参数方程的概念(用)
参数方程与参数方程的应用
参数方程与参数方程的应用参数方程是描述曲线或曲面的一种常见方法，通过给出自变量的取值范围，我们可以得到相应的因变量。
在数学、物理、工程等领域中，参数方程被广泛应用于描述和解决各种问题。
本文将介绍参数方程的基本概念，以及它在不同领域中的应用。
一、参数方程的基本概念参数方程由自变量和因变量组成，一般形式为：x = f(t)y = g(t)其中，x和y表示曲线上的点的坐标，t是自变量的取值，f(t)和g(t)是与t相关的函数。
通过给定不同的t值，我们可以得到不同的曲线上的点。
参数方程的优势在于能够轻松地描述一些复杂的曲线形状，如椭圆、双曲线和螺旋线等。
与直角坐标系相比，参数方程对于描述曲线的形状更加直观和灵活。
二、参数方程的应用案例1. 物理学中的抛体运动抛体运动是物理学中经典的运动问题之一。
在空中投掷物体时，其运动轨迹可以使用参数方程来描述。
假设一个物体以初速度v0以角度α抛出，空中运动一段时间后，其轨迹可由以下参数方程表示：x = v0 * cos(α) * ty = v0 * sin(α) * t - (1/2) * g * t^2其中，g是重力加速度，t为时间。
通过这个参数方程，我们可以计算物体在不同时间点上的位置坐标。
这对于预测物体的落点和弹道分析非常有用。
2. 工程学中的曲线设计在工程领域，曲线的设计是一项重要的任务。
参数方程可以用于描述和控制曲线的形状。
例如，在高速公路建设中，我们需要设计道路的水平转弯曲线。
通过使用参数方程，我们可以根据设计要求控制曲线的曲率和变化率。
另外，参数方程还可以用于描述和控制工程中的其他曲线，比如流线型物体的设计、飞机机翼的曲线和汽车车身的造型等。
通过调整参数方程中的参数，我们可以灵活地控制曲线的形状，以满足设计需求。
3. 经济学中的需求曲线在经济学中，需求曲线是描述市场上消费者对商品或服务需求的一种方式。
需求曲线可以用参数方程来表示，其中价格作为自变量，需求量作为因变量。
参数方程的概念学案
参数方程的概念学案导语：参数方程是描述曲线或曲面上各点坐标的一种方式。
它通过引入新的参数变量，将曲线或曲面的坐标表示为参数的函数形式。
本文将介绍参数方程的概念及应用，并通过具体的例子来解释其原理和用途。
一、什么是参数方程参数方程是数学中用来描述曲线或曲面的一种方式。
其主要思想是将曲线或曲面上的点的坐标表示为一个或多个参数的函数形式。
常见的参数方程有二维参数方程和三维参数方程。
1. 二维参数方程二维参数方程是将平面上的点的坐标表示为一个参数的函数形式。
通常情况下，我们用t来表示参数。
例如，对于平面上的一条曲线，我们可以用参数方程表示为x = f(t)，y = g(t)，其中f(t)和g(t)是关于t的函数。
2. 三维参数方程三维参数方程是将空间中的点的坐标表示为多个参数的函数形式。
同样，我们用t1、t2等来表示参数。
例如，对于三维空间中的一个曲面，我们可以用参数方程表示为x = f(t1, t2)，y = g(t1, t2)，z= h(t1, t2)，其中f(t1, t2)、g(t1, t2)和h(t1, t2)是关于t1和t2的函数。
二、参数方程的原理参数方程的原理是利用参数来表示曲线或曲面上的各个点的坐标。
通过改变参数的取值范围，我们可以获得曲线或曲面上的不同点。
参数方程可以将复杂的曲线或曲面分解为简单的参数函数，从而方便进行计算和分析。
三、参数方程的应用参数方程在数学中有着广泛的应用，特别是在几何学、物理学和工程学等领域。
1. 几何学中的参数方程在几何学中，参数方程常被用来描述曲线和曲面的形状和性质。
例如，通过参数方程，我们可以得到圆、椭圆、抛物线和双曲线等曲线的方程，从而进一步研究它们的几何性质。
参数方程的概念、参数方程与普通方程的互化 课件
③根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方
法
)例如借助1＋2tt22＋11－＋tt222＝1，t＋1t 2－t－1t 2＝4
等 )从整体上消去参数．
2．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量 x 和 y 的取值范围扩大或缩小，必须根据参数的取值范围， 确定函数 f(t)和 g(t)的值域，即 x 和 y 的取值范围．
所以 y＝1±sin θ.
不 妨 取 y ＝ 1 ＋ sin θ ， 则 所 求 的 参 数 方 程 为
x＝cos θ，
(θ 为参数)．
y＝1＋sin θ
归纳升华 1．消去参数的方法主要有三种． ①利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后运用代 入消元法或加减消元法消去参数． ②利用三角恒等式借助 sin2θ＋cos2θ＝1 等消去参数．
2．求曲线参数方程的步骤：第一步，建立适当的直 角坐标系，设出曲线上任一点 M 的坐标为(x，y)，画出草 图；第二步，选择适当的参数，参数的选择要考虑两点： 一是曲线上有一点的坐标(x，y)与参数的关系比较明显， 容易列出方程；二是 x，y 的值可以由参数唯一确定；第 三步，
根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等， 建立点的坐标与参数的函数关系式，并化成最简形式；第 四步，证明以化简后的参数方程的解为坐标的点都是曲线 上的点．(求解过程中第四步通常省略，但要通过检验， 并准确标注参数及其取值范围．)
温馨提示 在互化的过程中，必须使 x，y 的取值范 围保持一致．
类型 1 参数方程的概念
[典例 1] 已知曲线 C 的参数方程为xy＝＝2t2t＋1，(t 为 参数)．
(1)判断点 A(1，0)，B(5，4)，E(3，2)与曲线 C 的位 置关系；
参数方程的概念(教案)
参数方程的概念(教案)第一章：参数方程的引入1.1 参数方程的定义与意义解释参数方程的概念，强调参数在方程中的作用举例说明参数方程与普通方程的区别和联系1.2 参数方程的表示方法介绍参数方程的表示方法，包括曲线方程和参数方程的转换演示如何将普通方程转换为参数方程，以及反之第二章：参数方程的图像2.1 参数方程的图像特点分析参数方程图像的性质，如曲线的形状、方向等举例说明不同类型的参数方程产生的图像特点2.2 参数方程图像的绘制方法介绍参数方程图像的绘制方法，包括直接绘制和变换法演示如何利用图形软件或手工绘制参数方程图像第三章：参数方程的应用3.1 参数方程在几何中的应用探讨参数方程在几何领域中的应用，如圆的参数方程、双曲线的参数方程等举例说明参数方程在几何问题解决中的作用3.2 参数方程在物理中的应用介绍参数方程在物理学中的应用，如质点运动轨迹的参数方程举例说明参数方程在物理问题解决中的作用第四章：参数方程的转换与化简4.1 参数方程的转换探讨参数方程之间的转换方法，如代数法、三角法等举例说明如何将一个参数方程转换为另一个参数方程4.2 参数方程的化简介绍参数方程化简的方法和技巧，如消元法、代入法等举例说明如何将复杂的参数方程化简为简单的形式第五章：参数方程的解法5.1 参数方程的解法概述解释参数方程的解法概念，强调解法的重要性和方法举例说明参数方程解法的基本步骤和注意事项5.2 参数方程的解法实例通过具体实例演示参数方程解法的具体步骤和技巧探讨不同类型的参数方程解法方法和解的意义第六章：参数方程与直角坐标系的转换6.1 参数方程与直角坐标系的转换方法介绍参数方程与直角坐标系之间的转换方法演示如何将参数方程转换为直角坐标方程，以及反之6.2 转换过程中应注意的问题探讨在转换过程中可能遇到的问题及解决方法举例说明转换过程中可能出现的困难和解决方法第七章：参数方程在优化问题中的应用7.1 参数方程在优化问题中的应用概述解释参数方程在优化问题中的应用，强调其作用和意义举例说明参数方程在优化问题解决中的作用7.2 参数方程在实际优化问题中的应用探讨参数方程在实际优化问题中的应用，如曲线拟合、参数优化等举例说明参数方程在实际优化问题解决中的作用第八章：参数方程在工程中的应用8.1 参数方程在工程中的应用概述介绍参数方程在工程领域中的应用，如电路设计、机械设计等举例说明参数方程在工程问题解决中的作用8.2 参数方程在特定工程问题中的应用探讨参数方程在特定工程问题中的应用，如antenna design、optimal control 等举例说明参数方程在特定工程问题解决中的作用第九章：参数方程在科学研究中的应用9.1 参数方程在科学研究中的应用概述解释参数方程在科学研究中的应用，强调其作用和意义举例说明参数方程在科学研究问题解决中的作用9.2 参数方程在特定科学研究领域中的应用探讨参数方程在特定科学研究领域中的应用，如astrophysics、biological modeling 等举例说明参数方程在特定科学研究问题解决中的作用第十章：参数方程的综合应用与实践10.1 参数方程在综合应用中的实例分析通过具体实例分析参数方程在综合应用中的重要作用强调参数方程在实际问题解决中的灵活运用10.2 参数方程实践操作与练习指导学生进行参数方程实践操作，如绘制图像、解决实际问题等提供参数方程练习题目，让学生巩固所学知识重点和难点解析重点环节一：参数方程的定义与意义重点关注参数方程的概念和作用，理解参数在方程中的重要性。
