(完整版)[初一数学]乘法公式
初一到初三数学公式总结归纳
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初一到初三数学公式总结归纳初中数学公式整理加法交换律:a+b=b+a加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)减法法则:a-b=a+(-b)乘法交换律:ab=ba乘法结合律:(ab)c=a(bc)除法法则:a÷b=a(1÷b)【b≠0】角与线——对顶角相等同一平面内,有且只有一条直线与已知直线垂直。
同一平面内,经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行。
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
垂直于同一直线的两条直线互相平行。
同位角相等/内错角相等/同旁内角互补:两直线平行两直线平行:同位角相等/内错角相等/同旁内角互补。
直角=90°,180° 优角360°,平角=180°,周角=360°90° 钝角180°,0° 锐角90°初中几何形体计算定理公式1、长方形的周长=(长+宽)×2C=(a+b)×22、正方形的周长=边长×4C=4a3、长方形的面积=长×宽S=ab4、正方形的面积=边长×边长S=a.a=a5、三角形的面积=底×高÷2S=ah÷26、平行四边形的面积=底×高S=ah7、梯形的面积=(上底+下底)×高÷2S=(a+b)h÷28、直径=半径×2d=2r半径=直径÷2r=d÷29、圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2c=πd=2πr10、圆的面积=圆周率×半径×半径【体(容)积重量】体(容)积重量体(容)积单位换算1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1立方分米=1升1立方厘米=1毫升1立方米=1000升重量单位换算1吨=1000千克1千克=1000克1千克=1公斤【直角三角形定理】直角三角形的性质:①直角三角形的两个锐角互为余角;②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;③直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理);④直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半;直角三角形的判定:①有两个角互余的三角形是直角三角形;②如果三角形的三边长a、b、c有下面关系a^2+b^2=c^2,那么这个三角形是直角三角形(勾股定理的逆定理)。
初一上册数学必背公式
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初一上册数学常用公式总结以下是一些初一上册数学中常用的公式,这些公式对于理解数学概念和解决数学问题非常重要。
1.加法交换律:a+b=b+a2.这个公式说明,加法运算可以交换两个数的位置,而结果不变。
例如,5+3=3+5=8。
3.加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)4.这个公式说明,当三个数相加时,可以先加前两个数,然后再加第三个数,或者先加后两个数,再加入第一个数,结果不变。
例如,(2+3)+5=2+(3+5)=10。
5.减法基本性质:a-b-c=a-(b+c)6.这个公式说明,从一个数中减去两个数的和,等于从这个数中减去第二个数,再减去第一个数。
例如,8-(2+3)=8-5=3。
7.乘法交换律:ab=ba8.这个公式说明,乘法运算可以交换两个因数的位置,而结果不变。
例如,2×3=3×2=6。
9.乘法结合律:(ab)c=a(bc)10.这个公式说明,当两个数相乘时,可以先将它们分别与第三个数相乘,再得到结果。
例如,(2×3)×5=2×(3×5)=30。
11.分配律:a(b+c)=ab+ac12.这个公式说明,当一个数与两个数的和相乘时,可以分别将这个数与两个数相乘,再求和。
例如,2×(3+4)=2×7=14。
13.除法基本性质:a÷b÷c=a÷(bc)14.这个公式说明,当一个数除以两个数的积时,可以分别将这个数除以两个数,再求商。
例如,8÷(2×3)=8÷6=1.33。
以上是初一上册数学中常用的公式,希望能对您有所帮助。
中山市七中七年级数学下册第2章整式的乘法2.2乘法公式2.2.3运用乘法公式进行计算课件新版湘教版3
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学习目标
(1)会利用合并同类项的方法解一元一次方程,体 会等式变形中的化归思想.
(2)能够从实际问题中列出一元一次方程,进一步 体会方程模型思想的作用及应用价值.
推进新课 知识点1 合并同类项
数学小资料
约公元820年 , 中亚细亚数学家阿尔-花拉子米 写了一本代数书 , 重点论述怎样解方程.这本书的 拉丁文译本取名为【対消与还原]. 〞対消”与〞 还原”是什么意思呢 ?
探究新知
〔1〕(x+1)(x2+1)(x-1); 〔2〕(x+y+1)(x+y-1).
你能用简单的方法计算上面的式子吗?
(x + y + 1)(x + y-1) =[(x + y) + 1][(x + y)-1] = (x + y)2-1 = x2 + 2xy + y2-1
把 x+y 看做一个整体
运用乘法公式计算 : ( a + b + c )2 . 解: ( a + b + c )2
= [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2c(a + b) + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 遇到多项式的乘法时 , 我们要先观察式子的特征 , 看 能否运用乘法公式 , 以到达简化运算的目的.
