第七章 点的合成运动资料
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第七章 点的合成运动
O
M
M1
' r
z' k' j' y'
O' i' rO ' x'
y
' rM rO' r
M1：动系上与M重合的一点
x
rM1 rM ' ' ' ' ' ' ' r xi y j z k
PAG 18
§7-2
点的速度合成定理
' ' ' ' ' ' ' r xi y j zk ; rM rO' r ' rM1 ' dr ' ' ' ' ' ' vr i y j z k x dt
PAG 19
§7-2
点的速度合成定理
点的速度合成定理:动点在某瞬时的绝对速度等于它在该 瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和
va ve vr
大小 ？
方向 ？
？
？
？
？
动点的绝对速度由牵连速度与相对速度构成的速度平 行四边形的对角线决定。
必须要知道六个量中的四个
PAG 20
§7-2 点的速度合成定理 例7-1 无风下雨天，车以速度 v 前进，雨点在车窗上的痕迹 与竖直方向成θ角。求雨点相对于地面的速度。
e
x
先画已知量，然后根据速度定理确定其它未知量的方向 PAG 27
§7-2
va ve vr
√ √ ？ √
点的速度合成定理
B
大小 ？ 方向 √ 4) 速度计算
M
M1
' r
z' k' j' y'
O' i' rO ' x'
y
' rM rO' r
M1：动系上与M重合的一点
x
rM1 rM ' ' ' ' ' ' ' r xi y j z k
PAG 18
§7-2
点的速度合成定理
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PAG 19
§7-2
点的速度合成定理
点的速度合成定理:动点在某瞬时的绝对速度等于它在该 瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和
va ve vr
大小 ？
方向 ？
？
？
？
？
动点的绝对速度由牵连速度与相对速度构成的速度平 行四边形的对角线决定。
必须要知道六个量中的四个
PAG 20
§7-2 点的速度合成定理 例7-1 无风下雨天，车以速度 v 前进，雨点在车窗上的痕迹 与竖直方向成θ角。求雨点相对于地面的速度。
e
x
先画已知量，然后根据速度定理确定其它未知量的方向 PAG 27
§7-2
va ve vr
√ √ ？ √
点的速度合成定理
B
大小 ？ 方向 √ 4) 速度计算
理论力学教程(第七章)概论
y
绝对运动方程
y1y1
YY
X1 X1
M M
x = x （t） y = y （t）
相对运动方程：
YY1 1
x1x1
x1= x1 （t） y1= y1（t）
yoy1o1 oo
o1o1
xox1o1
XX
xx
牵连运动方程：
x01 = x 01（t） y01 = y 01 （t） (t)
练习题 1
动 点？ 动参考系？ 绝对运动？ 相对运动？ 牵连运动？
思考题
动 点？ 动参考系？ 绝对运动？ 相对运动？ 牵连运动？
牵连运动一方面是动系的绝对运动，另一方面对动点来说 起着“牵连”作用。
●三种运动方程及其之间的关系
设动点 M 在平面中运动, OXY为定系，O1X1Y1为动系
在复合运动的研究中，参考系的选择是问题的关键。恰当的选择 参考系，能把复杂的运动分解为若干种简单运动，或由若干种简单 运动组成各种不同的复杂运动。
2．动点的选择原则：
一般选择主动件与从动件的连接点，它是对两个坐标系都 有运动的点。
3．动系的选择原则：
动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的，或 者能直接看出的。
下面举例说明以上各概念：
静系
动系
动点：AB杆上A点
动系：固结于凸轮Ｏ'上
静系：固结在地面上
动点
1. 若动点A在AB杆上时 动点：A(在AB杆上)
动系：偏心轮 静系：地面 绝对运动：直线 相对运动：圆周（曲线） 牵连运动：定轴转动
2. 若动点A在偏心轮上时 A（在偏心轮上） AB杆
地面 圆周（红色虚线） 曲线（未知） 平动
ar
第7章点合成运动
O x
绝对运动：动点相对于定系的运动
➢三种运动 相对运动：动点相对于动系的运动
牵连运动：动系相对于定系的运动
绝对运动
绝对轨迹
绝对速度 va 绝对加速度 aa
相对运动
相对轨迹
相对速度 vr 相对加速度 ar
牵连轨迹
牵连运动 牵连速度 ve 牵连加速度 ae
牵连点——在动参考系上与动点相重合的那一点。 牵连点的速度和加速度——动点的牵连速度和牵连加速度。
