一角的基本概念
4-1 三角函数的基本概念
1．弧度制与角度制不能混用，如 α＝2kπ＋30°(k∈Z)，β＝ k·360°＋π2(k∈Z)都是不正确的．
2．相等的角终边一定相同，但终边相同的角不一定相等． 3．终边在坐标轴上的角，不能称为任何象限的角．
4．象限角与区间角不同，如：第一象限角与区间角(0，π2) 不等价，后者是前者的子集．有的区间角可以包含 2 个象限内角 及坐标轴上角，如(π3，23π)．
②∵kπ＋π2<α2<kπ＋34π，k∈Z. ∴α2是第二或第四象限角． ③∵4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z， ∴2α是第一或第二象限角或 y 轴非负半轴上的角． 【答案】 ①四 ②二或四 ③2α 是第一或第二象限角或 y 轴非负半轴上的角
(2)设集合 M＝{x|x＝k2×180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝k4× 180°＋45°，k∈Z}，那么两集合的关系是什么？
第四章 三 角 函 数
第1课时 三角函数的基本概念
…2019 考纲下载… 1．了解任意角的概念． 2．了解弧度制的概念，能进行角度与弧度的互化． 3．借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定 义． 4．理解三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)的概念及意义． 请注意 本节内容高考一般不直接考查，但它是后续各节的基础，是 学习三角函数必须掌握的基本功．
弧度制 (1)什么叫 1 度的角：把圆周分成 360 份，每一份所对的 圆__心__角__叫 1°的角． (2)什么叫 1 弧度的角：弧_长__等__于__半__径_的圆弧所对的圆心角叫 1 弧度的角．
(3)1°＝_____弧度；1 弧度＝______度． (4)若扇形的半径为 r，圆心角的弧度数为 α，则此扇形的弧
【解析】
由三角函数线可知选 D. 【答案】 D
基本识图第一角和第三角画法简介
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第三角画法简介
• 将物体置于第三分角内，如图k 所示，按正投影
法分别向三个投影面投射
• 由前向后投射在V面上得到的视图称为主视图 • 由上向下投射在H面上得到的视图称为俯视图 • 由右向左投射在W面上得到的视图称为右视图
（5）尺寸及其它标注相对集中
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谢谢各位!
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这种用互相平行的投射线对物体进行投射的方法，
称为平行投影法。用平行投影法作出的投影称为 平行投影。
平行投影法又根据投射线与投影面垂直与否，分 为斜投影与正投影法。
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正投影法的基本性质
• （1）同素性 • （2）从属、定比性不变 • （3）平行性不变 • （4）真实性 • （5）积聚性 • （6）类似性
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第三角画法的六个基本视图
• 和第一角画法一样，第三角画法也有六个
基本视图。
• 将物体向正六面体的六个面进行投射，然
后按图(m)所示的方法展开，即可得到六个 基本视图。其配置关系如图(n)所示
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• 第一视角中，俯视图、左视图靠近主视图的一侧
（里面），表示物体的后面；远离主视图的一侧 （外面），表示物体的前面。
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看懂三视图，补齐视图中所缺 的图线（用第一角画法）
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角 (1)
3.角的和、差关系 如图所示，∠AOB 是∠1 与∠2 的和，记作：∠AOB＝∠1＋∠2；∠1 是∠AOB 与∠2 的
差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．
重点剖析： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：
①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)； ②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)； ③读数(读出另一边所在线的度数)．
①射线 AB 与射线 BA 是同一条射线；
②两点确定一条直线；
③两条射线组成的图形叫做角；
④两点之间直线最短；
⑤若 AB=BC，则点 B 是 AC 的中点．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
解：①射线AB与射线BA不是同一条射线，故①错误； ②两点确定一条直线，故②正确；
③两条端点重合的射线组成的图形叫做角，故③错误；
变式 2：（2017 秋•路南区期末）如图，下列说法中错误的是（ ）
A．OA 的方向是东北方向
B．OB 的方向是北偏西 30°
C．OC 的方向是南偏
解：A、OA的方向是北偏东45度即东北方向，故正确； B、OB的方向是北偏西60°，故错误； C、OC的方向是南偏西60°，故正确； D、OD的方向是南偏东30°，故正确． 故选：B．
解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误； B、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误； C、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误； D、图中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确； 故选：D．
变式 1：（2017 秋•崇川区校级期末）下列说法正确的个数是（ ）
2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法 1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法 2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB 和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由 图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
学生 第一次课 三角形基本概念
课时1．几何初步及平行线、相交线考点1 三种基本图形——直线、射线、线段考点3 几何计数考点6 “三线八角”的概念 1. 同位角_ ___与___ _；__ __与__ __；____与____；____与____； 2. 内错角____与____；____与____； 3. 同旁内角____与____；____与____；【类型题聚焦】类型一线与角的概念和基本性质命题角度：1. 线段、射线和直线的性质及计算； 2. 角的有关性质及计算．例1 如图1，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=76°，则∠BOM等于___ __．图1【即学即练】练1（2012•丽水）如图，小明在操场上从A点出发，先沿南偏东30°方向走到B点，再沿南偏东60°方向走到C点．这时，∠ABC的度数是（）A．120°B．135°C．150°D．160°思路分析：首先根据题意可得：∠1=30°，∠2=60°，再根据平行线的性质可得∠4的度数，再根据∠2和∠3互余可算出∠3的度数，进而求出∠ABC的度数点评：此题主要考查了方位角，关键是掌握方位角的概念：方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．练2．（2012•江西）如图，如果在阳光下你的身影的方向北偏东60°方向，那么太阳相对于你的方向是（）A．南偏西60°B．南偏西30°C．北偏东60°D．北偏东30°思路分析：根据方向角的定义进行解答即可．解答：解：由于人相对与太阳与太阳相对于人的方位正好相反，点评：本题考查的是方向角的概念，熟知方向角的概念是解答此题的关键．类型二直线的位置关系命题角度：1. 直线平行与垂直的判定及简单应用； 2. 角度的有关计算.例2 （2013•内江）如图2，把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=40°，则∠2的度数为___ ____．图2类型三度、分、秒的计算（进位制）例3 一个角的补角是36°5′，这个角是_____________．练习：（2013•义乌）把角度化为度、分的形式，则20.5°=20°类型四平行线的性质和判定的应用命题角度：1. 平行线的性质；2. 平行线的判定； 3. 平行线的性质和判定的综合应用．例4 （2013•遂宁）如图，有一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在矩形的对边上．如果∠1=18°，那么∠2的度数是．【即学即练】练1：如图所示，AB∥CD，从下面四个图形中任选一个图形，写出一个与题设有关的正确结论，并证明这个结论．练2新定义：（2013•钦州）定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M 到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，根据上练3 （2012•衡阳）如图，直线a⊥直线c，直线b⊥直线c，若∠1=70°，则∠2=（）A．70°B．90°C．110°D．80°思路分析：首先根据垂直于同一条直线的两直线平行可得a∥b，再根据两直线平行同位角相等可得∠1=∠3．根据对顶角相等可得∠2=∠3，利用等量代换可得到．点评：此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定方法与性质定理．练4．（2012•宜宾）如图，已知∠1=∠2=∠3=59°，则∠4= ．点评：此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．类型五：余角和补角例5（2012•孝感）已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β-∠γ的值等于（）A．45°B．60°C．90°D．180°思路分析：根据互余两角之和为90°，互补两角之和为180°，结合题意即可得出答案．