第一个数为x , 第二个数为 x
9
方程 x xx1701
3
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七年级数学下册第2章整式的乘法2.2乘法公式教学课件新版湘教版
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3.计算: (1)202×198;
(2)49.8×50.2.
答案:(1)39996;(2)2499.96.
我思 我进步
通过本节课,你有什么收获? 你还存在哪些疑问,和同伴 交流。
2.2.2 完全平方公式
思考
计算下列各式,你能发现什么规律: ( a+1 )2=( a+1 )( a+1 )=a2+a+a+12=a2+2·a·1+12, ( a+2 )2=( a+2 )( a+2 )=a2+2a+2a+22=a2+2·a·2+22, ( a+3 )2=( a+3 )( a+3 )=a2+3a+3a+32=a2+2·a·3+32, ( a+4 )2=( a+4 )( a+4 )=a2+4a+4a+42=a2+2·a·4+42. 我们用多项式乘法来推导一般情况: ( a+b )2=( a+b )=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.
(2)1982.
解:(1)1042=( 100+4 )2 (2)1982=( 200-2 )2
= 1002+2×100×4+42
= 2002-2×200×2+22
= 10000+800+16
= 40000-800+16
= 10816.
= 39204.
练习
1.运用完全平方公式计算: (1)( -2a+3 )2; (3)( -x2-4y )2;
初中数学公式大全(从初一到初三)
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一、初一数学公式1.1 二次根式的性质① 非负性:若a≥0,则√a≥0② 开平方的乘法性:√a×√b=√(a×b)③ 开平方的除法性:√(a/b)=√a/√b (b>0)1.2 整式化简公式①(a+b)²=a²+2ab+b²②(a-b)²=a²-2ab+b²③(a+b)×(a-b)=a²-b²1.3 分式的运算① 加法:a/b+c/d=(ad+bc)/bd② 减法:a/b-c/d=(ad-bc)/bd③ 乘法:a/b×c/d=ac/bd④ 除法:a/b÷c/d=ad/bc2.1 二次函数① 一般式:y=ax²+bx+c (a≠0)② 顶点坐标:( -b/2a , c-b²/4a )③ 判别式:Δ=b²-4ac若Δ>0,则二次函数有两个不同的实根若Δ=0,则二次函数有两个相等的实根若Δ<0,则二次函数无实根2.2 三角函数① 正弦函数:y=Asin(Bx-C)+D② 余弦函数:y=Acos(Bx-C)+D③ 正切函数:y=Atan(Bx-C)+D2.3 同底数幂的运算aⁿ×aᵐ=aⁿᵐaⁿ÷aᵐ=aⁿ⁻ᵐ(a≠0)三、初三数学公式3.1 等差数列① 通项公式:aₙ=a₁+(n-1)d② 前n项和公式:Sₙ=n/2(a₁+aₙ)3.2 三角恒等变换公式① 和差化积公式:sinα±sinβ=2sin(±(α±β)/2)cos(∓(α±β)/2)② 二倍角公式:sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos²α-sin²α3.3 平面几何图形① 三角形面积公式:S=(1/2)×底×高② 圆周长公式:C=2πr, 圆面积公式:S=πr²初中数学公式包括初一到初三阶段的各类公式,涵盖了整式化简、二次函数、三角函数、等差数列、三角恒等变换、平面几何图形等内容。
(完整版)数学公式大全
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知识储备基本知识一、乘法公式与二项式定理(1)222222()2;()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+(2)3322333223()33;()33a b a a b ab b a b a a b ab b +=+++-=-+-(3)01122211()n n n n k n k k n n n n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C ab C b -----+=++++++(4)()abc c b a bc ac ab c b a c b a 3)(333222-++=---++++;(5)()2222222a b c a b c ab ac bc +-=+++--经典习题:1.二、因式分解(1)22()()a b a b a b -=+-(2)()()()()33223322;a b a b a ab b a b a b a ab b +=+-+-=-++; (3)()()121...n nn n n a b a b aa b b ----=-+++三、分式裂项 (1)111(1)1x x x x =-++ (2)1111()()()x a x b b a x a x b=-++-++四、指数运算(1)1(0)nn aa a-=≠ (2)01(1)a a =≠ (3)0)mn a a =≥ (4)mnm na a a+= (5)m n m na a a-÷= (6)()m n mna a=(7)()(0)n n n b b a a a=≠ (8)()n n n ab a b = (9a =五、对数运算(1)log N aaN = (2)log log n b b aan = (3)1log b a a n=(4)log 1a a = (5)1log 0a = (6)log log log MNM Na a a=+ (7)loglog log NMMN a aa =- (8)1log log ba a b=(9)10lg log ,ln log a aea a == 六、函数1、 若集合A 中有n )(N n ∈个元素,则集合A 的所有不同的子集个数为n2,所有非空真子集的个数是22-n。
