专题8.1 与圆有关的最值问题-2019届高三数学提分精品讲义 2020.8.9

解析几何问题一：与圆有关的最值问题一、考情分析通过对近几年的高考试题的分析比较发现,高考对直线与圆的考查,呈现逐年加重的趋势,与圆有关的最值问题,更是高考的热点问题.由于圆既能与平面几何相联系,又能与圆锥曲线相结合,命题方式比较灵活,故与圆相关的最值问题备受命题者的青睐.二、经验分享1. 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a 型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题．2.与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化三、知识拓展1.圆外一点P 到圆C 上点的距离距离的最大值等于，最小值等于PC r -.2.圆C 上的动点P 到直线l 距离的最大值等于点C 到直线l 距离的最大值加上半径，最小值等于点C 到直线l 距离的最小值减去半径.3.设点M 是圆C 内一点，过点M 作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最小的弦长为四、题型分析(一) 与圆相关的最值问题的联系点 1.1 与直线的倾斜角或斜率的最值问题利用公式k ＝tan α(α≠90°)将直线的斜率与倾斜角紧密联系到一起,通过正切函数的图象可以解决已知斜率的范围探求倾斜角的最值,或者已经倾斜角的范围探求斜率的最值.处理方法：直线倾斜角的范围是[0,π),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的范围时,要分⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出,当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时,斜率k ∈[0,＋∞)；当α＝π2时,斜率不存在；当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时,斜率k ∈(－∞,0)． 【例1】坐标平面内有相异两点2(cos ,sin ),(0,1)A B θθ,经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是( ).A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．30,,44πππ⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ C ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】C【点评】由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y ＝tan x 的图象,特别要注意倾斜角取值范围的限制；求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想,要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时,需依据正切函数y ＝tan x 的单调性求k 的范围．【小试牛刀】【2017届山东菏泽一中宏志部高三上学期月考】若过点()2 3 2P --，的直线与圆224x y +=有公共点,则该直线的倾斜角的取值范围是（ ）A ．0 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．0 3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C. 0 6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．0 3π⎛⎤ ⎥⎝⎦， 【答案】B【解析】当过点(23,2)P --直线与圆224x y += 相切时,设斜率为k ,则此直线方程为+2=k(23)y x +,即k 2320x y k -+-=.由圆心到直线的距离等于半径可得2|232|21k k -=+,求得0k =或3k =,故直线的倾斜角的取值范围是[0,]3π,所以B 选项是正确的.1.2 与距离有关的最值问题在运动变化中,动点到直线、圆的距离会发生变化,在变化过程中,就会出现一些最值问题,如距离最小,最大等.这些问题常常联系到平面几何知识,利用数形结合思想可直接得到相关结论,解题时便可利用这些结论直接确定最值问题.【例2】 过点()1,2M 的直线l 与圆C ：()()223425x y -+-=交于,A B 两点,C 为圆心,当ACB ∠最小时,直线l 的方程是 ． 答案: 30x y +-=解析：要使ACB ∠最小,由余弦定理可知,需弦长AB 最短.要使得弦长最短,借助结论可知当()1,2M 为弦的中点时最短.因圆心和()1,2M 所在直线的42131k -==-,则所求的直线斜率为1-,由点斜式可得1(2)30y x x y -=--⇒+-=.