整式的乘法1
整式的乘法(1)——同底数幂的乘法 2021--2022学年第一学期人教版八年级数学上册课件
第32课时
整式的乘法（1）——同底数幂的乘法
同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
用式子表示为am·an=a m+n（m，n都是正整数）.
1. 计算下列各式，结果用幂的形式
表示：
3
4
________+___________
2
3
4
（1）2 ·2 =____
=
7
2
__________;
3
5
________+_______
a _
（2）a3·a5=____
8
a
=____________.
典型例题
知识点1
am·an=am+n
【例1】计算，结果用幂的形式表示：
（1）32·35=____________；
37
105
（2）103·102=____________；
（1）y2m·ym+1；
（2）（a-b）·（a-b）4；
（3）x4·x6+x5·x5；
（4）-a2·a5+2a·a3·a3.
10. 计算，结果用幂的形式表示：
（1）（x-y）5·（x-y）3·（x-y）；
（2）-a2·a5+a·a3·a3；
（3）x·x2n-3xn·xn+1.
11. 若a4·a2m-1=a11，求m的值.
A．x3+x2
B．x3·x2
C．x·x3
D．x7-x2
（ C ）
( B )
7. 计算下列各式，结果用幂的形式表示：
（1）x6·x2=____________；
整式的乘法说课稿
《整式的乘法（1）》说课稿授课老师：方泽青大家好，今天我说课的题目是北师大版初中数学七年级下册第一章第六节“整式乘法”第一课时的内容。
根据新课标的理念，对于本节课，我将以教什么，怎样教，为什么这样教为思路，从教材分析，教学目标分析，教学方法分析，教学过程分析和评价分析五个方面加以说明。
一、教材分析：1、教材的地位与作用：本节课的内容是“整式乘法”中的“单项式乘以单项式”，是在学生学习了整式加减的基础上进行的，作为铺垫，又提前安排了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等知识，然后通过实例引入了单项式与单项式的乘法，使学生通过对乘法交换律和结合律等法则的运用，探索单项式与单项式乘法的运算法则。
所以，本节课的知识既是对前面所学知识的综合应用，也为下面学习单项式乘以多项式、多项式乘以多项式和八年级学习分解因式打好基础。
鉴于这种认识，我认为，本节课不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。
2、学情分析：学生的心理特征：初中阶段的学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。
但同时，这一阶段的学生好动，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。
学生的知识技能基础：在七年级上册的学习中，学生已经学习了数的运算、字母表示数、合并同类项、去括号等内容，了解有关运算律和法则，同时在前面几节课又学习了同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方法则，具备了类比有理数运算进行整式运算的知识基础。
对于整式乘法法则的理解，不是学生学习的难点，需要注意的是学生在运用法则进行计算时易混淆对于幂的运算性质法则的应用，出现计算错误，所以应加强训练，帮助学生提高认识。
学生的活动经验基础：学生在小学及七年级上的学习中，受到了较好的运算能力训练，能够独立完成计算活动，并具有一定的将实际问题转化为数学问题，通过计算解决实际问题的能力。
1.4整式的乘法(1)(2)(3)
=2x•x−2x• y + y•x y•y
练习一、计算：
(1) (2n+6)(n–3); (2) (2x+3)(3x–1);
(3) (2a+3)(2a–3); (4) (2x+5)(2x+5).
解:(1) (x+y)(x–y)
运用多项式乘法法则，要有序地逐项 相乘，不要漏乘，并注意项的符号．
最后的计算结果要化简￣￣￣
合并同类项．
2
2.(2a b )(3a) [(2) (3)](a a) b
2 3
2
3
6a b
3 3
3.(4 10 ) (5 10 ) (4 5) (10 10 )
5 4
5 4
20 10
9
2 10 6 3 2 2 3 2 4.( x y) (4 xy ) ( x y ) (4 xy )
）
2、单项式乘法法则对于三个以上的单项
式相乘能否同样适用呢？ 适用
做一做
1 1 2 1.(2 xy ) ( xy)(3xyz ) (2 3) ( xxx)( y yy) z 3 3
2
2x y z
3 4
1 2 1 2 2 2.(2 x )( xy z )(6 yz ) [2 (6)] ( x x) ( y y) ( zz) 3 3 3 3 2
x 2 a 2 ax
3、长为2x米，宽为3a米的矩形， 面积为多少平方米？
2 x 3a 6 ax
在这里，求矩形的面积，会遇到如下的式子，这
是什么运算呢？
整式的乘法(1)教案
6整式的乘法（1）-----单项式与单项式相乘教学目标：知识与能力：使学生理解并掌握单项式的乘法法则，能够熟练地进行单项式的乘法计算。
方法与过程：经历探索单项式乘法的过程，在具体情境中了解单项式乘法的意义，理解单项式乘法法则。
情感态度与价值观：理解单项式乘法运算的算理，发展学生有条理的思考能力和语言表达能力。
教学重点：单项式与单项式相乘的法则及其应用。
教学难点：理解单项式与单项式相乘的运算法则及其探索过程。
教学方法：通过创设情境，以问题为载体给学生提供探索的空间，引导学生积极探索，教学环节的设计与展开，都以问题的解决为中心。
本节三个课时的内容环环相扣，每课时新知识的学习既是对前一节课所学知识的应用，也为后一节学习奠定基础，所以在教学时注意引导学生发现各知识点之间的联系，善于应用转化的思想，化未知未已知，形成较完整的知识结构。
教学过程：一、复习回顾：问题一：在下列代数式中，哪些是单项式？ （1）32-x ; (2)ab ; （3）542ab ； （4）y -； （5）73262+-x x ； （6）x2答案：单项式有：（1）（2）（3）（4）问题二：大家在前面学习了哪三种幂的乘法运算？请分别说出它们的法则及字母公式。
1、 同底数幂的乘法，底数不变，指数相加。
nm nma a a +=⋅（m,n 都是正整数）2、 幂的乘方，底数不变，指数相乘。
mn nmaa =)(（m,n 都是正整数）3、 积的乘方，等于各个因式乘方的积。
nnnb a ab =)(（n 是正整数） 二、讲授新课：（一） 创设问题情境，引入新课为支持北京申办2008年奥运会，一位画家设计了一幅长为6000米，名为 “奥运龙”的宣传画。
受他的启发京京用两张同样大小的纸，精心制作了两幅画。
如下图所示，第一幅画的画面大小与纸的大小相同，第二幅画的画面在纸的上，下方各留有x 81的空白。
问题一：两幅画面的长、宽各是多少？答：第一幅画面长mx 米，宽x 米；第二幅画面长mx 米，宽x 43米。
6.5.1整式的乘法1
1 xm 8
xm 1.2xm
1 xm 8
（1） 第一幅画的画面面积是多少平方米？ 第二幅呢？你是怎样做的？ （2） 若把图中的1.2x改为mx,其他不变， 则两幅画的面积又该怎样表示呢？
自学指导
• 学生认真看书自学课本第36页的内容并解决一下 问题： • 1、 3a2b ·2ab3 和 (xyz) · y2z又等于什么？你是怎 样计算的？ • 2、如何进行单项式乘单项式的运算？ • 3、在你探索单项式乘法运算法则的过程中，运用 了哪些运算律和运算法则？ • 4、认真自学课本例1，不会的请教你的小组长。 • 5分钟后，检测同学们的自学效果。
探索规律：
单项式乘法的法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系 数、相同字母的幂分别相乘，其余字母 连同它的指数不变，作为积的因式。
自学检测：
计算：
1 (1)2 xy ( xy ) 3 (2) 2a 2b3 (3a)
2
(3)7 xy 2 z (2 xyz ) 2 2 2 3 3 5 1 2 (4)( a bc ) ( c ) ( ab c) 3 4 3
整式的乘法1 （单项式与单项式相乘）
学习目标
1、理解并掌握单项式与单项式相乘的法则， 能够熟练地进行单项式的乘法计算。 2、经历单项式与单项式相乘的法则的探究过 程，培养学生的归纳、归纳、猜测、验证 等能力． 3、在单项式与单项式相乘的计算过程中培养 学生认真细心的作风．
温故育新：
运用幂的运算性质计算下列各题：
巩固练习
完成课本37页：随堂练习
完成课本37页：习题1、2题
延伸拓展：
一家住房的结构如图 示，房子的主人打算把 卧室以外的部分全都铺 上地砖，至少需要多少 平方米的地砖？如果某 种地砖的价格是a元/平 方米，那么购买所需地 砖至少需要多少元？
整式的乘法1
2
3a b 2ab
2
3
3
6a
6a b
2 1
b
1 3
乘法的交换 律和结合律 同底数幂的乘法
3 4
你能继续完成
单项式乘以单项式怎么运算？
系数：
相同字母 的幂：
其他的 项：
例题讲解
1 12 xy xy 3 1 2 解原式 2 x x y y
解原式 7 xy
z2 x y z
7 4 x x y y
2 2
2
z z
2
28x y z
3
4 3
练一练
反思学习
拓展提升
（1）一家住房的结构如图所示，这家房子的主人打算把卧室以 外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地 砖的价格是a元/m² ，那么购买地砖至少需多少元？ （2）已知房屋的高度是hm,现需要在客厅和卧室的墙壁上贴壁 纸，那么至少需要多少平方米的壁纸？如果某种壁纸的价格是b 元/平方米，那么购买所需壁纸至少需要多少元？（计算时不扣 除门，窗所需面积）
次数是： 6
自主学习
（1）对于上面的问题我们得到了如下的结果：
这两个结果可以更简单吗？说说你的理由。
x mx
=
x x m = x 2m
3 m x x 4
=
3 m x x 4
=
3 2 mx 4
根据乘法的交换律、 结合律、幂的运算性
2 3 a a b b
第一章：整式的乘除
1.4 整式的乘法（1） -----单项式乘以单项式
复习回忆
5.1.4 整式的乘法(1) 课件(新人教版八年级上)
卧 室
厨房
客厅 4y 第4题图
4.创新应用
小李家的住房的结构如图所示(单位:米),小李打 算把卧室和客厅铺上木地板,请你根据图示的数 据算一算,小李至少要买多少平方米的木地板?
