高中数学 必修四 4-1.1.1任意角(1)教案
人教版高中数学必修4第一章三角函数-《1.1.1任意角》教案_001
1.1.1 任意角教学目的：使学生认识角的始边、终边，知道什么是正角、负角、零度角，0到360 度以外的角，会用集合表示与角α终边相同的角。
教学重点：任意角的理解与表示方法。
教学难点：用集合表示与角α终边相同的角。
教学过程一、新课引入在体操中旋转1周多少度？旋转2周呢？旋转3周呢？二、新课1、角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
如图，从起始位置OA逆时针方向旋转到终止位置OB，形成一个角α，射线OA、OB分别是角α的始边和终边。
2、任意角体操中，旋转2周（720°），旋转3周（1080°），角度大于360°，有没有负角呢？我们规定：按逆时针方向旋转形成的角叫正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角，零角的始边与终边重合，若α是零角，则α＝0°。
角包括正角、负角和零角，时针旋转形成的角都是负角。
角的顶点与原点重合，角的绐边与x轴非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角在第几象限，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。
3、终边相同角的表示328°＝－32°＋360°－392°＝－32°－360°设S＝{β|β＝－32°＋k·360°，k∈Z}328°、－392°、－32°角都是S的元素，因此，所有与－32°角终边相同的角，连同－32°角在内，都是集合S的元素；反过来，集合S的任一元素显然与－32°角终边相同。
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
4、例题讲解例1、在0°－360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限的角。
高中数学必修四任意角教案
1.1.1 任意角【课题】：任意角 【学情分析】：教学对象是高一的学生，首先通过实际问题（拨手表、体操中的转体、齿轮旋转等）引出角的概念的推广，引发学生的认知，然后用具体例子，将初中学过的过0360︒︒~之间的角的概念推广到任意角，在此基础上引出终边相同的角的集合.使学生可以在自己已有经验（生活经验、数学学习经验）的基础上，更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念。
【教学三维目标】： 一、知识与技能1、推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义；2、象限角的概念；3、终边相同的角的表示方法； 二、过程与方法1、理解并掌握正角、负角、零角的定义；2、掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法； 三、情感态度与价值观树立运动变化观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。
【教学重点】：理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法. 【教学难点】：终边相同的角的表示. 【课前准备】：几何画板课件。
【教学过程设计】： 教学环节 教学活动设计意图 一、课程引入教师提问：你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？教师讲解：[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360︒︒~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.创设问题情景，让学生在问题解决的过程中感知任意角.二、探究新知教师提问：1．过去我们是如何定义的？角的范围是什么？[展示投影] 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1-1-1，教师讲解：一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点. 角的范围是0360︒︒~。
高中数学必修四任意角的三角函数教案
4-1.2.1 任意角的三角函数（一）【课题】：任意角的三角函数定义【学情分析】：（适用于平行班）教学对象是高一的学生，学生在初中已经学习了锐角三角函数的有关知识。
本节课，学生是在此基础上结合刚学习的任意角及弧度制知识，进一步学习任意角的三角函数知识。
我们通过对三角函数定义的剖析，使学生理解从锐角三角函数到任意角三角函数中定义的变化，认识锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解，从而掌握任意角的三角函数定义，这在平行班教学中是可行的。
【教学目标】：（1）理解并掌握任意角三角函数的定义；（2）理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号；（3）理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.【教学重点】：理解并掌握任意角三角函数的定义；理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号；理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.【教学难点】：理解并掌握任意角三角函数的定义.【教学突破点】：借助平面直角坐标系，通过对三角函数定义的剖析，使学生理解从锐角三角函数到任意角三角函数中定义的变化，认识锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解，达到突破难点之目的.【教法、学法设计】：采用观察法、对比法和定义法。
通过图示，使学生观察三角函数定义的变化：从锐角三角函数到任意角三角函数，由边的比变为坐标与距离、坐标与坐标的比，在理解掌握定义的基础上，通过对比，认识锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解。
通过对定义的剖析，使学生对各种三角函数在各象限内的符号，以及终边相同的角的同一三角函数值相等有比较深刻的认识.【课前准备】：课件【教学过程设计】：二、探究新知对于锐角三角函数，我们是在直角三角形中定义的，今天，对于任意角的三角函数，我们利用平面直角坐标系来进行研究.1. 任意角的三角函数定义设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）则P与原点的距离02222>+=+=yxyxr.比值ry叫做α的正弦，记作：ry=αsin.比值rx叫做α的余弦，记作：rx=αcos.比值xy叫做α的正切，记作：xy=αtan.学生活动：学生阅读教材,自学有关概念.教师引导:对比锐角三角函数的定义, 任意角三角函数的定义有何变化?学生活动:独立思考后,分小组讨论.教师进一步引导学生：从锐角三角函数到任意角三角函数，由边的比变为什么与什么的比？教师引导学生回答并归纳出:从锐角三角函数到任意角三角函数，由边的比变为坐标与距离、坐标与坐标的比.教师引导: 锐角三角函数与任意角三角函数之间有何联系?谁是谁的特殊情形？学生讨论归纳: 锐角三角函数是任意角三角函数的特殊情形.教师引导: 上述四个比值会不会随点P在α的终边上的位置的改变而改变呢？（教师画图示意，引导学生思考）学生活动：分小组讨论，并举手回答.教师归纳：根据相似三角形的知识，对于终边不在坐标轴上确定的角α，上述四个比值都不会随P点在α的终边上的位置的改变而改变.即对于确定的角α，上面的四个比值都是唯一确定的实数，这就是说，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.以上三种函数，统称为三角函数.注意：sinα是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积.其余两个符号也是这样.例1已知角α的终边经过点P(2，－3)(如右图)，求α的正弦、余弦、正切值.解：∵x＝2，ｙ＝－3∴13)3(222=-+=r引导学生阅读教材，培养自学能力引导学生思考,教师归纳，明晰概念学生口答，教师板书，巩固新学习的概念ry)(x,αP_x_y_P1_P22．终边相同的角的同一三角函数值相等引例 分别求出30°和390°的正弦、余弦、正切值.