简谐运动问题解题导引

简谐运动问题解题导引阜阳市红旗中学时其新摘要：简谐运动问题是全国中学生物理竞赛考查的重点内容，本文对这类问题的常见类型以及解决问题的思路作了比较详尽的阐述，希望对参加竞赛的同学有所裨益。

关键词：简谐运动解题导引简谐运动问题是历届全国中学生物理竞赛考查的重点内容之一。

这类问题大体上可以分为三类：（1）判断物体的运动是否是简谐运动，并求其振动周期；（2）确定物体做简谐运动的振动方程；（3）确定物体在简谐运动过程中的时间、位移、速度、能量等。

本文旨在就这几类问题求解的基本思路作些指导，希望对准备参赛的同学有所帮助。

1.判断物体的运动是否是简谐运动，并求其振动周期1.1判断物体的运动是否是简谐运动的基本方法简谐运动的基本判据：（1）动力学判据：判断物体所受回复力是否满足F= — kx 其中k -------- 回复力系数（2）运动学判据：判断物体运动的加速度是否满足a= —3 2x 其中3――简谐运动的圆频率无论采用那种方法判断，其基本步骤都是：首先确定振动物体的平衡位置，然后令物体偏离平衡位置一段位移 x，再求物体所受的回复力或物体具有的加速度。

进而，可确定回复力系数k 或圆频率3，从而由 T=2 n 'mm或3 = 2-求出振动周期。

例1.如图1所示，一个质量为 m2的光滑滑轮由劲度系数为 k的轻弹簧吊在天花板上，一根轻绳一端悬挂一个质量为m1的重物，另一端竖直固定在地板上。

试证明重物沿竖直方向的振动是简谐运动，并求其振动周期。

解析：设：系统平衡时弹簧的伸长量是X。

则有kx o=2m1g+m2g （1）「十—X当重物m1向下偏离平衡位置 x时，滑轮 m2向下偏离平衡位置（X0+—），2假设此时绳上的拉力是 F，m1的加速度为a1，m2的加速度为a2,则由牛顿第二定律得对m1: F — m1g=m1a1 (2)对m2：—2F — m2g=m2a2 (3)由位移关系有：a1=2a2 (4)由以上各式可得m1F=m1g+kx4m1 m2(5)图一1从上面的推导可见，重物和滑轮的重力 m i g 、m 2g 在运算中被抵消，对回复力的表达式 没有影响。

因此，我们可得到如下结论： 物体在振动方向上所受的恒力只影响物体振动的平衡位置，一般不会改变物体的振动周期。

基于这一想法，如果我们忽略重物和滑轮的重力，则上面的运算可得到很大简化，读者不妨一试。

“刚体力学”是近年来新增加的考查内容。

当刚体做微小振动时，常用转动定律求 出刚体的角加速度B,再求出刚体上某点的切向加速度，进而由 a= —3 2x 判断其做简谐运动，求出振动周期。

例2.如图2所示，质量均匀的杆 AB 长为L,质量 为m,其A 端用光滑铰链接在墙壁上， 其B 端用一劲度 系数为k 的轻弹簧悬挂，平衡时，杆水平而弹簧竖直， 求此杆做上下微小振动时的振动周期。

解析：当杆水平时，设弹簧的伸长量为 X o ,由力矩 平衡条件，有 mg • — =k x 0 • L当杆的B 端向下偏离平衡位置一微小位移 x 时，弹簧伸长量为X o +x由转动定律有Lmg • 2 — k (x o +x ) • L= I •p (2) 其中I =3 mL 2――杆对A 轴的转动惯量 33 ――杆的角加速度—3kx 解得 3 =—-mL一3k 所以，B 端运动的切向加速度为 a =3，L= — xm可见，a x x,且与x 方向相反。

所以，杆的运动是简谐运动。

3k其圆频率为 3 2= -------m所以，m i 所受的合力mF 合=F — m i g =kx4mi m 2(6)可见，F 合x x,且方向与x 相反，因此,m i 的运动是简谐运动。

回复力系数4m 1m 2因此，振动周期 T=2 nm 1-k ' =2n'4m 1 m 2(7)(i)图一 2振动周期为1.2确定振动周期的两种特殊方法 1.2.1能量法例3.用能量的观点求例1中系统的振动周期。

解析：如果我们把滑轮和重物看成一个体系， 这个体系在弹簧的拉力作用下振动，那么这个体系的动能可表示为1 2 1 2E K = — m 1V 1 + — m 2V 22 2因为 V 1=2v 21所以 E K = — （4m 什m 2） V 222 1 '和E K = — m V 22比较，可知这个体系的等效质量为2m = 4m 1+m 2所以，系统的振动周期为1.2.2等效法确定“异形单摆”的周期单摆实质上是一个动点到某一定点的距离恒定，且受一个在平衡位置时沿定点和动点连线方向的恒力作用的物理模型。

根据单摆的这一特点，对一些“异形单摆”，我们可以通过求出异形单摆的振动周期。

例5•如图4所示是一种地震记录装置的水平摆，摆球例4•有一粗细均匀的 U 形管中装有一定量的水（如图 后水在管内振动，如果忽略管壁对水的阻力，求振动周 期。

解析：设：U 形管的横截面积为 S,水的密度为p, 管内水的总质量为 m 。

当右边的水面升高x 时，系统增加的势能为E p = p gxSx=mg L1与简谐运动系统所具有的势能E P = — kx 2对比可2知，系统所受的回复力一定是弹性回复力，回复力系数为2mg L类比、等效求出振动系统的等效摆长、 等效重力加速度，然后，利用单摆周期公式3）,水柱的总长度为 L,受扰动图一3所以，振动周期为T=2 n图4固定在边长为L,质量可忽略不计的等边三角形的顶点它的对边BC跟竖直线成不大的夹角a,摆线可绕固定轴摆动，求摆球做微小摆动的周期。