点评：此题考查了余角和补角的知识，属于基础题，掌握互余两角之和为90°，互补两角之和为180°，是解答本题的关键．【即学即练】练1（2012•北京）如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=76°，则∠BOM等于（）A．38°B．104°C．142°D．144°思路分析：根据对顶角相等求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠AOM的度数，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．点评：本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，准确识图是解题的关键．课时2．三角形【考点链接】考点1 三角形的分类：1．按角分____________________________⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩三角形三角形三角形三角形三角形2．按边分 _____________________⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形三角形三角形考点2 三角形中的重要线段考点3 三角形的中位线考点4 三角形的三边关系考点5 三角形的内角和定理及推理【典例精析】类型一 三角形三边关系命题角度：1.判断三条线段能否组成三角形； 2.求字母的取值范围； 3.三角形的稳定性． 例1 （2012 长沙）现有3cm ，4cm ，7cm ，9cm 长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是______________． 类型二 三角形的重要线段的应用命题角度：1. 三角形的中线、角平分线、高线；2. 三角形的中位线．例2 [2012·盐城] 如图1，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，∠B =50°．先将△ADE 沿DE 折叠，点A 落在三角形所在平面内的点为A 1，则∠BDA 1的度数为______________． 练习：（2013•昆明） 如图2，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∠A=50°， ∠ADE=60°，则∠C 的度数为图1 图2 图3练2 （2012•梅州）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF ∥OB ，EC ⊥OB ，若EC=1，则EF= ．思路分析：作EG⊥OA于F，根据角平分线的性质得到EG的长度，再根据平行线的性质得到∠OEF=∠COE=15°，然后利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG=30°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半解题．点评：本题考查了角平分线的性质和含30°角的直角三角形，综合性较强，是一道好题．练3．（2012•常德）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DC=2，则D 到AB边的距离是．点评：本题考查了对角平分线性质的应用，关键是作辅助线DE，本题比较典型，难度适中．类型三三角形内角与外角的应用命题角度：1. 三角形内角和定理；2. 三角形内角和定理的推论．例3 （2013•湘西州）如图3，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（）A． 15°B． 25°C． 30°D． 10°例4 如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC 的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠A n-1BC的平分线与∠A n-1CD的平分线交于点A n．设∠A=θ．则：（1）∠A1=______________；（2）∠A n=______________．课时3．全等三角形【考点链接】考点1 全等图形及全等三角形1． 全等图形：能够完全_______的两个图形就是全等图形.全等图形的____ ___和___ ____完全相同.2.全等三角形:_______________________的三角形叫全等三角形. 考点2 全等三角形的性质1.全等三角形的_________相等，_________相等；2. 全等三角形对应边上的_________，__________，_______________也分别对应相等.3. 全等三角形的面积_______，周长_____. 考点3 三角形全等的判定三角形全等的判定：_________，_________，_________，_________，_________. 注意：判定三角形全等，无论哪种方法，都要有三组元素对应相等，且其中最少要有一组对应边相等.考点4 利用“尺规”作三角形的类型1.已知三角形的三边，求作三角形.2.已知三角形的两边及其夹角，求作三角形.3.已知三角形的两角及其夹边，求作三角形.4.已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形.5.已知直角三角形一条直角边和斜边，求作三角形.考点5 角平分线的性质与判定1.性质：角平分线上的______到角两边的__________相等.2.判定：角的内部到角两边的距离相等的_______在这个角的________________. 【典例精析】类型一 全等三角形性质与判定的综合应用例1 （2013 北京）如图，已知D 是AC 上一点，AB=DA ，DE ∥AB ，∠B=∠DAE.求证：BC=AE类型二 全等三角形开放性问题例2如图，在△ABC 中，点D是BC 的中点，作射线AD ，在线段AD 及其延长线上分别取点E 、F ，连接CE 、BF ．添加一个条件，使得△BDF ≌△CDE ，并加以证明．你添加的条件是____________．（不添加辅助线）．ab类型三利用全等三角形设计测量方案例3如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是_____________.类型四角平分线例4（2013•湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．例5某班同学上数学活动课，他们对一个角的平分线作如下研究（如图）．他们先用角尺做了平分这个角的方案设计：（Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，若移动角尺使角尺两边相同刻度的点与M、N重合，即PM=PN，则过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB 的平分线．（Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，若将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同刻度的点与M、N重合，即PM=PN，则过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．（1）方案（Ⅰ）是否可行？答：_______ （填“行”或“不行”）；（2）方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由．（3）活动过程中，小明说：“若设∠AOB=60°，自O点引射线OC，若∠AOC：∠COB=1：3，那么射线OC与∠AOB的平分线所成角的度数是多少呢？”请通过求解告诉小明．。
二年级数学《角的初步认识》教学反思
二年级数学《角的初步认识》教学反思二年级数学《角的初步认识》教学反思1教材分析课标中对本节课的要求：通过看一看、摸一摸、折一折、做一做等活动，使学生初步对角和直角有感性认识，知道角各部分的名称。
会用直尺画角和直角。
会用三角板判断一个角是不是直角。
帮助学生初步建立角、直角的空间观念，培养学生的实际操作能力。
本节内容的知识体系；1、认识角，知道角的各部分名称，能正确指出物体表面的角，能在平面图形中辨认出角。
本节内容在教材中的地位，前后教材内容的逻辑关系。
本节核心内容的功能和价值（为什么学本节内容），本节知识是学生在已经认识长方形、正方形和三角形的基础上接触到的一个抽象的图形概念，教材通过主题图校园一角——引导学生从观察实物开始逐步抽象，再通过让学生实际操作。
如找一找，剪一剪，画一画等活动加深学生对角的认识并掌握角的基本特征，让学生熟练这部分内容后为学生今后进一步学习长方形、正方形、三角形等几何图形奠定了坚实的基础，起到了承前启后的作用。
素质教育要我们面向全体学生，教学时要兼顾到不同层次学生，尽最大努力体现到因材施教及坡度练习，让每个学生都有机会体会到成功的喜悦，深化了学生对角的本质特征的认识，是我这节课的主要意图。
学情分析1、本节知识是学生在已经认识长方形、正方形和三角形的基础上接触到的一个抽象的图形概念，教材通过主题图校园一角——引导学生从观察实物开始逐步抽象，再通过让学生实际操作。
如找一找，剪一剪，画一画等活动加深学生对角的认识并掌握角的基本特征，让学生熟练这部分内容后为学生今后进一步学习长方形、正方形、三角形等几何图形奠定了坚实的基础，起到了承前启后的作用。
2、充分利用学生已有的生活经验和知识展开学习。
角在生活中无处不在，虽然学生没有形成角的概念，但是能够初步辩认出现实生活中很多的角，对角有一些朦胧的认识。
本节课，充分利用学生已有的知识经验，让学生经历从具体的实物中抽象出角的过程，切实体验数学与生活的联系，学会用数学的眼光观察事物。
第一、三角画法简介
第一角画法和第三角画法的区别1.1基本概念第一角投影法的概念如图所示，由三个互相垂直相交的投影面组成的投影体系，把空间分成了八各部分，每一部分为一个分角，依次为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ……Ⅶ、Ⅷ分角。
将机件放在第一分进行投影，称为第一角画法。
而将机件放在第三分角进行投影，称为第三角画法，第三角画法主要是欧美等西方国家采用，我国等一些国家采用第一角画法，下面将分别介绍并着重介绍第一角画法。
1.2 第一角画法概念为了清晰地表达机件六个方向的形状，可在H、V、W三投影面的基础上，再增加三个基本投影面。
这六个基本投影面组成了一个方箱，把机件围在当中，如图6—1（a）所示。
机件在每个基本投影面上的投影，都称为基本视图。
图6—1（b）表示机件投影到六个投影面上后，投影面展开的方法。
展开后，六个基本视图的配置关系和视图名称见图6—1（c）。
按图6—1（b）所示位置在一张图纸内的基本视图，一律不注视图名称。