rM rO r
r xi yj zk
rM rM
M 为牵连点
vr
dr dt
xi
yj
zk
ve
drM dt
rO xi yj zk
va
drM dt
rO xi yj zk xi yj zk
则 va ve vr
点的速度合成定理——动点在某瞬时的绝对速度等于它在 该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。
vA
drA dt
e
rA
rA rO k
drO dt
dk dt
e
(rO
k )
因为
vO
drO dt
e rO
得
dk dt
e k ， 同理可得i、j，
即
i e i , j e j, k e k
绝对速度：
va
drM dt
牵连速度： ve ω r
相对速度：
vr
dr dt
xi
科氏加速度 aC 2ωe vr
大小 aC 2e vr sin q
方向垂直与 ωe 和 vr ，
指向按右手法则确定。
当牵连运动为平移时： ωe 0
则 aC 0，
绝对运动：动点相对于定系的运动
➢三种运动 相对运动：动点相对于动系的运动
牵连运动：动系相对于定系的运动
绝对运动
绝对轨迹
绝对速度 va 绝对加速度 aa
相对运动
相对轨迹
相对速度 vr 相对加速度 ar
牵连轨迹
牵连运动 牵连速度 ve 牵连加速度 ae
牵连点——在动参考系上与动点相重合的那一点。 牵连点的速度和加速度——动点的牵连速度和牵连加速度。
rM rO r
r xi yj zk
rM rM
M 为牵连点
vr
dr dt
xi
yj
zk
ve
drM dt
rO xi yj zk
va
drM dt
rO xi yj zk xi yj zk
则 va ve vr
点的速度合成定理——动点在某瞬时的绝对速度等于它在 该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。
vA
drA dt
e
rA
rA rO k
drO dt
dk dt
e
(rO
k )
因为
vO
drO dt
e rO
得
dk dt
e k ， 同理可得i、j，
即
i e i , j e j, k e k
绝对速度：
va
drM dt
牵连速度： ve ω r
相对速度：
vr
dr dt
xi
科氏加速度 aC 2ωe vr
大小 aC 2e vr sin q
方向垂直与 ωe 和 vr ，
指向按右手法则确定。
当牵连运动为平移时： ωe 0
则 aC 0，
07点的合成运动--速度合成
牵连运动：转动
B
ve
va
O
C
vr
A
⑶ 由速度合成定理，作速度平行四边形
v v v a e r
？ √ √ √
大小 方向
？ √
v 2 l e ve va 2 3 l tan 30
30
点的速度合成分析计算步骤：
1. 选择一个动点, 二个坐标系 2. 分析三种运动（绝对运动，相对运 动， 牵连运动），速度分析。 3. 速度合成定理: 建立动点速度的关系
解： 杆AB作平移，各点速度相同，求出其上 A的速度即可。 1) 选取杆AB的端点A为动点。 动参考系随凸轮一起绕O轴转动。 2) 点A的绝对运动：是直线运动 相对运动： 凸轮中心C为圆心的圆周运动 牵连运动：是凸轮的定轴转动
B
A
C
q
O
e
x
y
绝对速度：方向沿AB 相对速度：方向沿凸轮圆周的切线， 牵连速度：凸轮上与杆端 A 点重合点的速度。 3) 速度合成定理:
动点： 曲柄端点A
动系： 在摇杆O1B上 绝对运动：以点O为圆心的圆周运动 相对运动：沿O1B 的直线运动 牵连运动：摇杆绕O1 轴的转动 绝对速度：竖直方向
va
B
x'
O A
y'
O1
1
相对速度：方向线已知
牵连速度：方向线己知
解：⑴ 取曲柄O1A上的A点为动点，动系在O1B上 ⑵ 研究三种运动
绝对运动：圆周运动 相对运动：直线运动
O
x' B va ve vr
A
牵连运动：转动
⑶ 由速度合成定理 v ， v v a e r
B
ve
va
O
C
vr
A
⑶ 由速度合成定理，作速度平行四边形
v v v a e r
？ √ √ √
大小 方向
？ √
v 2 l e ve va 2 3 l tan 30
30
点的速度合成分析计算步骤：
1. 选择一个动点, 二个坐标系 2. 分析三种运动（绝对运动，相对运 动， 牵连运动），速度分析。 3. 速度合成定理: 建立动点速度的关系
解： 杆AB作平移，各点速度相同，求出其上 A的速度即可。 1) 选取杆AB的端点A为动点。 动参考系随凸轮一起绕O轴转动。 2) 点A的绝对运动：是直线运动 相对运动： 凸轮中心C为圆心的圆周运动 牵连运动：是凸轮的定轴转动
B
A
C
q
O
e
x
y
