第十八章勾股定理18.1勾股定理(1)
八年级数学下册 第十八章勾股定理全章教案 人教新课标版
18.1勾股定理（1）年级：八年级科目：数学课型：新授执笔：姜艳审核：徐中国，薛柏双备课时间：2010.3.28 上课时间：2010.3.31教学目标1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
重点：勾股定理的内容及证明。
难点：勾股定理的证明。
课前预习导学过程阅读教材第64页至第67页的部分，完成以下问题在Rt△ABC，∠C=90°⑴已知a=b=5,求c。
⑵已知a=1,c=2, 求b。
⑶已知c=17,b=8, 求a。
⑷已知a：b=1：2,c=5, 求a。
⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c课堂活动：活动1、预习反馈多种方法证明勾股定理活动2、例习题分析例1：一个门框的尺寸如图，一块3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？CA B例2：如图，一个3m 长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO ，这时AO 的距离为2.5m ，如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m ，那么梯子底端B 也外移0.5m 吗？课堂练习：1．勾股定理的具体内容是：2．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系： ；⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ；⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；⑷三边之间的关系： 。
3．⑴在Rt △ABC ，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。
⑵在Rt △ABC ，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。
⑶在Rt △ABC ，∠C=90°，c=10，a ：b=3：4，则a= ，b= 。
⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。
⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为 。
⑹已知等边三角形的边长为2cm ，则它的高为 ，面积为 。
18.1勾股定理(1)
1 =7 -4 3 4 2
2
S正方形c
A B
图3-1
C
C
A
B
图3-2
即：两条直角边上的正方形 面积之和等于斜边上的正方 形的面积
把C“补”成边长为7的正方 形,面积等于大正方形的面积 减去4个直角三角形的面积。
设：直角三角形的三边长分别是a、b、c
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？ A a B b
4米
3米
勾股定理的最大作用就是用在计算上， 请同学们用勾股定理来解答下列各题： 2、在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别 是∠A、∠B、∠C所对的边． (1)已知a=6，b=8，求c； (2)已知a=8，c=17，求b； (3)已知c=15，b=9，求a； (4)已知∠A=45°，c=4，求a2．
国家之一。早在三千多年前， 我国是最早了解勾股定理的
国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，周 国家之一。早在三千多年前， 朝数学家商高就提出，将一根直 国家之一。早在三千多年前， 尺折成一个直角，如果勾等于三， 国家之一。早在三千多年前， 股等于四，那么弦就等于五，即 国家之一。早在三千多年前， “勾三、股四、弦五”，它被记 国家之一。早在三千多年前， 载于我国古代著名的数学著作 国家之一。早在三千多年前 《周髀算经》中。
C
B
图1-1
看 一 看
你同 面 去 能学 反 朋 发们 映 友 相 现， 直 家 传 什我 角 作 两 么们 三 客 千 ？也 角 ， 五 来形发百 观三现年 察边朋前 下的友， 面某家一 的种用次 图数砖毕 案量铺达 ，关成哥 看系的拉 看，地斯
数学家毕达哥拉斯的发现：
A
B
C
18.1 .1勾股定理(1)
CA b a八年级（下）数学教学案系列编号班级：姓名：课题：18.1.1勾股定理（第1课时）主备：张荣审核：yz 时间：2012 年 3 月第 5 周尊敬的家长：孩子成绩的提高需要家长的配合，为了孩子的进步，请督促您的孩子在家认真预习，并完成课堂前置和反馈练习。