六个基本视图的投影和展开六个基本视图的配置1.3 投影规律六个基本视图之间，仍然保持着与三视图相同的投影规律，即：主、俯、仰、（后）：长对正；主、左、右、后：高平齐；俯、左、仰、右：宽相等。
此外，除后视图以外，各视图的里边（靠近主视图的一边），均表示机件的后面，各视图的外边（远离主视图的一边），均表示机件的前面，即“里后外前”。
1.4 向视图有时为了便于合理地布置基本视图，可以采用向视图。
向视图是可自由配置的视图，它的标注方法为：在向视图的上方注写“×”（×为大写的英文字母，如“A”、“B”、“C”等），并在相应视图的附近用箭头指明投影方向，并注写相同的字母。
向视图的画法1.2 局部视图1.2.1概念只将机件的某一部分向基本投影面投射所得到的图形，称为局部视图。
局部视图是不完整的基本视图，利用局部视图可以减少基本视图的数量，使表达简洁，重点突出。
例如图6—3 （a）所示工件，画出了主视图和俯视图，已将工件基本部分的形状表达清楚，只有左、右两侧凸台和左侧肋板的厚度尚未表达清楚，此时便可象图中的A向和B向那样，只画出所需要表达的部分而成为局部视图，如图6—3（b）所示。
1.美化教室一角(教案)湘美版美术三年级下册
课题：
科目：
班级：
课时：计划1课时
教师：
单位：
一、教学内容分析
1. 本节课的主要教学内容为《美化教室一角》，选自湘美版美术三年级下册。教学内容涉及利用绘画、剪纸、拼贴等手法，对教室的一角进行美化设计，提高学生的美术创作能力和环境美化意识。
2. 教学内容与学生已有知识的联系：学生在二年级时已经学习了基本的绘画、剪纸和拼贴技巧，对本节课所涉及的基本技法有一定的了解。此外，学生在日常生活中对教室环境有直观的感受，能够结合自己的生活经验参与到教室一角的美化设计中。通过本节课的学习，学生将能够将所学知识运用到实际操作中，提高自己的美术实践能力。
3. 素质方面：学生对美术课程的兴趣和热情将有助于提高课堂参与度，教师应关注学生的情感需求，营造积极向上的课堂氛围。
4. 行为习惯方面：良好的课堂纪律是保证教学质量的前提。教师应加强对学生行为习惯的培养，确保教学活动顺利进行。
四、教学方法与手段
1. 教学方法：
- 讲授法：针对教室一角美化设计的基本原理和技巧，教师通过生动的语言和实例，为学生提供系统的理论知识。
教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。
6. 课堂小结（5分钟）
目标：回顾本节课的主要内容，强调美化教室一角的重要性和意义。
过程：
简要回顾本节课的学习内容，包括美化教室一角的基本概念、设计原理、案例分析等。
强调美化教室一角在改善学习环境和提升生活质量的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用设计知识。
2. 过程与方法：
- 学生通过小组讨论、案例分析等方式，提高了合作能力和解决问题的能力。
- 学生在课堂展示与点评环节，锻炼了表达能力，增强了自信心。
考点14 三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式-备战2020年高考数学(理)考点一遍过
考点14 三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式1．任意角的概念、弧度制 （1）了解任意角的概念.（2）了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. 2．三角函数（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. （2）能利用单位圆中的三角函数线推导出2απ±，πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出sin ,cos ,tan y x y x y x ===的图象，了解三角函数的周期性.（3）理解同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1x x +=，sin tan cos xx x=.一、角的有关概念 1．定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2．分类（1）按旋转方向不同分为正角、负角、零角． （2）按终边位置不同分为象限角和轴线角．（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合·3{|}60,S k k ββα==+︒∈Z ．3．象限角与轴线角第一象限角的集合为π2π2π,2k k k αα⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ；第二象限角的集合为π2π2ππ,2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 第三象限角的集合为3π2ππ2π,2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 第四象限角的集合为3π2π2π2π,.2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z 终边与x 轴非负半轴重合的角的集合为{}2π,k k αα=∈Z ； 终边与x 轴非正半轴重合的角的集合为{}2ππ,k k αα=+∈Z ； 终边与x 轴重合的角的集合为{}π,k k αα=∈Z ； 终边与y 轴非负半轴重合的角的集合为π2π,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 终边与y 轴非正半轴重合的角的集合为π2π,2k k αα⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ； 终边与y 轴重合的角的集合为ππ,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 终边与坐标轴重合的角的集合为π,2k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ． 二、弧度制1．1弧度的角把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 规定：,ll rα=是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零．2．弧度制用“弧度”做单位来度量角的单位制叫做弧度制．比值lr与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关． 3．弧度与角度的换算180π180πrad ,1rad =57.3,1=rad π180⎛⎫︒=︒≈︒︒ ⎪⎝⎭． 4．弧长公式l r α=，其中α的单位是弧度，l 与r 的单位要统一.角度制下的弧长公式为：π180n rl =（其中n 为扇形圆心角的角度数）. 5．扇形的面积公式21122S lr r α==.角度制下的扇形面积公式为：2π360n r S =（其中n 为扇形圆心角的角度数）.三、任意角的三角函数 1．定义设α是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，点(),P x y 是角α的终边上任意一点，P 到原点的距离()0O P r r =>，那么角α的正弦、余弦、正切分别是s i n ,c o s ,t a n yxy rrxααα===．注意：正切函数tan y x α=的定义域是ππ,2k k αα⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，正弦函数和余弦函数的定义域都是R .2．三角函数值在各象限内的符号三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．三角函数线设角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ．由三角函数的定义知，点P 的坐标为()cos ,sin αα，即()cos ,sin P αα，其中cos ,sin ,OM MP αα==单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则ta n AT α=．我们把有向线段,,OM MP AT 分别叫做α的余弦线、正弦线、正切线．各象限内的三角函数线如下：4．特殊角的三角函数值α0︒ 30︒45︒60︒90︒120︒135︒150︒ 180︒270︒360︒π6π4π3π22π3 3π4 5π6 π3π22πsin α0 12 223213222121-cos α132 221212-22- 32-1-1tan α3313 不存在3-1- 33-不存在补充：6262sin15cos 75,sin 75cos15,44︒=︒=︒=︒= tan1523,tan 752 3.︒=︒=+四、同角三角函数的基本关系式 1．平方关系22sin cos 1αα+=．2．商的关系sin cos tan ααα=． 3．同角三角函数基本关系式的变形（1）平方关系的变形：2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；（2）商的关系的变形：sin sin tan cos ,cos tan αααααα=⋅=； （3）2222111tan 1,1cos sin tan αααα-=-=．五、三角函数的诱导公式公式一 二三四五六角2k π+α（k ∈Z ）π+α −α π−α2π−α 2π+α正弦 sin α −sin α −sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α −cos α cos α −cos α sin α −sin α 正切tan αtan α−tan α−tan α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变， 符号看象限考向一 三角函数的定义1．利用三角函数的定义求角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x 、纵坐标y 、该点到原点的距离r .若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．2．利用三角函数线解三角不等式的步骤：①确定区域的边界；②确定区域；③写出解集．3．已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标． 4．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况.典例1 已知角θ的终边上有一点P （m ），且sin 4θ=m ，求cos θ与tan θ的值.【解析】由已知有4m =m =0，或m =当m =0时，cos 1,tan 0θθ=-=；当5m =615cos ,tan 43θθ=-=-； 当5m =615cos tan θθ==【名师点睛】任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P 的位置无关．