绝对速度：方向沿AB 相对速度：方向沿凸轮圆周的切线， 牵连速度：凸轮上与杆端 A 点重合点的速度。 3) 速度合成定理:
动点： 曲柄端点A
动系： 在摇杆O1B上 绝对运动：以点O为圆心的圆周运动 相对运动：沿O1B 的直线运动 牵连运动：摇杆绕O1 轴的转动 绝对速度：竖直方向
va
B
x'
O A
y'
O1
1
相对速度：方向线已知
牵连速度：方向线己知
解：⑴ 取曲柄O1A上的A点为动点，动系在O1B上 ⑵ 研究三种运动
绝对运动：圆周运动 相对运动：直线运动
O
x' B va ve vr
A
牵连运动：转动
⑶ 由速度合成定理 v ， v v a e r
第7章 点的合成运动
该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和
26
例7-7
已知：如图所示平面机构中，铰接在曲柄端A的滑块，可在
丁字形杆的铅直槽DE内滑动。设曲柄以角速度ω作匀速转
动，OA r 。
求：丁字形杆的加速度 aDE 。
D
A Oω φ
B
C
E
27
解： 1、动点：滑块A
动系：DE杆
绝对运动：圆周运动（O点） 相对运动：直线运动（ED）
2
相对运动轨迹
x2
y
b
2
b2
2 4
13
§7-2 点的速度合成定理
例：小球在金属丝上的运动
z
O x
z
绝对运动
y
x
M2
M'
相对运动
M y
M1
牵连点的运动
14
速度之间的关系
z y
x M2
M
M’
r
r’
r r 'r1
r1 M1
lim
r
lim
M
6
实例：汽车轮子上P点的运动
旋轮线运动 OM
复杂运动
直线运动 OM1 ＋ 圆周运动 M1 M
简单运动
＋ 简单运动
（绝对运动）
（牵连运动） ＋ （相对运动）
7
三种运动的速度和加速度
绝对运动中,动点相对静系的速度与加速度称为
v a 绝对速度 a与绝对加速度 a absolute
相对运动中,动点相对动系的速度和加速度称为
第七章 点的合成 运动
一种现象 无风的下雨天
站在屋檐下看雨，雨滴如何下落？ 坐在行驶的车箱内看雨，雨滴如何下落？
点的合成运动
绝对运动、 绝对运动、相对运动 与牵连运动
大梁不动时 定参考系？ 定参考系？ 动参考系？ 动参考系？ 绝对运动？ 绝对运动？ 相对运动？ 相对运动？ 牵连运动？ 牵连运动？
绝对运动、 绝对运动、相对运动 与牵连运动
定参考系？ 定参考系？ 动参考系？ 动参考系？ 绝对运动？ 绝对运动？ 相对运动？ 相对运动？ 牵连运动？ 牵连运动？
2 a 2
va ve
vr
M
O R
ar ae aa
ω
ae
ar
aa ≠ ae + ar
由速度的定义，知： 由速度的定义，
z
其中： 其中：
drA vA = =ω × rA e dt
rA = k′ + rO′
drO′ vO′ = =ω × rO′ e dt
ωe
O
A
rA
rO′
y
drO′ dk′ drA + = dt dt dt
ve = vr = va = 0.4m /s
vBC = ve = 0.4m /s
aa = ae + a + a
τ r
2
n r
2
ω
O
A
R O1 C
ϕ
B
aa = OA⋅ω =1.6m/ s
arn = vr2 / R =1.6m/ s2
将上式向 Ay 轴投影
y
a
ae
n r
A
τ r n r
aa cos 60 = ae cos 30 − a
例 题 11
已知：OA＝r；ω=const 已知：OA＝ 杆的速度和加速度 求：CD 杆的速度和加速度
D
解：取CD杆C点为动点 CD杆 三角板ABC为动系 三角板ABC为动系
第7章_点的合成运动
y ) i k ae ar 2( x j z
§7-3 点的加速度合成定理
i'
x'
O' y
x
7.3.2 点的加速度合成公式的推导
y ) 2[ x i (ωe i ) y (ωe j) z k (ωe k )] 2( x j z i + y j z k ) 2ωe ( x 2ωe v vrr
§7-3 点的加速度合成定理
7.3.3 关于科氏加速度
定义 :
aC 2ωe vr aC 2ωe vr sin
ωe vr ωe // vr
—相对速度矢的 矢积的两倍。1832年科利奥里(法)研究水轮机发现。 大小:
方向: 其中为e与vr两矢量间的最小夹角。 矢aC垂直于e和vr，指向按右手法则确定。
e
aC 2ωe vr vr aC 0 工程中常见的平面机构中 e和vr是垂 。 直的，此时aC = 2evr；且vr按e转向转90
就是aC的方向。
§7-3 点的加速度合成定理
aC
习题课
1、习题分类 ① 机构传动问题中，求某点的速度、加速度或者 求某刚体的转动角速度、角加速度。 ② 单一动点运动的分解或合成问题。
必有。
3、某瞬时，牵连点与动系有无相对运动?