人教版初一数学公式及概念
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公式▲乘法定律:乘法交换律:a×b = b×a乘法结合律:a×b×c = a×(b×c)乘法分配律:a×c + b×c=c×(a + b) a×c - b×c=c×(a - b)▲除法性质:a÷b÷c = a÷(b×c)▲减法性质:a –b - c = a - (b + c) ▲解方程定律:◇加数 +加数= 和;加数= 和–另一个加数.◇被减数–减数= 差;被减数=差+减数;减数=被减数–差.◇因数×因数= 积;因数= 积÷另一个因数.◇被除数÷除数= 商;被除数=商×除数;除数=被除数÷商.◆行程问题:路程=速度×时间;时间=路程÷速度;速度=路程÷时间.◆相遇问题:相遇路程=(甲速度+乙速度)×相遇时间;相遇时间=相遇路程÷(甲速度+乙速度);甲速度=相遇路程÷相遇时间–乙速度;乙速度=相遇路程÷相遇时间–甲速度.◆工程问题:工作总量=工作效率×工作时间;工作时间=工作总量÷工作效率;工作效率=工作总量÷工作时间;工作总量=计划工作效率×计划工作时间;工作总量=实际工作效率×实际工作时间;实际工作时间=工作总量÷实际工作效率;实际工作效率=工作总量÷实际工作时间;◆买卖问题:总金额=单价×数量;数量=总金额÷单价;单价=总金额÷数量.6年级(1)S=nR2-nr2或S=n(R2-r2)(2)(a-b)除以b*100%或(b-a)除以b*100%(3)出勤人数除以总人数(4)b*(1+C%)或b*(1-C%)(5)利息=本金*利率*时间,利息税=本金*利率*时间*(1-5%)(6)a除以(1+C%)或a除以(1-C%)7年级常用数学公式表:公式表达式平方差 a2-b2=(a+b)(a-b)和差的平方 (a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab和差的立方 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注:韦达定理判别式 b2-4a=0 注:方程有相等的两实根b2-4ac>0 注:方程有一个实根b2-4ac0抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py常用数学公式表:几何图形公式直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h'圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*r (a是圆心角的弧度数r>0) 扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h斜棱柱体积V=S'L (S'是直截面面积,L是侧棱长) 注:pi=3.14159265358979……概念一、有理数0既不是正数,也不是负数。
数学公式大全初一必背
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数学公式大全初一必背数学是一门基础学科,对于初中学生来说,掌握数学公式是非常重要的。
本文将为初一学生总结一份数学公式大全,帮助他们提高学习效率和解题能力。
1. 数字运算1.1. 加法加法是数学中最基础的运算之一,两个数相加得到一个新的数。
加法的性质有:•交换律:a + b = b + a•结合律:(a + b) + c = a + (b + c)•零元素:a + 0 = a,其中0为零元素1.2. 减法减法是加法的逆运算,根据减法定义,有a - b = c,其中a为被减数,b为减数,c为差。
减法的性质有:• a - 0 = a• a - a = 01.3. 乘法乘法是将两个数相乘得到一个新的数。
乘法的性质有:•交换律:a × b = b × a•结合律:(a × b) × c = a × (b × c)•分配律:a × (b + c) = a × b + a × c1.4. 除法除法是乘法的逆运算,根据除法定义,有a ÷ b = c,其中a为被除数,b为除数,c为商。
除法的性质有:• a ÷ 1 = a• a ÷ a = 12. 表达式与方程2.1. 表达式表达式是由数字和运算符组成的算式。
常见的表达式形式有:• a + b:加法表达式• a - b:减法表达式• a × b:乘法表达式• a ÷ b:除法表达式2.2. 方程方程是数学中的等式,由两个表达式用等号连接而成。
常见的方程形式有:• a + b = c:加法方程• a - b = c:减法方程• a × b = c:乘法方程• a ÷ b = c:除法方程3. 几何图形3.1. 点、线、面几何图形研究的对象主要有点、线和面。
•点:几何图形中最小的单位,没有长度、面积和体积。