家长签字：【教学目标】1、了解利用拼图验证勾股定理的方法2、掌握勾股定理的简单应用3、理解勾股定理的一般探究方法【课堂前置】1、任意三角形的三边关系2、三角形中，较小两边的平方和与第三边的平方大小有什么关系？3、观察图1、图2，图中的等腰Rt△ABC的三边，数量上有什么关系？4、图4，你认为在其他Rt△中，图3中的结论还成立吗？5、归纳：如果Rt△ABC的两直角边长为a、b,斜边为c,那么_________________6、你能将上面的结论，用右下图加以证明吗？证明过程：二次备课图1 图2图3B C a b cAD 【学习探究】1、下面图形都是由三个正方形拼成的图形，试求出第三个正方形面积：S 1，S 22、依据题意，填空①在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=5，b=12，则c=________②在Rt △ABC 中，∠B=90°，a=3，b=4，则c=③在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，则AC ：BC ：AB=________________④在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，则AC ：BC ：AB=________________⑤已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为_____________3、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD 是斜边AB 上的高 ①若a=6，b=8,求CD 的长；②a=40，c=41,求b ；③若a ：b=3 ：4， c=15，求b【课堂检测】1、如图，在等腰△ABC 中，AB=10,BC 边上的高AD=8，求BC 的长；S △ABCS 181144400625S 22、已知直角三角形的两边长为4和3，求第三边的长？3、在Rt △ABC 中，周长为12cm ，一直角边为4cm,求斜边的长？【能力提升】1、已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥DC ，AB ⊥AC ，∠B=60°，CD=25cm ，求AC 、BC 的长。
18.1勾股定理(第1课时)课件
2ab+（b² -2ab+a² ）=c² ∴a² =c² +b²
尝试应用
2、一个门框尺寸如图18.1-2所示，一块长3m，宽2.2m的 薄木板能否从门框内通过？为什么？ 在RtΔABC中，根据勾股定理： AC ＝AB +BC ＝1 +2 ＝5 所以，AC＝ 5 ≈2.236 而AC大于木板的宽，所以木板能从门 框内通过。
第十八章
勾股定理
18.1
勾股定理
第1课时
学习目标
1.掌握勾股定理的推导过程 2.会运用勾股定理解简单类型
的题
自学指导
请同学们认真看课本 64至67页内容，边看 书边理解，并思考下列问题： 1.勾股定理是怎样推出来的？ 2.看懂66页例题 8分钟后，我们看谁回答的最精彩
情境引入
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家 里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直 角三角形三边的某种数量关系．注意观察，你能有
什么发现？
毕达哥拉斯(公元前572----前492年), 古希腊著名的哲学家、数学家、天 文学家。
情境引入
换成下图你有什发现？说出你的观点.
等腰直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和.
课中探究
其它直角三角形是否也存在这种关系？ 观察下边两个图并填写下表:
A的面
25
图1-3
4
9
13
结论：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c，
那么 a 2 b2 c 2
当堂检测
1、根据图18.1-1你能写出勾股定理的证明过程吗？
c a
b
∵ 1 ab×4+(b-a)² =c²
2 2 2 2 2
勾股定理 PPT课件 10 人教版
练习： 1、求下列图中字母所表示的正方形的面积
A =625
225
400
81
B =144
225
2、求出下列直角三角形中未知边的长度
x 6
8
x
5 13
解：由勾股定理得：
x2=62+82 x2 =36+64 x2 =100 ∵x>0 ∴ x=10
∵ x2+52=132 ∴ x2=132-52
x2 =169-25 x2 =144 ∵x>0
•
80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。
相传二千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了
勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了 一枚纪念邮票。
试
我们用下面方法来说明勾股定理是正确的
一
c
c
c
c
试
a
a
a
a
b
b
b
b
(a+b)2= 4 ab C2 2
c2 = a2+ b2
•
36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。
•
37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。
•
38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。
•
39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。
•
40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。
•
