绝对值不等式,高考历年真题
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【考点35】绝对值不等式
2009年考题
1、（2009全国Ⅰ）不等式
1
1
X X +-＜1的解集为（ ）（A ）｛x }}01{1x x x ??? (B){
}01x x ??（C ）{}10x x -?? (D){
}0x x ? 【解析】选D.
0040)1()1(|1||1|11
1
22
2、（2009重庆高考）不等式2
313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为
A ．(,1][4,)-∞-+∞
B ．(,2][5,)-∞-+∞
C ．[1,2]
D ．(,1][2,)-∞+∞
【解析】选A.因为2
4314313x x x x a a -≤+--≤+--≤-对对任意x 恒成立，所以
223434041a a a a a a -≥--≥≥≤-即，解得或.
3、（2009广东高考）不等式
1
12
x x +≥+的实数解为 ． 【解析】112x x +≥+23
02)2()1(0
22122-≤????≠++≥+???
?≠++≥+?x x x x x x x 且2-≠x . 答案：3
2
x ≤-且2-≠x .
4、（2009山东高考）不等式0212<---x x 的解集为 .
【解析】原不等式等价于不等式组①221(2)0x x x ≥??---
21(2)0
x x x ?
<
??-+-
(21)(2)0x x x ?
≤?
??--+-
不等式组①无解,由②得112x <<,由③得112x -<≤,综上得11x -<<,所以原不等式的解集为{|11}x x -<<. 答案：{|11}x x -<<
5、（2009北京高考）若函数1
,0()1(),0
3
x x x
f x x ?
【解析】主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.
（1）由0
1|()|301133
x f x x x
≥??-≤
??.
（2）由001|()|01111133333x x
x x f x x ≥?≥???≥???≤≤??????≥≥ ? ?????????
.
∴不等式1
|()|3
f x ≥的解集为{}|31x x -≤≤，∴应填[]3,1-. 答案：[]3,1-
6、（2009福建高考）解不等式∣2x -1∣<∣x∣+1
【解析】当x<0时,原不等式可化为211,0x x x -+<-+>解得 又
0,x x <∴不存在;
当1
02
x ≤<
时,原不等式可化为211,0x x x -+<+>解得 又11
0,0;22
x x ≤<∴<<
当1
11
,211,222
22
x x x x x x ≥-<+<≥∴≤<原不等式可化为解得又
综上,原不等式的解集为|0 2.x x <<
7、（2009海南宁夏高考）如图，O为数轴的原点，A,B,M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点的距离，y 表示C到A距离4倍与C到B距离的6倍的和.
（1）将y表示成x的函数；
（2）要使y的值不超过70，x 应该在什么范围内取值
【解析】（Ⅰ）4|10|6|20|,030.
y x x x
=-+-≤≤
（Ⅱ）依题意，x满足
4|10|6|20|70,
030.
x x
x
-+-≤
?
?
≤≤
?
解不等式组，其解集为[9，23]，所以[9,23].
x∈
8、（2009辽宁高考）设函数()|1|||
f x x x a
=-+-。
（1）若1,
a=-解不等式()3
f x≥；
（2）如果x R
?∈,()2
f x≥,求a的取值范围。
【解析】（1）当1
a=-时，()|1||1|
f x x x
=-++，由()3
f x≥得：|1||1|3
x x
-++≥，
（法一）由绝对值的几何意义知不等式的解集为
33
{|}
22
x x x
≤-≥
或。
（法二）不等式可化为
1
23
x
x
≤-
?
?
-≥
?
或
11
23
x
-<≤
?
?
≥
?
或
1
23
x
x
>
?
?
≥
?
，
∴不等式的解集为
33
{|}
22
x x x
≤-≥
或。-------------5分
（2）若1
a=，()2|1|
f x x
=-，不满足题设条件；
若1
a<，
21,()
()1,(1)
2(1),(1)
x a x a
f x a a x
x a x
-++≤
?
?
=-<<
?
?-+≥
?
，()
f x的最小值为1a
-；
若1
a>，
21,(1)
()1,(1)
2(1),()
x a x
f x a x a
x a x a
-++≤
?
