卡尔曼滤波计算举例
卡尔曼滤波 公式
卡尔曼滤波公式
卡尔曼滤波是一种用于估计状态变量的数学算法，广泛应用于各种领域，如航空航天、无人驾驶、机器人等。
以下是卡尔曼滤波的公式：
1.状态预测方程：
x[k|k-1] = A[k|k-1] * x[k-1|k-1] + B[k|k-1] * u[k]
其中，x[k|k-1]表示在时间k对时间k-1的状态预测，A[k|k-1]是状态转移矩阵，B[k|k-1]是控制矩阵，u[k]是控制向量。
2.测量更新方程：
z[k|k] = H[k|k] * x[k|k] + v[k]
其中，z[k|k]表示在时间k对时间k的测量更新，H[k|k]是量测矩阵，v[k]是测量噪声。
3.协方差预测方程：
P[k|k-1] = A[k|k-1] * P[k-1|k-1] * A[k|k-1]' + Q
其中，P[k|k-1]表示在时间k对时间k-1的协方差预测，Q是过程噪声协方差。
4.协方差更新方程：
P[k|k] = (I - K[k] * H[k|k]) * P[k|k-1]
其中，P[k|k]表示在时间k对时间k的协方差更新，K[k]是卡尔曼增益矩阵。
5.卡尔曼增益计算：
K[k] = P[k|k-1] * H[k|k]' / (H[k|k] * P[k|k-1] * H[k|k]' + R)
其中，R是测量噪声协方差。
卡尔曼滤波五个公式推导过程
卡尔曼滤波五个公式推导过程1.系统的状态方程假设我们有一个线性动态系统，可以用如下的状态方程来描述：x(k)=Ax(k-1)+Bu(k-1)+w(k-1)其中，x(k)表示系统在时刻k的状态向量，A是系统的状态转移矩阵，B是输入变量矩阵，u(k-1)是输入变量向量，w(k-1)是过程噪声。
2.系统的测量方程假设我们的系统是通过一些传感器进行测量的，测量结果表示为：z(k)=Hx(k)+v(k)其中，z(k)是系统的测量向量，H是观测矩阵，v(k)是测量噪声。
3.状态估计的预测根据系统的状态方程，我们可以预测系统在下一个时刻的状态。
预测的结果表示为：x^(k)=Ax(k-1)+Bu(k-1)其中，x^(k)表示状态的预测向量。
4.测量更新在得到测量结果后，我们可以根据测量更新系统的状态估计。
计算出的状态估计称为卡尔曼增益。
卡尔曼增益的计算公式如下：K(k)=P^(k)H^T(HP^(k)H^T+R)^-1其中，P^(k)是状态协方差的预测值，R是测量噪声的协方差。
5.状态估计的更新通过卡尔曼增益，我们可以计算出最终的状态估计。
状态估计的更新公式如下：x(k)=x^(k)+K(k)(z(k)-Hx^(k))P(k)=(I-K(k)H)P^(k)其中，I是单位矩阵，P(k)是状态协方差的最优估计。
以上就是卡尔曼滤波的五个公式的推导过程。
通过这五个公式，我们可以根据系统的状态方程和测量方程，利用预测和更新步骤，得到最优的状态估计结果。
卡尔曼滤波在各个领域都有广泛的应用，如目标跟踪、定位导航等。
卡尔曼滤波器的五个公式
卡尔曼滤波器的五个公式
卡尔曼滤波器（Kalman Filter）的五个公式如下：
1. 预测状态：
x̂_k = F_k * x̂_k-1 + B_k * u_k
其中，x̂_k为当前时刻k的状态估计值，F_k为状态转移矩阵，x̂_k-1为上一时刻k-1的状态估计值，B_k为外部输入矩阵，u_k为外部输入。
2. 预测误差协方差：
P_k = F_k * P_k-1 * F_k^T + Q_k
其中，P_k为当前时刻k的状态估计误差协方差矩阵，P_k-1为上一时刻k-1的状态估计误差协方差矩阵，Q_k为系统过程噪声的协方差矩阵。
3. 计算卡尔曼增益：
K_k = P_k * H_k^T * (H_k * P_k * H_k^T + R_k)^-1
其中，K_k为当前时刻k的卡尔曼增益矩阵，H_k为观测矩阵，R_k为观测噪声的协方差矩阵。
4. 更新状态估计值：
x̂_k = x̂_k + K_k * (z_k - H_k * x̂_k)
其中，z_k为当前时刻k的观测值。
5. 更新状态估计误差协方差：
P_k = (I - K_k * H_k) * P_k
其中，I为单位矩阵。
卡尔曼滤波计算举例全
卡尔曼滤波计算举例⏹计算举例⏹卡尔曼滤波器特性假设有一个标量系统，信号与观测模型为[1][][]x k ax k n k +=+[][][]z k x k w k =+其中a 为常数，n [k ]和w [k ]是不相关的零均值白噪声，方差分别为和。
系统的起始变量x [0]为随机变量，其均值为零，方差为。
2nσ2σ[0]x P （1）求估计x [k ]的卡尔曼滤波算法；（2）当时的卡尔曼滤波增益和滤波误差方差。
220.9,1,10,[0]10nx a P =σ=σ==1. 计算举例根据卡尔曼算法，预测方程为:ˆˆ[/1][1/1]xk k ax k k -=--预测误差方差为:22[/1][1/1]x x nP k k a P k k -=--+σ卡尔曼增益为:()1222222[][/1][/1][1/1][1/1]x x x nx n K k P k k P k k a P k k a P k k -=--+σ--+σ=--+σ+σˆˆˆ[/][/1][]([][/1])ˆˆ[1/1][]([][1/1])ˆ(1[])[1/1][][]xk k x k k K k z k x k k axk k K k z k ax k k a K k xk k K k z k =-+--=--+---=---+滤波方程:()()2222222222222[/](1[])[/1][1/1]1[1/1][1/1][1/1][1/1]x x x nx n x n x nx nP k k K k P k k a P k k a P k k a P k k a P k k a P k k =--⎛⎫--+σ=---+σ ⎪--+σ+σ⎝⎭σ--+σ=--+σ+σ滤波误差方差起始：ˆ[0/0]0x=[0/0][0]x x P P =k [/1]x P k k -[/]x P k k []K k 012345689104.76443.27012.67342.27652.21422.18362.16832.16089.104.85923.64883.16542.94752.84402.79352.76870.47360.32700.26730.24040.22770.22140.21840.2168ˆ[0/0]0x=[0/0]10x P =220.9110na =σ=σ=2. 