第一章轴对称图形复习教案

数学试卷

B

C

A B C D

阜宁县陈集中学八年级数学第一章复习教学案

第一课时

考点1：轴对称及轴对称图形的意义

一、知识点：

1．轴对称：2．轴对称图形：3．轴对称的性质：

4．简单的轴对称图形：

线段：有两条对称轴：线段所在直线和线段中垂线．角：有一条对称轴：该角的平分线所在的直线．

等腰(非等边）三角形：有一条对称轴，底边中垂线．等边三角形：有三条对称轴：每条边的中垂线．

等腰梯形：过两底中点的直线正n边形有n条对称轴

圆有无数条对称轴。

二、基本图形：

1．已知：点A、B分别在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使PA+PB最短。

变形1：正方形ABCD中，点E是AB边上的一点，在对角线AC上找一点P，使PA+PB最短。

变形2：已知点A（1，6）、点B（6，4），在x轴和y轴上各找一点

C、D，使四边形ACDB的周长最短。

三、经典考题剖析：

1．

（2006

无锡市

3分）在下面四个图案中，

如果不考虑图中的文字和字母，那么不是轴对称图形的是（）

4．（2006鸡西市3分）在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )

A B C D

6．（2006梅州市3分）小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（）

11．(2006十堰市3分)如图，在平面直角坐标系中，请按下列要求分别作出ABC

△变换后的图形（图中每

个小正方形的边长为1个单位）：

（1）向右平移8个单位；（2）关于x轴对称；（3）绕点O顺时针方向旋转180．

考点2：折叠问题

一、考点讲解：

常见的折叠问题有两种类型：一种是将一个图形沿着某一条直线折叠到另一个位置，这时候，这条直

线两旁的图形全等；另一种是将一个图形沿着某一条直线折叠，使两个点重合，此时，这折痕所在的直线

是这两点连线的垂直平分线。

二、基本图形：

1．将矩形ABCD沿着对角线AC对折，则三角形AFC是三角形。

变形：若矩形ABCD中，AB=6，AD=3，求三角形AFC的面积。

2．将矩形ABCD沿着EF对折，使点B与点D重合，若AB=8，AD=10，求折痕EF的长。

三、典型例题剖析：

2．（2006内江市3分）如图（1）将矩形纸片ABCD沿

AE折叠，使点B

落在直角梯形AECD的中位线FG上，若

，则AE的长为( )

A.

6．（2006汉川市3

分）将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小

洞后铺平，得到的图形是

B

l

E

C

A．B．C．D．

y

（第11题图）

数学试卷

A

7．（2006郴州市10分）如图7，矩形纸片ABCD 的边长分别为()a b a b <，．将纸片任意翻折（如图8），折痕为PQ ．（P 在BC 上），使顶点C 落在四边形APCD 内一点C '，PC '的延长线交直线AD 于M ，再将纸片的另一部分翻折，使A 落在直线PM 上一点A '，且A M '所在直线与PM 所在直线重合（如图9）折痕为MN ．

（1）猜想两折痕PQ MN ，之间的位置关系，并加以证明．

（2）若QPC ∠的角度在每次翻折的过程中保持不变，则每次翻折后，两折痕PQ MN ，间的距离有何变化？请说明理由． （3）若Q P C

∠的角度在每次翻折的过程中都为45（如图10），每次翻折后，非重叠部分的四边形MC QD '，

及四边形BPA N '的周长与a b ，有何关系，为什么？

第二课时

考点3：线段的垂直平分和角的平分线

一、知识点：

1． 线段垂直分线： （1

）定义：（2）线段垂直平分线上的点；到线段两端距离相等的点 ２．角的平分线：

（1）角平分线上的点；到角两边距离相等的点。 二、基本图形：

1.三角形

ABC 中，DE 垂直平分AC ，则三角形BCD 的周长等于

变形：三角形ABC 中，DF 、EG 分别垂直平分AB 和AC ，则三角形AFG 的周长等于

2.在DEC ∠中找一点P ，使点P 到DEC ∠两边的距离相等，并且到M 、N 两点的距离也相等。

3.在平面内找一点P ，使点P 到三条直线的距离相等。 三、典型例题剖析：

1．如图，△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，若AC=6，△ABD 的周长是13，，则△ABC 的周长是 ；若△ABC 的周长 是30，△ABD 的周长是25，则AC= 。若∠C=30°，则 ∠ADB=

2．（2006泰州市3分）如图,在10×10的正方形网格纸中,线段AB 、CD 的长均等于5．则图中到AB 和CD 所在直线的距离相等的网格点的个数有

A ．2个

B ．3个

C ． 4个

D ．5个 第三课时

考点4：等腰三角形

一、知识点：

1．等腰三角形：（1）定义：（2）性质：（3）判定： 2．等边三角形：（1）定义：（2）性质：（3）判定： 3．直角三角形：（1）定义：。（2）性质：（3）判定：

