二矩形波导内的TM电磁波
矩形波导的模式(3篇)
第1篇一、矩形波导的模式分类矩形波导中的电磁波模式主要分为TE（横电磁波）模式和TM（纵电磁波）模式。
1. TE模式TE模式是指电场只在波导的横向（垂直于传播方向）分量存在，而磁场则在纵向（沿传播方向）分量存在。
根据电场和磁场在波导横截面上的分布，TE模式又可以分为TE10、TE20、TE01等模式。
（1）TE10模式：TE10模式是矩形波导中最基本、最常用的模式。
其电场分布呈矩形，磁场分布呈椭圆。
TE10模式的截止频率最高，适用于高频传输。
（2）TE20模式：TE20模式的电场分布呈矩形，磁场分布呈圆形。
其截止频率低于TE10模式，适用于中频传输。
（3）TE01模式：TE01模式的电场分布呈矩形，磁场分布呈椭圆。
其截止频率最低，适用于低频传输。
2. TM模式TM模式是指磁场只在波导的横向分量存在，而电场则在纵向分量存在。
根据电场和磁场在波导横截面上的分布，TM模式又可以分为TM01、TM11、TM21等模式。
（1）TM01模式：TM01模式的电场分布呈矩形，磁场分布呈圆形。
其截止频率最高，适用于高频传输。
（2）TM11模式：TM11模式的电场分布呈矩形，磁场分布呈椭圆。
其截止频率低于TM01模式，适用于中频传输。
（3）TM21模式：TM21模式的电场分布呈矩形，磁场分布呈圆形。
其截止频率最低，适用于低频传输。
二、矩形波导的模式特性1. 截止频率截止频率是矩形波导中一个重要的参数，它决定了电磁波在波导中能否有效传输。
不同模式的截止频率不同，其中TE10模式的截止频率最高，适用于高频传输。
2. 相速度相速度是指电磁波在波导中传播的速度。
不同模式的相速度不同，TE模式的相速度比TM模式快。
3. 模式损耗模式损耗是指电磁波在波导中传播时，由于波导壁的吸收和辐射等原因，能量逐渐衰减的现象。
不同模式的损耗不同，TE模式的损耗比TM模式小。
4. 传输特性矩形波导中不同模式的传输特性不同，如TE模式的传输特性较好，适用于高频传输；TM模式的传输特性较差，适用于低频传输。
微波技术矩形波导中电磁波的通解要点
微波技术矩形波导中电磁波的通解要点矩形波导是一种常见的微波传输线结构，具有广泛的应用，如微波通信、雷达系统和微波功率传输等。
在矩形波导中，电磁波的传播可以通过求解波动方程得到其通解。
下面将介绍矩形波导中电磁波的通解的要点。
矩形波导中的电磁波动方程是由Maxwell方程组给出的。
在无源情况下，即没有电流密度和电荷密度，Maxwell方程组可以简化为两个波动方程，即：（1）对电场E的波动方程：∇^2E+k^2E=0（2）对磁场H的波动方程：∇^2H+k^2H=0其中，k为波数，k=ω/c，ω为角频率，c为光速，∇^2为Laplace 算子。
为了求解上述波动方程，我们需要确定边界条件。
（1）边界条件：矩形波导具有无限大的边界，因此我们可以选择适当的坐标系来求解波动方程。
一种常见的坐标系选择是矩形坐标系，其中坐标轴沿着波导的边界方向。
在矩形波导的壁面上，电场E和磁场H应满足如下边界条件：a）电场E与波导壁面垂直，即E·n=0，其中n为壁面的法向量；b）磁场H与波导壁面平行，即H·n=0。
（2）模态理论：矩形波导中的电磁波存在多个模式，每个模式由一组特定的场分布和频率特征确定。
每个模式都对应于特定的截止频率，超过这个频率时将不能在波导中传播。
对于矩形波导，存在两个基本的模式，即TE (Transverse Electric)模式和TM (Transverse Magnetic)模式。
TE模式是指电场E的一部分为零，也就是垂直于波导壁面的电场分量为零。
TE模式有多种类型，根据电场分布情况的不同而命名。
例如，TE10模式表示只有横向电场分量的模式，而TE20模式表示有两个横向电场分量的模式。
TM模式是指磁场H的一部分为零，也就是垂直于波导壁面的磁场分量为零。
TM模式也有多种类型，根据磁场分布情况的不同而命名。
例如，TM11模式表示只有横向磁场分量的模式，而TM30模式表示有三个横向磁场分量的模式。
2.2 矩形波导
H10(即TE10）波的截止波长最大，它最容易在波导中传播。
为了保证单一的H10波传输，波导尺寸必须满足：
(c ) H20 (c ) H10
a 2a
(c ) H01
2b
§2.2 矩形波导
2.2.4 矩形波导的主模—TE10
1.场表达式
Ez 0
电力线只分布在波导的横截面内
基模：TE10(a>b)
a
横截面图
y z
Hx 窄边纵切面 Ey
§2.2 矩形波导
x z
g
立体图见图2-5
基模：TE10(a>b) 宽边纵切面
§2.2 矩形波导
3.传输参量
波导波长
g
vp f
1 ( / c )2
相移常数
2 2 g
1 ( / c )2
§2.2 矩形波导
相速
vp
v
1 ( / c )2
群速 vg v 1 ( / c )2
（3） 场量沿z轴为行波，沿x轴和y轴为纯驻波
（4） 主模：最低次模
TE10模
一般来说，用a表示波导宽边，b表示窄边，a>b，K10=π/a是所 有波型中波数最小的，因此TE波型的最低次波型是TE10模。
§2.2 矩形波导
3.传输条件
波导中不同模式的截止波长是不同的，对于特定尺寸的波导，
只有满足 c 的模才能得到传输。
§2.2 矩形波导
TE10单模传输条件：
a 2a
2b
兼顾所能够承受一定的传输功率：图(2-8)