卡尔曼滤波器的特性从以上计算公式和计算结果可以看出卡尔曼滤波器的一些特性：（1）滤波误差方差的上限取决于测量噪声的方差，即()2222222[1/1][/][1/1]x nx x na P k k P k k a P k k σ--+σ=≤σ--+σ+σ2[/]x P k k ≤σ这是因为（2）预测误差方差总是大于等于扰动噪声的方差，即2[/1]x nP k k -≥σ这是因为222[/1][1/1]x x n nP k k a P k k -=--+σ≥σ（3）卡尔曼增益满足，随着k 的增加趋于一个稳定值。
卡尔曼滤波器例题
卡尔曼滤波器是一种递归滤波器，它使用测量数据和系统状态方程来估计一个动态系统的状态。
下面是一个简单的卡尔曼滤波器例题：假设我们有一个一维系统，其状态方程为：X(k) = X(k-1) + 1其中X(k) 表示系统在时刻k 的状态，X(k-1) 表示系统在时刻k-1 的状态。
测量方程为：Z(k) = X(k) + 2 * R * randn()其中Z(k) 表示在时刻k 的测量值，R 表示测量噪声的方差，randn() 表示随机数生成函数，用于生成符合标准正态分布的随机噪声。
现在，我们使用卡尔曼滤波器来估计系统在时刻k 的状态X(k)。
在卡尔曼滤波器中，我们需要定义以下几个变量：P(k|k-1)：表示在时刻k-1 时对时刻k 的状态估计的不确定性。
K(k)：表示卡尔曼增益，用于将测量值和估计值结合起来。
P(k)：表示在时刻k 时对状态估计的不确定性。
X(k)：表示在时刻k 的状态估计值。
在初始状态下，我们设定X(0|0)=0 和P(0|0)=1。
然后，我们使用以下递归公式来更新这些变量：P(k|k-1) = P(k-1|k-1) + Q，其中Q 表示过程噪声的方差。
K(k) = P(k|k-1) / (P(k|k-1) + R)，其中R 表示测量噪声的方差。
X(k) = X(k|k-1) + K(k) * (Z(k) - X(k|k-1))，其中Z(k) 是测量值。
P(k) = (1 - K(k)) * P(k|k-1)。
下面是一个使用Python 实现的卡尔曼滤波器示例代码：import numpy as npfrom scipy.linalg import inv# 定义系统参数和测量参数Q = 0.01 # 过程噪声方差R = 0.25 # 测量噪声方差X_true = np.arange(1, 10) # 真实状态序列Z_measured = X_true + 2 * R * np.random.randn(len(X_true)) # 测量序列# 初始化卡尔曼滤波器参数X_est = np.zeros_like(X_true) # 初始状态估计值P_est = np.ones_like(X_true) # 初始状态估计的不确定性X_est[0] = X_true[0] # 初始状态估计值为真实值P_est[0] = 1 # 初始不确定性设为1K = np.zeros_like(X_true) # 卡尔曼增益数组for k in range(1, len(X_true)):# 预测步骤：根据上一时刻的状态和过程方程预测当前时刻的状态和不确定性P_est[k] = P_est[k-1] + Q # P预测= P上一时刻+ QX_est[k] = X_est[k-1] + 1 # X预测= X上一时刻+ 1# 更新步骤：根据当前时刻的测量值和卡尔曼增益更新状态估计和不确定性K[k] = P_est[k] / (P_est[k] + R) # 卡尔曼增益计算公式X_est[k] = X_est[k] + K[k] * (Z_measured[k] - X_est[k]) # 状态估计更新公式P_est[k] = (1 - K[k]) * P_est[k] # 不确定性更新公式。
卡尔曼滤波详解一维卡尔曼滤波实例解析(五个公式以及各个参数的意义)
卡尔曼滤波详解一维卡尔曼滤波实例解析（五个公式以及各个参数的意义）一、问题描述假设我们有一个一维系统，我们想要估计这个系统的状态x。
我们可以通过一维传感器获得关于这个系统的观测z，但是这个观测会存在误差。
二、基本原理三、基本公式1.状态预测：我们首先假设系统可以通过一个线性方程来描述：x(k)=Ax(k-1)+B(u(k))+w(k)，其中x(k)代表系统在时刻k的真实状态，A是系统的状态转移矩阵，B是外部输入的影响矩阵，u(k)是外部输入，w(k)是系统状态预测过程中的噪声。
2.状态协方差预测：卡尔曼滤波同时也需要估计状态的不确定性，即状态协方差。
协方差可以通过以下公式进行预测：P(k)=AP(k-1)A^T+Q(k-1)，其中P(k)代表状态协方差矩阵，Q(k-1)是协方差预测过程中的噪声。
3.观测预测：将状态的估计值带入观测模型中，可以预测观测值：z^(k)=Hx^(k)，其中z^(k)代表预测的观测值，x^(k)代表状态的估计值，H是观测模型矩阵。
4.观测残差：观测残差即观测值与预测观测值之间的差异：y(k)=z(k)-z^(k)，其中y(k)代表观测残差。
5.状态更新：基于观测残差，我们可以通过以下公式更新状态的估计值：x(k)=x^(k)+K(k)y(k)，其中K(k)代表卡尔曼增益。