问题
如图15.2-1,为了扩大街心花园的 绿地面积,把一块原长a米,宽m米的 长方形绿地,增长了b米,加宽了n米. 你能用几种方法求出扩大后的绿地 的面积?
扩大后的绿地可能看成长为(a+b)米,宽为(m+n)米 的长方形,所以这块绿地的面积为(a+b)(m+n)米2. 扩大后的绿地还可以看成由四个小长方形组成,所 以这块绿地的面积为(am+an+bm+bn)米2.
因此(a+b)(m+n) =(am+an+bm+bn).
(a+b)(m+n) =am+an+bm+bn.
(1) (-5a2b)(-3a);
解:(1) (-5a2b)(-3a)
= [(-5)×(-3)](a2•a)b = 15a3b
=-40x4y2
练习
１．计算：
(1)3x25x3;
(3) (3x2y)3•(-4x) ;
(2) 4y(-2xy2) ;
(4) (-2a)3(-3a)2.
２．下面计算的对不对？如果不对，应当 怎样改正？
结论
单项式与单项式相乘，把它们 的( 系数 )，( 同底数幂)分别相 ( 乘 )，对于( 只在一个单项式里 含有的字母 )，则连同它的( 指数 ) 作为积的( 一个因式 )．
例题
例４ 计算：
(2) (2x)3(-5xy2). (2) (2x)3(-5xy2) =8x3(-5xy2) =[8×(-5)](x3•x)y2
8 人教初中数学八上 14.1.4 整式的乘法( 1课时)教案 【2023,最新经典教案】
14．１．4 整式的乘法（1)教学目标 探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算.让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯,培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力 教学重点 单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则 课时分配 3课时班 级教学过程设计意图 第一课时:(一)知识回顾：回忆幂的运算性质： a m·a n=a ｍ+n(a m )ｎ=a mn(ab ）n＝ａnb n(ｍ，n 都是正整数）（二）创设情境,引入新课1．问题:光的速度约为3×10５千米／秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗？【1】2．学生分析解决：(3×105)×（5×102)=(3×５)×(105×10２）=15×１0７【2】 3．问题的推广：如果将上式中的数字改为字母,即ａc 5·ｂc ２,如何计算？【3】ac 5·bc 2=(a·ｃ5)·（b ·ｃ2) =(ａ·ｂ)·（c ５·ｃ2) =abc５＋２＝ab ｃ7．（三)自己动手,得到新知1.类似地,请你试着计算:(1）2c 5·５c 2；(2）(-５a 2ｂ3)·(－4b 2ｃ)【4】2.得出结论：单项式与单项式相乘:把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式. （四)巩固结论,加强练习例：计算: （-5a ２b ）·(-3a) (2x ）3·(－5xy 2）练习：课本练习1，２【１】让学生自己动手试一试,在自己的实践中获得知识，从而构建新的知识体系. 【2】提问学生原因 【3】从特殊到一般,从具体到抽象,让学生在自己的实践中获得单项式与单项式相乘的运算法则. 【4】先不给出单项式与单项式相乘的运算法则,而是让学生类比.单项式乘以单项式的运算法则 （二） 创设情境，提出问题１.问题：三家连锁店以相同的价格m(单位：元/瓶)销售某种商品,它们在一个月内的销售量(单位:瓶），分别是a,b ，ｃ．你能用不同方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗? 2．学生分析：【1】 3. 得到结果:一种方法是先求三家连锁店的总销售量，再求总收入, 即总收入为：__＿＿____＿__＿＿＿__ 另一种方法是先分别求三家连锁店的收入,再求它们的和 即总收入为:_＿_＿____＿＿__＿_＿＿ 所以:m （ａ+ｂ+c)= m ａ+mb+mc 4．提出问题：根据上式总结出单项式与多项式相乘的方法吗?（三） 总结结论【2】单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即:m(a+b ＋c)= ma+mb+mc （四） 巩固练习 例: 2a ２·(３a 2-５b) ab ab ab 21)232(2•- （-4x 2） ·(3ｘ+1)；练习:课本练习1，2 (五）附加练习1.若(-５a m+1b ２ｎ-1)(２a n b m )=-10a 4ｂ4，则ｍ－ｎ的值为_＿＿___ 2．计算：(a 3b ）2(a 2b)3 3. 计算：（3a ２b)2+(-2a ｂ）(－4a 3ｂ）4. 计算:)34232()25-(2y xy xy xy +-• 5．计算：)227(6)5)(3-(2222y xy x y x xy -+６.已知,3,2==b a 求)232()(32222a ab a ab ab ab b a ab -+--+的值 7.解不等式：12)23()1(222-〉+--+x x x x x x8．若m x x +-322与22-+mx x 的和中不含x 项,求m 的值，并说明不论x 取何值，它的值总是正数 （五）小结 【1】这个实际问题来源于学生的生活实际,所以在教学中通过师生共同探讨，再结合分配律学生不难得到结论.【2】这个问题让学生回答,参照乘法分配率作业板书设计教学反思预习要点单项式乘以单项式和单项式乘以多项式的运算法则 （二） 创设情境，感知新知1．问题：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长ａ米,宽m 米的长方形绿地增长b 米,加宽n 米，求扩地以后的面积是多少？2. 提问：用几种方法表示扩大后绿地的面积?不同的表示方法之间有什么关系?【1】 3．学生分析4．得出结果：方法一：这块花园现在长(a+b)米,宽(ｍ+n ）米，因而面积为（a ＋b)（m＋n ）米2.方法二:这块花园现在是由四小块组成，它们的面积分别为:am 米2、ａn 米2、bm 米2、ｂn 米2，故这块绿地的面积为(ａm ＋an+ｂm+b ｎ)米2．（ａ+b ）(m+ｎ)和(am+a ｎ＋bm+ｂｎ）表示同一块绿地的面积, 所以有（a ＋ｂ）(ｍ+ｎ)=a ｍ+ａn+bm+bn 【２】（三） 学生动手，推导结论 １. 引导观察：等式的左边(a+b ）(ｍ＋n)是两个多项式（ａ+b ）与(m ＋ｎ)相乘 ,把(m+n)看成一个整体，那么两个多项式(a+ｂ）与（m+n)相乘的问题就转化为单项式与多项式相乘,这是一个我们已经解决的问题,请同学们试着做一做.2.学生动手：3. 过程分析:(ａ+ｂ)（m ＋ｎ)=ａ(ｍ+n)+ｂ(ｍ+ｎ) －---单×多 =am+an ＋bm+bn ----单×多4.得到结论:【3】多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.（四） 巩固练习例：)32)(2(22y xy x y x -+- )65)(52(2+-+x x x 【4】练习: )y x y -y)(x (x y)-8y)(x -(x 2)1)(x (3x 22++++ 课本练习1 例：先化简,再求值:（a-3b)2+(3a+ｂ)2-(a+5ｂ)２＋(ａ-5ｂ)2，其中a=－８,b=-6练习:化简求值:)32)(12()1)(1(3)3)(2(-+--+++-x x x x x x ,其中x=54一块长m 米，宽n 米的玻璃，长宽各裁掉a 米后恰好能铺盖一张办公桌台面(玻璃与台面一样大小),问台面面积是多少？（五） 深入研究1.计算:①（ｘ+2）(x+3)；②(x -１)(x+２）;③(x+２)(x －2);④(x－5)(x-6);⑤(x＋5）(x ＋5)；⑥（x-5)(x-５)；并观察结果和原式的关系【1】这个问题激起学生的求知欲望,引起学生对多项式乘法学习的兴趣. 【２】借助几何图形的直观，使学生从图形中可以看到.让学生对这个结论有直观感受． 【３】让学生试着总结多项式与多项式相乘的法则. 【4】强调多项式与多项式相乘的基本法则,提醒注意多项式的每一项都应该带上他前面的正负号．在计算时一定要注意确定积中各项的符号．3． 结合课本练习第2题图,直观认识规律,并完成此题. 附加题:1.⎩⎨⎧++〉+-〈+-++)2)(5()6)(1(22)1()3)(2(x x x x x x x x2. 求证:对于任意自然数n ,)2)(3()5(+--+n n n n 的值都能被6整除3. 计算:（x ＋2y-１）24. 已知ｘ２-2x ＝2，将下式化简,再求值. (x-1）2+(x+3)(x-3）+(x-3）(x-1)5. 小明找来一张挂历画包数学课本．已知课本长a 厘米,宽ｂ厘米，厚c 厘米,小明想将课本封面与封底的每一边都包进去ｍ厘米．问小明应该在挂历画上裁下多大面积的长方形?（六）小结 作业板书设计教学反思预习要点分式的乘除分式的乘除(一) 教学目标ﻩ理解分式乘除法的法则,会进行分式乘除运算 重点、难点ﻩ重点是掌握分式的乘除运算难点分子、分母为多项式的分式乘除法运算情感态度与价值观 通过教学使学生掌握类比的数学思想方法能较好地实现新知识的转化.只要做到这一点就可充分发挥学生的主体性,使学生主动获取知识第一步：创景引入问题１ 一个长方体容器的容积为V,底面的长为a 宽为b,当容器内的水占容积的 时,水高多少?长方体容器的高为 ,水高为．问题２ 大拖拉机m 天耕地a 公顷，小拖拉机n 天耕地 b 公顷,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?大拖拉机的工作效率是 公顷/天,小拖拉机的工作效率是 公顷／天,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的（ )倍.观察下列运算:,43524532543297259275,53425432⨯⨯=⨯=÷⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯， .279529759275⨯⨯=⨯=÷ 猜一猜??=÷=⨯cda b c d b a 与同伴交流。
14.1 整式的乘法
14.1 整式的乘法：1.整式的乘法（一）：同底数幂相乘：a m •a n =a m+n （m ，n 都是正整数） 幂的乘方：（a m ）n =a mn （m ，n 都是正整数） 积的乘法：（ab ）n =a n b n （n 为正整数） 2.整式的乘法（二）单项式与单项式相乘：把它们的系数，同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
多项式与多项式相乘：先把一个多项式的每一项乘另一个多项式中的每一项， 再把所得的积相加。
3.整数的除法：同底数幂相除：a m ÷a n =a m —n （a ≠0，m ，n 都是在正整数，并且m ＞n ）a 0=1（a ≠0）单项式相除：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
整式乘法（一）：一、同底数幂相乘：1、同底数幂相乘，底数 ，指数 ，用公式表示=nma a2、计算：=⨯461010 =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-6231)31( =⋅⋅b b b 32 ⋅2y （—y5）—（—a ）2•a 6= y 2n •y n+1= —b 5•b= —23•（—2）4==-⋅-23)()(a b b a ()=-⋅-⋅-62)()(a a a3、若53=a ，63=b ，求ba +3= 4、下面计算正确的是（ ） A.4533=-a a B.nm nm+=⋅632 C.109222=⨯ D.10552a a a =⋅二、幂的乘法：1.()43a= （x4）3= （y 3）2+（y 2）3= =-∙-3223)()(a a)(234)2(=.（在括号内填数）（a m）2= （－a 2）3= [（－a ）2]5=n m a a ⋅3)(= []423)1(a ⋅-= 324)(a a ∙= ()()5243a a ⋅=2.在下列各式的括号中填入适当的代数式，使等式成立：⑴a 6=（ ）2；⑵2342225)()((_____))(a a a ⋅=⋅. 3.计算：23422225)()()()(2a a a a ⋅-⋅335210243254)()()()()(a a a a a a a -∙-∙--+∙---.三．积的乘方：1、积的幂，等于幂的积。
人教版数学八年级上册14.1.4整式的乘法(第1课时)优秀教学案例
一、案例背景
本节课为人教版数学八年级上册第14章第1节第4课时，内容为整式的乘法。在此之前，学生已经学习了有理数的乘法、乘方的概念和性质，以及整式的加减法。本节课的学习为后续多项式乘多项式、多项式乘单项式、单项式乘单项式等知识的学习奠定基础。
（二）问题导向
1.自主探究：鼓励学生自主探究整式乘法的运算法则，培养学生的问题解决能力。例如，让学生尝试计算两个多项式的乘积，总结规律。