•线:由一系列点按照一定规律连接而成,没有宽度。
初一数学定理公式大全
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定义定理一、算术方面1.加法交换律:两数相加交换加数的位置,和不变。
2.加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,或先把后两个数相加,再同第三个数相加,和不变。
3.乘法交换律:两数相乘,交换因数的位置,积不变。
4.乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或先把后两个数相乘,再和第三个数相乘,它们的积不变。
5.乘法分配律:两个数的和同一个数相乘,可以把两个加数分别同这个数相乘,再把两个积相加,结果不变。
如:(2+4)×5=2×5+4×5。
6.除法的性质:在除法里,被除数和除数同时扩大(或缩小)相同的倍数,商不变。
0除以任何不是0的数都得0。
7.等式:等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。
等式的基本性质:等式两边同时乘以(或除以)一个相同的数,等式仍然成立。
8.方程式:含有未知数的等式叫方程式。
9.一元一次方程式:含有一个未知数,并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式。
学会一元一次方程式的例法及计算。
即例出代有χ的算式并计算。
10.分数:把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几分的数,叫做分数。
11.分数的加减法则:同分母的分数相加减,只把分子相加减,分母不变。
异分母的分数相加减,先通分,然后再加减。
12.分数大小的比较:同分母的分数相比较,分子大的大,分子小的小。
异分母的分数相比较,先通分然后再比较;若分子相同,分母大的反而小。
13.分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变。
14.分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作为分母。
15.分数除以整数(0除外),等于分数乘以这个整数的倒数。
16.真分数:分子比分母小的分数叫做真分数。
17.假分数:分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。
假分数大于或等于1。
18.带分数:把假分数写成整数和真分数的形式,叫做带分数。
19.分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数(0除外),分数的大小不变。
乘法公式课件
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=(mn+a)2 =(mn)2+2·mn·a +a2 =m2n2+2amn+a2
初一数学名师课程
计算: (a–b)2 解:(a–b)2= (a–b)(a–b) =a2 –ab–ab+b2 =a2–2ab +b2 (a–b)2=[a+(–b)]2 =a2 +2a(–b)+(–b)2 =a2–2ab +b2
完全平方公式
(a–b)2 = a2 – 2ab + b2
初一数学名师课程
完全平方公式
(a+b)2= a2+2ab+b2
两数和的平方 等于这两数的平方和加上 这两数积的2倍
(a–b)2= a2–2ab+b2
两数差的平方 等于这两数的平方和减去 这两数积的2倍
初一数学名师课程
探究活动二 运用完全平方公式解决问题 1.用完全平方公式计算:
试一试:计算(a+b+c)2
初一数学名师课程
思考:已知a+b=2,ab=1,求a2+b2、(a-b)2的值.
初一数学名师课程
归纳总结:
(a+b)2= a2+2ab+b2
完全平方公式
(a-b)2= a2-2ab+b2
用完全平方公式计算的步骤: (1)先选择公式,明确是哪两数和(或差)的平方 (2)准确代入公式 (3)化简
=10002 – 2×1000×2+22 =1000000 – 4000+4 =996004
运用完全平方公式可以起到简便运算的作用
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用完全平方公式计算:1012
七年级数学上册专题知识讲义-乘法公式、整式的除法(附练习及答案)
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乘法公式、整式的除法【考向解读】一、考点突破本讲考点主要包括:平方差公式、完全平方公式,同底数幂的除法、单项式除以单项式、多项式除以单项式。
通过多项式的乘法运算得到乘法公式,再运用公式计算多项式的乘法,培养从一般到特殊,再从特殊到一般的思维能力;通过乘法公式的几何背景,培养运用数形结合思想和整体思想解决问题的能力。
平方差公式是中考命题中比较重要的考点之一,单独命题的题型多为填空题,选择题和简单的计算题,这一知识点也常融入其他知识命题;完全平方公式在中考中占有重要地位,它在数的运算,代数式的化简,方程,函数等方面都有极其广泛的应用。
整式的除法在中考中出现的频率比较高,题型多见选择题与填空题,有时也会出现化简求值题,因此运算必须熟练。
二、重点、难点提示重点:平方差公式、完全平方公式,整式的除法及零指数幂的运算。