参数方程的概念
曲线的参数方程1．参数方程的概念(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．(2)参数的意义：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．参数方程与普通方程的区别与联系(1)区别：普通方程F (x ，y )＝0，直接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有x ，y 两个变量；参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )(t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有三个变量t ，x ，y ，其中x 和y 都是参数t 的函数．(2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t 的一个值，就可以求出唯一对应的x ，y 的值．这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程．1．下列方程中可以看作参数方程的是( )A ．x －y －t ＝0B ．x 2＋y 2－2ax －9＝0C.⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝t 2y ＝2t －1 D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θy ＝cos θ解析：选D.对于A ：虽然含有参数t ，但它表示的是直线系方程，直接给出了x ，y 之间的关系，是普通方程；对于B ：虽然含有参数a ，但它表示的图象方程也是普通方程；对于C ：x 2＝t 2不能把x 表示成参数t 的函数，也不是参数方程，只有D 选项满足参数方程的定义．2．点M (2，y 0)在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝t 2－1，(t 为参数)上，则y 0＝________．解析：将M (2，y 0)代入参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧2＝2t y 0＝t 2－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1y 0＝0.答案：03．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，(θ为参数，0≤θ<2π)，判断点A (2，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32是否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值．解：将点A (2，0)的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝1，sin θ＝0.由于0≤θ<2π，解得θ＝0，所以点A (2，0)在曲线C 上，对应θ＝0.将点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝2cos θ，32＝3sin θ，即⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－32，sin θ＝12.由于0≤θ<2π， 解得θ＝5π6，所以点B ⎝⎛⎭⎪⎫－3，32在曲线C 上，对应θ＝5π6.参数方程的概念已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t y ＝2t 2＋1，(t 为参数)．(1)判断点M 1(0，1)，M 2(5，4)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M 3(6，a )在曲线C 上，求a 的值．[解] (1)把点M 1的坐标(0，1)代入方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝3t ，1＝2t 2＋1. 解得：t ＝0.所以点M 1在曲线C 上． 同理：可知点M 2不在曲线C 上．(2)因为点M 3(6，a )在曲线C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧6＝3t ，a ＝2t 2＋1. 解得：t ＝2，a ＝9.所以a ＝9.(1)满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种：点在曲线上和点不在曲线上．(2)对于曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )，(t 为参数)，若点M (x 1，y 1)在曲线上，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (t )y 1＝g (t )对应的参数t 有解，否则参数t 不存在．1.曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝t －2，(t 为参数)与y 轴的交点坐标是____________．解析：令x ＝0，即t ＝0得y ＝－2，所以曲线C 与y 轴的交点坐标是(0，－2)． 答案：(0，－2)2．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2＋1y ＝2t ，(t 为参数)．(1)判断点A (1，0)，B (5，4)，E (3，2)与曲线C 的位置关系； (2)若点F (10，a )在曲线C 上，求实数a 的值． 解：(1)把点A (1，0)的坐标代入方程组，解得t ＝0， 所以点A (1，0)在曲线上．把点B (5，4)的坐标代入方程组，解得t ＝2， 所以点B (5，4)也在曲线上． 把点E (3，2)的坐标代入方程组，得到⎩⎪⎨⎪⎧3＝t 2＋1，2＝2t ，即⎩⎨⎧t ＝±2，t ＝1.故t 不存在，所以点E 不在曲线上．(2)令10＝t 2＋1，解得t ＝±3，故a ＝2t ＝±6.求曲线的参数方程如图，△ABP 是等腰直角三角形，∠B 是直角，腰长为a ，顶点B 、A 分别在x 轴、y 轴上滑动，求点P 在第一象限的轨迹的参数方程．[解] 法一：设P 点的坐标为(x ，y )，过P 点作x 轴的垂线交x 轴于Q .如图所示，则Rt △OAB ≌Rt △QBP . 取OB ＝t ，t 为参数，(0<t <a )． 因为|OA |＝a 2－t 2， 所以|BQ |＝a 2－t 2.所以点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋a 2－t 2y ＝t，(t 为参数，0<t <a )． 法二：设点P 的坐标为(x ，y )，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点Q ，如图所示．取∠QBP ＝θ，θ为参数(0<θ<π2)，则∠ABO ＝π2－θ. 在Rt △OAB 中，|OB |＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝a sin θ. 在Rt △QBP 中，|BQ |＝a cos θ，|PQ |＝a sin θ. 所以点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a (sin θ＋cos θ)，y ＝a sin θ.