a 1.8a
(2-97)
兼顾最小功率损耗：
a=0.7λ
b=(0.4～0.5)a
§2.2 矩形波导
微波技术矩形波导2
(3-4)
1E P= ab 4η
2 0
空气波导
µ =120π ε
非磁介质波导 µ = µ0 ,ε = ε0εr
E ab λ P= 1− 2a 480π
2 0
2
P=
2 E0 ab εr
ห้องสมุดไป่ตู้480π
λ 1− 2a
2
λ 请注意：对非磁介质波导， = 请注意：对非磁介质波导，
ωµ π
β π
TE10波主要特性
传 条 播 件 波 波 导 长
λ＜ c = 2a λ λ λg = 2 λ
1− 2a C λ 1− 2a 1 λ 1− 2a
2 2
相
速
υp =
波 阻 型 抗
η=
µ ε
场结构
图 3-1
二、TE10波的另一种表示
$ dσ = kdxdy。
v
y
ds z x b a 0
图 3-2
计算功率时的面积元
2 v v 1 E0 2 π S ⋅ dσ = sin xdxdy 2η a 2 1 E0 a b 2 π P= ∫0 ∫0 sin a xdxdy 2η 2 1 E0 a π = b∫ 1− cos xds 2η 0 a
我们在上面给出的TE 波表达式， 我们在上面给出的 TE10 波表达式 ， 是以 Hz 为领矢 矢量的。然而， 作领矢矢量， 矢量的。然而，在实用上也常有用Ey作领矢矢量，即 设 π − jβz Ey = E0 sin x e (3(3-1) a 利用Maxwell方程 方程 利用
2 Htmdl s
(3-9)
其中， 其中，
电磁场与微波技术实验2矩形波导仿真与分析
实验二 矩形波导仿真与分析一、实验目的：1、 熟悉HFSS 软件的使用；2、 掌握导波场分析和求解方法，矩形波导高次模的基本设计方法；3、 利用HFSS 软件进行电磁场分析，掌握导模场结构和管壁电流结构规律和特点。
二、预习要求1、 导波原理。
2、 矩形波导模式基本结构，及其基本电磁场分析和理论。
3、 HFSS 软件基本使用方法。
三、实验原理由于矩形波导的四壁都是导体,根据边界条件波导中不可能传输TEM 模,只能传输TE 或TM 模。
这里只分析TE 模(Ez=0)对于TE 模只要解Hz 的波动方程。
即采用分离变量，并带入边界条件解上式，得出TE 模的横向分量的复振幅分别为（1）矩形波导中传输模式的纵向传输特性①截止特性波导中波在传输方向的波数β由式9 给出222000220z z c z H H k H x y ∂∂++=∂∂式7000220002200020002()cos()sin()()sin()cos()()sin()cos()()cos()sin()z x c c z y c c y x H c x y H c H n m n E j j H x y k y k b a b H m m n E j j H x y k x k a a b E m m n H j H x y Z k a a b E n m n H j H x y Z k b a b ωμωμπππωμωμπππβπππβπππ∂⎧==⎪∂⎪⎪∂==-⎪∂⎪⎨⎪=-=⎪⎪⎪==⎪⎩式822222c c k k ππβλλ=-=-式9式中k 为自由空间中同频率的电磁波的波数。
要使波导中存在导波,则β必须为实数,即k 2＞k 2c 或λ＜λc(f ＞f c ) 式10如果上式不满足,则电磁波不能在波导内传输,称为截止。
故k c 称为截止波数。
矩形波导中TE 10模的截止波长最长,故称它为最低模式,其余模式均称为高次模。
由于TE 10模的截止波长最长且等于2a,用它来传输可以保证单模传输。
矩形波导中电磁波的传播模式
矩形波导中电磁波的传播模式矩形波导是一种常见的波导结构，它由四个边界构成，上下为金属板，左右为无限长的平行金属条。
矩形波导中存在多种电磁波的传播模式，如TE模式、TM模式和TEM模式等。
下面将分别介绍这些模式的特点和传播方式。
1. TE模式（Transverse Electric mode）在TE模式中，电磁场的电场的矢量只存在于横向方向，并且垂直于波导的传播方向。
在该模式中，磁场的矢量沿着波导的传播方向。
这意味着在TE模式下，波导内部的电场是零，而磁场是非零的。
因此，TE模式也被称为横电模。
TE模式可进一步分为多种亚模式，如TE10、TE20等。
其中，TE10模式是最低频的模式，在矩形波导中最常用。
TE10模式中，电磁波沿短边传播，且边界条件要求电场分量为零。
其传播速度取决于矩形波导的长边尺寸和频率。
当频率低于截止频率时，该模式不再存在。
2. TM模式（Transverse Magnetic mode）在TM模式中，电场的矢量只存在于横向方向，并且垂直于波导的传播方向。
而磁场的矢量沿着波导的传播方向。
因此，在TM模式下，波导内部的磁场是零，而电场是非零的。
所以，TM模式也被称为横磁模。
TM模式同样可以分为多种亚模式，如TM11、TM21等。
其中，TM11模式也是最常见的模式，在矩形波导中使用较为广泛。
在TM11模式中，磁场沿短边传播，且边界条件要求磁场分量为零。
和TE10模式类似，其传播速度也取决于波导的尺寸和频率，当频率低于截止频率时，该模式也不再存在。
3. TEM模式（Transverse Electro-Magnetic mode）在TEM模式中，电场和磁场的矢量都存在于横向方向，并且垂直于波导的传播方向。