?
=-<<
?
?-+≥
?
，()
f x的最小值为1
a-。
所以对于x R
?∈，()2
f x≥的充要条件是|1|2
a-≥，从而a的取值范围(,1][3,)
-∞-+∞。
…………………………………………………………………………………………………………10分
2008年考题
1、（2008湖南高考）“|1|2x -<”是“3x <”的( )
A ．充分不必要条件
B .必要不充分条件
C ．充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
【解析】选A.由|1|2x -<得13x -<<，所以易知选A .
2、（2008湖南高考）“|1|2x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的( )
A ．充分不必要条件
B .必要不充分条件
C ．充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
【解析】选B.由|1|2x -<得13x -<<，由(3)0x x -<得03x <<，所以易知选B . 3、（2008四川高考）不等式2||2x x -<的解集为( )
（A ）(1,2)- （B ）(1,1)- （C ）(2,1)- （D ）(2,2)- 【解析】选A.∵2
||2x x -< ∴2
22x x -<-< 即222020x x x x ?-+>?--
， 12x R x ∈??-<
∴(1,2)x ∈- 故选A .
4、（2008天津高考）设集合{||2|3},{|8},S x x T x a x a S
T R =->=<<+=，则a 的取值范围是
(A) 31a -<<- (B) 31a --
(C) 3a
-或1a - (D) 3a <-或1a >-
【解析】选A.{|15}S x x x =<->或，所以{
131
85
a a a <-?-<<-+>，选A ． 5、（2008山东高考）若不等式｜3x -
b ｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围为 . 【解析】本题考查绝对值不等式
401
443,4
33343b b b x b -?
≤
，解得57b << 答案：（5，7）
6、（2008广东高考）已知a ∈R ，若关于x 的方程2
1
04
x x a a ++-+=有实根，则a 的取值范围是 ． 【解析】方程即214a a x x -
+=--,左边14a a -+ 在数轴上表示点a 到原点和1
4
的距离的和，易见1144a a -
+≥（1[0,]4
a ∈等号成立），而右边2
x x --的最大值是14，所以方程有解当且仅当两边都等于
14，可得实数a 的取值范围为10,4??????
答案：10,4
??
????
7、（2008上海高考）不等式|1|1x -<的解集是 ． 【解析】由11102x x -<-
2007年考题
1、(2007安徽高考)若对任意∈x R,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1
【解析】选B ．若对任意∈x R,不等式x ≥ax 恒成立，当x≥0时，x≥ax，a≤1，当x<0时，－x≥ax，∴a≥－1，综上得11a -≤≤，即实数a 的取值范围是a ≤1，选B 。 2、（2007安徽高考）若}{
2228
x
A x -=∈Z ≤<，{2R |log |1}
B x x =∈>，则)(
C R B A ?的元素个数
为 （A ）0
（B ）1
（C ）2 （D ）3
【解析】选C ． }{
222
8
x
A x -=∈Z ≤<={0,1}，{2R |log |1}
B x x =∈>=1
{|20}2
x x x ><<
或， ∴ )(C R B A ?={0,1}，其中的元素个数为2，选C 。 3、（2007福建高考）“|x |<2”是“x 2
-x -6<0”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A ．由|x|<2得-2 -x -6<0得-2 4、（湖北高考）设P 和Q 是两个集合，定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈?，且，如果{}2|log 1P x x =<， {}|21Q x x =-<，那么P Q -等于（ ） Ａ．{}|01x x << Ｂ．{}|01x x <≤ Ｃ．{}|12x x <≤ Ｄ．{}|23x x <≤ 【解析】选B ．先解两个不等式得{ }02P x x =<<，}{ 13Q x x =<<。由P Q -定义，故选Ｂ. 5、（2007辽宁高考）设p q ，是两个命题：2 12 51 :log (||3)0:066 p x q x x ->- +>，，则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【解析】选A ．p ：344||313||0-<<-?< 1()31 ,(+∞-∞ ，结合数轴知p 是q 的充分而不必要条件，选A. 6、（2007辽宁高考）设p q ，是两个命题：251 :||30:066 p x q x x ->-+>，，则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【解析】选A ．