(θ为参数，0<θ<π2)．求曲线参数方程的主要步骤第一步，画出轨迹草图，设M (x ，y )是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系．第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x ，y 的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速度运动，角速度为π60rad/s ，试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．解：如图，运动开始时质点位于点A 处，此时t ＝0，设动点M (x ，y )对应时刻t ，由图可知：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，又θ＝π60·t ，故参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π60t ，y ＝2sin π60t .(t 为参数)．1．对参数方程概念的理解(1)曲线的参数方程中含有三个变量，并且以方程组的形式出现，其中x ，y 表示点的坐标，参数t 为中间变量，起着间接联系x ，y 桥梁的作用．(2)参数方程中，x ，y 都是关于参数t 的函数．反之，如果x ，y 虽然都能用t 表示，但不都能表示成t 的函数，它就不是参数方程．(3)曲线上任一点与满足参数方程的有序数对(x ，y )是一一对应关系．从数学的角度看，曲线上的任一点M 的坐标(x ，y )由t 唯一确定．当t 在允许值范围内连续变化时，x ，y 的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹．(4)在表达参数方程时，必须指明参数的取值范围，参数的取值范围不同，所表示的曲线可能不同．2．求曲线的参数方程(1)曲线的参数方程不是唯一的．同一条曲线由于所选取的参数不同，其参数方程的形式往往也不同．反之，形式不同的参数方程它们表示的曲线可以是相同的．(2)求曲线的参数方程，关键是选取参数．通常要结合实际问题和曲线形状选取时间、线段长度、方位角、旋转角等具有明确的物理意义或几何意义的量为参数，这样做有利于应用参数方程解决问题，当然也可以任意选取一个没有明确的实际意义的量为参数．(3)引入参数的同时，必须明确参数的取值范围．1．下列方程可以作为x 轴的参数方程的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2＋1y ＝0 B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝3t ＋1 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θy ＝0 D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ＋1y ＝0 解析：选D.选项A 表示x 轴上以(1，0)为端点向右的射线；选项B 表示的是y 轴；选项C 表示x 轴上以(0，0)和(2，0)为端点的线段；只有选项D 可以作为x 轴的参数方程．2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θy ＝sin 2θ，(θ为参数)所表示曲线经过下列点中的( )A ．(1，1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋32，－12解析：选C.当θ＝π6时，x ＝32，y ＝32，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θy ＝sin 2θ，(θ为参数)所表示的曲线上．3．已知点M (2，－2)在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t y ＝－2，(t 为参数)上，则其对应的参数t 的值为________．解析：由t ＋1t＝2解得t ＝1.答案：14．已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2ty ＝3t 2－1(t 为参数)． (1)判断点M 1(0，－1)，M 2(4，10)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M (2，a )在曲线C 上，求a 的值．解：(1)把点M 1(0，－1)的坐标代入参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝3t 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝2t－1＝3t 2－1，所以t ＝0. 即点M 1(0，－1)在曲线C 上．把点M 2(4，10)的坐标代入参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝3t 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧4＝2t10＝3t 2－1，方程组无解． 即点M 2(4，10)不在曲线C 上． (2)因为点M (2，a )在曲线C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝2t ，a ＝3t 2－1. 所以t ＝1，a ＝3×12－1＝2. 即a 的值为2.[A 基础达标]1．已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝5sin θ(0≤θ<2π)，则参数θ＝5π3所对应的点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－532B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫52，532C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－532，52D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫532，52解析：选A.θ＝5π3时，x ＝5×cos 5π3＝52，y ＝5×sin 5π3＝－532，得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－532，故选A.2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)表示的曲线是( )A ．直线B ．线段C ．圆D ．半圆解析：选C.因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以普通方程为x 2＋y 2＝1.故选C.3．若点P (4，a )在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t(t 为参数)上，则a 等于( )A ．4B ．4 2C ．8D ．1解析：选B.根据题意，将点P 的坐标代入曲线方程中得⎩⎪⎨⎪⎧4＝t 2，a ＝2t⇒⎩⎨⎧t ＝8，a ＝4 2.故选B.4．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最小值是( )A ．4B ．25C ．36D ．6解析：选A.因为(x －5)2＋(y ＋4)2＝(cos θ－3)2＋(sin θ＋4)2＝26＋10sin(θ－φ)(且tan φ＝34)．所以当sin(θ－φ)＝－1时，有最小值4，故选A.5．由方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋3t 2－4＝0(t 为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝t B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2ty ＝tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝－tD ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t y ＝－t解析：选A.