答 : 无。
§7-1 相对运动 ·牵连运动 ·绝对运动
7.1.1 三种运动的概念
练习一
动点：滑块A
A
动系：滑槽
ve
va
vr
A
aa
ar
A
ae n ar
§7-1 相对运动 ·牵连运动 ·绝对运动
§7-3 点的加速度合成定理
i'
x'
O' y
x
7.3.2 点的加速度合成公式的推导
y ) 2[ x i (ωe i ) y (ωe j) z k (ωe k )] 2( x j z i + y j z k ) 2ωe ( x 2ωe v vrr
§7-3 点的加速度合成定理
7.3.3 关于科氏加速度
定义 :
aC 2ωe vr aC 2ωe vr sin
ωe vr ωe // vr
—相对速度矢的 矢积的两倍。1832年科利奥里(法)研究水轮机发现。 大小:
方向: 其中为e与vr两矢量间的最小夹角。 矢aC垂直于e和vr，指向按右手法则确定。
e
aC 2ωe vr vr aC 0 工程中常见的平面机构中 e和vr是垂 。 直的，此时aC = 2evr；且vr按e转向转90
就是aC的方向。
§7-3 点的加速度合成定理
aC
习题课
1、习题分类 ① 机构传动问题中，求某点的速度、加速度或者 求某刚体的转动角速度、角加速度。 ② 单一动点运动的分解或合成问题。
必有。
3、某瞬时，牵连点与动系有无相对运动?
答 : 无。
§7-1 相对运动 ·牵连运动 ·绝对运动
7.1.1 三种运动的概念
练习一
动点：滑块A
A
动系：滑槽
ve
va
vr
A
aa
ar
A
ae n ar
§7-1 相对运动 ·牵连运动 ·绝对运动
第七章 点的合成运动ppt课件
a d v a d 2 r d 2 x i d 2 y j d 2 zk a dtd 2 td 2 t d 2 t d 2 t
7.1
运相 动对
运 动
牵 连 运 动
绝 对
五、相对运动 的速度与加速度
动点在动系的运动中的轨
迹、速度和加速度称为相对轨
z z M
迹、相对速度和相对加速度。
用 vr和 ar 分别表示相对速度和 x
定 注意：（1）速度关系式是平面矢量方程；
理
（2）绝对速度是对角线； （3）牵连速度为任何形式的运动时，
速度关系式都成立。
7.2
在应用速度合成定理来解决具体问题时，应
点
的 注意：（1）动点及动坐标系的选取；（2）对于
速 三种运动及三种速度的分析；（3）根据速度合
度 成定理并结合个速度的已知条件先作出速度矢量 合
lim lim lim lim 理
t0
MM t
va
t0
MM
M tM 2 vr
7.2 于是可得：
B
M2
M B
点 的
vavevr
vr
va ve
M
A
M1
A
速
t t t
即：动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该
度
瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。这就 合
成 是点的速度合成定理。
在某一瞬时，动坐标系上和动点相重合的点（
运相 动对
运
瞬时牵连点）相对静坐标系的速度和加速度称为该
瞬时的牵连速度和牵连加速度。用
ve和
ae分别表示
动 牵连速度和牵连加速度。
牵 连 运
A
t
t t u
第七章 点的合成运动
点的速度合成定理
已知:
, OA r , OO1 l , OA水平。求 : 1 ?。
OA杆：定轴转动（绕O） O1B杆：定轴转动（绕O1）
解: 1．判断各刚体运动
2. 运动分析
动点：滑块A 动系：摇杆AB 绝对运动：圆周运动（绕O点） 相对运动：直线运动（沿O1B） 牵连运动：定轴转动（绕O1轴）
由坐标变换关系有
x xO x cos y sin y yO x sin y cos
相对运动 牵连运动 绝对运动
例7-1 点M相对于动系 Oxy 沿半径为r的圆周 以速度v作匀速圆周运动(圆心为O1 ） ，动系 Oxy 相 对于定系 Oxy 以匀角速度ω绕点O作定轴转动，如 图所示。初始时 Oxy与 Oxy 重合，点M与O重合。
3、作图时，绝对速度要成为平行四边形的对角线。
点的速度合成定理
例7-3 刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的 一端A与滑块用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω 绕固定轴O转动时，滑块在摇杆O1B上滑动，并带 动杆O1B绕定轴O1摆动。设曲柄长为OA=r，两轴间 距离OO1=l。 求：曲柄在水平 位置时摇杆的角 速度 1 。
第七章
点的合成运动
第七章
点的合成运动
运动是绝对的，运动的描述是相对的。
物体相对于不同的参考系的运动是不相 同的。 点的合成运动就是研究物体相对于不同 参考系运动之间的关系。
§7-1 相对运动 牵连运动 绝对运动
点的合成运动实例一
相对运动 牵连运动 绝对运动
相对某一参考体的运动可由相对于其他参考体的 几个运动的组合而成－合成运动。
相对运动 牵连运动 绝对运动
两个坐标系
第七章 点的合成运动
O i j aa v x y z k
O a O v
aO ae
aa ae ar
—— 牵连运动为平动时点的加速度合成定 理
例1 已知小车的运动x=50t（cm,s)，单摆的运动θ =πsin πt/3√3，l=60cm，求t=1/3s时的M的a。
设Oxyz——静参考系， O´x´y´z´——平动参考系， M——动点。
i y j z k vr x
i j k ar x y z
§3-3 点的加速度合成定理
一、牵连运动为平动时，点的加速度合成
i y j z k vr x