卡尔曼增益可以通过以下公式计算：K(k)=P(k)H^T(HP(k)H^T+R)^-1，其中R为观测噪声的方差。
四、参数含义1.状态转移矩阵A：描述系统状态k与状态k-1之间的转移关系。
2.外部输入矩阵B：外部输入对系统状态的影响矩阵。
3.外部输入u(k)：外部输入，可以是控制信号或者测量噪声。
4.状态预测噪声w(k)：在状态预测过程中引入的噪声。
5.状态协方差矩阵P：表示状态估计的不确定性，协方差矩阵的对角线上的元素越大，状态的不确定性越大。
6.状态协方差预测噪声Q(k)：在状态协方差预测过程中引入的噪声。
卡尔曼滤波五个公式推导过程
卡尔曼滤波五个公式推导过程卡尔曼滤波（Kalman Filter）是一种用于估计动态系统状态的最优估计算法。
它能够根据系统的测量和先验信息来动态地更新状态估计，并具有较好的性能和鲁棒性。
卡尔曼滤波算法可分为两个主要步骤：预测和更新。
预测步骤基于系统的动态模型进行状态的预测，更新步骤则利用观测数据对状态进行修正。
下面将分别推导卡尔曼滤波的五个公式。
1.状态预测（状态转移方程）：在卡尔曼滤波中，状态是由有限个变量组成的向量，通常表示为x。
状态转移方程描述了状态在连续时间下的变化过程。
假设我们有以下状态转移方程：x(k+1)=F(k)*x(k)+B(k)*u(k)+w(k)其中，x(k+1)表示在时间步k+1时刻的状态；F(k)是状态转移矩阵，描述状态在相邻时间步之间的线性变化关系；B(k)是控制矩阵，描述外部控制输入u(k)如何影响状态的变化；w(k)是零均值高斯白噪声，描述状态转移的不确定性。
2.预测协方差（状态预测协方差）：预测协方差描述了状态估计在预测步骤中的不确定性。
根据状态转移方程，我们可以将预测协方差表示为：P(k+1，k)=F(k)*P(k)*F(k)^T+Q(k)其中，P(k+1，k)表示在时间步k+1时刻的预测协方差；P(k)是在时间步k时刻的状态协方差；Q(k)是过程噪声协方差矩阵，表示状态转移的不确定性。
3.更新卡尔曼增益（卡尔曼增益）：更新卡尔曼增益描述了如何将观测数据用于修正状态估计。
卡尔曼增益由观测模型和预测协方差计算得出，可以表示为：K(k+1)=P(k+1，k)*H(k+1)^T*(H(k+1)*P(k+1，k)*H(k+1)^T+R(k+1))^(-1)其中，K(k+1)表示在时间步k+1时刻的卡尔曼增益；H(k+1)是观测矩阵，描述观测数据与状态之间的线性关系；R(k+1)是观测噪声协方差矩阵，描述观测数据的不确定性。
4.状态更新（状态更新方程）：状态更新方程用于根据观测数据修正状态估计。
卡尔曼滤波算法原理及应用
卡尔曼滤波算法原理及应⽤卡尔曼滤波是⼀种⾼效率的递归滤波器，它能够从⼀系列的不完全及包含噪声的测量中，估计动态系统的状态。
卡尔曼滤波在技术领域有许多的应⽤，常见的有飞机及太空船的导引、导航及控制。
卡尔曼算法主要可以分为两个步骤进⾏：预测和更新。
基于最⼩均⽅误差为最佳估计准则，利⽤上⼀时刻的估计值和状态转移矩阵进⾏预测，⽤测量值对预测值进⾏修正，得到当前时刻的估计值。
卡尔曼算法公式预测：1. ˆs(n |n −1)=A ˆs (n −1|n −1)2. P (n )=A ξ(n −1)A T +Q 更新：3. G (n )=P (n )C T [CP (n )C T +R ]−14. ξ(n )=(I −G (n )C )P (n )5. ˆs(n |n )=ˆs (n |n −1)+G (n )[x (n )−C ˆs (n |n −1)]利⽤上⾯五个式⼦可以递推得到状态的估计值ˆs (n |n )。
⽂章的组织如下：1.基本模型及假设2.卡尔曼算法原理及推导3.卡尔曼滤波算法举例4.Matlab 程序1.基本模型与假设状态⽅程（描述物体运动状态）s (n )=As (n −1)+w (n )测量⽅程（利⽤探测器等器件获取物体状态参数）x (n )=Cs (n )+v (n )其中w (n )为过程噪声，v (n )为测量噪声。
假设：w (n )，v (n )，为独⽴零均值的⽩噪声过程，即E [w (n )w T (k )]=Q (n ),n =k 0,n ≠k E [v (n )v T (k )]=R (n ),n =k 0,n ≠kv (n )和s (n )、w (n )不相关，即E [v (n )s (n )]=0E [v (n )w (n )]=02.卡尔曼算法原理及推导基于最⼩均⽅误差准则，通过观测值x (n )求真实信号s (n )的线性⽆偏最优估计。
已知上⼀时刻的估计值ˆs(n −1|n −1)利⽤状态⽅程对s (n )进⾏预测，最佳预测为{{ˆs(n|n−1)=Aˆs(n−1|n−1)利⽤测量⽅程对x(n)进⾏预测，最佳预测为ˆx(n|n−1)=Cˆs(n|n−1)=CAˆs(n−1|n−1)噪声不参与预测。
卡尔曼滤波算法含详细推导
x (n) x (n 1 y(1),...,y(n)) W (k ) (k )
1
def
n
式中W1(k)表示与一步预测项对应的权矩阵，且k为离散时间。 现在的问题是如何确定这个权矩阵？ （1）、状态向量的一布预测 根据正交性原理，最优预测的估计误差
k 1
1
e(n 1, n) x(n 1) x1 (n 1)
1、kalman滤波问题
E{v1 (n)v (k )}
H 1
Q1 ( n),nk 0,nk
......( 3)
......(4)
E{v2 (n)v (k )}
H 2
Q2 ( n ),nk 0,n k
1、kalman滤波问题
还假设状态的初始值x(0)与v1(n) 、 v2(n)， n 0均不相关，并且噪声向量v1(n)与 v2(n)也不相关，既有：