若角α已经给出，则无论点P 选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的．1．已知角8π3=θ的终边经过点(,3)P x ，则x 的值为 A ．±2 B ．2 C ．﹣2D ．﹣4考向二 象限角和终边相同的角的判断及表示方法1．已知θ所在的象限，求nθ或nθ（n ∈N *）所在的象限的方法是：将θ的范围用不等式（含有k ）表示，然后两边同除以n 或乘以n ，再对k 进行讨论，得到nθ或nθ（n ∈N *）所在的象限．2．象限角的判定有两种方法：一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；二是先将此角化为k ·360°＋α（0°≤α<360°，k ∈Z ）的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角．3．由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解.典例2 已知sin325α=,4cos 25α=- ,试确定角α是第几象限的角. 【解析】因为sin325α=>0,4cos 25α=-<0，所以2α是第二象限的角，所以π2π2ππ,22k k k α+<<+∈Z .由32sin5α=<3π2π2ππ,42k k k α+<<+∈Z ,所以3π4π4π2π,2k k k α+<<+∈Z , 故角α是第四象限的角. 【名师点睛】角2α与α所在象限的对应关系： 若角α是第一象限角，则2α是第一象限角或第三象限角； 若角α是第二象限角，则2α是第一象限角或第三象限角； 若角α是第三象限角，则2α是第二象限角或第四象限角； 若角α是第四象限角，则2α是第二象限角或第四象限角．2．若sin x ＜0，且sin （cos x ）＞0，则角x 是 A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角考向三 同角三角函数基本关系式的应用1．利用22sin +cos 1αα=可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin cos tan ααα=可以实现角α的弦切互化． 2．sin ,cos αα的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin ,cos αα的齐次式，或含有22sin ,cos αα及sin cos αα的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“22sin +cos 1αα=”代换后转化为“切”后求解.典例3 已知 ， . （1）当 时，求 的值； （2）当时，求 的值. 【解析】（1）由已知得 ，∴ ，∴ ，又 ，∴ ，∴. （2）当时，.① 方法1：，∴，∴， ∵，∴.② 由①②可得，，∴ .方法2：， ∴ ，∴ ， ∴ 或，又，∴，∴ ，∴ .3．已知ππ,42⎛⎫∈⎪⎝⎭θ，则2cos 12sin(π)cos --=θθθ A ．sin cos +θθ B ．sin cos -θθ C ．cos sin -θθD ．3cos sin -θθ考向四 诱导公式的应用1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值．2．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似πk α±的形式时，需要对k 的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负． 3．利用诱导公式化简三角函数式的思路： （1）分析结构特点，选择恰当公式； （2）利用公式化成单角三角函数； （3）整理得最简形式．利用诱导公式化简三角函数式的要求： （1）化简过程是恒等变形；（2）结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值． 4．巧用相关角的关系能简化解题的过程．常见的互余关系有π3α-与π6α+，π3α+与π6α-，π4α+与π4α-等； 常见的互补关系有π3θ+与2π3θ-，π4θ+与3π4θ-等.典例4 已知()2sin π3α-=-,且π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()tan 2πα-= A 25B ．25C ．52D ．52-【答案】A【解析】∵()2sin π3α-=-，∴2sin 3α=-. ∵π,02α⎛⎫∈-⎪⎝⎭，∴5cos α=，则25tan α=.∵()tan 2πtan αα-=-，∴()25tan 2πα-=.故选A ． 典例5 （1）化简：()()()()()()sin πcos 3πtan πtan 2πtan 4πsin 5πa ααααα------+；（2）化简：()()()()()()sin 540cos 360tan 540tan tan 900sin x x x x x x ︒-︒-⋅︒+⋅-⋅︒--.【解析】（1）()()()()()()()()()()sin πcos 3πtan πtan 2πsin cos tan tan tan 4πsin 5πtan sin a ααααααααααα-------=-+--=cos tan sin ααα==.（2）原式()()2sin cos tan tan cos sin tan sin x xx x x x x x =⋅-⋅=-⋅=---.4．已知2019π1cos 22⎛⎫+= ⎪⎝⎭α，π,π2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，则cos =αA ．12B ．12-C ．3D 3考向五 同角三角函数的基本关系式、诱导公式在三角形中的应用与三角形相结合时，诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有：πA B C +=-,222π2A B C +=-，π2222A B C ++=等，于是可得in i (s s n )A B C =+，cos sin 22A B C +=等．典例6 在ABC △中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，若 ，π3C =，，则 ______， ________.【答案】35， 【解析】由sin 3tan cos 4A A A ==,得22π34sin cos 1,sin cos 255A A A A A <+=∴==，又，， ()3143343sin sin sin cos cos sin 525B A C A C A C +∴=+=+=⨯+=, 由正弦定理sin 34352343sin sin sin 103b a a B b B A A +====+，得5．在△ABC 中，“sin cos A B <”是“△ABC 为钝角三角形”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件1．与2019终边相同的角是 A ．37 B ．37-C ．37-D ．141-2．设集合{|9036,}M k k ==⋅︒-︒∈ααZ ，{|180180}N =-︒<<︒αα，则M N =A ．{36,54}-︒︒B ．{126,144}-︒︒C ．{36,54,126,144}-︒︒-︒︒D ．{54,126}︒-︒3．已知扇形面积为3π8，半径是l ，则扇形的圆心角是 A ．3π16 B ．3π8 C ．3π4D ．3π24．函数cos sin tan sin cos tan x x xy x x x=++的值域是 A ．{}1,0,1,3- B ．{}1,0,3- C ．{}1,3-D ．{}1,1-5．若tan 0α>，则A ．sin 0α>B ．cos 0α>C ．sin 20α>D ．cos20α>6．若()()sin 3sin παβαβ+=-+，π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan tan αβ= A ．2 B ．12 C ．3D ．137．在平面直角坐标系中，若角α，则()sin πα+=A ．2-B ．12-C ．12D 8．已知()()sin π22sin 3cos 5+=-+-ααα ，则tan =αA ．23 B ．23-C ．6D ．6-9．若()0,π∈α，()2sin πcos -+=αα，则sin cos -αα的值为 A 2B ．2C ．43 D ．43-10．已知点()12，P 在α终边上，则6sin 8cos 3sin 2cos +=-αααα______．11．在平面直角坐标系中, 点的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭, 是第三象限内一点, ,且3π4POQ ∠=,则 点的横坐标为_________. 12．已知π(0)2αα<<的终边与单位圆交于点P ,点P 关于直线y x =对称后的点为M ,点M 关于y 轴对称后的点为N ,设角β的终边为射线ON .（1）β与α的关系为_________;（2）若1sin 3α=,则tan β=________. 13． 在ABC △中，3sin()3sin()2A A π-=π-，且cos A ＝－3 cos （π－B ），则C 等于 ．14．已知角α的终边经过点(P m ，且1cos 3=-α． （1）求m 的值；（2）求22cos sin 2sin cos -+⋅αααα的值．15．已知△ABC 中，7sin cos 5A A -=. （1）试判断三角形的形状； （2）求tan A 的值.16．已知向量2,sin θ=（）a 与1,cos θ=（）b 互相平行，其中θ∈(0,)2π.（1）求sin θ和cos θ的值； （2）若sin （θ－φ100<φ<2π，求cos φ的值．1．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）已知α∈(0，2π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15B 5C．3D．52．（2017年高考北京卷理数）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________. 3．（2018年高考全国Ⅱ理数）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________． 4．（2018年高考浙江卷）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P（3455-，-）．（1）求sin （α+π）的值； （2）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．