3028131设每次射击的命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9
天津理工大学概率论与数理统计第二章习题答案详解
第2章一维随机变量 习题2一. 填空题：1.设 离 散 型 随 机 变 量 ξ 的 分 布 函 数 是 (){}x P x F ≤=ξ， 则 用 F (x) 表 示 概 {}0x P =ξ = __________。
解：()()000--x F x F 2.设 随 机 变 量 ξ 的 分 布 函 数 为 ()()+∞<<∞-+=x arctgx x F π121 则 P{ 0<ξ<1} = ____14_____。
解： P{ 0<ξ<1} = =-)0(F )1(F 143.设 ξ 服 从 参 数 为 λ 的 泊 松 分 布 ， 且 已 知 P{ ξ = 2 } = P{ ξ = 3 }，则 P{ ξ = 3 }= ___2783e - 或 3.375e -3____。
4.设 某 离 散 型 随 机 变 量 ξ 的 分 布 律 是 {}⋅⋅⋅===,2,1,0,!k k C k P Kλξ，常 数 λ>0， 则 C 的 值 应 是 ___ e -λ_____。
解：{}λλλλξ-∞=∞=∞==⇒=⇒=⇒=⇒==∑∑∑e C Ce k C k Ck P KK KK K 11!1!105 设 随 机 变 量 ξ 的 分 布 律 是 {}4,3,2,1,21=⎪⎭⎫⎝⎛==k A k P kξ则 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<2521ξP = 0.8 。
解：()A A k P k 161516181412141=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++==∑=ξ 令15161A = 得 A =1615()()212521=+==⎪⎭⎫ ⎝⎛<<ξξξp p P 8.041211516=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=6.若 定 义 分 布 函 数 (){}x P x F ≤=ξ， 则 函 数 F(x)是 某 一 随 机 变 量 ξ 的 分 布 函 数 的 充 要 条 件 是F ( x ) 单 调 不 减 ， 函 数 F (x) 右 连 续 ， 且 F (- ∞ ) = 0 ， F ( + ∞ ) = 17. 随机变量) ,a (N ~2σξ，记{}σ<-ξ=σa P )(g ，则随着σ的增大，g()σ之值 保 持 不 变 。
概率论与数理统计复旦大学出版社第一章课后参考答案
精心整理第一章1.见教材习题参考答案.2.设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C（1）A 发生，B ，C 都不发生； （2）A ，B ，C 都发生； （3）A ，B ，C （4）A ，B ，C 都不发生； （5）A ，B ，C（6）A ，【解】（1（B C (4)ABC B C (5)ABC ∪ABC ∪ABC ABC =AB BC AC3..4.设A ，?B )=0.3，求P （.【解】P 5.设A ，（A ）=0.6,P (B )=0.7,（1AB （2AB【解】（1)()0.6AB P A ==,()P AB 取到最大值为（2）当()()()0.3P A P B P A B =+-= 6.设A ，B ，P （C ）=1/3P （AC ）至少有一事件发生的概率. )=0， 由加法公式可得=14+14+13?112=347.52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？ 【解】设A 表示“取出的13张牌中有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花”，则样本空间Ω中样本点总数为1352n C =,A 中所含样本点533213131313k C C C C =,所求概率为8.（1）求五个人的生日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率； （3）求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1）设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故P （A 1）=517=（17）5（亦可用独立性求解，下同） （2）设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故P （A 2）=5567=(67)5(3)设A 3={五个人的生日不都在星期日}P （A 3）=1?P (A 1)=1?(17)59..见教材习题参考答案.10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n <N ）.试求其中恰有m 件（m ≤M ）正品（记为A ）的概率. （1）n （2）n（3）n .【解】（1样本空间Ω，所求概率为；(P (2)次为正品m 件的排（3n 次抽取中此题也可用贝努里概型，共做了n 重贝努里试验，每次取得正品的概率为MN，则取得m 件正品的概率为 11..见教材习题参考答案.12.50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？【解】设A ={发生一个部件强度太弱},样本空间Ω中样本点总数为350C ,A 中所含样本点13103k C C =，因此，所求概率为133103501()C C /C 1960P A ==13.7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率. 【解】设A i ={恰有i 个白球}（i =2,3），显然A 2与A 3互不相容.样本空间Ω中样本点总数为37n=C ，2A 中所含样本点数为2143C C ，3A 中所含样本点数为34C ，故所求概率为232322()()()35P A A P A P A =+=14.0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：（1）两粒都发芽的概率； （2）至少有一粒发芽的概率； （3）恰有一粒发芽的概率.【解】设2)0.7A =212)A A A =15.（1）问正好在第6次停止的概率；（2）问正好在第6次停止的情况下，第【解】（151次正面，（1）(P 16.0.7【解】设175双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率. 【解】设A 表示“4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双”，从5双不同的鞋子中任取4只，取法总数为410C ,A 表示“4只鞋子中没有配对的鞋子”，A 中所含基本事件数为4111152222C C C C C ,所求概率为 18.0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求： （1）在下雨条件下下雪的概率；（2）这天下雨或下雪的概率. 【解】设A ={下雨}，B ={下雪}.（1）()0.1()0.2()0.5P AB P B A P A ===（2）()()()()0.30.50.10.7P A B P A P B P AB =+-=+-= 19.3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.20.5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）. 【解】设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则A ={此人是女人}，显然A ，A 是样本空间的一个划分，且1()()P A P A ==,由贝叶斯公式得21.【解】 部分所示22.（1（2【解】区域”.(1)(2)设B 23.P 【解】()()()()()P B A B P A B P A P B P AB ==+- 24.15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率. 【解】设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新 球}。
(完整版)概率论与数理统计习题答案详解版(廖茂新复旦版)
概率论与数理统计习题答案详解版（廖茂新复旦版）习题一1. 设A，B，C 为三个事件，用A，B，C 的运算式表示下列事件：（1）A 发生而B与 C 都不发生；（2）A，B，C 至少有一个事件发生；（3）A，B，C 至少有两个事件发生；（4）A，B，C 恰好有两个事件发生；（5）A，B至少有一个发生而 C 不发生；（6）A，B，C 都不发生.解：（1）A BC或 A B C或 A （B∪C）.（2）A∪B∪C.（3）（AB）∪（AC）∪（BC）.（4）（AB C ）∪（AC B ）∪（BC A）.（5）（A∪B）C.（6） A B C 或ABC.2. 对于任意事件A，B，C，证明下列关系式：（1）（A+B）（A+B ）（ A + B）（ A + B ）= ；（2）AB+A B +A B+A B AB= AB；(3)A-(B+C)= (A-B)-C. 证明：略.3.设A，B为两事件，P（A）=0.5,P（B）=0.3,P（AB）=0.1，求：（1）A发生但B不发生的概率；（2）A，B 都不发生的概率；（3）至少有一个事件不发生的概率.解（1）P（A B ）=P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）=0.4；（2） P（AB）=P（ A B）=1-P（A∪B）=1-0.7=0.3；（3） P（A∪B）=P（AB ）=1-P（AB）=1-0.1=0.9.4.调查某单位得知。
购买空调的占15％，购买电脑占12％，购买DVD 的占20%；其中购买空调与电脑占6%，购买空调与DVD占10%，购买电脑和DVD占5％，三种电器都购买占2％。
求下列事件的概率。
（1）至少购买一种电器的；（2）至多购买一种电器的；（3）三种电器都没购买的.解：（1）0.28, （2）0.83, （3）0.725.10 把钥匙中有 3 把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。
解：8/156. 任意将10 本书放在书架上。
其中有两套书，一套 3 本，另一套4 本。
概率统计第一章答案
概率论与数理统计作业班级 姓名 学号 任课教师第一章 概率论的基本概念教学要求：一、了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．二、理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式．三、理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算，理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．重点：事件的表示与事件的独立性；概率的性质与计算．难点：复杂事件的表示与分解；试验概型的选定与正确运用公式计算概率；条件概率的理解与应用；独立性的应用．练习一 随机试验、样本空间、随机事件1.写出下列随机事件的样本空间(1)同时掷两颗骰子，记录两颗骰子点数之和；(2)生产产品直到有5件正品为止，记录生产产品的总件数；(3)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标．解：（1）{=Ω2；3；4；5；6；7；8；9；10；11；12}; （2）{=Ω5；6；7；…};（3）(){}1,22≤+=Ωy x y x 2.设C B A ,,三事件，用C B A ,,的运算关系表示下列事件：（1）A 发生，B 与C 不发生，记为 C B A ；（2）C B A ,,至少有一个发生，记为C B A ；(3) C B A ,,中只有一个发生，记为C B A C B A C B A ；(4）C B A ,,中不多于两个发生，记为ABC ．3.一盒中有3个黑球，2个白球，现从中依次取球，每次取一个，设i A ={第i 次取到黑球}，,2,1=i 叙述下列事件的内涵：（1）21A A ={}次都取得黑球次、第第21.（2）21A A ={}次取得黑球次或地第21.（3）21A A ={}次都取得白球次、第第21 .（4）21A A ={}次取得白球次或地第21. （5）21A A -={}次取得白球次取得黑球，且第第21.4.若要击落飞机，必须同时击毁2个发动机或击毁驾驶舱，记1A ={击毁第1个发动机}；2A ={击毁第2个发动机}；3A ={击毁驾驶舱}；试用1A 、2A 、3A 事件表示=B {飞机被击落}的事件.解：321A A A B =练习二 频率与概率、等可能概型（古典概率）1.若41)()()(===C P B P A P ,0)()(==BC P AB P , 163)(=AC P , 求事件A 、B 、C 都不发生的概率.解：由于 ,AB ABC ⊂ 则 ()(),00=≤≤AB P ABC P 得(),0=ABC P 于是()()()()()()()()ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=169163414141=-++= 所以()().16716911=-=-=C B A P C B A P 2.设,)(,)(,)(r B A P q B P p A P === 求B A P ().解：因为 ()()(),AB A P B A P B A P -=-=且,A AB ⊂则()()().AB P A P B A P -= 又 ()()()(),r q p B A P B P A P AB P -+=-+=所以()()()().q r r q p p AB P A P B A P -=-+-=-=3.已知在8只晶体管中有2只次品，在其中任取三次，取后不放回，求下列事件的概率：（1）三只都是正品；（2）两只是正品，一只是次品.解：（1）设=A ｛任取三次三只都是正品｝，则基本事件总数5638==C n ,A 包含基本事件数2036==C m ,于是 ()1455620==A P . （2）设=B ｛任取三次两只是正品，一只是次品｝，则基本事件总数5638==C n ，B 包含基本事件数,301226==C C m 于是().28155630==B P 4.在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码，（1）求最小号码为6的概率；（2）求最大号码为6的概率．解：（1）设=A ｛最小号码为6｝,则基本事件总数,120310==C n A 包含基本事件数,624==C m 于是().2011206==A P （2）设=B ｛最大号码为6｝，则基本事件总数,120310==C n B 包含基本事件数,1025==C m 于是().12112010==B P 5.一盒中有2个黑球1个白球，现从中依次取球，每次取一个，设i A ={第i 次取到白球}，3,2,1=i . 求)(i A P , 3,2,1=i .解： ()311=A P ; ()=2A P 312312=⨯⨯, ()311231123=⨯⨯⨯⨯=A P . 6.掷两颗均匀的骰子，问点数之和等于7与等于8的概率哪个大？解：样本空间基本事件总数,3666=⨯=n 设=1A ｛点数之和等于7｝，=2A ｛点数之和等于8｝,则=1A ｛()()()()()()3,4;4,3;2,5;5,2;1,6;6,1｝，1A 包含基本事件数等于6 ；=2A ｛()()()()()3,5;5,3;4,4;2,6;6,2｝，2A 包含基本事件数等于5 ;于是 ()613661==A P ; ()3652=A P .所以()()21A P A P > . 7.一批产品共100件，对其抽样检查，整批产品不合格的条件是：在被检查的4件产品中至少有1件是废品．如果在该批产品有5﹪是废品，问该批产品被拒收的概率．解：设=A ｛被检查的4件产品至少有1件废品｝，则()812.05100495==C C A P ;所以 ()()188.01=-=A P A P .8.将3个球随机放入4个杯子中，求杯子中球数的最大值为2的概率．解：基本事件总数34444=⨯⨯=n ，设=A {杯子中球数最大值为2}，则A 包含的基本事件数36131423==C C C m (3个球任取两个，然后4个杯子任取1个放入，再对1个球在3个杯子中任取一个放入)，于是()3436=A P . 练习三 条件概率1.甲、乙两班共有70名同学，其中女同学40名．设甲班有30名同学，而女生15名．求在碰到甲班同学时，正好碰到1名女同学的概率．解：设=A {碰到甲班同学}，=B {碰到乙班同学}，则();7030=A P (),7015=AB P 于是 ()()()5.0301570307015====A P AB P A B P . 2.箱子里有10个白球，5个黄球，10个黑球．从中随机地抽取1个．已知它不是黑球，求它是黄球的概率．解：设=A {任取一个不是黑球}，=B {任取一个是黄球}，则(),532515==A P ();51255==B P 又A B ⊂ ,则()()B P AB P = ,于是()()()315351===A P AB P A B P3.某人有5把钥匙，其中2把能打开房门.从中随机地取1把试开房门，求第3次才打开房门的概率.解：设=i A {第i 次能打开门} ，;3,2,1=i 则 =321A A A {第3次才打开门}，于是由乘法公式有53454.假设某地区位于甲、乙二河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区就遭受水灾．设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1，乙河流泛滥的概率为0.2.当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3.求（1）该时期内这个地区遭受水灾的概率；（2）当乙河泛滥时甲河流泛滥的概率.解：设=A {某时期甲河泛滥}，=B =A {某时期乙河泛滥}，则(),1.0=A P ()2.0=B P , ()3.0=A B P于是()()()()()()15.02.03.01.0=⨯===B P A B P A P B P AB P B A P ()()()03.015.02.0=⨯==B A P B P AB P()()()()27.003.02.01.0=-+=-+=AB P B P A P B A P5. 甲、乙两车间加工同一种产品，已知甲、乙两车间出现废品的概率分别为3﹪、2﹪，加工的产品放在一起，且已知甲车间加工的产品是乙车间加工的产品的两倍．求任取一个产品是合格品的概率．解：设=A {任取一个为甲生产的产品}，=B {任取一个产品为废品}，则()()()()%2%,3,31,32====A B P A B P A P A P 由全概率公式有 ()()()()()752100231100332=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P 6.设甲袋中有3个红球及1个白球.乙袋中有4个红球及2个白球.从甲袋中任取一个球（不看颜色）放到乙袋中后，再从乙袋中任取一个球,求最后取得红球的概率．解：设=A {从甲袋中任取一个球为红球}，=B {最后从乙袋中任取一个球为红球}，则 ()()()();74,75,41,43====A B P A B P A P A P 由全概率公式287474 7.玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8,0.1和0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机的一次性抽取4只察看，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率．解：设=i A {售货员任取一箱玻璃杯有i 个残品},2,1,0=i ，=B {顾客买下该箱玻璃杯}，则()()();1.0,1.0,8.0210===A P A P A P()()();632.0,8.0,1420418242041910≈====C C A B P C C A B P A B P (1)由全概率公式得()()()()()()()943.0632.01.08.01.018.0221100=⨯+⨯+⨯≈++=A B P A P A B P A P A B P A P B P(2)由贝叶斯公式得 ()()()().848.0943.018.0000≈⨯==B P A B P A P B A P 8.已知一批产品中有95﹪是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.02，一个次品被误判为合格品的概率是0.03，求：（1）任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；（2）一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率．解：设=A {任取一个产品为合格品}，=B {任取一个产品被判为合格品}，则()()()();03.0,98.002.01,05.0,95.0==-===A B P A B P A P A P于是（1） 任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率是 ()()()()()9325.003.005.098.095.0=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P（2）一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率是 ()()()().9984.09325.098.095.0≈⨯==B P A B P A P B A P练习四 事件的独立性1.设甲、乙两人独立射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.9和0.8，求在一次射击中目标被击中的概率.解：设 =A {甲击中目标}，=B {乙击中目标}, 则=B A {目标被击中},()()8.0,9.0==B P A P ,于是()()()()()()()().98.08.0098.09.0=⨯-+=-+=-+=B P A P B P A P AB P B P A P B A P2.三人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别是41,31,51，问能将此密码译出的概率是多少？解：设=i A {第i 人破译密码} ，;3,2,1=i =B {破译密码}, 则 ()()(),41,31,51321===A P A P A P 321A A A B =, 于是()()()()()()().5343325411111321321321=⨯⨯-=-=-=-=-=A P A P A P A A A P A A A P B P B P3.电路由元件A 与两个并联的元件B 及C 串联而成，且它们工作是相互独立的．设元件A 、B 、C 损坏的概率分别是0.3，0.2，0.2，求电路发生间断的概率.解：设=D {电路正常}，则()C A B A C B AD ==, 则 ()()()()()()()()()()().672.08.08.07.08.07.08.07.0=⨯⨯-⨯+⨯=-+=-+=C P B P A P C P A P B P A P C B A P C A P B A P D P 所以 ()()328.0672.011=-=-=D P D P4. 设每次射击时命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9？解：设至少要进行n 次独立射击，则至少击中一次的概率不小于0.9可表为： ()(),9.0011≥=-=≥k P k P n n由于,2.0=p 则,8.0=q 于是()n n k P 8.0101-==-，所以有,1.08.0≥n 即32.103.0ln 2.0ln =≥n所以至少进行11次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9.综合练习题一、选择题1．设事件B A ，，有A B ⊂，则下列式子正确的是（ A ）.(A ）);()(A P B A P = (B) );()(A P AB P =(C) );()|(B P A B P = (D) ).()()(A P B P A B P -=-2．设A 与B 为两个相互独立的事件，0)(>A P ，0)(>B P ，则一定有=)(B A P ( B).（A ）)()(B P A P + （B ）)()(1B P A P -（C ）)()(1B P A P + （D ）)(1AB P -.3．设B A ,为两事件，且B A ⊃，则下列结论成立的是（ C ）.（A ）A 与B 互斥；（B ） A 与B 互斥；(C)A 与B 互斥；(D) A 与 B 互斥.4．设B A ,为任意两事件，且,0)(,>⊂B P B A 则下列选择必然成立的是（ C ）.(A))|()(B A P A P <； (B) )|()(B A P A P >；(C) )|()(B A P A P ≤； (D) )|()(B A P A P ≥.5．假设事件A 和B 满足1)(=A B P ，则下列正确的是（ D ）．（A ）A 是必然事件； （B ）();0=A B P ； （C ）A B ⊂ ； （D ）B A ⊂.6．对于任意二事件B A ,( B ）.(A) 若AB ≠∅，则B A ,一定独立； (B) ,AB ≠∅则B A ,有可能独立；(C) AB =∅，则B A ,一定独立； (D) AB ≠∅，则B A ,一定不独立；7．若事件A 和B 满足)}(1)}{(1{)(B P A P B A P --= ，则正确的是（ D ）．（A ）互不相容与B A ； （B ） 互不相容与B A ；（C ） B A ⊃； （D ） 互为独立与B A ．8．设当事件A 与B 同时发生时，事件C 必发生，则（ B ）．（A ）1)()()(-+≤B P A P C P ； （B ）1)()()(-+≥B P A P C P ；（C ）)()(AB P C P =； （D ）)()(B A P C P =.9．设B A 、是两个事件，则=-)(B A P ( C )．（A ）)()(B P A P -； （B ）)()()(AB P B P A P +-；(C) )()(AB P A P -； (D) )()()(AB P B P A P ++.10．设C B A ,,是三个随机事件，41)()()(===C P B P A P ，81)(=AB P ，0)()(==AC P BC P ，则C B A ,,三个随机事件中至少有一个发生的概率是( B )．（A ）43； （B ） 85； （C ） 83； （D ） 81. 11．某学生做电路实验，成功的概率是0(p ﹤p ﹤1)，则在3次重复实验中至少失败1次的概率是（ B ）．（A ）3p ； （B ）31p -； （C ）3)1(p -； （D ）3)1(p -)1()1(22p P p p -+-+.12．设A P B P A P (,7.0)(,8.0)(==|8.0)=B ，则下面结论正确的是（ A ）．（A ）事件A 与B 互相独立； （B ）事件A 与B 互不相容；（C ）;B A ⊂ （D ）).()()(B P A P B A P +=13．下列事件中与A 互不相容的事件是（ D ）（A ）ABC ; (B) C B C B A ; (C) )(C B A ; (D) ))()((B A B A B A .14．若事件A 、B 相互独立且互不相容，则{}=)(),(min B P A P （ C ）．(A) )(A P ； （B ） )(B P ； （C ） 0； （D ） )()(B P A P -.15．,1)|()|(,1)(0,1)(0=+<<<<B A P B A P B P A P 设则（ A ）．(A) )()|(A P B A P = ； (B) A B =； (C) Φ≠AB ； (D) )()()(B P A P AB P ≠.二、填空题1．已知B A ⊂，3.0)(,2.0)(==B P A P ，则)(B A P - 0 ．2．设7.0)(=A P ,5.0)(=B P ．则的最小值为)(AB P 0.2 ．3．三次独立的试验中，成功的概率相同，已知至少成功一次的概率为2719，则每次试验成功的概率为 1/3 ．4．已知()0.5,()0.8P A P B ==，且(|)0.8 P B A =，则=)(B A P 0.9 ．5. 设5.0)(=A P ,4.0)(=B P ,6.0)|(=B A P ,则)|(B A A P = 20/29 ．6．假设事件A 和B 满足1)(=A B P ，则A 和B 的关系是B A ⊂．7．已知7.0)(=A P ，3.0)(=-B A P ，则=)(AB P 0.4 ． 8．已知41)(=A P ,31)(=AB P ,21)(=B A P ,则=)(B A P 1/3 ． 9．设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为91，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则=)(A P 2/3 ．10．设C B A ,,构成一个完备事件组，且()0.5,()0.7P A P B ==，则=)(C P 0.2 ．11．设A 与B 为互不相容的事件，0)(>B P ，则=)(B A P 0 ．12.设事件C B A ,,两两互斥，且,4.0)(,3.0)(,2.0)(===C P B P A P则=-])[(C B A P 0.5 .13．设事件A 与B 相互独立，已知1)()(-==a B P A P ,97)(=B A P ,则=a 5/3或4/3 ．14．甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为6.0和5.0，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 3/4 ．15．假设随机事件A 与B 满足),()(B A P AB P =且p A P =)(，则=)(B P p -1．三、应用题1．甲、乙、丙3人同向一飞机射击，设击中飞机的概率分别为0.4，0.5，0.7.如果只有一人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.2；如果有2人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.6；如果3人都击中飞机，则飞机一定被击落．求飞机被击落的概率．解:设=i A {第i 人击中飞机}，=i 甲，乙，丙；=i B {i 人击中飞机};3,2,1,0=i ，=C {飞机被击落}；则()()();7.0;5.0;4.0321===A P A P A P()()()()36.03213213211=++=A A A P A A A P A A A P B P ,()()()()41.03213213212=++=A A A P A A A P A A A P B P ,()()14.03213==A A A P B P ;(),2.01=B C P (),6.02=B C P ();13=B C P所以()()()()()()()458.0332211=++=B C P B P B C P B P B C P B P C P2．甲、乙2人投篮命中率分别为0.7，0.8，每人投篮三次，求（1）两人进球数相等的概率；（2）甲比乙进球数多的概率． 解：设=i A {甲人三次投篮进i 个球}，=i B {乙人三次投篮进i 个球}，则()(),027.07.0130=-=A P ()(),189.07.017.02131=-⨯⨯=C A P()()(),411.07.017.02232=-⨯⨯=C A P ()();343.07.03333=⨯=C A P()(),008.08.0130=-=B P ()(),096.08.018.02131=-⨯⨯=C B P()()(),384.08.018.02232=-⨯⨯=C B P ()();512.08.033==B P(1)=C {两人进球相等}33221100B A B A B A B A =,()()()()()()()()()()()()();36332.03322110033221100=+++=+++=B P A P B P A P B P A P B P A P B A P B A P B A P B A P C P (2)=D { 甲比乙进球数多}331303120201B A B A B A B A B A B A =()()()()()()()()()()()()().21476.0231303120201=+++++=B P A P B P A P B P A P B P A P B P A P B P A P D P3．一射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3.该射手3发子弹得到不小于29环的概率．解：设=1A {命中10环}，=2A {命中9环}，则;,2121Ω=Φ=A A A A 于是=B {3发子弹得到不小于29环}={3发子弹均为10环} {有2发击中10环}，所以()()()()()()784.03.07.03.07.023223033333=⨯⨯+⨯⨯=+=C C P P B P4．有2500人参加人寿保险，每年初每人向保险公司交付保险费12元．若在这一年内投保人死亡，则其家属可以向保险公司领取2000元．假设每人在这一年内死亡的概率都是0.002，求保险公司获利不少于10000元的概率．解：设参加保险的人中有x 人死亡，当,100002000122500≥-⨯x 即10≤x 时，保险公司获利不少于10000元。
福师《线性代数与概率统计》在线作业一答卷
B.41/720
C.53/720
D.41/90
答案:D
18.一袋中装有10个相同大小的球，7个红的，3个白的。设试验E为在袋中摸2个球，观察球的颜色试问下列事件哪些不是基本事件( )
A.{一红一白}
B.{两个都是红的}
C.{两个都是白的}
D.{白球的个数小于3}
答案:D
D.1/2
答案:A
10.一位运动员投篮四次，已知四次中至少投中一次的概率为0.9984，则该运动员四次投篮最多命中一次的概率为（ ）
A.0.347
B.0.658
C.0.754
D.0.0272
答案:D
11.若E表示：掷一颗骰子，观察出现的点数，则（ ）是随机变量
A.点数大于2的事件
A.唯一
B.不
C.可能
D.以上都不对
答案:A
28.设在某种工艺下，每25平方米的棉网上有一粒棉结，今从某台梳棉机上随机取得250平方厘米棉网，则其中没有棉结的概率是（ ）
A.0.000045
B.0.01114
C.0.03147
D.0.36514
答案:A
29.利用样本观察值对总体未知参数的估计称为( )
43.两个互不相容事件A与B之和的概率为
A.P(A)+P(B)
B.P(A)+P(B)-P(AB)
C.P(A)-P(B)
D.P(A)+P(B)+P(AB)
答案:A
44.在条件相同的一系列重复观察中，会时而出现时而不出现，呈现出不确定性，并且在每次观察之前不能确定预料其是否出现，这类现象我们称之为
概率论与数理统计(第三版)课后答案习题5
第五章 大数定律与中心极限定理1. 设随机变量ξ的方差为2.5。
利用契贝雪夫不等式估计： {}5.7||≥-ξξE P 的值。
解：由契贝雪夫不等式：2}|{|εξεξξD E P ≤≥-，又已知5.7,5.2==εξD ，故044.05.75.2}5.7|{|2=≤≥-ξξE P 。
2. 已知某随机变量ξ的方差D ξ=1，但数学期望E ξ=m 未知，为估计m ，对ξ进行n 次独立观测，得样本观察值ξ1，ξ2，…，ξn 。
现用{}∑=≥<-=ni ipm P m nn 15.0||1ξξξ多大时才可能使问当估计， 。
解：因∑===ni i m E nE 1,1ξξ又ξ1，ξ2，…，ξn 相互独立，故∑∑=====ni ni i i n D nnD D 1121)(1)1(ξξξ，根据契贝雪夫不等式，有25.01}5.0|{|ξξξD E P -≤<-，即n m P 41}5.0|{|-≤<-ξ，再由p n p n -≥≥-14,41得。
3. 设在由n 个任意开关组成的电路的实验中，每次试验时一个开关开或关的概率各为12。
设m 表示在这n 次试验中遇到的开电次数，欲使开电频率mn 与开电概率p =0.5的绝对误差小于ε=0.01，并且要有99%以上的可靠性来保证它实现。
试用德莫佛-拉普拉斯定理来估计，试验的次数n 应该是多少？ 解：欲使99.0}01.0|{|≥<-p n mP ，即99.0}//01.0//|{|≥<-n pq n pq p nm P ，亦即，则t ~N (0，1)且有,99.001.0≥⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<pq n t P 由58.201.0995.0)58.2(≥⇒=Φpqn，以p =q =1/2代入可得 n =16641。
4. 用某种步枪进行射击飞机的试验，每次射击的命中率为0.5%，问需要多少支步枪同时射击，才能使飞机被击中2弹的概率不小于99%？解：用n 步枪同时向飞机射击，可以看成用一枝步枪进行n 次射击的独立试验，令ξ表示n 次射击击中目标的次数，则ξ服从参数为n ，p =0.005的贝努利概型，由隶莫弗——拉普拉斯定理可得⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--≥--=≥n n n n P p np npp np npP P 004975.0005.02004975.0005.0)1(2)1(}2{ξξξ99.0004975.0005.021=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-≈n n ，查表得n ≈1791。
15春福师《概率论》在线作业一满分答案
B. 21
C. 25
D. 46
满分：2 分
23. 三人独立破译一密码，他们能单独译出的概率分别为1/5,1/3,1/4,则此密码被译出的概率是
A. 2/5
B. 3/4
C. 1/5
D. 3/5
满分：2 分
24. 已知随机事件A 的概率为P（A）=0.5，随机事件B的概率P（B）=0.6，且P（B︱A）=0.8，则和事件A+B的概率P（A+B）=（ ）
A. 9.5
B. 6
C. 7
D. 8
满分：2 分
36. 随机变量X服从正态分布，其数学期望为25，X落在区间（15,20）内的概率等于0.2,则X落在区间（30,35）内的概率为（ ）
A. 0.1
B. 0.2
C. 0.3
D. 0.4
满分：2 分
37. 袋中有4白5黑共9个球，现从中任取两个，则这少一个是黑球的概率是
15. 设P(A)=a,P(B)=b,P(A+B)=C，则B的补集与A相交得到的事件的概率是
A. a-b
B. c-b
C. a(1-b)
D. a(1-c)
满分：2 分
16. 炮弹爆炸时产生大、中、小三块弹片。大、中、小三块弹片打中某距离的装甲车的概率分别等于0.1，0.2，0.4。当大、中、小三块弹片打中装甲车时其打穿装甲车的概率分别为0.9，0.5，0.01。今有一装甲车被一块炮弹弹片打穿（在上述距离），则装甲车是被大弹片打穿的概率是（ ）
A. 0.6
B. 5/11
C. 0.75
D. 6/11
满分：2 分
天津理工大学概率论与数理统计同步练习册答案详解
第一章 随机变量 习题一1、写出以下随机试验的样本空间(1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和Ω={}1843,,, (2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数Ω= {} ,,1110 (3)对某工厂出厂的产品进展检验，合格的记上“正品〞，不合格的记上“次品〞，如连续查出2个次品就停顿，或检查4个产品就停顿检查，记录检查的结果。
用“0”表示次品，用“1”表示正品。
Ω={111111101101011110111010110001100101010010000,,,,,,,,,,,}(4)在单位圆任意取一点，记录它的坐标Ω=}|),{(122<+y x y x(5)将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度Ω=},,,|),,{(1000=++>>>z y x z y x z y x其中z y x ,,分别表示第一、二、三段的长度(6 ) .10只产品中有3只次品，每次从其中取一只(取后不放回) ，直到将3只次品都取出，写出抽取次数的根本空间U =“在 ( 6 ) 中，改写有放回抽取〞 写出抽取次数的根本空间U =解: ( 1 ) U = { e3 ， e4 ，… e10 。
}其中 ei 表示“抽取 i 次〞的事件。
i = 3、 4、…、 10( 2 ) U = { e3 ， e4 ，… }其中 ei 表示“抽取 i 次〞的事件。
i = 3、 4、…2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出以下各对事件的关系(1)δ<-||a x 与δ≥-||a x 互不相容 (2)20>x 与20≤x 对立事件(3)20>x 与18<x 互不相容 (4)20>x 与22≤x 相容事件(5)20个产品全是合格品与20个产品中只有一个废品 互不相容(6)20个产品全是合格品与20个产品中至少有一个废品 对立事件解: 互不相容:φ=AB ;对立事件:φ=AB )1(且Ω=⋃B A3、设A,B,C 为三事件，用A,B,C 的运算关系表示以下各事件(1)A 发生，B 与C 不发生 - C B A (2)A 与B 都发生，而C 不发生 - C AB(3)A,B,C 中至少有一个发生-C B A ⋃⋃ (4)A,B,C 都发生 -ABC(5)A,B,C 都不发生-C B A (6)A,B,C 中不多于一个发生 -C B C A B A ⋃⋃(7)A,B,C 中不多于两个发生-C B A ⋃⋃(8)A,B,C 中至少有两个发生-BC AC AB ⋃⋃4、盒装有10个球，分别编有1- 10的，现从中任取一球，设事件A 表示“取到的球的为偶数〞，事件B 表示“取到的球的为奇数〞，事件C 表示“取到的球的小于5”，试说明以下运算分别表示什么事件.(1)B A 必然事件 (2)AB 不可能事件 (3)C 取到的球的不小于5 (4)C A 1或2或3或4或6或8或10(5)AC 2或4 (6)C A 5或7或9 (7)C B 6或8或10 (8)BC 2或4或5或6或7或8或9或105、指出以下命题中哪些成立，哪些不成立. (1)B B A B A = 成立 (2)B A B A = 不成立 (3)C B A C B A = 不成立 (4)φ=))((B A AB 成立(5)假设B A ⊂，那么AB A = 成立(6)假设φ=AB ，且A C ⊂，那么φ=BC 成立(7)假设B A ⊂，那么A B ⊂ 成立 (8)假设A B ⊂，那么A B A = 成立7、设一个工人生产了四个零件，i A 表示事件“他生产的第i 个零件是正品〞),,,(4321=i ，用1A ,2A ,3A ,4A 的运算关系表达以下事件.(1)没有一个产品是次品； (1)43211A A A A B =(2)至少有一个产品是次品；(2)432143212A A A A A A A A B =⋃⋃⋃=(3)只有一个产品是次品；(3)43214321432143213A A A A A A A A A A A A A A A A B ⋃⋃⋃=(4)至少有三个产品不是次品 4)432143214321432143214A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A B ⋃⋃⋃⋃=8. 设 E 、F 、G 是三个随机事件，试利用事件的运算性质化简以下各式：(1)()()F E F E (2) ()()()F E F E F E 〔3〕()()G F F E 解 :(1) 原式()()()()E F F F E F E E E ==(2) 原式 ()()()()E F F E F F E F E F E ===(3) 原式()()()()()G E F G F F F G E F E ==9、设B A ,是两事件且7060.)(,.)(==B P A P ，问(1)在什么条件下)(AB P 取到最大值，最大值是多少？(2)在什么条件下)(AB P 取到最小值，最小值是多少？ 解: (1)6.0)(,=⊂AB P B A (2)3.0)(,==⋃AB P S B A10. 设事件 A ， B ， C 分别表示开关 a ， b ， c 闭合， D 表示灯亮，那么可用事件A ，B ，C 表示：(1) D = A B C ；(2) D = ()C B A 。
概率论与数理统计2-2-zh
泊松定理
设 0是一个常数, n是任意正整数，
k k e . k!
设n pn , 则对任一固定的非负整 数k , 有
lim C pn (1 pn ) n k
n k n
上述定理表明当n很大、p很小时有以下的近似
C p (1 p )
k n
k
n k
e , 其中 np. k!
例4 某人进行射击,设每次射击的命中率为0.02， 独立射击400次，试求至少击中两次的概率.
解 设 X 表示命中的次数, 则 X ~ b(400,0.02).
k 400
P( X k) C
0.02 0.98
k
400 k
, k 0,1,,400.
P( X 2) 1 P ( X 0) P ( X 1)
引入分布函数的意义
a
b
2. 性质
F ( x ) P ( X x ).
X
(1)F ( x )是一个不减函数，即 若x1 x 2 , 则F ( x1 ) F ( x 2 ).
( 2)0 F ( x ) 1,
x
F ( ) lim F ( x ) 0, F ( ) lim F ( x ) 1.
q
k 1
k 1
p p q
k 1
k 1
q 1. p 1 q
(3)概率背景
55页 4 题（1）
例2
某射手每次向靶射击一发子弹，命中的 概率是 p (0<p<1) . 今向靶做独立重复射击， 直到中靶为止，则他消耗的子弹数 X 是一个 随机变量，求 X 的分布律. 解 X 可能取的值是1, 2, … P(X=1) = p， P(X=2) = (1- p) p， P(X=3) = (1- p)2 p， ……. X的分布律为 P(X=k) = (1- p) k-1 p, k=1, 2,…
概率论习题——精选推荐
习题一1．连续抛掷两枚硬币，观察其出现正反面的情况。
写出这个随机试验的样本空间． 5．已知一批产品中有3个次品，从这批产品中任取5件产品来检查．设事件i A 表示取出的5件产品中恰有i 件次品)3,2,1,0(=i ．问：（1）事件3210,,A A A A 是否互不相容？ （2）事件3210A A A A +++是否为必然事件？（3）设事件B 表示{}个产品中有次品取出的5，试用3210,,A A A A 表示B ． 13．某地某月份刮大风的概率为3011，在刮大风的条件下降雨的概率为87，求该地该月份任一时刻既刮大风又下雨的概率．15．设B A ,为两个相互独立的事件，且6.0)(=+B A P ，4.0)(=A P ．求)(B P ． 21．用三台机床加工同一种零件一批，这批零件中三台机床各占产量分别为50%，30%和20%．若各机床加工零件为合格品的概率分别为0.94，0.9，0.95．求这批零件的合格率．27．设某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，某个这种动物现龄20岁，问它能活到25岁的概率是多少？习题二1．盒中有10个形状相同的10只灯泡，其中7个螺口灯泡，3个卡口灯泡，灯口向下放着看不见．需要取出一个螺口灯泡，若取出的为卡口灯泡就放到另一个空盒中．求取到螺口灯泡前已取出卡口灯泡的个数的分布列．2．现有10个号码（1号到10号），从中任抽取3个号码，记这3个号码中最小号码为X ，求X 的分布列及{}52≤<X P ．3．对一目标进行射击，直到击中为止．如果每次射击命中率为p ，求射击次数X 的分布列．4．有人求得一离散型随机变量的分布列为试说明这个计算结果是否正确．5．10门火炮各自独立地同时向一敌船射击一次．设当敌船被命中两发或两发以上的炮弹则被击沉．若每门炮射击一次的命中率都为0.6，求敌船被击沉的概率．6．设顾客在某银行的服务窗口等待服务的时间X （单位：分钟）服从参数为51的指数分布．某顾客在服务窗口等待服务，若超过１０分钟，他就离去．他一个月要到银行５次．以Y 表示该顾客一个月内未等到服务而离去的次数．写出Y 的分布列并求)1(≥Y P ． 7．某地每年遭台风袭击的次数服从参数为4的泊松分布，求：（1）该地一年遭受8次台风的概率．（2）该地一年内遭受8次台风袭击的概率．8．设X 服从泊松布布，且已知)2()1(===X P X P ，求{}4=X P ．9．设某种电子元件的使用寿命T 的概率密度函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=0)(2t at f100100<≥t t （单位：小时）， （1）确定常数a ．（2）一仪器中有3个这种元件，问从最初开始使用算起的150小时内3个元件至少损坏一个的概率是多少？10．设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧=,0,)(cx x f其它10≤≤x ， （1）求常数c ；（2）计算{}7.03.0<<X P 和{}5.01<<-X P ．11．随机变量X 的概率密度函数为||)(x Ce x f -=，+∞<<∞-x求 ：(1) 常数C ．（2）X 落入区间（0,1）的概率．12．设X 服从[0,5]上的均匀分布，求关于x 的方程02442=+++X Xx x 有实根的概率．13．设某类动物的寿命服从指数分布，试证明在已知寿命长于s 年的条件下再活t 年的概率与年龄s 无关，即{}{}t X P s X t s X P >=>+>|．14．设随机变量X 的概率分布为（1）求常数a ．（2）求{}5.0>X P 及{}51≤<X P ． （3）求X 的分布函数)(x F ，并作出)(x F 的图形． 15．设随机变量X 的分布函数为⎩⎨⎧-=-01)(x e x F 00<≥x x ，（1）求{}2≤X P 及{}3>X P 和{}31<≤-X P ． （2）求X 的密度函数)(x f ．16．设连续型随机变量X 的分布函数x B A x F arctan )(+=，+∞<<∞-x ． 求（1）常数B A ,； （2）{}11≤≤-X P ；（3）随机变量X 的密度函数．17．设)1,0(~N X ，求：（1）{}4.2<X P ．（2）{}1-≤X P ．（3）{}5.1||<x P ． 18．设)2,3(~2N X ，求：（1）{}52≤<X P ． （2）{}104<<-X P ．（3）{}2||>X P ． （4）{}1->X P ． 19．某产品的质量指标),160(~2σN X ，若要求{}8.0200120≥<<X P ，问允许σ最多为多少？20．设测量从某地到某一目标的距离时，发生的误差)40,20(~2N X （单位：米）． （1）求测量一次产生的误差的绝对值不超过30米的概率．（2）如果接连测量三次，各次测量是相互独立进行的，求至少有一次误差不超过30米的概率．21．设某批材料的强度)18,200(~2N X ．（1）计算从中任取一件，其强度不低于180的概率．（2）如果所用的材料要求以99%的概率保证强度不低于150，问这批材料是否符合这个要求？22．设离散型随机变量X 的分布列为求2X Y =和12-=X Z 及1||+=X W 的分布列．23．设连续型随机变量X 的密度函数⎩⎨⎧=03)(2x x f 1010><≤≤x x x 或 ，求：（1）12+-=X Y 的密度函数．（2）2X Z =的密度函数．24．设)1,0(~N X ，求：（1）Xe Y =的密度函数．（2）||X Y =的密度函数．习题三1. 一口袋中装有四个球，标号分别为3,2,2,1，从中先后任取两个球，第一次取得的球标号记为X ，第二次取得的球标号记为Y ．试就放回抽取与不放回抽取两种情况分别求出),(Y X 的联合分布列．2. 甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X 和Y 分别表示甲和乙的命中次数．试求),(Y X 的分布列．3. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧=,0,),(Axy y x f .,1012其它且当≤≤≤≤x y x ． (1) 确定常数A ；（2）计算⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤210,10Y X P ．(3)计算{}D Y X P ∈),(，D 由x y x ≤≤2，10≤≤x 确定．4. 设),(Y X 服从区域D 上的均匀分布，D 是由1+=x y ，x 轴、y 轴围成的区域．求：（1）),(Y X 的密度函数．（2）概率{}X Y P -≤． 5. 二维随机变量),(Y X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧+-=,0),2(),(22y x A y x f .4,42222>+≤+y x y x 当当． 求：（1）常数A ；（2）{}122≤+Y X P ．6. 将一枚均匀硬币抛掷三次，用X 表示在三次中出现的正面数，以Y 表示三次中出现的正面次数与反面次数之差的绝对值．求),(Y X 的联合分布列和边缘分布列，并判断X 与Y 是否独立．7. 设),(Y X 为1题中的随机变量，求),(Y X 的边缘分布列并判断X 与Y 是否独立． 8. 设二维随机变量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧=--,0,),(y x e y x f 其它0,0>>y x ． 求边缘密度函数并判断X 与Y 是否独立．9. 盒中有3只黑球，2只红球，2只白球，从中任取4只，以X 表示求取到的黑球数，以Y 表示取到的红球数．求),(Y X 的联合分布列和边缘分布列，并判断X 与Y 是否独立．10.（1）若),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧=,0,4),(xy y x f 其它10,10≤≤≤≤y x ． 问X 与Y 是否独立？（2）若),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧=,0,8),(xy y x f 其它10,0≤≤≤≤y y x ． 问X 与Y 是否独立？11. 设),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧+=,0),sin(),(y x A y x f 其它20,20ππ<<<<y x ．求（1）常数A ；（2）边缘密度函数．12. 设X 与Y 相互独立，其分布列分别为求：（１）Y X +的分布列．（2）XY 的分布列．习题四1．设X 的分布律为求: )(),1(),(2X E X E X E +-．2．设X 的密度函数为||21)(x e x f -=．求: )(),(2X E X E ． 3．设X 的密度函数为⎩⎨⎧><<=其它,0)0,(10,)(a k x kx x f a ，又已知750)(⋅=X E ．求k和a 的值．4．设二维随机变量),(Y X 服从区域D 上的均匀分布，其中D 是由x 轴、y 轴及直线01=++y x 所围成的区域． 求: )(),23(),(XY E Y X E X E +-．5．设X 表示10次重复独立射击中击中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4．求)(2X E ．6．求第1题到第3题的随机变量X 的方差)(X D ．7．设X ~),(p n B ，且28.1)(,6.1)(==X D X E ．求n 和p ． 8．设二维随机变量),(Y X 的密度为⎩⎨⎧<<<<=其它,00,10,),(xy x k y x f ．试确定常数k ，并求)(XY E ．9．设二维随机变量),(Y X 的密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>=+-其它,00,0,4),()(22y x xye y x f y x ． 求22Y X Z +=的均值．10．设Y X ,相互独立，密度函数分别为⎩⎨⎧>=⎩⎨⎧≤≤=--其它其它,05,)(,,010,2)()5(y e y f x x x f y Y X ．求)(XY E ．11．若随机变量Y X ,不相关．证明：)()()(Y D X D Y X D +=+．12．设Y X ,相互独立，且1)()(,0)()(====Y D X D Y E X E ．求])[(2Y X E +． 13． 设随机变量X 和Y 满足4.0,36)(,25)(===XY Y D X D ρ． 求:)(),(Y X D Y X D -+．14．设二维随机变量),(Y X 的密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其它,020,20),(81),(y x y x y x f ．求：),(),(),(),(),(Y X Cov Y D X D Y E X E 及XY ρ．15．设),(Y X 的联合分布律为问：Y X ,是否相关？是否独立？习题五1． 随机变量X 服从参数为21的指数分布，试用契比雪夫不等式估计)3|2(|>-X P 的值． 2． 设随机变量X 服从二项分布)01.0,200(B ，试用契比雪夫不等式估计)2|2(|<-X P 的值．3． 设 ,,,,21n X X X 为相互独立的随机变量序列，且),2,1( =i X i 均服从参数为λ的泊松分布，则=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛>-∑=∞→x n n X P n i i n λλ1lim ，当2,100==λn 时，≈>∑=)200(1ni iXP ．4． 在每次试验中，事件A 以概率21发生，是否能以大于0.97的概率保证1000次重复独立试验中事件A 发生的次数在400到600的范围内?5． 某厂有400台同型号的的机器，每台机器发生故障的概率为0.02，假设每台机器独立工作，试求机器出故障的台数不少于2台的概率．6． 某产品的不合格率为0.005，任取10000件，问不合格品不多于70件的概率是多少？ 7． 一复杂系统由100个相互独立的部件组成，在运行期间每个部件损坏的概率为0.10，为使系统能起作用，需要至少85个部件正常工作即可，求整个系统起作用的概率．习题六12．设总体X 和Y 相互独立，都服从正态分布2(0,3)N ．设129,,,X X X和129,,,Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的样本，则统计量Z =服从 分布，自由度为 ．13．设总体2~(0,2)X N ，1215,,,X X X 是来自总体X 的样本，则随机变量22212102221112152()X X X Y X X X +++=+++ 服从 分布，自由度为 ． 14．设1234,,,X X X X 是来自总体2~(0,2)X N 的样本，记221234(2)(34)X a X X b X X =-+-，则当a = ，b = 时，统计量X 服从2χ分布，自由度为 ． 15．设总体X 服从参数为2的泊松分布，12,,,n X X X 为来自总体X 的样本，则当n →∞时，211nk k X n n Y e=∑=依概率收敛于 ．16．设12,,,(2)n X X X n ≥ 为来自总体~(0,1)X N 的样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则（ ）．A ．~(0,1)nX NB ．22~()nS n χC ．(1)~(1)n X t n S-- D ．2122(1)~(1,1)n k k n X F n X =--∑ 17．设12,,,n X X X 为来自总体2~(,)X N μσ的样本，X 为样本均值，记2222121111(),()1n n k k k k S X X S X X n n ===-=--∑∑ 2222321111(),()1n n k k k k S X S X n n μμ===-=--∑∑ 则服从自由度为1n -的t 分布的随机变量是（ ）． A．X t =B．X t =C．X t =D．X t =18．设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则（ ）． A ．X Y +服从正态分布 B ．22X Y +服从2χ分布C ． 2X 和2Y 都服从2χ分布D ． 22/X Y 服从F 分布习题七1． 设c x x n >,,1 为来自总体X 的样本值，总体分布的概率密度为⎩⎨⎧≤>=+-c x cx x c x f 0)()1(θθθ 其中0>c 为已知参数，未知参数1>θ． （1） 求θ的矩估计值、矩估计量．（2） 求θ的极大似然估计值、极大似然估计量．2． 设总体X 具有几何分布，它的分布列为,2,1,)1(}{1=-==-k pp k X P k ．（1） 求未知参数p 的矩估计量．（2） 求未知参数p 的极大似然估计量．3． 设总体分布的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-,0,0,0,)()2/(222x x e x x f x θθ，其中0>θ．求未知参数θ的极大似然估计量．4． 设总体分布的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--μμθθμx x ex f x 01)(/)(，其中0>θ，μθ,均为未知参数．试求： （1）θ和μ的矩估计量．（2）θ和μ的极大似然计量．5． 一地质学家为研究某湖滩地区岩石成分，随机地自该地区取100个样品（即样本），每个样品有10块石子，并记录了每个样品中属石灰石的石子数． 假设这100次观察相互独立，并且由过去经验知，它们都服从参数为p n ,10=的二项分布，p 是该地区一块石子是石灰石的概率．求p 的极大似然估计值．该地质学家所得的数据如下： 样品中属石灰石的石子数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 观察到石灰石的样品个数 0 1 6 7 23 26 21 12 3 1 06． 设总体X 服从正态分布)1,(μN ．21,X X 是从此总体中抽取的一个样本，试验证下面三个估计量（1）2113132X X +=∧μ． （2）2124143X X +=∧μ．（3）2132121X X +=∧μ．都是μ的无偏估计量，并求出每个估计量的方差. 问哪一个方差最小?17． 设n X X ,,1 为总体X 的一个样本，总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--θθθx x e x f x 0)()(, 其中θ为未知参数． 求参数θ的极大似然估计量．20．其中(0)2θθ<<是未知参数，假设总体X 有如下的样本值：3，1，3，0，3，1，2，3，则θ的矩估计值为 ，极大似然估计值为 ．习题八1．设某种产品的指标服从正态分布，它的标准差σ=150，今抽取一个容量为26的样本，计算得平均值为1637．问在5%的显著水平下，能否认为这批产品的指标的期望值1600=μ．2．从正态总体)1,(μN 中抽取100个样品，计算得32.5=x ．试检验5:0=μH 是否成立（05.0=α）．3．某一厂家生产某种旧安眠药, 根据资料用该种旧安眠药时，平均睡眠时间为20.8小时，标准差为1.6小时．现厂家生产一种新安眠药，厂家声称在剂量不变时，能比旧安眠药至少平均增加睡眠时间3小时(设标准差不变)．为了检验这个说法是否正确，收集到一组使用新安眠药的睡眠时间为：26.7, 22.0, 24.1, 21.0, 27.2, 25.0, 23.4．试问：从这组数据能否说明厂家的声称是否属实？（假定睡眠时间服从正态分布，05.0=α）4．测定某种溶液中的水份，由其10个测定值求得%037.0%,452.0==s x ，设测定值总体服从正态分布．试在显著水平=α0.05下，分别检验假设：（1）%5.0:0=μH ． （2）%04.0:0=σH ．7．已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布，且标准差048.0=σ．从某天生产的产品中抽取5根纤维，测得其纤度为：1.32，1.55，1.36，1.40，1.44．问这一天纤度的总体标准差是否正常？8．某电工器材厂生产一种保险丝，现测量其熔化时间．依通常情况，方差为400．今从某天的产品中抽取容量为25的样本，测量其熔化时间并计算得.4402=s ．问这天保险丝的熔化时间的方差与通常有无显著差异（1.0=α）？假定熔化时间服从正态分布．9．测得两批电子器件的样品的电阻（Ω）为A 批： 0.140 0.138 0.143 0.142 0.144 0.137B 批： 0.135 0.140 0.142 0.138 0.136 0.140设这两批器材的电阻值总体分别服从分布),(211σμN ，222,(σμN ），且两样本独立． （1）检验假设22210:σσ=H （取05.0=α）； （2）在（1）的基础上检验210:μμ=H （取05.0=α）．11．在0H 成立的情况下，样本值落入了拒绝域，因而0H 被拒绝，称这种错误为 ;在0H 不成立的情况下，样本值未落入拒绝域，因而0H 被接受，称这种错误为 ．12．两个正态总体均值的假设检验：012112:;:H H μμμμ=≠（22212σσσ==已知）采用的检验统计量为 ，在显著性水平α下的拒绝域为 ．两个正态总体均值的假设检验：012112:;:H H μμμμ=≠（2212σσ=未知）采用的检验统计量为 ，在显著性水平α下的拒绝域为 ．15．设12,,,n X X X 为正态总体2(,)N μσ的一个样本，2n ≥，其中参数μ已知，2σ未知．则下列说法正确的是（ ）． A ．221()nkk Xnσμ=-∑是统计量； B ．221nkk Xnσ=∑是统计量；C ．221()1n kk Xn σμ=--∑是统计量； D ．21nkk X nμ=∑是统计量．16．假设总体~X 2(,)N μσ，2σ未知．12,,,n X X X 为总体的一个样本．记X 为样本均值，S 为样本标准差，则检验假设0010:;:H H μμμμ=≠采用的检验统计量为 （ ）． A ．~(0,1)X N ； B ~(1)X t n -；C ．~(1)X t n -；D ~()X t n ．。
(新人教A)高二数学同步辅导教材随机事件的概率
高 二 数 学（第33周）主讲教师：刘海滨 【教学内容】1、随机事件的概率；2、互斥事件有一发生的概率；3、相互独立事件同时发生的概率。
【教学目标】使学生了解随机事件的统计规律性和随机事件概率的意义；了解等可能性事件的概率、互斥事件、相互独立事件的意义；会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率；会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率；会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率；会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率。
【知识讲解】一、随机事件的概率1、随机事件及其概率（1）随机事件A 的频率指此事件发生的次数m 与试验总次数n 的比值，它是随着试验次数的改变而变化的，它具有一定的稳定性，即总在某个常数p 附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小，于是，我们给这个常数取个名字，叫随机事件的概率，记作P （A ）。
（2）弄清随机事件概率的取值范围由于频率nm总介于0、1之间，因此由概率的定义知：对任意随机事件A ，有1)(0≤≤A P ；对必然事件I ，显然有P （I ）=1，对不可能事件Φ，显然有P （Φ）=0。
2、等可能事件的概率nmA P =)(既是等可能事件概率的定义，又是计算这种概率的基本公式，利用这个式子计算概率时关键是求出m 、n 。
N 为一次试验中等可能出现的结果数，m 为某个事件A 所包含的结果数。
求n 时，应特别注意这n 种结果必须是等可能的，在这一点上是很容易出错的。
二、互斥事件有一发生的概率 1、关于“互斥事件”“互斥事件”就是“不可能同时发生的事件”。
2、“互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中发有一个发生的互斥事件，因此，对立事件必须是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条件。
三、相互独立事件同时发生的概率 1、相互独立事件及其同时发生的概率 （1）理解“相互独立”的含义相互独立事件是针对两个事件而言的，只不过这两个事件间的关系具有一定的特殊性，即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响。
(0068)概率统计复习思考题
（0068）《概率统计》复习思考题一：填空题（1）设C B A 、、表示三个随机事件。
试以C B A 、、的运算来表示下列事件：C B A 、、中恰好一个发生 。
C B A 、、中至少有两个发生 。
C B A 、、中不多于一个发生 。
（2）设C B A 、、表示三个事件。
利用C B A 、、表达下列事件：(1)A 出现，C B 、都不出现 ；(2)A 、B 都出现，C 不出现 ；(3)三个事件中至少有一个出现 ；(4)三个事件中最多出现两个 。
（3）已知B A ⊂，3.0)(,2.0)(==B P A P ， 则=)(B A P 。
)(B A P - 。
（4）设2.0)(=A P ，1.0)(=-B A P ，则=)(AB P 。
（5）设事件B A 、相互独立，且5.0)()(==B P A P ，则有=)(AB P 。
（6）已知随机变量X ～),(p n B ，则=)(X E 。
=)(X D 。
（7）设2)(=X E ，则=+)]23([X E E 。
（8）设随机变量X 的方差2)(=X D ，则=+)32(X D 。
（9）设X 服从正态分布)16,0(N ，且}{}{c X F c X F ≤=>，则=c 。
随机变量X 的分布密度为 。
（10）随机事件A 、B 相互独立的充分必要条件为 。
（11）某人射击时，中靶的概率为43，如果射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为 。
（12）将一个试验重复独立地做了n 次。
设在每次试验中A 出现的概率为p 。
则在这n 次试验中事件A 至少出现一次的概率为 。
（13）已知B A ⊂，3.0)(,2.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。
=)(B A P 。
（14）从1，2，3，4，5五个数码中任取3个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位是偶数的概率为 。
（15）设X 服从正态分布)2,0(N ，Y 服从正态分布)1,0(N 且Y X ,相互独立，则随机变量Y X Z -=服从 分布。
阶段测验二
【答案解析】【答案解析】4.设随机变量X的密度函数为那么分布函数F（x）为（）【答案解析】【答案解析】【答案解析】【答案解析】【答案解析】12.问【答案解析】【答案解析】14.设随机变量X的密度函数为计算概率（）A.1/5B.2/5C.1/2D.1/3【答案解析】15.假如16.设X～N（1，4），其概率密度为，则E（X）为（）。
A.0B.1C.4D.217.设18.【答案解析】19.实验室共有40台同类仪器,其中有5台仪器不能正常工作.某班实验课随机取其中的34台做实验,求取到的不能正常工作的仪器台数X的分布列.（）【答案解析】1.实验室共有40台同类仪器,其中有5台仪器不能正常工作.某班实验课随机取其中的34台做实验,求取到的不能正常工作的仪器台数X的分布列.（）【答案解析】那么X的分布列为（）【答案解析】【答案解析】4.问【答案解析】5.设随机变量X的密度函数为那么分布函数F（x）为（）【答案解析】【答案解析】【答案解析】【答案解析】14.假如15.设X～N（1，4），其概率密度为，则E（X）为（）。
A.0B.1C.4D.2【答案解析】18.以下各函数中，能成为某一随机变量的密度函数的是（）【答案解析】【答案解析】【答案解析】【答案解析】【答案解析】4.设随机变量X的分布函数为那么P（X≤3）＝（）A.0.5B.0.6【答案解析】【答案解析】【答案解析】7.设随机变量X的密度函数为计算概率（）A.1/5B.2/5C.1/2D.1/3【答案解析】8.问【答案解析】【答案解析】11.随机变量X～B（400,0.2），则P（X≤3）（）【答案解析】如果每次试验中事件A发生的概率为P（0<P<1），则在n次伯努利试验中事件A恰好发生K次的概率为：P（X≤3）=P（X=1）+P（X=2）+P（X=3）12.【答案解析】13.设随机变量X的密度函数为那么分布函数F（x）为（）【答案解析】【答案解析】【答案解析】【答案解析】1.假如2.设【答案解析】4.【答案解析】5.实验室共有40台同类仪器,其中有5台仪器不能正常工作.某班实验课随机取其中的34台做实验,求取到的不能正常工作的仪器台数X的分布列.（）【答案解析】7.问【答案解析】8.设X～N（1，4），其概率密度为，则E（X）为（）。
《概率论与数理统计》(韩旭里)课后习题参考答案【精选】
概率论与数理统计习题及答案习题一1．略.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C不发生；（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC（4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC(5)ABC=A B C(6)ABC(7)A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8)AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3.略.见教材习题参考答案4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A?B)=0.3，求P（AB）.【解】P（AB）=1?P（AB）=1?[P(A)?P(A?B)]=1?[0.7?0.3]=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)+P(ABC)=14+14+13?112=347.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】p=5332131313131352C C C C/C8.对一个五人学习小组考虑生日问题：（1）求五个人的生日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率； （3）求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1）设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）=517=（17）5（亦可用独立性求解，下同） （2）设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故P （A 2）=5567=(67)5(3)设A 3={五个人的生日不都在星期日}P （A 3）=1?P (A 1)=1?(17)59.略.见教材习题参考答案.10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n <N ）.试求其中恰有m 件（m ≤M ）正品（记为A ）的概率.如果：（1）n 件是同时取出的；（2）n 件是无放回逐件取出的； （3）n 件是有放回逐件取出的.【解】（1）P （A ）=C C /C m n m nM N M N --(2)由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有P n N 种，n 次抽取中有m 次为正品的组合数为C mn种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M 件正品中取m 件的排列数有P mM 种，从N ?M 件次品中取n ?m 件的排列数为P n mN M --种，故P （A ）=C P P P m m n mn M N MnN-- 由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成P （A ）=C C C m n mM N MnN-- 可以看出，用第二种方法简便得多.（3）由于是有放回的抽取，每次都有N 种取法，故所有可能的取法总数为N n 种，n 次抽取中有m 次为正品的组合数为C mn 种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m 次取得正品，都有M 种取法，共有M m 种取法，n ?m 次取得次品，每次都有N ?M 种取法，共有（N ?M ）n ?m 种取法，故 此题也可用贝努里概型，共做了n 重贝努里试验，每次取得正品的概率为MN，则取得m 件正品的概率为 11.略.见教材习题参考答案.12.50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设A ={发生一个部件强度太弱}13.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率.【解】设A i ={恰有i 个白球}（i =2,3），显然A 2与A 3互斥. 故232322()()()35P A A P A P A =+=14.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：（1）两粒都发芽的概率； （2）至少有一粒发芽的概率； （3）恰有一粒发芽的概率.【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽}，（i =1,2）(1)1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==⨯= (2)12()0.70.80.70.80.94P A A =+-⨯=(3)2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =⨯+⨯=15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.（1）问正好在第6次停止的概率；（2）问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.【解】（1）223151115()()22232p C ==(2)1342111C ()()22245/325p == 16.甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率.【解】设A i ={甲进i 球}，i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则=0.3207617．从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】4111152222410C C C C C 131C 21p =-= 18.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：（1）在下雨条件下下雪的概率；（2）这天下雨或下雪的概率. 【解】设A ={下雨}，B ={下雪}.（1）()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A === （2）()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=19.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）. 【解】设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.【解】设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式21.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图题22图【解】设两人到达时刻为x,y ,则0≤x ,y ≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x ?y |>30.如图阴影部分所示.22.从（0，1）中随机地取两个数，求：（1）两个数之和小于65的概率；（2）两个数之积小于14的概率.【解】设两数为x,y，则0<x,y<1.（1）x+y<6 5 .(2)xy=<1 4 .23.设P（A）=0.3,P(B)=0.4,P(A B)=0.5，求P（B｜A∪B）【解】()()() ()()()()()P AB P A P ABP B A BP A B P A P B P AB-==+-24.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】设A i={第一次取出的3个球中有i个新球}，i=0,1,2,3.B={第二次取出的3球均为新球} 由全概率公式，有25.按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？【解】设A={被调查学生是努力学习的}，则A={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P（A）=0.8，P（A）=0.2，又设B={被调查学生考试及格}.由题意知P（B|A）=0.9，P（B|A）=0.9，故由贝叶斯公式知（1）()()()()()()()()()P A P B AP ABP A BP B P A P B A P A P B A ==+即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%(2)()()()()()()()()()P A P B AP ABP A BP B P A P B A P A P B A ==+即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26.将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A，试问原发信息是A的概率是多少？【解】设A={原发信息是A}，则={原发信息是B}C={收到信息是A}，则={收到信息是B}由贝叶斯公式，得27.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种）【解】设A i={箱中原有i个白球}（i=0,1,2），由题设条件知P（A i）=13,i=0,1,2.又设B={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知28.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】设A ={产品确为合格品}，B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得29.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？ 【解】设A ={该客户是“谨慎的”}，B ={该客户是“一般的”}，C ={该客户是“冒失的”}，D ={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得30.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率. 【解】设A i ={第i 道工序出次品}（i =1,2,3,4）.31.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9? 【解】设必须进行n 次独立射击.即为(0.8)0.1n≤故n ≥11至少必须进行11次独立射击.32.证明：若P （A ｜B ）=P (A ｜B )，则A ，B 相互独立.【证】(|)(|)P A B P A B =即()()()()P AB P AB P B P B =亦即()()()()P AB P B P AB P B = 因此()()()P AB P A P B = 故A 与B 相互独立.33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为15，13，14，求将此密码破译出的概率. 【解】设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3由全概率公式，得=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.45835.已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：（1）虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率. （2）新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. 【解】（1）310110C(0.35)(0.65)0.5138kk k k p -===∑(2)10102104C(0.25)(0.75)0.2241k k k k p -===∑36.一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：（1）A =“某指定的一层有两位乘客离开”；（2）B =“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”； （3）C =“恰有两位乘客在同一层离开”； （4）D =“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.（1）2466C 9()10P A =，也可由6重贝努里模型： （2）6个人在十层中任意六层离开，故（3）由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有110C 种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有26C 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有131948C C C 种可能结果；②4人同时离开，有19C 种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有49P 种可能结果，故 （4）D=B .故37.n 个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1）甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； （2）甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3）如果n 个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率. 【解】（1）111p n =- (2)23!(3)!,3(1)!n p n n -=>-(3)12(1)!13!(2)!;,3!!n n p p n n n n --''===≥ 38.将线段[0，a ]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】设这三段长分别为x ,y ,a ?x ?y .则基本事件集为由0<x <a ,0<y <a ,0<a ?x ?y <a 所构成的图形，有利事件集为由 构成的图形，即如图阴影部分所示，故所求概率为14p =. 39.某人有n 把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.证明试开k 次（k =1,2,…,n ）才能把门打开的概率与k 无关.【证】11P 1,1,2,,P k n k n p k n n--===40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出一个，试求它有i 面涂有颜色的概率P （A i ）（i =0,1,2,3）.【解】设A i ={小立方体有i 面涂有颜色}，i =0,1,2,3.在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000?（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为01512384()0.512,()0.38410001000P A P A ====, 24968()0.096,()0.00810001000P A P A ====.41.对任意的随机事件A ，B ，C ，试证P （AB ）+P （AC ）?P （BC ）≤P (A ). 【证】()[()]()P A P A BC P AB AC ≥=42.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 【解】设i A ={杯中球的最大个数为i },i =1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故 因此213319()1()()181616P A P A P A =--=--= 或12143323C C C 9()416P A == 43.将一枚均匀硬币掷2n 次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2n 次硬币，可能出现：A ={正面次数多于反面次数}，B ={正面次数少于反面次数}，C ={正面次数等于反面次数}，A ，B ，C 两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P （A ）=P （B ）.所以 由2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为 故2211()[1C ]22n n n P A =- 44.掷n 次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设A ={出现正面次数多于反面次数}，B ={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知P （A ）=P （B ）（1）当n 为奇数时，正、反面次数不会相等.由P （A ）+P （B ）=1得P （A ）=P （B ）=0.5 (2)当n 为偶数时，由上题知45.设甲掷均匀硬币n +1次，乙掷n 次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率. 【解】令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有>正正（甲乙）=（甲正≤乙正）=（n +1?甲反≤n ?乙反） =（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）由对称性知P （甲正>乙正）=P （甲反>乙反） 因此P (甲正>乙正)=1246.证明“确定的原则”（Sure ?thing ）：若P （A |C ）≥P (B |C ),P (A |C )≥P (B |C )，则P （A ）≥P (B ). 【证】由P （A |C ）≥P (B |C ),得即有()()P AC P BC ≥ 同理由(|)(|),P A C P B C ≥ 得()(),P AC P BC ≥故()()()()()()P A P AC P AC P BC P BC P B =+≥+=47.一列火车共有n 节车厢，有k (k ≥n )个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】设A i ={第i 节车厢是空的}，（i =1,…,n ）,则其中i 1,i 2,…,i n ?1是1，2，…，n 中的任n ?1个. 显然n 节车厢全空的概率是零，于是 故所求概率为48.设随机试验中，某一事件A 出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A 迟早会出现的概率为1. 【证】在前n 次试验中，A 至少出现一次的概率为49.袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 【解】设A ={投掷硬币r 次都得到国徽}B ={这只硬币为正品} 由题知(),()m nP B P B m n m n==++ 则由贝叶斯公式知50.巴拿赫（Banach ）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r 根的概率又有多少？ 【解】以B 1、B 2记火柴取自不同两盒的事件，则有121()()2P B P B ==.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r 根，说明已取了2n ?r 次，设n 次取自B 1盒（已空），n ?r 次取自B 2盒，第2n ?r +1次拿起B 1，发现已空。
概率论课后习题
第一章 概率论的基本概念（一）1、多选题:⑴ 以下命题正确的是（ ）。
A B A AB a =)()(.Y ; A AB B A b =⊂则若,.;A B B A c ⊂⊂则若,.; B B A B A d =⊂Y 则若,..⑵ 某学生做了三道题，i A 表示第i 题做对了的事件)3,2,1(=i ，则至少做对了两道题的事件可表示为（ ）. ;.;.133221321321321A A A A A A b A A A A A A A A A a Y Y Y Y ..;.321321321321133221A A A A A A A A A A A A d A A A A A A c Y Y Y Y Y2、A 、B 、C 为三个事件，说明下述运算关系的含义：.)6(.)5(.)4(.)3(.)2(.1ABC C B A C B A C B A C B A Y Y ）（3、个工人生产了三个零件，i A 与i A )3,2,1(=i 分别表示他生产的第i 个零件为正、次品的事件。
试用i A 与i A )3,2,1(=i 表示以下事件：⑴ 全是正品；⑵ 至少有一个零件是次品；⑶ 恰有一个零件是次品；⑷ 至少有两个零件是次品。
4、下列命题中哪些成立，哪些不成立： ⑴B B A B A Y Y =；⑵ B A B A Y =；⑶ C B A C B A =Y ；⑷ ()∅=)(B A AB ；⑸ AB A B A =⊂则若；⑹ A B B A ⊂⊂则若。
（二）1、选择题：⑴ 若事件A 与B 相容，则有（ ）)()()(.B P A P B A P a +=Y ； )()()()(.AB P B P A P B A P b -+=Y ； )()(1)(.B P A P B A P c --=Y ； )()(1)(.B P A P B A P d -=Y⑵ 事件A 与B 互相对立的充要条件是（ ）,1)(0)(.),()()(.===B A P AB P b B P A P AB P a Y 且∅=Ω=∅=AB d B A AB c .,..Y 且2、袋中有12个球，其中红球5个，白球4个，黑球3个。
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《阶段测验一（1章）》测验记录最后得分：20分做题时长：17秒测验时间：2012-3-15 20:40:52 [返回列表]一、单项选择题（共20题）1.甲乙两人相约8－12点在预定地点会面。
先到的人等候另一人30分钟后离去，求甲乙两人能会面的概率。
（）A.15/64B.5/62C.11/53D.12/53【正确答案】A2.全年级120名学生中有男生（以A表示）100人，来自北京的（以B表示）40人，这40人中有男生30人，试写出P（A）、P（B）、（）.【正确答案】C3.盒子中有8个红球和4个白球，每次从盒子中任取一球，不放回地抽取两次，试求取出的两个球都是红球的概率（）.A.14/33B.19/33C.1D.22/33【正确答案】A【4.在1～9的整数中可重复的随机取6个数组成6位数，6个数中5恰好出现4次的概率为（）【正确答案】B5.在一批由90件正品，3件次品组成的产品中, 不放回接连抽取两件产品，问第一件取正品，第二件取次品的概率（）A.0.0216B.0.0316C.0.0251D.0.0326【正确答案】B【6.一个小组由8名同学，则这8名同学生日都不相同的概率为（）【正确答案】C7.在1～9的整数中可重复的随机取6个数组成6位数，求6个数完全不同的概率为（）A.0.06B.0.08D.0.12【正确答案】C8.一袋中有8个大小形状相同的球，其中5个黑色球，三个白色球。
现从袋中随机地取出两个球，求取出的两球都是黑色球的概率（）A.1/7B.5/13C.5/14D.3/14【正确答案】C【9.从1，2，…，100中任取一个数，既能被4整除又能被3整除的概率是（）A.4/25B.1/4C.2/25D.1/25【正确答案】C【答案解析】从1到100这100个正整数中能被12整除的数为12，24，36，…，96，共8个，所以要求的概率是8/100=2/25.10.已知P(A)=0.5，P(B)=0.4，P(A-B)=0.3.则P(AB)和P(B+A)分别为（）A.0.9；0.5B.0.4；0.9C.0.2；0.7D.0.8；0.5【正确答案】C【答案解析】由文氏图知P(AB)=0.2,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.4-0.2=0.5+0.2=0.711.三个人掷骰子36次，每个人出现5点的次数都是6次，则可以推出掷一骰子“5”出现的概率是（）A.5/36B.1/2C.1/36D.1/6【正确答案】D【答案解析】因为每个人出现5点的次数都是6次，所以频率都是6/36=1/6，可以推出概率就是D12.七人轮流抓阄，抓一张参观票，问第二人抓到的概率？（）A.1/6C.0D.6/7【正确答案】B【答案解析】13.在一个均匀陀螺的圆周上均匀地刻上（0，4）上的所有实数，旋转陀螺，求陀螺停下来后，圆周与桌面的接触点位于［0.5，1］上的概率（）（提示：陀螺及刻度的均匀性，它停下来时其圆周上的各点与桌面接触的可能性相等）A.1/2B.1/4C.1/8D.1/16【正确答案】C14.设事件A,B的概率分别为1/3,1/2 . P（AB）=1/8.求的值（）A.1/2B.1/6C.3/8D.2/8【正确答案】C15.将N个球随机地放入n个盒子中（n>N），那么某指定的盒子中恰有m（m<N）个球的概率为（）【正确答案】A【16.设有一仓库有一批产品，已知其中50%、30%、20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为1/10,1/15,1/20，现从这批产品中任取一件，求取得正品的概率（）A.0.62B.0.72C.0.82D.0.92【正确答案】D17.在1～9的整数中可重复的随机取6个数组成6位数，求6个数不含奇数的概率为（）A.46/96B.45/95C.45/96D.1- 46/96【正确答案】A18.设事件A,B的概率分别为1/3,1/2 . 的值（）包含B.1/6C.3/8D.2/8【正确答案】B19.将，那么每个盒子最多有一个球的概率（）【正确答案】B20.在箱中装有100个产品，其中有3个次品，为检查产品质量，从这箱产品中任意抽5个，求抽得5个产品中恰有一个次品的概率（）A.0.128B.0.138C.0.238D.0.148【正确答案】B[返回列表]《阶段测验一（1章）》测验记录最后得分：25分做题时长：1分钟44秒测验时间：2012-3-15 20:40:34 [返回列表]一、单项选择题（共20题）1.盒子中有8个红球和4个白球，每次从盒子中任取一球，不放回地抽取两次，试求取出的两个球都是红球的概率（）.A.14/33B.19/33C.1D.22/33【正确答案】A2.三个人掷骰子36次，每个人出现5点的次数都是6次，则可以推出掷一骰子“5”出现的概率是（）A.5/36B.1/2C.1/36D.1/6【正确答案】D【答案解析】因为每个人出现5点的次数都是6次，所以频率都是6/36=1/6，可以推出概率就是D3.设事件A,B的概率分别为1/3,1/2 . P（AB）=1/8.求的值（）A.1/2B.1/6C.3/8【正确答案】C【答案解析】4.已知P(A)=0.5，P(B)=0.4，P(A-B)=0.3.则P(AB)和P(B+A)分别为（）A.0.9；0.5B.0.4；0.9C.0.2；0.7D.0.8；0.5【正确答案】C【答案解析】由文氏图知P(AB)=0.2,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.4-0.2=0.5+0.2=0.75.掷四次硬币，C表示至少出现一次正面，则P(C)=()A. 1/2B. 15/16C. 5/16D. 1/3【正确答案】B【答案解析】样本空间Ω=｛正正正正，正正正反，正正反正，正反正正，反正正正，正正反反，正反正反，反正正反，正反反正，反正反正，反反正正，正反反反，反反正反，反正反反，反反反正，反反反反｝；其中至少一次正面向上的样本点是{正正正正，正正正反，正正反正，正反正正，反正正正，正正反反，正反正反，反正正反，正反反正，反正反正，反反正正，正反反反，反反正反，反正反反，反反反正}所以概率就是15/166.七人轮流抓阄，抓一张参观票，问第二人抓到的概率？（）A.1/6B.1/7C.0D.6/7【正确答案】B【答案解析】7.将N个球随机地放入n个盒子中（n>N），那么某指定的盒子中恰有m（m<N）个球的概率为（）【正确答案】A8.设有一仓库有一批产品，已知其中50%、30%、20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为1/10,1/15,1/20，现从这批产品中任取一件，求取得正品的概率（）A.0.62C.0.82D.0.92【正确答案】D9.在1～9的整数中可重复的随机取6个数组成6位数，求6个数完全不同的概率为（）A.0.06B.0.08C.0.11D.0.12【正确答案】C【您的答案】A【答案解析】10.在一个均匀陀螺的圆周上均匀地刻上（0，4）上的所有实数，旋转陀螺，求陀螺停下来后，圆周与桌面的接触点位于［0.5，1］上的概率（）（提示：陀螺及刻度的均匀性，它停下来时其圆周上的各点与桌面接触的可能性相等）A.1/2B.1/4C.1/8D.1/16【正确答案】C【您的答案】A【答案解析】11.从1，2，…，100中任取一个数，既能被4整除又能被3整除的概率是（）A.4/25B.1/4C.2/25D.1/25【正确答案】C【您的答案】A【答案解析】从1到100这100个正整数中能被12整除的数为12，24，36，…，96，共8个，所以要求的概率是8/100=2/25.12.A、B为任意两个事件，若AB=φ，则A与B（）A.不是互斥事件B.互不相容C.互为对立事件D.互为逆事件【正确答案】B【您的答案】A【答案解析】互不相容事件是指：事件A与事件B不能同时发生，即AB=φ13.在1～9的整数中可重复的随机取6个数组成6位数，6个数中5恰好出现4次的概率为（）【正确答案】B【您的答案】A【答案解析】14.以下说法错误的是（）【正确答案】D【您的答案】A【答案解析】15.某设备由甲、乙两个部件组成，当超载负荷时，各自出故障的概率分别为0.90和0.85，同时出故障的概率是0.80，求超载负荷时至少有一个部件出故障的概率为（）。
2023-2024学年宁夏石嘴山高中数学人教A版 必修二第十章 概率章节测试-8-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年宁夏石嘴山高中数学人教A 版 必修二第十章 概率章节测试(8)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 在一次数学测试中，某同学有两道单选题（即四个答案选一个）不会做，他随意选了两个答案，则这两道单选题都答对的概率为（ ）A.B.C.D.对立事件不可能事件互斥但不对立事件不是互斥事件2. 奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是（ ）A. B. C.D.至多有一次中靶两次都中靶只有一次中靶两次都不中靶3. 一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）A. B. C. D. 4. 高一年级某同学为了丰富自己的课外活动，参加了学校“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立.假设该同学能够进入“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的概率分别为、、 ， 该同学可以进入两个社团的概率为 ， 且三个社团都进不了的概率为， 则（ ）A. B. C. D.至多有一次中靶两次都中靶两次都不中靶只有一次中靶5. 一人打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）A. B. C. D.6. 一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则使目标受损但未击毁的概率是（ ）0.40.480.60.8A. B. C. D. 7. 如图，某系统由A ，B ，C ，D 四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A ，B ，C ，D 正常工作的概率都为， 则该系统正常工作的概率为（ ）A. B. C. D.p 与先做哪道题次序有关第8题定为次序2，p 最大第12题定为次序2，p 最大第16题定为次序2，p 最大8. 在一次考试中，小明同学将比较难的第8题、第12题、第16题留到最后做，做每道题的结果相互独立．假设小明同学做对第8、12、16题的概率从小到大依次为 ， ， ， 做这三道题的次序随机，小明连对两题的概率为p ，则（ ）A. B. C. D. 19. 在5月4日的数学考试中，考试时间为120分钟，为了严肃考风考纪，学校安排3名巡视人员．姜远才助理、李志强主任、王春娇主任在A 考场巡视的累计时间分别为30分钟、40分钟、60分钟，何时巡视彼此相互独立．则A 考场的某同学在某时刻作弊恰好被巡视人员发现的概率为 ( )A.B.C.D. 对立事件不可能事件互斥但不对立事件不是互斥事件10. 学校将5个不同颜色的奖牌分给5个班，每班分得1个，则事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是（ ）A. B. C. D. 0.150.210.240.3011. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，决赛结束）. 根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”. 设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以3:1获胜的概率为（ ）A. B. C. D. 12. 已知运动员甲每次射击击中目标的概率为 ，运动员乙每次射击击中目标的概率为 ，若两人各射击一次，且两人是否击中目标相互独立，则恰有一人击中目标的概率是（ ）A.B.C.D.13. 某足球队在对球员的使用上进行数据分析，根据以往的数据统计，甲球员能够胜任前锋、中锋、后卫三个位置，且出场率分别为0.3，0.5，0.2，当甲球员在相应位置时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6．据此判断当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为 ；14. 某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是90%.”你认为下面两个解释中能代表教练的观点的为 .①该射击运动员射击了100次，恰有90次击中目标②该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%15. 已知某厂的产品合格率是95% ，从该厂抽出20件产品进行检查，其中合格产品的件数最有可能是．16. 给出如下四对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”；③从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少一个黑球”与“都是红球”；④从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”；其中属于互斥事件的是．（把你认为正确的命题的序号都填上）17. 某生物研究所存有一批规格相同的瓶装溶液，部分瓶装溶液中含有细菌，现取出瓶该规格溶液做实验，其中瓶含有细菌，实验需要把含有细菌的溶液检验出来，有如下两种方案：方案一：逐瓶检验，则需检验次；方案二：混合检验，将瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌，则瓶溶液全部不含有细菌；若检验结果含有细菌，就要对这瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为.参考数据：，，，.(1) 假设，，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌的概率；(2) 现对瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌的概率均为.若采用方案一，需检验的总次数为，若采用方案二，需检验的总次数为.①若与的期望相等，试用表示；②若，且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望，求的最大值.18. 从2018年1月1日起，广东、等18个保监局所辖地区将纳入商业车险改革试点范围，其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如下表：上一年的出险次数012345次以上（含5次）下一年保费倍率85%100%125%150%175%200%连续两年没有出险打7折，连续三年没有出险打6折有评估机构从以往购买了车险的车辆中随机抽取1000 辆调查，得到一年中出险次数的频数分布如下(并用相应频率估计车辆每年出险次数的概率)：一年中出险次数012345次以上（含5次）频数5003801001541(1) 求某车在两年中出险次数不超过2次的概率；(2) 经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，估计其回归直线方程为： .（其中x（万元）表示购车价格，y（元）表示商业车险保费）.李先生2016 年1月购买一辆价值20万元的新车.根据以上信息，试估计该车辆在2017 年1月续保时应缴交的保费，并分析车险新政是否总体上减轻了车主负担.(假设车辆下一年与上一年都购买相同的商业车险产品进行续保）19. 为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为， .甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.(1) 从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？(2) 若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.20. 已知正三角形，某同学从点开始，用擦骰子的方法移动棋子，规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从三角形的一个顶点移动到另一个顶点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数大于3，则按逆时针方向移动：若掷出骰子的点数不大于3，则按顺时针方向移动.设掷骰子次时，棋子移动到，，处的概率分别为：，，，例如：掷骰子一次时，棋子移动到，，处的概率分别为，，(1) 掷骰子三次时，求棋子分别移动到，，处的概率，，；(2) 记，，，其中，，求 .21. 《夺冠》这部影片讲述的是中国女排从1981年首夺世界冠军到2016年里约奥运会生死攸关的中巴大战，诠释了几代女排人历经浮沉却始终不屈不挠、不断拼搏的传奇经历.现代排球赛为5局3胜制，每局25分，决胜局15分.前4局比赛中，一队只有赢得至少25分，并领先对方2分时，才胜1局.在第5局比赛中先获得15分并领先对方2分的一方获胜.在一个回合中，赢的球队获得1分，输的球队不得分，且下一回合的发球权属于获胜方.经过统计，甲、乙两支球队在每一个回合中输赢的情况如下：当甲队拥有发球权时，甲队获胜的概率为；当乙队拥有发球权时，甲队获胜的概率为.(1) 假设在第1局比赛开始之初，甲队拥有发球权，求甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率；(2) 当两支球队比拼到第5局时，两支球队至少要进行15个回合，设甲队在第i个回合拥有发球权的概率为.假设在第5局由乙队先开球，求在第15个回合中甲队开球的概率，并判断在此回合中甲、乙两队开球的概率的大小.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)(1)(2)。
概率论与数理统计练习题
概率论与数理统计练习册班级学号姓名任课老师班级学号姓名作业一一、选择题1、设C B A ,,表示三事件，则______C B A 表示（ ）A 、CB A ,,中有一个发生 B 、C B A ,,都不发生 C 、C B A ,,中不多于一个发生D 、C B A ,,中恰有两个发生 2、投掷一粒骰子的试验，我们将＂出现偶数点＂称为（ ）A 、样本空间B 、必然事件C 、不可能事件D 、随机事件 3、事件B A ,互为对立事件等价于（ ）A 、B A ,互不相容 B 、B A ,相互独立C 、Ω=+B AD 、Φ=Ω=+AB B A 且 4、设B A ,为两个事件，则__B A AB +＝（ ）A 、不可能事件B 、必然事件C 、AD 、B A + 5、B A ,为两事件，若()4.0)(,2.0)(,8.0__===+B P A P B A P ，则（ ）A 、32.0____=⎪⎭⎫ ⎝⎛B A P B 、2.0____=⎪⎭⎫⎝⎛B A P C 、4.0)(=AB P D 、48.0)(____=AB P6、设事件C B A ,,互不相容，0)(,0)(>>B P A P 则（ ）A 、1)(=+B A P B 、)()()(B P A P AB P =C 、0)(=AB PD 、0)(>AB P 7、B A ,为两事件，若()4.0)(,2.0)(,8.0__===+B P A P B A P ，则（ ）A 、32.0____=⎪⎭⎫ ⎝⎛B A P B 、2.0____=⎪⎭⎫⎝⎛B A P C 、4.0)(=AB P D 、48.0)(____=AB P8、当__A 与__B 互不相容时，=+)(______B A P （ ）A 、)(1A P -B 、)()(1B P A P --C 、０D 、)()(____B P A P 9、设有10个产品，其中3个次品，7个正品，现从中任取4个产品，则取到的4个产品都是正品的概率为（ ）A 、107B 、44107C 、41047C CD 、1074⨯10、设B A ,为两随机事件，且A B ⊂，则下列式子正确的是（ ）A 、)()(A PB A P =+ B 、)()(A P AB P =C 、)()/(B P A B P =D 、)()/(A P B A P =11、设8.0)/(,7.0)(,8.0)(===B A P B P A P ，则下列结论正确的是（ ） A 、事件B A ,互不相容 B 、B A ⊂C 、事件B A ,相互独立D 、)()()(B P A P B A P +=+ 12、甲、乙、丙三人各自独立地向一目标射击一次，三人的命中率分别为0.5，0.6，0.7，则目标被击中的概率为（ ）A 、0.94B 、0.92C 、0.95D 、0.90 二、填空题1、（1）C B A ,,三个事件中至少发生两个，此事件可表示为 。