自回归移动平均模型
时间序列分析中的自回归模型和滑动平均模型
时间序列分析中的自回归模型和滑动平均模型随着人们对数据分析和预测需求的不断增加，时间序列分析也成为了一个备受关注的领域。
而在时间序列分析中，自回归模型和滑动平均模型是两种重要的预测方法。
自回归模型（Autoregressive Model，AR）是建立在一组时间上的自回归思想中的，其核心是用前一时期的观测值来预测当前时期的观测值。
其数学式表示为：Y_t = c + Σφ_i * Y_t-i + e_t其中，Y_t为当前时期的观测值，c为截距项，φ_i 为 AR 模型中自回归系数，e_t为当前时期的噪声项。
AR 模型存在自相关性的问题，也就是说模型中的一部分误差项与模型中的其他自变量或误差项之间可能存在相关性。
为了解决自相关性问题，滑动平均模型（Moving Average Model，MA）岿然而生。
滑动平均模型是一种使用到多个时间上的滑动平均思想，其核心是对过去一段时间内的噪声项进行平均，作为当前时期噪声项的估计。
MA 模型的数学式表示为：Y_t = c + Σθ_i * e_t-i + e_t其中，θ_i 为 MA 模型中的滑动平均系数，e_t 为当前时期的噪声项。
MA 模型建立在数据中存在噪声项的前提之下，因而只要数据不存在自相关性问题，滑动平均模型就会产生更好的预测结果。
然而，实际情况下，许多时间序列数据中存在着自相关和噪声项的问题，如何有效地处理这些问题，提高模型的预测能力是时间序列分析中的重要课题。
因此，自回归滑动平均模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model，ARIMA）应运而生。
ARIMA 模型是将自回归模型和滑动平均模型结合起来，同时加入对时间序列数据的差分，以对误差项中的自相关性和噪声项进行有效建模。
其数学式表示为：Y_t –μ = φ_1 * (Y_t-1 –μ) + θ_1 * e_t-1 + e_t其中，Y_t 为当前时期的观测值，μ为中心化参数，φ_1 为一阶自回归系数，θ_1 为一阶滑动平均系数，e_t 为当前时期的噪声项。
自回归AR模型、移动平均MA模型与自回归移动平均ARMA模型的比较分析
自回归AR模型、移动平均MA模型与自回归移动平均ARMA模型的比较分析系统中某一因素变量的时间序列数据没有确定的变化形式，也不能用时间的确定函数描述，但可以用概率统计方法寻求比较合适的随机模型近似反映其变化规律。
(自变量不直接含有时间变量,但隐含时间因素)1．自回归AR(p)模型（R：模型的名称 P：模型的参数）（自己影响自己，但可能存在误差，误差即没有考虑到的因素）(1)模型形式（εt越小越好，但不能为0：ε为0表示只受以前Y的历史的影响不受其他因素影响）yt=φ1yt-1+φ2yt-2+……+φpyt-p+εt式中假设：yt的变化主要与时间序列的历史数据有关，与其它因素无关；εt不同时刻互不相关，εt与yt历史序列不相关。
式中符号：p模型的阶次，滞后的时间周期，通过实验和参数确定；yt当前预测值，与自身过去观测值yt-1、…、yt-p是同一序列不同时刻的随机变量，相互间有线性关系，也反映时间滞后关系；yt-1、yt-2、……、yt-p同一平稳序列过去p个时期的观测值；φ1、φ2、……、φp自回归系数，通过计算得出的权数，表达yt 依赖于过去的程度，且这种依赖关系恒定不变；εt随机干扰误差项，是0均值、常方差σ2、独立的白噪声序列，通过估计指定的模型获得。
(2)识别条件当k>p时，有φk=0或φk服从渐近正态分布N(0,1/n)且(|φk|>2/n1/2)的个数≤4.5%，即平稳时间序列的偏相关系数φk为p步截尾，自相关系数rk逐步衰减而不截尾，则序列是AR(p)模型。
实际中，一般AR过程的ACF函数呈单边递减或阻尼振荡，所以用PACF函数判别(从p阶开始的所有偏自相关系数均为0)。
(3)平稳条件一阶：|φ1|<1。
二阶：φ1+φ2<1、φ1-φ2<1、|φ2|<1。
φ越大，自回归过程的波动影响越持久。
(4)模型意义仅通过时间序列变量的自身历史观测值来反映有关因素对预测目标的影响和作用，不受模型变量相互独立的假设条件约束，所构成的模型可以消除普通回归预测方法中由于自变量选择、多重共线性等造成的困难。
自回归移动平均模型
平稳性
一个时间序列是随机变量按时间顺序排列的观测 值，在经济和金融的应用中，我们仅能得到的是 时间序列的一次实现，时间序列分析的目标就是 从观测到的一次实现来对过程进行推断，常用的 方法就是选择一个适当的模型来近似描述所研究 的过程。 选择一个适当的模型，就涉及到评价样本数据的 联合分布函数 F ( x1 , x2 , xT ) Pr(X 1 x1 ,, X T xT ) 其中，T是样本容量，xi是实数。通常xt是一个 观测序列。为了能更好地为时间序列构模，需要 限制联合分布。进一步，为了预测，还要说明过 程分布的一些关键性质，即时间不变性。
1
1
1
2
1
2
m阶平稳过程
强平稳的要求苛刻，因而引入较弱的条件 如果一个平稳过程 m 阶以下矩 ( 包括 m 阶矩 ) 的取 值与时间无关，称随机过程为m阶平稳过程。
随机过程为m阶平稳过程并不要求 xt 和x 的概 率分布相同，仅要求这两个分布的主要特征相同， 只要求相等到m阶矩。
1
t1 k
白噪声
在二阶平稳过程中，白噪声序列at，其定义如下， (1)均值为0，即对于所有的t， E(at ) 0 (2)方差是常数，即对于所有的t， E(at2 ) 2 E(at as ) 0 (3)协方差为0，即对于ts， 也就是说，白噪声是均值为0、方差为2的不相关序列。 白噪声相当于没有“记忆”过程，即过程第t时刻的值与所 有过去直到 t-1 时刻的值 ( 实际上也包括过程的未来值 ) 都不 相关。 白噪声过程滞后 k 期的自相关系数为 0 。应该指出的是，白 噪声过程是人为的，实际中过程的前后往往都存在着“记 忆”。但是，白噪声为构造更复杂的模型提供了基本“元 素”，因此，它在平稳过程理论中起着十分重要的作用。
ARIMA模型
