高等数学课件44有理函数的积分
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ln x 1 ln x 1 C x 1
$4几种特殊函数的积 分
14
1 dx . 例 Example 8(P264例4） 2 (1 2 x )(1 x ) 1 A Bx C 解 , 2 2 (1 2 x )(1 x ) 1 2 x 1 x 1 A(1 x 2 ) ( Bx C )(1 2 x ),
A ; 特殊地： k 1, 分解后为 x a Specially ：
$4几种特殊函数的积 分 3
2 k ( x px q ) （2）分母中若有因式 ，其中 p 2 4q 0 则分解后为
M1 x N 1 M2 x N2 Mk x Nk 2 2 2 k k 1 ( x px q ) ( x px q ) x px q
11
5ln x 2 6ln x 3 C
$4几种特殊函数的积 分
求A、B还可用下面方法：
在恒等式 x 3 A( x 3) B( x 2), （1）中 令 x=2, 得 A=-5
令 x=3, 得 B=6 解2 （观察法）
A B x3 由分解定理应为 x2 x3 ( x 2)( x 3) (x-2) - 5(x-3) 6 5 6 ( x 2)( x 3) x 3 x 2
1
2 2
x 1 ( x 2 x 1) x 2 1 x 2 2 2 x( x x 1) x( x x 1) x x x1
2 x2 1 1 1 x ( 4 2 2) 2 2 1 x (1 x )(1 x ) 2 1 x 1 x
$4几种特殊函数的积 分
17
例 Example 10 求积分
x 6
1
x 1 e2 x e3 x e6
dx.
6 解 令 t e x 6 ln t , dx dt , t 1 1 6 dt dx 3 2 x x x 1 t t t t 1 e2 e3 e6 1 6 3 3 t 3 6 dt dt 2 2 t (1 t )(1 t ) t 1 t 1 t
2
( x 2 rx s )
(其中p 2 4q 0, , r 2 4s 0)
p( x ) 则真分式 可唯一地分解成部分分 式 Q( x ) （最简分式）之和：
$4几种特殊函数的积 分
5
p( x ) A1 A2 A 2 Q( x ) x a ( x a ) ( x a) B B1 B2 2 x b ( x b) ( x b) M1 x N 1 M2 x N2 M x N 2 2 2 x px q ( x px q ) ( x 2 px q ) R x S R1 x S1 R2 x S2 2 2 2 x rx s ( x rx s ) ( x 2 rx s )
8
$4几种特殊函数的积 分
例 Example 3 （99硕士入学理工数学二） x5 1 2x 6 dx x 2 6 x 13dx 2 x 2 6 x 13dx 8 ( x 3)2 4 1 x3 2 ln( x 6 x 13) 4 arctan c 2 2 2 x 5 例 Example 4 ( x 2 6 x 13)2 dx ( p 4q 0)
C3 M1 x N 1 M2 x N2 2 3 2 ( x 2) x x 3 ( x x 3)2
通分比较两端分子同次幂系数即可求得
$4几种特殊函数的积 分 10
解1 （待定系数法）
x 3 例 Example 6（P262例1） x 2 5x 6dx
2 2 1 ln 1 2 x ln(1 x ) 1 arctan x C . 5 5 5
$4几种特殊函数的积 分
16
例9.
观察法练习： 1 1 1 x( x 1) x x 1
( x 1) x 1 x 2 2 2 x x 1 x( x 1) x( x 1) x5 2 3 2(2 x 1) 3 ( x 1) 2 x 1 2x 1 2 x x 1 (2x 1)( x 1)
x3 x3 A B , 2 x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
（ 1） x 3 A( x 3) B( x 2), x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ), A B 1, A 5 , ( 3 A 2 B ) 3, B 6 5 6 x3 )dx dx ( 2 x2 x3 x 5x 6
$4几种特殊函数的积 分 2
难点 Difficult point 将有理函数化为部分分式之和. 有理函数化为部分分式之和的一般规律：
k （1）分母中若有因式 ( x a ) ，则分解后为
A1 A2 Ak , k k 1 ( x a) ( x a) xa
其中 A1 , A2 , , Ak 都是常数.