在TEM模式下，波导内部的电场和磁场都是非零的。
由于在波导内部，电场和磁场都存在，而且正交分布，所以也被称为横电磁模。
TEM模式是矩形波导中的基本模式，同时也是最简单的模式。
在TEM模式中，电磁波的传播速度与真空中的光速相同。
矩形波导中的电磁波可能存在波模的讨论
_ _ _ _ 2 2 ε) 的解 , 并由 H = - 1 � X E 用了分离变量法简单的求解了亥姆霍兹方程 � E + K E = 0 (其中 K = ω μ ω μ _ _
文献标识码 : A
文章编号 : 167323118 (2008) 03 20016 202
ห้องสมุดไป่ตู้
求解磁波的解 , 最后给出在波导内传播的电磁波的特点 : 电场 E和磁场 H不能同时为横波 , 并没有对矩形 波导中可能存在的电磁波模进行讨论 , 在此为便于学生理解和掌握 , 笔者运用教材中所求解的矩形波导中 传播的电磁波波解及满足条件 , 讨论一下矩形波导中可能存在的电磁波的波模 , 为学习者在已知波导管中 传播的电磁波频率时 , 判断波导管中可能存在的波模提供捷径 。 1 矩形波导中的电磁波 1. 1 矩形波导及满足的方程 。如图 1所示 ,选一直角坐标系 ,取波导内壁面为 x = 0 和 a; y = 0 和 b; z 轴沿传播方向 。
ikzZ
ω μ
(kx A2 - ky A1 ) coskx xcosky ye
= 0
(6)
同理 Hx = Hy = 0即 TE00 波不存在 。 2. 2. 2 矩形波导中不可能存在 TM 0n 和 TMOm 波模 , m、 n、 至少要从“1 ” 开始 。 由电波波解和磁波波解可得 : 当 n = 0, ky = 0, sinky = 0故 Hy = 0, TM 波 Hz = 0, 故 A2 = 0, 因而 Hx = 0, 即不存在 TM 0m 波 。 当m = 0, Kx = 0, s in kx = 0 故 Hx = 0, TM 波 Hz = 0, 故 A1 = 0, 因而 Hy = 0, 即不存在 TM 0n 波 。 3 结论 由教材上所介绍及以上讨论可得结论为 : 11 电磁波不能同时为横波 , 只能以横电波或横磁波形式存在 ; 21m 、 n 至少有一个不为零时 TEm n 波模才有可能存在 ; 31m 、 n 至少从“1 ” 开始时 TM m n 波模才可能存在 。 (下转 53 页 ) 17
电磁波在波导中的传播与模式分析
电磁波在波导中的传播与模式分析电磁波是一种由电场和磁场相互作用而产生的波动现象。
在自然界中，电磁波的传播方式多种多样，其中一种重要的传播方式是在波导中传播。
波导是一种用于传输电磁波的结构，其特点是能够将电磁波限制在一定的空间范围内传播，从而提高传输效率和减少能量损耗。
在波导中，电磁波的传播受到波导的几何形状和电磁特性的影响。
波导可以分为矩形波导、圆柱波导、光纤等不同类型，每种波导都有其独特的传播特性和模式分析方法。
以矩形波导为例，我们来探讨电磁波在其中的传播和模式分析。
矩形波导是由金属壳体包围的空心矩形管道，其内部通常填充着介质。
当电磁波进入矩形波导时，会受到波导的限制而在其内部传播。
首先，我们来看电磁波在矩形波导中的传播方式。
由于矩形波导的几何形状限制，电磁波只能以横电磁波（TE波）和横磁磁波（TM波）的形式在波导中传播。
TE波是指电场垂直于波导截面方向，而TM波则是指磁场垂直于波导截面方向。
这两种波动模式在波导中的传播速度和传播特性都有所不同。
其次，我们来分析电磁波在矩形波导中的模式分布。
模式是指电磁波在波导中的分布形态。
在矩形波导中，电磁波的模式由波导的几何尺寸和频率决定。
根据波导的尺寸和频率，可以存在多种模式，每种模式都有其特定的电场和磁场分布形态。
通过数学方法和电磁场理论，可以求解出电磁波在矩形波导中的模式分布。
这些模式分布可以用一系列的数学方程和图形来描述。
例如，对于TE波，可以通过求解麦克斯韦方程组和波导的边界条件，得到电场分布的数学表达式。
通过这些数学表达式，我们可以了解到电磁波在波导中的传播路径、衰减情况以及能量分布等信息。
最后，我们来探讨电磁波在波导中的应用。
由于波导能够限制电磁波在一定空间范围内传播，因此在通信、雷达、微波炉等领域中得到广泛应用。
例如，在通信领域中，波导可以用于传输高频率的微波信号，提高信号的传输效率和稳定性。
在雷达领域中，波导可以用于传输和接收雷达信号，提高雷达系统的探测能力和精度。
矩形波导极化方向
矩形波导极化方向介绍矩形波导是一种常见的电磁波传输结构，其采用矩形截面，可以用于射频、微波和光纤通信等领域。
在矩形波导中，波的传播方向和波导的截面形状决定了波的极化方向。
本文将深入探讨矩形波导极化方向的特性和影响因素。
极化方向的定义极化是指电磁波传播中电场矢量的振动方向。
根据极化方向的不同，电磁波可以分为水平极化、垂直极化和斜线极化等。
矩形波导的极化方向矩形波导中电磁波的极化方向与波导的截面形状密切相关。
矩形波导一般具有两个正交的传输模式，即TE模式和TM模式。
TE模式表示横向电场分量为零，TM模式表示横向磁场分量为零。
在TE模式中，电场分布与垂直于波导传输方向相同，磁场分布与传输方向垂直。
在TM模式中，磁场分布与垂直于波导传输方向相同，电场分布与传输方向垂直。