41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。
•
2、从善如登，从恶如崩。
•
3、现在决定未来，知识改变命运。
十八章勾股定理全章教案
第十八章勾股定理18.1 勾股定理课时安排: 4课时第1课时 18.1 .1 勾股定理(1)三维目标一、知识与技能让学生通过观察、计算、猜想直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论．二、过程与方法1．在学生充分观察、归纳、猜想、探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．2．在探索上述结论的过程中，发展学生归纳、概括和有条理地表达活动的过程和结论．三、情感态度与价值观1．培养学生积极参与、合作交流的意识，2．在探索勾股定理的过程中，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气．教学重点探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论。
从而发现勾股定理．教学难点以直角三角形的边为边的正方形面积的计算．教具准备学生准备若干张方格纸。
教学过程一、创设问题情境，引入新课活动1问题1：在我国古代，人们将直角三角形中的短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．根据我国古算书《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五，你知道是为什么吗?问题2：某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米，请问消防队能否进入三楼灭火?问题3：我们再来看章头图，在下角的图案，它有什么童义?为什么选定它作为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽?二．实际操作，探索直角三角形的三边关系活动2问题1：毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，相传2500年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家作客．在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地而发起呆来．原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了．同学们，我们也来观察下面图中的地面，看看你能发现什么?是否也和大哲学家有同样的发现呢?问题2：你能发现下图中等腰直角三角形ABC有什么性质吗?问题3：等腰直角三角形都有上述性质吗?观察下图，并回答问题：(1)观察图1正方形A中含有________个小方格，即A的面积是________个单位面积；正方形B中含有________个小方格，即B的面积是________个单位面积；正方形C中含有________个小方格，即C的面积是________个单位面积．(2)在图2、图3中，正方形A、B、C中各含有多少个小方格?它们的面积各是多少?你是如何得到上述结果的?与同伴交流．(3)?活动3问题1：等腰三角形有上述性质，其他的三角形也有这个性质吗?如下图，每个小方格的面积均为1，请分别计算出下图中正方形A、B、C，A'、B'、C'的面积，看看能得出什么结论．(提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于虚线标出的正方形的面积减去四个直角三角形的面积．)问题2：给出一个边长为0.5，1.2，1.3，这种含小数的直角三角形，也满足上述结论吗?我们通过对A、B、C，A'、B'、C'几个正方形面积关系的分析可知：一般的以整数为边长的直角三角形两直角边的平方和也等于斜边的平方，一个边长为小数的直角三角形是否也有此结论?我们不妨设小方格的边长为0.1，我们不妨在你准备好的方格纸上画出一个两直角边为0,5，1.2的直角三角形来进行验证．生：也有上述结论．这一结论，在国外就叫做“毕达哥拉斯定理”，而在中国则叫做“勾股定理”．而活动1中的问题1提到的“勾三，股四，弦五”正是直角三角形三边关系的重要体现．勾股定理到底是谁最先发现的呢?我们可以自豪地说：是我们中国人最早发现的．证据就是《周髀算经》，不仅如此，我们汉代的赵爽曾用2002年在北京召开的国际数学家大会的徽标的图案证明了此结论，也正因为为了纪念这一伟大的发现而采用了此图案作徽标．下节课我们将要做更深入的研究．大哲学家毕达哥拉斯发现这一结论后，就已认识到，他的这个发现太重要了．所以，按照当时的传统，他高兴地杀了整整一百头牛来庆贺．三、例题剖析活动4问题：(1)如下图，一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前有多高?(2)求斜边长17cm，一条直角边长15cm的直角三角形的面积．解：(1)解：由勾股定理可求得旗杆断裂处到杆顶的长度是：92＋122＝15(m)；15＋9＝24(m)，所以旗杆折断之前高为24m．(2)解：另一直角边的长为172－152＝8(cm)，所以此直角三角形的面积为12×8×15＝60(cm2)．师：你能用直角三角形的三边关系解答活动1中的问题2．请同学们在小组内讨论完成．四、课时小结1．掌握勾股定理及其应用；2．