2新息过程将此式代入式13则有在新息过程的相关矩阵定义式10中代入式14并注意到观测矩阵cn是一已知的确定矩阵故有式中q2n是观测噪声v2n的相关矩阵而表示一步预测状态误差的相关矩阵由上一节的的新息过程的相关知识和信息后即可转入kalman滤波算法的核心问题的讨论
卡尔曼滤波算法及 推导
1、kalman滤波问题
e(n 1, n) F (n 1, n)[x(n) x1 (n)] G (n)[ y (n) C (n) x1 (n)] v1 (n)
将观测方程(2)代入上式，并代入 e(n,n - 1) x(n) x1 (n) ，则有：
e(n 1, n) [ F (n 1, n) G(n)C (n)]e(n,n 1) v1 (n) G(n)v2 (n)......... .........( 30)
一个应用实例详解卡尔曼滤波及其算法实现 - OUYANG_LINUX007的专栏 - 博客频道 - CSDN
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 还有下面一个 Matlab源程序，显示效果更好。 clear clc; N=300; CON = 25;%房间温度，假定温度是恒定的 %%%%%%%%%%%%%%%kalman filter%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% x = zeros(1,N); y = 2^0.5 * randn(1,N) + CON;%加过程噪声的状态输出 x(1) = 1; p = 10; Q = cov(randn(1,N));%过程噪声协方差 R = cov(randn(1,N));%观测噪声协方差 for k = 2 : N
出的2.35就是进入 k+1时刻以后k时刻估算出的最优温度值的偏差（对应于上面的 3）。 就是这样，卡尔曼滤波器就不断的把 covariance递归，从而估算出最优的温度值。 他运行的很快，而且它只保留了上一时刻的covariance。上面的Kg，就是卡尔曼增 益（Kalman Gain）。他可以随不同的时刻而改变他自己的值，是不是很神奇！ 下面就要言归正传，讨论真正工程系统上的卡尔曼。 3． 卡尔曼滤波器算法 （The Kalman Filter Algorithm） 在这一部分，我们就来描述源于Dr Kalman 的卡尔曼滤波器。下面的描述，会涉及 一些基本的概念知识，包括概率（Probability），随即变量（Random Variable）， 高斯或正态分配（Gaussian Distribution）还有Statespace Model等等。但对于卡 尔曼滤波器的详细证明，这里不能一一描述。 首先，我们先要引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微分方程 （Linear Stochastic Difference equation）来描述： X(k)=A X(k1)+B U(k)+W(k) 再加上系统的测量值： Z(k)=H X(k)+V(k) 上两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。A和B是系统 参数，对于多模型系统，他们为矩阵。Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参 数，对于多测量系统，H为矩阵。W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。他们被 假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，他们的covariance 分别是Q，R（这里 我们假设他们不随系统状态变化而变化）。 对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤 波器是最优的信息处理器。下面我们来用他们结合他们的covariances 来估算系统 的最优化输出（类似上一节那个温度的例子）。 首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。假设现在的系统状态是 k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态： X(k|k1)=A X(k1|k1)+B U(k) ……….. (1) 式(1)中，X(k|k1)是利用上一状态预测的结果，X(k1|k1)是上一状态最优的结果， U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。
卡尔曼滤波算法示例解析与公式推导
本文将对卡尔曼滤波算法进行示例解析与公式推导，帮助读者更好地理解该算法的原理和应用。
文章将从以下几个方面展开：一、卡尔曼滤波算法的概念卡尔曼滤波算法是一种用于估计动态系统状态的线性无偏最优滤波算法。
它利用系统的动态模型和观测数据，通过迭代更新状态估计值，实现对系统状态的精确估计。
卡尔曼滤波算法最初是由美国工程师鲁道夫·卡尔曼在20世纪60年代提出，随后得到了广泛的应用和研究。
二、卡尔曼滤波算法的原理1. 状态空间模型在卡尔曼滤波算法中，系统的动态模型通常用状态空间模型表示。
状态空间模型由状态方程和观测方程组成，其中状态方程描述系统的演化规律，观测方程描述观测数据与状态之间的关系。
通过状态空间模型，可以对系统的状态进行预测，并与观测数据进行融合，从而估计系统的状态。
2. 卡尔曼滤波的预测与更新卡尔曼滤波算法以预测-更新的方式进行状态估计。
在预测阶段，利用系统的动态模型和之前时刻的状态估计值，对当前时刻的状态进行预测；在更新阶段，将预测值与观测数据进行融合，得到最优的状态估计值。
通过迭代更新，可以不断优化对系统状态的估计，实现对系统状态的精确跟踪。
三、卡尔曼滤波算法的示例解析以下通过一个简单的例子，对卡尔曼滤波算法进行具体的示例解析，帮助读者更好地理解该算法的应用过程。
