2021届新高考数学一轮课件专题七概率与统计

图 7-1
以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更 换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更 换的易损零件数，n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件 数.
(1)求 X 的分布列； (2)若要求 P(X≤n)≥0.5，确定 n 的最小值； (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n＝ 19 与 n＝20 之中选其一，应选用哪个？
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握 认为箱产量与养殖方法有关：
养殖法 旧养殖法 新养殖法
箱产量＜50 kg
箱产量≥50 kg
(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中 位数的估计值(精确到 0.01).
附：
P(K2 ≥k)
0.050
k
3.841
K2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d
【跟踪训练】 2.某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行 5 次统一 测试，学生如果通过其中 2 次测试即可获得足够学分升上大学 继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加
5 次测试，假设某学生每次通过测试的概率都是13，每次测试通 过与否相互独立.规定：若前 4 次都没有通过测试，则第 5 次不 能参加测试.
题型 2 离散型随机变量的期望与方差 随机变量的分布列与数学期望紧密相连，只有知道随机变 量的分布列，才能够计算出随机变量的数学期望，它们之间是 层层递进的关系.因此，这类试题经常是以两个小题的形式出 现，第一问是为第二问作铺垫的.
例 2: (2017 年天津)从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设 各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别
专题七 概率与统计
题型 1 概率与统计 概率与统计的综合题，自从 2005 年走进新高考试题后，就 以崭新的姿态，在高考中占有极其重要的地位，每年出现一道 大题(都有一定的命题背景，其地位相当于原来的应用题).连续 五年都为一题多问，前面考统计，后面考概率，预计这一趋势 在全国高考中会得到延续！
例 1：(2019 年新课标Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙 两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验 方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只 白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果 得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种 药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药 更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药 的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得－1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得
∴随机变量 X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
1 4
11 24
1 4
1 24
随机变量 X 的数学期望为
E(X)＝0×14＋1×2114＋2×14＋3×214＝1132. (2)设 Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇
到红灯的个数，则所求事件的概率为
P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0) ＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0) ＝14×2114＋2114×14 ＝4118. ∴这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为4118.
(3)记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位： 元).
当 n＝19 时， E(Y) ＝19×200 ＋ 500×0.2 ＋ 1000×0.08 ＋ 1500×0.04＝4040.
当 n＝20 时， E(Y)＝20×200＋500×0.08＋1000×0.04＝4080. 可知当 n＝19 时所需费用的期望值小于 n＝20 时所需费用 的期望值，故应选 n＝19.
由于 p8＝1，故 p1＝48－3 1，
∴ p4
＝
(p4
－
p3)
＋
(p3
－
p2)
＋
(p2
－
p1)
＋
(p1
－
p0)
＝
44－1 3
p1
＝2157.
p4 表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出， 在甲药治愈率为 0.5，乙药治愈率为 0.8 时，认为甲药更有效的
概率为 p4＝2517≈0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说
0.010 6.635
0.001 10.828
解：(1)记 B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50 kg”， C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于 50 kg”，
由题意知 P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)， 旧养殖法的箱产量低于 50 kg 的频率为(0.012 ＋0.014 ＋ 0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，故 P(B)＝0.62. 新养殖法的箱产量不低于 50 kg 的频率为(0.068＋0.046＋ 0.010＋0.008)×5＝0.66，故 P(C)＝0.66. 因此，事件 A 的概率估计值为 0.62×0.66＝0.4092.
【跟踪训练】 1.(2016 年新课标Ⅰ)某公司计划购买 2 台机器，该种机器 使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以 额外购买这种零件作为备件，每个 200 元.在机器使用期间，如 果备件不足再购买，则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同 时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三 年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图 7-1：
(3)∵新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于
50 kg 的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5，
箱产量低于 55 kg 的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋
0.068)×5＝0.68>0.5，
故 新 养 殖 法 箱 产 量 的 中 位 数 的 估 计 值 为 50 ＋
故 0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)， 即 pi＋1－pi＝4(pi－pi－1). 又∵p1－p0＝p1≠0，∴{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为公比为 4，首项为 p1 的等比数列. ②解：由①可得 p8 ＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0
＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝48－3 1p1 .
(1)解：X 的所有可能取值为－1,0,1. P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)， P(X＝1)＝α(1－β), ∴X 的分布列为
X
－1
P
(1－α)β
0 αβ＋(1－α)(1－β)
1 α(1－β)
(2)①证明：由(1)得 a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1. 因此 pi＝0.4pi－1＋0.5 pi＋0.1pi＋1，
0.5－0.34 0.068
≈52.35(kg).