p ：),3()3,(+∞--∞ ，q ：),2 1()31 ,(+∞-∞ ，结合数轴知p 是q 的充分而不必要条件，选A. 7、（2007福建高考）已知f(x)为R 上的减函数，则满足f(||) A （－1，1） B （0，1） C （－1，0）（0，1） D （－，－1）（1，＋） 【解析】选C ．由已知得 1| |1 >x 解得01<<-x 或0 【解析】构造函数：2 ()4,f x x mx =++12x ∈（，） 。由于当(12)x ∈，时， 不等式240x mx ++<恒成立。则(1)0,(2)0f f ≤≤，即 140,4240m m ++≤ ++≤。解得：5m ≤-. 答案：5m ≤- 9、（2008广东高考）（不等式选讲选做题）设函数()|21|3,f x x x =-++则(2)f -=_____；若()5f x ≤，则x 的取值范围是________； 答案：6 [1,1]- 10、（2007北京高考）已知集合{} |1A x x a =-≤，{ } 2 540B x x x =-+≥．若A B =?，则实数a 的取值范围是 ． 【解析】集合{} |1A x x a =-≤={x | a －1≤x ≤a +1}，{ } 2 540B x x x =-+≥={x | x ≥4或x ≤1 }．又 A B =?，∴ 1411a a +? ，解得2 答案：(2，3) 11、（2007浙江高考）不等式211x x --<的解集是 ． 【解析】211211(1)211x x x x x x x -- (1)21 0 2.211 x x x x x -+<-?∴?< -<+? 答案：(0,2) 12、（2007北京高考）记关于x 的不等式01 x a x -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ． （I ）若3a =，求P ； （II ）若Q P ?，求正数a 的取值范围． 【解析】（I ）由 3 01 x x -<+，得{}13P x x =-<<． （II ）{}{ } 1102Q x x x x =-=≤≤≤．由0a >，得{} 1P x x a =-<<， 又Q P ?，所以2a >，即a 的取值范围是(2)+∞，． 高考数学经典专题：绝对值不等式中含参数成立问题 1．已知函数()|1||2|f x x x m m =-+-∈R ,. （1）当3m =时，解不等式()3f x ≥； （2）证明：当0m <时，总存在0x 使00()21f x x <-+成立 2．已知函数()32f x x =-. （1）若不等式213f x t ? ?+≥- ???的解集为11,,33????-∞-?+∞ ??????? ，求实数t 的值； （2）若不等式()3133y y f x x m -≤+++?对任意x ，y 恒成立，求实数m 的取值范 围. 3．已知函数()2f x x a =-，()|1|g x a x =-，a R ∈． （Ⅰ）若1a =，求满足()(1)1g x g x +->的实数x 的取值范围； （Ⅱ）设()()()h x f x g x =+，若存在12,[2,2]x x ∈-，使得()()216h x h x -≥成立，试求实数a 的取值范围． 4．已知()|3|f x ax =-，不等式()6f x …的解集是{|13}x x -剟 ． （1）求a 的值； （2）若()()3 f x f x k +-<存在实数解，求实数k 的取值范围． 5．已知函数f （x ）＝|2x ﹣a |+|x ﹣a +1|． （1）当a ＝4时，求解不等式f （x ）≥8； （2）已知关于x 的不等式f （x ）2 2 a ≥在R 上恒成立，求参数a 的取值范围． 6．已知定义在R 上的函数2 ()|24|f x x a x a =-+-. （1）当1a =时，解不等式()5f x ≥； （2）若2()4f x a -≥对任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围. 7．已知,a b 均为实数，且3410a b += . （Ⅰ）求22a b +的最小值； （Ⅱ）若2232x x a b +--≤+对任意的,a b ∈R 恒成立，求实数x 的取值范围. 温馨提示： 高考题库为Word 版，请按住Ctrl ，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。 【考点35】绝对值不等式 2009年考题 1、（2009全国Ⅰ）不等式 1 1 X X +-＜1的解集为（ ）（A ）｛x }}01{1x x x ??? (B){ }01x x ??（C ）{}10x x -?? (D){ }0x x ? 【解析】选D. 0040)1()1(|1||1|11 1 22 【解析】原不等式等价于不等式组①221(2)0x x x ≥??---解得 又 0,x x <∴不存在; 当1 02 x ≤< 时,原不等式可化为211,0x x x -+<+>解得 又11 0,0;22 x x ≤<∴<< 当1 11 ,211,222 22 x x x x x x ≥-<+<≥∴≤<原不等式可化为解得又 综上,原不等式的解集为|0 2.x x << 典型例题一 例1 解不等式2321-->+x x 分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念? ??<-≥=)0()0(a a a a a ，将不等式中的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解．