a e r
根据速度平行四边形，求出未知量。
恰当地选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。
[例４] 已知: 凸轮半径r , 图示时 v , 30; 杆OA靠在凸轮上。
求：杆OA的角速度。 分析：相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，
因此两物体的接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析
§3-1 合成运动的基本概念
例1. 直杆 OA 在竖直面内绕 O 点转动，套筒 M 沿直杆滑动，试分析套筒的合成运动。
O
M
M A
§3-1 合成运动的基本概念
分析 ：
套筒M
y
地 球 动点： 直 杆 静系：
O
x
动系：
§3-1 合成运动的基本概念
相对运动： 直线运动
§3-1 合成运动的基本概念
牵连运动：定轴转动
相对运动——动点相对于动系的运动。
动点在相对运动中的轨迹、位移、速度、加速度，称为 动点的相对轨迹、相对位移、相对速度、相对加速度。
牵连运动——动系相对于静系的运动。
O a O v
aO ae
aa ae ar
—— 牵连运动为平动时点的加速度合成定 理
例1 已知小车的运动x=50t（cm,s)，单摆的运动θ =πsin πt/3√3，l=60cm，求t=1/3s时的M的a。
设Oxyz——静参考系， O´x´y´z´——平动参考系， M——动点。
i y j z k vr x
i j k ar x y z
§3-3 点的加速度合成定理
一、牵连运动为平动时，点的加速度合成
i y j z k vr x
a e r
根据速度平行四边形，求出未知量。
恰当地选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。
[例４] 已知: 凸轮半径r , 图示时 v , 30; 杆OA靠在凸轮上。
求：杆OA的角速度。 分析：相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，
因此两物体的接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析
§3-1 合成运动的基本概念
例1. 直杆 OA 在竖直面内绕 O 点转动，套筒 M 沿直杆滑动，试分析套筒的合成运动。
O
M
M A
§3-1 合成运动的基本概念
分析 ：
套筒M
y
地 球 动点： 直 杆 静系：
O
x
动系：
§3-1 合成运动的基本概念
相对运动： 直线运动
§3-1 合成运动的基本概念
牵连运动：定轴转动
相对运动——动点相对于动系的运动。
动点在相对运动中的轨迹、位移、速度、加速度，称为 动点的相对轨迹、相对位移、相对速度、相对加速度。
牵连运动——动系相对于静系的运动。
理论力学(第7版)第七章 点的合成运动
rM rO r ro' xi yj z k
ar ~ d 2r dt 2
xi j k y z
ae
d 2 rM dt 2
xi yj zk rO
?
√ √ √ √ 将加速度矢量式投影到法线上，得
a a sin a e cos
大小 方向
aa a e a r a r ? a0 R? √
?
n
n
ar
n
aa (ae cos ar n ) / sin
整理得
a AB
2 3 8 v0 aa (a0 ) 3 3 R
称为动参考系，简称动系。例如在行驶的 汽车。以o’x’y’z’坐标系表示。
[注]： 1、参考系须指明固结于哪个参考体上，选择参 考体是选择参考系的关键。 2、动系与参考体有区别：参考体是有限的，而 参考坐标系是无限大的，故动系无限大。
3
7-1 相对运动 牵连运动 绝对运动
二、三种运动
１．绝对运动：动点对定系的运动 ２．相对运动：动点对动系的运动
2 (aa aen )sin 30 3O r (l r ) aet cos 30 3l
BD
2 aet 3O r (l r ) BD 3l 2
28
7-4 牵连运动是定轴时点的加速度合成定理 科氏加速度
1、牵连运动为转动情况：
定理推导:
rM rM
r xi yj z k
3、 v a v e v r 大小 r ? ?
ve r 2 1 2 O1 A l r 2
方向 OA O1B //O1B ve va sin r sin
ar ~ d 2r dt 2
xi j k y z
ae
d 2 rM dt 2
xi yj zk rO
?
√ √ √ √ 将加速度矢量式投影到法线上，得
a a sin a e cos
大小 方向
aa a e a r a r ? a0 R? √
?
n
n
ar
n
aa (ae cos ar n ) / sin
整理得
a AB
2 3 8 v0 aa (a0 ) 3 3 R
称为动参考系，简称动系。例如在行驶的 汽车。以o’x’y’z’坐标系表示。
[注]： 1、参考系须指明固结于哪个参考体上，选择参 考体是选择参考系的关键。 2、动系与参考体有区别：参考体是有限的，而 参考坐标系是无限大的，故动系无限大。
3
7-1 相对运动 牵连运动 绝对运动
二、三种运动
１．绝对运动：动点对定系的运动 ２．相对运动：动点对动系的运动
2 (aa aen )sin 30 3O r (l r ) aet cos 30 3l
BD
2 aet 3O r (l r ) BD 3l 2
28
7-4 牵连运动是定轴时点的加速度合成定理 科氏加速度
1、牵连运动为转动情况：
定理推导:
rM rM
r xi yj z k
3、 v a v e v r 大小 r ? ?