设(x ，y )为所求轨迹上任一点．由x 2＋y 2－4tx －2ty ＋3t 2－4＝0得：(x －2t )2＋(y －t )2＝4＋2t 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝t.6．若x ＝t －1(t 为参数)，则直线x ＋y －1＝0的参数方程是____________． 解析：将x ＝t －1代入x ＋y －1＝0得y ＝2－t ，所以直线x ＋y －1＝0的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1y ＝2－t ，(t 为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1y ＝2－t ，(t 为参数)7．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin θ＋1，y ＝sin θ＋3(θ为参数，0≤θ<2π)．下列各点A (1，3)，B (2，2)，C (－3，5)，其中在曲线上的点是________．解析：将A 点坐标代入方程得：θ＝0或π，将B 、C 点坐标代入方程，方程无解，故A 点在曲线上．答案：A (1，3)8．下列各参数方程与方程xy ＝1表示相同曲线的序号是________．①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝－t 2；②⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin ty ＝1sin t ；③⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t y ＝1cos t ；④⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t y ＝1tan t.解析：普通方程中，x ，y 均为不等于0的实数，而①②③中x 的取值依次为：[0，＋∞)，[－1，1]，[－1，1]，故①②③均不正确；而④中，x ∈R ，y ∈R ，且xy ＝1，故④正确．答案：④9．已知动圆x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0(a ，b 是正常数，且a ≠b ，θ为参数)，求圆心的轨迹方程．解：设P (x ，y )为所求轨迹上任一点． 由x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0得：(x －a cos θ)2＋(y －b sin θ)2＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ.这就是所求的轨迹方程．10.如图所示，OA 是圆C 的直径，且OA ＝2a ，射线OB 与圆交于Q 点，和经过A 点的切线交于B 点，作PQ ⊥OA 交OA 于D ，PB ∥OA ，试求点P 的轨迹的参数方程．解：设P (x ，y )是轨迹上任意一点，取∠DOQ ＝θ， 由PQ ⊥OA ，PB ∥OA ，得x ＝OD ＝OQ cos θ＝OA cos 2θ＝2a cos 2θ， y ＝AB ＝OA tan θ＝2a tan θ.所以点P 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a cos 2θy ＝2a tan θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.[B 能力提升]11．已知圆的普通方程x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0，则它的参数方程为____________． 解析：由x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0，得(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.令x ＋1＝cos θ，y －3＝sin θ，所以参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θy ＝3＋sin θ，(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θy ＝3＋sin θ，(θ为参数)(注答案不唯一)12．动点M 作匀速直线运动，它在x 轴和y 轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，点M 位于A (1，1)，则点M 的参数方程为____________．解析：设M (x ，y )，则在x 轴上的位移为x ＝1＋9t ，在y 轴上的位移为y ＝1＋12t .所以参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t (t 为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9t y ＝1＋12t(t 为参数)13．在参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )(t 为参数，且t ∈R)中，若f (t )和g (t )都是奇函数，请判断该曲线所对应函数的奇偶性．解：设(x ，y )是参数方程曲线上的任意一点，则存在参数t 使得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )，所以－x ＝－f (t )，－y ＝－g (t )． 又f (t )、g (t )均为奇函数， 所以－x ＝f (－t )，－y ＝g (－t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝f (－t )－y ＝g (－t )，即点(－x ，－y )也在曲线上，所以该曲线的图象关于原点对称． 所以该曲线对应的函数为奇函数．14．(选做题)试确定过M (0，1)作椭圆x 2＋y 24＝1的弦的中点的轨迹的参数方程．解：设过M (0，1)的弦所在的直线方程为y ＝kx ＋1，其与椭圆的交点为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)．设中点P (x ，y )，则有x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 24＝1得：(k 2＋4)y 2－8y ＋4－4k 2＝0.所以y 1＋y 2＝8k 2＋4，x 1＋x 2＝－2kk 2＋4. 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－k k 2＋4，y ＝4k 2＋4.这就是以动弦斜率k 为参数的动弦中点的轨迹的参数方程．。
高三参数方程知识点
高三参数方程知识点高三学生在学习数学的过程中，会接触到各种不同的知识点和概念。
其中，参数方程是高三数学学习中的一个重要内容。
本文将详细介绍高三参数方程的相关知识点，帮助同学们更好地理解和掌握该知识。
一、参数方程的概念参数方程是指以一个或多个参数表示的函数关系，其中参数的取值范围可以是任意的。
一般来说，参数方程可以将曲线或曲面上的点表示为参数的函数。
二、参数方程的表示方法1. 一元一次方程组参数方程最简单的形式是一元一次方程组。
例如，对于平面上的曲线，可以用两个一元一次方程来表示。
常见的一元一次方程组形式为：x = f(t)y = g(t)其中，x和y是曲线上的点的坐标，t是参数。
2. 二元一次方程组在三维空间中，参数方程可以用二元一次方程组表示。
形式为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，x、y和z是曲面上的点的坐标，u和v是参数。
三、参数方程的应用参数方程在几何图形的描述和计算中具有广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 曲线的参数方程参数方程可以描述各种曲线，如直线、圆、椭圆、抛物线和双曲线等。
通过参数方程，我们可以很方便地计算曲线上的点的坐标，进而绘制曲线。