ARIMA模型1.理论ARIMA（自回归综合移动平均）：是时间系列分析中最常见的模型，又称Box-Jenkins模型或带差分的自回归移动平均模型。
时间系列的模型确定：时间系列必做步骤：定义日期：点击数据、定义日期（根据数据的时间记录方式，后进行对应的方式定义并填入初始时间）：若存在数据缺失：可以采用，该列数据的平均值进行填补或者采用临近的均值：（点击转换、替换缺失值），且需要时间顺序的按一定的顺序进行排序的数据才能进行时间序列的分析。
A.模型初步分析：首先通过分析看数据的模型图情况：（点击分析、时间序列分析、系列图（时间变量需要放入定义后的时间变量））平稳性：时间系列数据可以看作随机过程的一个样本，且根据1.：均值不随时间的变化；2.方差不随时间变化；3.自相关关系只与时间间隔有关而以所处的具体时刻无关。
通常情况下数据在一定的范围内（M±2*SD）波动的话属于平稳，并且如果数据有特别的向下或向上的趋势表明不属于平稳。
B.模型识别与定阶：自相关（ACF）和偏相关操作：（点击分析、时间序列、自相关）：自相关系数（如果系数迅速减少的表明属于平稳，系数慢慢的减少说明属于非平稳的），ACF图也可以看出。
判断是否平稳后需要进行差分（平稳化的手段：一般差分、季节性差分）处理：（点击分析、时间系列、自相关（定义好差分介数））：ARIMA模型（p （ACF图：从第几个后进入（2*SD）里表明为几介后），d（差分：做几介差分平稳就填入几），q（PCF图：从第几个后进入（2*SD）里表明为几介后）），拖尾：按指数衰减（呈现正弦波形式），截尾：某一步后为零（迅速降为零）。
平稳化处理后，若偏自相关函数是截尾的，而自相关函数是拖尾的，则建立AR模型；若自相关函数是拖尾的，而偏自相关函数是截尾的，则建立MA模型；若偏自相关函数和自相关函数均是拖尾的，则序列适合ARMA模型。
C.模型估计参数：对识别阶段所给初步模型的参数进行估计及假设检验，并对模型的残差序列做诊断分析，以判断模型的合理性。
eviews实验指导ARIMA模型建模与预测
eviews实验指导ARIMA模型建模与预测在数据分析和时间序列预测的领域中，ARIMA 模型是一种非常强大且实用的工具。
通过eviews 软件来实现ARIMA 模型的建模与预测，可以帮助我们更高效地处理和分析数据，做出更准确的预测。
接下来，让我们逐步深入了解如何使用eviews 进行ARIMA 模型的建模与预测。
首先，我们要明白什么是 ARIMA 模型。
ARIMA 全称为自回归移动平均整合模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model），它由三个部分组成：自回归（AR）部分、差分（I）部分和移动平均（MA）部分。
自回归（AR）部分是指当前值与过去若干个值之间存在线性关系。
例如，如果说一个时间序列在 AR(2)模型下，那么当前值就与前两个值有关。
移动平均（MA）部分则表示当前值受到过去若干个随机误差项的线性影响。
差分（I）部分用于将非平稳的时间序列转化为平稳序列。
平稳序列在统计特性上，如均值、方差等，不随时间变化而变化。
在 eviews 中进行 ARIMA 模型建模与预测，第一步是数据的导入和预处理。
打开 eviews 软件后，选择“File”菜单中的“Open”选项，找到我们要分析的数据文件。
数据的格式通常可以是 Excel、CSV 等常见格式。
导入数据后，需要对数据进行初步的观察和分析，了解其基本特征，比如均值、方差、趋势等。
接下来，判断数据的平稳性。
这是非常关键的一步，因为 ARIMA 模型要求数据是平稳的。
我们可以通过绘制时间序列图、计算自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）来直观地判断数据的平稳性。
如果时间序列图呈现明显的趋势或周期性，或者自相关函数和偏自相关函数衰减缓慢，那么很可能数据是非平稳的。
对于非平稳的数据，我们需要进行差分处理。
在 eviews 中，可以通过“Quick”菜单中的“Generate Series”选项来实现差分操作。
差分整合移动平均自回归模型
差分整合移动平均自回归模型差分整合移动平均自回归模型（ARIMA）是一种经典的时间序列分析方法，被广泛应用于经济、金融、气象等领域。
本文将介绍ARIMA 模型的基本原理、建模方法和应用案例，并探讨其优缺点及未来发展方向。
一、ARIMA模型的基本原理ARIMA模型是由自回归模型（AR）、移动平均模型（MA）和差分模型（I）三部分组成的，其基本原理可以用以下公式表示：ARIMA(p,d,q) = AR(p) + I(d) + MA(q)其中，p表示自回归模型的阶数，d表示差分模型的阶数，q表示移动平均模型的阶数。
ARIMA模型的基本思想是将时间序列分解为趋势、季节性和随机性三个部分，并通过建立这三个部分之间的关系来预测未来数据。
具体来说，ARIMA模型的建立过程可以分为以下几步：1. 数据预处理：对时间序列进行平稳性检验，确定需要进行差分的阶数d，使得序列的均值和方差不随时间变化。
2. 模型选择：根据自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）的图形分析，选择合适的自回归模型AR(p)和移动平均模型MA(q)。
3. 参数估计：采用极大似然估计或最小二乘法等方法，估计模型的参数。
4. 模型检验：对模型进行残差分析，检验其是否符合假设条件，如残差序列是否为白噪声。
5. 预测应用：利用已建立的模型对未来时间序列进行预测，评估预测效果。
二、ARIMA模型的建模方法ARIMA模型的建模方法主要包括两种：自顶向下（top-down）和自底向上（bottom-up）。
自顶向下方法是先确定ARIMA模型的大致形式，再通过参数估计和模型检验来细化模型。
这种方法适用于已有一定经验和知识的专家，能够快速建立合适的模型，但容易忽略数据的特殊性。
自底向上方法是从数据出发，逐步建立ARIMA模型。
这种方法需要对数据进行详细的分析和处理，能够更好地反映数据的特征，但需要大量的计算和时间。