2.引导发现：教师引导学生发现整式乘法的运算法则，帮助学生建立知识体系。例如，通过分析两个多项式的乘积，引导学生发现整式乘法的分配律。
（三）小组合作
1.分组讨论：将学生分成小组，让学生在小组内讨论整式乘法的运算法则，培养学生的合作交流能力。例如，让学生分组讨论如何计算两个多项式的乘积，并总结出运算法则。
（二）讲授新知
1.自主探究：鼓励学生自主探究整式乘法的运算法则，培养学生的问题解决能力。例如，让学生尝试计算两个多项式的乘积，总结规律。
2.引导发现：教师引导学生发现整式乘法的运算法则，帮助学生建立知识体系。例如，通过分析两个多项式的乘积，引导学生发现整式乘法的分配律。
（三）学生小组讨论
1.分组讨论：将学生分成小组，让学生在小组内讨论整式乘法的运算法则，培养学生的合作交流能力。例如，让学生分组讨论如何计算两个多项式的乘积，并总结出运算法则。
2.问题导向与自主探究的结合：教师引导学生发现整式乘法的运算法则，帮助学生建立知识体系。同时，鼓励学生自主探究、尝试计算，培养学生的自主学习能力。
3.小组合作与互动交流：将学生分成小组，鼓励小组间的互动交流，让学生在分享经验中共同成长。通过小组讨论，培养学生的合作交流能力和团队协作精神。
整式的乘法(一)教师版
整式的乘法是初中代数的一个重要组成部分，是学生今后掌握平方差公式及完全平方公式基础，通过学习我们可以简化某些整式的运算，而后续的因式分解则是整式的乘法的逆运算，因此这一部分的学习可以让学生自己进行体验、探索与认识，有利于学生知识的迁移，形成新的知识结构．1、单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式．注：单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方、再乘法”的顺序进行．例如：()()()22224245234312xy x y x y x y x y⋅-=⋅-=-．整式的乘法（一）知识结构模块一：单项式与单项式相乘知识精讲内容分析【例1】 计算： （1）2445y y ⋅；（2）()234163x y x y ⋅-；（3）()2223623a b ab a b ⋅⋅-．【难度】★【答案】（1）620y ；（2）552x y -；（3）5636a b -． 【解析】（1）原式=()2464520y y +⨯=；（2）原式=()2314551623x y x y ++⎡⎤⨯-⋅=-⎢⎥⎣⎦；（3）原式=()2121235662336ab a b ++++⨯⨯-=-⎡⎤⎣⎦． 【总结】本题主要考查单项式乘法法则．系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，多个式子 相乘与两个式子相乘法则相同．【例2】 计算：（1）()()23333z x y -⋅；（2）()()3224247a xy a x y -⋅-；（3）()()2322x y x y ⎡⎤---⎣⎦（把x y -作为整体看作一个因式的底数）． 【难度】★【答案】（1）623243x y z -；（2）14751372a x y ；（3）()54x y --． 【解析】（1）原式=()3326262333243z x y x y z -⋅=-；（2）原式=()()()()32212632121623474343a xy a x y a x y +++-⋅-=-⨯-=⎡⎤⎣⎦14751372a x y ；（3）原式=()()2322x y +⨯--=⎡⎤⎣⎦()54x y --【总结】本题主要考查幂的运算和单项式乘法法则，注意计算过程中整体思想的应用．例题解析【例3】 计算： （1）()322233x y xyz ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭；（2）()()2231263x x y yz ⎛⎫⋅⋅- ⎪⎝⎭；（3）()()232232130.432x y xy xy ⎛⎫⎡⎤-⋅-⋅- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．【难度】★【答案】（1）75383x y z -；（2）444x y z -；（3）914275x y -．【解析】（1）原式=()3242333432332839327x y x y z x y z ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅-=⨯-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦75383x y z -；（2）原式=()22311263x y z ++⎡⎤⨯⨯-=⎢⎥⎣⎦444x y z -；（3）原式=224636224326621321343259225x y x y x y x y ++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅-=⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦914275x y =-．【总结】本题主要考查单项式乘法法则．系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，多个式子相乘与两个式子相乘法则相同．【例4】 计算：（1）()23243335453xy x y xy x y ⎛⎫+-⋅ ⎪⎝⎭；（2）()3222362325333x y z x y z x y z xy ⎛⎫+-⋅ ⎪⎝⎭．【难度】★★ 【答案】（1）57235x y ；（2）710320381x y z ． 【解析】（1）原式=3324263575757953234425355x y x y x y x y x y x y x y ⋅+⋅=+=；（2）原式=442366937103710371038540203332738181x y z x y z x y z xy x y z x y z x y z ⎛⎫⋅+-⋅=-= ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查幂的运算和单项式乘法法则，先按法则进行计算，再做合并同类项的运算．【例5】 计算：2233()2()x y a x y ab ⎡⎤⎡⎤+⋅⋅-+⋅⎣⎦⎣⎦（把x y +作为整体看作一个因式的底数）． 【难度】★★【答案】()3336x y a b -+． 【解析】原式=()()2121332x y a b ++⨯-+=⎡⎤⎣⎦()3336x y a b -+．【总结】本题主要考查单项式乘法的运算法则，计算过程中注意整体思想的应用．【例6】 已知：()()()32327823530m n x y x y x y x y ⋅-⋅=-，求m n +的值． 【难度】★★ 【答案】5【解析】原式=55783030m n x y x y ++-=-，由此可得5758m n +=+=，， 可解得23m n ==，，5m n +=【总结】单项式相等，对应字母的次数相同．【例7】 先化简，后求值：233322221391233x y x y x y xy x y ⎛⎫⎛⎫⋅-+-⋅=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，已知，．【难度】★★【答案】化简结果是75x y ，代入求值结果是32-【解析】原式=7575754133x y x y x y -=，代入求值得()751232-⨯=-【总结】本题主要考查代数式的化简和求值计算．【例8】 先化简，再求值：()()2333211222a b bc a bc ⎛⎫⎛⎫-⋅⋅⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中111a b c =-==-，，．【难度】★★★【答案】化简结果是579a b c ，代入求值结果是1．【解析】原式=()33623357911824a b b c a b c a b c -⋅⋅⋅-=，代入计算得：()()5971111-⨯⨯-=．【总结】本题主要考查代数式的化简和求值计算．【例9】 化简：()75122xy x y -⋅--．【难度】★★★【答案】当0xy ≥时，原式=68x y -；当0xy <时，原式=68x y ． 【解析】对原式进行分析整理，原式=574657122xy x y xy x y xy x y xy -⋅=-⋅⋅=-⋅，由此可知，对式子去绝对值需进行分类讨论：即当0xy ≥时，原式=68x y -；当0xy <时，原式=68x y ． 【总结】本题主要考查对代数式进行简单的恒等变形，找出可能需要讨论的部分即可进行分 类讨论，准确解题．1、单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加．例如：()m a b c ⋅++=ma mb mc ++．模块二：单项式与多项式相乘知识精讲【例10】 计算：（1）2211313242x x x ⎛⎫⎛⎫-+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()22232ab a b ab ⋅- ；（3）()2121243x x y xy ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭．【难度】★【答案】（1）432113648x x x -+-；（2）322364a b a b -；（3）23238x y x y -+．【解析】（1）原式=2222111131322242x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅--⋅-+⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭432113648x x x -+-；（2）原式=222322ab a b ab ab ⋅-⋅=322364a b a b -； （3）原式=()()212121243x xy x y xy ⋅--⋅-=23238x y x y -+．【总结】本题主要考查单项式与多项式的乘法法则，用单项式分别去乘多项式中的每一项．【例11】 计算：（1）()322211263a b a b ab -⋅；（2）2222432345x y x xy y ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★【答案】（1）433442a b a b -；（2）42332448315x y x y x y --+．【解析】（1）原式=322224334111264233a b ab a b ab a b a b ⋅-⋅=-；（2）原式=222222224344234335x y x x y xy x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅+-⋅--⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭42332448315x y x y x y =--+．【总结】本题主要考查单项式与多项式的乘法法则，用单项式分别去乘多项式的每一项，计 算时注意符号．例题解析【例12】 计算：()2222223362322a b ab a ab a b a ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★★【答案】323312a b a b -．【解析】原式22222222232336232322a b ab a b a ab a b ab a =⋅+⋅-⋅-⋅333233323432a b a b a b a b =+--=323312a b a b -【总结】本题主要考查单项式和多项式的乘法，先对每一个式子单独计算，再进行合并同类 项运算．【例13】 先化简，再求值：()()2232212102x x x x x x x -+--+，其中12x =-．【难度】★★【答案】化简结果是38x ，代入求值结果是1-．【解析】原式=()2222322222102x x x x x x x x x x x ⋅-⋅+-⋅-⋅--⋅ 4324322222102x x x x x x =-+-+-38x = 将12x =-代入计算得：31812⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查代数式的化简，先利用单项式乘以多项式的运算法则进行计算，然后 合并同类项进行化简，最后代值计算．【例14】 先化简，后求值：()22322213344434xy x y x y x y xy xy ⎛⎫⎛⎫-+-⋅-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中133x y =-=，．【难度】★★【答案】化简结果是33x y -，代入求值结果是1．