【点评】与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解．此题通过两次转化,最终转化为求过定点的弦长最短的问题.【例3】【2016-2017学年湖北大冶市实验中学高二上学期月考】若圆C ：222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称,则由点(,)a b 向圆C 所作的切线长的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 【答案】C【点评】与切线长有关的问题及与切线有关的夹角问题,解题时应注意圆心与切点连线与切线垂直,从而得出一个直角三角形．【小试牛刀】【2016届河北省武邑中学高三上学期测试】在平面直角坐标系x y O 中,圆1C :()()221625x y ++-=,圆2C :()()2221730x y r -+-=．若圆2C 上存在一点P ,使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点A ,B ,满足2PA =AB ,则半径r 的取值范围是（ ） A ．[]5,55 B ．[]5,50 C ．[]10,50 D ．[]10,55【答案】A【解析】由题,知圆1C 的圆心为(1,6)-,半径为5,圆2C 的圆心为(17,30),半径为r ,两圆圆心距为22(171)(306)30++-=,如图,可知当AB 为圆1C 的直径时取得最大值,所以当点P 位于点1P 所在位置时r 取得最小值,当点P 位于点2P 所在位置时r 取得最大值．因为max ||10AB =,||2||PA AB =,所以min 5r =,max 55r =,故选A ．1.3 与面积相关的最值问题与圆的面积的最值问题,一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系,借助函数求最值的方法,如配方法,基本不等式法等求解,有时可以通过转化思想,利用数形结合思想求解.【例4】 在平面直角坐标系中,,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切,则圆C 面积的最小值为（ ）A.45πB.34πC.(625)π-D.54π 【答案】A【解析】设直线l ：240x y +-=.因为1||||2C l OC AB d -==,所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点,l 为准线的抛物线.圆C 半径最小值为112255O ld -=,圆C 面积的最小值为24(.55ππ=选A. 【例5】动圆C 经过点(1,0)F ,并且与直线1x =-相切,若动圆C 与直线21y x =+总有公共点,则圆C 的面积（ ）A ．有最大值8πB ．有最小值2πC ．有最小值3πD ．有最小值4π 【答案】D【解析】设圆心为(,)a b ,半径为r ,|||1|r CF a ==+,即222(1)(1)a b a -+=+,即214a b =,∴圆心为21(,)4b b,2114r b =+,圆心到直线221y x =++的距离为22|221|4142b b b d -++=≤+,∴2(223)b ≤-+或2b ≥,当2b =时,min 14124r =⨯+=,∴2min 4S r ππ==. 【小试牛刀】【2016-2017学年广东潮阳黄图盛中学高二上期中】已知点A (2,0)-,B (0,2),点P 是圆22(1)1x y -+=上任意一点,则PAB ∆面积的最大值是（ ）A.3B.23+C.23-D.6 【答案】B(二) 与圆相关的最值问题的常用的处理方法 2.1 数形结合法处理与圆有关的最值问题,应充分考虑圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解. 【例6】已知实数x ,y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0,求： (1)yx 的最大值和最小值； (2)y －x 的最大值和最小值； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值．【分析】(1)利用斜率模型；(2)利用截距模型；(3)利用距离模型【解析】原方程变形为(x －2)2＋y 2＝3,表示以(2,0)为圆心,半径r ＝3的圆．(1)设yx ＝k ,即y ＝kx ,由题知,直线y ＝kx 与圆恒有公共点,则圆心到直线的距离小于等于半径 3.∴|2k －0|k 2＋1≤ 3.∴k2≤3,即－3≤k ≤3,∴y x 的最大值为3,最小值为－ 3.(2)设y －x ＝b ,则当直线y －x ＝b 与圆相切时,b 取最值,由|2－0＋b |2＝3,得b ＝－2±6,∴y －x 的最大值为6－2,最小值为－2－ 6. (3)令d ＝x 2＋y 2表示原点与点(x ,y )的距离,∵原点与圆心(2,0)的距离为2,∴d max ＝2＋3,d min ＝2－ 3.∴x 2＋y 2的最大值为(2＋3)2＝7＋43,最小值为(2－3)2＝7－4 3.【点评】研究与圆有关的最值问题时,可借助图形的性质,利用数形结合求解．