$4几种特殊函数的积 分
12
1 dx . 例 Example 7 (P263例2） 2 x( x 1) A B C 1 解 , 2 x ( x 1) 2 x 1 x ( x 1 )
1 A( x 1) 2 Bx Cx( x 1)
代入特殊值来确定系数 A, B , C 取 x 0, A 1 取 x 1, B 1 取 x 2, 并将 A, B 值代入 (1) C 1
1 2x 6 d ( x 3) 2 2 dx 8 2 2 2 2 ( x 6 x 13) ( x 3) 2 由P258,例9 1 x3 1 x 3 2 arctan c 2 2 2( x 6 x 13) ( x 6 x 13) 2
$4几种特殊函数的积 分
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3 3t 3 6 dt 2 t 1 t 1 t 2 1 3 d (1 t ) 3 dt 6 ln t 3 ln(1 t ) 2 2 1 t 2 1 t 3 6 ln t 3 ln(1 t ) ln(1 t 2 ) 3 arctant C 2
$4几种特殊函数的积 分 15
1 求积分 (1 2 x )(1 x 2 ) dx . 4 2 1 x 1 5 dx 5 5dx dx (1 2 x )(1 x 2 ) 1 2 x 1 x2
2 ln 1 2 x 1 2 x 2 dx 1 1 2 dx 5 5 1 x 5 1 x
$4几种特殊函数的积 分
9
例 Example 5 将下列真分式化为部分分式之和：
x3 3 x 1 x 2 ( x 1)( x 2)3 ( x 2 x 3)2 解 由分解定理 x3 3 x 1 x 2 ( x 1)( x 2)3 ( x 2 x 3)2 A1 A2 B C1 C2 2 x x x 1 x 2 ( x 2)2
n
n 1
其中m 、n 都是非负整数；a0 , a1 ,, a n 及
b0 , b1 ,, bm 都是实数，并且a0 0 ，b0 0 .
$4几种特殊函数的积 分
1
假定分子与分母之间没有公因式 (1) n m , 这有理函数是真分式 ; Proper fraction ； ( 2) n m ,这有理函数是假分式;Improper fraction ； 利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和. 23 3 5 5 如同 2 x 2 x -4 4 4 4 23 x2 2 2 x4 x3 0 0 1 20 4 2 4 3 2 x 0 4 x 2x x 1 3 例 3 2 2 x 4 x 01 x 2 3 x 0 2x 2x 9 2 2 2x x 4 2 4 x 2x 1 x 2 4 x2 0 8 有理函数的积分就化为如何 -2x+9 求真分式的积分
整理得 1 ( A 2 B ) x 2 ( B 2C ) x C A,
A 2 B 0, 4 2 1 B 2C 0, A , B , C , 5 5 5 A C 1, 4 2 1 x 1 5 5 5. 2 2 (1 2 x )(1 x ) 1 2 x 1 x
(1)
1 1 1 1 . 2 2 x( x 1) x ( x 1) x 1
$4几种特殊函数的积 分 13
求积分
1 x( x 1)2 dx .
1 1 1 1 x( x 1)2 dx x ( x 1)2 x 1 dx 1 1 1 dx dx dx 2 x ( x 1) x 1
一、有理函数的积分 Integration of rational function
有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数称之..
P ( x ) a0 x a1 x an1 x an Q( x ) b0 x m b1 x m 1 bm 1 x bm
其中 M i , N i 都是常数( i 1,2,, k ) .