假设有一个匀速直线运动的物体，其位置由x和y坐标表示，观测到的位置数据带有高斯噪声。
我们希望利用卡尔曼滤波算法对该物体的位置进行估计。
1. 状态空间模型的建立我们建立物体位置的状态空间模型。
假设物体在x和y方向上的位置分别由状态变量x和y表示，动态模型可以用如下状态方程描述：x(k+1) = x(k) + vx(k) * dty(k+1) = y(k) + vy(k) * dt其中，vx和vy分别为x和y方向的速度，dt表示时间间隔。
观测方程可以用如下形式表示：z(k) = H * x(k) + w(k)其中，z(k)为观测到的位置数据，H为观测矩阵，w(k)为观测噪声。
卡尔曼滤波详解
卡尔曼滤波详解卡尔曼滤波是一种常用的状态估计方法，它可以根据系统的动态模型和观测数据，对系统的状态进行估计。
卡尔曼滤波广泛应用于机器人导航、飞行控制、信号处理等领域。
本文将详细介绍卡尔曼滤波的原理、算法及应用。
一、卡尔曼滤波原理卡尔曼滤波的基本思想是利用系统的动态模型和观测数据，对系统的状态进行估计。
在卡尔曼滤波中，系统的状态被表示为一个向量，每个元素表示系统的某个特定状态量。
例如，一个机器人的状态向量可能包括机器人的位置、速度、方向等信息。
卡尔曼滤波的基本假设是系统的动态模型和观测数据都是线性的，而且存在噪声。
系统的动态模型可以表示为：x(t+1) = Ax(t) + Bu(t) + w(t)其中，x(t)表示系统在时刻t的状态向量，A是状态转移矩阵，B是控制矩阵，u(t)表示外部控制输入，w(t)表示系统的过程噪声。
观测数据可以表示为：z(t) = Hx(t) + v(t)其中，z(t)表示系统在时刻t的观测向量，H是观测矩阵，v(t)表示观测噪声。
卡尔曼滤波的目标是根据系统的动态模型和观测数据，估计系统的状态向量x(t)。
为了达到这个目标，卡尔曼滤波将状态估计分为两个阶段：预测和更新。
预测阶段：根据系统的动态模型，预测系统在下一个时刻的状态向量x(t+1)。
预测的过程可以表示为：x^(t+1|t) = Ax^(t|t) + Bu(t)其中，x^(t|t)表示在时刻t的状态向量的估计值，x^(t+1|t)表示在时刻t+1的状态向量的预测值。
卡尔曼滤波还需要对状态的不确定性进行估计，这个不确定性通常用协方差矩阵P(t)表示。
协方差矩阵P(t)表示状态向量估计值和真实值之间的差异程度。
预测阶段中，协方差矩阵也需要进行更新，更新的过程可以表示为：P(t+1|t) = AP(t|t)A' + Q其中，Q表示过程噪声的协方差矩阵。
更新阶段：根据观测数据，更新状态向量的估计值和协方差矩阵。
更新的过程可以表示为：K(t+1) = P(t+1|t)H'(HP(t+1|t)H' + R)^-1x^(t+1|t+1) = x^(t+1|t) + K(t+1)[z(t+1) - Hx^(t+1|t)]P(t+1|t+1) = (I - K(t+1)H)P(t+1|t)其中，K(t+1)表示卡尔曼增益，R表示观测噪声的协方差矩阵，I是单位矩阵。
卡尔曼滤波预测方程基础的计算过程
卡尔曼预测方程：不考虑控制信号对系统的影响，则该离散系统的方程为：11,1,=k k k k k k kk k k kk k x x H x v v ωω+++Φ+Γ=+公式里括号里的东西其实就是下标，为了看着方便改成下标状态方程：观测方程：z 其中、都是白噪声序列1,k k +Φ为状态矩阵，k H 为观测矩阵，1,k k +Γ为噪声的系数矩阵一堆公式推导之后得到结果如下1,/1/1/1+1/1,/11,1,/1/11//1/11,11=[](1)[](2)=[]T T k k k k k k k k k k k k k T T T k k k k k k k k k k k k k k k k k k T k k k k k k k k k k k k k K K K P H H P H R P P P P H H P H R H P x x x H x +---+-++--∧∧∧∧+--+--=Φ+ΦΦΦ+Φ+------------------------其中其中是估计值z 是最优增益矩阵是估计误差方差阵/11,1,1,(3)T T k k k k k k k k kQ -+++ΦΓΓ+-----------------其中[]Q []T T k k k k k k R E v v E w w ==、递推方程的具体计算步骤如下：1、 在0t 时刻给定初值0/0_000=(x )x x E m ∧∧==200/0_00{[]}x P P E x ∧==-2、 根据公式(2)计算0t 时刻的最优增益矩阵0K101,0000000[]T T K P H H P H R -Φ=+ 3、 根据公式(1)计算1x 的估计值1/0x ∧1/0001,0000[]x x K z H x ∧∧∧Φ=+-4、 根据公式(3)计算1/0P1,011/01,001,01,0000000001,01,00[]T T T T T P H H P P H P H R P Q -ΦΦΦΦ=-++ΓΓ5、 根据1/0P 计算1t 时刻的1K6、 根据1K 计算2x 的估计值2/1x重复以上步骤得到3/2/k 11/k 2/123/23/1,,,,,............,,,k k k k k P K x P K x P K x ∧∧∧-+-。
经典卡尔曼滤波算法公式
经典卡尔曼滤波算法公式卡尔曼滤波算法是一种用于估计系统状态的递归滤波器，被广泛应用于控制系统、定位导航等领域。
本文将介绍卡尔曼滤波算法的经典公式及其推导过程。
1.卡尔曼滤波算法介绍卡尔曼滤波算法以观测数据和系统模型为输入，通过递归地计算系统状态的最优估计值，并通过观测数据进行修正，得到真实状态的估计。