解: sin30°=sin390°=21cos30°=cos390°=23tan30°=tan390°=33学生活动：跃跃欲试,画图计算. 教师引导：(1)引导建立平面直角坐标系.（以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x 轴的非负半轴重合） (2)根据定义找出一点P ． 学生活动：回答结果．教师引导：为什么30°和390°的三角函数值相等?学生活动:热烈讨论结果.教师引导: 三角函数定义中,OP 是角α的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角α是任意的．学生归纳：390°和30°终边相同．教师引导：那么什么情况下，两个角的同一个三角函数值相等？ 学生猜想：终边相同的角的同一三角函数值相等． 教师总结：即有：sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=，其中k Z ∈． tan(2)tan k απα+=，这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．例2 求下列三角函数的值(1) sin(-1320°) (2)49cosπ （3）)611tan(π-. 教师分析：关键找到角的终边位置，将问题化归为0°~360°内的角的三角函数问题，然后求出终边上一点P 的坐标.学生活动：画图计算(教师引导学生画出角的终边位置，利用定义代入).解:(1) sin(-1320°)＝sin(-4×360°+120°)＝sin120°＝230x yα2400-5100P(3,1) _2_ 1_ 30 ° _x_y(2) 224cos )24cos(49cos==+=ππππ (3).336tan )26tan()611tan(==-=-ππππ 3．正弦、余弦、正切函数的定义域你能根据任意角三角函数的定义，说说正弦、余弦、正切函数的定义域分别是什么吗？学生活动：独立思考后，在小组内讨论.教师引导学生紧扣定义，观察并归纳：对于正弦函数ry=αsin ，因为ｒ＞0，所以r y 恒有意义，即α取任意实数，ry恒有意义，也就是说sin α恒有意义，所以正弦函数的定义域是R ；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数x y =αtan ，因为x ＝0时，xy无意义，即tan α无意义，又当且仅当角α的终边落在纵轴上时，才有x ＝0，所以当α的终边不在纵轴上时，xy恒有意义，即tan α恒有意义，所以正切函数的定义域是)(2Z ∈+≠k k ππα.从而有αααtan cos sin ===y y y )(2Z k k RR∈+≠ππα 例3 求下列各角的正弦、余弦、正切值. (1)0 (2)π (3)23π (4) 2π 教师分析：紧扣定义.学生活动：画图计算，分小组提交结果. 解：(1) ∵当α＝0时，x ＝ｒ，ｙ＝0∴sin0=0 cos0=1 tan0=0 (2) ∵当α＝π时，x ＝－ｒ，ｙ＝0∴sin π＝0 cos π＝－1tan π＝0(3) ∵当23πα=时，x ＝0，ｙ＝－ｒ ∴023cos 123sin =-=ππ 23tan π不存在 (4) ∵当α=2π时 r y x ==,0∴sin 2π=1 cos 2π=0 tan 2π不存在4. 三角函数在各象限内的符号规律 我们知道，锐角三角函数值都是正的，那么任意角的三角函数值是否也都是正的呢？学生活动：观察，热烈讨论.提问学生回答：第一象限：0,0.>>y x ，则sin α>0,cos α>0,tan α>0 第二象限：0,0.><y x ，则sin α>0,cos α<0,tan α<0第三象限：0,0.<<y x ，则sin α<0,cos α<0,tan α>0第四象限：0,0.<>y x ，则sin α<0,cos α>0,tan α<0 教师归纳： 记忆法则：第一象限全为正,二正三切四余弦 αsin 为正 全正 αtan 为正 αcos 为正 例4 确定下列三角函数值的符号 (1)cos250° （2）)4sin(π- （3）tan （－672°） (4))311tan(π学生活动：独立思考，画图计算. 教师引导：帮助学生突破难点——角的转化. 解：(1)∵250°是第三象限角 ∴cos250°＜0 (2)∵4π-是第四象限角，∴0)4sin(<-π (3)tan （－672°）＝tan （48°－2×360°）＝tan48° 而48°是第一象限角，∴tan （－672°）＞0 (4) 35tan )235tan(311tan ππππ=+= 而35π是第四象限角，∴0311tan <π. 教师小结：化归思想，将问题转化为0°~360°内的角的三角函数问题. cot α<0tan α<0cos α>0sin α<0cot α>0tan α>0cos α<0sin α<0cot α<0tan α<0cos α<0sin α>0sin α>0tan α>0cot α>0cos α>0。
人教版高中数学必修4教案学案：1.1.1任意角(教、学案)
1. 1.1任意角一、教材分析“任意角的三角函数”是本章教学内容的基本概念，它又是学好本章教学内容的关键。
它是学生在学习了锐角三角函数后，对三角函数有一定的了解的基础上，进行的推广。
它又是下面学习平面向量、解析几何等内容的必要准备。
并且，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念。
二、教学目标1.理解任意角的概念；2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写。
三、教学重点难点1．判断已知角所在象限； 2．终边相同的角的书写。
四、学情分析 五、教学方法1.本节教学方法采用教师引导下的讨论法，通过多媒体课件在教师的带领下，学生发现就概念、就方法的不足之处，进而探索新的方法，形成新的概念，突出数形结合思想与方法在概念形成与形式化、数量化过程中的作用，是一节体现数学的逻辑性、思想性比较强的课. 2．学案导学：见后面的学案。
3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备七、课时安排：1课时 八、教学过程 （一）复习引入：1．初中所学角的概念。
2．实际生活中出现一系列关于角的问题。
（二）新课讲解：1．角的定义：一条射线绕着它的端点O ，从起始位置OA 旋转到终止位置OB ，形成 一个角α，点O 是角的顶点，射线,OA OB 分别是角α的终边、始边。
说明：在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可以简记为α． 2．角的分类：正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角； 负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角。
说明：零角的始边和终边重合。
3．象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负轴重合，则 （1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
例如：30,390,330-都是第一象限角；300,60-是第四象限角。
人教版高中必修4(B版)1.1.1角的概念的推广教学设计
人教版高中必修4(B版)1.1.1角的概念的推广教学设计一、前言在高中数学教学中，角的概念是非常基础和重要的一部分。
对于学生而言，初学角的概念时容易产生混淆和理解困难。
因此，针对人教版高中必修4(B版)1.1.1角的概念，本文将介绍一种有效的教学设计方案，旨在帮助学生更好地理解和掌握角的概念。
二、教学目标在本次教学中，我们的主要目标是帮助学生达到以下几个方面的理解和掌握：1.学生能够明晰什么是角以及角的度量单位；2.学生能够准确的测量角的大小，并能够运用所学角的知识解决问题；3.学生能够具备角的基本性质的概念和认识，为后续深入学习做铺垫。
三、教学内容1. 角的概念教学内容主要围绕于角的概念进行。
在这里，我们要明确以下两点：•什么是角？•角的度量单位是什么？在教学中，我会给出图形，并引导学生运用相关知识，去形象地理解角的产生以及角的度量单位弧度制和角度制。
2. 角的基本性质在初步了解并对角的概念有一定程度的掌握后，我们需要为学生介绍角的基本性质，包括：•两个角的比较；•重合角的概念;•补角和余角的概念;•对顶角的概念等。