会构造直角三角形，利用勾股定理解简单应用题．五.布置作业六．板书设计18．1．1勾股定理（1）第2课时勾股定理（2）三维目标一、知识与技能1．掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法．2．运用勾股定理解决一些实际问题．二、过程与方法1．经历用拼图的方法验证勾股定理，培养学生的创新能力和解决实际问题的能力．2．在拼图的过程中，鼓励学生大胆联想，培养学生数形结合的意识．三、情感态度与价值观1．利用拼图的方法验证勾股定理，是我国古代数学家的一大贡献，借助此过程对学生进行爱国主义的教育．2．经历拼图的过程，并从中获得学习数学的快乐，提高学习数学的兴趣．教学重点经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值．教学难点经历用不同的拼图方法证明勾股定理．教具准备每个学生准备一张硬纸板．教学过程一、创设问题情境，引入新课活动1问题：我们曾学习过整式的运算，其中平方差公式(a＋b(a－b)＝a2－b2，完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2是非常重要的内容．谁还能记得当时这两个公式是如何推出的？生：这两个公式都可以用多项式乘以多项式的乘法法则推导．如下：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2，所以(a＋b)(a－b)＝a2－b2；(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2；所以(a±b)2＝a2±2ab＋b2；生：还可以用拼图的方法说明上面的公式成立．例如：图(1)中，阴影部分的面积为a2－b2，用剪刀将(1)中的长和宽分别为(a－b)和b的长方形剪下来拼接成图(2)的形式便可得图(2)中阴影部分的面积为(a＋b)(a－b)．而这两部分面积是相等的，因此(a＋b)(a－b)＝a2－b2成立．生：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2也可以用拼图的方法，通过计算面积证明，如图(3)我们用两个边长分别a和b的正方形，两个长和宽分别a和b的长方形拼成一个边长为(a＋b)的正方形，因此这个正方形的面积为(a＋b)2，也可以表示为a2＋2ab＋b2，所以可得(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2．师：你能用类似的方法证明上一节猜想出的命题吗?二、探索研究活动2我们已用数格子的方法发现了直角三角形三边关系，拼一拼，完成下列问题：(1)在一张纸上画4个与图(4)全等的直角三角形，并把它们剪下来．(2)用这4个直角三角形拼一拼，摆一摆，看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，你能利用拼图的方法，面积之间的关系说明上节课关于直角三角形三边关系的猜想吗?(3)有人利用图(4)这4个直角三角形拼出了图(5)，你能用两种方法表示大正方形的面积吗?大正方形的面积可以表示为：_______________，又可以表示为________________．对比两种衷示方法，你得到直角三角形的三边关系了吗?生：我也拼出了图(5)，而且图(5)用两种方法表示大正方形的面积分别为(a＋b)2或4× ab＋c2．由此可得(a＋b)2＝4×12 ab＋c2．化简得a2＋b2＝c2．由于图(4)的直角三角形是任意的，因此a2＋b2＝c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
沪科版八年级数学下册_18.1 勾股定理
感悟新知
知3－练
解题秘方：紧扣“同一三角形的面积的两种表示 法”求解 .
感悟新知
解法提醒
知3－练
等面积法：
用不同的方法表示同一个图形的面积.此题是典型的应
用等面积法求直角三角形斜边上高的问题.即△ ABC 的面
积既可以表示为AC2·BC ，又可以表示为AB2·CD ，再利用 同一图形的面积相等解答 .
感悟新知
解：∵∠ ACB=90°， AC=3， BC=4， ∴ AB= AC2+BC2= 32+42 =5.
知3－练
∵
CD
⊥
AB，∴
S△
ABC=
1 2
AB·CD=
1 2
AC·BC，
∴ AB·CD=AC·BC，
∴
CD=
AC· BC AB
=
3×4 5
=
12 5
.
感悟新知
知3－练
例5 如图 18.1 － 4所示，∠ C=90°， AM=CM， MP ⊥ AB于点 P.
设大正方形的面积为 S，则 S=c2. 根据“ 出入相补， 以 盈 补 虚” 的原理， 有
S=a2+b2，所以 a2+b2=c2
感悟新知
方法
加菲尔德 总统拼图
毕达哥拉 斯拼图
图形
证明
知2－讲
设梯形的面积为
S，则
S=
1 2
(a+b)
(a+b)=
1 2
a2+
1 2
b2+ab.
又
S=
1 2
ab+
1 2
ab+
所以∠ CAC′ = ∠ CAB′ + ∠ B′ AC′
沪科版八年级数学下册课件.1勾股定理(24张)
c
2
a
=2ab+b2-2ab+a2
c a
b
b
=a2+b2
∴a2+b2=c2
c a
b
c a
b
新知探究
方法二 大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ; 也可以表示为c2 + 2ab.