卡尔曼滤波算法基于以下两个假设：1)系统模型是线性的；2)系统噪声和观测噪声均为高斯分布。
2.卡尔曼滤波的数学模型假设我们的系统模型可以用如下状态方程表示：x(t+1)=A*x(t)+B*u(t)+w(t)---(1)其中，x(t)表示系统状态向量，u(t)表示控制输入向量，A是状态转移矩阵，B是输入矩阵，w(t)是状态噪声。
观测模型可以表示为：z(t)=H*x(t)+v(t)---(2)其中，z(t)是观测向量，H是观测矩阵，v(t)是观测噪声。
3.卡尔曼滤波算法的预测步骤预测步骤用于根据上一时刻的状态估计和控制输入，预测当前时刻系统的状态估计和协方差估计。
预测状态估计：x^(t)=A*x(t-1)+B*u(t-1)---(3)预测协方差估计：P^(t)=A*P(t-1)*A'+Q---(4)其中，x^(t)是预测的状态估计值，P^(t)是预测的协方差估计矩阵，Q是系统噪声的协方差矩阵。
4.卡尔曼滤波算法的更新步骤更新步骤利用观测数据来修正预测得到的状态估计。
计算卡尔曼增益：K(t)=P^(t)*H'*(H*P^(t)*H'+R)^(-1)---(5)其中，K(t)是卡尔曼增益，R是观测噪声的协方差矩阵。
更新状态估计：x(t)=x^(t)+K(t)*(z(t)-H*x^(t))---(6)更新协方差估计：P(t)=(I-K(t)*H)*P^(t)---(7)其中，I是单位矩阵。
卡尔曼滤波算法的核心思想在于将多个时刻的信息进行融合，利用过去的状态估计和当前的观测数据来最优估计当前时刻的系统状态。
卡尔曼滤波算法(含详细推导)
还假设状态的初始值x(0)与v1(n) 、 v2 (n)，n 0均不相关，并且噪声向量 v1(n)与v2(n)也不相关，既有：
H E { v ( n ) v ( k )} 0 , n , k ......( 5 ) 1 2
2、新息过程Leabharlann 考虑一步预测问题，给定观测值y(1), ...，y(n-1)，求观测向量y(n) 的最小二乘估计，记作
x ( n 1 ) F ( n 1 , n ) x ( n ) G ( n ) ( n )...... ..... 25 )
式（25）在kalman滤波算法中起着关键的作用，因为它表明， n+1时刻的 F (n 1 ,n )x (n ) 状态向量的一步预测分为非自适应（即确定）部分 和 自适应（即校正）部分G(n)a(n)。从这个意义上讲，G(n)称为kalman增 益（矩阵）是合适的。
H H E { x ( n 1 ) ( n ) F ( n 1 ,n ) E { x ( n ) ( n )} H F ( n 1 ,n ) E { x ( n )[ C ( n ) e ( n ,n 1 ) v ( n )] } 2
H H F ( n 1 ,n ) E { x ( n ) e ( n ,n 1 )} C ( n )........ 26 )
以上性质表明：n时刻的新息a(n)是一个与n上课之前的观测数 据y(1), ...，y(n-1)不相关，并具有白噪声性质的随机过程，但它却能够
提供有关y(n)的新息，这就上信息的内在物理含义。
2、新息过程
（2）、新息过程的计算
下面分析新息过程的相关矩阵
H R ( n ) E { ( n ) ( n )}........ .( 10 )
卡尔曼滤波器分类及基本公式
卡尔曼滤波器分类及基本公式根据其应用领域和实现方式，卡尔曼滤波器可以分为线性卡尔曼滤波器、扩展卡尔曼滤波器和无迹卡尔曼滤波器等。
1. 线性卡尔曼滤波器（Linear Kalman Filter）：线性卡尔曼滤波器适用于状态变量和观测变量均为线性的情况。
它基于线性动态系统和高斯噪声的假设。
线性卡尔曼滤波器的基本公式为：预测步骤：$\hat{x}_{k，k-1} = F\hat{x}_{k-1，k-1} + Bu_{k-1}$$P_{k，k-1}=FP_{k-1，k-1}F^T+Q$更新步骤：$y_k = z_k - H\hat{x}_{k，k-1}$$S_k=HP_{k，k-1}H^T+R$$K_k=P_{k，k-1}H^TS_k^{-1}$$\hat{x}_{k，k} = \hat{x}_{k，k-1} + K_ky_k$$P_{k，k}=(I-K_kH)P_{k，k-1}$其中，$\hat{x}$ 表示状态变量的估计值，$P$ 表示状态变量估计值的方差，$F$ 表示状态转移矩阵，$B$ 表示输入矩阵，$u$ 表示系统输入，$Q$ 表示系统模型噪声协方差矩阵，$H$ 表示观测矩阵，$z$ 表示观测值，$y$ 表示观测残差，$R$ 表示观测噪声协方差矩阵，$K$ 表示卡尔曼增益，$I$ 表示单位矩阵。
2. 扩展卡尔曼滤波器（Extended Kalman Filter）：扩展卡尔曼滤波器适用于状态变量和观测变量为非线性的情况。
它通过对非线性系统进行线性化，然后应用线性卡尔曼滤波器的思想来进行滤波。
扩展卡尔曼滤波器的基本公式与线性卡尔曼滤波器类似，只是在预测步骤和更新步骤中，将线性化的系统模型和观测模型代替原始非线性模型。
3. 无迹卡尔曼滤波器（Unscented Kalman Filter）：无迹卡尔曼滤波器通过使用无迹变换，避免了非线性系统线性化的过程，从而提高了滤波精度，并且对于非线性系统更加稳健。
卡尔曼滤波状态方程
卡尔曼滤波状态方程
卡尔曼滤波（Kalman Filter）是一种由美国专家罗伯特·卡尔曼（R.E.Kalman）提出的一种递推式最优滤波器，它可以有效的进行信
号的平滑和过滤，对一般的非线性结构也有很好的求解精度。
卡尔曼
滤波的基本思想是利用滤波器的输入信号和已知的系统过程的已知信息，来估计潜在的状态变量等参数。
它在非确定性环境中，使用系统
动态、测量观测方程和扩展卡尔曼滤波算法等方法求解不确定性问题，以实时预测系统的动态行为及提高系统的精度而著称。
卡尔曼滤波的状态方程可以表示为：
x(k+1) = Fx(k) + w(k)