1．【答案】C【解析】∵已知角8π3=θ的终边经过点(,P x ， 变式拓展∴8π2ππtantan tan 333==-==x，则2x =-. 故选C ．【名师点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．求解时，直接利用任意角的三角函数的定义求得x 的值． 2．【答案】D【解析】∵﹣1≤cos x ≤1，且sin （cos x ）＞0， ∴0＜cos x ≤1， 又sin x ＜0，∴角x 为第四象限角， 故选D ．【名师点睛】本题主要考查三角函数中角的象限的确定，根据三角函数值的符号去判断象限是解决本题的关键．求解时，根据三角函数角的范围和符号之间的关系进行判断即可． 3．【答案】A 【解析】因为ππ,42⎛⎫∈⎪⎝⎭θ，所以()2cos 12sin πcos --θθθ2cos 12sin cos =-θθθ()22cos sin cos =+-θθθ2cos sin cos sin cos =+-=+θθθθθ.故选A.【名师点睛】本题主要考查诱导公式的应用，三角函数式的化简等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.由题意结合诱导公式和三角函数的性质化简三角函数式即可. 4．【答案】C 【解析】因为2019π1cos 22⎛⎫+=⎪⎝⎭α，由诱导公式可得，2019π3π1cos()cos()sin 222+=+==ααα，又因为π,π2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，所以cos ==-α. 故选C.【名师点睛】本题考查了诱导公式，解题的关键是在于诱导公式的掌握，易错点为没有注意角的范围，属于较为基础题.求解时，先由诱导公式对原式进行化简，从而可得sin α，再利用角的平方关系可得结果. 5．【答案】A【解析】由πsin cos cos cos 2A B A B ⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭，且B 必为锐角， 可得π2A B ->或π2A B ->，即角A 或角C 为钝角； 反之，当100A =︒，30B =︒时，3cos B =3sin sin120A >︒==cos B ，所以sin cos A B <不成立， 所以“sin cos A B <”是“△ABC 为钝角三角形”的充分不必要条件， 故选A.【名师点睛】本题考查充分必要条件的判定，考查了三角形形状的判定，考查诱导公式等，属于综合题．求解时，先由诱导公式将正弦化为余弦，利用余弦的三角函数线比较大小即可得到角A 或角C 为钝角，再举反例说明必要性不成立即可.1．【答案】D【解析】终边相同的角相差了360︒的整数倍，设与2019︒角的终边相同的角是α，则2019360k =︒+⋅︒α，k ∈Z ， 当6k =-时，141=-︒α． 故选D ．【名师点睛】本题考查终边相同的角的概念及终边相同的角的表示形式．属于基本知识的考查．终边相同的角相差了360︒的整数倍，由2019360k =︒+⋅︒α，k ∈Z ，令6k =-，即可得解． 2．【答案】C【解析】∵{|9036,}M k k ==⋅︒-︒∈ααZ ，∴当0k =时36=-︒α，1k =时54=︒α，2k =时144=︒α，1k =-时126=-︒α， 又{|180180}N =-︒<<︒αα，考点冲关∴{}36,54,144,126MN =-︒︒︒-︒．故选C ．【名师点睛】本题考查了交集及其运算，考查了赋值思想，是基础题．求解时，分别取0,1,2,1k =-，得到M 内α的值，与N 取交集得答案． 3．【答案】C【解析】设扇形的圆心角是α，则23π1182α=⨯，解得3π4α=，故选C ． 4．【答案】C【解析】由题意可知：角x 的终边不能落在坐标轴上， 当角x 终边在第一象限时，cos sin tan 1113sin cos tan ；x x x y x x x=++=++= 当角x 终边在第二象限时，cos sin tan 1111sin cos tan ；x x xy x x x=++=--=- 当角x 终边在第三象限时，cos sin tan 1111sin cos tan ；x x xy x x x=++=--+=- 当角x 终边在第四象限时，cos sin tan 1111,sin cos tan x x xy x x x=++=-+-=- 因此函数的值域为{}1,3-，故选C.【名师点睛】本题考查了三角函数的正负性、分类讨论思想、数学运算能力.因为角x 的终边不能落在坐标轴上，所以分别求出角x 终边在第一、第二、第三、第四象限时，根据三角函数的正负性，函数的表达式，进而求出函数的值域. 5．【答案】C【解析】由tan 0α>得α是第一、三象限角，若α是第三象限角，则A ，B 错；由sin 22sin cos ααα=知sin 20α>，C 正确；α取π3时，2211cos 22cos 12()1022αα=-=⨯-=-<，D 错． 6．【答案】A【解析】因为()()sin 3sin παβαβ+=-+，所以sin cos 2cos sin ,αβαβ=即tan 2tan αβ=，选A ． 7．【答案】B12=，即12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，由三角函数的定义可得：11sin 2α==，则()sin πα+= 1sin 2α-=-.故选B.8．【答案】C【解析】根据三角函数的诱导公式和三角函数基本关系式， 可得：()()sin πsin tan 22sin 3cos 2sin 3cos 2tan 35+--===-+-++αααααααα，解得tan 6=α，故选C.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，准确化简是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 9．【答案】C【解析】由诱导公式得()2sin πcos sin cos -+=+=αααα 两边平方得()22sin cos 12sin cos 9+=+=αααα，则72sin cos 09=-<αα， 所以()216sin cos 12sin cos 9-=-=αααα， 又因为()0,π∈α，所以sin cos 0->αα， 所以4sin cos 3-=αα，故选C ． 10．【答案】5【解析】∵点P （1，2）在角α的终边上，∴tan α2=， 将原式分子分母同除以cos α，则原式6tan 86282053tan 23224+⨯+====-⨯-αα.故答案为：5．【名师点睛】此题考查了任意角的三角函数定义,同角三角函数基本关系的运用，属于基础题．求解时，根据P 坐标，利用任意角的三角函数定义求出tan α的值，原式分子分母除以cos α，利用同角三角函数间基本关系化简，把tan α的值代入计算即可求出值．11．【答案】10-【解析】设xOP α∠=,则34cos ,sin 55αα==, Q 点的横坐标为3πcos 410α⎛⎫+=-⎪⎝⎭. 12．【答案】（1）π2βα=+;（2）22- 【解析】（1）由题意可得点P 为单位圆上的点，并且以射线OP 为终边的角的大小为α， 所以(cos ,sin ),P αα 又因为P M ，两点关于直线y x =对称，所以(sin ,cos )M αα．即ππcos sin 22Mαα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（，）．则π2βα=+.（2）ππ1,cos cos sin ,223βαβαα⎛⎫=+∴=+=-=- ⎪⎝⎭ππ220,sin sin cos ,223αβαα⎛⎫<<∴=+== ⎪⎝⎭ 故sin tan 2 2.cos βββ==- 13．【答案】2π33sin()3sin()33sin ,tan 2A ΑA A A π-=π-=，∴∴ 又0A <<π，6A π=∴. 又cos 3),A B =π-即cos 3A B =，1cos ,0623B B π==<<π,∴..32B C ΑΒππ==π-(+)=∴∴ 故填2π. 14．【解析】（1）因为角α的终边经过点(22，P m ，且1cos 3=-α， 2138m =-+，求得1m =-.（2）由（1）可得，tan 22=-α 所以22cos sin 2sin cos -+⋅αααα=2222cos sin 2sin cos cos sin -++αααααα=221tan 2tan 1tan -++ααα=79--． 【名师点睛】本题考查了余弦函数的定义，同角三角函数关系中的正弦、余弦平方和为1的关系和商关系，考查了数学运算能力.15．【解析】（1）将原式平方得1−2sin A cos A =49,25即2sin A cos A =−24025<， 故cos A 0<，则三角形为钝角三角形.（2）由（1）cos A +sin A =112sin cos 5A A ±+=±， 解得4sin 53cos 5A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或3sin 54cos 5A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故tan A =34-或43-. 【名师点睛】本题考查同角三角函数基本关系，考查化简求值能力，是中档题.求解时，（1）将原式平方得2sin A cos A <0,得cos A 0<即可判断三角形为钝角三角形；（2）结合（1）求得cos A +sin A =15±，求得sin A 及cos A 即可求解. 16．【解析】（1）∵a 与b 互相平行，∴sin θ＝2cos θ，代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，可得cos θ＝5， 又θ∈(0,)2π，∴cos θ5 ∴sin θ25（2）∵0<φ<2π，0<θ<2π，∴－2π<θ－φ<2π， 又sin （θ－φ∴cos （θ－φ10， ∴cos φ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cos θcos （θ－φ）＋sin θsin （θ－φ）=2. 1．【答案】B 【解析】2sin 2cos21αα=+，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，5sin α∴=，故选B ．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 2．【答案】79-【解析】因为α和β关于y 轴对称，所以π2π,k k αβ+=+∈Z ，那么1s i n s i n 3βα==，22cos cos 3αβ=-=（或22cos cos 3βα=-=）， 所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则π2π,k k αβ+=+∈Z ，若α与β的终边关于x 轴对称，则2π,k k αβ+=∈Z ，若α与β的终边关于原点对称，则π2π,k k αβ-=+∈Z . 