【规律方法】(1)本题是独立性检验问题，关键是由 2×2 列联表确定 a，b，c，d，n 的值.高考对独立性检验这部分的要 求是：了解独立性检验(只要求 2×2 列联表)的基本思想、方法 及 其 简 单 应 用 . 在 复 习 中 ， 不 可 小 视 .(2) 利 用 公 式 K2 ＝ a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d计算要准确，近似计算要精确到小数点 后三位，可选择满足条件 P(K2>k0)＝a 的 k0 作为拒绝域的临界 值.
例 3：(2017 年新课标Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、 旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱， 测量各箱水产品的产量(单位：kg), 其频率分布直方图如图 7-2：
图 7-2 (1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件“旧 养殖法的箱产量低于 50 kg，新养殖法的箱产量不低于 50 kg”， 估计 A 的概率；
1 分，甲药得－1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分. 甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分 记为 X.
(1)求 X 的分布列； (2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，pi(i＝0，1，…， 8)表示“甲药的累计得分为 i 时，最终认为甲药比乙药更有效” 的概率，则 p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)， 其中 a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1).假设α＝0.5，β＝ 0.8. ①证明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列； ②求 p4，并根据 p4 的值解释这种试验方案的合理性.
(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表如下：
养殖法 旧养殖法 新养殖法
总计
箱产量<50 kg 62 34 96
箱产量≥50 kg 38 66 104
总计 100 100 200
K2＝20100×0×621×006×6－963×4×103482≈15.705. 由于 15.705>6.635，故有 99%的把握认为箱产量与养殖方 法有关.
(1)求该学生获得足够学分升上大学的概率； (2)如果获得足够学分升上大学或参加 5 次测试就结束，记 该生参加测试的次数为 X，求变量 X 的分布列及均值 E(X).
解：(1)记“该学生升上大学”为事件 A，其对立事件为 A ， 则 P( A )＝C141323323＋234＝26443＋1861＝211423. ∴P(A)＝1－P( A )＝1－211423＝123413. (2)该学生参加测试次数 X 的可能取值为 2,3,4,5. P(X＝2)＝132＝19， P(X＝3)＝C12·13·23·13＝247，
明这种试验方案合理.
【名师点评】(1)高考中经常以统计图的形式显示相关的数 据信息，以统计图为载体来考查概率的相关问题.本小题主要考 查概率、分布列等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法， 考查运用概率统计知识解决实际问题的能力；
(2)散点图与线性回归方程的有关知识，是高考考试的重要 知识点，因此是高考命题的一种重要题型，要注意熟练掌握.统 计问题最容易出错的两个方面：公式记错、计算出错！
P(X＝4)＝C13·13·232·13＋234＝247＋1861＝2881，
P(X＝5)＝C14·13·233＝3821. 故 X 的分布列为
X
2
3
4
5
P
1 9
4 27
28 81
32 81
∴E(X)＝2×19＋3×247＋4×2881＋5×3821＝38216.
题型 3 独立性检验 独立性检验是新课标增加的内容，高考试卷多次以解答题 形式考查，体现新课程的理念，因此我们在备考时也应该引起 足够的重视.
解：(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年 内需更换的易损零件数为 8,9,10,11 的概率分别为 0.2 ，0.4 ， 0.2,0.2，从而
P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04； P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16； P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24； P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24； P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；
【规律方法】(1)会用频率估计概率，然后把问题转化为互 斥事件的概率；
(2)首先确定 X 的取值，然后确定有关概率，注意运用对立 事件、相互独立事件的概率公式进行计算，列出分布列后即可 计算数学期望.
(3)离散型随机变量分布列的性质 p1＋p2＋…＋pn＝1，这条 性质是我们检验分布列是否正确最有效的工具，希望同学们在 求分布列时尽量将每个变量的概率求出，而不要偷懒，否则将 失去自我检查的机会.
P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08； P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04. ∴X 的分布列为：
X 16
百度文库17
18
19
20 21
22
P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04
(2)由(1)知，P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68， ∴P(X≤n)≥0.5 中，n 的最小值为 19.
为12，13，14. (1)记 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机
变量 X 的分布列和数学期望； (2)若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1
个红灯的概率.
解：(1)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3. P(X＝0)＝1－12×1－13×1－14＝14， P(X＝1)＝12×1－13×1－14＋1－12×13×1－14＋1－12 ×1－13×14＝2114， P(X＝2)＝1－12×13×14＋12×1－13×14＋12×13×1－14＝14， P(X＝3)＝12×13×14＝214.