通过这些基本性质的介绍，学生可以进一步深入了解和运用角的概念，为后续的学习和应用打下基础。
四、教学方法在本教学情景中，我会采用以下方法进行教学：1.多媒体教学法：利用多媒体投影仪，让学生观看相关视频或图像，以便更好地理解和掌握角的概念和相关性质；2.互动教学法：通过提问等活动，与过程中及时解决学生的疑问，激发学生的学习积极性，加深学生与教师之间的交流；3.实践活动法：通过实际的测量角的大小、讨论角的基本性质等活动，让学生在实际操作中学习并掌握角的相关概念和运用。
五、教学评价在教学过程中，我们会采用以下方式进行教学评价：1.日常观察：通过对学生学习态度、学习质量等的观察，对学生的学习情况进行评价；2.测验评价：运用相应的考试题材，对学生的学习成果进行量化评估。
在评估过程中，除了与考试成绩有关的信息外，我们也会关注学生对角概念的理解程度及其对相关性质的应用能力。
高中数学1.1.1任意角讲义苏教版必修4
1.1.1 任意角一、任意角的概念1．角的概念：一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．2．角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：[提示]不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角．若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角．二、象限角与轴线角1．象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．2．轴线角：终边在坐标轴上的角．三、终边相同的角与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．思考2：终边相同的角一定相等吗？其表示法唯一吗？[提示]终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角的表示方法不唯一．1．思考辨析(1)180°是第二象限角．( )(2)－30°是第四象限角．( )(3)第一象限内的角都小于第二象限内的角．( )[解析](1)×.180°是轴线角．(2)√.(3)×.如375°＞120°，而375°和120°分别是第一、二象限内的角．[答案](1)×(2)√(3)×2．如图，则α＝________，β＝________.240°－120°[α是按逆时针方向旋转的，为240°，β是按顺时针方向旋转的，为－120°.]3．与－215°角终边相同的角的集合可表示为________．{β|β＝k·360°－215°，k∈Z}[由终边相同角的表示可知与－215°角终边相同的角的集合是{β|β＝k·360°－215°，k∈Z}．]4．将－885°化成k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________．(－3)×360°＋195°[设－885°＝k·360°＋α，易得－885°＝(－3)×360°＋195°.]角的概念辨析【例1】(1)下列结论：①第一象限角是锐角；②锐角是第一象限角；③始边和终边重合的角是零角；④钝角是第二象限角；⑤小于90°的角是锐角；⑥第一象限角一定不是负角．其中正确的结论是________(填序号)．(2)将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为________．思路点拨：(1)根据任意角、象限角的概念进行判断，正确区分第一象限角、锐角和小于90°的角．(2)由正负角的概念可得角的大小．(1)②④(2)－25°395°[(1)①400°角是第一象限角，但不是锐角，故①不正确；②锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，②正确；③不正确，因为360°角的始边和终边也重合；④钝角是大于90°且小于180°的角，终边落在第二象限，故是第二象限角，④正确；⑤0°角是小于90°的角，但不是锐角，故⑤不正确；⑥－300°角是第一象限角，但－300°角是负角，故⑥不正确．(2)由角的定义可知，将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为35°－60°＝－25°，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为35°＋360°＝395°.]1．解决此类问题的关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联系与区别．2．判断结论正确与否时，若结论正确，需要严格的推理论证，若要说明结论错误，只需举出反例即可．1．时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为________，分针转过的角的度数为________．－100° －1 200° [时针每小时转30°，分针每小时转360°，由于旋转方向均为顺时针方向，故转过的角度均为负值，又3小时20分等于313小时，故时针转过的角度为－313×30°＝－100°；分针转过的角度为－313×360°＝－1 200°.]终边相同的角与象限角【例2】 已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k ·360°(k ∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限的角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.思路点拨：(1)把α写成β＋k ·360°(k ∈Z,0°≤β<360°)的形式后，判断β所在的象限即可．(2)将θ写成θ＝β＋k ·360°(k ∈Z,0°≤β<360°)的形式，用观察法验证k 的不同取值即可．[解] (1)法一：∵－1 910°＝－6×360°＋250°，∴－1 910°角与250°角终边相同，∴α＝－6×360°＋250°，它是第三象限的角．法二：设α＝β＋k ·360°(k ∈Z )，则β＝－1 910°－k ·360°(k ∈Z )．令－1 910°－k ·360°≥0，解得k ≤－1 910360＝－51136. k 的最大整数解为k ＝－6，相应的β＝250°，于是α＝250°－6×360°，它是第三象限的角．(2)由(1)知令θ＝250°＋k ·360°(k ∈Z )，取k ＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角：250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.故θ＝－110°或－470°.1．把任意角化为k·360°＋α(k∈Z且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．2．要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．3．终边相同的角常用的三个结论：(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．提醒：k∈Z，即k为整数这一条件不可少．2．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.[解](1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．区域角的表示[探究问题]1．第一象限内的角的集合能否用{α|0°＜α＜90°}表示？为什么？提示：不能，第一象限内的角未必是(0°，90°)的角，也可能是负角，也可能是大于360°的角，其表示为{α|k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z}．2．终边落在x轴上的角如何表示？提示：{α|α＝k·180°，k∈Z}．3．若角α，β满足β＝α＋k·180°，k∈Z，则角α，β的终边存在怎样的关系？提示：角α，β的终边落在同一条直线上．【例3】写出终边落在如图所示阴影部分的角的集合．思路点拨：法一：先写出与30°及105°终边相同角的集合，再写出其对称区域内角的集合，最后合并便可．法二：分别写出与30°及105°的终边在同一直线上的角的集合，合并求解便可．