Mx N ; 特殊地：k 1, 分解后为 2 x px q Specially ：
$4几种特殊函数的积 分
4
分解定理： 设多项式
Q( x ) b0 ( x a ) ( x b) ( x px q )
积分为真分式、对数、反正切函数。
（k 2时较复杂）
由分解定理知道，只要会求最简分式（都可积） 的积分即可。
$4几种特殊函数的积 分 7
x 例 Example 1 ( x 2)2 dx
解
x x2 2 dx dx dx ( x 2)2 ( x 2)2 dx x 2 2 ( x 2)2 2 ln x 2 c x2 4 例 Example 2 2 x 2 3dx 4 dx dx dx 2 2 解 2 3 3 2 2x 3 2 2 x x ( ) 2 2 2 2 2 arctan x c 3 3
其中Ai ,
$4几种特殊函数的积 分
, Bi, M i , N i ,
, Ri , Si都是常数。
6
最简分式的积分有两类： A 1. k dx( k 1,2,) ( x a) 积分为对数函数或有理真分式。
2ຫໍສະໝຸດ Baidu
Mx N dx ( p 2 4q 0, k 1, 2, ) 2 k ( x px q)
$4几种特殊函数的积 分
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1 dx . 例 Example 8(P264例4） 2 (1 2 x )(1 x ) 1 A Bx C 解 , 2 2 (1 2 x )(1 x ) 1 2 x 1 x 1 A(1 x 2 ) ( Bx C )(1 2 x ),
A ; 特殊地： k 1, 分解后为 x a Specially ：
$4几种特殊函数的积 分 3
2 k ( x px q ) （2）分母中若有因式 ，其中 p 2 4q 0 则分解后为
M1 x N 1 M2 x N2 Mk x Nk 2 2 2 k k 1 ( x px q ) ( x px q ) x px q
11
5ln x 2 6ln x 3 C
$4几种特殊函数的积 分
求A、B还可用下面方法：
在恒等式 x 3 A( x 3) B( x 2), （1）中 令 x=2, 得 A=-5
令 x=3, 得 B=6 解2 （观察法）
A B x3 由分解定理应为 x2 x3 ( x 2)( x 3) (x-2) - 5(x-3) 6 5 6 ( x 2)( x 3) x 3 x 2
1
2 2
x 1 ( x 2 x 1) x 2 1 x 2 2 2 x( x x 1) x( x x 1) x x x1
2 x2 1 1 1 x ( 4 2 2) 2 2 1 x (1 x )(1 x ) 2 1 x 1 x
$4几种特殊函数的积 分
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例 Example 10 求积分
x 6
1
x 1 e2 x e3 x e6
dx.
6 解 令 t e x 6 ln t , dx dt , t 1 1 6 dt dx 3 2 x x x 1 t t t t 1 e2 e3 e6 1 6 3 3 t 3 6 dt dt 2 2 t (1 t )(1 t ) t 1 t 1 t
2
( x 2 rx s )
(其中p 2 4q 0, , r 2 4s 0)
p( x ) 则真分式 可唯一地分解成部分分 式 Q( x ) （最简分式）之和：
$4几种特殊函数的积 分
5
p( x ) A1 A2 A 2 Q( x ) x a ( x a ) ( x a) B B1 B2 2 x b ( x b) ( x b) M1 x N 1 M2 x N2 M x N 2 2 2 x px q ( x px q ) ( x 2 px q ) R x S R1 x S1 R2 x S2 2 2 2 x rx s ( x rx s ) ( x 2 rx s )
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$4几种特殊函数的积 分
例 Example 3 （99硕士入学理工数学二） x5 1 2x 6 dx x 2 6 x 13dx 2 x 2 6 x 13dx 8 ( x 3)2 4 1 x3 2 ln( x 6 x 13) 4 arctan c 2 2 2 x 5 例 Example 4 ( x 2 6 x 13)2 dx ( p 4q 0)
C3 M1 x N 1 M2 x N2 2 3 2 ( x 2) x x 3 ( x x 3)2
通分比较两端分子同次幂系数即可求得
$4几种特殊函数的积 分 10
解1 （待定系数法）
x 3 例 Example 6（P262例1） x 2 5x 6dx
2 2 1 ln 1 2 x ln(1 x ) 1 arctan x C . 5 5 5
$4几种特殊函数的积 分
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例9.
观察法练习： 1 1 1 x( x 1) x x 1
( x 1) x 1 x 2 2 2 x x 1 x( x 1) x( x 1) x5 2 3 2(2 x 1) 3 ( x 1) 2 x 1 2x 1 2 x x 1 (2x 1)( x 1)
x3 x3 A B , 2 x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
（ 1） x 3 A( x 3) B( x 2), x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ), A B 1, A 5 , ( 3 A 2 B ) 3, B 6 5 6 x3 )dx dx ( 2 x2 x3 x 5x 6
$4几种特殊函数的积 分 2
难点 Difficult point 将有理函数化为部分分式之和. 有理函数化为部分分式之和的一般规律：
k （1）分母中若有因式 ( x a ) ，则分解后为
A1 A2 Ak , k k 1 ( x a) ( x a) xa
其中 A1 , A2 , , Ak 都是常数.