影响极化方向的因素1. 波导截面形状矩形波导的截面形状是影响极化方向的关键因素之一。
当波导的宽度大于高度时，通常会存在TE模式和TM模式。
如果宽度小于高度，只能存在TM模式。
2. 工作频率频率对矩形波导的极化方向也有影响。
在某些频率下，仅存在TE或TM模式。
因此，选择合适的工作频率可以控制极化方向。
3. 束流束流是指矩形波导中的电流分布，也会影响极化方向。
在一些特定情况下，束流可能导致极化方向的旋转或变化。
这对于特定的应用如偏振器设计具有重要意义。
极化方向的应用矩形波导的极化方向在实际应用中具有广泛的意义。
以下是一些应用领域的例子：1. 天线设计极化方向决定了天线的特性，因此在设计天线时需要考虑波导极化方向的特点。
合理选择极化方向可以提高天线的效率和性能。
2. 偏振器设计极化方向的控制是偏振器设计中的关键问题。
通过选择合适的波导截面形状和工作频率，可以实现特定的极化方向，从而满足特定的偏振器要求。
3. 光纤通信矩形波导在光纤通信中也具有重要作用。
通过控制光纤纤芯的截面形状，可以实现特定的极化方向，从而提高传输效率和容量。
4. 射频和微波电路矩形波导的极化方向对于射频和微波电路的设计也具有影响。
微波技术与天线实验2利用HFSS仿真分析矩形波导
实验3：利用HFSS 仿真分析矩形波导一、 实验原理矩形波导的结构（如图1），尺寸a×b, a>b ，在矩形波导内传播的电磁波可分为TE 模和TM 模。
图1 矩形波导 1）TE 模，0=z E 。
coscos zz mn m x n y H H e a bγππ-= 2cos sin x mn c z n m x n y E H b a bj k e γπππωμ-=2sin cos z y mn c j m m x n y E H e k a a bγωμπππ-=-2sincos z x mn c m m x n y H H e k aa bγλπππ-=2cossin z y mn c n m x n y H H e k ba bγλπππ-=其中，c k 22m n a b ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+mn H 是与激励源有关的待定常数。
2）TM 模Z H =0，由Z E 的边界条件同样可得无穷多个TM 模。
注意：对于mn TM 和mnTE 模，m, n 不能同时为零，否则全部的场分量为零。
mn TM 和mn TE 模具有相同的截止波数计算公式，即c k （mn TM ）=c k （mn TE ）所以，它们的截止波长c λ和截止频率c f 的计算公式也是一样的，即c λ（mn TM ）=c λ（mn TE ）=222⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛b n a mc f （mn TM ）=c f （mn TE ）对于给定的工作频率或波长，只有满足传播条件（f >c f 或λ<c λ）的模式才能在波导中传播。
由公式可以看出矩形波导的c f ，c λ不仅与波导的尺寸a, b 有关，还和模指数m, n 有关。
当a, b 一定时，随着f 的改变，矩形波导可以多模传播，也可以单模传播，甚至也可以处于截止状态。
以a=23mm ，b=10mm 的空心矩形波导为例，由截止频率的计算公式22)()(21bna m f c +=με，可以计算GHz f cTE 52.610=，GHz f cTE 04.1320=，GHz f cTE 1501=，所以波导单模工作的频率范围为。
矩形波导中的电磁波
中去，则有：
由 D E E E E 0
得：
E 0
0
同理，由
B H H 0
得：
H 0
由
E
B
H
H (
x)e
it
itH(x)e
t
it
t
iH
得：
E iH
同理得到：
H iE
故有：
E iH
H iE
E 0
H
0
(11) (12) (13) (14)
E
即
2E
0 0
2E t 2
0
同理，对（8）式两边取旋度，并将（6）式代入， 即可得到：
2B
0 0
2B t 2
0
令
C 1
0 0
则得到：
2
E
2
B
1 C2
1 C2
2E
t
2
0
2B t 2
0
(9) (10)
这就是众所周知的波动方程。由其解可知电磁场 具有波动性，电磁场的能量可以从一点转移到另 一点。即脱离电荷、电流而独立存在的自由电磁 场总是以波动形式运动着。在真空中，一切电磁 波（包括各种频率范围的电磁波，如无线电波、
其解
E(x) ,
H(
x代) 表电磁波场强在空间中的分布情
况，每一种可能的形式称为一种波模。
概括起来，在一定频率下，Maxwell’s equations 可以化为以下方程：
2 E k 2 E 0
E 0
(18)
B
i
E
或者
2 B k 2 B 0
B
0
(19)
E
i
b) 亥姆霍兹（Helmholtz)方程 由时谐电磁波的Maxwell’s equations可看出：
三、矩形波导管中电磁波的传输特性 微波技术基础 课件 PPT
2
1
m
2
n
2
a b
§2-3 矩形波导管中电磁波的传输特性——三、矩形波导管中电磁波的传输特性
❖ 简并现象：不同波型具有相同截止波长（或截止频率）的现象
简并波型的kc、fc、vg、vp以及g都是相同的 kc
o 一般情况下： ▪ TE0n和TEm0是非简并模（TM最低次模为TM11）