在实际应用中，ARIMA模型的建立方法需要根据具体情况进行选择，综合考虑建模目的、数据特征、时间和计算资源等因素。
arima模型的作用
arima模型的作用ARIMA（自回归移动平均）模型是一种用于时间序列分析和预测的机器学习模型。
它结合了自回归（AR）模型和移动平均（MA）模型的特点，能够处理非平稳时间序列数据。
ARIMA模型通过寻找时间序列的内在规律和趋势，能够进行有效的预测和分析。
ARIMA模型的作用可以简单概括为以下几点：1.时间序列的特征提取：ARIMA模型可以对时间序列数据进行分解，提取出数据的长期趋势、季节性变化和随机波动部分。
这有助于我们更好地理解时间序列数据，并找到可能影响数据变化的因素。
2.时间序列的预测：ARIMA模型可以根据过去的数据，预测未来一段时间内的数据变化趋势。
通过对时间序列的模型建立和参数估计，可以得到未来数据的预测结果，帮助我们做出合理的决策。
3.时间序列的异常检测：ARIMA模型可以帮助我们检测时间序列中的异常点或异常事件，即与预测结果有较大出入的数据点。
通过对异常数据的分析，我们可以找到导致异常的原因，并采取相应的措施进行调整。
4.时间序列的平稳性检验：ARIMA模型在建立之前，需要对时间序列数据进行平稳性检验。
平稳性是指时间序列数据的均值、方差和自协方差不随时间变化而变化。
平稳时间序列数据更容易建立模型和预测，而非平稳时间序列数据则需要进行差分处理或其他方法转化为平稳序列。
5.时间序列的建模和参数选择：ARIMA模型采用了自回归和移动平均的结合形式，通过选择合适的自回归阶数（p）、差分阶数（d）和移动平均阶数（q），可以建立起准确性较高的模型。
这需要结合时间序列数据的特点和问题的实际需求来进行参数选择。
6.时间序列的评估和优化：ARIMA模型可以通过评估模型的预测精度来选择和优化模型。
常用的评估指标包括平均绝对误差（MAE）、均方根误差（RMSE）和平均绝对百分比误差（MAPE）。
通过对模型的评估和优化，可以提高模型的预测能力和鲁棒性。
ARIMA模型在实际应用中具有广泛的用途。
以下是一些常见的应用场景：1.经济预测：ARIMA模型可以对经济指标（如GDP、通货膨胀率）进行预测，帮助政府和企业做出合理的经济决策。
ARIMA模型
ARIMA模型⼀、ARIMA模型介绍ARIMA模型全称为⾃回归积分滑动平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model,简记ARIMA)，是由博克思(Box)和詹⾦斯(Jenkins)于70年代初提出⼀著名时间序列预测⽅法[1]，所以⼜称为box-jenkins模型、博克思-詹⾦斯法。
其中ARIMA（p，d，q）称为差分⾃回归移动平均模型，AR是⾃回归， p为⾃回归项； MA为移动平均，q为移动平均项数，d为时间序列成为平稳时所做的差分次数。
所谓ARIMA模型，是指将⾮平稳时间序列转化为平稳时间序列，然后将因变量仅对它的滞后值以及随机误差项的现值和滞后值进⾏回归所建⽴的模型。
ARIMA模型根据原序列是否平稳以及回归中所含部分的不同，包括移动平均过程（MA）、⾃回归过程（AR）、⾃回归移动平均过程（ARMA）以及ARIMA过程。
ARIMA模型的基本思想是：将预测对象随时间推移⽽形成的数据序列视为⼀个随机序列，⽤⼀定的数学模型来近似描述这个序列。
这个模型⼀旦被识别后就可以从时间序列的过去值及现在值来预测未来值。
⼆、ARIMA模型建模过程1. 检查平稳性平稳性就是围绕着⼀个常数上下波动且波动范围有限，即有常数均值和常数⽅差。
如果有明显的趋势或周期性，那它通常不是平稳序列。
不平稳序列可以通过差分转换为平稳序列。
d阶差分就是相距d期的两个序列值之间相减。
如果⼀个时间序列经过差分运算后具有平稳性，则该序列为差分平稳序列，可以使⽤ARIMA模型进⾏分析。
2、确定模型阶数AIC准则：即最⼩信息准则，同时给出ARMA模型阶数和参数的最佳估计，适⽤于样本数据较少的问题。
⽬的是判断⽬标的发展过程与哪⼀个随机过程最为接近。
因为只有样本量⾜够⼤时，样本的⾃相关函数才⾮常接近原时间序列的⾃相关函数。
具体运⽤时，在规定范围内使模型阶数由低到⾼，分别计算AIC值，最后确定使其值最⼩的阶数，就是模型的合适阶数。
ARIMA模型
ARIMA模型简介ARIMA模型全称为差分自回归移动平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model,简记ARIMA)，是由博克思(Box)和詹金斯(Jenkins)于70年代初提出的一著名时间序列预测方法，所以又称为box-jenkins模型、博克思-詹金斯法。
其中ARIMA（p，d，q）称为差分自回归移动平均模型，AR是自回归, p为自回归项; MA为移动平均，q为移动平均项数，d为时间序列成为平稳时所做的差分次数。
或者说，所谓ARIMA模型，是指将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，然后将因变量仅对它的滞后值以及随机误差项的现值和滞后值进行回归所建立的模型。
ARIMA模型根据原序列是否平稳以及回归中所含部分的不同，包括移动平均过程（MA）、自回归过程（AR）、自回归移动平均过程（ARMA）以及ARIMA过程。
基本思想ARIMA模型的基本思想是：将预测对象随时间推移而形成的数据序列视为一个随机序列，用一定的数学模型来近似描述这个序列。
这个模型一旦被识别后就可以从时间序列的过去值及现在值来预测未来值。
现代统计方法、计量经济模型在某种程度上已经能够帮助企业对未来进行预测。
预测程序ARIMA模型预测的基本程序（一）根据时间序列的散点图、自相关函数和偏自相关函数图以ADF单位根检验其方差、趋势及其季节性变化规律，对序列的平稳性进行识别。
一般来讲，经济运行的时间序列都不是平稳序列。
（二）对非平稳序列进行平稳化处理。
如果数据序列是非平稳的，并存在一定的增长或下降趋势，则需要对数据进行差分处理，如果数据存在异方差，则需对数据进行技术处理，直到处理后的数据的自相关函数值和偏相关函数值无显著地异于零。