【解析】原式()22232211121133344434xy x y xy x y x y ++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-⨯-⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3344441212x y x y x y =-+-33x y =-．将133x y =-=，代入计算得：原式=()331313⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查代数式的化简，先利用单项式乘多项式的运算法则进行计算，然后合 并同类项进行化简，最后代值计算．【例15】 已知26ab =，求()253ab a b ab b --的值． 【难度】★★ 【答案】174．【解析】原式36242a b a b ab =--()()32222ab ab ab =--32666=--174=．【总结】本题主要考查整体思想的应用，以及积的乘方运算法则的逆用．【例16】 解关于x 的方程：()13538n n x x x ++=+． 【难度】★★【答案】815x =．【解析】133538n n x x x x +⋅+⋅=+1131538n n x x x +++=+158x =815x = 【总结】本题主要考查对单项式乘多项式乘法法则的应用以及解方程的复习回顾．【例17】 已知：()22525200m m n -+-+=，求()()()()22252365345m m n m n m n n m n ---+---的值． 【难度】★★【答案】752-．【解析】根据题意，可得：25025200m m n -=⎧⎨-+=⎩，解得：525m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩．原式=2222221041815121524m mn m mn n mn n m mn --++--+=-，代入计算得：原式=25575245222⎛⎫⨯-⨯⨯=- ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查两非负数和为零的模型，两式分别为零，然后再对代数式化简求值．【例18】 对任意有理数,x y 定义运算如下：x y ax by cxy ∆=++，这里a 、b 、c 是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算，如当a =1，b =2，c =3时：131********∆=⨯+⨯+⨯⨯=，现已知所定义的新运算满足条件，1∆2=3，2∆3=4，并且有一个不为零的数d 使得对任意有理数x ∆d =x 均成立，求a 、b 、c 、d 的值． 【难度】★★★【答案】5014a b c d ===-=，，，．【解析】根据题意，得2232364a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，现存在一个不为零的数d 使得对任意有理数x ∆d =x ，代入即为ax bd cdx x ++=对任意x 恒成立，即关于x 的方程()1a cd x bd +-=-有无数解，故可得100a cd bd +-=⎧⎨-=⎩，结合0d ≠和前面所得两个等式解方程可解得：514a b c d =⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩．【总结】本题主要考查新定义运算，需要根据定义内容进行值的替换，同时对恒成立问题结合一元一次方程的一般形式ax b =有无数解的情况进行讨论，此时00a b ==，．1、多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用公式表示为：()()()()m n a b m n a m n b ma na mb nb ++=+++=+++．【例19】 计算：（1）134624x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）11113232x y x y ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★【答案】（1）2189338x x +-；（2）221194x y -． 【解析】（1）原式=2133364632432448x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2189338x x +-；（2）原式=2211111111113322329664x x y y x y x xy xy y ⎛⎫⎛⎫+-+=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221194x y -．【总结】本题主要考查多项式的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，在题（2）中可初步认识平方差公式()()22a b a b a b +-=-．模块三：多项式与多项式相乘知识精讲例题解析【例20】 计算：（1）()()22x y x xy y +-+；（2）22152xy x y ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭．【难度】★【答案】（1）33x y +；（2）3223412554x y x y xy -+．【解析】（1）原式=()()2222322223x x xy y y x xy y x x y xy x y xy y -++-+=-++-+=33x y +； （2）原式=2111555222xy x x y y x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22212554xy x xy y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭=3223412554x y x y xy -+．【总结】本题主要考查多项式的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．【例21】 计算：（1）()()()2345x x x x +-+-；（2）()()()222333xy x y x xy xy y +-++；（3）()()()()242422325235333x x x x x x +++-+++．【难度】★★【答案】（1）4218760x x x --+；（2）224x y -；（3）4223x x -+-【解析】（1）原式=()()2243232212555121260x x x x x x x x x x x x --+-=+---+--+4218760x x x =--+；（2）原式 =()()223223323103xy x xy y x y x y xy ++-++322332232236331034x y x y xy x y x y xy x y =++---=-；（3）原式=()()()()2422422325353321x x x x x x x ++++-++++ =()()()()()()2422242242325332533253x x x x x x x x x x +++++-+++-++=42423253x x x x +---=4223x x -+-．【总结】本题主要考查多项式的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再进行合并同类项运算；（3）式计算中注意观察，运用整体思想，会使计算变得简单．【例22】 若()()2233x nx x x m ++-+的乘积中不含2x 和3x 项，求m 和n 的值． 【难度】★★【答案】63m n ==，．【解析】原式=()()()43233393x n x m n x mn x m +-+-++-+，因为两式乘积中不含2x 和3x项，所以可得30330n m n -=⎧⎨-+=⎩，解得63m n =⎧⎨=⎩．【总结】本题主要考查多项式的乘法计算，不含的项即其系数为0即可．【例23】 已知a 、b 、m 均为正整数，且()()215x a x b x mx ++=++，则m 可能取的值有多少个？ 【难度】★★【答案】2个，m 的值为16或8．【解析】()()()2215x a x b x a b x ab x mx ++=+++=++，由此可得15a b mab +=⎧⎨=⎩，a 、b 均为正整数，可知a 、b 为15的因数，15=5×3，或15=15×1，由此可得15116m =+=或538m =+=．【总结】本题主要考查多项式的乘法计算，以及数字的因数的个数．【例24】 已知：多项式432221191112221222324x x x x x mx x nx ⎛⎫⎛⎫++++=++-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，求()311222n m m n ⎛⎫⎡⎤---+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值．【难度】★★【答案】1【解析】2243211111912121223246221234x mx x nx x m n x mn x m n x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+=+-+-+-+ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，原式=4321192222x x x x ++++，由此可得11262219342m n m n ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得62m n =⎧⎨=-⎩．又()()()()334111112222222216n m m n m n m n m n ⎛⎫⎡⎤⎡⎤---+=-+⋅-+=+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，将62m n =⎧⎨=-⎩代入该 式中即得()4116221611616⨯+⨯-=⨯=⎡⎤⎣⎦． 【总结】本题主要考查多项式与多项式相乘的运算法则，同时考查在指数相同的情况下，若 两式相等，则对应项的系数也相等．【例25】 某零件如图所示，求图中阴影部分的面积S ．（结果用含a 、b 的式子表示） 【难度】★★【答案】223a ab b ++．【解析】()()22222222a b S a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=++-+-⨯+-⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=()()22222522a ab b a ab b ++-++=223a ab b ++【总结】本题主要考查多项式与多项式的乘法，对于不规则图形的面积采用割补法计算．【例26】 解方程：()()()()()()221111432x x x x x x x x +++---+=+-．【难度】★★ 【答案】85x =-．【解析】()()()()322322114232x x x x x x x x x x x x x +++++--+-+-=-+-2242456x x x +=--85x =-【总结】本题主要考查多项式与多项式的乘法，同时对解方程的步骤有一个整体的知识回顾．【例27】 解不等式：()()()()()6971725x x x x x -----<-． 【难度】★★【答案】8221x >．【解析】()()221554871435x x x x x -+--+<- 7471435x x -+<- 2182x -<-8221x >【总结】本题主要考查多项式与多项式的乘法，同时对解不等式的步骤有一个整体的知识回顾．【例28】 学校在运动场上举行200米的赛跑，每条跑道的道宽为1.22米，比赛的终点线定在如图所示的C 处，由于不同跑道上的运动员要经过不同的弯道，因此他们不应从同一起跑线上起跑，第一、第二两条跑道上运动员的起跑线应相隔多远才比较公平？（π取3.14，精确到0.01米）【难度】★★★ 【答案】3.83m ．【解析】设第一道半径为r ，则第二道半径为()1.22r +，观察两道上运动员的位置，可知两 条跑道上运动员起始距离应为()112 1.222 1.22 1.22 3.14 3.8322r r m πππ⨯+-⨯=≈⨯≈．【总结】跑道问题，可利用代数式计算得到一个只与已知量相关的式子，运用了“设而不求”的数学思想．师生总结【习题1】 计算：（1）()225x xy ⋅-；（2）()()232323a b c a -⋅- ；（3）()232123xy xy ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭；（4）()3224142xy x y ⋅-．【难度】★【答案】（1）310x y -；（2）762108a b c -；（3）5889x y ；（4）71432x y -．