2 m 2 n 2 a b
矩形波导管管壁电流立体分布图
❖ 左右两侧壁的电流 ❖ 只有Jy分量 ❖ 大小相等，方向相同。
❖ 上下宽壁内的电流 ❖由Jz和Jx合成， ❖ 同一位置上下宽壁内的管壁电流大小 相等，方向相反。
§2-3 矩形波导管中电磁波的传输特性——四、矩形波导管的管壁电流
了解管壁电流的分布情况，对解决某些实际问题有帮助
ax
s
in
2
a
x dxdy
Em2 axb
2ZTE10
a sin 2
0
a
x dx ab
2ZTE10
Em2 ax
§2-3 矩形波导管中电磁波的传输特性——三、矩形波导管中电磁波的传输特性
▪ 功率容量Pbr：波导能够传输（承受）的最大允许功率（极限功率）
Emax Ey xa / 2 Ebr
a 0.7
b 0.4 ~ 0.5a
▪ 使用的波导已标准化：可根据需要选用
§2-3 矩形波导管中电磁波的传输特性——
四、矩形波导管的管壁电流
▪ 导行波在金属波导内壁表面上将感应出高频电流，称为管壁电流。
▪ 管壁电流如何分布？
假定内表面是理想导体， ▪ Js表示内表面上的表面电流密度矢量 ▪ H表示内表面处切线方向的磁场强度 ▪ an表示内表面法线方向的单位矢量
TEM波、TE波TM波,矩形波导的传播特性(中文)
H (x, y, z) H0 (x, y) e jkzz
且满足下列矢量亥姆霍兹方程
2 E
x
2
2E y 2
2E z 2
k
2
E
0
2H x 2
2H 2H k 2H 0 y 2 z 2
上式包含了 Ex ,及E y , Ez 6H个x , H直y ,角H z坐标分量，分 别满足齐次标量亥姆霍兹方程。
电磁 屏 蔽
差
好
差
差
好
好
差
使用波段
> 3m > 10cm 厘米波 厘米波 厘米波、毫米波 厘米波、毫米波 光波
根据导波系统横截面的形状选取直角坐标系
或者圆柱坐标系，且令其沿 z 轴放置，传播方向 为正 z 方向。
以直角坐标系为例，则电场与磁场可以分别
表示为
E(x,
y,
z)
E0
(x,
y)
e
jkz z
E0
k2 c
nπ
b
sinmaπ
x
cos
nπ b
y e jkz z
Hy
j
E0
kc2
mπ a
cos
mπ a
x
sin
nπ b
y e jkzz
Ez Ex
� Ey0jsekinkz Ejc2k���z0z mmaaπ��ππ�cboxs����smianπ�x
n sin
nπ b
y e jkzz
Ey
j
kz E0 kc2
nbπ
sin
mπ a
x
cos
nπ b
y e jkzz
Hx
j
2章TETM通解8
' ' ' Ez (x, y， ) = C+ (A' cos kx x + B1 sin kx x)( A2 cos ky y + B2 sin ky y)e jβz z 1
其边界条件为： 其边界条件为： x=0, a 时，Ez=0 y=0, b 时，Ez=0 将以上常数代入表达式中， 将以上常数代入表达式中，有 表达式中
λ
1－(
λ 2 ) λc
m 2 n 2 （ ）+ ( ) a b Z Z TEn有关 TEM = 由式可见，截止波长不仅取决于波导尺寸a和 ，也和波型指数m和 由式可见，截止波长不仅取决于波导尺寸 和b，也和波型指数 和 有关 λ 1 ( )2 λc 与介质的特性的关系？ 与介质的特性的关系？ 课堂考虑
(2.34)
矩形波导中电磁波的通解
矩形波导中横电波TE的解 矩形波导中横电波TE的解
(2.33)式的通解为
X (x) = A cos kx x + B1 sin kx x 1 Y( y) = A2 cos k y y + B2 sin k y y
所以H 所以 z(x,y)的解为 的解为
1 d 2 X (x) 2 = kx X (x) dx2
1 d 2Y( y) 2 = k y Y( y) dy2
(2.33)
Hz (x, y) = ( A cos kx x + B1 sin kx x)( A2 cos k y y + B2 sin k y y) 1
对传输波取γ＝jβ，得 对传输波取 ＝ ，
Hz (x, y， ) = D+ ( A cos kx x + B1 sin kx x)( A2 cos ky y + B2 sin ky y)e jβz z 1
矩形波导中电磁波截止波长的计算(1)(1)
矩形波导中电磁波截止波长的计算(1)(1)矩形波导中电磁波截止波长的计算周和伟物理与电子信息工程学院 07物理学 07234030[摘要]:本文从麦克斯韦方程组出发，从理论上推导了电磁场遵循的波动方程和时谐电磁波遵循的波动方程；根据边值关系从理论上求出了时谐电磁波在矩形波导中的解，并对矩形波导管中传播的电磁波波解进行了讨论；计算了不同尺寸的矩形波导管的截止波长，截止波长大多属于厘米量级，说明波导管只适用于传播微波。
[关键词]:矩形波导电磁波截止波长1 绪言波导是一种用来约束或引导电磁波传输的装置，矩形波导是指横截面是矩形的波导，一般是中空的金属管。
也有其他形式的波导装置，如介质棒或由导电材料和介质材料组成的混合构件[1]。
因此，在广义的定义下，波导不仅是指矩形中空金属管，同时也包括其他波导形式如矩形介质波导等，还包括双导线、同轴线、带状线、微带和镜像线、单根表面波传输线等。
根据波导横截面的形状不同还有其他形状波导，如圆波导等。
尽管已存在很多不同波导形式，且新的形式还不断出现，但直到目前，在实际应用中矩形波导是一种最主要的波导形式。