去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论． 解：令01=+x ，∴ 1-=x ，令032=-x ，∴2 3=x ，如图所示． （1）当1-≤x 时原不等式化为2)32()1(--->+-x x ∴2>x 与条件矛盾，无解． （2）当2 31≤ <-x 时，原不等式化为2)32(1--->+x x ． ∴ 0>x ，故2 30≤ 当4>x 时，得a x x <-+-)3()4(，即27+< a x ，有解的条件为42 7>+a ∴1>a ． 以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为1>a ． 解法二：设数x ，3，4在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，如图，由绝对值的几何定义，原不等式a PB PA <+的意义是P 到A 、B 的距离之和小于a ． 因为1=AB ，故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于（等于1），即134≥-+-x x ，故当1>a 时，a x x <-+-34有解． 典型例题三 例3 已知),0(,20,2M y a b y M a x ∈ε<-<ε<-，求证ε<-ab xy ． 分析：根据条件凑b y a x --,． 证明：ab ya ya xy ab xy -+-=- ε=ε?+ε?<-?+-≤-+-=a a M M b y a a x y b y a a x y 22)()(． 说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法． 典型例题四 例4 求证 b a a b a -≥-22 分析：使用分析法 证明 ∵0>a ，∴只需证明b a a b a -≥-222，两边同除2 b ，即只需证明 b a b a b b a -≥-2222 2，即 b a b a b a -≥-22)(1)( 当1≥b a 时，b a b a b a b a -≥-=-222)(1)(1)(；当1 高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法 类型一：形如)()(,)(R a a x f a x f ∈><型不等式 解法:根据a 的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类型的解题基础. 1、当0>a 时， a x f a a x f <<-?<)()( a x f a x f >?>)()(或a x f -<)( 2、当0=a a x f <)(，无解 ?>a x f )(使0)(≠x f 的解集 3、当0a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集. 例1 （2008年四川高考文科卷）不等式22<-x x 的解集为（ ） A.)2,1(- B.)1,1(- C.)1,2(- D.)2,2(- 解： 因为 22<-x x ， 所以 222<-<-x x . 即 ?????<-->+-0 20222x x x x ， 解得： ? ??<<-∈21x R x ， 所以 )2,1(-∈x ，故选A. 类型二：形如)0()(>><><<)()0()( 或a x f b -<<-)( 需要提醒一点的是，该类型的不等式容易错解为： b x f a a b b x f a <><<)()0()( 例2 （2004年高考全国卷）不等式311<+ 绝对值不等式解法问题—7大类型 类型一：形如型不等式 解法:根据的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类型的解题基础. 1、当时， 或 2、当 ，无解 使的解集 3、当时， ，无解 使成立的的解集. 例1不等式的解集为（） A. B. C. D. 解： 因为，所以. 即 ， 解得： ， 所以，故选A. 类型二：形如型不等式 解法：将原不等式转化为以下不等式进行求解： 或 需要提醒一点的是，该类型的不等式容易错解为： 例2 不等式的解集为（） A． B. C． D. 解： 或 或，故选D 类型三：形如，型不等式，这类不等式如果用分类讨论的方法求解，显得比较繁琐，其简洁解法如下解法：把看成一个大于零的常数进行求解，即： ， 或 例3设函数，若，则的取值范围是 解： ，故填：. 类型四：形如型不等式 解法：可以利用两边平方，通过移项，使其转化为：“两式和”与“两式差”的积的方法进行，即： 例4不等式的解集为 解： 所以原不等式的解集为 类型五：形如型不等式 解法：先利用绝对值的定义进行判断，再进一步求解，即： ，无解 例5解关于的不等式 解： （1）当时，原不等式等价于： （2）当时，原不等式等价于： （3）当时，原不等式等价于： 或 或 综上所述 （1）当时，原不等式的解集为： （2）当时，原不等式的解集为： （3）当时，原不等式的解集为： 类型六：形如使恒成立型不等式. 解法：利用和差关系式：，结合极端性原理 即可解得，即： ； ； 例6不等式对任意的实数恒成立，则实数a 的取值范围是（） A． B. C. D. 