其中，F 是状态转移矩阵，w(k) 是维度为 n 的随机驱动向量，
x(k+1) 和 x(k) 分别表示历史状态向量和当前状态向量。
卡尔曼滤波的测量方程如下：
z(k) = Hx(k) + v(k)
其中，H 是测量矩阵，v(k) 是维度为 m 的随机噪声向量，z(k)
表示状态向量的测量值。
另外，还有如下卡尔曼滤波状态方程：
P(k+1) = F P(k) F^T + Q(k)
其中，P(k+1) 和 P(k) 分别表示历史误差协方差矩阵和当前时刻
的误差协方差矩阵，Q(k) 是系统的过程噪声协方差矩阵。
K(k) = P(k) H^T (H P(k) H^T + R(k))^(-1)
其中，K(k) 是本次卡尔曼滤波的卡尔曼增益矩阵，R(k) 为测量
噪声协方差矩阵。
最后：
x(k+1 | k) = x(k) + K(k)(Hx(k) - z(k))
其中， x(k+1 | k) 表示本次卡尔曼滤波的当前状态估计值。
卡尔曼滤波状态方程
卡尔曼滤波状态方程卡尔曼滤波是一种线性解决状态估计问题的有力工具。
它是一种递归滤波算法，可用于根据有限的且不完整的测量数据来估计系统状态。
该算法常常被应用于航空、导航、无线通信和控制系统等领域。
卡尔曼滤波的核心是状态方程和观测方程。
状态方程描述了系统的状态随时间的演化规律，观测方程描述了系统状态和测量之间的关系。
在实际应用中，卡尔曼滤波需要将状态变量、转移矩阵、观测向量、观测矩阵、噪声协方差矩阵等参数进行合理的设定和计算。
具体而言，卡尔曼滤波的状态方程为：x_k = F_k * x_k-1 + B_k * u_k + w_k其中x_k为状态向量，F_k为状态转移矩阵，B_k为控制输入矩阵，u_k为控制向量，w_k为过程噪声（假设为高斯白噪声，均值为0，协方差矩阵为Q_k）。
卡尔曼滤波的观测方程为：z_k = H_k * x_k + v_k其中z_k为观测向量，H_k为观测矩阵，v_k为观测噪声（假设为高斯白噪声，均值为0，协方差矩阵为R_k）。
卡尔曼滤波的核心思想在于利用先验预测和后验校正的方式，逐步更新系统的状态估计值，并根据卡尔曼增益的大小对预测值和观测值进行权衡。
其中，卡尔曼增益的计算需要基于先验误差协方差矩阵和观测噪声协方差矩阵，以得到最佳的估计值和方差。
最终，卡尔曼滤波可以通过不断迭代更新状态估计值的方式，实现对系统状态的高精度估计。
总之，卡尔曼滤波是一种高效、灵活、鲁棒的状态估计算法，已经被广泛应用于各种领域。
其核心是状态方程和观测方程的建立和参数计算，需要根据具体情况进行合理的设置和调整。
在实际应用中，需要注意噪声模型的选取、初始状态的估计、观测噪声的实时更新等问题，以得到更好的滤波效果。
卡尔曼滤波两例题含matlab程序
设高度的测量误差是均值为0、方差为1的高斯白噪声随机序列，该物体的初始高度0h 和速度0V 也是高斯分布的随机变量，且0000019001000,var 10/02Eh h m P EV m s V ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦。
试求该物体高度和速度随时间变化的最优估计。
（2/80.9s m g =） 解：1. 令()()()h k X k v k ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦t=1 R （k ）=1 Q(k)=0 根据离散时间卡尔曼滤波公式，则有： (1)(1,)()()X k k k X k U k φ+=++ (1)(1)(1)(1)Y k H k X k V k +=++++(1,)k k φ+＝ 11t -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ()U k ＝ 20.5gt gt ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(1)H k +＝[]10 滤波初值：^1900(0|0)(0)10X EX ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦0100(0|0)var[(0)]2P X P ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦一步预测：^^(1|)(1,)(|)()X k k k k X k k U k φ+=++ (1|)(1,)(|)(1,)TP k k k k P k k k k φφ+=++滤波增益：1(1)(1|)(1)[(1)(1|)(1)(1)]TTK k P k k H k H k P k k H k R k -+=+++++++ 滤波计算：^^^(1|1)(1|)(1)[(1)(1)(1|)]X k k X k k K k Y k H k X k k ++=++++-++ (1|1)[(1)(1)](1|)P k k I K k H k P k k ++=-+++ 2. 实验结果高度随时间变化估计速度随时间变化的最优估计高度协方差速度协方差从以上的结果，可以得到高度和速度的估计值，再通过所得到的高度协方差和速度协方差，可见用卡尔曼滤波法，虽然刚开始的初始高度协方差很大为100，但通过2步之后减小到不超过1，逐渐接近于0， 同样的速度协方差刚开始的时候也比较大，为2，但是通过5步之后迅速减小，到10步之后接近于0。
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卡尔曼滤波计算举例
⏹计算举例
⏹卡尔曼滤波器特性
假设有一个标量系统，信号与观测模型为
[1][][]x k ax k n k +=+[][][]
z k x k w k =+其中a 为常数，n [k ]和w [k ]是不相关的零均值白噪声，方差分别为和。