（三）根据时间序列模型的识别规则，建立相应的模型。
若平稳序列的偏相关函数是截尾的，而自相关函数是拖尾的，可断定序列适合AR模型；若平稳序列的偏相关函数是拖尾的，而自相关函数是截尾的，则可断定序列适合MA模型；若平稳序列的偏相关函数和自相关函数均是拖尾的，则序列适合ARMA模型。
计量学1-自回归移动平均模型分析
9
引进滞后算子L（ Lt t1, L2t t2 , ），移动
平均模型可分别表示为：
Yt
Yt t t1 (1 L)t (L)t
Yt t 1t1 2t2 (11L 2L2 )t 2 (L)t
q
Yt j t j (11L 2L2 q Lq )t q (L)t j0
型才是可逆的。
19
2、MA(q)模型
（1）平稳性
根据MA(q)的定义得到 ：
E(Yt )
0
Var(Yt )
2
(1
12
2 q
)
k
Cov(Yt ,Ytk )
(
k
0
k 1 1 k 2 2
k q
q
qk
)
2
k 1, , q
20
（2）可逆性
MA(q)模型 Yt t 1t 1 2t 2 qt q
4、预测和控制 利用所得到的模型进行预测分析，包括静态预 测和动态预测，多步预测等，利用模型进行控 制。预测本身也是对模型的进一步检验。
7
二、自回归移动平均模型 （一）移动平均模型（moving average process,
MA） 移动平均过程就是一个白噪声过程不同时间随
机变量的加权和。 最简单的移动平均过程是当期和前一期白噪声
Yt Yt1 t
Yt 1Yt1 2Yt2 t
p
Yt 1Yt1 pYt p t iYti t i 1
Yt 1Yt1 t iYti t
i 1
11
引进滞后算子表示方法，上述AR模型则 可以分别表示为：
(1 L)Yt 1(L)Yt t (11L 2L2 )Yt 2 (L)Yt t (11L 2L2 p Lp )Yt p (L)Yt t (11L 2L2 )Yt (L)Yt t
ARMA模型概述
ARMA模型概述ARMA 模型（Auto-Regressive and Moving Average Model）是研究时间序列的重要方法，由自回归模型（简称AR模型）与滑动平均模型（简称MA模型）为基础“混合”构成。
在市场研究中常用于长期追踪资料的研究，如：Panel研究中，用于消费行为模式变迁研究；在零售研究中，用于具有季节变动特征的销售量、市场规模的预测等。
[编辑]ARMA模型三种基本形式[1]1.自回归模型（AR：Auto-regressive）；自回归模型AR(p)：如果时间序列yt满足其中εt是独立同分布的随机变量序列，且满足：E(εt) = 0则称时间序列为yt服从p阶的自回归模型。
或者记为φ(B)y t= εt。
自回归模型的平稳条件：滞后算子多项式的根均在单位圆外，即φ(B) = 0的根大于1。
2.移动平均模型（MA：Moving-Average）移动平均模型MA(q):如果时间序列yt满足则称时间序列为yt服从q阶移动平均模型；移动平均模型平稳条件：任何条件下都平稳。
3.混合模型（ARMA：Auto-regressive Moving-Average）ARMA(p,q)模型：如果时间序列yt满足：则称时间序列为yt服从(p,q)阶自回归滑动平均混合模型。
或者记为φ(B)y t= θ(B)εt 特殊情况：q=0，模型即为AR(p)，p=0，模型即为MA(q)，[编辑]ARMA模型的基本原理将预测指标随时间推移而形成的数据序列看作是一个随机序列，这组随机变量所具有的依存关系体现着原始数据在时间上的延续性。
一方面，影响因素的影响，另一方面，又有自身变动规律，假定影响因素为x1，x2，…，xk，由回归分析，其中Y是预测对象的观测值，e为误差。
作为预测对象Yt受到自身变化的影响，其规律可由下式体现，误差项在不同时期具有依存关系，由下式表示，由此，获得ARMA模型表达式：[编辑]参考文献1. ↑徐国祥,马俊玲.《统计预测和决策》学习指导与习题[M].上海财经大学出版社.ISBN:7-81098-492-6.2005。
自回归移动平均模型
1
1
2
1
1
2
n
{
2
}
7
m阶平稳过程
z z
强平稳的要求苛刻，因而引入较弱的条件 如果一个平稳过程 m 阶以下矩 ( 包括 m 阶矩 ) 的取 值与时间无关，称随机过程为m阶平稳过程。 随机过程为m阶平稳过程并不要求 x 和x 的概 率分布相同，仅要求这两个分布的主要特征相 同，只要求相等到m阶矩。
t1
t1 + k
z
8
二阶平稳(弱平稳、协方差平稳）
z z
z z z z z
只注重时间序列的一阶矩、二阶矩。 }1T T个均值为E(x1), E(x2),…, E(xT)，T 假设一个时间序列 {xt，其 个方差为Var(x1), Var(x2),…, Var(xT)，和T(T-1)/2个协方差为 Cov(xi, xj)，i≠j。 如果 E ( x1 ) = ... = E ( xT ) = E ( xt ) = μ < ∞ Cov( xi , x j ) = σ ij < ∞
5
平稳性
z
z z
一个时间序列是随机变量按时间顺序排列的观测 值，在经济和金融的应用中，我们仅能得到的是 时间序列的一次实现，时间序列分析的目标就是 从观测到的一次实现来对过程进行推断，常用的 方法就是选择一个适当的模型来近似描述所研究 的过程。 选择一个适当的模型，就涉及到评价样本数据的 联合分布函数 F ( x1 , x 2 , " xT ) = Pr( X 1 ≤ x1 ,", X T ≤ xT ) 其中，T是样本容量，xi是实数。通常{xt}是一个 观测序列。为了能更好地为时间序列构模，需要 限制联合分布。进一步，为了预测，还要说明过 程分布的一些关键性质，即时间不变性。
自回归移动平均模型ARMA(p,q
Hale Waihona Puke 图10.4.1由图10.4.1可以看出p = 1和q = 1，即样本数据具有 ARMA(1,1)模型过程。
（二）模型的估计 模型的理论计算过程较繁杂，我们这里仍然直接利 用EViews软件计算:
在工作文件主窗口点击Quick/Estimate Equation ， 在Equation Specification 对话框中填入 y ma(1) ar(1) 便得到模型ARMA(1,1)的估计结果，如图10.4.2所示：
图10.4.2
由图10.4.2可以知道模型为：
yˆ t =0.0134yt-1+ut+0.945ut-1
而这个计算是一个复杂的过程，为了实际应用的方 便我们采用直接利用计算机软件EViews来判断p和q 的数值各是多少，从而就确定了模型和模型的阶数。 在样本数据窗口，点击View/Correlogram 然后在对 话框中选择滞后期数，我们这里选取12，再点击 “OK”得到自相关系数和偏自相关系数及其图形， 如图10.4.1所示：
在实际应用中，用ARMA(p,q)拟合实际数据时所 需阶数较低，p和q的数值很少超过2。因此， ARMA模型在预测中具有很大的实用价值
二、ARMA模型阶数的确定和模型的估计 （一）ARMA模型阶数的确定 是建立AR模型、MA模型还是ARMA模型？这就 需要确定p和q的数值各是多少，为此需要计算 样本数据的自相关系数和偏自相关系数。
最简单的自回归移动平均模型是ARMA(1，1)，其
yt 1 yt1 ut 1ut1
(10.4.1)
模型ARMA(p,q)
yt 1 yt1 2 yt2 p yt p ut 1ut1 2 ut2 q utq
(10.4.2)
arima模型
ARIMA模型（英语：自回归综合移动平均模型），差分综合移动平均自回归模型，也称为综合移动平均自回归模型（移动也可以称为滑动），是时间序列预测分析方法之一。
在ARIMA（p，d，q）中，AR是“自回归”，p是自回归项的数量；MA是“移动平均数”，q是移动平均项的数量，d是使其成为固定序列的差（顺序）的数量。
尽管ARIMA 的英文名称中没有出现“difference”一词，但这是关键的一步。
非平稳时间序列在消除其局部水平或趋势后显示出一定的同质性，也就是说，该序列的某些部分与其他部分非常相似。
经过微分处理后，可以将该非平稳时间序列转换为平稳时间序列，称为均质非平稳时间序列，其中差值的数量为齐次。
因此，可以得出结论如果存在一个D阶非平稳时间序列，那么如果存在一个平稳时间序列，则可以称为ARMA（p，q）模型，其中，它们是自回归系数多项式和移动平均系数多项式。
零均值白噪声序列。
该模型可以称为自回归求和移动平均模型，表示为ARIMA（p，d，q）。
当差分阶数D为0时，ARIMA模型等效于ARMA模型，即两个模型之间的差分为差分阶数D是否等于零，即序列是否平稳。
ARIMA模型对应于非平稳时间序列，而ARMA模型对应于平稳时间序列。
时间序列的预处理包括两个测试：平稳性测试和白噪声测试。
ARMA 模型可以分析和预测的时间序列必须满足平稳非白噪声序列的条件。
检查数据的平稳性是时间序列分析中的重要步骤，通常通过时间序列和相关图进行检查。
时序图的特点是直观，简单，但误差较大。
自相关图，即自相关和部分自相关函数图，相对复杂，但结果更准确。
本文使用时序图直观地判断，然后使用相关图进行进一步测试。
如果非平稳时间序列有增加或减少的趋势，则需要进行差分处理，然后进行平稳性测试，直到稳定为止。
其中，差异的数量为ARIMA（p，d，q）的顺序。
从理论上讲，差异的数量越多，时间序列信息的非平稳确定性信息的提取就越充分。
从理论上讲，差异数量越多越好。
varma向量自回归移动平均模型python实现
Varma向量自回归移动平均模型是一种经济学和金融学领域常用的时间序列分析模型。
它可以用来预测和解释时间序列数据的变化趋势，对于金融市场的波动和趋势分析具有重要意义。
本文将介绍如何使用Python实现Varma模型，并对其原理和应用进行讨论。
一、Varma向量自回归移动平均模型的概念和原理Varma模型是由向量自回归模型（Var）和向量移动平均模型（Ma）组合而成的。
向量自回归模型是一种多变量时间序列模型，它假设当前时刻的多个变量值与过去若干时刻的所有变量值相关。
向量移动平均模型则是一种多变量时间序列模型，它假设当前时刻的多个变量值与过去若干时刻的随机误差相关。
Varma模型可以用数学公式表示为：Yt = C + Φ1Yt-1 + Φ2Yt-2 + ... + ΦpYt-p + Θ1et-1 + Θ2et-2 + ... + Θqet-q + et其中，Yt是一个k维向量，表示当前时刻的k个变量值；C是一个k 维向量，表示常数项；Φ1, Φ2, ..., Φp是k×k维矩阵，表示自回归项的系数；Θ1, Θ2, ..., Θq是k×k维矩阵，表示移动平均项的系数；et 是一个k维向量，表示当前时刻的随机误差。
二、Python实现Varma模型的步骤1. 数据准备我们需要准备时间序列数据，包括多个变量的观测值。
可以使用Pandas库读取和处理数据，将其转换为DataFrame类型。
2. 模型拟合接下来，我们使用statsmodels库中的VARMAX类拟合Varma模型。
首先要指定自回归阶数p和移动平均阶数q，并且调用fit方法拟合模型。
还需要考虑是否包含常数项C和是否使用最大似然估计方法进行参数估计。
3. 模型诊断拟合完成后，需要对模型进行诊断，检验模型的拟合效果和假设检验的显著性。
可以使用statsmodels库中的diagnostic检验函数进行自相关性、异方差性等方面的检验。
eviews实验指导ARIMA模型建模与预测
eviews实验指导ARIMA模型建模与预测在当今的数据分析领域，时间序列分析是一项至关重要的技术。
而ARIMA 模型（自回归移动平均模型）作为一种常用且有效的时间序列预测方法，在经济、金融、气象等众多领域都有着广泛的应用。
Eviews 作为一款功能强大的统计分析软件，为我们进行 ARIMA 模型的建模与预测提供了便捷的工具和环境。
接下来，让我们一起深入了解如何使用 Eviews 来构建和应用 ARIMA 模型。
一、ARIMA 模型的基本原理ARIMA 模型由三个部分组成：自回归（AR）部分、差分（I）部分和移动平均（MA）部分。