解： 设函数 所以 而不等式对任意的实数恒成立 故，故选择A 类型七：形如 ， ， 1、解法：对于解含有多个绝对值项的不等式，常采用零点分段法，根据绝对值的定义分段去掉绝对值号，最后把各种情况综合得出答案，其步骤是：找出零点，确定分段区间；分段求解，确定各段解 常见的七种含有绝对值的不等式的解法 类型一：形如)()(,)(R a a x f a x f ∈><型不等式 解法:根据a 的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类型的解题基础. 1、当0>a 时， a x f a a x f <<-?<)()( a x f a x f >?>)()(或a x f -<)( 2、当0=a a x f <)(，无解 ?>a x f )(使0)(≠x f 的解集 3、当0a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集. 例1 不等式22<-x x 的解集为（ ） A.)2,1(- B.)1,1(- C.)1,2(- D.)2,2(- 解： 因为 22<-x x ， 所以 222<-<-x x . 即 ?????<-->+-0 20222x x x x ， 解得： ???<<-∈2 1x R x ， 所以 )2,1(-∈x ，故选A. 高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法 类型一：形如)()(,)(R a a x f a x f ∈><型不等式 解法:根据a 的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类型的解题基础. 1、当0>a 时， a x f a a x f <<-?<)()( a x f a x f >?>)()(或a x f -<)( 2、当0=a a x f <)(，无解 ?>a x f )(使0)(≠x f 的解集 3、当0a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集. 例1 （2008年四川高考文科卷）不等式22<-x x 的解集为（ ） A.)2,1(- B.)1,1(- C.)1,2(- D.)2,2(- 解： 因为 22<-x x ， 所以 222<-<-x x . 即 ?????<-->+-02 222x x x x ， 解得： ? ??<<-∈21x R x ， 所以 )2,1(-∈x ，故选A. 第1节绝对值不等式 最新考纲 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a. 知识梳理 1.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x| 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.() (2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为?.() (3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立.() (4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.() (5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.() 答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√ 2.不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是() A.(－∞，4) B.(－∞，1) C.(1，4) D.(1，5) 解析①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2， ∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1. ②当1 绝对值不等式 1．(2015·山东卷)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( ) A ．(－∞，4) B ．(－∞，1) C ．(1,4) D ．(1,5) 解析 当x ≤1时，不等式可化为(1－x )－(5－x )<2，即－4<2，满足题意； 当1 解析 ∵|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1| ＝(|1－x |＋|x |)＋(|1－y |＋|1＋y |) ≥|(1－x )＋x |＋|(1－y )＋(1＋y )|＝1＋2＝3， 当且仅当(1－x )·x ≥0，(1－y )·(1＋y )≥0，即0≤x ≤1，－1≤y ≤1时取等号， ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3。 答案 C 4．(2015·重庆卷)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________。 解析 当a ≤－1时， f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |＝????? －3x ＋2a －1，x －1， 所以f (x )在(－∞，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增， 则f (x )在x ＝a 处取得最小值f (a )＝－a －1， 由－a －1＝5得a ＝－6，符合a ≤－1； 当a >－1时， f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a | ＝????? －3x ＋2a －1，x <－1，－x ＋2a ＋1，－1≤x ≤a ， 3x －2a ＋1，x >a 。 