常见的最值问题有以下几种类型：①形如μ＝y －bx －a 形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．【小试牛刀】【2017届河北武邑中学高三周考】已知直线:60l x y +-=和曲线22:2220M x y x y +---=,点A 在直线l 上,若直线AC 与曲线M 至少有一个公共点C ,且030MAC ∠=,则点A 的横坐标的取值范围是（ ）A ．()0,5B ．[]1,5C ．[]1,3D ．(]0,3 【答案】B【解析】设()00,6A x x -,依题意有圆心到直线的距离sin302d AM =≤,即()()22001516x x -+-≤,解得[]01,5x ∈.2.2 建立函数关系求最值根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式,然后根据关系的特点选用参数法、配方法、判别式法等进行求解.【例7】设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点,则Q P ,两点间的最大距离是（ ） A.25 B.246+ C.27+ D.26 【答案】D2.3 利用基本不等式求解最值如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征,如a b ⋅或者a b +的表达式求最值,常常利用题设条件建立两个变量的等量关系,进而求解最值.同时需要注意,“一正二定三相等”的验证.【例8】 设m R ∈,过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ,则||||PA PB ⋅的最大值是 .【分析】根据222||||||10PA PB AB +==,可用均值不等式求最值【解析】易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ,则消去m 得：2230x y x y +--=,所以点P 在以AB 为直径的圆上,PA PB ⊥,所以222||||||10PA PB AB +==,2||||||52AB PA PB ⨯≤=. 【小试牛刀】【2017届河北武邑中学高三周考】设,m n R ∈,若直线()()1120m x n y +++-=与圆()()22111x y -+-=相切,则m n +的取值范围是（ ）A ．13,13⎡⎣B ．(),1313,⎡-∞++∞⎣C ．222,222⎡-+⎣D ．(),222222,⎡-∞-++∞⎣【答案】D【解析】直线与圆相切,圆心到直线的距离等于半径,()()22111m nm n +=+++,化简得2mn m n =++,由基本不等式得222m n m n mn +⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭,令t m n =+,则2480t t --≥,解得(),222222,t ⎤⎡∈-∞-++∞⎦⎣.四、迁移运用1．【北京市朝阳区2018届高三第一学期期末】阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点,A B 间的距离为2，动点P 与A ， B 距离之比为2，当,,P A B 不共线时， PAB ∆面积的最大值是A. 22B. 2C.223 D. 23【答案】A2．【山西省太原十二中2018届高三上学期1月月考】如图，两条距离为4的直线都与y 轴平行，它们与抛物线2(014)y px p =-<<和圆()2249x y -+=分别交于,A B 和,C D ，且抛物线的准线与圆相切，则当AB CD ⋅取得最大值时，直线AB 的方程为（ ）A. 2x =-B. 3x =C. 2x =-D. 1x =-【解析】根据题意，由抛物线的准线与圆相切可得12p= 或7，又014p <<，故2p=，设直线AB 的方程为()03x t t =-<<，则直线CD 的方程为4x t =-则()()22242989,03AB CD t t t t t ⋅=⋅-=-<< 设()()()29,03f t t t t =-<<则()()293,03f t t t '=-<< 令()003f t x >⇒<<' ，令()033f t x <⇒<<'故()()max 3f t f= ，此时直线AB 的方程为3x =-，故选B3．【西藏拉萨市2018届高三第一次模拟】已知点P 在圆C ： 224240x y x y +--+=上运动，则点P 到直线l ： 250x y --=的距离的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 51+ D. 51-【答案】D【解析】圆C ： 224240x y x y +--+=化为()()22211x y -+-=，圆心()2,1C 半径为1，先求圆心到直线的距离22225512--=+，则圆上一点P 到直线l ： 250x y --=的距离的最小值是51-.选D.4．【辽宁省沈阳市东北育才学校2018届高三第三次模拟】已知圆C 的方程为2220x x y -+=，直线:220l kx y k -+-=与圆C 交于A ，B 两点，则当ABC ∆面积最大时，直线l 的斜率k =（ ）A. 1B. 6C. 1或7D. 2或6 【答案】C5．