ve r 2 1 2 O1 A l r 2
方向 OA O1B //O1B ve va sin r sin
07点的合成运动--速度合成
所以va ve vr
三、点的速度合成定理：
动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢
量和。
va
ve
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱr
大小 ？ 方向 ？
？
？
？
？
只要知道六个量中的四个 就能求出其余变量
求牵连速度
例7-3 急回机构的曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转
动, 滑块在摇杆O1B上滑动并带动摇杆绕固定轴 O1摆 动。OA=r, OO1=l, 求当曲柄在水平位置时摇杆的角速 度ω1 。
牵 连 点 相 对 于 定 系 的 矢 径 ： r r1r r1= r r'r rO'x'i'y'j'z'k'r rO' 牵 di连 'x速 'd 度 j'vy e' (d 认 k'为 z'牵 +连 dr rO 点 ' 在 动 系 中 的 坐 标 不 变 ， 即 x',y',z' 不 变 ) dt dt dt dt
v r 1 2 v c o s 3 0 o 1 7 .3 2 ( m /s )
(2) 求A相对于B的速度，以A为动点，动系固连于B艇。
ve2O A50v5m/s 北
va2 10m/s
v r2v e2 2 v r2 2 1 1 .2 m /s
R
B
tanve2 5 0.5
ve2 Φ=30°
va2 10
相对速度
vr (ar )
动点相对于动系的运动速度
牵连速度
ve (ae )
动系上与动点重合的点
某瞬时, 牵连点相对于定系的速度
三、点的速度合成定理：
动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢
量和。
va
ve
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱr
大小 ？ 方向 ？
？
？
？
？
只要知道六个量中的四个 就能求出其余变量
求牵连速度
例7-3 急回机构的曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转
动, 滑块在摇杆O1B上滑动并带动摇杆绕固定轴 O1摆 动。OA=r, OO1=l, 求当曲柄在水平位置时摇杆的角速 度ω1 。
牵 连 点 相 对 于 定 系 的 矢 径 ： r r1r r1= r r'r rO'x'i'y'j'z'k'r rO' 牵 di连 'x速 'd 度 j'vy e' (d 认 k'为 z'牵 +连 dr rO 点 ' 在 动 系 中 的 坐 标 不 变 ， 即 x',y',z' 不 变 ) dt dt dt dt
v r 1 2 v c o s 3 0 o 1 7 .3 2 ( m /s )
(2) 求A相对于B的速度，以A为动点，动系固连于B艇。
ve2O A50v5m/s 北
va2 10m/s
v r2v e2 2 v r2 2 1 1 .2 m /s
R
B
tanve2 5 0.5
ve2 Φ=30°
va2 10
相对速度
vr (ar )
动点相对于动系的运动速度
牵连速度
ve (ae )
动系上与动点重合的点
某瞬时, 牵连点相对于定系的速度
第7章点的速度合成
如果没有相对运动，物体的牵连运动就是它的绝对运动。
由此可见，物体的绝对运动可以看成是牵连运动和相 对运动的合成结果。所以绝对运动也称为复合运动或合成 运动。
绝对运动 = 相对运动 + 牵连运动
Part A 点的合成运动的概念 3. 另一个例子
4. 牵连点
（1）、定 义
动参考系给动点直接影响的是该动系上与动点相重合的 一点，这点称为瞬时重合点或动点的牵连点。
某一瞬时，在动参考系上与动点重合的点称为 牵连点
ve ae
Part A 点的合成运动的概念 动点和动参考系的选择
如何选择合理的动点和动参考系？
A. 动点应具有较为简单的相对运动轨迹 B. 动点不应和动参考系相固连 C.主动件和被动件的持续接触点一般被选为动点。
第八章 点的合成运动
PART B 合成运动的速度合成
[解]
y
ve
va
45
va ve vr
x 数值： √ 方向： √
?? √√
vr
vax vex vrx
A
va D
ve
vr
A
b
w
ju
O
B l
va sin 45 0 vr 其中：va u
vr
2u 2
vay vey vry
vacos45 ve 0
ve
2u 2
w ve / OA [( 2 / 2)u]/( 2l) u /(2l)
w
l sin 30
wl
2
Part B 合成运动的速度合成
解合成运动速度问题的基本步骤
1 选择合理的动点和动参考系；