难点:乘法公式中字母的广泛含义及整式除法法则的应用。
【重点点拨】知识脉络图【典例精析】能力提升类例1 计算:(1)(-2a-b)(b-2a);(2)(2x+y-z)2.一点通:第(1)题中的b-2a=-2a+b,把-2a看成平方差公式中的“a”即可;第(2)题有多种解法,可把2x看成完全平方公式中的“a”,把y-z看成公式中的“b”,也可把2x+y看成公式中“a”,把z看成公式中的“b”。
答案:(1)(-2a-b)(b-2a)=(-2a-b)(-2a+b)=(-2a)2-b2=4a2-b2;(2)(2x+y-z)2=[(2x+y)-z]2=(2x+y)2-2z(2x+y)+z2=4x2+4xy+y2-4xz -2yz +z 2.点评:这两题都可以运用乘法公式计算,第(1)题先变形,再用平方差公式;第(2)题把三项和看成两项和,两次运用完全平方公式。
例2 计算:(1)[(-3xy )2·x 3-2x 2·(3xy 2)3·12y ]÷(9x 4y 2);(2)[(x +2y )(x -2y )+4(x -y )2]÷(6x ).一点通:本题是整式的混合运算,解题时要注意运算顺序,先乘方,再乘除,最后加减,有括号先算括号里的。
[初一数学]乘法公式(最新整理)
![[初一数学]乘法公式(最新整理)](https://img.taocdn.com/s3/m/e98cc4cec5da50e2534d7fae.png)
需要指出的是,如同前面的平方差公式一样,这里的字母 a,b 可以表示数, 也可以是单项式或多项式.
例1 利用完全平方公式计算: (1)(-3a-5)2 ; (2)(a-b+c)2 .
分析:有关三项式的平方可以看作是二项式的平方,如(a-b+c)2=[(a- b)+c]2 或[a-(b-c)]2,通过两次应用完全平方公式来计算.
二项式的平方,等于其中每一项(连同它们前面的符号)的平方,加上这两 项积的两倍.
完全平方公式是计算两数和或差的平方的简算公式,在有关代数式的变形和 求值中应用广泛.正确运用完全平方公式就要抓住公式的结构特点,通过与平方 差公式的类比加深理解和记忆.运用中要防止出现(a±b)2=a2±b2,或(a-b)2= a2-2ab-b2 等错误.
(6) (x2+x+1)(x2-x+1)
解:(1) 原式=(x2-1)(x2+1)(x4+1) =(x4-1)(x4+1) =x8-1.
(2)解法 1:原式=(9x2+12x+4) -(9x2-30x+25) =9x2+12x+4-9x2+30x-25 =42x-21
(1)( x2-y)(-y- x2); (2)(a-3)(a2+9)(a+3).
解:(1)( x2-y)(-y- x2)
=(-y + x2)(-y- x2) =(-y)2-( x2)2 =y2- x4 ;
(2)(a-3)(a2+9)(a+3) =(a-3)(a+3)(a2+9) =(a2-32)(a 2+9) =(a2-9)(a2+9) =a4-81 .
乘法公式
一、平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2 要注意等式的特点: (1)等式的左边是两个二项式的乘积,且这两个二项式中,有一项相同, 另一项互为相反数; (2)等式的右边是一个二项式,且为两个因式中相同项的平方减去互为相 反数的项的平方. 值得注意的是,这个公式中的字母 a,b 可以表示数,也可以是单项式或多 项式.平方差公式可以作为多项式乘以多项式的简便公式,也可以逆用做为快速 计算的工具. 例1 下列各式中不能用平方差公式计算的是( ). A.(a-b)(-a-b) B.(a2-b2)(a2+b2) C.(a+b)(-a-b) D.(b2-a2)(-a2-b2) 解:C.根据上面平方差公式的结构特点,A中,-b 是相同的项,a 与-a 是性质符号相反的项,故可使用;B中 a2 是相同项,-b2 与 b2 是互为相反数符 合公式特点;同样D也符合.而C中的两个二项式互为相反数,不符合上述的等 式的特征,因此不可使用平方差公式计算. 例2 运用平方差公式计算:
乘法公式(2)全面版

用 乘
(3)
(2a5)2
法 解:原式(2a)22(2a)(5)(5)2
公
4a220a25
式 算算看:(2a 5) 2
计
算 结论:(2a5)2(2a5)2
:
建湖县实验初中
填空: 1.(2x-y)(_2_x_+_y_)=4x2-y2 2.(b-a)(_-_a_-_b_)=a2-b2 3.4x2-12xy+(_9_y_2_)=(_2_x_-_3_y_)2 4.(-3x-2)(_-2_+__3_x)=4-9x2
= a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2
= a2+b2+c2+2ab+2bcƻb+c)2是多少吗? 面积法:通过图形的拼合
ab c
a b
c
所以有:(面图a+积形b(+c1))2 = 图面形积(2) =a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 建湖县实验初中
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计算: 1、(m+n-t)2 2、(-2s+3t-h)2 练习:书P82 练一练 3、4
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1、已知(a+b)2=7, (a-b)2=3,求:
(1)a2+b2(2)ab的值.