【天一大联考2017—2018学年高中毕业班阶段性测试】过点()3,0P -作直线()220ax a b y b +++=（,a b 不同时为零）的垂线，垂足为M ，点()2,3N ，则MN 的取值范围是（ ） A. 0,55⎡+⎣ B. 55,5⎡⎤⎣⎦ C. 5,55⎡⎣ D. 55,55⎡+⎣【解析】()220ax a b y b +++=,整理为： ()()220a x y b y +++=得直线恒过点Q （1，-2），画出图像可知90PMQ ∠=或者M 与P,Q 之一重合， 25PQ =,故点M 在以PQ 为直径的圆上运动，设该圆的圆心为F ，则线段MN 满足的范围为55FN MN FN -≤≤+,所以： MN 的取值范围是55,55⎡⎤-+⎣⎦6．【陕西省西安市2018届高三上学期期末】直线()13y k x -=-被圆()()22224x y -+-=所截得的最短弦长等于（ ） A.3 B. 23 C. 22 D. 5【答案】C【解析】圆()()22224x y -+-=的圆心()2,2C ，半径为2，直线()13y k x -=-， ∴此直线恒过定点()3,1，当圆被直线截得的弦最短时，圆心()2,2C 与定点()3,1P 的连线垂直于弦，弦心距为()()2223212-+-=， ∴所截得的最短弦长()2222222+=，故选C.7．【山西省2018届高三第一次模拟】若点为圆上的一个动点，点，为两个定点，则的最大值为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵∠APB=90°，∴，由不等式可得∴，故选：B8．【重庆市梁平区2018届二调】过点()1,1P -作圆C ： ()()2221(x t y t t -+-+=∈R)的切线，切点分别为A ，B ，则PA PB ⋅的最小值为（ ） A.103 B. 403 C. 214D. 22－3 【答案】C【解析】由题意可得圆心坐标为(),2C t t -，半径1r =， 其中()()22221122410PC t t t t =--+-+=-+，22221249PA PB PC t t ==-=-+，22249cos 2410PAt t APC PC t t -+∠==-+，2222224924cos 2cos 121241025t t t t APB APC t t t t -+-+∠=∠-=⨯-=-+-+.利用平面向量数量积的定义有：()()()22222222424925242524,25PA PB PA PB cos APB t t t t t t t t t t t t t t ⋅=⨯⨯∠-+=-+⨯-+-+⎡⎤=-++-+⨯⎣⎦-+ 设()224,3m t t m =-+≥，则：()()2211213111m m m PA PB m m m m m m +⎡⎤⋅=++⨯==++-⎣⎦+++， 结合对勾函数的性质可得：函数()()12131f m m m =++-+在区间[)23,1,2⎡⎫+∞⊆-+∞⎪⎢⎪⎣⎭上单调递增 当3m =时， ()min12124344PA PB ⋅=⨯+-=. 本题选择C 选项.9．【甘肃省2018届高三第一次诊断性考试】过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】直线上上任取一点. 作圆的切线，设切点为A. 圆，即，圆心为，半径为.切线长为..所以切线长的最小值为.故选A.10．【新疆乌鲁木齐市2018年高三年级第二次质量监测】已知点P 是双曲线2214y x -=的渐近线上的动点，过点P 作圆()2255x y -+=的两条切线，则两条切线夹角的最大值为（ ） A. 90︒ B. 60︒ C. 45︒ D. 30︒ 【答案】B11．【重庆市九校联盟2018届高三上学期第一次联合考试】设,m R θ∈，则()()222cos 2sin m m θθ-+-的最小值为（ ）A. 3B. 4C. 9D. 16 【答案】C【解析】其几何意义是单位圆上的点到直线420x y +-=的距离的平方，故其最小值为()2419-=，故选：C12．【北京西城14中2018届高三上期中】已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，(),0(0)B m m >．若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ）．A. 4B. 5C. 6D. 7 【答案】C【解析】圆()()22:341C x y -+-=的圆心()3,4C ，半径为1，圆心C 到()0,0O 的距离为5， 故圆C 上的点到点O 的距离的最大值为6，再由90APB ∠=︒可得，以AB 为直径的圆和圆C 有交点， 可得12PO AB m ==，所以6m ≤， 故m 的最大值为6．故选C ．13．【2017河北卓越联盟上学期月考】由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线,则切线长的最小值为（ ）A.1D.3 【答案】C【解析】圆的圆心为()3,0，r=1,圆心到直线10x y -+=的距离为所以由勾股定理可知14．