如何选择合理的动点和动参考系？ A. 动点应具有较为简单的相对运动轨迹 B. 动点不应和动参考系相固连 C.主动件和被动件的持续接触点一般被选为动点。
由此可见，物体的绝对运动可以看成是牵连运动和相 对运动的合成结果。所以绝对运动也称为复合运动或合成 运动。
绝对运动 = 相对运动 + 牵连运动
Part A 点的合成运动的概念 3. 另一个例子
4. 牵连点
（1）、定 义
动参考系给动点直接影响的是该动系上与动点相重合的 一点，这点称为瞬时重合点或动点的牵连点。
某一瞬时，在动参考系上与动点重合的点称为 牵连点
ve ae
Part A 点的合成运动的概念 动点和动参考系的选择
如何选择合理的动点和动参考系？
A. 动点应具有较为简单的相对运动轨迹 B. 动点不应和动参考系相固连 C.主动件和被动件的持续接触点一般被选为动点。
第八章 点的合成运动
PART B 合成运动的速度合成
[解]
y
ve
va
45
va ve vr
x 数值： √ 方向： √
?? √√
vr
vax vex vrx
A
va D
ve
vr
A
b
w
ju
O
B l
va sin 45 0 vr 其中：va u
vr
2u 2
vay vey vry
vacos45 ve 0
ve
2u 2
w ve / OA [( 2 / 2)u]/( 2l) u /(2l)
w
l sin 30
wl
2
Part B 合成运动的速度合成
解合成运动速度问题的基本步骤
1 选择合理的动点和动参考系；
如何选择合理的动点和动参考系？ A. 动点应具有较为简单的相对运动轨迹 B. 动点不应和动参考系相固连 C.主动件和被动件的持续接触点一般被选为动点。
7点的合成运动
解题步骤
1、选取动点、动系和定系。
所选的参考系应能将动点的运动分解成相对运动和牵连运动。 动点、动系须指明，动系可不画出，定系可不用指明也不必画出。 2、分析三种运动和三种速度。 明确动点的绝对运动和相对运动、动系的牵连运动。 3、运用速度合成定理，作出速度平行四边形。 确保绝对运动速度为平行四边形的对角线。 4、运用速度平行四边形中的几何关系求解未知数。
⑴ 选取动点、动系和定系 注意:①动点和动坐标系不能在同一刚体上。 ②动点对动系的相对轨迹要简单、清晰。 ③通常选择固定接触点为动点； ⑵分析三种运动、三种速度和三种加速度 分析相对运动时.设想观察者站在动坐标系上,所观察到 的运动即为点的相对运动 分析牵连运动时:把动点固结在动坐标系上,分析此瞬 时该点的速度. ⑶根据点的速度、加速度合成定律求解未知量.
ห้องสมุดไป่ตู้
可得：
ar aa
an r cos
vr2 an r R
§ 7.3 点的加速度合成定理
二、牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定理
由于动坐标系为转动，牵连运动和相对运动的相互影响 而产生了一个附加的加速度，称为科里奥利加速度，简称科 氏加速度，用 ac表示。于是动点的加速度为：
aa ae ar ac
牵连运动为转动时的加速度合成定理： 当牵连运动为转动时， 动点的绝对加速度等于其牵连加速度、相对加速度与科氏加 速度的矢量和。
其中
ac 2e vr
大小：ac
2evr sin
方向：由右手法则确定。
加速度合成定理的应用举例
例1 刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端A与滑块用
Ve Va
根据：
Va Ve Vr
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y'
O
0
q
a0
A
B
O'
加速度合成定理
例题
解： 1. 选择动点，动系。 动点－ 滑块A 动系－ 固连于导杆BC
2. 运动分析。
绝对运动－
x'
以O为圆心的圆周运动
D 相对运动－
C
沿导杆滑槽的铅垂直线运动
牵连运动－ 导杆BC 沿水平直线的平动
加速度合成定理
例题
O
0
q
a0
B
y'
3. 速度分析。
vr
绝对速度va：va= l0，方向与OA垂直
第7章 点的合成运动
§7-2 速度合成定理
§7-2 速度合成定理
速度合成定理将建立动点的绝对速度，相对速度和 牵连速度之间的关系。
§7-2 速度合成定理
证明
z
O x
z’
绝对运动轨迹
M,
y’
相对运动轨迹
x’
r
r,
M
yt
M1,
r1 动系上与动点重合
t+t
的点的运动轨迹
§7-2 速度合成定理
速度合成
绝对矢径 r (t)
相对矢径 r , (t)
动系原点在 定系中位置矢量 r O , (t)
§7-1 三种运动之间的关系
z
z, P y,
r (t) r ,(t)
O,
O
r O , (t) x,
y
x
r (t)＝ r O ,(t)＋ r ,(t)
§7-1 三种运动之间的关系
以平面问题为例(p174)
y
r xi yj
§7-2 速度合成定理
例题
R
§7-2 速度合成定理 例 题