拓展与 延伸
2、观察下面各式规律:
12+(1×2)2+22=(1×2+1)2;
课题:乘法公式(2) 初一数学备课组
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乘法公式一、平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2要注意等式的特点:(1)等式的左边是两个二项式的乘积,且这两个二项式中,有一项相同,另一项互为相反数;(2)等式的右边是一个二项式,且为两个因式中相同项的平方减去互为相反数的项的平方.值得注意的是,这个公式中的字母a,b可以表示数,也可以是单项式或多项式.平方差公式可以作为多项式乘以多项式的简便公式,也可以逆用做为快速计算的工具.例1下列各式中不能用平方差公式计算的是().A.(a-b)(-a-b)B.(a2-b2)(a2+b2)C.(a+b)(-a-b)D.(b2-a2)(-a2-b2)解:C.根据上面平方差公式的结构特点,A中,-b是相同的项,a与-a 是性质符号相反的项,故可使用;B中a2是相同项,-b2与b2是互为相反数符合公式特点;同样D也符合.而C中的两个二项式互为相反数,不符合上述的等式的特征,因此不可使用平方差公式计算.例2运用平方差公式计算:(1)(x2-y)(-y-x2);(2)(a-3)(a2+9)(a+3).解:(1)(x2-y)(-y-x2)=(-y +x2)(-y-x2)=(-y)2-(x2)2=y2-x4;(2)(a-3)(a2+9)(a+3)=(a-3)(a+3)(a2+9)=(a2-32)(a 2+9)=(a2-9)(a2+9)=a4-81 .例3计算:(1)54.52-45.52;(2)(2x2+3x+1)(2x2-3x+1).分析:(1)中的式子具有平方差公式的右边的形式,可以逆用平方差公式;(2)虽然没有明显的符合平方差公式的特点,值得注意的是,平方差公式中的字母a,b可以表示数,也可以是单项式或多项式,我们可以把2x2+1看做公式中字母a,以便能够利用公式.正如前文所述,利用平方差可以简化整式的计算.解:(1)54.52-45.52=(54.5+45.5)(54.5-45.5)=100×9=900 ;(2)(2x2+3x+1)(2x2-3x+1)=(2x2+1)2-(3x)2=4x4+4x2+1-9x2 =4x4-5x2+1二、完全平方公式:(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a-b)2=a 2-2ab+b 2.二项式的平方,等于其中每一项(连同它们前面的符号)的平方,加上这两项积的两倍.完全平方公式是计算两数和或差的平方的简算公式,在有关代数式的变形和求值中应用广泛.正确运用完全平方公式就要抓住公式的结构特点,通过与平方差公式的类比加深理解和记忆.运用中要防止出现(a±b)2=a2±b2,或(a-b)2=a2-2ab-b2等错误.需要指出的是,如同前面的平方差公式一样,这里的字母a,b可以表示数,也可以是单项式或多项式.例1利用完全平方公式计算:(1)(-3a-5)2;(2)(a-b+c)2.分析:有关三项式的平方可以看作是二项式的平方,如(a-b+c)2=[(a -b)+c]2或[a-(b-c)]2,通过两次应用完全平方公式来计算.解:(1)(-3a-5)2=(-3a)2-2×(-3a)×5 + 5 2=9a2 + 30a + 25(2)(a-b+c)2=[(a-b)+c]2=(a-b)2 + 2(a-b)c + c2=a 2-2ab+b 2+2ac-2bc + c2=a 2+b 2+ c2+2ac-2ab-2bc .例2利用完全平方公式进行速算.(1)1012 (2)992解: (1)1012分析:将1012变形为(100+1)2原式可=(100+1)2利用完全平方公式来速算. =1002+2×100×1+12=10201解: (2)992分析:将992变形为(100-1)2原式可=(100-1)2利用完全平方公式来速算. =1002-2×100×1+12=9801例3计算:(1)992-98×100 ;(2)49×51-2 499 .解:(1)992-98×100=(100-1)2-98×100=1002-2×100+1-9800=10000 -200-9800+1=1;(2)49×51-2499=(50-1)(50+1)-2499=2500-1-2499=0.例4已知a+b=8,ab=10,求a2+b2,(a-b)2的值.分析:由前面的公式变形可以知道:a 2+ b 2=(a+b)2-2ab,(a-b)2=(a +b)2-4ab.解:由于a 2+ b 2=(a+b)2-2ab,(a-b)2=(a+b)2-4ab.而a+b=8,ab=10所以a 2+b 2=(a+b)2-2ab= 82 - 2× 10= 44(a-b)2=(a+b)2-4ab=82 - 4× 10= 24 .