奥林匹克物理竞赛讲座 电磁感应

ð再论洛仑兹力不做功
因洛仑兹力垂直于v，所以功率
P
f
v
0
非静电力来源于洛仑兹力。
但洛V仑兹力v不做功u，是否矛盾？
FeveVBB(e)ue(vBu)B f f'
f ' f
f为非静电力来源，欲使导体棒以v向右运动，
必须克服f’，即外力克服f‘做负功。
可以证明，洛仑兹力f所作的正功等于f’对棒所 作的负功。
[例题] 宽为L的长薄导体平板沿x 轴水平放置, 平板的电阻可以忽 略不计. 圆所在平面与x轴垂直, 圆弧的两端a和d与导体平板的 两侧边相接触, 并可沿侧边自由 滑动, 电压表的两端分别用理想 导线与b点和C 点连接. 整个装 置处在匀强磁场区域, B竖直向 上. 保持导体平板不动，圆形导 线与电压表一起以恒定速度v沿 x轴方向作平移运动 。
左右对称
RAB
2R
RRAB R RAB
RAB （1 3）R
R外
1 2
(1
3)R
磁铁运动, 相当于每个条幅在做切割磁力线运动
圆形导线的半径为：
r 2L 2
迎着 x 轴观察, 各段圆弧 导线在垂直于B方向的投 影的长度分别为：
lae
leb
lcf
l fd
rL 2
lbc L
2 1 L 2
连接电压表的两根理想导线在垂 直于B方向上的投影的长度均为：
l' L
2
lae, leb, lcf, lfd因运动切割磁感线而产生的感应电动 势的大小均为:
f对棒所作的P1功率e(v
B)
u
f‘对棒所作P的2功率e(u
B)
v
(v
B)(aub)vc (u
a
B)
(c
b)
(u
B)
v
所以F的总功率为：
P
P1
P2
e(v
B)
u
e(u
B)
v
0
即洛仑兹力不做功
故洛仑兹力作用并不是提供能量，而是传递能 量，即把外力克服洛仑兹力做功通过另一个洛 仑兹力分量转化为电流的能量。
磁场平 行，(v则 ：B)
l
vBl
Bll
b b Bll 1 Bl 2
a
a
2
A端累积正电荷，B端累积负电荷
UB UA
UA
UB
1 2
Bl 2
线圈在磁场中改变面积或旋转时均 会产生感应电动势和感应电流
ð非静电力
K
非
l
又
(v
B)
l
K非
v
B
即单位电荷所受到的洛仑兹力，所以非静电力来源 于洛仑兹力。
试求: 1. 电压表的读数；
2. e 点与 f 点之间的
电势差 Uef。
[解]圆形导线以及b、c与电 压表的连线在磁场中运动 时, 各段导线都在切割磁力 线。会产 生相应的感应电 动势. 从几何上容易确定各 段导线在与B垂直方向上投 影的长度, 相应电动势随即 可以算出。
圆形导线、电压表、理想导线以及导体平板构成 了导电的网络, 由己知的电阻分布和各感应电动势, 不难求出电压表的读数以及 e 点与 f 点之间的电势差。
B t
B
cos
S t
BS
sin
t
只要B/t，S/t，/t不同时为零，总有。
ä电动势的方向由楞次定理给出：
闭合回路中感应电流的方向，总是使得它所激发
的磁场来阻止引起磁感应电流的磁通量的变化。
ä楞次定理的实质：能量守恒律
当磁棒移近螺线管时，螺线管中产生的磁场排斥， 即要克服这个排斥力作功，另一方面导体中有感 应电流要发热，因而外力的功转化为能量。 若不是这样，即当磁棒插入时螺线管吸引磁棒， 即不需外力就可自行进入，同时导体中的感应电 流要发热，何来能量？
感应电动势的方向总是企图由它产生的感应电流 建立一个附加磁通量，以阻碍引起感应电动势的 那个磁通量的变化。
t
韦伯/秒
注意
ä 感应电动势比感应电流更本质，既使回路不
闭合，仍有感应电动势存在。 ä 感应电动势产生的原因是磁通量的变化，与
原来磁通量的大小无关。
B S BS cos
t
S
cos
R
I2 I
I3 3 Rv
2
2 3
0
I1 (
R 2
R 2
R 2
R) 2
I 3 Rv
2 3
0
因为23=2=BLv，可将方程组简化为：
II12
R
I2 I3 I3RV
2I1R I3Rv BLv
所以：电压表读数为：
I1
n 1 3n 2
BLv R
I2
n 3n
2
BLv R
I
3
n 3n
2
BLv R
V
I 3 RV
n 3n
2
BLv
e和f之间的电势差为：
U ef
I1(
R 2
R 2
)
1
1
n 1 3n 2
2 1BLv
2
2n 1 3n 2
BLv
[例]无限长的光滑导轨上有一辆载有磁铁的小车, 质 量为m, 磁极N在下, S在上, 磁铁的端面为边长为a的 正方形(设磁场全部集中在端面, 磁感应强度为B), 两 导轨之间焊接有一系列的金属条, 构成边长为a的正 方形格子, 每边电阻为R, 要使小车以匀速度下滑, 则 导轨的倾角为多少?
1 来自百度文库221BLv
lbc因运动切割磁感线而产生的感应电动势为:
2 BLv
l’因运动切割磁感线而产生的感应电动势为:
3
1 2
BLv
考虑到各个感应电动势的方向以及各段导线的 电阻, 可将电路网络画出, 如图所示，各支路中 标明假设的电流方向.于是, 由直流电路的基尔 霍夫方程, 可以得出：
I1 I2
第六讲 电磁感应
一、 电磁感应定律
1、 Faraday电磁感应定律
电磁感应的共同规律
ä 当通过导体回路的磁通量随时间发生变化时，回 路中就有感应电动势产生，从而产生感应电流。
磁场的变化 磁通量的变化导体回路在磁场中运动
导体回路一部分切割磁力线运动
感应电动势的大小与磁通量变化的快慢有关，或 者说与磁通随时间的变化率成正比。
[例]半径为R和r，相距为Z的同轴平面线圈a和b， 若R>>r，Z>>R,在b中有电流I，线圈a沿Z轴 以v向上运动，求a中的。
[解]b线圈在Z轴上产生的磁 感应强度
B
0I
2
R2 (R2 Z 2 )3/2
0I
2
R2 Z3
选a逆时针 方向 为正，则
B S Br 2
s
0I
2
R2 Z3
r 2
t
30IR2r 2
2Z 4
Z t
30R2r 2
2Z 4
Iv
>0, 表明电流方向与选定方向一致.
2. 动生电动势和感生电动势
动生电动势
ð闭合回路
闭合回路，设恒定磁场B
lim t 0
' t
若回路中v=0，或vB=0，则对电动势无贡献。
ð一段导体
b
(v
B) l
a
b
vBl BLv
a
若一端固定的棒l以角速度旋转，角速度方向与