[解]法一：设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成：①{α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α＜k·360°＋285°，k∈Z}，∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α＜k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α＜2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α＜(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α＜2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α＜(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α＜n·180°＋105°，n∈Z}．法二：与30°角终边在同一条直线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋30°，k∈Z}．与180°－75°＝105°角终边在同一条直线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋105°，k∈Z}，结合图形可知，阴影部分的角的集合为{α|k·180°＋30°≤α＜k·180°＋105°，k∈Z}．解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简形式.提醒：求解这类问题要注意实线边界与虚线边界的差异.教师独具1．本节课的重点是象限角的判断、终边相同角及区域角的表示，难点是n α及αn所在象限的判定．2．本节课要重点掌握以下规律方法(1)求终边相同的角及区域角的表示．(2)象限角及n α、αn所在象限的判断． 3．本节课的易错点有以下几点(1)对于角的理解，要明确该角是按顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角．(2)把任意角化为α＋k ·360°(k ∈Z ，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k ，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可以用除法．(3)已知角的终边范围，求角的集合时，先写出边界对应的角，再写出0°～360°内符合条件的角的范围，最后都加上k ·360°，得到所求．1．－210°角的终边所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [－210°＝(－1)×360°＋150°，∵150°是第二象限角，∴－210°也是第二象限角．]2．已知－990°<α<－630°，且角α与120°角的终边相同，则α＝________. －960° [∵角α与120°角的终边相同，∴α＝k ·360°＋120°，k ∈Z .又∵－990°<α<－630°，∴－990°<k ·360°＋120°<－630°，k ∈Z ，即－1110°<k ·360°<－750°，k ∈Z ，∴k ＝－3.当k ＝－3时，α＝(－3)×360°＋120°＝－960°.]3．如图，射线OA 先绕端点O 逆时针方向旋转60°到OB 处，再按顺时针方向旋转820°至OC 处，则β＝________.－40° [∠AOC ＝60°＋(－820°)＝－760°，β＝－(760°－720°)＝－40°.]4．已知角β的终边在直线3x －y ＝0上．(1)写出角β的集合S ；(2)写出S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素．[解] (1)如图，直线3x －y ＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA 上的角是60°，终边落在射线OB 上的角是240°，所以以射线OA ，OB 为终边的角的集合为：S 1＝{β|β＝k ·360°＋60°，k ∈Z }，S 2＝{β|β＝k ·360°＋240°，k ∈Z }，所以，角β的集合S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝k ·360°＋60°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋180°＋k ·360°，k ∈Z }＝{β|β＝2k ·180°＋60°，k ∈Z }∪{β|β＝(2k ＋1)·180°＋60°，k ∈Z }＝{β|β＝n ·180°＋60°，n ∈Z }．(2)由于－360°≤β＜720°，即－360°≤60°＋n ·180°＜720°，n ∈Z ，解得－73≤n ＜113，n ∈Z ， 所以n ＝－2，－1,0,1,2,3.所以S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素为：－2×180°＋60°＝－300°；－1×180°＋60°＝－120°；0×180°＋60°＝60°；1×180°＋60°＝240°；2×180°＋60°＝420°；3×180°＋60°＝600°.。
高中数学必修4《第一章三角函数》精品课件：1.1.1任意角
S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.
S={ －315°，-135°，45°，225°， 405°，585°}
课堂小结
Office组件之word2007
1.角的概念推广 正角、负角、零角、象限角
2.终边相同的角
3.终边在x轴、y轴上的角的表示
4.终边在各个象限上的角的表示
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思考2：终边在x轴上的角的集合表示
终边在x轴上：S={α|α=k·180°，k∈Z}；
新课教学
Office组件之word2007
思考3：终边在y轴非正半轴、非负半轴
上的角分别如何表示？
y轴非负半轴:α= 90°＋k·360°，k∈Z ； y轴非正半轴:α= 270°＋k·360°，k∈Z .
思考4：终边在y轴上的角的集合表示
y
x o
知识探究（三）：终边相同的角 Office组件之word2007
思考1：－32°，328°，－392°是第几 象限的角？这些角有什么内在联系？
y
328° o
－392° x
－32°
新课教学
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思考2：与－32°角终边相同的角有多 少个？这些角与－32°角在数量上相 差多少？
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1.1.1 任意角
知识探究（一）：角的概念的推广
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复习：角的定义 角是由平面内一条射线绕其端点从
一个位置旋转到另一个位置所组成的 图形（如图）.
B
始边
终边
A O
顶点
新课教学
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思考1：你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋
高中数学 1.1.1任意角教案 新人教A版必修4 教案
是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．按照上述方法，在平面直角坐标系中，角的终边绕原点旋转360°后回到原来的位置．终边相同的角相差360°的整数倍．因此，所有与角α终边相同的角(连同角α在内)的集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
根据终边相同的角的概念，回答下列问题：
问题1已知集合S＝{θ|θ＝k·360°＋60°，k∈Z}，则－240°
S,300°S，－1 020°S.(用符号：∈或∉填空)．
问题2集合S＝{α|α＝k·360°－30°，k∈Z}表示与角终边
相同的角，其中最小的正角是.
问题3已知集合S＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}，则角α的终
边落在上．
探究点三象限角与终边落在坐标轴上的角
问题1写出终边落在x轴上的角的集合S.