由于无线信号传输媒介，具有传输频带宽、传输损耗小、可靠性高、抗干扰能力强等特点，因此波导技术在电子技术领域运用非常广泛，主要用于铁氧体结环形器，窄壁缝隙天线阵[2]，速调管矩形波导窗，高精度矩形弯铜波导管加工研究【3】等器件设备的制造生产，以及在地铁信号系统中的应用都很广泛。
为了加深对波导传输特性的理解，本文从麦克斯韦方程组出发，推导了电磁场遵循的波动方程和时谐电磁波遵循的波动方程；根据边值关系从理论上求出了时谐电磁波在矩形波导中的解，并对矩形波导管中传播的电磁波波解进行了讨论；计算了不同尺寸的矩形波导管的截止波长，发现其截止波长都在厘米量级，说明波导管只适用于传播微波。
2 电磁波基本原理2.1建立麦克斯韦方程组的历史背景⎰=-=Edl dld E ml φ (2.1) 应当指出：法拉第建立的电磁感应定律，只适用于由导体构成的回路，而根据麦克斯韦关于感生电场的假设，电磁感应定律有更深刻的意义，即不管有无导体构成闭合回路，也不管回路是在真空中还是在介质中，式(2.1)都是适用的。
微波技术矩形波导中电磁波的通解要点
H z ( x, y, z) 0
(3 71 f )'
2 c 2 2
式中 m, n 1,2, , k m a n b ,
TM 0
(3-71)’中，m , n 取不同正整数(二者均不得为零)时 对应着不同的TM模式，记为 TM mn 或 Emn 。
由(3-65)’、(3-71)’可见， 矩形波导中的导行波： (1) 沿 z 向为行波，沿 x、y 向为驻波；x 从 0 ~ a 驻波相角变化 m, y 从０~ｂ驻波相角变化 n； m、 n分别代表场强沿 a边、b边变化的半驻波数。
kc x j H z Hx 2 (3 34c) kc x j H z Hy 2 (3 34d ) kc y 0 其中 TE ， 而Hz(x, y) 可由方程（3-54）求出。
2 2 2 ( 2 2 ) H z ( x, y ) k c H z ( x, y ) 0 x y (3 54)
y 0
(k )
2 c mn
m n a b
2
2
(m, n 0, 1, 2,)
(3 64)
m、n 不得同时为零。
H0由端接条件确定，因(3-61)各场分量均含有H0 ， 故H0的大小并不影响场的分布形状。这样，可得TE波 的全部时谐场分量
(l c ) mn
2 2 (kc ) mn ( m a ) 2 ( n b) 2
( f c ) mn
c c 2 2 ( m a ) ( n b) (l c ) mn 2
1) “高通” ： 频率大于 fc 的TE、TM波才能在矩形波导中传输， 即l < lc ( f > fc ) 则导通，此时, g = j 。 满足传输条件的矩形波导导行波的传输参量： (1) 相位常数 2 2 f 2 2 2 1 (l l c ) 1 ( fc f ) l c vp l g (2) 相速 c vp 1 (l l c ) 2
微波与天线-矩形波导
g
2
1 ( / 2a) 2
而TE10模的波阻抗为
ZTE10
120 1 ( / 2a) 2
③ 相速与群速： TE10模的相速vp和群速vg分别为
v vp 1 ( / 2a )2
d vg v 1 ( / 2a ) 2 d
式中, v为自由空间光速。
矩形波导能够存在TEm0模和TE0n模及TEmn(m,n≠0)模; 其中TE10 模是最低次模, 其余称为高次模。
2)TM波 对TM波, Hz=0, Ez=Ez(x, y)e-jβz, 此时满足 其通解也可写为 Ez(x, y)=(A1coskxx+A2 sinkxx)(B1coskyy+B2sinkyy) 应满足的边界条件为 Ez(0, y)=Ez(a, y)=0 Ez(x, 0)=Ez(x, b)=0
此时, 相移常数为
2
1 c
2
其中, λ=2π/k，为工作波长。
可见当工作波长λ小于某个模的截止波长λc时, β2＞0, 此模
可在波导中传输, 故称为传导模; 当工作波长λ大于某个模的截
止波长λc时, β2＜0, 即此模在波导中不能传输, 称为截止模。一 个模能否在波导中传输取决于波导结构和工作频率（或波长）。 对相同的m和n, TEmn 和TMmn 模具有相同的截止波长故又称为 简并模, 虽然它们场分布不同, 但具有相同的传输特性。下图给 出了标准波导BJ-32各模式截止波长分布图。
b 2 c [1 2 ( ) ](dB / m) 2 a 2a 120 1 2a 8.686RS
式中, RS= fu / 为导体表面电阻, 它取决于导体的磁导率 μ、 电导率σ和工作频率f。
矩形波导中电磁场分布特征研究
、 ／ （
卜
（ ３ ）
更 细 致 的 电磁 场 分 布 特 征 。 中模 拟 的二 维 空 间 电磁 场 结 构 文 效果 会更好。
当 传 输 因 子 为 实 数 时 ， 作 用 为 衰 减 因 子 ， 磁 波 不 其 电 能 在波导内有效传输 ； 电磁 波 在 波 导 内 有 效 传 播 的必 要 条 件 是 传 输 因 子 ｙ为 虚 数 ， 时 称 为相 移 因 子 。 此 当波导壁（ 电磁 波 运 行 的边 界 ） 理 想 导 体 时 ， 以 推 出 为 可
．
＝ 一
毒 （ ｕ
。 ｓ ）（ ｙ （ ｓ ） ｉ ｎ ｅ ｃ（ ｙ ｏ ） ｓ ｅ
Ｅｘ，一 ＝ （ ） ｙｙ）静 一 （ｚ ，＝ 蕾
一
＾
＇
Ｉ －