∵ (a+b)2 = c2 + 2ab
c a
b
c a
b
c a
b
c a
b
a2+2ab+b2 = c2 +2ab ∴a2+b2=c2
论中正确的是( A )
A.c2=a2+b2
B.c2=a2+2ab+b2
C.c2=a2-2ab+b2 D.c2=(a+b)2
解析: 由题意得到四个完全一样的直角 三角板围成的四边形为正方形, 其边长为c, 里面的小四边形也为正方形, 边长为b-a, 则 有c2=ab×2+(b-a)2, 整理得c2=a2+b2. 故选A.
解析: 如图所示, 大正方形的面积是 (a+b)2, 另一种计算方法是4× 1 ab+c2,
2
即(a+b)2=4× 1 ab+c2, 化简得 a2+b2=c2.
2
课堂小测
2. 操作: 剪若干个大小形状完全相同的直角三角形, 三边长分别记为a, b, c. 如图(1)所示, 分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如图(2)(3)所示的 形状, 图(2)中的两个小正方形的面积S2, S3与图(3)中小正方形的面积S1有 什么关系? 你能得到a, b, c之间有什么关系?
新人教版八年级下第18章第一节 勾股定理（第一课时）
（2）想一想，怎样利用小方格计算正方形P、Q、R面积？
P的面积
Q的面积
R的面积
图
（3）正方形P、Q、R面积之间的关系是什么？
（4）直角三角形三边之间的关系用命题形式怎样表述？
教师出示图表.
学生独立观察并计算图中正方形P、Q、R的面积并完成填表.
教师参与小组活动，指导、倾听学生交流.针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形的面积.
或者用割补的方法将正方形A、B中小等腰直角三角形补成一个大正方形得到：正方形A、B的面积之和等于大正方形C的面积.
教师引导学生，由正方形的面积等于边长的平方,归纳出：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
通过讲述故事来进一步激发学生学习兴趣，使学生在不知不觉中进入学习的最佳状态.
“问题是思维的起点”，通过层层设问，引导学生发现新知.
得到教科书66页图18.1—3图1，构造了以a、b为直角边的直角三角形，令斜边为c，沿直角三角形的斜边分割从而拼得边长为c的正方形，完成拼图. 学生容易想到：未剪之前，图形面积是a +b ，在拼图过程中，构造了以a、b为直角边的直角三角形，得到斜边为c.拼接之后新的正方形边长是c，面积为c .从而得到直角三角形三边的关系：a +b ＝c ，即验证了命题1.
课题
18．1勾股定理（第一课时）
学校
嘉积中学海桂学校
上课教师
刘红军
项目
内 容
理论依据或意图
教
材
分
析
教材地位与作用
《勾股定理》是人教版八年级(下册)第十八章第一节的内容。它是在学生已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的，是直角三角形的一条非常重要的性质，也是几何中最重要的定理之一。它揭示了直角三角形三边之间的数量关系,将数与形密切联系起来,在数学的发展中起着重要的作用，它可以解决许多直角三角形的计算问题,在生产,生活中用途很大。
人教版八年级数学下册知识点总结归纳
八年级数学下册知识点第十八章 勾股定理18.1勾股定理1.勾股定理：命题1:如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。
18.2勾股定理的逆定理1.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c 满足a 2＋b 2=c 2。
，那么这个三角形是直角三角形。
就是说，用三角形全等可以证明勾股定理的逆命题是正确的，它是一个定理，我们把这个定理叫勾股定理的逆命题2.经过证明被确认正确的命题叫做定理。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
（例：勾股定理与勾股定理逆定理）3.直角三角形的性质可表示如下： ⇒CD=21AB=BD=A （1）、直角三角形的两个锐角互余。