【解析】（1）原式=()2125x y +⨯-=⎡⎤⎣⎦310x y -；（2）原式=()()()234623436223427a b c a a b c +-⋅-=⨯-=⎡⎤⎣⎦762108a b c -；（3）原式=2336223262112839x y x y x y ++⎛⎫⎛⎫⋅-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5889x y ；（4）原式=()()32612162121146422xy x y x y ++⎡⎤⋅-=⨯-=⎢⎥⎣⎦71432x y -．【总结】本题主要考查单项式乘法法则，系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，同时本题还考查了对积的乘方运算的练习深化．【习题2】 计算：（1）()23223255x y xy x y ⎛⎫-⋅⋅- ⎪⎝⎭；（2）()222322233a b a b a b ⎛⎫⋅--- ⎪⎝⎭；（3）()223235453xy xy xy x y ⎛⎫⋅+-⋅ ⎪⎝⎭．【难度】★【答案】（1）566x y ；（2）443a b -；（3）343x y ． 【解析】（1）原式=()2121323255x y ++++⎡⎤⎛⎫-⨯⨯-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦566x y ；（2）原式=44444423a b a b a b --=-；（3）原式=22212313434343544353x y xy x y x y x y x y ++⎡⎤⎛⎫⋅+-⨯=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．【总结】本题主要考查单项式和多项式的乘法，再进行合并同类项运算．随堂检测【习题3】 计算：（1）222133224ab a b a a b ⎛⎫⋅-+⋅ ⎪⎝⎭；（2）()()3222221122342x y xy x y xy x y z ⎛⎫⋅-+-⋅-⋅ ⎪⎝⎭．【难度】★【答案】（1）0；（2）5444132x y z x y -．【解析】（1）原式=323233022a b a b -+=；（2）原式=()()312221************ y x y z ++++++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⨯-+-⨯-⨯= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦5444132x y z x y -．【总结】本题主要考查单项式和多项式的乘法，先用计算法则计算出结果，再进行合并同类项运算．【习题4】 计算：()2222223362322a b ab a ab a b a ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭．【难度】★【答案】323312a b a b -．【解析】原式22222222232336232322a b ab a b a ab a b ab a =⋅+⋅-⋅-⋅333233323432a b a b a b a b =+--()323334312a b a b ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭=323312a b a b -【总结】本题主要考查单项式与多项式乘法法则，先分别计算出结果，再进行合并同类项运算．【习题5】 计算：（1） ()2133235n n n n n n a b a b b a b +-+-+⋅（n 为正整数，1n >）； （2）()222214322x xy y x xy x y ⎛⎫-⋅--⋅- ⎪⎝⎭；（3）()()221367x x x +--+；（4）21111132469m m m ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★【答案】（1）22422223151015n n n n n n a b a b a b ++++-+；（2）3224x y x y +；（3）3261587x x x --++；（4）311278m -． 【解析】（1）原式=23133352535n n n n n n n n n n a b a b a b a b b a b ++-++⋅-⋅+⋅ =()()()213133352535n n n n n n n n n n a b a b a b +++++-++++⨯-⨯+⨯ =22422223151015n n n n n n a b a b a b ++++-+；（2）原式=()222221443322x xy x y x xy x x y -⋅--⋅-⋅+⋅=3222232436x y x y x y x y -+-+ =3224x y x y +；（3）原式=()()222367367x x x x x --++--+ =32261214367x x x x x --+--+=3261587x x x --++；（4）原式=221111111134692469m m m m m ⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=23211111112182781218m m m m m ++--- =311278m -． 【总结】本题主要考查单项式与多项式的乘法法则，再进行合并同类项运算，（4）题主要考查立方差公式．【习题6】 计算：()()()()23325361245x y x y x y y x ⎡⎤+⋅--⋅--⋅-⎢⎥⎣⎦． 【难度】★★【答案】()()5538x y x y +-．【解析】原式=()()()()233255536312458x y x y x y x y ++⎛⎫⨯⨯+⋅-=+- ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查同底数幂的乘法，运算过程中注意符号的变化．【习题7】 计算：()()()()242422325235333x x x x x x +++-+++．【难度】★★【答案】4223x x -+-．【解析】原式=()()()()2422422325353321x x x x x x x ++++-++++ =()()()()()()2422242242325332533253x x x x x x x x x x +++++-+++-++ =42423253x x x x +---=4223x x -+-．【总结】本题主要考查多项式的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项， 再进行合并同类项运算；本题计算中注意观察，运用整体思想．【习题8】 若20x y +=，则代数式()3342x xy x y y +++的值． 【难度】★★ 【答案】0【解析】原式=()()()()32232222422222220x x y xy y x x y y x y x y x y +++=+++=++=． 【总结】本题在解题过程中注意整体思想的运用．【习题9】 先化简，再求值：12x =，1y =，求()()()22223x x x y y y x x y y xy y x ++-+++-的值． 【难度】★★【答案】18-．【解析】原式=()()()()()()3222233x y x xy y xy x y x y x xy y xy x y -++--=-++-=-， 将112x y ==代入计算得：原式=311128⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查代数式的化简和求值计算，注意整体思想的运用．【习题10】 先化简，再求值：()()()()22215423125a a a a a a a -⋅------，其中1a =-【难度】★★【答案】化简结果是29142a a +-，代入求值结果是7-．【解析】原式=()()33232254812229142a a a a a a a a a ------+=+-，将1a =-代入计算得：原式=()()29114127⨯-+⨯--=-．【总结】本题主要考查代数式的化简和求值计算，应用多项式的乘法法则．【习题11】 某地有一块梯形实验田，它的上底为m 米，下底为n 米，高是h 米． （1）写出这块梯形的面积公式；（2）当8m =米，14n =米，7h =米时，求它的面积． 【难度】★★【答案】（1）()12h m n +；（2）77平方米．【解析】（1）梯形的面积公式，（2）()28147277s m =+⨯÷=． 【总结】本题主要考查梯形的面积公式和代数式的求值计算．【习题12】 解方程：()()22526x x x x x --+=-．【难度】★★ 【答案】67x = 【解析】2222526x x x x x ---=-76x -=-67x = 【总结】本题主要考查单项式与多项式乘法，同时对解方程的知识进行回顾．【习题13】 已知：()()523323229251342m n n m x y x y x y ax y ⎛⎫⋅-⋅=- ⎪⎝⎭． 求：()()22122m n m n m mn n ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭的值． 【难度】★★★【答案】36-．【解析】因为()()5233232261536102925134=182m n n m m n m n x y x y x y x y ax y ++++⎛⎫⋅-⋅=- ⎪⎝⎭，由此可得 261529361025m n m n ++=⎧⎨++=⎩，解得12m n =⎧⎨=⎩．将12m n =⎧⎨=⎩代入()()22122m n m n m mn n ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭，可得：()()221121*********⎛⎫+⨯⨯-⨯⨯+⨯+=- ⎪⎝⎭． 【总结】本题主要考查代数式的化简和求值计算，两个代数式相等，则次数相同的项的系数也相同，运用多项式的乘法法则进行计算．【作业1】 计算：（1）3223123x y x y ⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）232231162a b ab c ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭； （3）()()2221263x x y yz ⎛⎫⋅⋅- ⎪⎝⎭． 【难度】★【答案】（1）5312x y ；（2）7634a b c ；（3）434x y z -． 【解析】（1）原式=322153311232x y x y ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦； （2）原式=2642361423763111616424a b ab c a b c a b c ++⎛⎫⎛⎫⋅=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）原式=()22211263x y z ++⎡⎤⨯⨯-=⎢⎥⎣⎦434x y z -． 【总结】本题主要考查单项式的乘法法则，系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，多个单项式相乘与两个单项式相乘的法则完全相同．【作业2】 计算：（1）3221213232x y y xy ⎛⎫⎛⎫+-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）()3212243ab a a b b ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦． 【难度】★【答案】（1）53343531181612x y x y x y --+； （2）221517a b ab +． 【解析】（1）原式=22331213238x y y x y ⎛⎫⎛⎫+-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2333323311121382838x x y y x y y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-+⋅--⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=53343531181612x y x y x y --+； （2）原式=33251712212443412ab a a b b ab a b ⎛⎫⎛⎫-++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221517a b ab +． 【总结】本题主要考查单项式与多项式相乘的乘法法则．课后作业【作业3】 计算：（1）()()123243x y x y x y ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭； （2）()()233222x y x y x y -⋅-． 