变化率问题(教学课件)

f (x1)
o
x1
x2
x
例 (1) 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间 [ –3 , –1]上的平均变化率 ； (2) 求函数f (x) = x2 +1的平均变化率。
y x 4 2 2
(2)解： (1)解： △y=f (-1)- f (-3)=4 △y=f (x+△x)- f (x) =2△x · x+(△x )2 △x=-1- (-3)=2 2 y 2x x (x) y 4 2 x x x 2
当空气容量V从0L增加到1L , 气球半径增加了
4 3 V(r ) r . 3
3
3V 随着气球 . 4 体 积 逐 渐
变大 , 它的 r (1) r (0) 0.62(dm), 平均膨胀 r ( 1 ) r ( 0 ) 气球的平均膨胀率为 0.62(dm/L ), 率 逐 渐 变 1 0 当空气容量V从1L增加到2 L , 气球半径增加了 小.
r (2) r (1) 气球的平均膨胀率为 0.16(dm/L). 2 1
r (2) r (1) 0.16(dm),
思考

当空气容量从V1增加到V2时,气球的 平均膨胀率是多少?
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中 ,
运动员相对于水面 的高度 h (单位:m) 与起跳后的时间
人教版选修2-2第一章导数及其应用第1节变化率与导数
黄流中学数学组
周敏
通过阅读引言我们知道： 1.随着对函数的深入研究产生了微积分,它是数学发 展史上的一个具有划时代意义的伟大创造，被誉为 数学史上的里程碑.
.微积分的创立者是2牛顿和莱布尼茨.他们都是著名 的科学家，我们应该认识一下. 牛顿（Isacc Newton,1642 - 1727)是英国数学 家、天文学家和物理学家 是世界上出类拔萃的科学家。
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x) f ( x1 ) x2 x1 x
思考

f ( x2 ) f ( x1 ) 观察函数f(x)的图象平均变化率 x2 x1

表示什么?
f (x2)
y
y=f (x)
B A
x2-x1
直线AB的斜率
f (x2)-f (x1)
● ● ●
1.61
● ●
●
0.8
●
●
●
●
●
●
●
●
4
7
10
13
16
wenku.baidu.com
19
22
年龄
问题1 气球膨胀率
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的 增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何 描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是
若将半径 r 表示为体积V的函数, 那么 r (V)
2.求函数的平均变化率的步骤:

(1)求函数的增量：Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
y f ( x2 ) f ( x1 ) (2)计算平均变化率： x x2 x1
再 见
谢谢指导
h(2) h(1) v 8.2(m/s); 2 1
65 计算运动员在 0 t 这段时间里的平均速度, 49 并思考下面的问题:
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么 问题吗? 平均速度不 h 能反映他在
这段时间里 运动状态， 需要用瞬时 速度描述运 动状态。
t
( 单位 :s) 存在 函数 关系:
h(t ) 4.9t 6.5t 10
2
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度
h
(单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系
h(t ) 4.9t 6.5t 10
2
如果用运动员在某段时间内的平均速度 v 描述其运 动状态, 那么: h(0.5) h(0) 4.05(m/s); 在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, v 0.5 0 在1≤ t ≤2这段时间里,
莱布尼茨(1646--1716)德国数学 家、哲学家， 和牛顿同为微积分的创始人.
3.本章我们将要学习的导数是微 积分的核心概念之一. 打个比喻如果微积分是万丈 高楼，那么平均变化率就是地基. 那么我们这一节课就相当于 是“地基”. 现在我们就开始 “打造地基”
身高 2.26 2.12
姚明身高变化曲线图(部分)
2 x x
练习

1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2) 及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=(D )
A.3
C . 3-(Δx)2
B . 3Δx-(Δx)2
D . 3-Δx

2、求y=x2在x=x0附近的平均变化率. 2x0+Δx
小结：

y f ( x2 ) f ( x1 ) 1.函数的平均变化率 x x2 x1
探 究
65 h( ) h(0) v 49 65 0 49 0
O
65 65 t 49 98
t
平均变化率的定义：
f ( x2 ) f ( x1 ) 平均变化率: 式子 x2 x1
称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率.
令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则
f ( x2 ) f ( x1 ) y x2 x1 x
理解
y 1、式子中△x 、△ y 的值可正、可负，但 x 的△x值不能为0， △ y 的值可以为0
y f ( x2 ) f ( x1 ) x x2 x1
2、若函数f (x)为常函数时， △ y =0
3、变式: