二项分布的例子

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二项分布例

例1 一大批电子管中有10%已损坏，若我们从这批电子管中随机地选取20只来组成一个线路，问这个线路能正常工作（20个电子管全好）的概率？
解：因这批电子管数量很大，因此可近似地把选取20只管作为进行独立试验。

把选得好管作为成功，其概率为0.9，故所求的概率为：
1216.09.09.0)9.0,20;20(20
202020≈=⋅=C b
例2 设每颗子弹打中飞机的概率为0.01，问在500发中打中飞机的最可能次数是多少？并求相应的概率。

解：设X 表示打中的次数，则 {}17635
.0)99.0()01.0(55,01.5)1()
01.0,500(~49555500≈⋅⋅====+C X P m p n B X
例3 若一年中某类保险者里面每个人死亡的概率等于0.005，现有10000个这类人参加人寿保险。

试求在未来一年中在这些保险者里面，①有40个人死亡的概率；②死亡人数不超过70个的概率。

解：作为初步的近似，可利用Bernoulli 概型；n=10000，p=0.005；设X 为未来一年中死亡人数，则：
()005.0,10000~B X
① {}9960404010000
)995.0()005.0(40C X P ==; ②
∑=-=≤700
1000010000
)995.0()005.0()70(k k k k C X P .。

高中数学二项分布例题

高中数学二项分布例题二项分布适用于一系列独立重复试验，每次试验只有两种结果，通常称为“成功”和“失败”。

设每次试验成功的概率为p，失败的概率为1p，进行n次试验后，成功的次数X遵循二项分布，其概率质量函数为：P(X = k) = C(n, k) p^k (1 p)^(n k)其中，C(n, k)表示从n次试验中选取k次成功的组合数。

例题一：简单二项分布的应用在一项产品质量检验中，某种产品合格率为80%。

若随机抽取10件产品，求其中恰好8件合格的概率。

解：此问题可以看作进行10次独立试验，每次试验成功的概率p 为0.8，失败的概率为0.2，n为10，k为8。

根据二项分布的概率质量函数，可以计算如下：P(X = 8) = C(10, 8) (0.8)^8 (0.2)^2计算组合数C(10, 8) = 45，带入公式后得：P(X = 8) = 45 (0.8)^8 (0.2)^2 ≈ 0.1937。

恰好8件合格的概率约为19.37%。

例题二：计算不超过某个成功次数的概率在一场考试中，某学生在过去的测试中，答对题目的概率为0.7。

若该学生参加5次测试，求至少有3次答对的概率。

解：求至少有3次答对的概率，可以通过计算0到2次答对的概率并用1减去得到：P(X ≥ 3) = 1 P(X ≤ 2)计算P(X ≤ 2)：P(X = 0) = C(5, 0) (0.7)^0 (0.3)^5 = 1 1 0.00243 ≈ 0.0024。

P(X = 1) = C(5, 1) (0.7)^1 (0.3)^4 = 5 0.7 0.0081 ≈ 0.028.P(X = 2) = C(5, 2) (0.7)^2 (0.3)^3 = 10 (0.49) 0.027 ≈ 0.1323。

P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) ≈ 0.0024 + 0.028 + 0.1323 ≈ 0.1627。

二项分布应用举例

二项分布及其应用知识归纳1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做，用符号来表示，其公式为P (B |A )＝ .在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则P (B |A )＝ . (2)条件概率具有性质：① ；②如果B 和C 是两互斥事件，则P (B ＋C |A )＝． 2．相互独立事件(1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件． (2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝， P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝．(3)若A 与B 相互独立，则，，也都相互独立． (4)若P (AB )＝P (A )P (B )，则． 3．二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种相互对立的结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n 次独立重复试验中，事件A 发生k 次的概率为 (p 为事件A 发生的概率)，若一个随机变量X 的分布列如上所述，称X 服从参数为n ，p 的二项分布，简记为．自我检测1．(2011·辽宁高考，5)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( ) A.18 B.14 C.25D.12解析：条件概率P (B |A )＝P AB P A P (A )＝C 23＋1C 25＝410＝25，P (AB )＝1C 25＝110，∴P (B |A )＝11025＝14.2．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P (ξ＝12)等于( )A ．C 1012⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582B ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫58238 C ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫589⎝ ⎛⎭⎪⎫382D ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫582解：事件{ξ＝12}表示第12次取到红球，前11次取到9个红球，故P (ξ＝12)＝C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389·⎝ ⎛⎭⎪⎫582·38.3．(2011·广东高考)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.12B.35C.23 D.34解析：∵甲、乙两队决赛时每队赢的概率相等，∴每场比赛甲、乙赢的概率均为12.记甲获冠军为事件A ，则P (A )＝12＋12×12＝344．(2010·福建高考，13)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．解析：由题设分两种情况：(1)第1个正确，第2个错误，第3、4个正确，由乘法公式得P 1＝0.8×0.2×0.8×0.8＝0.102 4. (2)第1、2个错误，第3、4个正确，由互斥事件的概率公式得P 2＝0.2×0.2×0.8×0.8＝0.025 6. ∴P ＝P 1＋P 2＝0.128. 5．(2011·上海高考，12)随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率是________(默认每个月的天数相同，结果精确到0.001)．解析：设事件A 为“至少有2位同学在同一月份出生”，则A 的对立事件A 为“所有人出生月份均不相同”，则P (A )＝1－P (A )＝1－A 912129＝1－12×11×10×9×8×7×6×5×4129≈1－0.015 5＝0.984 5≈0.985.题型讲解例1.(2011·湖南高考，15)如图，EFGH 是以O 为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则(1)P (A )＝________； (2)P (B |A )＝________.[解析] ∵P (A )＝S 正方形S 圆＝22π＝2π. P (B |A )＝P AB P A ＝S △EOH S 正方形＝14.[规律方法]……………►►条件概率的求法：(1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P ABP A.这是通用的求条件概率的方法．(2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数，即n (AB )，得P (B |A )＝n ABn A.练习1．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．解析：(1)①P (A )＝26＝13. ②∵两个骰子的点数之和共有36个等可能的结果，点数之和大于8的结果共有10个．∴P (B )＝1036＝518. ③当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个，故P (AB )＝536. (2)由(1)知P (B |A )＝P ABP A ＝53613＝512.例2.(2012·重庆高考，18)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．(1)求乙获胜的概率；(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率．解析] 设A k ，B k 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中，则P (A k )＝13，P (B k )＝12(k ＝1,2,3)．(1)记“乙获胜”为事件C ，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P (C )＝P (A 1B 1)＋P (A 1 B 1 A 2B 2)＋P (A 1 B 1 A 2 B 2 A 3 B 3)＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)P (A 3)P (B 3) ＝23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝1327. (2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D ，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P (D )＝P (A 1 B 1 A 2B 2)＋P (A 1 B 1 A 2 B 2A 3) ＝P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)P (A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝427. [规律方法]……………►►(1)相互独立事件是指两个试验中，两事件发生的概率互不影响；相互对立事件是指同一次试验中，两个事件不会同时发生；(2)求用“至少”表述的事件的概率时，先求其对立事件的概率往往比较简单．练习2．(2011·山东高考，18改编)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘．已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列．解析：(1)设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F .则D ，E ，F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5，由对立事件的概率公式知P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5.红队至少两人获胜的事件有：DE F ，D E F ，D EF ，DEF .由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DE F )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知D E F、D E F、D E F是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此P(ξ＝0)＝P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P(ξ＝1)＝P(D E F)＋P(D E F)＋P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15. 由对立事件的概率公式得P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4.所以ξ的分布列为：例3.(2010·四川高考，17改编)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率，(2)求中奖人数Ｘ的分布列．[解析] (1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A 、B 、C ，那么P (A )＝P (B )＝P (C )＝16.P (A ·B ·C )＝P (A )P (B )P (C )＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫562＝25216.甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是25216. (2)X 的可能取值为0,1,2,3. P (Ｘ＝k )＝C k 3 ⎛⎪⎫16k ⎛⎪⎫563－k，k ＝0,1,2,3.所以中奖人数X 的分布列为[规律方法]………………►►(1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)二项分布满足的条件①每次试验中，事件发生的概率是相同的．②各次试验中的事件是相互独立的．③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．④随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数．练习3．(2012·四川高考，17)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；(2)求系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率．解析：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么1－P (C －)＝1－110·p ＝4950.解得p ＝15.(2)设“系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D ，那么P (D )＝C 23110·(1－110)2＋(1－110)3＝9721000＝243250. 故系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为243250.例4.(2013·苏州模拟)一个袋中装有黑球、白球和红球共n (n ∈N *)个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25.现从袋中任意摸出2个球．(1)若n ＝15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是47，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量ξ的概率分布列；(2)当n 取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？[解析] (1)设袋中黑球的个数为x 个，记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为事件A ，则P (A )＝x15＝25.∴x ＝6. 设袋中白球的个数为y 个，记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B ，则P (B )＝1－C 215－yC 215＝47，∴y 2－29y ＋120＝0，∴y ＝5或y ＝24(舍)．∴红球的个数为15－6－5＝4(个) ∴随机变量ξ的取值为0,1,2ξ 0 1 2P1122 44105 235(2)设袋中有黑球z 个，则z ＝25n (n ＝5,10,15，…)．设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事件C ，则P (C )＝1－C 235nC 2n ＝1625＋625×1n －1，当n ＝5时，P (C )最大，最大值为710.强化训练1．抛掷甲、乙两枚骰子，若事件A ：“甲骰子的点数小于3”，事件B ：“甲、乙两枚骰子的点数之和等于6”，则P (B |A )的值等于( )A.13B.118C.16D.19 解析：由题意知P (A )＝1236＝13，P (AB )＝236＝118，∴P (B |A )＝P ABP A ＝11813＝16.2．(2010·辽宁高考)两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为( ) A.12 B.512 C.14 D.16解析：设事件A ：“一个实习生加工一等品”，事件B ：“另一个实习生加工一等品”，由于A 、B 相互独立，则恰有一个一等品的概率P ＝P (A ∩B )＋P (A ∩B ) ＝P (A )＝P (B )＋P (A )P (B )＝23×14＋13×34＝512.3．(2011·湖北高考)如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统，当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( )A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576解析：A 1、A 2同时不能工作的概率为0.2×0.2＝0.04，所以A 1、A 2至少有一个正常工作的概率为1－0.04＝0.96，所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.故选B.4．位于坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫125 B ．C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125 C ．C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫123 D ．C 25C 35(12)5解析：质点在移动过程中向右移动2次，向上移动3次，因此质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123，故选B.5．如果ξ～B (15，14)，则使P (ξ＝k )取最大值的k 值为( )A ．3B ．4C ．5D ．3或4解析：(特殊值法)∵P (ξ＝3)＝C 315⎝ ⎛⎭⎪⎫143⎝ ⎛⎭⎪⎫3412， P (ξ＝4)＝C 415⎝ ⎛⎭⎪⎫144⎝ ⎛⎭⎪⎫3411，P (ξ＝5)＝C 515⎝ ⎛⎭⎪⎫145⎝ ⎛⎭⎪⎫3410从而易知P (ξ＝3)＝P (ξ＝4)>P (ξ＝5)．6．(2012·重庆高考，15)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节间接法，分两，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答解析：使用间接法，分两类：①某两节文化课之间间隔2节艺术课方法数为C 23·A 22·C 12·C 13·A 33＝216种．②某2节文化课之间间隔3节艺术课方法数为：C 12·A 33·A 33＝72种，故所求事件概率为P ＝1－216＋72A 66＝1－25＝35. 7．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为________．＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋18解：小球落入A 袋左侧的概率为12×12×12＝18，同理落入右侧的概率为18，∴P＝34. 8．(2010·安徽高考，15)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．解析：对①，P (B )＝C 15C 110×C 15C 111＋C 15C 110×C 14C 111＝922；②，P (B |A 1)＝C 15C 111＝511；③，由P (A 1)＝12，P (B )＝922，P (A 1·B )＝522知P (A 1·B )≠P (A 1)·P (B )．故事件B 与事件A 1不是相互独立事件；④，从甲罐中只取一球，若取出红球就不可能是其他，故两两互斥； ⑤，由①可算得．答案：②④9．(2011·大纲卷，18)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)X 表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X 的期望．解析：记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种； D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；(1)P (A )＝0.5，P (B )＝0.3，C ＝A ＋B ，P (C )＝P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.8. (2)D ＝C ，P (D )＝1－P (C )＝1－0.8＝0.2，X ～B (100,0.2)，即X 服从二项分布，所以期望EX ＝100×0.2＝20.10．(2011·天津高考，16)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球，2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)． (1)求在1次游戏中；(ⅰ)摸出3个白球的概率；(ⅱ)获奖的概率； (2)求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望EX .解析：(1)(ⅰ)设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件A i (i ＝0,1,2,3)，则P (A 3)＝C 23C 25·C 12C 23＝15.(ⅱ)设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B ＝A 2∪A 3.又P (A 2)＝C 23C 25·C 22C 23＋C 13C 12C 25·C 12C 23＝12，且A 2，A 3互斥，所以P (B )＝P (A 2)＋P (A 3)＝12＋15＝710.(2)由题意可知X 的所有可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－7102＝9100，P (X ＝1)＝C 12710⎝ ⎛⎭⎪⎫1－710＝2150，P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7102＝49100. 所以X 的分布列是X 的数学期望EX ＝0×9100＋1×2150＋2×49100＝75. 11．(2012·山东高考，19)现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX . 解析：(1)记该射手命中“甲”、“乙”靶分别为事件A ，B . 由已知P (A )＝34，P (B )＝23.记“该射手恰好命中一次”为事件C ，因为每次射击结果相互独立，∴P (C )＝P (A B B )＋P (A B B )＋P (A B B )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＋2×14×23×13＝736.(2)由已知，X 的可能取值有：0,1,2,3,4,5，P (X ＝0)＝P (A B B )＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝136；P (X ＝1)＝P (A B B )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝112；P (X ＝2)＝P (A B B )＋P (A B B )＝2×14×23×13＝19；P (X ＝3)＝P (AB B )＋P (A B B )＝2×34×13×23＝13； P (X ＝4)＝P (A BB )＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝19； P (X ＝5)＝P (ABB )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝13， ∴X 的分布列如下：∴EX ＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13＝4112.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

概率与统计中的二项分布

概率与统计中的二项分布概率与统计是数学中的重要分支，涉及到随机事件的概率计算和统计数据的分析。

在这个领域中，二项分布是一种常见且重要的概率分布。

一、二项分布的定义及特点二项分布是离散型概率分布的一种，用于描述在一系列独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。

伯努利试验指的是只有两个可能结果的随机试验，如抛硬币的正反面或者某产品合格与否等。

二项分布的特点如下：1. 每次试验的结果只有两个可能，记为成功（S）和失败（F）。

2. 每次试验的成功概率为p，失败概率为1-p。

3. 每次试验独立重复进行，试验次数记为n。

4. 求得成功次数k的概率。

二、二项分布的概率计算对于二项分布而言，可以通过以下公式来计算成功次数k的概率：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示成功次数为k的概率，即二项分布的概率质量函数；C(n, k)表示从n次试验中取出k次成功的组合数；p^k表示k次成功的概率；(1-p)^(n-k)表示n-k次失败的概率。

三、二项分布的应用举例1. 投掷硬币的例子假设我们有一枚均匀硬币，投掷10次，成功定义为出现正面，失败定义为出现反面。

设定成功概率p为0.5，那么可以利用二项分布计算出在10次投掷中出现k次正面的概率。

2. 测试产品合格率的例子假设某产品的合格率为0.8，现从中抽取20个样本进行测试，成功定义为抽取的产品合格，失败定义为抽取的产品不合格。

可以利用二项分布计算出在20个样本中有k个合格产品的概率。

四、二项分布的性质二项分布具有以下重要性质：1. 期望与方差：二项分布的概率分布的期望值和方差分别为E(X) = np，Var(X) = np(1-p)。

其中，E(X)表示成功次数的平均值，Var(X)表示成功次数的方差。

2. 定理：当试验次数n足够大，成功概率p足够小（或足够大），则二项分布可以近似为泊松分布或正态分布。

五、总结在概率与统计中，二项分布是一种常见的离散型概率分布，适用于描述在多次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。

典例解析：二项分布

有关二项分布的典型问题分析二项分布是在n 次独立重复试验中引入的一个概念，它是一种常见的、重要的离散型随机变量的概率分布，引入他们实际上是对独立重复试验从概率分布角度的进一步研究。

然而我们在利用二项分布原理解决实际问题时只注意到两点，即解释为什么可以看成二项分布模型，其次是考虑到它的计算，却往往忽视对计算结果进行解释，造成初学者无法摆脱知识上的种种困惑。

鉴于此，我们选取几个典型案例进行剖析，供参考。

一保险问题例1设某保险公司有10000人参加人身意外保险。

该公司规定:每人每年付公司120元，若逢意外死亡，公司将赔偿10000元。

若每人每年死亡率为0.006，试讨论该公司是否会赔本，其利润状况如何。

（不考虑公司的其它赔偿费用、其他开支和其它收入）分析：在这个问题中，公司的收入是完全确定的，10000个投保人每人付给公司120元，公司的年收入为120万元。

公司的支出取决于投保人中意外死亡的人数（这里略去有关公司日常性开支的讨论，如公司职工工资，行政开支等等），而这是完全随机的，公司无法在事前知道其确切人数。

但公司可以知道死亡人数的分布。

设X 表示这10000人中意外死亡的人数，由于每个人的死亡率为0.006，则X 服从n=10000，p=0.006的二项分布:k k k C k X P --==1000010000)006.01(006.0)(，k=0,1,2,…,10000。

死亡X 个人时，公司要赔偿X 万元，此时公司的利润为（120-X ）万元。

尽管我们无法事前知道这利润的确切值，但由上述分布可知，公司赔本的概率为∑==-=≤-=<-120)(1)120(1)0120(k k X P X P X P121200100001000010994.0006.01-=-≤-=∑k k k k C ≈0即公司几乎不会赔本（这里的计算量很大，可设计算法程序来计算，体会算法的重要性）。

类似地，可以计算，例如公司利润不少于40万元的概率,995.0994.0006.0)()80()40120(8001000010000800≈===≤=≥-∑∑=-=k k k k k C k X P X P X P即公司有99.5%的概率能赚到40万元以上。

二项分布最大概率公式

二项分布最大概率公式二项分布是概率论中一种重要的离散概率分布，它描述了在一系列独立的重复试验中，成功事件发生的次数。

举个例子来说，假设我们有一枚公正的硬币，进行了10次独立的抛掷，每次抛掷的结果要么是正面朝上（成功），要么是反面朝上（失败）。

那么，在这10次抛掷中，出现正面的次数就是二项分布的应用。

二项分布最大概率公式是用来计算在n次试验中成功事件发生k次的概率的公式。

公式可以表示为P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中P(X=k)表示成功事件发生k次的概率，C(n, k)表示组合数，表示从n次试验中取k次成功事件的组合数，p表示每次试验中成功事件发生的概率，(1-p)表示每次试验中失败事件发生的概率。

二项分布最大概率公式的使用可以帮助我们计算在一定条件下成功事件发生的概率，从而在实际问题中进行预测和决策。

下面我们通过几个具体的例子来说明。

例子一：假设某汽车零部件生产线上，每小时生产的零部件数量符合二项分布。

已知每小时平均生产10个零部件，且每个零部件不合格的概率为0.1。

现在我们想知道在一个小时内，生产线上不合格的零部件数量为1个的概率是多少。

解答：根据二项分布最大概率公式，我们可以计算P(X=1) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中n=10，k=1，p=0.1。

代入公式计算得到P(X=1) = C(10, 1) * 0.1^1 * (1-0.1)^(10-1) = 10 * 0.1 * 0.9^9 ≈ 0.387。

所以，在这个小时内，生产线上不合格的零部件数量为1个的概率约为0.387。

例子二：假设某品牌的某种产品在市场上的购买率为0.3，现在我们从中随机选择了20个人，想知道其中有5个人购买该产品的概率是多少。

解答：同样地，根据二项分布最大概率公式，我们可以计算P(X=5) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中n=20，k=5，p=0.3。

二项分布的应用实例

二项分布的应用实例二项分布是概率论中的一种离散概率分布，常用于描述在n次独立重复试验中成功次数的概率分布。

它在实际生活中有着广泛的应用，下面将介绍二项分布的几个应用实例。

1. 投资决策假设某公司有一个投资项目，该项目有50%的概率获得100%的回报，50%的概率获得0%的回报。

公司决定投资10次，每次投资的金额为100万元。

我们可以使用二项分布来计算在这10次投资中，公司获得回报的概率分布。

通过计算可以得到不同回报次数的概率，从而帮助公司做出投资决策。

2. 质量控制在生产过程中，产品的合格率是一个重要的指标。

假设某产品的合格率为90%，现在需要生产100个产品。

我们可以使用二项分布来计算在这100个产品中，合格品的数量的概率分布。

通过计算可以得到不同合格品数量的概率，从而帮助企业进行质量控制和生产计划的制定。

3. 市场调研在市场调研中，我们经常需要对一定数量的样本进行调查，以了解整个人群的情况。

假设我们对1000个人进行调查，其中有80%的人对某个产品表示满意。

我们可以使用二项分布来计算在这1000个人中，对该产品表示满意的人数的概率分布。

通过计算可以得到不同满意人数的概率，从而帮助我们对整个人群的满意度进行估计。

4. 信号传输在通信领域，二项分布也有着重要的应用。

假设我们发送了1000个二进制信号，其中每个信号以概率p被正确接收。

我们可以使用二项分布来计算在这1000个信号中，被正确接收的信号数量的概率分布。

通过计算可以得到不同正确接收信号数量的概率，从而帮助我们评估信号传输的质量。

5. 金融风险评估在金融领域，二项分布也可以用于评估风险。

假设某个投资组合中有10个股票，每个股票上涨的概率为60%。

我们可以使用二项分布来计算在这10个股票中，上涨股票的数量的概率分布。

通过计算可以得到不同上涨股票数量的概率，从而帮助我们评估投资组合的风险。

以上是二项分布在实际生活中的几个应用实例。

通过使用二项分布，我们可以对不同事件发生的概率进行估计，从而帮助我们做出决策、控制风险、评估市场等。

二项分布的现实例子

二项分布的现实例子二项分布是概率论中的一种离散概率分布，它描述了在n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。

在现实生活中，我们可以找到许多与二项分布相关的实际例子。

本文将介绍几个常见的二项分布现实例子，并解释其应用。

一、硬币投掷硬币投掷是最常见的二项分布实例之一。

当我们投掷一枚硬币时，每次投掷都是一个伯努利试验，成功可以定义为正面朝上，失败可以定义为反面朝上。

假设我们投掷硬币10次，成功次数可以是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9或10。

通过计算每个成功次数的概率，我们可以得到一个二项分布。

二、产品质量检验在制造业中，产品质量检验是一个重要的环节。

假设某公司生产了1000个产品，每个产品都有一定的概率存在缺陷。

我们可以将每个产品是否存在缺陷定义为一个伯努利试验，成功表示存在缺陷，失败表示不存在缺陷。

通过对这1000个产品进行质量检验，我们可以得到每个成功次数的概率分布，从而判断产品质量的合格率。

三、选举投票选举投票是另一个与二项分布相关的实际例子。

假设某个选区有10000名选民，每个选民都有一定的概率投票给候选人A。

我们可以将每个选民是否投票给候选人A定义为一个伯努利试验，成功表示投票给候选人A，失败表示投票给其他候选人。

通过对这10000名选民进行投票，我们可以得到每个成功次数的概率分布，从而判断候选人A的选举胜率。

四、赌博游戏赌博游戏中的赌注结果也可以用二项分布来描述。

例如，在掷骰子游戏中，每次掷骰子都是一个伯努利试验，成功可以定义为掷出指定的点数，失败可以定义为掷出其他点数。

通过多次掷骰子，我们可以得到每个成功次数的概率分布，从而判断赌注的胜率。

五、市场营销市场营销中的广告点击率也可以用二项分布来描述。

假设某公司在互联网上投放了1000次广告，每次广告的点击率为0.1。

我们可以将每次广告是否被点击定义为一个伯努利试验，成功表示被点击，失败表示未被点击。

通过对这1000次广告的点击情况进行统计，我们可以得到每个成功次数的概率分布，从而评估广告的效果。

二项分布的应用实例

二项分布的应用实例二项分布是概率论中常见的一种离散概率分布，通常用于描述在一系列独立重复的同类事件中，成功事件发生的次数的概率分布。

在现实生活中，二项分布有着广泛的应用，例如在工程、医学、经济等领域都能看到它的身影。

本文将通过几个具体的实例来展示二项分布的应用。

### 实例一：质量检验某工厂生产的零件合格率为0.95，现在需要抽取100个零件进行质量检验。

假设每个零件的质量独立且相同，符合二项分布。

现在我们可以利用二项分布来计算以下问题：1. 至少有95个零件合格的概率是多少？2. 恰好有90个零件合格的概率是多少？根据二项分布的概率公式，可以计算出以上两个问题的答案。

通过计算，我们可以得出在这种情况下的概率分布情况，帮助工厂更好地了解质量检验的结果。

### 实例二：市场营销某产品的点击率为0.1，现在需要进行1000次广告投放，希望点击次数超过100次的概率是多少？这个问题同样可以通过二项分布来解决。

我们可以利用二项分布的概率公式，计算出点击次数超过100次的概率，从而评估广告投放的效果。

### 实例三：医学实验在进行药物临床试验时，需要一定数量的患者来参与。

假设某药物的治愈率为0.8，现在需要招募10名患者进行试验，成功治愈的患者数量符合二项分布。

通过二项分布的计算，可以得出在这种情况下成功治愈患者数量的概率分布，帮助医生评估药物的疗效。

### 实例四：投资风险某投资人投资某股票的成功率为0.6，现在进行了10次投资，希望成功次数超过6次的概率是多少？通过二项分布的计算，可以帮助投资人评估投资风险，从而制定更合理的投资策略。

通过以上几个实例，我们可以看到二项分布在不同领域的应用。

无论是质量检验、市场营销、医学实验还是投资风险评估，二项分布都能提供一种有效的概率分布描述方法，帮助我们更好地理解和分析问题，做出科学的决策。

因此，掌握二项分布的应用是非常重要的，可以在实际问题中发挥重要作用。

二项分布的应用实例

二项分布的应用实例二项分布是概率论中的一种离散概率分布，常用于描述在n次独立重复试验中成功次数的概率分布。

它在实际生活中有着广泛的应用，下面将介绍二项分布的一个应用实例。

假设某电商平台的广告部门希望通过投放广告来提高用户的点击率。

为了评估广告的效果，他们进行了一项实验。

在实验中，他们随机选择了1000个用户，对每个用户展示了一条广告，并记录了用户是否点击了广告。

根据历史数据，该电商平台的点击率为10%。

现在，广告部门希望知道，在这1000个用户中，有多少用户点击了广告的概率。

我们可以使用二项分布来解决这个问题。

在这个实验中，每个用户是否点击广告可以看作是一次独立重复试验，成功的定义是用户点击广告，成功的概率为0.1。

根据二项分布的公式，我们可以计算出在1000个用户中，点击广告的用户数的概率分布。

具体计算如下：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示点击广告的用户数为k的概率，C(n,k)表示从n 个用户中选择k个用户的组合数，p表示点击广告的概率，1-p表示不点击广告的概率。

我们可以使用计算软件或者编程语言来计算这个概率分布。

下面是使用Python代码计算的示例：```pythonimport mathdef binomial_distribution(n, k, p):return b(n, k) * (p ** k) * ((1 - p) ** (n - k)) n = 1000p = 0.1clicks = [binomial_distribution(n, k, p) for k inrange(n+1)]for k, prob in enumerate(clicks):print(f"P(X={k}) = {prob}")```运行以上代码，我们可以得到在1000个用户中，点击广告的用户数的概率分布。

根据计算结果，我们可以得到如下概率分布表：```P(X=0) = 0.3487P(X=1) = 0.3874P(X=2) = 0.1937P(X=3) = 0.0574P(X=4) = 0.0115...```根据概率分布表，我们可以得到在1000个用户中，点击广告的用户数为0、1、2、3、4等的概率。

二项分布的例子

二项分布的例子
二项分布(Binomial Distribution)是离散概率分布的一种，描述了
在一系列进行相同试验的过程中，发生某一事件的次数的概率分布。

它适
用于二元结果，例如是或否、成功或失败、喜欢或不喜欢等。

下面将介绍
几个二项分布的例子：
1.投硬币。

假设我们投掷一枚硬币，问会得到正面的概率是多少？根据概率理论，正反面概率均为0.5、现在假设我们投掷该硬币10次，问投出5次正面
的概率是多少？这就是一个二项分布问题。

这里的n=10，p=0.5，某=5、
根据二项分布公式，我们可以计算得出概率为0.246，即投出5次正面的
概率为24.6%。

2.制造批次。

假设一家工厂生产了100个零件，其中10个有缺陷，问从这100个
零件中随机抽取10个，恰好有2个有缺陷的概率是多少？这也是一个二
项分布问题。

这里的n=10，p=0.1，某=2、根据二项分布公式，我们可以
计算得出概率为0.193，即恰好有2个有缺陷的概率为19.3%。

3.广告点击率。

假设一家公司发布了100次广告，其中有10次被点击了，问随机选
择了20次广告，恰好有5次被点击的概率是多少？这也是一个二项分布
问题。

这里的n=20，p=0.1，某=5、根据二项分布公式，我们可以计算得
出概率为0.031，即恰好有5次被点击的概率为3.1%。

以上3个例子展示了二项分布在不同领域的应用，它能够用来预测、优化和评估各种不同类型的事件。

二项分布的特点是它对随机事件的次数进行建模，同时也包括了成功或失败的概率，因此它非常适合用来分析实验或试验结果。

二项分布概率例题及解析精选全文

可编辑修改精选全文完整版二项分布概率例题及解析二项式概型答题高分策略、模板例析如下：二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k 次的概率.解题的一般思路是:根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n,p→将k值代入求解概率→写出二项分布的分布列.若离散型随机变量X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p),即其均值和方差的求解既可以利用定义,也可以直接代入上述公式.例1：某气象站天气预报的准确率为80%,计算(结果保留到小数点后第2位):(1)5次预报中恰有2次准确的概率;(2)5次预报中至少有2次准确的概率;(3)5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率.思路分析:直接代入公式求解,其中第(2)问可以利用对立事件求概率.令X表示5次预报中预报准确的次数,则X~B(5,4/5),故其分布列为反思：弄清“5次中有2次准确且第3次准确”表示的意义是求解第(3)问的关键,它表示第3次准确,其他4次有1次是准确的.总结：(1)独立重复实验的条件:①每次试验在相同条件下可重复进行;②各次试验是相互独立的;③每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生.(2)独立重复试验是相互独立事件的特例,只要有“恰好”“恰有”字样,用独立重复试验的概率公式计算更简单.(2)二项分布:一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,则事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p为成功概率.例2：一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为1/2,且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?思路分析:(1)X可能的取值为10,20,100,-200,运用几何概率公式得出相应的概率,得出分布列.(2)利用对立事件求解得出P(A1A2A3)=P(A1)∪P(A2)∪P(A3)=1/8,即可得出1-P(A1A2A3).。

二项分布的应用实例

二项分布的应用实例二项分布是概率论中的一种离散概率分布，常用于描述在n次独立重复试验中成功次数的概率分布。

它在实际生活中有着广泛的应用。

本文将介绍二项分布的应用实例。

一、质量控制在生产过程中，为了保证产品的质量，通常需要进行抽样检验。

假设某产品的不合格率为p，每次抽取一个产品进行检验，成功表示合格，失败表示不合格。

如果进行n次独立重复的抽样检验，那么成功的次数就是一个服从二项分布的随机变量。

通过对二项分布进行分析，可以确定在给定的不合格率和抽样次数下，产品合格的概率，从而评估产品的质量水平。

二、投资决策在投资决策中，往往需要考虑到风险和收益的平衡。

假设某投资项目的成功率为p，每次投资的结果只有成功和失败两种可能。

如果进行n次独立重复的投资，那么成功的次数就是一个服从二项分布的随机变量。

通过对二项分布进行分析，可以确定在给定的成功率和投资次数下，投资成功的概率，从而帮助投资者做出决策。

三、市场调研在市场调研中，经常需要对样本进行调查，以了解人群的特征和偏好。

假设某特定特征的人群比例为p，每次调查抽取一个样本，成功表示具备该特征，失败表示不具备该特征。

如果进行n次独立重复的调查，那么成功的次数就是一个服从二项分布的随机变量。

通过对二项分布进行分析，可以确定在给定的特征比例和样本数量下，样本中具备该特征的概率，从而推断整个人群中具备该特征的比例。

四、医学诊断在医学诊断中，经常需要进行实验或观察，以确定某种疾病的发生率或治疗效果。

假设某种疾病的发生率为p，每次实验或观察只有发生和不发生两种可能。

如果进行n次独立重复的实验或观察，那么发生的次数就是一个服从二项分布的随机变量。

通过对二项分布进行分析，可以确定在给定的发生率和实验或观察次数下，疾病发生的概率，从而帮助医生做出诊断或评估治疗效果。

五、运输调度在物流运输中，经常需要考虑货物的损失率或延误率。

假设某种货物的损失率或延误率为p，每次运输只有损失或延误和未损失或未延误两种可能。

二项分布经典例题+练习题

二项分布1．n 次独立重复试验一般地，由n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A 与A ，每次试验中()0P A p =>。

我们将这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验。

（1）独立重复试验满足的条件第一：每次试验是在同样条件下进行的；第二：各次试验中的事件是互相独立的；第三：每次试验都只有两种结果。

（2）n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()P X k ==(1)k k n k n C p p --。

2．二项分布若随机变量X 的分布列为()P X k ==k k n k nCp q -，其中0 1.1,0,1,2,,,p p q k n <<+==则称X 服从参数为,n p 的二项分布，记作(,)XB n p 。

1．一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X 的概率分布。

2.一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是31. (1)设ξ为这名学生在途中遇到红灯的次数，求ξ的分布列； (2)设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.3.甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为21，乙每次击中目标的概率为32. （1）记甲击中目标的此时为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（2）求乙至多击中目标2次的概率；（3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率. 【巩固练习】1.（2012年高考（浙江理））已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和.(Ⅰ)求X的分布列;(Ⅱ)求X的数学期望E(X).2．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.) 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13,乙每次投篮投中的概率为12,且各次投篮互不影响.(Ⅰ) 求甲获胜的概率;(Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望3．设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场则比赛宣告结束，假定,A B在每场比赛中获胜的概率都是12，试求需要比赛场数的期望．3．（2012年高考（辽宁理））电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.(Ⅰ)根据已知条件完成下面的22⨯列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列,期望()E X和方差()D X.5.（2007陕西理）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为54、53、52，且各轮问题能否正确回答互不影响. （Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数数期望.（注：本小题结果可用分数表示）6. 一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述三种情况下，分别求直至取得正品时所需次数ξ的概率分别布. (1)每次取出的产品不再放回去；（2）每次取出的产品仍放回去；（3）每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中.7. （2007•山东）设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x 2+bx+c=0实根的个数（重根按一个计）．（I ）求方程x 2+bx+c=0有实根的概率；（II ）求ξ的分布列和数学期望；8.（本题满分12分）某商场为吸引顾客消费推出一项惠活动.活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在A 区域返券60元；停在B 区域返券30元；停在C 区域不返券. 例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和. （I ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（II ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X （元），求随机变量X 的分布列和数学期望.9. (本题满分12分)中国∙黄石第三届国际矿冶文化旅游节将于2012年8月20日在黄石铁山举行，为了搞好接待工作，组委会准备在湖北理工学院和湖北师范学院分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm ）湖湖9 18若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高个子”，身高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“非高个子”，且只有湖北师范学院的“高个子”才能担任“兼职导游”。

二项分布公式推导

二项分布公式推导
嘿，咱来聊聊二项分布公式推导呀！二项分布的公式就是
P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)。

举个例子哈，比如说你扔硬币，正面朝上的概率是p，那扔n 次，恰好有k 次正面朝上的概率就能用这个公式算啦！
你想想啊，这不就像是你去抽奖，每次抽奖中奖的概率是固定的 p，你抽了 n 次，想知道恰好 k 次中奖的可能性是多少，二项分布公式就能帮你
搞定！就好像你在黑暗中摸索，这个公式就是那盏明灯，照亮你找到答案的路呀！这多有意思呀，是不是？每次用这个公式去计算，就感觉自己像个小小数学家一样，在探索着概率的奥秘呢！哈哈！咱再深入理解一下，比如说你考试做选择题，每个题目猜对的概率是 p，那 n 道题中恰好猜对 k 道的
概率，也能用这个公式呀！你说神奇不神奇？所以呀，可别小瞧了这个公式哦，它用处可大着呢！。

二项分布应用举例

二项分布应用举例二项分布是离散型概率分布，适用于在一定次数的独立重复试验中，成功和失败只两种可能性且各自概率不变的情况下，成功的次数的概率分布。

下面将介绍二项分布应用的一些典型例子。

1. 计算生产产品的合格率某工厂的产品一共要生产1000个，其中每一个产品是否合格都是相互独立的。

该工厂已经进行了1000次相同的生产过程，成功生产出合格产品的概率为0.95。

利用二项分布，可以计算出生产出的合格产品数量的概率分布。

例如，如果需要计算出合格产品数量在950-980之间的概率，可以使用二项分布的累计分布函数来求解。

2. 测试新药的功效医药公司研制一种新药，需要进行临床试验。

该公司在一定的样本人群中，随机选择了1000个人试验新药，其中预计有5%的患者能够痊愈。

利用二项分布，可以计算出治愈的患者数量的概率分布。

例如，如果需要计算出治愈患者数量在40-60之间的概率，可以使用二项分布的累计分布函数来求解。

3. 定义飞机故障概率飞机的故障概率是影响飞机航班安全的一个关键因素。

如果假设飞机在一个航班中出现故障的概率是0.01，那么在1000个航班中，出现至少一次故障的概率是多少？利用二项分布，可以计算出在1000个航班中，出现故障次数的概率分布，然后通过对概率分布函数求和，可以得到至少出现一次故障的概率。

4. 预测通过考试的学生比例某个班级参加英语考试，全班100人，其中40人备考充分，60人未备考。

设备考充分的学生通过考试的概率为0.9，未备考的学生通过考试的概率为0.3。

利用二项分布，可以计算出通过考试的学生数量的概率分布。

例如，如果需要预测考试通过的学生比例，可以使用二项分布的期望值计算出预测值。

综上所述，二项分布可以应用于许多实际问题，如生产产品合格率、药物试验效果、飞机故障预测、考试学生比例等，为实际问题的分析和决策提供了重要的概率工具。

二项分布的现实例子

二项分布的现实例子二项分布是概率论中常见的一种离散概率分布，通常用于描述在一系列独立重复的相同试验中成功次数的概率分布。

在现实生活中，我们可以找到很多与二项分布相关的实际例子。

本文将通过几个具体案例来说明二项分布在现实生活中的应用。

首先，我们来看一个关于市场营销的案例。

假设某公司推出了一款新产品，想要了解在推广活动中每位潜在客户购买该产品的概率。

通过市场调研，他们发现在100次电话营销中，平均有20次成功促成了销售。

这里每次电话营销可以看作一次独立的试验，成功促成销售可以看作成功的事件。

根据二项分布的理论，我们可以计算出在100次电话营销中成功促成销售20次的概率，从而帮助公司评估市场推广的效果。

其次，我们来看一个关于质量控制的案例。

某工厂生产的产品在质量检验中有5%的不合格率。

如果从中随机抽取20个产品进行检验，那么有多少概率会有超过2个不合格品呢？这里每个产品的合格与否可以看作一次独立的试验，不合格可以看作成功的事件。

通过二项分布的计算，我们可以得出在抽取20个产品进行检验时，有超过2个不合格品的概率，帮助工厂进行质量控制。

再来看一个关于体育比赛的案例。

假设某支篮球队在常规赛中每次投篮命中的概率为60%，如果进行100次投篮，那么队员们命中超过60次的概率是多少？在这个案例中，每次投篮可以看作一次独立的试验，命中可以看作成功的事件。

通过二项分布的计算，我们可以得出在进行100次投篮时，队员们命中超过60次的概率，帮助球队制定比赛策略。

最后，我们来看一个关于医学诊断的案例。

在医学诊断中，有时需要进行多次独立的检测来确认疾病的存在。

假设某种疾病的检测准确率为90%，如果进行3次检测，那么患者被正确诊断的概率是多少？每次检测可以看作一次独立的试验，正确诊断可以看作成功的事件。

通过二项分布的计算，我们可以得出在进行3次检测时，患者被正确诊断的概率，帮助医生提高诊断准确性。

通过以上几个案例，我们可以看到二项分布在市场营销、质量控制、体育比赛和医学诊断等领域的广泛应用。

《二项分布》之实例引入

《二项分布》之实例引入在统计学中，二项分布是一种离散型概率分布，它描述了在n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。

在实际生活中，我们常常面临这样的问题：如果进行了n次独立的成功与失败的试验，成功的次数会是多少？这时候，我们就可以用到二项分布来解决这个问题。

为了更好地理解二项分布，我们可以通过一些实例来引入这个概念。

在现实生活中，有很多问题都可以用二项分布来描述，比如抛硬币的问题、掷骰子的问题、抽样问题等等。

下面我们就通过一些具体的实例来介绍二项分布这个概念。

例1：抛硬币的问题假设我们有一枚硬币，抛十次看正面朝上的次数，这就是一个典型的二项分布的例子。

每次抛硬币都有两种可能的结果：正面或反面。

如果我们定义正面朝上为成功，反面朝上为失败，那么在十次抛硬币的实验中，成功的次数就可以用二项分布来描述。

为了更形象化地理解，我们可以用程序模拟来完成这个实验。

我们写一个简单的Python程序来模拟抛硬币的过程，然后统计十次抛硬币中正面朝上的次数。

代码如下：```pythonimport numpy as np# 模拟抛硬币的实验def flip_coin(n):result = np.random.randint(2, size=n)return np.sum(result)# 模拟十次抛硬币的实验experiments = 1000 # 模拟1000次实验n = 10 # 抛硬币的次数count = np.zeros(n+1) # 保存每种结果的次数通过运行这个程序，我们可以得到十次抛硬币中正面朝上0-10次的概率分布情况。

这个实例可以帮助我们更好地了解二项分布的概念，也可以通过这种方式来直观地感受二项分布的特性。

例2：掷骰子的问题另一个常见的二项分布实例是掷骰子的问题。

假设我们有一个六面的骰子，如果我们掷了十次，每次记录骰子的点数，并统计其中出现特定点数的次数，这也是一个典型的二项分布的问题。

同样地，我们可以用程序来模拟这个实验，然后得到掷骰子十次出现每种点数的概率分布情况。

二项分布的应用

二项分布的应用二项分布是概率论中的一种离散概率分布，常用来描述二项试验中成功次数的分布情况。

在实际生活中，二项分布有着广泛的应用，涉及到多个领域，包括工程、医学、金融等。

本文将以几个典型的二项分布应用为例，介绍二项分布在实际问题中的作用。

我们来看一个简单的例子。

假设某电子产品的生产车间中有一台机器，每天生产的产品数量是固定的。

为了保证产品质量，该机器会以一定的概率产生不合格品。

现在我们想知道，在连续生产n个产品后，有多大的概率会出现m个不合格品。

这个问题可以用二项分布来解决。

二项分布的概率函数可以用来计算在n次独立重复试验中成功次数为m的概率。

在这个例子中，每次生产产品的结果都是独立的，且成功的概率是固定的。

因此，我们可以使用二项分布的概率函数来计算出在n次生产中出现m个不合格品的概率。

除了生产过程中的质量控制，二项分布还可以应用于一些金融问题。

例如，在股票市场中，我们常常关注某只股票在未来一段时间内的涨跌概率。

假设某只股票在每个交易日中以一定的概率上涨，以另一定的概率下跌。

我们可以用二项分布来模拟这个过程，并计算出在未来若干个交易日中，股票上涨次数超过某个特定值的概率。

这对于投资者来说是非常有价值的信息，可以帮助他们制定投资策略。

二项分布还可以应用于医学研究中。

例如，在进行药物临床试验时，研究人员常常需要知道某种药物对患者的治疗效果。

他们会将患者分为两组，一组服用药物，另一组不服用药物（作为对照组）。

然后，研究人员会记录每组患者的治疗结果，比较两组之间的差异。

这个比较过程可以用二项分布来描述。

假设治疗组中有一定比例的患者获得治愈，而对照组中的患者获得治愈的比例略低。

通过对两组患者进行统计分析，可以计算出治疗组的治愈率超过对照组的概率，从而判断该药物的疗效。

二项分布在实际生活中有着广泛的应用。

无论是质量控制、金融问题还是医学研究，二项分布都能提供有价值的信息。

通过对二项分布的应用，我们可以更好地理解和解决实际问题，为决策提供科学依据。

二项分布例题

1、一个篮子里有5个红球和3个蓝球，随机摸取3次（每次摸取后放回），摸到红球的次数服从什么分布？A. 正态分布B. 二项分布C. 泊松分布D. 均匀分布（答案）B2、某品牌手机的故障率为0.05，若随机抽取100部该品牌手机，故障手机数服从什么分布？A. 指数分布B. 二项分布C. 正态分布D. 卡方分布（答案）B3、一枚硬币投掷5次，正面朝上的次数最可能服从什么分布？A. 二项分布B. 正态分布C. 均匀分布D. t分布（答案）A4、某药品的治愈率为70%，若对100名患者使用该药品，被治愈的患者数服从什么分布？A. F分布B. 二项分布C. 幂律分布D. 对数正态分布（答案）B5、一个骰子投掷3次，出现点数大于4的次数服从什么分布？A. 几何分布B. 二项分布C. 超几何分布D. 瑞利分布（答案）B6、某射击运动员的命中率为80%，若他射击10次，命中的次数服从什么分布？A. 韦布尔分布B. 二项分布C. 柯西分布D. 莱维分布（答案）B7、一箱苹果中有80%是好苹果，随机挑选10个苹果，好苹果的数量服从什么分布？A. 二项分布B. 伽马分布C. 贝塔分布D. 逻辑斯蒂分布（答案）A8、某网站的用户点击广告的概率为0.1，若随机抽取1000名用户，点击广告的用户数服从什么分布？A. 二项分布B. 古斯-贝叶斯分布C. 帕累托分布D. 威布尔分布（答案）A9、一个班级里有40%的学生是女生，随机抽取10名学生，女生的数量服从什么分布？A. 二项分布B. 三角分布C. 梯形分布D. 半正态分布（答案）A10、某产品的合格率为95%，若随机抽取50件产品，合格的产品数服从什么分布？A. 二项分布B. 伯努利分布C. 拉普拉斯分布D. 瑞利分布（答案）A。