【难度】★【答案】（1）3223171144126x x y xy y +--；（2）43255234x y x y x y x y --+． 【解析】（1）原式=()2232231117112244124126x xy y x y x x y xy y ⎛⎫+-+=+-- ⎪⎝⎭； （2）原式=()()2322322243255234x y x y x y x y x y x y x y x y ---=--+．【总结】本题主要考查多项式与多项式相乘的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，多个多项式的依次相乘即可．【作业4】 计算：（1）()()3222221122342x y xy x y xy x y z ⎛⎫⋅-+-⋅-⋅ ⎪⎝⎭； （2）()()3322543124752a ab ab a b ab ⎛⎫-⋅--⋅-- ⎪⎝⎭． 【难度】★★【答案】（1）5444132x y z x y -；（2）6625220220a b a b ab -++． 【解析】（1）原式=()()312221************ y x y z ++++++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⨯-+-⨯-⨯= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦5444132x y z x y -； （2）原式=()()()()33625432218474542a ab ab a b ab ab ab -⋅--⋅-⋅--⋅- =6666252828220a b a b a b ab -++=6625220220a b a b ab -++．【总结】本题主要考查整式的乘法，主要相关法则的准确运用．【作业5】 计算：（1）()()()2221a a a -++；（2）()()32225231x x x x -+-⋅-+． 【难度】★★【答案】（1）32284a a a +--；（2）54322778155x x x x x -+--+-．【解析】（1）原式=()()232421284a a a a a -+=+--；（2）原式=()()()3222223122315231x x x x x x x x --++-+--+=54343222346210155x x x x x x x x -+-+-+-+- =54322778155x x x x x -+--+-． 【总结】本题主要考查多项式与多项式相乘的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再进行合并同类项的运算．【作业6】 当14t =时，代数式()3221723228t t t t t t ⎛⎫⎡⎤-+-+ ⎪⎣⎦⎝⎭的值为__________． 【难度】★★ 【答案】107128【解析】对代数式化简，结果为()322432187374628824t t t t t t t t ⎛⎫+++=++ ⎪⎝⎭，将14t =代入， 求值计算，得：原式=432187131787310728424446412864128⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【总结】本题主要考查代数式的化简求值．【作业7】 已知：多项式()()43222212x x x x mx x nx +++=++++，求m 与n 的值．【难度】★★【答案】12m n =-=，【解析】因为()()()()()2243212322x mx x nx x m n x mn x m n x ++++=+++++++，又()()22432122x mx x nx x x x ++++=+++，所以可得13120m n mn m n +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得12m n =-⎧⎨=⎩． 【总结】当两个多项式相等时，则同底数幂指数相同的项的系数也相同．【作业8】 已知：()()22345x x ax bx c +-=-+，求代数式：()()()()222222a a b a a b a b a b b c +-+---的值．【难度】★★★【答案】7420．【解析】因为()()2234510712x x x x +-=--+，又()()22345x x ax bx c +-=-+，所以可得：10712a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，对代数式()()()()222222a a b a a b a b a b b c +-+---化简可得：原式=3223222222222222a a b a ab a b a bc ab a bc +-+-+=+， 将10a =-，7b =，12c =代入，则原式=()()222107107127420⨯-⨯+-⨯⨯=． 【总结】两个多项式相等，若同底数幂的指数相同，则它们的系数也相同，本题主要考查代数式的化简求值．【作业9】 已知21ax bx ++与2231x x -+的积不含3x 的项，也不含x 的项，试求a 与b 的值．【难度】★★★【答案】23a b =⎧⎨=⎩． 【解析】()()()()()2243212312233231ax bx x x ax b a x a b x b x ++-+=+-+-++-+，因为多 项式的积不含3x 的项，也不含x 的项，所以可得：23030b a b -=⎧⎨-=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩． 【总结】本题主要考查多项式与多项式的乘法计算，计算结果中不含有某一次数项，即该次数项的系数为0．【作业10】 小明和小强平时是爱思考的学生，他们在学习整式的乘法时，发现有些整式乘法结果有很明显的特点．例如：()()23111x x x x -++=-，()()22332428a b a ab b a b +-+=+小明：“这些整式乘法左边都是一个二项式跟一个三项式相乘，右边是一个二项式”， 小强：“是啊！而且右边都可以看成是某两项的立方的和（或差）”小明：“还有，我发现左边那个二项式和最后的结果有点类似”小强：“对啊，我也发现左边那个三项式好像是个完全平方式，不对，又好像不是，中间不是两项积的2倍”小明：“二项式中间的符号、三项式中间项的符号和右边结果中间的符号也有点联系......” 亲爱的同学们，你能参与到他们的讨论中并找到相应的规律吗？（1）能否用字母表示你所发现的规律？（2）你能利用上面的规律来计算()()22224x y x xy y ---+吗？【难度】★★★【答案】（1）()()()()22332233a b a ab b a b a b a ab b a b -++=-+-+=+；；（2）338x y --． 【解析】归纳总结，即立方和和立方差公式．（2）式变形即得原式=()()()32233322428x y x xy y x y x y ⎡⎤-+-+=-+=--⎣⎦． 【总结】对于一些常见的公式，需要进行记忆，在此前提下，注意观察题目中的每一个细节之处才能真正把握好相关规律．。
1.4整式的乘法1
1 2b3）· （1 ） xy ） （ 2 ）（ -2a （-3a） 3 3 2 2 2 2 3 6 7 （3） （4×10 ）× (5×10 ) （4）3 x y · （- 2 xy ） 2 2 1 1 2 2 解:（1） （2xy ）· （ 3 xy）=(2× )· （xx）· （y y）= x 3 3
例1、 计算：
（2xy2）· （
（2） （-2a2b3）· （-3a）=〔(-2)· (-3)〕(a2a)· b3=6a3b3 （3） （4×106）× (5×107)=( 4×5) ×(106×107) =20×1013=2×1014 （4）
2）2 = 2 x2y3·9 x2y4 x2y3· （- 3 xy 2 3 4 2 9 3 4 7 2 2 3 4 =( 3× 4 )(x · x )(y y )= x y 2
做一做
3 2 3 3 1 ( ) ( ) 5 5
2 3 4
243 3125
(a b)
2
3
a b
6
3
1 7 1 ( x) ( x) 2 2
1 6 x 64
( y ) y
2
8
n1
5
y
n1
3
5
(a b) (a b)
(a b)
京京用两张同样大小的纸，精心 制作了两幅画，如下图所示，第 一幅画大小与纸的大小相同，第 二幅画的画面在纸的上、下各留 有 1 x 米的空白
x
厨房
4x
2x
客厅
4y
课外拓宽
计算： 1 3 1、（- 3 ab2c）2· （- 2 abc2）3· 12a3b 2、 (2x3n)· （-2xn）3+2x6n 3、 已知：|a-2|+(3a-2b-7)2+|2b+3c-5|=0, 求(-3ab)· (-a2c)· 6ab2的值。
第06讲整式的乘法(一)(原卷版)
第06讲 整式的乘法（一）模块一：单项式与单项式相乘1、单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式．注：单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方、再乘法”的顺序进行． 例如：()()()22224245234312xy x y x y x y x y ⋅-=⋅-=-．【例1】 计算： （1）()322233x y xyz ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭；（2）()()2231263x x y yz ⎛⎫⋅⋅- ⎪⎝⎭；（3）()()232232130.432x y xy xy ⎛⎫⎡⎤-⋅-⋅- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．【例2】 计算：（1）()23243335453xy x y xy x y ⎛⎫+-⋅ ⎪⎝⎭；（2）()3222362325333x y z x y z x y z xy ⎛⎫+-⋅ ⎪⎝⎭．【例3】 先化简，再求值：()()2333211222a b bc a bc ⎛⎫⎛⎫-⋅⋅⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中111a b c =-==-，，．【例4】 化简：()75122xy x y -⋅--．模块二：单项式与多项式相乘1、单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加．例如：()m a b c ⋅++=ma mb mc ++．【例5】 计算：（1）2211313242x x x ⎛⎫⎛⎫-+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()22232ab a b ab ⋅- ；（3）()2121243x x y xy ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭．【例6】 先化简，再求值：()()2232212102x x x x x x x -+--+，其中12x =-．【例7】 已知：()22525200m m n -+-+=，求()()()()22252365345m m n m n m n n m n ---+---的值．2 a + ba + 2b2a2b模块三：多项式与多项式相乘1、多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用公式表示为：()()()()m n a b m n a m n b ma na mb nb ++=+++=+++．【例8】 计算：（1）()()()2345x x x x +-+-；（2）()()()222333xy x y x xy xy y +-++；（3）()()()()242422325235333x x x x x x +++-+++．【例9】 某零件如图所示，求图中阴影部分的面积S ．（结果用含a 、b 的式子表示）【例10】 若()()2233x nx x x m ++-+的乘积中不含2x 和3x 项，求m 和n 的值．1. （2022秋·上海·七年级上海市西延安中学校考期中）下列多项式乘法运算正确的是（ ） A ．22(32)(32)94x y x y x y +--=-； B ．22(32)(23)94x y y x x y --=-； C ．22(32)(32)94x y y x x y -+=-；D ．22(23)(23)94y x y x x y ---=-．2. （2022秋·上海虹口·七年级校考期中）下列计算中，正确的是（ ） A ．233a a a +=B ．2a a a ⋅=C ．2333a a a ⋅=D ．