答S＝{α|α＝k·360°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
＝{α|α＝2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{α|α＝n·180°，n∈Z}．。
人教版高中数学必修4-1.1《任意角》教学设计
《任意角》教学设计一、教学目标（一）核心素养：通过这节课了解任意角的概念，掌握正角，负角，零度角及象限角的定义，掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；培养学生通过观察生活实例发现相关的数学问题，培养学生运用运动变化的观点认识事物，能够达到学会用已学习的知识类比到新知识的能力．（二）学习目标1.推广角的概念、引入大于360︒角和负角；2.理解并掌握正角、负角、零角的定义；3.理解任意角以及象限角的概念；4.掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（三）学习重点理解任意角的概念；掌握终边相同角的表示方法．（四）学习难点掌握终边相同角的表示．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）回顾初中学习的角的概念．（2）阅读教材第2页到第5页的内容．2.预习自测（1）下列角中终边与330°相同的角是（）A．30°B．－30°C．630°D．－630°【知识点】终边相同的角【解题过程】先作出330°的角的终边，在选项里面寻找预期终边相同．【思路点拨】作图注意旋转方向【答案】B．（2）－1120°角所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【知识点】终边相同的角，象限角概念【解题过程】先作出－1120°的角的终边，在选项里面寻找其所在的象限．【思路点拨】作图注意旋转方向【答案】D．（3）若时针走过2小时40分，则分针走过的角是多少？【知识点】时间单位的转换，表盘一圈360°【解题过程】先算出2小时分针转过的角度，再加上40分钟所旋转的角度．【思路点拨】作图注意旋转方向【答案】480︒-(二)课堂设计1.知识回顾本节课是章始课，需要联系和回顾的是初中学习的角的概念．2.问题探究探究一从生活中感受角的新定义．●活动①生动展示旋转过程，并增强了爱国教育．观看一段跳水运动员的视频，重点是空中转体部分，并用慢动作回放过程．提问中间提及的角度我们以前没有学习过，那么该如何定义这个新的量呢？【设计意图】通过视频生动的让学生感受大于360°的角是怎么样形成的，引出任意角的必要性●活动②贴近自己的生活实际，再次切身体会任意角形成的过程．思考：你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？[取出一个钟表，实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到。
2019人教版高中数学必修4全套教案(80页)
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
②角的名称： ③角的分类：
B 终边
始边
O 顶点
A
正角：按逆时针方向旋转形成的角
零角：射线没有任何旋转形成的角
负角：按顺时针方向旋转形成的角
④注意： ⑴在不引起混淆的情况下,“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合,如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后,已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,那么角的终边(端点除外) 在第几象限,我们就说这个角是第几象限角． 例 1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？
人教版高中数学必修精品教学资料
1.1．1 任意角
教学目标
知识与技能目标
理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. 过程与能力目标
会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合 的书写．
情感与态度目标
提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识．
教学重点
例 5．写出终边在 y x 上的角的集合 S,并把 S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β
写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类：
正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角
③象限角； ④终边相同的角的表示法． 5．课后作业： ①阅读教材 P2-P5； ②教材 P5 练习第 1-5 题；
（Ⅳ）
由四个图看出：
当角 的终边不在坐标轴上时,有向线段 OM x, MP y ,于是有
高中数学必修四《任意角》教学设计
1.1.1 任意角（教学设计）【教材分析】三角函数是基本初等函数之一，是中学数学的重要内容之一，也是学习高等数学的基础，三角函数是数学中重要的数学模型之一，是研究度量几何的基础，又是研究自然界周期变化规律的最强有力的数学工具．本节课作为高中三角函数的起始课，有着衔接初高中学习，承前启后的作用，其重要性不可小视．本节课主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义；介绍象限角的概念，终边相同的角的表示方法；帮助学生树立运动变化的观点，理解角的加法与旋转合成之间的联系．【学情分析】由范围内的角到任意角的学习，从认知结构发展的角度来说，是属于“下、上位关系学习”，是一种特殊到一般的过程，“先行组织者”是初中所学角的概念．也正因为学生在初中学习过范围的角，这可能会对研究任意角在认识上有一定的局限性，导致正、负角的定义可能会有一定的困难．这里可以让学生先仔细观察最本质的周期性现象————质点的匀速圆周运动，然后充分体会旋转方向对准确刻画质点位置变化的重要性，最后再形成任意角的概念．与此同时初中数系的扩充和数轴上的点与实数之间的对应为角的概念的推广奠定了基础，课堂上学生自主发现问题，合作完成角的概念推广，完全具备实践基础．另外学生在学习用集合表示终边相同的角时，也可能会出现障碍．其原因是学生可能不知道角的终边相同这一现象的本质．针对这一问题，应引导学生先从几个具体的终边相同的角寻找关系，然后推广到一般情况，最后再用动画演示帮助学生深化理解．【教学重难点】1．教学重点：理解并掌握正角、负角、零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法和判定2．教学难点：把终边相同的角用集合的符号语言表示出来．【教学目标分析】1．知识与技能目标：（1）使学生理解用“旋转”定义角的概念；（2）理解“正角”、“负角”、“零角”、“象限角”、“终边相同的角”的含义；（3）掌握所有与角α终边相同的角（包括角α）的表示方法．2．过程与方法（1）通过情境，让学生自己完成角的概念的推广这一认知过程，培养学生观察、分析、运用所学知识解决问题的能力；（2）向学生渗透数形结合的思想方法；（3）指导学生通过各种角表示法的训练，提高分析、抽象、概括的能力．3．情感态度价值观（1）通过对角的定义的推广过程的教学使学生感受到数学的应用性和知识的力量，增强学习数学的兴趣和信心，激发学生学习数学的热情；（2）充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生观察、思考、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识；（3）重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，同时体会到创新的乐趣；（4）通过对角的集合表示的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风．