解：动点：直杆上A点。 动系：圆盘
绝对运动－ 相对运动－
牵连运动－ 定轴转动
§7-2 速度合成定理 例 题
已知：OC＝e , R 3e ,
va vr ve
大小： ？ ？
方向：
va
ve
tan 30 0
23 3
e
v AB
点对于定系的加速度，
用ae 表示。
当牵连运动为平移时，
有
aa ae ar
当牵连运动为平移时，动点在某瞬时的 绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与 相对加速度的矢量和。
加速度合成定理
例题
O
0
q
a0
A
D
B
C
已知：OA = l，
0， a0，q
求：图示瞬时送料槽 D的速度和加速度。
加速度合成定理
例题
23 3
e ()
例 圆盘半径R=50mm，以匀角速度ω1绕水平 轴CD转动。同时框架和CD轴一起以匀角速度ω2 绕通过圆盘中心O的铅直轴AB转动，如图所示。 如ω1=5rad/s, ω2=3rad/s。
求：圆盘上水平边缘点M的 （1）绝对速度 （2）绝对加速度。
例题 P180
§7-2 速度合成定理
z, y,
x,
M，M1
M,
r
r,
r1 M1,
lim r lim r lim r1 t0 t t0 t t0 t
r = r ,+ r1
va vr ve
§7-2 速度合成定理
va vr ve
§7-2 速度合成定理
va vr ve
绝对速度
相对速度
牵连速度
牵连速度 —— 某瞬时，动系上与动点重合 之点的速度，称为牵连速度。
例题
3. 速度分析
绝对速度：va＝OA ·＝r ，
方向垂直于OA
牵连速度： ve为所要求的未知量，
方向垂直于O1B
相对速度： 大小未知，
方向沿摇杆O1B
应用速度合成定理
va ve vr
§7-2 速度合成定理
例题
va ve vr
大小： 方向：
？
？
ve
va sin
r
va r ，
sin
动点相对定参考系的运动，称为绝对运动。 动点相对动参考系的运动，称为相对运动。 动参考系相对定参考系的运动，称为牵连 运动。
第7章 点的合成运动
§7-1 三种运动之间的关系
§7-1 三种运动之间的关系
z
z, P
y,
r (t)
r ,(t)
O,
O
r O , (t) x,
y
x
定系 Oxyz 动系 O’ x , y , z ,
rO xOi yO j
y
y, x, M y’ x,
yO’
O, φ
O
xO’ x
x
r
xi
yj
x(cosφ
i
sin
φ
j)
y(
sin
φi
cosφ
j)
(xcosφ ysin φ )i (xsin φ ycosφ ) j
r (t)＝ r O ,(t)＋ r ,(t)
x xO x cosφ ysin φ y yO xsin φ y cosφ
§7-2 速度合成定理 动点动系的选取原则
● 动点动系不能同时固连在同一个刚体上。 ● 动点相对于动系的相对运动轨迹要明显。
§7-2 速度合成定理
例 题 曲柄摆杆机构
刨床的急回机构 (p178)
已知：OA= r , , OO1=l
图示瞬时OAOO1 求：此瞬时摆杆O1B的
角速度1
§7-2 速度合成定理
运动学
第7章 点的合成运动
§7-0 绝对运动、相对运动与牵连运动
定参考系：固定在地球上的坐标系Oxyz 。 动参考系：固定在其他相对于地球运动的
参考体上的坐标系 Oxyz 。
动 点： 研究对象。
§7-0 绝对运动、相对运动与牵连运动
三种运连运动 三种运动的定义
va 牵连速度ve：
q
A
ve
大小未知，方向水平向右 相对速度vr：
x'
D
O'
C
大小未知，方向铅垂向上
va ve vr
动点动系的选取原则
● 动点动系不能同时固连 在同一个刚体上。
● 动点相对于动系的相对 运动轨迹要明显。
作业
7-1 7-3 7-4 7-17
第7章 点的合成运动
§7-3 加速度合成定理
§7-3 加速度合成定理
三种加速度的定义
§7-3 加速度合成定理
三种加速度的定义
1、绝对加速度－用动点aa 相 (对ddv于ta )定a 表系示的。加速度， 2、相对加速度－用动点ar相 对(dd于vtr )动r 表系示的。加速度， 3、牵连加速度－动系中与动点相重合的那一
r, l2 r2
l
ve
r2
l2 r2 又：ve O1A 1
r2
l2 r2
其中
O1A l2 r2
所以可得
1
r2
l2 r2
§7-2 速度合成定理
例题
圆盘凸轮机构
已知：OC＝e , R 3e , 。
图示瞬时, OCCA 。 O，A，
B三点总共线。（p178)
求：此瞬时从动杆AB的 速度。
例题
§7-2 速度合成定理
例题
解：
1. 选择动点，动系与定系
y'
动点－滑块 A
动系－O1x’y'，固连于摇 杆 O1B
x'
定系－固连于机座
§7-2 速度合成定理
例题
2. 运动分析
绝对运动－ 以O为圆心的圆周运动 相对运动－
沿O1B的直线运动 牵连运动－
摇杆绕O1轴的摆动
r l
§7-2 速度合成定理