2. 曲线的长度和曲率参数方程在计算曲线的长度和曲率时非常有用。
通过确定参数的取值范围，并计算相邻点的距离，我们可以求得曲线的长度。
此外，通过求导数和二阶导数，我们还可以计算曲线的曲率和曲率半径等重要指标。
3. 曲面的参数方程参数方程可以用于描述各种曲面，如球面、圆柱、圆锥和双曲面等。
通过参数方程，我们可以计算曲面上的点的坐标，进而绘制出复杂的三维图形。
四、参数方程的特点和优势参数方程具有一些独特的特点和优势，使其在数学领域得到广泛应用：1. 灵活性：参数方程中的参数可以取任意实数值，因此可以描述各种不同的几何图形。
2. 简洁性：用参数方程表示几何图形时，通常可以用更简洁的形式表示，较少出现复杂的运算和方程。
【高中数学】高中数学知识点：参数方程的概念
【高中数学】高中数学知识点：参数方程的概念参数方程的概念：通常，在给定的平面直角坐标系中，如果曲线上任意点的坐标x和y是某个变量t的函数且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点m（x，y）都在这条曲线上，那么这个方程组称为这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数t称为参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．参数方程和一般方程之间的相互作用：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．否则，互化就是不等价的。
（1）将参数方程转化为一般方程的过程是一个参数消除过程。
有三种常见的方法：①代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数；② 三角法：利用三角恒等式消除参数；③整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去．（2）将一般方程转换为参数方程需要引入参数如：①直线的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程② 在一般方程xy=1中，让可以化为参数方程关于参数的说明：(1)参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．（2）当同一条曲线的参数不同时，曲线参数方程的形式也不同(3)在实际问题中要确定参数的取值范围．参数方程的几种常用方法：方法1参数方程与普通方程的互化：将曲线的参数方程化为普通方程的方法应视题目的特点而定，要选择恰当的方法消参，并要注意由于消参后引起的范围限制消失而造成的增解问题．常用的消参技巧有加减消参，代人消参，平方消参等．方法2求曲线的参数方程：求曲线的参数方程或应用曲线的参数方程。
记住曲线参数方程的形式和参数的重要性方法3参数方程问题的解决方法：解决参数方程的一个基本思路是将其转化为普通方程，然后利用在直角坐标系下解决问题的方式进行解题．方法4用圆的渐开线参数方程解点：用参数方程解点时，可将参数代入方程中求得。
方法5求圆的摆线的参数方程：根据圆的摆线的参数方程的表达式可以看出，只需要R，即摆线的参数方程由圆的半径唯一确定。
参数方程的概念》教案(新人教选修
《参数方程的概念》教案（新人教选修）教学目标：1. 理解参数方程的定义和特点；2. 学会将直角坐标方程转换为参数方程；3. 能够解决实际问题，运用参数方程。
教学重点：1. 参数方程的定义和特点；2. 直角坐标方程与参数方程的转换方法。
教学难点：1. 参数方程的实际应用。
教学准备：1. 教学课件或黑板；2. 相关练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾直角坐标系的定义和特点；2. 提问：能否用直角坐标系表示一个物体的运动轨迹？二、新课讲解（15分钟）1. 引入参数方程的概念，讲解参数方程的定义和特点；2. 举例说明参数方程在实际问题中的应用；3. 讲解如何将直角坐标方程转换为参数方程；4. 引导学生理解参数方程与直角坐标方程之间的关系。
三、课堂练习（10分钟）1. 布置练习题，让学生独立完成；2. 选几位学生上台板书解题过程，并讲解思路；3. 教师点评解题过程，指出优点和不足。
四、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，总结参数方程的定义、特点和应用；2. 强调直角坐标方程与参数方程之间的转换方法。
五、课后作业（布置作业）1. 让学生完成课后练习题，巩固所学知识；2. 鼓励学生自主探究，发现参数方程在实际问题中的更多应用。
教学反思：本节课通过讲解和练习，使学生掌握了参数方程的定义、特点和应用，能够将直角坐标方程转换为参数方程。
在教学过程中，注意引导学生主动参与课堂讨论，提高学生的思维能力。
布置课后作业，让学生巩固所学知识，为后续学习打下基础。
六、案例分析：用参数方程解决实际问题（15分钟）1. 引入案例：描述一个物体的运动轨迹，如圆周运动；2. 引导学生将直角坐标方程转换为参数方程；3. 分析参数方程在解决问题中的作用，如简化计算、便于分析物体运动特点等；4. 让学生尝试解决类似案例，给予指导和建议。
七、练习与讨论：探索参数方程的性质（20分钟）1. 布置练习题，让学生独立完成；2. 组织学生进行小组讨论，分享解题思路和心得；3. 教师点评解题过程，指出优点和不足；4. 引导学生总结参数方程的性质，如对称性、周期性等。
参数方程的概念
参数方程的概念
参数方程是一种用参数表示变量的二元函数方程。
通常用符号
t表示参数，把x和y分别表示为t的函数，即x=f(t)，y=g(t)，这样得到的方程称为参数方程。
参数方程描述的是一个动力学系统中的轨迹，它可以用于描述曲线、曲面、空间曲线等。
参数方程与直角坐标系方程等价，但通常更适合用于表示非函数、参数化曲线等问题。
参数方程的优点在于它能够描述各种不规则的曲线，例如圆锥曲线、螺旋线、椭圆等。
另外，在计算机图形学中，参数方程也被广泛应用于构建复杂的三维曲线和曲面模型。
对于参数方程，一般需要注意的是其定义域和值域。
定义域即参数t的取值范围，它可以是实数集合，也可以是一个有限的
区间。
值域则是曲线或曲面上所有点的坐标集合。
在求解参数方程时，一般需要使用微积分和向量代数等数学工具。
需要注意的是，参数方程不一定是唯一的，一个曲线或曲面可以有多个不同的参数方程来描述。
另外，在一些应用场合中，也常常需要将参数方程转化为直角坐标系方程，这需要涉及到参数消元和解方程等技巧。
参数方程总结知识点
参数方程总结知识点一、参数方程的概念参数方程是指用参数表示平面曲线、空间曲面上各点的坐标的方程，一个平面曲线或者空间曲面可以由一对参数方程来表示。
通常情况下，参数方程是形如x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)的方程，其中x、y、z分别是曲线上某一点的坐标，t是参数。
参数t可以是实数也可以是整数。
二、参数方程的性质1. 参数方程的表示形式：参数方程有两种常用的表示形式，一种是向量形式，另一种是分量形式。
向量形式的参数方程可以表示为：r(t)=<x(t), y(t), z(t)>其中r(t)是位置向量，t是参数，x(t)、y(t)、z(t)分别是位置向量在x轴、y轴、z轴上的分量。
分量形式的参数方程可以表示为：x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)其中x、y、z分别是曲线上某一点的坐标，t是参数，f(t)、g(t)、h(t)分别是曲线上某一点的坐标在x轴、y轴、z轴上的分量。
2. 参数方程的图形：参数方程描述的曲线或者曲面通常是比较复杂的几何图形，参数方程的图形特点不容易直接观察出来。
但是我们可以利用参数方程来绘制曲线或者曲面的图形，可以通过不同的参数值来确定曲线或者曲面上的一系列点，然后将这些点用线段或者曲线段连接起来，就可以得到参数曲线的图形。
3. 参数方程的应用：参数方程在物理、工程等领域有着广泛的应用，比如用来描述物体在空间中的运动轨迹、描述流体在空间中的运动状态等。
参数方程还可以用来求解一些复杂的几何问题，比如求参数曲线的长、面积等。
三、参数方程的运算参数方程的运算包括参数曲线的求导、求积分等。
参数方程的求导和求积分与普通的函数求导和求积分类似，只是要注意求导和求积分的对象是参数t，而不是变量x、y、z。