自回归部分表示当前值与过去若干个值之间存在线性关系。
例如，如果一个时间序列具有显著的自回归特征，那么当前的值可能受到过去几个值的影响。
差分部分用于处理非平稳的时间序列。
如果时间序列的均值、方差等统计特性随时间变化而不稳定，通过对其进行差分操作，可以使其变得平稳，从而满足建模的要求。
移动平均部分则反映了随机误差项的线性组合对当前值的影响。
二、数据准备在使用 Eviews 进行 ARIMA 模型建模之前，首先需要准备好数据。
数据的质量和特征对模型的效果有着重要的影响。
我们通常要求数据是时间序列形式，且具有一定的连续性和周期性。
同时，需要对数据进行初步的观察和分析，了解其趋势、季节性等特征。
在 Eviews 中，可以通过导入外部数据文件（如 Excel、CSV 等格式）或者直接在软件中输入数据来建立数据集。
三、平稳性检验平稳性是时间序列建模的一个重要前提。
如果时间序列不平稳，直接使用 ARIMA 模型可能会导致不准确的结果。
常见的平稳性检验方法有单位根检验，如 ADF 检验（Augmented DickeyFuller Test）。
在 Eviews 中，可以通过相应的命令和操作来进行ADF 检验。
如果检验结果表明时间序列不平稳，就需要对其进行差分处理，直到序列达到平稳状态。
四、模型识别与定阶在确定时间序列平稳后，接下来需要确定 ARIMA 模型的阶数，即AR 项的阶数（p）、MA 项的阶数（q）和差分的次数（d）。
ARIMA模型-自回归移动平均模型
自回归移动平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model,简记ARIMA)[编辑]什么是ARIMA模型?ARIMA模型全称为自回归移动平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model,简记ARIMA)，是由博克思(Box)和詹金斯(Jenkins)于70年代初提出的一著名时间序列预测方法，所以又称为box-jenkins模型、博克思-詹金斯法。
其中ARIMA（p，d，q）称为差分自回归移动平均模型，AR是自回归, p为自回归项; MA为移动平均，q为移动平均项数，d为时间序列成为平稳时所做的差分次数。
[编辑]ARIMA模型的基本思想ARIMA模型的基本思想是：[编辑]ARIMA模型预测的基本程序（一）根据时间序列的散点图、自相关函数和偏自相关函数图以ADF单位根检验其方差、趋势及其季节性变化规律，对序列的平稳性进行识别。
一般来讲，经济运行的时间序列都不是平稳序列。
（二）对非平稳序列进行平稳化处理。
如果数据序列是非平稳的，并存在一定的增长或下降趋势，则需要对数据进行差分处理，如果数据存在异方差，则需对数据进行技术处理，直到处理后的数据的自相关函数值和偏相关函数值无显著地异于零。
（三）根据时间序列模型的识别规则，建立相应的模型。
若平稳序列的偏相关函数是截尾的，而自相关函数是拖尾的，可断定序列适合AR模型；若平稳序列的偏相关函数是拖尾的，而自相关函数是截尾的，则可断定序列适合MA模型；若平稳序列的偏相关函数和自相关函数均是拖尾的，则序列适合ARMA模型。
（四）进行参数估计，检验是否具有统计意义。
（五）进行假设检验，诊断残差序列是否为白噪声。
（六）利用已通过检验的模型进行预测分析。
[编辑]相关链接[编辑]各国的box-jenkins模型名称[编辑]ARlMA模型案例分析[编辑]案例一:ARlMA模型在海关税收预测中的应用2008年。
自回归移动平均模型
第二章自回归移动平均模型一些金融时间序列的变动往往呈现出一定的平稳特征，由 模型就是借助时间序列的随机性来描述平稳序列的相关性信息, 行建模和预测。
第一节ARMA 模型的基本原理ARMA 模型由三种基本的模型构成：自回归模型( AR,Auto-regressive Model )，移动平均模型(MA ，Moving Average Model )以及自回归移动平均模型 (ARMA ，Auto-regressive Moving Average Model )。
2.1.1自回归模型的基本原理 1. AR 模型的基本形式AR 模型的一般形式如下:p 模型的系数，t 为白噪声序列。
我们称上述方程为P阶自回归模型，记为 AR(p )。
2. AR 模型的平稳性2,Var(y t ) ,Cov(y t , y s )为了描述的方便，对式(2.1 )的滞后项引入滞后算子。
若 y t X t 1，定义算子“ L ”,使得y tLx t X t 1 L 称为滞后算子。
由此可知， L k X tX t k 。
对于式子(2.1),可利用滞后算子改写为:y t c丄％2L 2y tpL P y tt间序列｛%｝是平稳的，即E(y t )y t C 1 y t 1 2 y t 2 P y t P t此处的平稳性是指宽平稳,即时间序列的均值, 方差和自协方差均与时刻无关。
即若时Box 和 Jenkins 创立的 ARMA 并由此对时间序列的变化进 其中，C 为常数项,移项整理,可得：(1 1L 2L2p L P)y t c t3. AR 模型的统计性质(1) AR 模型的均值。
因此上式可化简为:所以,(2) AR 模型的方差。
直接计算AR( p )模型的方差较困难，这里引入 Green 函数。
AR(p )模型可以改写成如下形式:y tp 为平稳AR(p )模型的反特征根，则进一步，以Green 函数是呈负指数下降的。
对上式两边取方差，可得:2G j var( t j )j 0AR(p )的平稳性条件为方程11L2L 2pL p 0的解均位于单位圆外。
arima建模的要求
arima建模的要求ARIMA（自回归移动平均模型）是一种常用于时间序列分析和预测的统计模型。
它可以用于预测未来数据点或分析过去的趋势和周期性。
ARIMA模型的要求包括以下几个方面。
时间序列数据应该是稳定的。
稳定性是指数据的均值和方差在时间上保持不变。
如果数据不稳定，我们可以通过差分操作来使其稳定化。
差分操作是指将每个数据点与前一个数据点之间的差值作为新的数据点。