3222a a a -=3. （2022秋·上海黄浦·七年级上海市民办立达中学校考期中）把多项式3x mx +分解因式得1()2x x n x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭时，m 、n 的值分别可能是( )A ．1184m n ==、B ．1142m n =-=、C ．1184m n ==-、D ．1142m n =-=-、4. （2022秋·上海杨浦·七年级统考期中）下列多项式中，与3x y -+相乘的结果是223103x xy y 的多项式是（ ） A ．3x y +B ．3x y -C ．3x y +D ．3x y -5. （2021秋·上海·七年级期中）现有下列算式：(1)2aa=2； (2)2a·3a=5a²; (3)ax(1a²x)=axa³xax²;(4)()43x x -·x²=x³其中错误的有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6. （2022秋·上海·七年级校考期中）设P 、Q 都是关于x 的四次多项式，下列判断一定正确的是（ ） A ．P Q +是关于x 的四次多项式 B ．P Q +是关于x 的八次多项式 C ．P Q 是关于x 的四次多项式 D ．P Q 是关于x 的八次多项式7. （2022秋·上海青浦·七年级校考期中）在代数式22x y 中，x 与y 的值各减少50%，则该代数式的值减少了（ ） A ．25%B ．50%C ．75%D ．87.5%8. （2022秋·七年级单元测试）若()()24223x x n x x k ++=+-，则n ，k 的值分别是（ ）A ．5、20B ．5、20C ．5、20D ．5、209. （2022秋·上海宝山·七年级校考期中）计算：()2111025x xy x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭___________；10. （2022秋·上海嘉定·七年级校考期中）计算：()21ax ax ⋅-=___________．11. （2022秋·上海·七年级上海市西延安中学校考期中）计算：221(236)3ab a ab b --+= __________．12. （2022秋·上海普陀·七年级统考期中）计算：()()32236x y x x -⋅+-=______．13. （2022秋·上海·七年级专题练习）已知x 3＋ax 2＋bx ＋c ＝（x ＋1）（x ﹣2）（x ＋3），则a ＋b ＋c ＝________． 14. （2022秋·上海·七年级专题练习）已知35x x -=，35y y -=，且x y ≠，则22x xy y ++=__________15. （2022秋·上海长宁·七年级上海市第三女子初级中学校考期中）如果()()22x x m x x n -+=++，那么m =___________，n =___________．16. （2022秋·上海静安·七年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）计算：（1）()33a -=__________， （2）()()432a a a -⋅-⋅=__________，（3）()()443a a ⎡⎤-⋅-=⎣⎦__________，（4）()()3112a a --=__________．17. （2022秋·上海虹口·七年级校考期中）小红准备完成题目：计算，她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了．(1)她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：()()2321x x x ++-；(2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的，”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？18. （2022秋·上海嘉定·七年级校考期中）计算： (1)()2231322xy xy xy ⎛⎫--⋅- ⎪⎝⎭(2)()()23322322a a a a a -+--⋅⋅19. （2022秋·上海闵行·七年级统考期中）阅读材料：在学习多项式乘以多项式时，我们知道1(4)(25)(36)2x x x ++-的结果是一个多项式，并且最高次项为：312332x x x x ⋅⋅=，常数项为：45(6)120⨯⨯-=-．那么一次项是多少呢？ 要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项系数就是：15(6)2(6)434532⨯⨯-+⨯-⨯+⨯⨯=-，即一次项为3x -． 参考材料中用到的方法，解决下列问题：(1)计算(2)(31)(53)x x x ++-所得多项式的一次项系数为 ．(2)如果计算22(1)(3)(21)x x x x a x ++-+-所得多项式不含一次项，求a 的值； (3)如果202220222021202001220212022(1)x a x a x a x a x a +=+++⋯++，求2021a 的值．1. 如图，正方形ABCD 与正方形BEFG ，点C 在边BG 上，已知正方形ABCD 的边长a ，正方形BEFG 的边长为()b a b <，用a 、b 表示下列面积，DE 与GB 相交于点H ，下列各选项中不正确的是（ ）A ．DAE ABGD S S =梯形△B ．DHG HBE S S =△△C ．DEG ABCD S S =正方形△D ．DEG GBE S S =△△如果A 、B 都是关于x 的单项式，且A B ⋅是一个八次单项式，A B +C ．一定是四次D ．无法确定2. 计算：()()22x y xy -⋅=___________．3. 若2531207x b ax x x c ，则()ba c +=______．4. 已知2332A x ax y =+-+，22243B bx x y =--+，且A 与B 的3倍的差的值与x 的取值无关，求代数式()221114632263ab a b a ab a b ab ⎡⎤⎛⎫-+-+--- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值．5. 计算：(1)()23243335453xy x y xy x y ⎛⎫+-⋅ ⎪⎝⎭；(2)()3222362325333x y z x y z x y z xy ⎛⎫+-⋅ ⎪⎝⎭．。
整式的乘法(1)
初一数学导学提纲：第七章整式的运算9整式的乘法（1）一、目标认同：学习目标：探索整式乘法运算法则的过程；会进行单项式与单项式相乘的运算. 学习重点：会进行单项式与单项式相乘的运算.学习难点：理解整式乘法运算的算理，准确运用运算法则.学习方法：自学，小组交流，师生交流二、自主学习：完成想一想中的问题。
想一想：（1）这两副画的面积分别是多少平方米？__________ ______________（2）可以表达得更简单些吗？___________ _____________说说你的理由。
（3）计算3a 2b ·2ab 3 = _________(xyz)·y 2z = _________你的依据是什么？_______________________（4）如何进行单项式与单项式相乘的运算？单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别__________，其余字母连同它的指数________，作为_____________。
三、合作学习：１．例1：计算：（1）2xy 2·31xy (2) (﹣2a 2b 3)·(﹣3a)(3) (4×105)·(5×104) (4))5.0()4.2(432x y x -⋅-2. 补充例题：(1) (-5a 2b 3)(-3a) (2) (2x)3(-5x 2y)(3) (-3ab)·(-a 2c)2·6ab(c 2)3(4) 2323)4()()6()3()5(x xy xy xy y y x -⋅--⋅-+-⋅四、练习反馈：课本第21页随堂练习1、2习题1、（1）（2）①2344()()2()()x x x x x x -⋅-+⋅---⋅ ②122333m m m x x x x x x ---⋅+⋅-⋅⋅五、检测总结：1．本节课有哪些收获：2．检测：①________3223=∙-a a ②________)4(33=-∙b a b a ③_________)31()3(11=∙-+y x y x n n n ④________6312=∙a a ⑤________42322=∙b a ⑥________)(23=-∙n m b a b a ⑦2232)(31)(6x y ab y x b a -∙-∙-布置作业：1．预习作业：导学提纲《整式的乘法（二）》2．巩固作业： A ：《课》第21页习题1、（3）（4）2、B ：《伴》第15页：能力挑战14、反思：。
整式的乘法(一)
课题整式的乘法与因式分解——（一）整式的乘法1教学目标1、掌握底数，指数，幂的概念；2、掌握同底数幂的乘法法则；3、熟练运用幂的乘方法则进行计算；4、熟练运用积的乘方法则进行计算。
重点难点考点重点：幂的运算难点：幂的综合运算教学基本内容、知识大纲（一）同底数幂的乘法（二）幂的乘方（三）积的乘方作业布置课后作业教师反馈知识掌握（30%）①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩总得分满分100教师签名能力培养（40%）①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩分思想态度（30%）①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩本次课总体评价学生自评本次课收获和自我感受（对应分值上打ⅴ）①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩学生签名家长意见家长签名知识点讲解知识点一：同底数幂相乘●课前预习1．n a 的意义是n 个a ，我们把这种运算叫做乘方。
乘方的结果叫做 。
a 叫做 ，n 是 。
2．根据乘方的意义填空：52________,=101010101010___⨯⨯⨯⨯⨯=。
3．23()___,()_____.a a -=-=22()__(),x y y x -=-33()__().x y y x -=-4．一种电子计算机每秒可进行1410次运算，它工作310秒可进行多少次运算？●知识探究1.探究：根据乘方的意义填空，看看计算结果有什么规律： （1）()5222(_________)(22)2;⨯=⨯⨯= （2）()32()(____);a a a a a a == （3）()5n 555__________5.m n m ==个个（）（）2. 猜想：_____m n a a =（,m n 都是正整数）。
3.验证：(________)(________)m n m an aa a =个个__________________==()a4.归纳：同底数幂的乘法法则：________m n a a =（,m n 都是正整数）。
文字语言：同底数幂相乘，底数 ，指数 。
5.类比猜想：_______m n p a a a =（,,m n p 都是正整数）。
14.1.4 整式的乘法(第1课时)说课稿 2022-2023学年人教版八年级上册数学
14.1.4 整式的乘法(第1课时)说课稿一、教材分析本节课是人教版八年级上册数学的第14章“代数式的基本操作”中的第1节“整式的乘法”。
在这节课中，我们将学习整式的乘法运算。
二、教学目标1.知识与技能：–掌握整式的乘法运算的基本规则和方法。
–理解乘法的交换律。
–能够应用整式的乘法解决实际问题。
2.过程与方法：–通过观察、实践和思考，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
–通过讲解、练习和讨论，提高学生的数学运算技巧和策略选择能力。
3.情感态度价值观：–培养学生对数学学科的兴趣和探索精神。
–引导学生正确对待失败和挫折，在解题过程中培养学生的坚持不懈和勇于尝试的品质。
三、教学重点与难点1.教学重点：–整式的乘法运算的基本规则和方法。
–乘法的交换律。
2.教学难点：–整式的乘法运算的应用解决实际问题。
四、教学过程1.导入新课：通过引入一个实际问题，引起学生的兴趣和思考。
例如：小明买了3本数学书和4本英语书，每本数学书的价格是5元，每本英语书的价格是8元，那么小明总共花费了多少钱？让学生思考如何解决这个问题。
2.引入新知：根据学生的思考，引入整式的乘法运算。
解释整式就是由常数项和各种同类项加减而成的代数式，然后引出整式的乘法运算的基本规则和方法。
3.示例演示：通过一些具体的例子，演示整式的乘法运算的步骤和操作方法。
例如：(3x + 4)(2x - 5)的乘法运算过程。
4.理解巩固：让学生通过练习，巩固整式的乘法运算。
设计一些练习题，让学生独立完成，并让学生互相交换答案，进行讨论和纠正。
5.拓展应用：让学生通过一些实际问题，应用整式的乘法运算解决实际问题。