3．【答案】12-【解析】因为sin cos 1+=αβ，cos sin 0+=αβ，所以()()221sin cos 1,-+-=αα直通高考所以11sin ,cos 22==αβ， 因此()22111111sin sin cos cos sin cos 1sin 1.224442+=+=⨯-=-+=-+=-αβαβαβαα【名师点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算. 4．【答案】（1）45；（2）56cos 65β=-或16cos 65β=-. 【解析】（1）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin(π)sin 5αα+=-=.（2）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16cos 65β=-. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义、诱导公式、两角差的余弦公式，考查考生分析问题、解决问题的能力，运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.求解三角函数的求值问题时，需综合应用三角函数的定义、诱导公式及三角恒等变换. （1）首先利用三角函数的定义求得sin α，然后利用诱导公式，计算sin （α+π）的值;（2）根据sin （α+β）的值，结合同角三角函数的基本关系，计算cos()+αβ的值，要注意该值的正负，然后根据()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式，通过分类讨论，求得cos β的值.。
中国画构图基本知识
中国画构图基本知识构图亦称章法、布局，是山水画创作中的重要环节。
构图的成功与否关系到山水画的好与坏。
构图必须与画面立意相结合，也就是要与画面的内容相协调。
下面是店铺为大家分享中国画构图基本知识，欢迎大家阅读浏览。
一、概述构图亦称章法、布局，是山水画创作中的重要环节。
构图的成功与否关系到山水画的好与坏。
构图必须与画面立意相结合，也就是要与画面的内容相协调。
构图要运用对立统一规律，要体现宾与主、远与近、虚与实、疏与密、聚与散、开与合、藏与露、黑与白、大与小等关系。
对立是变化的，统一是均衡的。
只有把这些对立关系统一在画面中，才可称得上是好的构图。
好的构图是要我们在万象纷纭、变化万千的复杂事物中找到头绪、理出脉络、分清主次，从而使画面主题鲜明、内容突出，有节奏感和韵律感。
因此，山水画家要面向自然，面向生活。
二、构图的基本知识1.散点透视中国山水画多用不受空间和视线限制的“散点透视法”。
“散点透视”又称“动点透视”。
采用“散点透视”时，画家可以不固定在某一位置观察景物，视点可上下、左右、远近随时变化，所以山水画，特别是长卷立轴式山水画，可把仰视、俯视、平视、远观、近取完美地结合在一起，表现出“咫尺千里”的辽阔境界。
我们可以欣赏一下赵孟頫的《鹊华秋色图》(上图为作品局部)。
此图画面辽阔，给人以“万千气象，尽现眼前”之感。
为什么会产生这种效果呢?答案当然主要是画家采用了“散点透视”来组织画面。
2.三远法宋代郭熙在《林泉高致》中载：“山有三远，自山下而仰山巅，谓之高远;自山前而窥山后，谓之深远;自近山而望远山，谓之平远。
”“三远法”是画家创作时采取的视角。
“高远”是仰视，“深远”是俯视，“平远”是平视。
“高远”能看高山，平野无须仰视;“深远”是在高处向下俯视，可以表现绵延不断的群山;“平远”能表现平野或不高的丘陵，不能表现高山。
平远：自山前看山后，自近山望远山，属于平视。
深远：从山上看山下，从前山望后山，类似于西画构图中的“之”字形或“S”形构图，属于俯视。
高中数学 三角函数
高中数学三角函数一、教学分析三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数。
也就是说以角度为自变量，角度对应任意两边的比值为因变量的函数叫三角函数，三角函数将直角三角形的内角和它的两个边长度的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。
三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。
三角函数是基本初等函数之一，它是中学数学的重要内容之一，它的认知基础主要是几何中圆的性质、相似形的有关知识，在必修ⅰ中建立的函数概念以及指数函数、对数函数的研究方法。
主要的学习内容是三角函数是概念、图像和性质，以及三角函数模型的简单应用；研究方法主要是代数变形和图像分析。
因此，三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了。
本章所介绍的知识，既是解决生产实际问题的工具，又是学习后继内容和高等数学的基础，三角函数是数学中重要的数学模型之一，是研究度量几何的基础，又是研究自然界周期变化规律最强有力的数学工具。
三角函数作为描述周期现象的重要数学模型，与其他学科联系紧密。
二、目标建议1.总体要求三角函数就是基本初等函数，它就是叙述周期现象的关键数学模型，在数学和其他领域有著关键促进作用。
在本模块中，学生将通过实例，自学三角函数及其基本性质，体会三角函数在化解具备周期变化规律的问题中的促进作用。
2.具体要求（1）任一角、弧度制：介绍任一角的概念和弧度制，能够展开弧度与角度的互化。
①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
②利用单位圆中的三角函数线推论出来诱导公式（正弦、余弦、正弦），能画出来y=sinx，y=cosx，y=tanx的图像，介绍三角函数的周期性。
③借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2]，正切函数在上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x轴的交点等）。
④认知同角三角函数的基本关系式：⑤结合具体实例，了解的实际意义；能借助计算器或计算机画出的图像，观察参数对函数图像变化的影响。
中考总复习：几何初步及三角形--知识讲解(基础)
中考总复习：几何初步及三角形—知识讲解（基础）【知识网络】【考点梳理】考点一、直线、射线和线段1．直线代数中学习的数轴和一张纸对折后的折痕等都是直线，直线可以向两方无限延伸.(直线的概念是一个描述性的定义，便于理解直线的意义).要点诠释：1）．直线的两种表示方法：(1)用表示直线上的任意两点的大写字母来表示这条直线，如直线AB，其中A、B是表示直线上两点的字母；(2)用一个小写字母表示直线，如直线a.2)．直线和点的两种位置关系(1)点在直线上(或说直线经过某点)；(2)点在直线外(或说直线不经过某点).3).直线的性质：过两点有且只有一条直线(即两点确定一条直线).2．射线直线上一点和它一旁的部分叫做射线.射线只向一方无限延伸.要点诠释：(1)用表示射线的端点和射线上任意一点的大写字母来表示这条射线，如射线OA，其中O是端点，A 是射线上一点；(2)用一个小写字母表示射线，如射线a.3.线段直线上两点和它们之间的部分叫做线段，两个点叫做线段的端点.要点诠释：1)．线段的表示方法：(1)用表示两个端点的大写字母表示，如线段AB，A、B是表示端点的字母；(2)用一个小写字母表示，如线段a.2)．线段的性质：所有连接两点的线中，线段最短(即两点之间，线段最短).3)．线段的中点：线段上一点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点.4)．两点的距离：连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离.考点二、角1．角的概念：(1)定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，两条射线分别叫做角的边.(2)定义二：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角.射线旋转时经过的平面部分是角的内部，射线的端点是角的顶点，射线旋转的初始位置和终止位置分别是角的两条边. 要点诠释：1）．角的表示方法：(1)用三个大写字母来表示，注意将顶点字母写在中间，如∠AOB；(2)用一个大写字母来表示，注意顶点处只有一个角用此法，如∠A；(3)用一个数字或希腊字母来表示，如∠1，∠.2）．角的分类：(1)按大小分类：锐角----小于直角的角(0°＜＜90°);直角----平角的一半或90°的角(=90°);钝角----大于直角而小于平角的角(90°＜＜180°);(2)平角：一条射线绕着端点旋转，当终止位置与起始位置成一条直线时，所成的角叫做平角，平角等于180°.(3)周角：一条射线绕着端点旋转，当终止位置又回到起始位置时，所成的角叫做周角，周角等于360°.(4)互为余角：如果两个角的和是一个直角(90°)，那么这两个角叫做互为余角.(5)互为补角：如果两个角的和是一个平角(180°)，那么这两个角叫做互为补角.3）．角的度量：(1)度量单位：度、分、秒；(2)角度单位间的换算：1°=60′，1′=60″(即：1度=60分，1分=60秒)；(3)1平角=180°，1周角=360°，1直角=90°.4）．角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.2．角的平分线：如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线.考点三、相交线1．对顶角(1)定义：如果两个角有一个公共顶点，而且一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线，那么这两个角叫对顶角.(2)性质：对顶角相等.2．邻补角(1)定义：有一条公共边，而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角.(2)性质：邻补角互补.3．垂线（1）定义：当两条直线相交所得的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线是互相垂直的，它们的交点叫做垂足.垂直用符号“⊥”来表示.要点诠释：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.(2)点到直线的距离定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.4．同位角、内错角、同旁内角(1)基本概念：两条直线(如a、b)被第三条直线(如c)所截，构成八个角，简称三线八角，如图所示：∠1和∠8、∠2和∠7、∠3和∠6、∠4和∠5是同位角；∠1和∠6、∠2和∠5是内错角；∠1和∠5、∠2和∠6是同旁内角.