ARIMA模型要求数据是线性的。
这意味着数据的趋势可以用线性函数来描述。
如果数据不是线性的，我们可以对其进行转换，使其符合线性模型的要求。
ARIMA模型要求时间序列数据之间是相互独立的。
这意味着当前的数据点不会受到过去数据点的影响。
如果数据之间存在依赖关系，我们可以通过引入滞后项或其他变量来建立模型。
ARIMA模型还要求时间序列数据是正态分布的。
正态分布是指数据的分布呈现出钟形曲线，均值和标准差可以完全描述数据的特征。
如果数据不符合正态分布，我们可以对其进行变换或使用非参数方法来建模。
ARIMA模型的建立过程包括模型选择、参数估计和模型诊断。
模型选择是指确定模型的阶数，即AR、MA和差分的阶数。
参数估计是指通过最大似然估计或最小二乘法来估计模型的参数。
模型诊断是指对模型进行检验，判断模型是否合适。
在模型选择中，可以通过观察自相关图（ACF）和偏自相关图（PACF）来确定AR和MA的阶数。
ACF是指时间序列数据与其滞后项之间的相关系数，PACF是指时间序列数据与其滞后项之间的偏相关系数。
通过观察ACF和PACF图，可以判断AR和MA的阶数。
在参数估计中，可以使用最大似然估计或最小二乘法来估计ARIMA 模型的参数。
最大似然估计是指通过最大化似然函数来估计模型的参数，最小二乘法是指通过最小化残差平方和来估计模型的参数。
在模型诊断中，可以通过观察残差序列的自相关图和偏自相关图来判断模型是否合适。
如果残差序列呈现出随机性，说明模型是合适的；如果残差序列呈现出有规律的结构，说明模型还需要改进。
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第二章 自回归移动平均模型一些金融时间序列的变动往往呈现出一定的平稳特征，由Box 和Jenkins 创立的ARMA 模型就是借助时间序列的随机性来描述平稳序列的相关性信息，并由此对时间序列的变化进行建模和预测。
第一节 ARMA 模型的基本原理ARMA 模型由三种基本的模型构成：自回归模型（AR ，Auto-regressive Model ），移动平均模型（MA ，Moving Average Model ）以及自回归移动平均模型（ARMA ，Auto-regressive Moving Average Model ）。
2.1.1 自回归模型的基本原理 1．AR 模型的基本形式AR 模型的一般形式如下：t p t p t t t y y y y εφφφ+++++=---Λ2211c其中，c 为常数项， p φφφΛ21, 模型的系数，t ε为白噪声序列。
我们称上述方程为p 阶自回归模型，记为AR(p )。
2．AR 模型的平稳性此处的平稳性是指宽平稳，即时间序列的均值，方差和自协方差均与时刻无关。
即若时间序列}{t y 是平稳的，即μ=)(t y E ，2)(σ=t y Var ，2),(s s t t y y Cov σ=-。
为了描述的方便，对式（2.1）的滞后项引入滞后算子。
若1-=t t x y ，定义算子“L ”，使得1-==t t t x Lx y ，L 称为滞后算子。
由此可知，k t t kx x L -=。
对于式子（2.1），可利用滞后算子改写为：t t p p t t t y L y L Ly y εφφφ+++++=Λ221c移项整理，可得：t t p p y L L L εφφφ+=----c )1(221ΛAR(p )的平稳性条件为方程01221=----pp L L L φφφΛ的解均位于单位圆外。
3．AR 模型的统计性质 （1）AR 模型的均值。
假设AR(p )模型是平稳的，对AR(p )模型两边取期望可得：)c (E )(Ε2211t p t p t t t y y y y εφφφ+++++=---Λ根据平稳序列的定义知，μ=)(E t y ，由于随即干扰项为白噪声序列，所以0)(E =t ε，因此上式可化简为：021)1(φμφφφ=----p Λ所以，pφφφφμ----=Λ2101（2）AR 模型的方差。
直接计算AR(p )模型的方差较困难，这里引入Green 函数。
AR(p )模型可以改写成如下形式：)(L y tt Φ=ε设p λλΛ1为平稳AR(p )模型的反特征根，则2121()1(1)ppp i i L L L L L φφφλ=Φ=----=-∏L 。
进一步，∑∑∑∑∑∑∞=∞=-=-=∞=====-=001i 10i 1i k )(k 1k j j j t j p i j t ji p i j t j i pi t it G L L y εελελελ其中，i k 为常数，j i pi j G λi 1k ∑==，称为Green 函数，因为p λλΛ1均在单位圆，所以Green 函数是呈负指数下降的。
对上式两边取方差，可得：∑∞=-=02)var()var(j j t j t G y ε由于随机干扰项为白噪声序列，所以2)var(σε=-j t 。
因为Green 函数是呈负指数下降，所以∞<∑∞=02j j G ，这说明平稳时间序列方差有界，且等于常数22j j G σ∞=∑。
（3）自协方差函数。
假设将原序列已经中心化，则0)(E =t y ，则对AR(p )模型等号两边同时乘以)1(≥∀-k y k t ，两边取期望得：)(E )(E ...)(E )(E )(E 2211k t t k t p t p k t t k t t k t t y y y y y y y y y --------++++=εφφφ因为当期的随机干扰项与过去的时间序列值无关，所以：0)(E =-k t t y ε。
因此，上式可以化为：1122......k k k p k p r r r r φφφ---=+++其中k r ，表示k 阶自协方差。
2.1.2 移动平均模型的基本原理1．MA 模型的基本形式MA 模型的一般形式如下：q t q t t t t y ---+++++=εθεθεθεΛ2211u其中，u 为常数项，p θθθΛ21,为模型的系数，t ε为白噪声序列。
