(完整版)[初一数学]乘法公式
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乘法公式
一、平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2
要注意等式的特点：
（1）等式的左边是两个二项式的乘积，且这两个二项式中，有一项相同，另一项互为相反数；
（2）等式的右边是一个二项式，且为两个因式中相同项的平方减去互为相反数的项的平方．
值得注意的是，这个公式中的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式．平方差公式可以作为多项式乘以多项式的简便公式，也可以逆用做为快速计算的工具．
例１下列各式中不能用平方差公式计算的是（）．
A．（a－b）（－a－b）B．（a2－b2）（a2＋b2）
C．（a＋b）（－a－b）D．（b2－a2）（－a2－b2）
解：Ｃ．根据上面平方差公式的结构特点，Ａ中，－b是相同的项，a与－a 是性质符号相反的项，故可使用；Ｂ中a2是相同项，－b2与b2是互为相反数符合公式特点；同样Ｄ也符合．而Ｃ中的两个二项式互为相反数，不符合上述的等式的特征，因此不可使用平方差公式计算．
例２运用平方差公式计算：
（１）（x2－y）（－y－x2）；
（２）（a－3）（a2＋9）（a＋3）．
解：（１）（x2－y）（－y－x2）
＝（－y ＋x2）（－y－x2）
＝(－y)2－（x2）2
＝y2－x4；
（２）（a－3）（a2＋9）（a＋3）
＝（a－3）（a＋3）（a2＋9）
＝（a2－32）（a 2＋9）
＝（a2－9）（a2＋9）
＝a4－81 ．
例３计算：
（１）54.52－45.52；
（２）(2x2+3x+1)(2x2-3x+1)．
分析：（１）中的式子具有平方差公式的右边的形式，可以逆用平方差公式；（２）虽然没有明显的符合平方差公式的特点，值得注意的是，平方差公式中的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式，我们可以把2x2+1看做公式中字母a，以便能够利用公式．正如前文所述，利用平方差可以简化整式的计算．
解：（１）54.52－45.52
＝（54.5＋45.5）(54.5－45.5)
＝100×9
＝900 ；
（２）(2x2+3x+1)(2x2-3x+1)
=(2x2+1)2-(3x)2
=4x4+4x2+1-9x2 =4x4-5x2+1
二、完全平方公式：(a＋b)2＝a 2＋2ab＋b 2
(a－b)2＝a 2－2ab＋b 2．
二项式的平方，等于其中每一项（连同它们前面的符号）的平方，加上这两项积的两倍．
完全平方公式是计算两数和或差的平方的简算公式，在有关代数式的变形和求值中应用广泛．正确运用完全平方公式就要抓住公式的结构特点，通过与平方差公式的类比加深理解和记忆．运用中要防止出现（a±b）2＝a2±b2，或（a－b）2＝a2－2ab－b2等错误．
需要指出的是，如同前面的平方差公式一样，这里的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式．
例１利用完全平方公式计算：
（１）（－3a－5）2；（２）（a－b＋c）2．
分析：有关三项式的平方可以看作是二项式的平方，如（a－b＋c）2＝[（a －b）＋c]2或[a－（b－c）]2，通过两次应用完全平方公式来计算．
解：（１）（－3a－5）2
＝（－3a）2－2×（－3a）×5 ＋ 5 2
＝9a2 ＋ 30a ＋ 25
（２）（a－b＋c）2
＝[（a－b）＋c]2
＝（a－b）2 ＋ 2（a－b）c + c2
＝a 2－2ab＋b 2＋2ac－2bc + c2
＝a 2＋b 2+ c2＋2ac－2ab－2bc ．
例２利用完全平方公式进行速算.
(1)1012 (2)992
解: (1)1012分析:将1012变形为(100+1)2原式可
=(100+1)2利用完全平方公式来速算. =1002+2×100×1+12
=10201
解: (2)992分析:将992变形为(100-1)2原式可
=(100-1)2利用完全平方公式来速算. =1002-2×100×1+12
=9801
例３计算：
（１）992－98×100 ；（２）49×51－2 499 ．
解：（１）992－98×100
＝（100－１）2－98×100
＝1002－２×100＋１－9800
＝10000 －200－9800＋１
＝１；
（２）49×51－2499
＝（50－1）（50＋１）－2499
＝2500－1－2499
＝０．
例４已知a＋b＝8，ab＝10，求a2＋b2，（a－b）2的值．
分析：由前面的公式变形可以知道：a 2＋ b 2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a ＋b)2－4ab．
解：由于a 2＋ b 2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab．而a＋b＝8，ab＝10
所以
a 2＋
b 2＝(a＋b)2－2ab＝ 82 － 2× 10＝ 44
(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝82 － 4× 10＝ 24 ．
三：练习
1．利用乘法公式进行计算：
(1) (x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1) (2) (3x+2)2-(3x-5)2 (3)
(x-2y+1)(x+2y-1)
(4) (2x+3y)2(2x-3y)2 (5) (2x+3)2-2(2x+3)(3x-2)+(3x-2)2