A

B

C

A D C

B a b 图7 图8 图9 图

10 第3题图

数学试卷

图7 Q C P A B 二、基本图形：

1．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角与顶角的关系。

变形：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角与顶角的关系。

2．在三角形ABC 中，AB=AC ，点P 是BC 边上的任意一点，PM ⊥AB,PN ⊥AC,垂足分别为M 、N ，BD 是AC 边上的高，则PM+PN= 。

变形1：矩形ABCD 中，PM ⊥BD ，PN ⊥AC ，若AB=3，BC=4，则PM+PN=

变形2：正方形ABCD 中，AB=2，BC=BE ，PM ⊥BD ，PN ⊥BC ，则PM+PN=

3．△ABC 中，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC ，则△BDE 是 三角形。

变形1：BD 、CD 分别平分∠ABC 和∠ACB ，MN ∥BC ，则BM+CN=

变形2：BD 、CD 分别平分∠ABC 和∠ACB 的外角，MN ∥BC ，则BM-CN=

变形3：BD 、CD 分别平分∠ABC 的外角和∠ACB 的外角，MN ∥BC ，则BM+CN=

三、典型例题剖析

1：若等腰三角形一个角为72°，则顶角为 。

若等腰三角形的一个角是另一个角的2倍少10°，则顶角为 。

若等腰三角形的两条边长分别是3、6，则周长是 。

3．（2006扬州市10分）如图, △ABC 中, D 、E 分别是AC 、AB 上的点, BD 与CE 交于点O. 给出下

列三个条件： ①∠EBO ＝∠DCO ；②∠BEO ＝∠CDO ；③BE ＝CD. ⑴ 上述三个条件中, 哪两个条件．．．．

可判定△ABC 是等腰三角形(用序号写出所有情形)； ⑵ 选择第⑴小题中的一种情形, 证明△ABC 是等腰三角形.

4．（2006常德市8分）如图7，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA PB PC ，，，以BP 为边作60PBQ ∠=，且BQ BP =，连结CQ ． （1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．（4分）

（2）若::3:4:5PA PB PC =，连结PQ ，试判断PQC △的形状，并说明理由．（4分）

7．(2006日照8分）

如图，已知，等腰Rt △OAB 中，∠AOB =90o ，等腰Rt △EOF 中，∠EOF =90o ，连结AE 、BF ．

求证：（1）AE=BF ；

（2）AE ⊥BF ．

第四课时 考点5：等腰梯形 一、考点讲解： 1．梯形： （1）定义：（2）分类： 2．等腰梯形：（1）定义：（2）性质：（3）判定： 二、基本图形：

1．等腰梯形ABCD 中，∠B=60°，则BC=AD+AB 2．等腰梯形ABCD 中，若AB=AD=CD ，则BD 平分∠ABC 三、典型例题剖析： 1．（2006新疆维吾尔自治区3分）如图，等腰梯形ABCD 下底与上底的差恰好等于腰长，DE AB ∥．则D E C ∠等于（ ）

Ａ．75° Ｂ．60° Ｃ．45° Ｄ．30°

2．（2006徐州市2分）如图2

，用四个全等的等腰梯形拼成四边形ABCD ，则∠A ＝

3．（2006深圳市７分）如图7，在梯形ABCD 中，AD ∥BC , AD DC AB ==，

B C D

A D C E

B A D

C E B 第7题 A

D C

E B D C B A 图2 B

C

图7

数学试卷

120ADC ∠=．（1）（３分）求证：DC BD ⊥

（2）（４分）若4AB =，求梯形ABCD 的面积．

4．（2006钦州市8分）已知：如图，在等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥中，点E F ，分别在AD BC ，上，且DE CF =．求证：AF BE =．

5．（2006贵州黔南10分）如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC =，P 为梯形ABCD 外一点，PA PD ，分别交线段BC 于点E F ，，且PA PD =．

（1）写出图中三对你认为全等的三角形（不再添加辅助线） （2）选择你在（1）中写出全等三角形中任意一对进行证明．

16．（2006常州市7分）已知：如图，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，?=∠=∠90DCE ACB ，D 为AB 边上一点，

求证：（1）△ACE ≌△BCD ；（2）2

2

2

DE AE AD =+

思考题

21．（2006连云港市12分）操作与探究：

（1）图①是一块直角三角形纸片。将该三角形纸片按如图方法折叠，是点A 与点C 重合，DE 为折痕。

试证明△CBE 等腰三角形；

（2）再将图①中的△CBE 沿对称轴EF 折叠(如图②)。通过折叠，原三角形恰好折成两个重合的矩形，

其中一个是内接矩形，另一个是拼合(指无缝无重叠)所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”。你能将图③中的△ABC 折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图③中画出折痕； （3）请你在图④的方格纸中画出一个斜三角形，同时满足下列条件：①折成的组合矩形为正方形；②

顶点都在格点(各小正方形的顶点)上；

（4）有一些特殊的四边形，如菱形，通过折叠也能折成组合矩形(其中的内接矩形的四个顶点分别在

原四边形的四条边上)。请你进一步探究，一个非特殊的四边形(指除平行四边形、梯形外的四边形)满足何条件是，一定能折成组合矩形？

22．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB DC ∥，45A =∠，10cm AB =，4cm CD =．等腰直角三角形PMN 的斜边10cm MN =，A 点与N 点重合，MN 和AB 在一条直线上，设等腰梯形ABCD 不动，等腰直角三角形PMN 沿AB 所在直线以1cm/s 的速度向右移动，直到点N 与点B 重合为止．

（1）等腰直角三角形PMN 在整个移动过程中与等腰梯形ABCD 重叠部分的形状由 形变化为 形；

（2）设当等腰直角三角形PMN 移动(s)x 时，等腰直角三角形PMN 与等腰梯形ABCD 重叠部分的面积为2

(cm )y ，求y 与x 之间的函数关系式；

（3）当4(s)x =时，求等腰直角三角形PMN 与等腰梯形ABCD 重叠部分的面积．

A F

C D

E

(第28题图)

A B

C

B

C

F 图①

图②

图③

图④

A （N ）

M

A

N

M

B