我们称上述方程为q 阶移动平均模型，记为MA(q )。
2、MA 模型的可逆性 对于一个MA(q )模型：q t q t t t t y ---+++++=εθεθεθεΛ2211u将其写成滞后算子的形式：tq q t L L L y εθθθ)1(u 221++++=-Λ若方程01221=++++qq L L L θθθΛ的根全部落在单位圆外，则称MA 模型是可逆的。
可逆性可以保证MA 模型可以改写成： ()()t t L y u ψε-=即MA 模型可以转化为AR 模型，同时可以保证参数估计的唯一性。
3、MA 模型的数字特征 （1）均值当∞<q 时，对于一般的MA （q ）模型：qt q t t t t u y ---+++++=εθεθεθεL 2211两边取期望，可得：u u E y E q t q t t t t =+++++=---)()(2211εθεθεθεL即一般的MA （q ）模型的期望值即为模型中的常数项。
（2）方差对MA （q ）模型，两边取方差：2222112212()(...)(1...)t t t t q t q q Var y Var u εθεθεθεθθθσ---=+++++=++++（3）协方差函数11221122()[(...)(...)]k t t k t t t q t q t k t k t k q t k q r E y y E u u εθεθεθεεθεθεθε-----------==++++++++++化简可得：222212211(1),0(),00,p k k k q k q k k qk q σθθθγσθθθθθ+-⎧++++=⎪⎪=+++<≤⎨⎪>⎪⎩L L2.1.3 自回归移动平均模型的基本原理 1、ARMA 模型的基本形式 ARMA 模型的一般形式如下：q t p t t t p t p t t t y y y c y ------+++++++++=εθεθεθεφφφΛΛ22112211显然ARMA(p,q)模型可看成是AR(p)模型和MA(q)模型相结合的混合形式。
2、ARMA 模型的平稳性和可逆性 对于一个ARMA （p ，q ）模型，qt p t t t p t p t t t y y y c y ------+++++++++=εθεθεθεφφφΛΛ22112211将其写为滞后算子的形式：tq q t p p L L L c y L L L εθθθφφφ)1()1(221221+++++=----L L两边同时除以)1(221pp L L L φφφ----Ltt L y εψμ)(+=其中：121pcμφφφ=----L212121()1qq pL L L L θθθψφφφ++++=----L L由此可以看出，ARMA 模型的平稳性完全取决于AR （p ）模型的参数，与MA （q ）模型的参数无关。
类似地，ARMA 模型的可逆性完全取决于MA （q ）模型的参数，与AR （p ）模型的参数无关。
3、ARMA 模型的数字特征 （1）期望对于一个一般的ARMA(p,q)模型两边同时取期望，化简得：12()1.......t pcE y φφφ=----（2）自协方差函数()[()()]k t t k i t i j t k j i j r E y y E G G εε∞∞+-+-====∑∑][0∑∑∞=-+-∞==j j k t it ji iG G E εε∑∞=+=02i ki iGG σ第二节 时间序列的相关性分析与平稳性2.2.1 时间序列的自相关系数 2.2.1.1 自相关函数（ACF ）1、AR （p ）的自相关函数在上一节中已经介绍了AR （p ）模型的协方差函数满足下式：1122.......k k k p k pr r r r φφφ---=+++由于自相关系数0r r kk =ρ，因此： 1122......k k k p k pρφρφρφρ---=+++该式表示自相关系数满足p 阶差分方程。
根据差分方程解的性质，上差分方程的通解可以写为：∑==pi k i i c k 1)(λρ其中，i c 为任意不全为0的常数，错误!未找到引用源。
是滞后多项式的反特征根。
根据平稳性的性质，错误!未找到引用源。
从自相关系数的一般形式可看出，错误!未找到引用源。
始终不为0，但是随着滞后阶数的增加，自相关系数慢慢逼近0，在图形上表现出一定的拖尾性。
2、MA 模型的自相关函数根据上一节推导的MA 模型的自协方差函数的表达式，MA 模型的自相关函数表示为：112220121,0,010,k k q k qk k pk k q k q θθθθθγργθθθ+-⎧=⎪+++⎪==<≤⎨++++⎪⎪>⎩L L因此，当k>q 时，自相关函数为0，也就是说MA （q ）模型的自相关函数在q 步以后是截尾的。
3、ARMA 模型的自相关函数根据ARMA 模型的自协方差函数，不难得到ARMA 模型的自相关函数：∑∑∞=∞=+==020i ii ki ik k GGG γγρ由此可以看出，ARMA 模型的自相关函数不具有截尾性。
事实上，ARMA 模型若满足可逆性，其形式相当于一个无穷阶的AR 模型，因此自相关函数与AR 模型一样具有拖尾性。
2.2.1.2 偏自相关函数（PACF ）1、偏自相关函数的定义自相关函数错误!未找到引用源。
不能纯粹地表示错误!未找到引用源。
与错误!未找到引用源。
之间的相关性，两者的相关性还会受到错误!未找到引用源。
、错误!未找到引用源。
……错误!未找到引用源。
的间接影响，为了单纯地表示错误!未找到引用源。
与错误!未找到引用源。
之间的相关性，这里引入偏自相关函数。
偏自相关函数表示在固定错误!未找到引用源。
、错误!未找到引用源。
……错误!未找到引用源。
的情况下错误!未找到引用源。
与错误!未找到引用源。
之间的相关性。
下面介绍偏自相关函数错误!未找到引用源。
的计算方法。
设序列y t 可由下回归方程估计：112211t k t k t kk t k kk t k t y y y y y ϕϕϕϕε----+-=+++++L根据回归方程的性质，式中估计系数错误!未找到引用源。