四、参数方程的方程组一条平面曲线或者空间曲面通常可以由多个参数方程组成，这些参数方程之间存在一定的关系，我们可以利用参数方程的方程组来求解曲线或者曲面上的一些特殊点。
五、参数曲线的方程与直角坐标系之间的转换参数曲线的方程与直角坐标系之间可以相互转换，通过参数曲线的方程，我们可以求解其在直角坐标系中的方程，通过直角坐标系中的方程，我们也可以求解其在参数方程中的方程。
理解参数方程的概念
理解参数方程的概念参数方程是描述动态变化的一种数学表达方式。
与普通方程不同，参数方程的变量不仅仅是自变量，还包括一个或多个参数。
在这篇文章中，我将介绍参数方程的概念、应用和解析方法，帮助读者全面理解参数方程。
一、参数方程的定义参数方程是指通过参数描述的函数关系。
通常情况下，参数方程由一系列关联的函数组成，这些函数以参数作为输入，同时输出一组关联的变量值。
例如，一个二维平面上的点(x, y)的参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)其中，x和y分别是点的水平和垂直坐标，t是参数。
通过不同的参数取值，可以得到一系列与参数t相关联的点。
参数方程的主要特点是能够描述动态变化和复杂的曲线轨迹。
二、参数方程的应用参数方程在物理学、几何学和工程学等领域有着广泛的应用。
其中，描述粒子运动的运动学方程、空间曲线的方程以及随时间变化的变量关系等都可以用参数方程来表达。
1. 运动学方程在物理学中，粒子的运动通常由速度和加速度来描述。
而速度和加速度往往是时间的函数，因此可以采用参数方程来描述。
例如，一个质点在空间中运动的参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中x、y和z分别是质点的三个坐标，t是变化的时间。
通过给定的参数t取值，可以求得质点在不同时间点的位置，从而描述质点的运动轨迹。
2. 几何学方程几何学中，参数方程广泛应用于曲线和曲面的描述。
例如，圆的参数方程可以表示为：x = rcos(t)y = rsin(t)其中r是圆的半径，t是角度参数。
通过不同的参数t取值，可以得到圆上的一系列点，从而描述完整的圆形。
3. 随时间变化的变量关系参数方程还可以用来描述随时间变化的变量关系。
例如，一个物体的温度随时间的变化可以表示为：T = f(t)其中T是物体的温度，t是时间参数。
通过不同的时间t取值，可以得到物体在不同时间点的温度变化情况。
三、参数方程的解析方法解析参数方程可以帮助我们更好地理解参数方程所描述的曲线或者变量关系。
参数方程知识点总结
参数方程知识点总结参数方程是数学中的一种重要概念，它将一个二维对象的坐标表达成一个参数的函数形式，让我们能够更加简单、直观地描述和操作它。
如何理解参数方程、如何求解参数方程、如何利用参数方程求解相关问题，都是我们需要了解的知识点。
以下是关于参数方程的知识点总结。
一、参数方程的定义参数方程是指用一个或多个参数来表示平面直角坐标系内给定曲线上的点的坐标。
例如，一个直线的参数方程可以表示为x=a+bt，y=c+dt（a、b、c、d为常数，t为参数），表示它上面任意一点的坐标都可以用t这个参数来表示。
二、参数方程的基本性质1. 参数方程可以表示的曲线类型很多，具体分类如下：(1) 直线：y=mt+k（m为斜率，k为纵截距），参数方程可表示为x=t，y=mt+k。
(2) 圆：以(a,b)为圆心，r为半径，则参数方程可表示为x=a+rcos(t)，y=b+rsin(t)。
(3) 椭圆：以(x0,y0)为中心，a,b为长、短轴，参数方程可表示为x=x0+acos(t)，y=y0+bsin(t)。
(4) 双曲线：以(x0,y0)为中心，a,b为长、短轴，参数方程可表示为x=x0+asec(t)，y=y0+btan(t)。
2. 参数方程可以带来更直观的几何意义，例如，当参数t等于时间t时，参数方程可以表示为物体在平面直角坐标系上运动时的路径。
3. 参数方程是等价变形的，不同形式的参数方程对应着同一条曲线。
例如，参数方程x=t，y=t^2和x=cos(t)，y=sin(t)^2表示的是同一个抛物线。
三、求解参数方程的方法1. 从坐标式转化为参数式，需要用到三角函数，例如：(1) 圆的参数方程中，x=a+rcos(t)，y=b+rsin(t)，可以通过勾股定理进行转化得到r=sqrt((x-a)^2+(y-b)^2)。
(2) 双曲线的参数方程中，x=x0+asec(t)，y=y0+btan(t)，可以通过勾股定理转化为(x-x0)^2/a^2-(y-y0)^2/b^2=1，然后再将常数项1移到右边得到y0=±b sqrt((x-x0)^2/a^2-1)，然后可以通过套公式计算出tan(t)的值，进而求解得到参数方程。
参数方程的概念(教案)
参数方程的概念(教案)第一章：参数方程的引入1.1 参数方程的定义与意义解释参数方程的概念强调参数方程在描述曲线上的重要性1.2 参数方程与普通方程的对比举例说明参数方程与普通方程的区别和联系强调参数方程在解决特定问题上的优势第二章：参数方程的基本形式2.1 参数方程的通用形式介绍参数方程的通用形式：\(x = f(t)\), \(y = g(t)\)解释参数\(t\) 的作用和意义2.2 参数方程的简化形式介绍参数方程的简化形式：参数\(t\) 的取值范围、参数\(t\) 的速度和加速度强调简化形式在实际问题中的应用和重要性第三章：参数方程的应用3.1 参数方程在物理问题中的应用以物体运动为例，解释参数方程在描述物体位置和速度上的应用强调参数方程在物理问题中的重要性3.2 参数方程在几何问题中的应用以圆的参数方程为例，解释参数方程在描述几何形状上的应用强调参数方程在几何问题中的优势和灵活性第四章：参数方程的图像与分析4.1 参数方程的图像绘制介绍如何绘制参数方程的图像强调参数方程图像的特点和规律4.2 参数方程的分析与变换介绍如何分析参数方程的图像和性质介绍参数方程的变换方法，如平移、旋转等第五章：参数方程的综合应用5.1 参数方程在实际问题中的应用以实际问题为例，综合运用参数方程进行问题解决强调参数方程在实际问题中的应用能力和灵活性5.2 参数方程的进一步探索引导学生在参数方程的基础上进行进一步的探索和创新鼓励学生发现参数方程在更多领域中的应用和价值第六章：参数方程与极坐标方程的转换6.1 极坐标方程的基本概念回顾极坐标方程的定义和基本形式解释极坐标方程与直角坐标系的关系6.2 参数方程与极坐标方程的转换方法介绍如何将参数方程转换为极坐标方程强调转换方法在解决特定问题上的应用和重要性第七章：参数方程与普通方程的转换7.1 普通方程的基本形式回顾普通方程的定义和常见形式强调普通方程在解决问题中的基本作用7.2 参数方程与普通方程的转换方法介绍如何将参数方程转换为普通方程强调转换方法在问题解决中的灵活应用第八章：参数方程的综合应用案例分析8.1 参数方程在工程问题中的应用案例分析一个工程问题，如桥梁设计、电路模拟等，展示参数方程的应用过程强调参数方程在工程问题中的重要作用8.2 参数方程在科学研究中的应用案例分析一个科学研究问题，如天体运动、生物种群动态等，展示参数方程的应用过程强调参数方程在科学研究中的重要性和灵活性第九章：参数方程的教学实践与反思9.1 参数方程的教学实践分享教学参数方程的经验和做法强调教学实践中的重点和难点9.2 参数方程的教学反思反思教学过程中的优点和不足提出改进教学方法和策略的建议第十章：参数方程的扩展与深化10.1 参数方程的扩展介绍参数方程在其他领域的应用，如计算机图形学、控制理论等强调参数方程在不同领域中的广泛应用和潜力10.2 参数方程的深化研究引导学生在参数方程的基础上进行深入研究，如研究更复杂的参数方程、探索参数方程的新性质等鼓励学生发挥创新精神，发现参数方程的更多价值和意义重点和难点解析重点环节一：参数方程的定义与意义重点关注学生对参数方程概念的理解，以及参数方程与普通方程的区别和联系。
高中数学参数方程
高中数学参数方程一、前言在高中数学中，参数方程是一个非常重要的概念，也是数学与实际问题相结合的杰出体现。
掌握参数方程的基本概念和求解方法对于高中学生的数学学习和理解具有重大的帮助。
本文将从参数方程的基本概念、常用的图形、求解方法和应用等方面进行详细介绍，帮助学生全面掌握该概念。
二、参数方程的基本概念1. 参数方程的定义参数方程是一种通过给定的参数变量，用参数的函数表示一个曲线或者一个曲面的方法。
在参数方程中，通常用参数t表示自变量。
例如，设有一条曲线C，可以用如下的参数方程表示：x=f(t), y=g(t)上述的式子就是一条经过点(x,y)的曲线C的参数方程。