所以f (x )在(－∞，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增， 则f (x )在x ＝a 处取最小值f (a )＝a ＋1， 由a ＋1＝5，得a ＝4，符合a >－1。 综上，实数a 的值为－6或4。 答案 －6或4 1、(长葛市第三实验高中2012届高三数学调研) 已知函数()|2|,()|3|.f x x g x x m =-=-++ （1）解关于x 的不等式()10()f x a a R +->∈； （2）若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求m 的取值范围。 【解析】（1）不等式()10f x a +->，即210x a -+->。 当1a =时，不等式的解集是(,2)(2,)-∞+∞ ； 当1a >时，不等式的解集为R ； 当1a <时，即21x a ->-，即21x a -<-或者21x a ->-，即1x a <+或者3x a >-，解集为(,1)(3,)a a -∞+-+∞ 。 （5分） （2）函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，即23x x m ->-++对任意实数x 恒成立。即23x x m -++>对任意实数x 恒成立。 由于23(2)(3)5x x x x -++≥--+=，故只要5m <。 所以m 的取值范围是(,5)-∞。 2、（濮阳市华龙区高级中学2012届高三数学上学期摸底） 3、（哈尔滨市第六中学2011届高三数学第三次模拟） 若关于x 的方程 243x x a a -++-=0有实根 （1）求实数a 的取值集合A （2）若存在a A ∈，使得不等式22120t a t -+<成立，求实数t 的取值范围。 （1）0)3(416≥-+-=?a a 即 27 21≤≤-a 所以 ??? ??? -=27,21 A ---------5分 （2）令212)(t t a a f ++-= 即 0)(m in 第3课时 含绝对值的不等式的解法 一．课题：含绝对值的不等式的解法 二．教学目标：掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法． 三．教学重点：解含绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次 （二次）不等式（组），难点是含绝对值不等式与其它内容的综合问题及求解 过程中，集合间的交、并等各种运算． 四．教学过程： （一）主要知识： 1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2．当0c >时，||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-，||ax b c c ax b c +?∈，||ax b c x φ+?-<<，|| (0)x a a x a >>?>或x a <-． （2）定义法：零点分段法； （3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方． （三）例题分析： 例1．解下列不等式： （1）4|23|7x <-≤；（2）|2||1|x x -<+；（3）|21||2|4x x ++->． 解：（1）原不等式可化为4237x <-≤或7234x -≤-<-，∴原不等式解集为 17[2,)(,5]22 -- ． （2）原不等式可化为22(2)(1)x x -<+，即12x >，∴原不等式解集为1[,)2+∞． （3）当12x ≤- 时，原不等式可化为2124x x --+->，∴1x <-，此时1x <-； 当122 x -<<时，原不等式可化为2124x x ++->，∴1x >，此时12x <<； 当2x ≥时，原不等式可化为2124x x ++->，∴53 x >，此时2x ≥． 综上可得：原不等式的解集为(,1)(1,)-∞-+∞ ． 例2．（1）对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是(,3)-∞； （2）对任意实数x ，|1||3|x x a --+<恒成立，则a 的取值范围是(4,)+∞． 解：（1）可由绝对值的几何意义或|1||2|y x x =++-的图象或者绝对值不等式的性质|1||2||1||2||12|3x x x x x x ++-=++-≥++-=得|1||2|3x x ++-≥，∴3a <； （2）与（1）同理可得|1||3|4x x --+≤，∴4a >． 例3．设0,0a b >>，解关于x 的不等式：|2|ax bx -≥． 解：原不等式可化为2ax bx -≥或2ax bx -≤-，即()2a b x -≥①或 线性规划、绝对值不等式专题 1.简单的线性规划： （1）二元一次不等式表示的平面区域：①用特殊点判断不等式表示的区域,当直线不过原点时，把（0,0）代入不等式，若不等式成立，则为原点所在区域，反之。若直线过原点，则用轴上的点来判断。