(2)特点：同位角、内错角、同旁内角都是由三条直线相交构成的两个角.两个角的一条边在同一直线(截线)上，另一条边分别在两条直线(被截线)上.考点四、平行线1．平行线定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.平行用符号“∥”来表示，.如直线a与b平行，记作a∥b.在几何证明中，“∥”的左、右两边也可能是射线或线段.2．平行公理及推论：(1)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.(2)平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即：如果b∥a，c∥a，那么b∥c.3．性质：(1)平行线永远不相交；(2)两直线平行，同位角相等；(3)两直线平行，内错角相等；(4)两直线平行，同旁内角互补；(5)如果两条平行线中的一条垂直于某直线，那么另一条也垂直于这条直线，可用符号表示为：若b∥c，b⊥a，则c⊥a.4．判定方法：(1)定义；(2)平行公理的的推论；(3)同位角相等，两直线平行；(4)内错角相等，两直线平行；(5)同旁内角互补，两直线平行；(6)垂直于同一条直线的两条直线平行.考点五、命题、定理、证明1．命题：(1)定义：判断一件事情的语句叫命题.(2)命题的结构：题设+结论=命题；(3)命题的表达形式：如果……那么……；若……则……；(4)命题的分类：真命题和假命题；(5)逆命题：原命题的题设是逆命题的结论，原命题的结论是逆命题的题设.2．公理、定理：(1)公理：人们在长期实践中总结出来的能作为判断其他命题真假依据的真命题叫做公理.(2)定理：经过推理证实的真命题叫做定理.3．证明：用推理的方法证实命题正确性的过程叫做证明.考点六、三角形的概念及其性质1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2．三角形的分类(1)按边分类：(2)按角分类：3．三角形的内角和外角(1)三角形的内角和等于180°.(2)三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.4．三角形三边之间的关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.5．三角形内角与对边对应关系在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边；在同一三角形中，等边对等角，等角对等边. 6．三角形具有稳定性.7. 三角形中的四条特殊的线段是：高线、角平分线、中线、中位线.要点诠释：三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段是三角形的中位线.中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.【典型例题】类型一、直线、射线及线段1．数轴上有两点A、B分别表示实数a、b，则线段AB的长度是( )A.a-bB.a+bC.│a-b│D.│a+b│【思路点拨】根据数轴上两点之间的距离公式即可解决问题．【答案】C.【解析】本类题目注意线段长度是非负数，若有字母注意使用绝对值.根据题意，画图.数轴上两点间的距离公式为：│a-b│或│b-a│.【总结升华】解决本例类型的题目应结合图形，即数形结合，这样做起来简捷.2．有一段火车路线，含这段铁路的首尾两站在内共有5个车站(如图)，图中共有几条线段？在这段线路上往返行车，需印制几种车票(每种车票要印出上车站与下车站)？【思路点拨】先求得单程的车票数，再求出往返的车票数即可．【答案与解析】线段有10条；车票需要2×10=20种.【总结升华】在直线上确定线段的条数公式为: (其中n为直线上点的个数).在求从一个顶点引出的n条射线所形成的小于平角的角的个数也可用此公式.举一反三：【变式】如图，点A、B、C在直线上，则图中共有______条线段.【答案】3.类型二、角3．如图，已知∠COE=∠BOD=∠AOC=90°，则图中互余的角有______对，互补的角有______对.【思路点拨】先要确定等角，再根据角的性质进行判断.【答案与解析】互余的角有：∠COD和∠DOE、∠COD和∠BOC、∠AOB和∠DOE、∠AOB和∠BOC，共4对；互补的角有：∠EOD和∠AOD、∠BOC和∠AOD、∠AOB和∠BOE、∠COD和∠BOE、∠AOC和∠COE、∠AOC和∠BOD、∠COE和∠BOD，共7对.【总结升华】在本题目中，当图中的角比较多时，就将图形的角进行归类，找出每种相等的角，按照同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等的性质解决问题，注意要不重不漏.举一反三：【变式】【答案】70°.类型三、相交线与平行线4．如图，AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间的等量关系为．【思路点拨】通过观察图形，可作出一条辅助线即平行线，从而把问题化难为易.【答案】∠α+∠β﹣∠γ=180°.【解析】解：如图，过点E作EF∥AB，∴∠1+∠γ=∠β，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠1+∠α=180°，∴∠α﹣∠γ=180°﹣∠β，∴∠α+∠β﹣∠γ=180°．故答案为：∠α+∠β﹣∠γ=180°．【总结升华】本题考点：平行线的性质.举一反三：【变式】（1）两平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线( )A.互相重合B.互相平行C.互相垂直D.相交【答案】B.类型四、三角形5．三角形三边长分别是6，2a﹣2，8，则a的取值范围是（）A．1＜a＜2 B．＜a＜2 C．2＜a＜8 D．1＜a＜4【思路点拨】本题考查了三角形的三边关系．此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．【答案】C.【解析】解：由于在三角形中任意两边之和大于第三边，∴2a﹣2＜6+8，即a＜8，任意两边之差小于第三边，∴2a﹣2＞8﹣6，即a＞2，∴2＜a＜8，故选：C．【总结升华】涉及到三角形三边关系时，尽可能简化运算，注意运算的准确性.举一反三：【变式】已知a，b，c为△ABC的三条边，化简得_________.【答案】∵a，b，c为△ABC的三条边∴a-b-c＜0， b-a-c＜0∴=(b+c-a)+(a+c-b)=2c.6. 下列命题：(1)等边三角形也是等腰三角形；(2)三角形的外角等于两个内角的和；(3)三角形中最大的内角不能小于60°；(4)锐角三角形中，任意两内角之和必大于90°，其中错误的个数是( )A.0 个B.1个C.2个D.3个【思路点拨】认真阅读各小题提供的已知条件，依据三角形的分类方法，然后根据三角形内角和为180°进行分析解答．【答案】B.【解析】(2)中应强调三角形的外角等于不相邻的两个内角的和；三角形中最大的内角若小于60°，则三个角的和就小于180°，不符合三角形内角和定理，故(3)正确；(4)三角形中，任意两内角之和若不大于90°，则另一个内角就大于或等于90°，就不能是锐角三角形.所以只有(2)错，故选B.【总结升华】本题的解题关键是要理解定义，掌握每种三角形中角的度数的确定.举一反三：【变式】【答案】15°.。
高考一轮数学复习理科课件(人教版)第1课时 三角函数的基本概念
第四章 三角函数
高考调研
高三数学（新课标版·理）
5．(2011·江西文)已知角 θ 的顶点为坐标原点，始边 为 x 轴的正半轴．若 P(4，y)是角 θ 终边上一点，且 sin θ ＝－255，则 y＝________.
答案 －8
第四章 三角函数
高考调研
高三数学（新课标版·理）
解析 r＝ x2＋y2＝ 16＋y2，且 sin θ＝－255， 所以 sin θ＝yr＝ 16y＋y2＝－255， 所以 θ 为第四象限角，解得 y＝－8.
高考调研
高三数学（新课标版·理）
(4)扇形的半径为 r，圆心角的弧度数为 α，则此扇形
的弧长 l＝
|α|·r ，面积 S＝
12|α|r2 ＝
1 2lr
.
第四章 三角函数
高考调研
高三数学（新课标版·理）
3．任意角的三角函数定义 (1)设 α 是一个任意角，α 的终边上任意一点 P 的坐
y
x
标是(x，y)，它与原点的距离 r，那么 sinα＝ r ，cosα＝ r ，
第四章 三角函数
高考调研
高三数学（新课标版·理）
【解析】 设经过 t 小时两针再重合， ∵分针每小时转－2π 弧度，时针每小时转－6π弧度， ∴－π6t－2π＝－2πt，解得 t＝1112. ∴分针转过了－2141π弧度，时针转过了－211π弧度． 【答案】 分针转过了－2141π弧度，时针转过了－ 211π弧度
3＋y y2＝
3 4 y.
∵y≠0，∴9＋3y2＝16，∴y2＝73，y＝±
21 3.
∴点 P 在第二或第三象限．
第四章 三角函数
高考调研
高三数学（新课标版·理）
高考一轮复习第3章三角函数解三角形第1讲任意角和蝗制及任意角的三角函
第一讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
知识梳理·双基自测
知识点一 角的有关概念
(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角.
(2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角.
(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ＋α，k∈Z.
知识点二 弧度制及弧长、扇形面积公式
知识点三 任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝ (x≠0).
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是点(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线.
[解析]由角α的终边过点P 得sin α＝－ ，所以sin(α＋π)＝－sin α＝ .
考点突破·互动探究
考点一 角的基本概念——自主练透
例1 (1)若角θ的终边与 角的终边相同，则在区间[0,2π)内终边与 角的终边相同的角为 ， ， .
(2)若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－ x上，则角α的取值集合是( D )
考点三 三角函数的定义——多维探究
角度1 定义的直接应用
例3 (1)(2020·北京海淀期中)在平面直角坐标系xOy中，点A的纵坐标为2，点C在x轴的正半轴上．在△AOC中，若cos∠AOC＝－ ，则点A的横坐标为( A )
A．－ B．
C．－3D．3
(2)若角θ的终边经过点P(－ ，m)(m≠0)且sin θ＝ m，则cos θ的值为－ .
所以 终边在第三象限，综上， 的终边在第一或三象限．故选A、C.