可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°（2）、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30°可表示如下： ⇒BC=21AB ∠C=90°（3）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半∠ACB=90° DD 为AB 的中点4、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90° BD AD CD ∙=2⇒ AB AD AC ∙=2CD ⊥AB AB BD BC ∙=25、常用关系式由三角形面积公式可得：AB ∙CD=AC ∙BC6、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
7、命题、定理、证明1、命题的概念判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
18.1勾股定理(第1课时)
弦 勾
股
王
辉
2012年3月
菲尔兹奖
18.1 勾股定理（一） 勾股定理（
勾股定理！？？？ 勾股定理！？？？
探究一： 探究一：发现规律
相传2500年前，古希腊数学家毕达哥拉斯在朋友家做客时， 年前，古希腊数学家毕达哥拉斯在朋友家做客时， 相传 年前 发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边之间的 某种数值关系.你发现了吗 你发现了吗？ 某种数值关系 你发现了吗？ A a c C b B
sA+sB=sC
两直角边的平方和 等于斜边的平方
命题１： 命题１ 如果直角三角形的两直角边长分 别为a 斜边长为c 那么a 别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
论证命题
朱实 中黄实 c b a ( b- a) 2 - )
看左边的图案， 看左边的图案，这个图案是 公元 3 世纪我国汉代的赵爽在注 周髀算经》时给出的， 解《周髀算经》时给出的，人们 称它为“赵爽弦图” 称它为“赵爽弦图”．赵爽根据 此图指出： 此图指出：四个全等的直角三角 红色） 形（红色）可以如图围成一个大 正方形， 正方形，中间的部分是一个小正 黄色）． 方形 （黄色）．
赵爽弦图的证法
S大正方形 = S小正方形 + 4S直角三角形 ab c = (b − a) + 4 ⋅ 2
2 2
朱实 中黄实 c b a ( b- a) 2 - )
c2 = b2 -2ab+ a2+2ab
化简得： 化简得： c2 =a2+ b2．
类似的请同学利用探究材料中的图五和四 个全等的直角三角形按照提示拼一拼图，并列 出与面积有关的等式，然后化简你有什么发现？ 比比看谁先完成！
勾股定理
“弦图”
来 探 我 讨数们 “学一 勾王起 股国进 定 入 理 ”
几何画板
①那么是不是 只有边长为3、4、5的直角三角形 才满足这种关系？ ②这种关系对任意直角三角形都成立 吗？
B
a
A
c
C c
b
几何画板
勾股定理的定义：
小结：
1、学习了勾股定理的定义； 2、学会了用面积法证明勾股定理。
§18.1 勾股定理（一）
在《爱情公寓》里面有这样一个故事，曾小贤帮一菲搬鱼 缸进电梯，结果引出了这样一段对话。 曾小贤：一菲，你有没有发现，一个直角三角形，它的斜 边比任何一条直角边都长，所以我们只要把它斜过来，就 一定有空间。 一菲：嗯，而且呢，这条斜边和两条直角边，应该还有某 种函数关系。 曾小贤：我没有想那么多，但是长是一定的，我打算给它 取名为“贤哥猜想”。 一菲打了一下他的头：这是“勾股定理”。 曾小贤：居然让勾股那家伙抢先了。
学过中较短的直角边称为勾，较长的 称为股，斜边称为弦.左图称为“弦图”，最早是由三国 时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的.图 19.2.8是在北京召开的2002年国际数学家大会（ICM－ 2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古 代的数学成就。
18.1勾股定理(1)
时间： 课 年 题 月 日
案
第（ ）份学案
18. 1
勾股定理（第一课时）
学习目标
1.经历勾股定理的探索过程，掌握勾股定理的简单应用； 2.经历观察、猜想、归纳和验证的数学发现过程，体会形数结合、化归的思想单应用． 勾股定理的证明
一展示勾股树、介绍赵爽弦图
.如图 1，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径” ，在花圃内走出了 一条“路”.他们仅仅少走了 步路（假设 2 步为 1m） ，却踩伤了花草.