【教学问题诊断分析】【教学方法分析】新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程．本节课采用问题引领的方式让学生思考、自主探究及教师启发引导的教学方法．教师通过多媒体课件演示，给学生以直观的印象，创设问题情境，突出角的概念的理解与掌握，同时通过具体问题，从特殊到一般，归纳出终边相同角的方法，达到突破难点的目的．本课按照“创设情境——问题引领——巩固提高——归纳小结——布置作业”的程序设计教学过程，使学生经历观察、思考、交流、反思等理性思维的基本过程，切实改进学生的学习方式，使学生真正成为学习的主人．【教学过程】导入新课师：今天这节课，我想和大家共同探讨一个话题：角（教师板书）师：对于角，我们并不陌生，初中就学过角的概念．问题1：初中我们是如何定义一个角的？所学的角的范围是什么？．新课讲解问题2：体操名词“程菲跳”是“踺子后手翻转体180度接前直转体空翻540度”的动作命名．这里的540度是一个什么样的角，能描述它吗？设计意图：用体操情境引发学生思考，激发学生探究新知的欲望，调动学生参与教学的积极性师生活动：教师提问，学生思考、回答．问题3：跳水运动员向内、向外转体两周半，这是多大角度？师：也就是说，我们不仅需要从量的角度将角推广，还需要根据旋转方向不同将角加以区分．本节课的首要任务就是先将角推广到任意角．（教师板书：1．1．1任意角，同时PPT给出角的定义）角的定义：在新的定义下，我们继续探讨与角有关的概念．1．正角、负角和零角（教师板书，同时PPT给出概念）我们规定，按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．师：这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角．2．象限角为了讨论问题的方便，我们使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合．那么角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{}ββα+⋅∈=360,k k Z即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．例题分析例1 在0360（即0360α-角终≤<）范围内，找出与95012'边相同的角，并判定它是第几象限角．解：95012129483360''-=-⨯，所以在0360范围内，与95012'-角终边相同的角是12948'，它是第二象限角．学生练习1．下列说法正确的是（）A．第一象限的角小于第二象限的角B．若90180α≤≤，则α是第二象限的角C．小于90的角都是锐角D．有些角不是任何象限的角2．与460-角终边相同的角可以表示成( ) A．460360,+⋅∈k k ZB．100360,+⋅∈k k ZC．260360,+⋅∈k k ZD．260360,-+⋅∈k k Z2．在0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角．(1) 5418'-；-；(2) 3958'；(3) 855；(4) 119030' 3．写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式720360β-≤<的元素β写出来：(1) 1303； (2)2258'-； 布置作业必做题：课本第9页 习题1.1 A 组 1、2、3 选做题：已知α是第一象限角，那么2α和2α是第几象限角？。
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 1.1.1 任意角教案 苏教版必修4
〖【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.1.1 任意角教案苏教版必修4〗之小船创作1．1任意角、弧度1．1.1 任意角(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；(2)理解象限角、坐标轴上的角的概念；(3)理解任意角的概念，掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法；(4)能表示特殊位置(或给定区域内)的角的集合；(5)能进行简单的角的集合之间的运算．2．过程与方法以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，类比初中所学的角的概念，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系；引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求．●重点难点1．重点：理解正角、负角和零角及象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断．2．难点：把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来．(教师用书独具)●教学建议1．任意角的概念：建议教师在教学过程中通过拨手表指针问题引导学生感受推广角的概念的必要性．教学时，可以先让学生自己描述“校准”手表的过程，然后引导学生体会仅用0°～360°之间的角已经无法解决当前的问题．2．象限角的概念：建议教师在教学过程中强调角与平面直角坐标系的关系，引导学生发现象限角所在的范围可以用不等式表示，并注意讲解“终边落在坐标轴上的角，它不属于任何一个象限”．3．终边相同的角的表示：建议教师在教学中应当让学生先通过自己的活动形成对“终边相同的角相差360°的整数倍”的直观感知，通过具体角寻找终边相同角的规律，归纳其一般表示形式．教学时，有条件的可以利用信息技术，利用动态的观点，旋转角的终边，观察角的变化规律，从而将数、形联系起来，使角的几何表示和集合表示相结合，从而达到对终边相同角的认知的统一．●教学流程创设问题情境，复习初中角的定义，引出任意角的概念.⇒错误!⇒通过引导学生探究在直角坐标系中，按角的终边的位置不同定义不同的象限角，并理解终边相同的角的表示方法.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握角的概念及其应用.⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!课标解读 1.了解任意角的概念．2．理解象限角的概念及终边相同的角的含义．(重点)3．掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．(难点)任意角的概念 【问题导思】1．在初中时我们是如何定义角的？【提示】 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．2．如果你的手表慢了10分钟，你是怎样校准的？【提示】 校准方法很多，由于分针转一圈为360°，故10分钟分针需要转过60°，且要调快分针可顺时针转，故可让分针顺时针旋转60°.(1)一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边．(2)按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角．如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫做零角．象限角及终边相同的角1．如果把一个角的顶点放在直角坐标系的原点，角的始边为x 轴正半轴，那么角终边的位置在坐标系中有几种情况？【提示】 在第一、二、三、四象限或与坐标轴重合． 2．0°角与360°角的终边相同吗？【提示】 相同．(1)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．(2)终边相同的角：一般地，与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}.角的概念及相关应用(1)下列各命题正确的有________．(填序号)①终边相同的角一定相等；②第一象限角都是锐角；③锐角都是第一象限角；④小于90°的角都是锐角．