系统的起始变量x [0]为随机变量，其均值为零，方差为。
2n
σ2
σ[0]x P （1）求估计x [k ]的卡尔曼滤波算法；（2）当时的卡尔曼滤波增益和滤波误差方差。
22
0.9,1,10,[0]10
n
x a P =σ=σ==1. 计算举例
根据卡尔曼算法，预测方程为:
ˆˆ[/1][1/1]x
k k ax k k -=--预测误差方差为:
2
2
[/1][1/1]x x n
P k k a P k k -=--+σ
卡尔曼增益为:
()
1
22
22
22
[][/1][/1][1/1][1/1]x x x n
x n K k P k k P k k a P k k a P k k -=--+σ
--+σ=--+σ+σ
ˆˆˆ[/][/1][]([][/1])ˆˆ[1/1][]([][1/1])ˆ(1[])[1/1][][]x
k k x k k K k z k x k k ax
k k K k z k ax k k a K k x
k k K k z k =-+--=--+---=---+滤波方程:
()()
2
2222222
222
22
[/](1[])[/1]
[1/1]1[1/1][1/1][1/1][1/1]x x x n
x n x n x n
x n
P k k K k P k k a P k k a P k k a P k k a P k k a P k k =--⎛⎫--+σ=---+σ ⎪--+σ+σ⎝⎭σ--+σ
=
--+σ+σ
滤波误差方差
起始：ˆ[0/0]0x
=[0/0][0]
x x P P =
k [/1]
x P k k -[/]x P k k []
K k 01
23456
89
104.76443.27012.67342.27652.21422.18362.16832.1608
9.104.85923.6488
3.16542.94752.84402.79352.7687
0.47360.32700.26730.24040.2277
0.22140.21840.2168
ˆ[0/0]0x
=[0/0]10
x P =220.9110
n
a =σ=σ=
2. 卡尔曼滤波器的特性
从以上计算公式和计算结果可以看出卡尔曼滤波器的一些特性：（1）滤波误差方差的上限取决于测量噪声的方差，即()2
222
2
22
[1/1][/][1/1]x n
x x n
a P k k P k k a P k k σ--+σ
=
≤σ
--+σ+σ
2
[/]x P k k ≤σ
这是因为
（2）预测误差方差总是大于等于扰动噪声的方差，即2[/1]x n
P k k -≥σ
这是因为
2
22[/1][1/1]x x n n
P k k a P k k -=--+σ≥σ
（3）卡尔曼增益满足，
随着k 的增加趋于一个稳定值。
0[]1K k ≤≤2
22
22
[1/1][][1/1]x n
x n a P k k K k a P k k --+σ
=--+σ+σ
这是因为
5
10
15
20
012345678910滤波误差方差
样本数
初值的选择会影响前几
个估计的误差，但随着观测的增加，滤波的结
果对初值不敏感。
（4）初值选择的影响
（5）卡尔曼增益可以离线计算
2
22
22
[1/1][][1/1]x n
x n a P k k K k a P k k --+σ
=--+σ+σ
()
2
222
22
[1/1]
[/][1/1]x n
x x n
a P k k P k k a P k k σ--+σ
=
--+σ+σ
与观测没有关系
（6）稳态时的特性
当k →∞时，滤波误差方差与预测误差方差都趋于稳定，卡尔曼增益值也趋于一个常数。
[][]
K k K →∞[][]
x x P k P →∞2
22
2222222
[1/1][][][][1/1][]x n
x n
x n x n a P k k a P K k K a P k k a P --+σ∞+σ
=⇒∞=--+σ+σ∞+σ+σ
()()
2
2
22
222
22
2
22
[1/1][][/][][1/1][]x n
x
n
x x
x n
x n
a P k k a P P k k P a P k k a P σ--+σ
σ∞+σ=
⇒∞=--+σ+σ
∞+σ+σ
ˆˆ[/](1[])[1/1][][]x
k k a K x k k K z k =-∞--+∞稳态时卡尔曼滤波器的传递函数为
1[]()1(1[])K H z a K z
∞-∞=--∞
与维纳滤波器等效
稳态时的滤波方程：
当时，2
2
0.9,1,10n a =σ=σ=[]0.2153K ∞=10.2153()10.7062H z z
∞-=-ˆˆ[/]0.7062[1/1]0.2153[]x
k k x k k z k =--+滤波方程化为，
1. 计算举例
[][1][]
x k ax k n k =-+[][][]z k x k w k =+22
222[1/1][][1/1]x n x n a P k k K k a P k k --+σ=--+σ+σ
()22
222
2[1/1][/][1/1]x n x x n a P k k P k k a P k k σ--+σ=--+σ+σ
ˆˆˆ[/][1/1][]([][1/1])x
k k ax k k K k z k ax k k =--+---
2. 卡尔曼滤波器的特性
（1）滤波误差方差的上限取决于测量噪声的方差，即2
[/]x P k k ≤σ（2）预测误差方差总是大于等于扰动噪声的方差，即
2[/1]x n P k k -≥σ（3）卡尔曼增益满足
，随着k 的增加趋于一个稳定值。
0[]1K k ≤≤（4）
初值选择的影响，随k 的增加，对初值的选择不敏感（5）增益值可以离线计算
（6）稳态时的卡尔曼滤波等价于维纳滤波器。