三:练习1.利用乘法公式进行计算:(1) (x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1) (2) (3x+2)2-(3x-5)2 (3)(x-2y+1)(x+2y-1)(4) (2x+3y)2(2x-3y)2 (5) (2x+3)2-2(2x+3)(3x-2)+(3x-2)2(6) (x2+x+1)(x2-x+1)解:(1) 原式=(x2-1)(x2+1)(x4+1)=(x4-1)(x4+1)=x8-1.(2)解法1:原式=(9x2+12x+4) -(9x2-30x+25)=9x2+12x+4-9x2+30x-25=42x-21解法2:原式=[(3x+2)+(3x-5)][(3x+2) -(3x-5)] =(6x-3)×7=42x-21.(3)原式=[x-(2y-1)][x+(2y-1)]=x2-(2y-1)2=x2-(4y2-4y+1)=x2-4y2+4y-1(4)原式=[(2x+3y)(2x-3y)]2=(4x2-9y2)2=16x4-72x2y2+81y4(5) 原式=[(2x+3) -(3x-2)]2=(-x+5)2=x2-10x+25(6) 原式=[(x2+1)+x][(x2+1) -x]=(x2+1)2-x2=(x4+2x2+1) -x2=x4+x2+12.已知:a+b=5, ab=3,求:(1) (a-b)2;(2) a2+b2;解:(1) (a-b)2=(a+b)2-4ab=52-4×3=13(2) a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×3=19.在线测试选择题1.在下列多项式的乘法中,可以用平方差公式计算的是()A、(x+1)(1+x)B、( a+b)(b- a)C、(-a+b)(a-b)D、(x2-y)(x+y2)2.下列各式计算正确的是()A、(a+4)(a-4)=a2-4B、(2a+3)(2a-3)=2a2-9C、(5ab+1)(5ab-1)=25a2b2-1D、(a+2)(a-4)=a2-83.(- x+2y)(- x-2y)的计算结果是()A、x2-4y2B、4y2- x2C、x2+4y2D、- x2-4y24.(abc+1)(-abc+1)(a2b2c2+1)的结果是()。
A、a4b4c4-1B、1-a4b4c4C、-1-a4b4c4D、1+a4b4c45.下列各式计算中,结果错误的是()A、a(4a+1)+(2a+b)(b-2a)=a+b2.B、C、m2-(5m+3n)(5m-3n)+6(2m-n)(n+2m)=3n2D、答案与解析答案:1、B 2、C 3、A 4、B 5、D解析:1.B. ( a+b)(b- )=(b+ a)(b- a).符合平方差公式的特点,故选B。
2.C.(a+4)(a-4)=a2-42=a2-16, 故A错;(2a+3)(2a-3)=(2a)2-32=4a2-9,故B错。
(5ab+1)(5ab-1)=(5ab)2-12=25a2b2-1,故C正确;(a+2)(a-4)=a2+(2-4)a+2´(-4)=a2-2a-8,故D错。
3.A.原式=(- x)2-(2y)2= x2-4y2.4.B.原式=(1+abc)(1-abc)(1+a2b2c2)=[12-(abc)2](1+a2b2c2)=(1-a2b2c2)(1+a2b2c2)=1-a4b4c4.5.D.才正确,差一个符号。
中考解析:乘法公式平方差公式考点扫描:熟练掌握平方差公式,灵活运用平方差公式进行计算.名师精讲:1.平方差公式:(a+b)(a–b)=a2–b2.即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.平方差公式的左边是两个数的和与这两个数的差相乘,而右边正好是这两个数的平方差.2.平方差公式中的字母a、b可以是具体的数,也可以是单项式或多项式.中考典例:1.(湖北武汉)观察下列各式(x–1)(x+1)=x2–1,(x–1)(x2+x+1)=x3–1,(x –1)(x3+x2+x+1)=x4–1,根据前面各式的规律可得(x–1)(x n+x n–1+…+x+1)=___________.考点:平方差公式的延伸评析:该题是一个探索规律性的试题,要通过观察把握住给出的等式中的不变量和变量与变量间的变化规律.不难发现其结果为x n+1–1.真题专练:1.(广东省)化简:(x+y)(x–y)–x2=.2.(德阳市)化简:x2–(x+y)(x–y)答案:1、原式=x2–y2–x2=–y2 2、原式=x2–(x2–y2)=x2–x2+y2=y2完全平方公式考点扫描:熟练掌握完全平方公式,灵活运用完全平方公式进行计算名师精讲:1.完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2,即:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或者减去)它们的积的2倍.2.