解析：在这个摆中，g 和L 同时都发生了异化。

如图 5所示，当m 做小角度摆动时,实际上是围绕 AB 的中点0 （定点）运动，所以，其等效摆长为'3L = Lcos30 = ---- L2等效重力为统在新的平衡位置时，弹簧伸长量为Mg mg，所以，新平衡位置的纵坐标为kmgyo=—k此系统做简谐运动的周期为角频率为 3 =^=i-^-T Vm M以碰后瞬时为计时起点，设振动方程为G i = mgsin a因此，等效重力加速度为G i g = — = gsina m故，此异形单摆的振动周期为后L2g sin2•确定物体做简谐运动的振动方程 例6.如图6所示，在劲度系数为 k 的弹簧下面悬挂 质量为M 的盘，盘不动时，一个质量为m 的质点自高h 处落入盘中，与盘发生完全非弹性碰撞， 以碰后瞬时为计时起 点，求盘的振动方程。

解析：当盘静止时，弹簧的伸长量为 Mgk当质点m 刚与盘相碰时，质点的速度v o^2gh然后它与盘发生完全非弹性碰撞，由动量守恒定律可得，碰后两者的共同速度为mv =V 0m M m M • 2gh以这时盘底的位置为坐标原点、竖直轴为y 轴（向下为正），建立坐标系。

由于碰后系T=2 nI m MHrT=2 n =2 n图一6y = y o+Acos （w t+ $ 0）v = —3 Asin (3 t+ $ 0)其中，振幅A 与初相位$ o 为待定系数，当t=0时 0 = y o + Acos $ 0v = — 3 Asin $ o由此可解得振幅A=J y 。

2 (v )22 2 2m g m 2gh kk m M初相位 sin o tg o - -1v ，注意到 cos $ o 、sin $ o 均应为负，所以cos oyv '. I __2hkoarctg —arctgy ol(m M)g故，所求的振动方程为从例6可以看出，确定物体振动方程的一般步骤是: (1) 确定平衡位置。

(2) 确定回复力系数k,由T=2 n J —求出振动周期T,再由3 =罕 求出圆频率3。

(3)建立坐标系，设定振动方程x = Acos (3 t+ $ o ) v = —3 Asin (3 t+ $ o ) a = —3 2Acos (3 t+ $ 0)注意：坐标原点和计时起点选取不同，方程的形式也会不同。

(4) 待定系数法确定振幅 A 和初相位$ o ：将物体运动的初始条件(t=0时，x=x o , v=v o )代入振动方程得2 ]2 \vo 2sin $ o +cos $ o = (~ )+3 Asin o tan $ o=—cos o(5) 写出所求的振动方程。

3•确定物体做简谐运动过程中的位移、速度、时间等应该说，根据物体做简谐运动的方程，就可以确定物体在任一时刻的位移、速度，也可 求出物体运动的时间。

但是，这样做往往运算繁琐。

借助参考圆可以使我们直观、方便、简 洁地快速求出简谐运动的位移、速度、时间等物理量，是我们应该熟练掌握的方法。

例7.在两条柔软的弹性轻绳中间连接着一个小球，而这两条绳的另一端分别固定于同lm 2g 2m 2 2ghy =. k m M k C0S[k 2hk------t+ n +arctg , ]m M -- (m M)gx o(入)所以,v o 3 x o一竖直线上的 0、0'点，如图7所示。

已知上、下绳的劲度系数分别为k i=8.0N/m和k2=12.0N/m。

小球静止不动时位于图上C点处，这时上、下绳相对于各自的自然长度分别伸长了 L i=0.080m和L2= 0.030m。

现在将小球沿竖直方向下拉到与平衡位置 C的距离为L3=0.080m 处，然后轻轻释放。

求小球从释放开始到第一次回到该释放点所需要的时间。

（计算时可取g=10.0m/s2）解析：（1）由小球在平衡位置 C处的受力，求出小球的质量。

设小球的质量为 m,则由力的平衡条件得：mg +k2L2= k i L i （ 1）1解得： m = —（k1L1— k2L2） = 0.028 kg图一7g（2）由于弹性绳只能被拉伸，不能被压缩，故小球从与C相距L3处的B1点释放至到达与C相距L2处的B0点（即：下绳自然长度处）的过程中，下绳松弛，小球不受下绳的弹力，只在上绳的弹力和重力作用下做简谐运动。

平衡位置位于上绳自然长度处A。

点下方y0 处的A点。

则，mgy0= =0.035mk1由于小球在竖直方向上振动，故小球的重力对回复力系数没有影响，所以，这一过程的回复力系数为匕。

圆频率为3 1= . k1=20 ” 5 rad/s.m 7振幅为A1=L3+ （ L1 — y。

）= 0.125m借助参考圆，可求出小球从B1点运动到B0点经历的时间和到达B0时的速度V1。

由图8可知，AB 0= L2+ （ L1 — y0） =0.075m，由参考圆（图知，图一8A0 AC B0B1 0--- --A 小” y0-Z-L© L2 TL3cos B 1=AB0 3所以,从而可解得:053 1 = 3 1t1 = 53° =-180 t= 0.055s速度为（3）小球通过4——3 1A 15B点后，在上、下绳共同作用下做新的简v1= —3 1A1sin 0 1 =谐运动，平衡位置位于 C点。