例如：小明的房间长5米，宽3米，他想铺一个长宽相同的正方形地毯，地毯每平方米的价格是10元，那么他需要花费多少钱买地毯？6.归纳总结：引导学生总结整式的乘法运算的基本规则和方法。
强调乘法的交换律，并帮助学生理解乘法的交换律在整式的乘法中的应用。
7.课堂小结：对本节课的内容进行总结，确保学生掌握了整式的乘法运算的基本规则和方法。
《整式的乘法》第一课时教案
《整式的乘法》第一课时教案《《整式的乘法》第一课时教案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！1.教学内容(1)单项式与单项式相乘法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.(2)单项式与多项式相乘法则:一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.2.地位与作用单项式乘单项式综合用到有理数的乘法、幂的运算性质等知识，它是学习多项式乘法的基础，在整式乘法中，它有承前启后的作用，是整式乘法的关键.单项式乘多项式是研究多项式与多项式相乘、整式的除法和因式分解的基础，同时也是学习物理、化学等学科不可缺少的工具.本节课的教学效果将直接影响后续课程的教学.3.教学重点(1)单项式与单项式相乘法则的概括过程和运用.(2)单项式与多项式相乘法则的概括过程和运用.二、目标解析1.目标(1)理解单项式乘单项式、单项式乘多项式法则.(2)能够运用单项式乘单项式、单项式乘多项式法则进行运算.(3)在探索单项式与多项式相乘法则中，发展学生的运算能力，体会转化思想和数形结合的思想.2.目标解析(1)学生能理解并掌握单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘法则.(2)学生能运用单项式与单项式、单项式与多项式相乘法则.(3)结合具体的实例，让学生体会从特殊到一般的数学思想及类比的学习方法.三、学情诊断八年级学生已经掌握了有理数的乘法，并对幂的运算性质有一定的认知水平，再利用单项式与单项式相乘法则过程中，符号是计算过程中极易出错的问题.单项式与多项式相乘是利用乘法分配律展开，结果是一个多项式，其项数与多项式中的项数相同,学生往往出现漏乘现象.四、教学策略1.教学手段利用多媒体和导学案辅助教学，提高课堂效率和学生的积极性.2.教学工具电脑和投影仪.五、教学过程本节课以教材为蓝本，以学生为主体，以高效为目标，以多媒体和导学案为手段，我将整个教学过程设计为以下8个环节：1.观看视频，激发热情首先让学生欣赏一段天宫二号起飞的视频，再提出问题：“天宫二号飞行的高度怎么求?”，由于学生已经学过路程问题，他们很快能说出“速度乘时间”.【设计意图】由天宫二号起飞视频入手，提高学生的学习积极性，既能让学生体会到数学来源于生活，也能服务于生活，更能激发学生的爱国热情.2.引入问题，探索新知新课标指出，教师是课堂教学的组织者、引导者、合作者，学生才是学习的主体.因此在这一环节，我引导学生探索，设置了问题1.问题1“天宫二号”垂直起飞的平均的速度约7×103m/s,垂直飞行的时间约2×102s，你知道“天宫二号”垂直飞行路程约是多少吗?问题1是由学生观看的视频抽象出来数学问题，并提出问题:“天宫二号”的垂直飞行的路程是多少呢?学生根据已经学过的知识，很容易的得出结论(7×103)×(2×102)m.我接着问：“那么(7×103)×(2×102)等于多少呢”，学生根据整数与整数的乘法和科学记数法等知识，能求出结果是1.4×106.肯定学生的回答后，再次追问了一个问题：在计算(7×103)×(2×102)的过程中，运用了哪些运算律和运算性质?这个问题不是很难，学生能够回答，结论是：乘法交换律、乘法结合律以及幂的运算性质.为了进一步引导，我追问了两个问题.追问1如果将数据7×103改为7c3,2×102改为2c2，怎样计算7c3·2c2这个式子?追问2如果将数据7c3改为ac3,那怎样计ac3·2c2这个式子?追问1是将问题1中物理问题转化为纯数学问题，把数据10换成c.追问2是将思考题1中的7换成了a.通过追问1和追问2，我把“数”的运算转化为“式”的运算，并在此基础上，让小组合作讨论、归纳和总结出“式”的运算规律，即单项式与单项式相乘法则.【设计意图】第一个环节，是为探索单项式与单项式相乘法则做知识铺垫，第二个环节通过由特殊到一般，由具体到抽象，通过类比得出单项式与单项式相乘法则，同时也培养学生了探索新知的方法3.总结新知，应用新知通过问题1探究，归纳提炼出单项式与单项式相乘法则，即：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.在这个运算法则里，要强调三个方面的内容，即系数、同底数幂和只在一个单项式里含有的字母.为了引导学生使用这个法则，我设置了例题1.例1计算：(1)(-5a2b)(-3a)(2) (2x)3(-5xy2)运用法则解决问题时，首先要认清式子的结构，即是否单项式与单项式相乘.显然例1第一题符合这样的结构，而例1第二题不符合这样的结构，式子里面有一个积的乘方运算，所以先运算积乘方，然后转化为单项式与单项式相乘.【设计意图】引导学生使用法则，加深学生对法则的理解.4.应用新知提高能力为了突出难点1，我设置了练习1和练习2.练习1口算下列各题，看谁算得又对又快：(1) 6x2·3xy(2) 4y·(-2xy2)(3) (-3ab)·2ab2(4) (-3x)2·5x3练习2计算：(1) (-3x)2·4x2(2) (-2a)3·(-3a)2练习1是一个抢答题，不但提高了学生的积极性，也活跃了课堂气氛，更让学生加强了对法则的理解和应用.练习2由学生独立完成，学生代表板书.师生共同点评学生代表板书结果，适时提醒学生注意符号问题.练习1、练习2加强了单项式与单项式相乘法则的应用.【设计意图】第一个环节是为了激发学生的积极性，活跃课堂氛围，初步检查了部分学生的掌握情况.第二个环节是检验全体学生的掌握情况.5.引入问题再探新知为了突破重点2，我引入了问题2，把实验中学的“思源广场”花坛抽象成为数学问题.问题2为了扩大绿地面积，实验中学把“思源广场”的一块长pm，宽bm的长方形绿地，向两边分别加宽am和cm，你能用几种方法表示扩大后的整个绿地面积?学生根据数形结合思想，用两种不同方式表示花坛的面积，利用面积不变这一条件，得到一个单项式乘多项式等于多项式，并由小组合作探究单项式与多项式相乘的规律.【设计意图】由校园内的“思源广场”引出新知，可以增加学生的学习兴趣.在推导法则过程中，体会转换和数形结合的思想的应用.6.归纳新知应用新知根据小组探究结果，由小组代表总结出单项式与多项式相乘法则，即：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.在得出单项式与多项式相乘法则后，引导学生发现，单项式与多项式相乘，实质是利用乘法分配律转化为单项式与单项式相乘，再把所得的积相加.这一过程体现了转化的数学思想.为了突破难点2，我设置了例题2.例2计算：(1)(-4x)·(3x+1)(2)【设计意图】加强对法则的理解，由老师根据法则完成例题2，并适时提醒学生避免出现“漏乘”现象，并注意符号问题.7.训练新知拓展提升第一个环节，为了突破难点2，我设置了练习3.练习3计算：(1)3a(5a-2b)(2)(x-3y)(-6x)练习3由学生独立完成，学生代表板书.师生共同点评学生代表板书结果，并了解下面学生掌握情况，适时提醒可能出现的问题.【设计意图】由学生独立完成，学生代表板书，可以检验学生对法则的掌握情况为了培养学生的发散思维，第二个环节设置了一个拓展提升题：如图是改造后的“思源广场”花坛，你能求出它的整个面积吗?在这个环节中，小组内再次合作交流，从不同角度看待这个问题，通过一题多思，一题多解培养学生的探索精神和创新意识.通过学生发言讲解，体现学生是课堂的主体，把课堂真正还给学生.【设计意图】用不同方法求面积，培养学生的发散思维.8.总结收获课后反思为了让学生能清晰的理出本节课所学的知识，我引导学生从两个方面进行总结：(1)本节课在数学知识上你有哪些收获?(2)本节课体现出了哪些数学思想?【设计意图】通过归纳总结，优化知识结构，完善知识体系，体会数学思想，提高认知水平，同时培养了学生的归纳能力、语言表达能力.本节课同学们共同探讨了单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘法则，知识点都是学生通过探索、归纳发现的.对知识的理解步步深入，达到了各层次的目标要求，并且本节课注重了知识的拓展延伸，使课堂效益达到最佳状态.《整式的乘法》第一课时教案这篇文章共10120字。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1、同底数幂的乘法法则：
a m. a n am +n
2、幂的乘方：
(am )n amn
复习提问？
3、积的乘方：
(a b)n an bn
其中 m , n都是正整数
小测试题
计算： (1) (103)5 (3) (－3xy2)3 (5) m3(－m)6 (－m)5 (6) (x+y)2·(x+y)3
思想方法收获
转化思想
应用收获 生活中处处有数学
挑战自我：
1、 已 知am+n 4, bm+n 3,求
( 1 ambn ) ( 1 anbm )的 值
4
3
2、(-xyª) ·nx²y2= 6x³y4 则 n = -_6_, a = _2_
再见！
地球与太阳的距离约是
(3×10５) ×(5×10２)千米．
＝（3 × 5） ×（105 × 102）
＝ 15 ×10７
＝1.5 ×108（千米）
讨论：
怎样计算2ac5•3bc2这个式子？
2ac5•3bc2是两个单项式2ac5与3bc2相乘，
我们可以利用乘法交换律，结合律及同底 数幂的运算性质来计算：
(2) (2ab2)2 ·(-3a2) + a3b·2ab3
＝-10a4b4
如果a·a可以看做是边长为a的 正方形的面积，那么你会说明 3a·2b, 5a·b·3a的几何意义吗？
单项式相乘的几何意义
如果a·a可以看做是边
长那为么a你的会正说方明形3的a·2面b,积a，
5a·b·3a的几何意义吗？
对于只在一个单项式中含有的 字母，则连同它的指数一起作 为积的一个因式。
例题（1）
(2xy2 ) • (1 xy) 3
注意这里体现 了结合律及交 换律
解：原式= (2 1) (xx)( y2 y) 3 把系数相乘 把相同字母的幂分别相乘 做积的因式
2 x1+1 y2+1 2 x2 y3
3
3
例题 (2)
a
a·a的几何意义：a·a可以看作边长 是a的正方形的面积
3a·2b
2b
3a
3a·2b的几何意义： 3a·2b可以看作 是长是3a ，宽是2b的长方形的面积
5a·b·3a
3a b
5a
5a·b·3a的几何意义： 5a·b·3a可以看
作长是5a ，宽是b，高是3a的长方体的 体积.
知识收获 单项式与单项式相乘的法则
(2a2b3 ) • (3a)
[ ] 解：原式= (2)× (3) a2a1 b3
把系数相乘
6a3b3
作为积的因式
把相同字母的幂分别相乘
其余字母连同它的指数不变
例题 (3)
科学记数法表示的数也是单项式
(4 105 ) (510 4 )
解：原式 (45) (105 104 )
20105+4
（1）6x2·3xy
（2）（2ab2）·（ －3ab ） （3）（mn）2 ·（－m2n） （4） (-5amb) ·(-2b2) （5）（4×106）（8×102）
例 算一算：
对于三个或三个以上的单项 式相乘，法则仍然适用(－5aຫໍສະໝຸດ b)·(－3a) ·(－2ab2c)
试一试：
(1) (-3ab)·(-a2c)·6ab2 ＝18a4b3c
(2) (－x2)7 (4) (ab)10
回忆1 （1）什么是单项式？
数或字母的积,这样的式子叫做单项式.单独的 一个数或一个字母也是单项式.
（2）什么叫单项式的系数？
• 单项式中的数字因数 叫做这个单项式的系数。
（3）什么叫单项式的次数？
• 一个单项式中，所有 字母的指数的和 叫做这个单项式
的次数。
回忆2
你知道这是什么吗？
ab=ba
乘法交换律
(ab)c a(bc)
乘法结合律
你能说出结果吗？
x²x1= x³ (amb)n amnbn
这是前面才学过的同底数幂的乘法及积的乘方.
问题 光的速度约为３×１０５ 千米／秒，太阳光照射到地球上 需要的时间大约是５ ×１０２秒， 你知道地球与太阳的距离约是多 少千米吗？
2ac5•3bc2 = ( 2×3) • a •b•(c5•c2) = 6abc5+2=6abc7.
思考：
通过以上的计算，谁能告诉大家怎样进行单 项式乘法运算?
（1）系数相乘 （2）相同字母的幂相乘 （3）其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
单项式乘以单项式法则：
单项式与单项式相乘，把它们
的系数、相同字母分别相乘，
可结论以2一了定1要吗0化10简？
科学记数法是 有规定的。
下面的计算对不 对？如果不对，怎样改正？
⑴5a2 2a3 10a56 ⑵2x 3x4 56x55
⑶ 3s 2s7 66ss78 ⑷ 2 a3 a26a3 ⑸ 28 2a3 29 a3
正确
赛一赛：计算以下各题：