参数t常常被称为参数变量，它是曲线C上的自变量。
2. 参数方程的优点与直角坐标系下表示曲线的函数相比，参数方程的优点在于它可以更加灵活地表示一些曲线，如椭圆、双曲线、螺线等等。
同时，参数方程也可以用来表示高维度的曲面，如三维曲面、四维曲面等等。
此外，参数方程在图像处理、计算机动画、自动控制、机器人控制等领域中也有广泛的应用。
三、参数方程的常用图形1. 抛物线抛物线是参数方程中最常见的图形之一。
抛物线的参数方程通常为：x = t, y = t^2其中，t是参数变量。
2. 椭圆椭圆是平面直角坐标系下的二次曲线，也可以用参数方程表示。
椭圆的参数方程通常为：x = a*cos(t), y = b*sin(t)其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴长度。
3. 双曲线双曲线也是平面直角坐标系下的二次曲线，与椭圆不同的是，它有两个分离的实部，能够在极值点处取到无穷大值。
双曲线的参数方程通常为：x = a*cosh(t), y = b*sinh(t)其中，a和b分别是双曲线的横轴和纵轴长度。
4. 螺线螺线是一种等腰斜螺线(又称Archimedean螺线)，由希腊数学家阿基米德研究而得名。
螺线的参数方程通常为：x = a*cos(t), y = a*sin(t) + bt其中，a和b分别是螺线的宽度和高度。
参数方程的概念(教案)
1. 让学生理解参数方程的定义和特点。
2. 让学生掌握参数方程的表示方法和求解方法。
3. 培养学生运用参数方程解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 参数方程的定义2. 参数方程的表示方法3. 参数方程的求解方法4. 参数方程的应用三、教学重点与难点1. 重点：参数方程的定义、表示方法和求解方法。
2. 难点：参数方程的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中提出参数方程的需求。
2. 使用多媒体课件，直观展示参数方程的定义和应用。
3. 利用数学软件或图形计算器，动态演示参数方程的图形变化。
五、教学过程1. 导入：通过一个实际问题，引入参数方程的概念。
2. 讲解：详细讲解参数方程的定义、表示方法和求解方法。
3. 案例分析：分析几个典型的参数方程案例，引导学生掌握参数方程的应用。
4. 练习：布置一些练习题，让学生巩固所学内容。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调参数方程在实际问题中的应用价值。
1. 引入实例：通过简单的实际问题，如物体运动轨迹的描述，引入参数方程的概念。
2. 概念讲解：详细讲解参数方程的定义，解释参数与变量之间的关系。
3. 表示方法：介绍参数方程的表示方法，包括参数方程的一般形式和特殊形式。
4. 求解方法：讲解参数方程的求解方法，包括代入法和消元法。
5. 应用练习：提供一些应用题，让学生练习如何建立和应用参数方程解决问题。
七、教学评估1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对参数方程概念的理解程度。
2. 练习解答：评估学生完成练习题的情况，检验学生对参数方程表示方法和求解方法的掌握。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解学生对参数方程应用的理解和应用能力。
八、教学资源1. 多媒体课件：使用PPT或其他软件制作多媒体课件，展示参数方程的图形和实际应用。
2. 数学软件：利用数学软件或图形计算器，演示参数方程的图形变化和求解过程。
3. 练习题库：准备一些参数方程的练习题，包括基础题和应用题。
《参数方程的概念》教案(新人教选修)
一、教学目标1. 让学生理解参数方程的概念，掌握参数方程的基本形式和特点。
2. 培养学生运用参数方程解决实际问题的能力。
3. 引导学生感受参数方程在数学和现实世界中的应用价值。
二、教学重点与难点1. 重点：参数方程的概念、基本形式和特点。
2. 难点：参数方程在实际问题中的应用。
三、教学方法与手段1. 采用问题驱动法，引导学生从实际问题中提出参数方程的需求。
2. 利用多媒体课件，展示参数方程的应用场景，增强学生的直观感受。
3. 开展小组讨论，促进学生对参数方程的理解和掌握。
四、教学内容与过程1. 引入：通过展示生活中的实际问题，引导学生发现参数方程的应用价值。
2. 讲解：介绍参数方程的概念、基本形式和特点，解释参数方程与普通方程的区别。
3. 实例分析：分析具体实例，让学生了解参数方程在实际问题中的具体应用。
4. 练习：让学生独立完成练习题，巩固对参数方程的理解。
五、作业布置1. 请学生总结参数方程的概念、基本形式和特点。
2. 选取一个实际问题，尝试用参数方程解决。
3. 预习下一节课内容，了解参数方程在实际问题中的进一步应用。
六、教学拓展与提升1. 引导学生思考：如何将实际问题转化为参数方程？2. 探讨：参数方程在实际应用中可能遇到的困难和解决方法。
3. 引入高级数学知识：如微分方程、偏微分方程等，让学生了解参数方程在更高层次的应用。
七、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，总结参数方程的概念、基本形式和特点。
2. 强调参数方程在实际问题中的重要性。
3. 提醒学生课后加强练习，巩固所学知识。
八、课后作业1. 请学生完成课后练习题，巩固参数方程的基本概念和应用。
2. 鼓励学生自主寻找生活中的实际问题，尝试用参数方程解决。
3. 建议学生阅读相关数学资料，了解参数方程在其他领域的应用。
九、教学反思1. 教师在课后对自己的教学进行反思，总结教学过程中的优点和不足。
2. 针对学生的学习情况，调整教学策略，以提高教学效果。
参数方程的基本概念及其应用
参数方程的基本概念及其应用参数方程是解决数学问题中常用的一种表达方式，它以参数的形式描述了变量之间的关系。
本文将介绍参数方程的基本概念以及其在数学和物理等领域的应用。
一、参数方程的基本概念参数方程是一种用参数来表示函数关系的方法。
通常情况下，我们用字母t作为参数，并将函数的自变量和因变量用t来表示。
一个简单的参数方程可以写作：x = f(t)y = g(t)其中，x和y分别表示函数的自变量和因变量，f(t)和g(t)分别表示x和y关于t的函数表达式。
通过给参数t不同的取值，我们可以得到一系列(x, y)的值，这些值构成了这个函数的图像。
参数方程的优点在于它能够描述一些图形在不同坐标系下的变化规律。
例如，对于一条曲线，在直角坐标系下可能很难用一个简单的函数表达式来描述，但在参数方程下，我们可以通过调整参数的取值来改变曲线的形状和位置。
二、参数方程的应用1. 几何学应用在几何学中，参数方程常用于描述曲线、曲面和体积等几何对象。
例如，对于平面上的一条曲线，我们可以用参数方程来表示其每个点的坐标。
通过调整参数的值，我们可以绘制出曲线的图像，并研究其性质和变化规律。
此外，参数方程也可以用于描述曲面和体积。
通过给参数不同的取值范围，我们可以生成各种形状的曲面和体积，并对其进行分析和计算。
2. 物理学应用在物理学中，参数方程被广泛应用于描述物体的运动轨迹和物理量之间的关系。
例如，对于抛体运动，我们可以用参数方程来表示物体在不同时间下的位置坐标。
通过调整参数的取值，我们可以研究物体的运动规律，并计算其速度、加速度等物理量。
参数方程还可以用于描述电路中的电流、电压和电阻之间的关系，通过调整参数的取值，我们可以研究电路的特性和响应。
3. 经济学应用在经济学中，参数方程用于描述经济模型中各个变量之间的关系。
例如，经济增长模型可以用参数方程来表示产出、消费和投资之间的关系。
通过调整参数的取值，我们可以研究经济增长的趋势和变化规律。
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(2)由已知及 可得 曲线 的方程为 由已知及(1)可得 曲线C的方程为 由已知及 可得,曲线 的方程为:
( 作等速直线运动 它在x轴和 作等速直线运动, 轴和y轴方向的 思考题：动点M作等速直线运动 它在 轴和 轴方向的 速度分别为5和 运动开始时位于点P(1,2), 求点 的 求点M的 速度分别为 和12 , 运动开始时位于点 轨迹参数方程。 轨迹参数方程。
垂直高度为y，所以
可以使其准确落在指定位置.