＾
１
一后 ： ＋ ０
一
警（
ｎ ）（ ） （ ｃ ｏ ｓ
收 稿 日期 ：０１ － ８ ２ ２ １０ — ６
摘 要 ：波导 内 电磁 场 结构 复 杂 ， 了 解矩 形 波 导 中 电磁 场 分 布 特 征 ， 为 由矩 形 波导 中 的 Ｔ 波 和 Ｔ Ｍ Ｅ波 场 方 程 确 定 波 导
空 间 任 意 时 刻 、 意 位 置 各 分 量 量 值 ， 而 确 定 空 间 任 意位 置 电场 和磁 场 矢 量 的 指 向 ， 拟 出 波 导 截 面 和 纵 剖 面 的 任 进 模
由此 求 得 纵 场 分 量 为
（ ＝ （ ）ｓ ，（ ＝ １… （ ） ｃ（ ， ０ ，３） ） 日 。 ） ＇２ ７
其 中 日ｍ 其 幅值 。 为 同样 地 推 出波 导 中对 应 的 Ｔ Ｅ波 的横 向分 量
激 励 源 幅 值 取 １ 选 取 时 间 ｔ ５ ｓ 截 面 选 取 波 导 管 内 电 磁 波 ， ＝ ，
7.2.1矩形波导中的场分布
n z x sin y e b
由纵向场法，可得： m m n z Ex k 2 a Em cos a x sin b y e c E n E sin m x cos n y e z y m kc2 b a b m n z H x j n Em sin x cos y e 2 kc b a b m m n z H y j 2 Em cos x sin ye kc a a b
再加上边界条件
Ez |x 0 0 Ez |x a 0 E z | y 0 0 E z | y b 0
可以解得:
m k x a f ( x) A sin m x a
故
n k y b g ( y ) C sin n y b
两个常微分方程的通解为：f ( x)
A sin k x x B cos k x x,
g ( y ) C sin k y y D cos k y y
4
f ( x) A sin k x x B cos k x x, g ( y ) C sin k y y D cos k y y
③ 由于对相同的 m 和 n ， TMmn 模和 TEmn 模的截止波数 kcmn 相同，
这种情况称为模式的简并； ④ 对于 TEmn 模，其 m 和 n 可以为 0 ，但不能同时为 0 ；而对于 TMmn 模， 其m 和n不能为0，即不存在TM0n 模和TMm0模。
7
振幅Em=AC，其大小由激励源强度决定。
矩形波导中电磁波截止波长地计算(1)(1)
矩形波导中电磁波截止波长的计算周和伟物理与电子信息工程学院 07物理学 07234030[摘要]:本文从麦克斯韦方程组出发，从理论上推导了电磁场遵循的波动方程和时谐电磁波遵循的波动方程；根据边值关系从理论上求出了时谐电磁波在矩形波导中的解，并对矩形波导管中传播的电磁波波解进行了讨论；计算了不同尺寸的矩形波导管的截止波长，截止波长大多属于厘米量级，说明波导管只适用于传播微波。
[关键词]:矩形波导电磁波截止波长1 绪言波导是一种用来约束或引导电磁波传输的装置，矩形波导是指横截面是矩形的波导，一般是中空的金属管。
也有其他形式的波导装置，如介质棒或由导电材料和介质材料组成的混合构件[1]。
因此，在广义的定义下，波导不仅是指矩形中空金属管，同时也包括其他波导形式如矩形介质波导等，还包括双导线、同轴线、带状线、微带和镜像线、单根表面波传输线等。
根据波导横截面的形状不同还有其他形状波导，如圆波导等。
尽管已存在很多不同波导形式，且新的形式还不断出现，但直到目前，在实际应用中矩形波导是一种最主要的波导形式。
由于无线信号传输媒介，具有传输频带宽、传输损耗小、可靠性高、抗干扰能力强等特点，因此波导技术在电子技术领域运用非常广泛，主要用于铁氧体结环形器，窄壁缝隙天线阵[2]，速调管矩形波导窗，高精度矩形弯铜波导管加工研究【3】等器件设备的制造生产，以及在地铁信号系统中的应用都很广泛。
为了加深对波导传输特性的理解，本文从麦克斯韦方程组出发，推导了电磁场遵循的波动方程和时谐电磁波遵循的波动方程；根据边值关系从理论上求出了时谐电磁波在矩形波导中的解，并对矩形波导管中传播的电磁波波解进行了讨论；计算了不同尺寸的矩形波导管的截止波长，发现其截止波长都在厘米量级，说明波导管只适用于传播微波。
2 电磁波基本原理2.1建立麦克斯韦方程组的历史背景麦克斯韦首先从论述力线着手，初步建立起电与磁之间的基本关系。
1855年，他发表了第一篇电磁学论文《论法拉第的力线》。
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• 9.1； 9.2；9.3；9.4；9.5；9.8；9.9；9.10； 9.11；9.15；9.20；9.23
①无界媒质中 麦克斯韦方程的解 波导中 麦克斯韦方程的解
均匀平面电磁波 导行电磁波
②波导
广义：用来导引电磁波进行定向传输的装置。
{习惯上
按结构分： 平行双线传输线、同轴线、带线和微带线等
0
z
0
求解这两个纵向分量的方程，就可以得到波导中的电磁场解。
2、波导中电磁波解的分类
① kc 0 E0z 0 , H0z 0 E0z 0 , H0z 0 E0z 0 , H0z 0
横电波或TE波，也称为磁波或H波 横磁波或TM波，也称为电波或E波 TE波和TM波的组合叠加
② kc 0 只有当 E0z H0z 0 时，才可能有不等于零的横向场分量 导行电磁波的电场分量和磁场分量都垂直于传播方向， 故称为横电磁波或TEM波 。