. 2.如图，在 Rt△ABC 中，∠C= 90 ，AC=
. ）. D．不能确定
3.若直角三角形的两边长分别为 3cm、4cm，则第三边长为（
4
反思升华
收获和疑问：
二 1.【探究一】 ：观察图 1， （1）你能找出图中正方形 A、B、C 面积之间的关系吗？
（2）图中正方形 A、B、C 所围成的等腰直角三角形三边之 间有什么特殊关系？
2.【探究二】 ：如图 2，每个小方格的边长均为 1， （1）计算图中正方形 A、B、C 面积．
图1
学习过程 设计
【讨论】如何求正方形 C 的面积？
（2）图中正方形 A、B、C 面积之间有何关系？
（3）图中正方形 A、B、C 所围成的直角三角形三边 之间有 什么特殊关系？
【猜想】 ： 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a、 b， 斜边长为 c， 那么 3． 【探究三】 ：如图 3，如何证明上述猜想？ 【温馨提示】 ：用两种方法表示出大正方形的面积．
．
图3
4． 【探究四】 ：如图 4，如何证明上述猜想？
图4 5. 勾 股 定 理 ： 如 果 直 角 三 角 形 的 两 条 直 角 边 长 分 别 为 a 、 b ， 斜 边 长 为 c ， 那 么 文 述： ． 字 ． 叙
人教版第十八章第18.1节《勾股定理》
让学生从中 学会总结归纳， 学 会反思提升， 学会 感悟数学。
板书设计 18.1 勾股定理 勾股定理：
c a
b
三边关系： 三边关系：a
2
+b2=c2
教学反思 1.有待改进之处：课堂教学语言应凸显抑扬顿挫，营造跌岩起伏的教学氛围。数学语言虽以简洁、 抽象而闻名，但是光有简洁、抽象的语言只会显示出数学的单调乏味，使人敬而远之。数学教师除了在 表述概念、定理、法则、性质时应力求严谨、规范外，其他情况应力求用轻松、活泼的教学语言，使学 生悦耳、爱听。这就需要数学教师具有深厚的文学功底，超强的演讲能力。 2.课堂教学充分体现学生的主体性， 给学生留下最大化的思维空间。 数学教学实则数学思维的教学， 一切教学活动都应围绕着一个中心，那就是促进学生思维能力的发展。在课堂上表现为应尽最大可能给 学生的思维“留白”，学生只有不断地思维，才能学会思维，思维才能得到发展。 3.注重数学思想方法的渗透，整个勾股定理的探索、发现、证明都着意渗透数形结合，又从一般到 特殊，从特殊回归到一般的数学思想方法。 4.重视数学史教育，激发学生的爱国情感。 5.数学问题生活化。用数学知识解决生活中的实际问题，关键在于把生活问题转化为数学问题，让 生活问题数学化，然后才能得以解决。在这个过程中，很多时候需要老师帮助学生去理解、转化，而更 多时候需要学生自己去探索、尝试，并在失败中寻找成功的途径。教学中，如果能让学生自己反思答案 与方法的合理性，那么效果会更好了。
联想到用字母 表示数字的方法， 贯 彻代数的基本应用 思想。
活动 3：
观光之旅
1、勾股弦图
2、勾股世界 3、勾股定理简介 4、千古第一定理
让学生根据 个人的兴趣和知 识结构去吸取自 己所需的知识， 渗 透对学生的人文 教育， 同时这种课 堂形式， 给了学生 一个生动、形象、 鲜活的情感体验。
18.1 勾股定理(一)
c c a b b
c
b
a
a
b
化简可得。 方法三：
1 ab 以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 2 . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上. ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, C ∴ ∠ADE = ∠BEC. D ∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, c b c a ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. a b A B E ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形， 1 2 c 它的面积等于 2 . 又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD∥BC. 1 (a + b )2 ∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 2 . 1 (a + b )2 = 2 × 1 ab + 1 c 2 2 2 . ∴ 2
2 2 2
D
。 C=90°，（用几何语言表示） 系： ； 线 ； 边： ；
B
a
c
=90°； 若满足 b2＞c2＋a2，则∠B 是 D 角。 理。 b
E a
c
b
C
1 AC= AB；⑷AC2+BC2=AB2。 2 1 （a+b）2， 2
4．提示：因为 S 梯形 ABCD = S△ABE+ S△BCE+ S△EDA，又因为 S 梯形 ACDG= S△BCE= S△EDA=
A
D 在 CB 的延长线上。 试证明你的结论。
D B C
⑶b=a2 − 1 a2 + 1 2． ；则 b= ，c= ；当 a=19 时，b=180，c=181。 2 2 c = b +1