②无等号时用虚线表示不包含直线l ，有等号时用实线表示包含直线l ；③设点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，若11Ax By C ++与22Ax By C ++同号，则P ，Q 在直线l 的同侧，异号则在直线l 的异侧。 （2）线性规划问题中的有关概念： ①满足关于,x y 的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件。 ②关于变量,x y 的解析式叫目标函数，关于变量,x y 一次式的目标函数叫线性目标函数； ③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题； ④满足线性约束条件的解（,x y ）叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域； ⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解； 注：对于目标函数by ax Z +=，当0>b 时，向上移动取得最大值；当0 含绝对值不等式教学反思 “含绝对值不等式的解法”本节课采用目标导向教学法，在整个教学中以实现目标为核心，启发引导学生观察思考、分析，并沿着积极的思维方向，逐步达到即定的教学目标，发展学生的逻辑思维能力，使学生在教师营造的"可探索"的环境里，积极参与，主动地获取知识。以下是我对本次教学的感受和反思： 一、导标、导学 教学过程中我将教材内容进行整合：首先，让学生回顾初中相关内容—绝对值的意义和两个重要性质，然后教师以目标导向教学法为主线，精心准备了几种不同类型的绝对值不等式，引导学生大体了解本课所要学习的内容和知识掌握的程度，让学生从以往所学知识中探索解决的方法。在学生思维发生困难时，教师适当的加以指导，引导他们利用绝对值的代数意义和几何意义，结合数形结合的数学思想去考虑问题。从效果上看，由于学生层次的差异，对仅含一个绝对值的不等式基本能找到多种解决方法，但对于有两个绝对值的情况，大多数学生无从下手。在今后的教学中要注意梯度的设计，跨度不要太大，要贴近学生。 二、导评 这个过程中，教师主要体现对思维和方法的落实上.思维上,就是让学生落实”转化”二字;方法上,就是让学生落实两种方法;第一种方法是通过绝对值的意义去掉绝对值符号,第二种方法通过整体代换,简化不等式的解法,这方面处理的比较好。本节应加强绝对值几何意义教学,提高数型结合的能力. 三、导练、导结 在设计练习这一环节上，教师将要求分成了两个层次，一是在原有例题的基础上做了些改动，让学生能在模仿的基础上，及时将知识内化为能力。二是例举了海南，广东近两年的高考真题，让学生感受高考的能力要求。 小结部分由学生来陈述，教师点评与补充，加强了学生对本节课内容的理解。 张志强 第三讲 含绝对值不等式与一元二次不等式 一、知识点回顾 1、绝对值的意义：（其几何意义是数轴的点A （a ）离开原点的距离a OA =） ()()()?? ? ??<-=>=0,0,00,a a a a a a 2、含有绝对值不等式的解法：（解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号） （1）定义法； （2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式； （3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如()()x g x f <）； （4）图象法或数形结合法； （5）不等式同解变形原理：即 ()a x a a a x <<-?><0 ()a x a x a a x -<>?>>或0 ()c b ax c c c b ax <+<-?><+0 ()c b ax c b ax c c b ax -<+>+?>>+或0 ()()()()()x g x f x g x g x f <<-?< ()()()()()()x g x f x g x f x g x f <>?>或 ()()()()a x f b b x f a a b b x f a -<<-<><<或0 3、不等式的解集都要用集合形式表示，不要使用不等式的形式。 4、二次函数、一元二次方程、一元两次不等式的联系。（见P8） 5、利用二次函数图象的直观性来研究一元二次方程根的性质和一元二次不等式解集及变化，以及含字母的有关问题的讨论，渗透数形结合思想。 6、解一元二次不等式的步骤： （1）将不等式化为标准形式()002≥>++c bx ax 或()002≤<++c bx ax (2)解方程02=++c bx ax (3)据二次函数c bx ax y ++=2的图象写出二次不等式的解集。 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。 （一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识： 1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时，不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是{ } a x a x <<-; 当0的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。 温馨提示： 高考题库为Word 版，请按住Ctrl ，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。 