0z
kc2 H 0z
0
可利用分离变量法求解，令 H0z f (x) g( y)
则有
f
1 (x)
2
f (x) x2
1 g( y)
2g(y) y2
k
2 c
0
分离变量
f
1 (x)
d
2 f (x) dx 2
k
2 x
1 g( y)
d 2g(y) d y2
k
2 y
其中
k
2 x
k
2 y
k
2 c
2
k2
2
H
k
2
H
0
由此可求得电磁场纵向分量满足以下方程
2E0z x2
2E0z y2
( 2
k 2 )E0z
0
2H0z x2
2H0z y2
( 2
k 2 )H0z
0
令
k
2 c
2
k2
,
2 t
2 x2
2 y2
则以上两式可以写成
2 t
E
0
z
k
2 c
E0z
0
2 t
H
0
z
k
2 c
H
0
若对任意的 x y 都成立，则必须
ky
n
b
kx
m
a
(n 0 , 1 , 2 , 3 , ) (m 0 , 1 , 2 , 3 , )
至此，除了常数 H0 将由激励强度决定外，其它常数均已确定。
因此，TE波的5个场分量的表达式为
k
2 c
H 0 cos k x x sin k y y
E0 y
j k x
kc2
H 0 sin kx x cos k y y
再利用边界条件②和④可得
E0x ( y b)
jk y
k
2 c
H 0 cos kx x sin k yb 0
E0y (x
a)
j k x
k
2 c
H 0 sin kxa cos k y y
( j
E0z x
H0z ) y
其中 k 2 2
可见，若求得了E0z和 H 0z，则电磁场的各分量就可求得。
在广义坐标系下，电磁场的横向电磁分量可由纵向电磁分量来 导出，写成矩阵的形式为
1
Eu1
Eu2
kc2
h1
1
h2
u1 u2
11
h2 u2
1 1
h1 u1
Ez
j H
z
1 1 1
H u1
Hu2
kc2
h1
1
h2
u1 u2Leabharlann h2 u21 1
h1 u1
Hz
j
Ez
在直角坐标系中， h1 h2 1 u1 x, u2 y
在圆柱坐标系中, h1 1
h r
u1
u2
电场、磁场都满足齐次亥姆霍兹方程
2E k2E 0
写成标准形式
d
2 f (x) dx 2
k
2 x
f
(x)
0
d
2 g( y) dy 2
k
2 y
g
(
y)
0
两方程的解分别为 f (x) Asin kx x B cos kx x
g( y) C sin ky y D cos ky y
所以 H 0z ( Asin kx x B cos kx x)(C sin k y y D cos k y y)
按横截面形状分： 矩形波导、圆形波导和椭圆波导等
按使用频段分：
介质波导和光纤
③导行电磁波问题仍然是电磁场的边值问题，即求解满足 波导边界条件的波动方程，然后分析沿波导的传播特性。
§9.1 导行波的电磁场
1、均匀波导中的
v E,
v H
假定 ①由理想导体构成的导波装置沿z方向均匀；
②并且置于线性、均匀、各向同性的理想媒质中；
§9.2 矩形波导管中的电磁波
矩形波导管轴线与 z 轴方向一致， y
内壁坐标分别为
b
x0 , xa , y0 , yb
假设波导管材料为理想导体，
内部为理想介质。
z
一. 矩形波导内的 TE 电磁波
, , =0
ax 图9－1 矩形波导管
因为 E0z 0 , H0z 0 ，所以只需求解方程
2 t
H
利用横向分量与纵向分量的关系可得两个磁场分量
E0x
j
k
2 c
k y (Asin k x x
B cos k x x)(C cos k y
y
D sin k y
y)
j
E0y
k
2 c
kx ( Acos kx x B sin kx x)(C sin k y y D cos k y y)
在波导壁上，电场切向分量满足零边界条件，即
E j H
H 0
E 0
考虑到各分量都有 / z 的关系，则在直角坐标系中有
H0z y
H0y
j
E0x
H 0x
H0z x
j E0y
H0y x
H0x y
j E0z
E0z y
E0y
j H 0x
E0x
E0z x
j H0y
E0y x
E0x y
j H 0z
③电磁波在媒质中沿导体向方向传播。
此时电磁场的复矢量为：
E
E0
(
x,
y)
e
z
(xˆE0x
yˆE0 y
zˆE0z )e z
H
H0
(
x,
y
)
e
z
(xˆH 0x
yˆ H 0 y
zˆH 0z )e z
称为导行电磁波的传播常数
将这两个表达式代入理想媒质无源区域的麦克斯韦方程中，即
H j E
E0x ( y 0) 0
①
E0x ( y b) 0
②
E0y (x 0) 0
③
E0y (x a) 0
④
根据条件①②可得 C = 0，根据条件③④可得A = 0，所以
H 0z H 0 cos k x x cos k y y
其中 H0 BD ，由初始条件确定。
两个电场分量
E0x
jk y
电磁场共有六个分量，但其中四个横向分量可以用两个纵向分量导出
因此可以得到由纵向分量 E0z H 0z 表示的横向分量表达式
E0x
2
1 k2
(
E0z x
j H 0z ) y
E0y
2
1 k2
(
E0z y
j H 0z ) x
H0x
2
1 k2
( j
E0z y
H0z ) x
H0y
2
1 k2