公式中的字母a、b,可以是具体的数,也可以是单项式或多项式.公式可推广:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.即三个数的和的平方,等于各个数的平方和加上每两个数的积的2倍.3.如果一个多项式能化成另一个多项式的平方,就把这个多项式叫做完全平方式.如,a2±2ab+b2=(a±b)2;a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2,则a2±2ab+b2和a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc就叫做完全平方式.中考典例:1.(北京西城区)下列各式计算正确的是()A、(x–1)2=x2–2x+1B、(x–1)2=x2–1C、x3+x3=x6D、x6÷x3=x2考点:完全平方公式及幂的运算性质评析:该题是考查学生对公式及幂的运算法则掌握的情况,所以解决此题就要对公式特别是完全平方公式及幂的运算法则掌握熟练,由完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2可以判定A对,B不对,由整式的加减可判定C不对,再根据同底数幂除法的法则确定D也不对,因此只有选A.说明:当该题确定A选项后,其他选项也可以不考虑,因为数学试题中一般不会出现多选题.真题专练:1.(上海市)下列计算中,正确的是()A、a3·a2=a6B、(a+b)(a–b)=a2–b2C、(a+b)2=a2+b2D、(a+b)(a–2b)=a2–ab–4b22.(湖南长沙)下列关系式中,正确的是()A、(a–b)2=a2–b2B、(a+b)(a–b)=a2–b2.C、(a+b)2=a2+b2D、(a+b)2=a2–2ab+b2.3.(德阳市)已知x(x–1)–(x2–y)=–3求:的值.答案:1、B2、B3、由x(x–1)–(x2–y)=–3得x–y=3,= = .当x–y=3时,原式= .课外拓展:乘法公式漫谈初一要学习两个乘法公式,即平方差公式和完全平方公式,初学者对于各乘法公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义往往不易掌握,运用时容易混淆,因此要学习好乘法公式,必须注意以下几点.一、注意乘法公式的推导乘法公式是直接计算特殊的多项式乘法得来的,即:平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2;完全平方公式:(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2由此可见,理解乘法公式要与多项式乘法联系起来,这样对公式才理解的深、记得准、记得牢,一旦把公式忘记了,自己也可以把公式推导出来.二、注意掌握乘法公式的结构特征乘法公式的结构特征是各公式的本质所在.在学习时,应仔细观察其结构特征,并会用语言加以表述.平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2;结构特征:公式的左边是两个数和与这两个数差的积,而右边是这两个数的平方差.完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2.结构特征:公式的左边是两个数的和(或差)的平方,而右边是这两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍.三、注意弄清乘法公式中的字母含义公式中的字母a、b可以是具体的数,也可以是单项式、多项式,只要符合公式的结构特征,就可以利用公式.例如:(2m+5n)(2m-5n)=(2m)2-(5n)2=4m2-25n2.(4x+3y)2=(4x)2+2·4x·3y+(3y)2=16x2+24xy+9y2.四、注意运用公式容易出现的错误在学习中不少同学经常出现如下错误:(1)(a+b)(a+b)=a2+b2;(2)(a+b)2=a2+b2;(a-b)2=a2-b2.错误(1)的原因是模仿平方差公式所至,切记只有平方差公式,没有平方和公式;错误(2)的原因是与积的平方(ab)2=a2b2相混淆.对于这些错误,同学们只要利用多项式的乘法计算一下,即可得到验证.五、注意掌握公式的形式变形平方差公式的常见变形:(1)位置变化:(a+b)(-b+a)=_________;(2)符号变化:(-a-b)(a-b)=_________;(3)系数变化:(3a+2b)(3a-2b)=_________;(4)指数变化:(a3+b2)(a3-b2)=_________;(5)项数变化:(a+2b-c)(a-2b+c)=_________;(6)连用变化:(a+b)(a-b)(a2+b2)=_________.只要掌握了平方差公式的结构特征,这些变形即可得解。