 ：电纳分量 （可正可负）
ɺ ɺ （ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ∴ I = YU = G + jB )U = GU + jBU = I G + I B
ϕ ′ = 0( B = 0 )
导纳性质为阻性，电路为电阻性电路或谐振电路。 导纳性质为阻性，电路为电阻性电路或谐振电路。 阻性 谐振电路
ϕ ′ < 0( B < 0 )
感性， 导纳性质为感性 电路为电感性电路。 导纳性质为感性，电路为电感性电路。
三、阻抗与导纳的等效互换
由单口无源网络的阻抗Z和导纳 的定义可 由单口无源网络的阻抗 和导纳Y的定义可 和导纳 对于同一单口无源网络Z与 互为倒数 互为倒数， 知，对于同一单口无源网络 与Y互为倒数，即
R G= 2 R + X2
−X B= 2 R + X2
(2) 已知 Y=G+jB ，求等效阻抗 Z 1 推导过程略） Z = = R+ jX （推导过程略） Y −B G 其中： 其中： R= X=
G2 + B2
G2 + B2
注意： 注意：
一般
1 1 G≠ G≠ B≠ B≠ R X
四、无源网络的等效变换
3、三端无源网络为星形或三角形联接时等效 、三端无源网络为星形或三角形联接时等效 星形 变换公式为： 变换公式为： （1）已知星形电路，求等效的三角形电路 ）已知星形电路，
Z1Z2 + Z2Z3 + Z3Z1 Z12 = Z3 Z1Z2 + Z2Z3 + Z3Z1 Z23 = Z1 Z1Z2 + Z2Z3 + Z3Z1 Z31 = Z2
电压三角形
相量图 (X >0)
串联等效电路
4、由于电路结构、参数或电源频率的不同阻抗 、由于电路结构、 可能会出现以下三种情况： 角 ϕ 可能会出现以下三种情况：
X Z = Z ∠ = R+ jX ϕ =arctan ϕ R
ϕ > 0( X > 0 )
ϕ = （X = 0） 0
阻抗性质为感性，电路为电感性电路。 阻抗性质为感性，电路为电感性电路。 感性 阻抗性质为阻性， 阻抗性质为阻性，电路为电 阻性 阻性电路或谐振电路。 谐振电路 阻性电路或谐振电路。
第四节
一、阻抗
阻抗与导纳
对一单口网络， 对一单口网络，端口电压相量与电流相量之 • 定义为该网络的阻抗Z。 比，定义为该网络的阻抗 。
•
U 单位 即 ：Z = • I
(Ω )
+
•
I
U
_
N
上式定义为欧姆定律的相 上式定义为欧姆定律的相 量形式。 量形式。 无源单口网络)的电路模型。 无源单口网络 的电路模型。 的电路模型
u R – + u u L – + uC – –
R L C
各元件上的电压为 ɺ ɺ U R = RI = 30 × 4.4 ∠ − 33.1o = 132∠ − 33.1o V
ɺ ɺ U L = jX L I = j79.8 × 4.4 ∠ − 33.1o = 351.1∠56.9o V ɺ C = − jX C I = − j39.8 × 4.4 ∠ − 33.1o = 175.1 ∠ − 123.1o V ɺ U
2
2
Z
ϕ
X
R
阻抗三角形
ɺ U ∵ = Z ɺ I ɺ U ɺ ∴ ɺ = ZI =( R+jX) I
•
+
•
I
U
_
N
ɺ ɺ ɺ ɺ = RI +jXI =UR+UX
UR 与 I 同相
•
•
π UX 与 I 相差 2
•
•
•
I
+
U
U UX ϕ UR
•
•
UX I
•
•
R
jX
•
U
+ ɺ _ UR +
ϕ
UR
_
ɺ UX _
（2）已知三角形电路，求等效的星形电路 ）已知三角形电路， Z31Z12 Z1 = Z12 + Z23 + Z31
Z12Z23 Z2 = Z12 + Z23 + Z31
Z23Z31 Z3 = Z12 + Z23 + Z31
使用以上公式时注意以下几点： 使用以上公式时注意以下几点： 熟记基本元件的阻抗和导纳。 熟记基本元件的阻抗和导纳。 基本元件的阻抗和导纳 同一元件或同一端口的阻抗和导纳互为倒数。 同一元件或同一端口的阻抗和导纳互为倒数。 倒数 一般来讲，以上各公式中的阻抗和导纳用各 一般来讲， 自的模表示时，各等式不成立。 自的模表示时，各等式不成立。 例： Z ≠ Z1 + Z2 + Z3 +⋯ Zn + 和电阻电路中的分压、分流公式相同， 和电阻电路中的分压、分流公式相同，在使 用时， 注意符号与参考方向的关系。 用时，要注意符号与参考方向的关系。
1、单口无源网络中各阻抗为串联时，等效 、单口无源网络中各阻抗为串联时 串联 阻抗为 阻抗为： n个阻抗串联： 个阻抗串联： 个阻抗串联
Z1 Z2 Zn Z
Z = ∑Zk
k=1
n
+ 一般 Z ≠ Z1 + Z2 + Z3 +⋯ Zn
两个阻抗串联电路的分压公式： 两个阻抗串联电路的分压公式：
Z1 Z2