【2017届河南中原名校豫南九校高三上学期质检四】如果直线()70 0ax by a b +=>>，和函数()()1log 0 1m f x x m m =+>≠，的图象恒过同一个定点,且该定点始终落在圆()()221125x b ya +-++-=的内部或圆上,） A B 4 3⎤⎡+∞⎥⎢⎦⎣，D【答案】A【解析】根据指数函数的性质,可知函数()()1log 0 1m f x x m m =+>≠，，恒过定点()1 1，,将点()1 1，代入7ax by +=,可得7a b +=,由于()1 1，始终落在所给圆的内部或圆上,所以2225a b +≤,由22725a b a b +=⎧⎨+=⎩,解得34a b =⎧⎨=⎩或43a b =⎧⎨=⎩,这说明点()a b ，在以()3 4，和()4 3，为端点的线段上运动,选A.15．【2017湖北宜昌葛洲坝中学上期中】若圆C ：x 2＋y 2－22x －22y －12＝0上有四个不同的点到直线l ：x －y ＋c ＝0的距离为2,则c 的取值范围是（ ） A ．[－2,2] B ．[－22,22] C ． （－2,2） D ．（－22,22） 【答案】D【解析】圆C ：x 2＋y 2－22x －22y －12＝0,配方为：()()222216x y -+-=,[∵圆上有四个不同的点到直线l ：x-y+c=0的距离为2, ∴圆心到直线l 的距离22c d =<,解得2222c -<<16．【2017届四川省高三高考适应性测试】已知圆的方程为2260x y x +-=,过点()1 2，的该圆的所有弦中,最短的弦长为（ ） A.12B.1C.2D.4 【答案】C【解析】222260(3)9x y x x y +-=⇒-+=,最短的弦长为2229(31)22---=,选C.17．【2017重庆万州二中上期中】已知圆22:8150C x y x +-+=,直线 2y kx =+上至少存在一点P ,使得以点P 为圆心,半径为1的圆与圆C 有公共点,则k 的最小值是（ ）A.43-B.54- C.35- D.53-【答案】A18．【2016学年四川省雅安中学期中】已知点P （t,t ）,t ∈R,点m 是圆221(1)4x y +-=上的动点,点N 是圆221(2)4x y -+=上的动点,则PN PM -的最大值是（ ）B ．2C ．3D ．【答案】B 【解析】如图：圆 221(1)4x y +-=的圆心E （0,1）,圆的圆心 F （2,0）,这两个圆的半径都是21 要使|PN||-|PM|最大,需|PN|最大,且|PM|最小,由图可得,|PN|最大值为|PF|+21,PM|的最小值为|PE|-21PN PM -=|PF|-|PE|+1,点P （t,t ）在直线 y=x 上,E （0,1）关于y=x 的对称点E′（1,0）,直线FE′与y=x 的交点为原点O,则|PF|-|PE|=|PF|-|PE′|≤|E′F|=1,故|PF|-|PE|+1的最大值为1+1=2,故答案为B ．19．【2016届浙江省临海市台州中学高三上第三次统练】已知(,)P x y 是直线)0(04>=++k y kx 上一动点,PA PB 、是圆C ：0222=-+y y x 的两条切线,A B 、是切点,若四边形PACB 的最小面积是2,则k 的值为（ ）A ．3B ．212 C ．22 D ．2 【答案】D【解析】圆C 的方程可化为22()11x y +-=,因为四边形PACB 的最小面积是2,且此时切线长为2,故圆心()0,1到直线40kx y ++=的距离为5,即21k=+5,解得2k =±,又0k >,所以2k =．20．【2016届江苏省如东高中高三上学期期中】在平面直角坐标系xOy 中,已知点(2,0)A -,点B 是圆22:(2)4C x y -+=上的点,点M 为AB 中点,若直线:5l y kx k =-上存在点P,使得30OPM ∠=,则实数k 的取值范围为________．【答案】22k -≤≤【解析】因为点M 为AB 中点,所以112OM CB ==,即点M 轨迹为以原点为圆心的单位圆,当PM 为单位圆切线时,OPM ∠取最大值,即30OPM ∠≥,从而12sin OP OPM =≤∠,因此原点到直线:5l y kx k =距离不大于2,252221k k k -≤⇒-≤≤+21.已知圆22: (01)O x y c c +=<≤,点 (, )P a b 是该圆面（包括⊙O 圆周及内部）上一点,则a b c ++的最小值等于 ．【答案】12-【解析】依题意可得22a b c +≤.令z a b c =++.所以,a b 满足如图所示.所以目标函数b a z c =-+-.所以当目标函数与直线相切的时候z 最小.由圆心到直线的距离可得.2z c c =- =221()22c --.所以当且仅当12c =时,min 12z =-.22.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为2240x y x +-=．若直线(1)y k x =+上存在一点P ,使过P 所作的圆的两条切线相互垂直,则实数k 的取值范围是 ．学@科网 【答案】22,22⎡⎤-⎣⎦。