2020高中数学 第1章 基本初等函数(Ⅱ)1.1.1 角的概念的推广教案(含解析)4
1。
1。
1 角的概念的推广学习目标核心素养1．了解角的概念的推广，能正确区分正角、负角和零角．（一般) 2．理解象限角的概念．（重点）3．掌握终边相同的角的表示方法，并能判断角所在的位置．（难点)1．通过角的概念的学习，体现了数学抽象核心素养．2．借助终边相同角的求解、象限角的判断等,培养学生的直观想象核心素养。
1．角的概念(1)角的形成:角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．（2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：①正角：按照逆时针方向旋转而成的角;②负角：按照顺时针方向旋转而成的角；③零角：当射线没有旋转时,我们也把它看成一个角，叫做零角．2．角的加减法运算(1）射线OA绕端点O旋转到OB位置所成的角，记作∠AOB,其中OA叫做∠AOB的始边，OB叫做∠AOB的终边．（2）引入正角、负角的概念以后,角的减法运算可以转化为角的加法运算,即α－β可以化为α＋（－β)．这就是说,各角和的旋转量等于各角旋转量的和．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝错误!，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．4．象限角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么，角的终边（除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限的角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．思考：终边和始边重合的角一定是零角吗?［提示] 不一定．零角是终边和始边重合的角,但终边和始边重合的角不一定是零角，如－360°,360°，720°等角的终边和始边也重合．1．钟表的分针在一个半小时内转了( ）A．180°B．－180°C．540° D．－540°D［钟表的分针是顺时针转动，每转一周，转过－360°,当分针转过一个半小时时，它转了－540°.]2．下列各角中，与330°角的终边相同的角是( ）A．510° B．150°C．－150°D．－390°D[与330°终边相同的角的集合为S＝{β|β＝330°＋k·360°，k∈Z｝,当k＝－2时，β＝330°－720°＝－390°，故选D。
初中数学基本知识点总结精简版
初中数学基本知识点总结精简版一、数与代数。
1. 有理数。
- 有理数的分类：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）。
- 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
数轴上的点与有理数一一对应。
- 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，a的相反数是 -a，0的相反数是0。
- 绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即| a|=a(a≥0) -a(a<0)。
- 有理数的运算：- 加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加得0。
- 减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。
- 乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0。
- 除法：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数都得0。
- 乘方：a^n表示n个a相乘，其中a是底数，n是指数。
2. 实数。
- 无理数：无限不循环小数，如√(2)、π等。
- 实数的分类：有理数和无理数。
- 实数与数轴上的点一一对应。
- 实数的运算：在有理数运算的基础上，进行根式运算（如√(a)·√(b)=√(ab)(a≥0,b≥0)，(√(a))/(√(b))=√(frac{a){b}}(a≥0,b>0)）等。
3. 代数式。
- 代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或者一个字母也是代数式。
- 整式：单项式和多项式统称为整式。
- 单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。
- 多项式：几个单项式的和叫做多项式，其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里次数最高项的次数叫做多项式的次数。
第一角画法与第三角画法
第一角画法与第三角画法国家标准GB/T14692-1993中规定，我国的机械图样“应按第一角画法布置六个基本视图，必要时（如按合同规定等），才允许使用第三角画法”。
因此，除按合同规定外我国均采用第一角画法。
但在国际间的技术交流中，常常会遇到第三角画法的图纸，下面对第三角画法作一简要介绍：三个互相垂直的平面将空间分为八个分角，分别称为第Ⅰ角、第Ⅱ角、第Ⅲ角……，如下图所示。
第一角画法是将机件置于第Ⅰ角内，使机件处于观察者与投影面之间（即保持人→物→面的位置关系）而得到正投影的方法。
我们以前讨论的投影画法都是第一角画法。
第三角画法是将机件置于第Ⅲ角内，使投影面处于观察者与机件之间（即保持人→面→物的位置关系）而得到正投影的方法，如图所示。
从图可以看出，这种画法是把投影面假想成透明的来处理的。
顶视图是从机件的上方往下看所得的视图，把所得的视图就画在机件上方的投影面（水平面）上。
前视图是从机件的前方往后看所得的视图，把所得的视图就画在机件前方的投影面（正平面）上。
其余类推，见下图所示。
第一角画法与第三角画法的投影面展开方式及视图配置如下图所示。
仔细比较两种画法便可看出，虽然两组基本视图配制位置有所不同，但各组视图都表达了机件各个方向的结构和形状，每组视图间都存在着长、宽、高三个方向尺寸的内在联系和机件上各结构的上下、左右、前后的方位关系。
这里将两种画法的投影规律总结如下：(1) 两种画法都保持“长对正，高平齐，宽相等”的投影规律。
(2) 两种画法的方位关系是：“上下、左右”的方位关系判断方法一样，比较简单，容易判断。
不同的是“前后”的方位关系判断，第一角画法，以“主视图”为准，除后视图以外的其它基本视图，远离主视图的一方为机件的前方，反之为机件的后方，简称“远离主视是前方”；第三角画法，以“前视图”为准，除后视图以外的其它基本视图，远离前视图的一方为机件的后方，反之为机件的前方，简称“远离主视是后方”。
新课程标准数学高考基本知识点总结
高考数学回归知识必备*1 集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语集合概念一组对象的全体. ,x A x A∈∉。
元素特点：互异性、无序性、确定性。
关系子集x A x B A B∈⇒∈⇔⊆。
A∅⊆；,A B B C A C⊆⊆⇒⊆n个元素集合子集数2n 。
真子集00,,x A x B x B x A A B∈⇒∈∃∈∉⇔⊂相等,A B B A A B⊆⊆⇔=运算交集{}|,x xB x BA A∈∈=且()()()U U UC A B C A C B=()()()U U UC A B C A C B=()U UC C A A=并集{}|,x xB x BA A∈∈=或补集{}|Ux x UC A x A∈=∉且常用逻辑用语命题概念能够判断真假的语句。
四种命题原命题：若p，则q原命题与逆命题，否命题与逆否命题互逆；原命题与否命题、逆命题与逆否命题互否；原命题与逆否命题、否命题与逆命题互为逆否。
互为逆否的命题等价。
逆命题：若q，则p否命题：若p⌝，则q⌝逆否命题：若q⌝，则p⌝充要条件充分条件p q⇒，p是q的充分条件若命题p对应集合A，命题q对应集合B，则p q⇒等价于A B⊆，p q⇔等价于A B=。
必要条件p q⇒，q是p的必要条件充要条件p q⇔，,p q互为充要条件逻辑连接词或命题p q∨，,p q有一为真即为真，,p q均为假时才为假。
类比集合的并且命题p q∧，,p q均为真时才为真，,p q有一为假即为假。
类比集合的交非命题p⌝和p为一真一假两个互为对立的命题。
类比集合的补量词全称量词∀，含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称命题。
存在量词∃，含存在量词的命题叫特称命题，其否定为全称命题。
2.平面向量平面向量重要概念向量既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模。
0向量长度为0，方向任意的向量。
【0与任一非零向量共线】平行向量方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。
如何快速化一角一函数
三角函数快速化“一角一函数”(x)Asin(x )b;(x)Acos(x )b;(x)Atan(x )b;x sin cos tan f f f ωϕωϕωϕωϕ=++=++=+++“一角一函数”具体是指下述三种形式之一：“一角”指的是一个相位：；“一函数”指的是一个函数名称：或或化简一角一函数的步骤主要有：第一步：消平方。
解决给出的式子中带有平方项甚至四次方项的式子。
意思就是通过降幂扩角公式将式子中的平方或四次方化成一次幂，降幂扩角公式就是指：221cos21cos2sin ,cos ,22x x x x -+==对于四次方的式子，也可以考虑是否需要使用平方差公式，先降成二次幂的式子，然后再使用降幂公式进行处理。
第二步：切化弦。
我们所说的一角一函数，基本上不会化成()tan()f x A x b ωϕ=++的切函数形式，而都是整理为弦函数形式，因此，需要将所有的切函数一律化成弦函数。
第三步：变同角。
所谓的角，前面说了，指的是相位，所以我们需要利用：sin()sin cos sin cos ;cos()cos cos sin sin ;αβαββααβαβαβ±=±±=将式子打开在进行处理。
第四步：合一名。
使用辅助角公式：sin cos ),tan b a x b x x aωωωϕϕ+=+=， 对于一些题，ϕ如果不是特殊角的，可以不需要求出，结果与ω的取值无关，注意观察。
另外，通过1sin cos sin 22x x x =也能将比较简单的三角函数式进行化成一角一函数。
2222cos cos 2=cos sin 12sin 2cos 1x x x x x x -=-=-的二倍角公式也非常重要，需要熟练掌握：练习题下列问题都是要求化成一角一函数形式。
1.2()cos 2cos 1f x x x x =+- ()212.sin 22x f x x =-+．3.()4cos sin()16f x x x π=⋅+- 4.f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x()()5.4242x x f x sin sin x πππ⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6.2()sin()cos cos (0)f x x x x πωωωω=-+>7.2()sin )sin()2f x x x x πωωω=⋅+ 8.2()sin()2cos ()366x x f x πππ=--()()()()()()()()1.22;62.;63.22;64.245.2;316.2;24217.2;328.1;33f x sin x f x sin x f x sin x f x sin x f x sin x f x sin x f x sin x f x x ππππππωπωππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎛⎫=-- ⎪⎝⎭。