(2)下列说法正确的是________．(填序号)①一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大．②在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转到x轴的正半轴形成的角为90°.③将钟表调快一个小时，则分针转了360°.④顺时针方向旋转形成的角一定小于逆时针方向旋转形成的角．【思路探究】根据各种角的含义进行判断．【自主解答】(1)对于①，－60°角和300°角是终边相同的角，但它们并不相等，∴应排除①.对于②，390°角是第一象限角，但它不是锐角，∴应排除②.对于④，－60°角是小于90°的角，但它不是锐角，∴应排除④.∵锐角的集合是{α|0°＜α＜90°}，第一象限角的集合是{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}，∴锐角是第一象限角．∴③正确．(2)如果一条射线绕端点顺时针方向旋转，则它形成负角，旋转的圈数越多，则这个角越小，故①不正确．在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点旋转到x轴的正半轴时，是按顺时针方向旋转，故它形成的角为－90°，故②不正确．将钟表调快一个小时，也是按顺时针转动，故分针转了－360°，③不正确．顺时针方向旋转形成的角为负角，它一定小于逆时针方向旋转形成的正角，故④正确．【答案】(1)③(2)④解答概念辨析题，一是利用定义直接判断；二是利用反例排除错误答案，要说明一个命题不正确，只需举出一个反例即可．下列说法正确的是________．(填序号)①三角形的内角必是第一、二象限角；②第一象限角一定是正角；③第二象限角一定比第一象限角大；④与30°终边相同的角有无穷多个．【解析】90°可以是三角形的内角，但它既不是第一象限角，又不是第二象限角，故①错；－330°是第一象限角，但不是正角，故②错；120°是第二象限角，390°是第一象限角，但390°>120°，故③错；④正确．【答案】④终边相同的角在0°～360°范围内，请指出与下列角的终边相同的角，并说出此角是第几象限角．(1)430°(2)909°(3)－60°(4)－1 550°【思路探究】将所给角α写成α＝k·360°＋β(0°≤β＜360°)的形式，则β即为所求．【自主解答】(1)430°＝1×360°＋70°，所以在0°～360°范围内与430°终边相同的角为70°，此角为第一象限角．(2)909°＝2×360°＋189°，所以在0°～360°范围内与909°终边相同的角为189°，此角为第三象限角．(3)－60°＝－1×360°＋300°，所以在0°～360°范围内与－60°终边相同的角为300°，此角为第四象限角．(4)－1 550°＝－5×360°＋250°，所以在0°～360°范围内与－1 550°终边相同的角为250°，此角为第三象限角．将任意角写成α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式的关键是确定k.可用观察法(α绝对值较小时)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，余数是正数．如图1－1－1，分别写出终边落在所示直线上的角的集合．图1－1－1【解】 由于终边落在直线上的角都是180°的整数倍加上相应的角(0°到180°范围内)，因此相对应的角的集合为：(1)S ＝{α|α＝90°＋k ·180°，k ∈Z }；(2)S ＝{α|α＝45°＋k ·180°，k ∈Z }；(3)S ＝{α|α＝135°＋k ·180°，k ∈Z }；(4)S ＝{α|α＝45°＋k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝135°＋k ·180°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·90°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·90°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋k ·90°，k ∈Z }．象限角的表示及其应用已知α为第一象限角，求2α，α2，α3所在的象限． 【思路探究】 用不等式表示α→求2α，α2，α3的范围→分类讨论→得出结论【自主解答】 ∵α为第一象限角，∴360°·k ＜α＜360°·k ＋90°，k ∈Z ，∴360°·2k ＜2α＜360°·2k ＋180°，k ∈Z ，∴2α是第一或者第二象限角，或是终边在y 轴正半轴上的角．∵180°·k ＜α2＜180°·k ＋45°，k ∈Z ，当k 为奇数时，α2是第三象限角； 当k 为偶数时，α2是第一象限角．∴α2为第一或第三象限角．又∵120°·k＜α3＜120°·k＋30°，k∈Z，当k＝3n(k∈Z)时，360°·n＜α3＜360°·n＋30°，n∈Z，∴α3是第一象限角；当k＝3n＋1(k∈Z)时，360°·n＋120°＜α3＜360°·n＋150°，n∈Z，∴α3是第二象限角；当k＝3n＋2(k∈Z)时，360°·n＋240°＜α3＜360°·n＋270°，n∈Z，∴α3是第三象限角．∴α3为第一、第二或第三象限角．1．用不等式表示象限角的集合是解决这类问题的基本方法．2．α，α2，2α终边位置关系：α2所在的象限．【解】由角α是第三象限角可知，k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z，于是，2k·360°＋360°＜2α＜2k·360°＋540°，k∈Z ，即(2k ＋1)·360°＜2α＜(2k ＋1)·360°＋180°，k ∈Z .所以2α为第一、二象限角或终边在y 轴的正半轴上的角．因为k ·180°＋90°＜α2＜k ·180°＋135°，k ∈Z ， 当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则n ·360°＋270°＜α2＜n ·360°＋315°，n ∈Z ，此时α2为第四象限角； 当k 为偶数时，设k ＝2n ，n ∈Z ，则n ·360°＋90°＜α2＜n ·360°＋135°，n ∈Z ，此时α2为第二象限角． 因此α2为第二象限角或第四象限角．区间角表示错误图1－1－2用角度表示顶点在原点上，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在图1－1－2所示的阴影区域内的角的集合(含边界)．【错解】 因为区域起始、终边边界分别对应的角为300°和45°，所以它表示的角的集合为{α|k ·360°＋300°≤α≤k ·360°＋45°，k ∈Z }．【错因分析】 因为45°≤300°，所以上式是错误的，由于没有弄清角的大小而造成了错误，出现了矛盾不等式．【防范措施】 表示区间角时，应先按逆时针方向，确定在(0°，360°)范围内区间的起始边界与终止边界所对应的角α，β(α＜β)，再在所得到的范围{x |α＜x ＜β}两边加上k ·360°，即得区域角的集合{x |k ·360°＋α＜x ＜k ·360°＋β，k ∈Z }．【正解】 由题意可知300°角与－60°角的终边相同， 所以它表示的角的集合为{α|k ·360°－60°≤α≤k ·360°＋45°，k ∈Z }．1．对角的概念的理解关键是抓住“旋转”二字：(1)要明确旋转的方向；(2)要明确旋转的大小；(3)要明确射线未作任何旋转时的位置．2．在运用终边相同的角时，需注意以下几点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉；(2)α是任意角；(3)k·360°与α之间用“＋”连结，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z)；(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是________．【解析】一条射线绕着端点按顺时针方向旋转所形成的角是负角，且旋转了240°，故填－240°.【答案】－240°2．