【考点35】绝对值不等式 2009年考题 1、（2009全国Ⅰ）不等式11 X X +-＜1的解集为（ ）（A ）｛x }}01{1x x x ???U (B){}01x x ??（C ）{}10x x -?? (D){}0x x ? 【解析】选D. 0040)1()1(|1||1|11122 或③12(21)(2)0 x x x ?≤???--+-解得 又0,x x <∴Q 不存在; 当102x ≤<时,原不等式可化为211,0x x x -+<+>解得 又110,0;22 x x ≤<∴< 绝对值不等式中的含参问题 在高中数学中，绝对值不等式的求解及含参问题是高考中不等式选讲部分重要的考点，面对诸多的含参问题，我们来对这些类型的题目作以梳理。绝对值不等式的核心是去掉绝对值符号，将它转化为一般不等式加以解决。 一、绝对值的最值问题 1、当绝对值中的系数相同时。 运用三角不等式： 例1：求函数的最值 解：，函数的最小值为1。 例2：求函数的最值 解：，即得到，函数的最小值为，最大值为2。 2、当绝对值中的系数不相同时。 ①零点分段，②写出分段函数，③画草图（或直接由直线的上升与下降判断最高或最低处），在分界点处求最值。 例：求函数的最值 解：当即， 即， 当。 则有 画出草图，或者由每一段的单调性判断直线的上升或者下降，图像从左往右先降，再降，后升，在处，函数取得最小值3。 二、求绝对值中的参数范围 1、恒成立问题 例1：对一切恒成立，求a的取值范围。 析：先求函数的最小值， 解：由，得=，则。 例2：对于 恒成立，求t的取值范围。 析：先求函数的最大值，再解 二次不等式。 解：由于 当即 当即 则有f(x)= 画出草图，或者由每一段的单调性判断直线的上升或者下降，图像在范围内，在处，函数取得最大值，即。则，解得 。 2、存在问题 例1：若存在实数x,使成立，求a的取值范围。 析：先求函数的最大值，再。 解：，即得到，函数的最大值为2，即，则 例2：若存在实数x,使，求a的取值范围。 析：先求的最小值，再。 解： , 。则，得。 例3：设函数，若存在，使成立，求实数a的取值范围。 析：先求的最小值，再。 解：①若，即 当即 当即 当即 则 得，则有，得。 ②若，即 当即 当即 当即 含绝对值的不等式高考试题汇编 1、不等式1 11x x +<-的解集为( ) A ．{}{}011x x x x < B. {}01x x << C. {}10x x -<< D. {}0x x < 2、不等式22x x -<的解集为( ) A ．(1,2)- B. (1,1)- C. (2,1)- D. (2,2)- 3、不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,1][4,)-∞-?+∞ B. (,2][5,)-∞-?+∞ C. [1,2] D. (,1][2,)-∞?+∞ 4、不等式2120x x ---<的解集为____________ 5、设函数()213f x x x =-++，则(2)f -=____________； 若()5f x ≤，则x 的取值范围是____________ 6、211x x --<的解集是____________ 7、使不等式a x x <-+-34有解的a 的取值范围是____________ 8、解不等式2321-->+x x 9、解不等式323≥--+x x 10、设函数()1f x x x a =-+- （Ⅰ）若1a =-，解不等式()3f x ≥ （Ⅱ）如果x R ?∈,()2f x ≥，求a 的取值范围。 11、已知函数()84f x x x =--- （Ⅰ）作出函数()y f x =的图像； （Ⅱ）解不等式842x x ---> 12、设函数()214f x x x =+-- （Ⅰ）解不等式()2f x > （Ⅱ）求函数()y f x =的最小值. 13、解不等式211x x -<+ 专题14.1 绝对值不等式1.(2020·湖南省浏阳模拟)(1)求不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集； (2)若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为{x|－5 3 7．(2020·河北省石家庄精英中学模拟)已知函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ∈R . (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋|2x ＋1|的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 8．(2020·山西省晋城市二中模拟)已知函数f (x )＝|x －1|. (1)求不等式|2x －3|－f (x )≥3的解集； (2)若∈x ∈R ，f (x )＋5＞|x －a |，求实数a 的取值范围． 专题14.1 绝对值不等式 1.(2020·湖南省浏阳模拟)(1)求不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集； (2)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为{x |－53高考数学经典专题：绝对值不等式含参数成立问题(含详解答案)
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