1、参数方程的概念： 、参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的 一般地 在平面直角坐标系中 如果曲线上任意一点的 坐标x, 都是某个变数 都是某个变数t的函数 坐标 y都是某个变数 的函数 x = f (t ), y = g (t ). （2） 并且对于t的每一个允许值 由方程组(2) 的每一个允许值, 并且对于 的每一个允许值 由方程组 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上 那么方程 就叫做这条曲线的 都在这条曲线上, 都在这条曲线上 那么方程(2) 参数方程, 联系变数x,y的变数 叫做参变数, 简称参数. 的变数t叫做参变数 参数方程 联系变数 的变数 叫做参变数 简称参数 相对于参数方程而言， 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系 的方程叫做普通方程。 的方程叫做普通方程。
y 500
解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x，
o
x = 100t , (x,y) 1 2 y = 500 − gt .（g=9.8m/s2 ) 2 令y = 0, 得t ≈ 10.10 s. x 代入x = 100t , 得 x ≈ 1010m. 所以，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资，
1、参数方程的概念： 、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面 高处以100m/s 如图 一架救援飞机在离灾区地面500m高处以 一架救援飞机在离灾区地面 高处以 的速度作水平直线飞行. 的速度作水平直线飞行 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力 不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 区指定的地面 不记空气阻力 飞行员应如何确定投放 时机呢？ 时机呢？
x = 1 + 5t y = 2 + 12 t
小结： 小结：
一般地，在平面直角坐标系中， 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y都是某个变数 的函数 都是某个变数t的函数 ， 都是某个变数
x = f (t ), （2） y = g (t ).
并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点 并且对于 的每一个允许值，由方程组（ ）所确定的点M(x,y) 的每一个允许值 都在这条曲线上，那么方程（ ）就叫做这条曲线的参数方程 都在这条曲线上，那么方程（2）就叫做这条曲线的参数方程， 参数方程， 联系变数x,y的变数 叫做参变数，简称参数。 的变数t叫做参变数 联系变数 的变数 叫做参变数，简称参数。
变式: 变式 一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行 在离灾 的速度作水平直线飞行.在离灾 一架救援飞机以 的速度作水平直线飞行 区指定目标1000m时投放救援物资（不计空气阻力 重 时投放救援物资（ 区指定目标 时投放救援物资 不计空气阻力,重 问此时飞机的飞行高度约是多少？ 力加速 g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多少？ 问此时飞机的飞行高度约是多少 精确到1m） （精确到 ）
解：设动点M (x,y) 运动时间为t，依题意，得
x = 1 + 5t 所以，点M的轨迹参数方程为 y = 2 + 12 t
参数方程求法: 参数方程求法 （1）建立直角坐标系 设曲线上任一点 坐标 ）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标 （2）选取适当的参数 ） （3）根据已知条件和图形的几何性质 物理意义 ）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义, 建立点P坐标与参数的函数式 建立点 坐标与参数的函数式 （4）证明这个参数方程就是所求的曲线的方程 ）
x = 1 + 2t , (t为参数,a ∈ R ) 2 y = at .
（1）求常数 ）求常数a;
1+2t=5 at2=4 ∴ a=1 x=1+2t y=t2
解得: 解得
a=1 t=2
x −1 由第一个方程得: 由第一个方程得 t = 2 x −1 2 ) , 代入第二个方程得: 代入第二个方程得 y = ( 2
训练1
x =1+t2 1、曲线 轴的交点坐标是( 、 轴的交点坐标是 ,(t为参数） 与x轴的交点坐标是 B ) y = 4t −3
25 A、（ ，4）； 、 , 0); C、(1, −3); 、（1， ）； ( ）；B、 、（ 、 16 25 D、 (± 、 , 0); 16
x = sin θ (θ为参数)表示的曲线上 2、方程{ y = cos 2θ 的一个点的坐标是
x = 3t , 已知曲线C的参数方程是 例1: 已知曲线 的参数方程是 (t为参数) 2 y = 2t + 1.
与曲线C （1）判断点 1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线 ）判断点M ， 与曲线 的位置关系； 的位置关系； 在曲线C上 的值。 （2）已知点 3(6, a)在曲线 上, 求a的值。 ）已知点M 在曲线 的值
提示： 提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？ 多远时，开始投放物资？
投放点
？
救援点
1、参数方程的概念： 、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面 高处以100m/s 如图 一架救援飞机在离灾区地面500m高处以 一架救援飞机在离灾区地面 高处以 的速度作水平直线飞行. 的速度作水平直线飞行 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力 不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 区指定的地面 不记空气阻力 飞行员应如何确定投放 时机呢？ 时机呢？
(
C
)
1 1 1 1 (2 ( ( A、 ,7) B、 , )，C、 , ), D(1,0) 3 2 2 2
训练2：
已知曲线C的参数方程是 已知曲线 的参数方程是 点M(5,4)在该 曲线上 在该 曲线上. 的普通方程. （2）求曲线 的普通方程 ）求曲线C的普通方程 解: (1)由题意可知 由题意可知: 由题意可知
关于参数几点说明： 参数是联系变数x,y的桥梁 的桥梁, 关于参数几点说明： 参数是联系变数 的桥梁 1. 参数方程中参数可以是有物理意义 几何意义 也可以没有明 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 显意义。 显意义。 2.同一曲线选取参数不同 曲线参数方程形式也不一样 同一曲线选取参数不同, 同一曲线选取参数不同 3.在实际问题中要确定参数的取值范围 在实际问题中要确定参数的取值范围