在148°，475°，－960°，－1 601°，－185°这五个角中，属于第二象限角的个数是________．【解析】148°显然是第二象限角．而475°＝360°＋115°，－960°＝－3×360°＋120°，－185°＝－360°＋175°，都是第二象限角，而－1 601°＝－5×360°＋199°，不是第二象限角．【答案】43．若角α＝2 008°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．【解析】∵2 008°＝5×360°＋208°，∴与2 008°角终边相同的角的集合为{α|α＝208°＋k·360°，k∈Z}，∴最小正角是208°，最大负角是－152°.【答案】208°－152°4．求0°～360°范围内与－30°终边相同的角．【解】与－30°角终边相同的角为k·360°－30°，k∈Z，取k＝1，得1×360°－30°＝330°，0°≤330°＜360°，因此所求角为330°.一、填空题1．(2013·泰安高一检测)钟表经过4小时，时针转过的度数为________，分针转过的度数为________．【解析】分针和时针均按顺时针方向旋转，其中分针连续转过4周，时针转过13周．【答案】－120°－1 440°2．543°是第________象限角．【解析】543°＝183°＋360°，又183°是第三象限角，故543°也是第三象限角．【答案】三3．与405°终边相同的角的集合为________．【解析】405°－360°＝45°，故与405°角终边相同的角可表示为k·360°＋45°，k∈Z.【答案】{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}4．(2013·南京高一检测)已知角α＝－3 000°，则与α终边相同的最小正角是________．【解析】与α终边相同的角的集合为{θ|θ＝－3 000°＋k·360°，k∈Z}，与θ终边相同的最小正角是当k ＝9时，θ＝－3 000°＋9×360°＝240°.所以与α终边相同的最小正角为240°.【答案】240°5．若α是第二象限角，则180°－α是第________象限角．【解析】因为α是第二象限角，所以k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z，所以k·360°＜180°－α＜k·360°＋90°，k∈Z，所以180°－α是第一象限角．【答案】一6．(2013·曲阜师大附中检测)在－720°～720°内与－1 050°角终边相同的角是________．【解析】与－1 050°终边相同的角可表示为k·360°－1 050°(k∈Z)，k＝1时，1×360°－1 050°＝－690°，k＝2时，2×360°－1 050°＝－330°，k＝3时，3×360°－1 050°＝30°，k＝4时，4×360°－1 050°＝390°.【答案】－690°或－330°或30°或390°7．在－360°～0°内与160°角终边相同的角是________．【解析】与160°角终边相同的角α＝k·360°＋160°，k∈Z.∵－360°≤α＜0°，∴取k＝－1，得α＝－360°＋160°＝－200°.故在－360°～0°内与160°角终边相同的角是－200°.【答案】－200°8．若角α和角β的终边关于x轴对称，则角α可以用角β表示为________．【解析】∵角α和角β的终边关于x轴对称，∴α＋β＝k·360°(k∈Z)．∴α＝k·360°－β(k∈Z)．【答案】k·360°－β(k∈Z)二、解答题9．写出终边在如图1－1－3所示阴影部分(包括边界)的角的集合．图1－1－3【解】先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}；(2){α|－210°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k ∈Z}．10．写出与15°角终边相同的角的集合，并求该集合中满足不等式－1 080°≤β＜720°的元素β.【解】与15°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝15°＋k·360°，k∈Z}，其中，满足－1 080°≤β＜720°的元素有：k＝－3时，β＝－1 065°；k＝－2时，β＝－705°；k＝－1时，β＝－345°；k＝0时，β＝15°；k＝1时，β＝375°，∴集合中满足条件的元素β有－1 065°，－705°，－345°，15°，375°.11．在角的集合{α|α＝k·90°＋45°(k∈Z)}中：(1)有几种终边不相同的角？(2)有几个大于－360°且小于360°的角？(3)写出其中是第二象限的角的一般表示法．【解】(1)当k＝4n,4n＋1,4n＋2,4n＋3，n∈Z时，在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种．(2)由－360°＜k·90°＋45°＜360°，得－92＜k＜72.又k∈Z，故k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3.∴在给定的角集合中大于－360°且小于360°的角共有8个．(3)其中是第二象限的角可表示成k·360°＋135°，k ∈Z.(教师用书独具)已知角α的终边在如图所示的阴影部分所表示的范围内，求角α的取值范围．【思路探究】先在－180°～180°范围内找出终边落在阴影内的角，然后写出角的集合(注意边界)．【自主解答】当角α的终边落在阴影的上半部分时，α∈{α|k·360°＋30°＜α≤k·360°＋150°，k∈Z}，当角α的终边落在阴影的下半部分时，α∈{α|k·360°－150°＜α≤k·360°－30°，k∈Z}．由此可知满足题意的角α为{α|k·180°＋30°＜α≤k·180°＋150°，k∈Z}．1．角的终边为虚线，则不等式中应不带“＝”号．2．本题实质上是求两个范围内角的并集，应注意化简为最简结果．如图所示，写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合为________．【解析】与－30°角终边在一条直线上的角的集合为S1＝{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z}＝{α|α＝150°＋k·180°，k∈Z}．与45°＋90°＝135°角终边在同一直线上的角的集合为S2＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}，从而图中阴影部分的角的取值集合为{α|135°＋k·180°≤α≤150°＋k·180°，k∈Z}．【答案】{α|135°＋k·180°≤α≤150°＋k·180°，k∈Z}。
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一、引入
1．回忆：初中时，我们已学习
了0○～360○
角的概念，它是如何定义的呢？ 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
如图1，
2 （1）用扳手拧螺母；
（2）体操比赛中“转体720o
”
(3) 时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转 如果慢了5分钟，又该如何校正？ 本节课将在已掌握
～
角的范围基础上，重新给出
角的定义，并研究这些角的分类及记法． 二、新课
1. 角的概念的推广：
(1)定义：一条射线OA 由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α。
其中射线OA 叫角α的始边，射线OB 叫角α的终边，O 叫角α的顶点。
2．正角、负角、零角概念
为了区别起见，如图2中的角为正角，它等于300与7500
； (1)我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角. (2)按顺时针方向旋转所形成的角叫负角.
(3)如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。
B
α O A
．（。