$4几种特殊函数的积 分
12
1 dx . 例 Example 7 (P263例2） 2 x( x 1) A B C 1 解 , 2 x ( x 1) 2 x 1 x ( x 1 )
1 A( x 1) 2 Bx Cx( x 1)
代入特殊值来确定系数 A, B , C 取 x 0, A 1 取 x 1, B 1 取 x 2, 并将 A, B 值代入 (1) C 1
1 2x 6 d ( x 3) 2 2 dx 8 2 2 2 2 ( x 6 x 13) ( x 3) 2 由P258,例9 1 x3 1 x 3 2 arctan c 2 2 2( x 6 x 13) ( x 6 x 13) 2
$4几种特殊函数的积 分
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3 3t 3 6 dt 2 t 1 t 1 t 2 1 3 d (1 t ) 3 dt 6 ln t 3 ln(1 t ) 2 2 1 t 2 1 t 3 6 ln t 3 ln(1 t ) ln(1 t 2 ) 3 arctant C 2
$4几种特殊函数的积 分 15
1 求积分 (1 2 x )(1 x 2 ) dx . 4 2 1 x 1 5 dx 5 5dx dx (1 2 x )(1 x 2 ) 1 2 x 1 x2
2 ln 1 2 x 1 2 x 2 dx 1 1 2 dx 5 5 1 x 5 1 x
$4几种特殊函数的积 分
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例 Example 5 将下列真分式化为部分分式之和：
x3 3 x 1 x 2 ( x 1)( x 2)3 ( x 2 x 3)2 解 由分解定理 x3 3 x 1 x 2 ( x 1)( x 2)3 ( x 2 x 3)2 A1 A2 B C1 C2 2 x x x 1 x 2 ( x 2)2
n
n 1
其中m 、n 都是非负整数；a0 , a1 ,, a n 及
b0 , b1 ,, bm 都是实数，并且a0 0 ，b0 0 .
$4几种特殊函数的积 分
1
假定分子与分母之间没有公因式 (1) n m , 这有理函数是真分式 ; Proper fraction ； ( 2) n m ,这有理函数是假分式;Improper fraction ； 利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和. 23 3 5 5 如同 2 x 2 x -4 4 4 4 23 x2 2 2 x4 x3 0 0 1 20 4 2 4 3 2 x 0 4 x 2x x 1 3 例 3 2 2 x 4 x 01 x 2 3 x 0 2x 2x 9 2 2 2x x 4 2 4 x 2x 1 x 2 4 x2 0 8 有理函数的积分就化为如何 -2x+9 求真分式的积分
整理得 1 ( A 2 B ) x 2 ( B 2C ) x C A,
A 2 B 0, 4 2 1 B 2C 0, A , B , C , 5 5 5 A C 1, 4 2 1 x 1 5 5 5. 2 2 (1 2 x )(1 x ) 1 2 x 1 x
(1)
1 1 1 1 . 2 2 x( x 1) x ( x 1) x 1
$4几种特殊函数的积 分 13
求积分
1 x( x 1)2 dx .
1 1 1 1 x( x 1)2 dx x ( x 1)2 x 1 dx 1 1 1 dx dx dx 2 x ( x 1) x 1
一、有理函数的积分 Integration of rational function
有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数称之..
P ( x ) a0 x a1 x an1 x an Q( x ) b0 x m b1 x m 1 bm 1 x bm
其中 M i , N i 都是常数( i 1,2,, k ) .
Mx N ; 特殊地：k 1, 分解后为 2 x px q Specially ：
$4几种特殊函数的积 分
4
分解定理： 设多项式
Q( x ) b0 ( x a ) ( x b) ( x px q )
积分为真分式、对数、反正切函数。
（k 2时较复杂）
由分解定理知道，只要会求最简分式（都可积） 的积分即可。
$4几种特殊函数的积 分 7
x 例 Example 1 ( x 2)2 dx
解
x x2 2 dx dx dx ( x 2)2 ( x 2)2 dx x 2 2 ( x 2)2 2 ln x 2 c x2 4 例 Example 2 2 x 2 3dx 4 dx dx dx 2 2 解 2 3 3 2 2x 3 2 2 x x ( ) 2 2 2 2 2 arctan x c 3 3
其中Ai ,
$4几种特殊函数的积 分
, Bi, M i , N i ,
, Ri , Si都是常数。
6
最简分式的积分有两类： A 1. k dx( k 1,2,) ( x a) 积分为对数函数或有理真分式。
2ຫໍສະໝຸດ Baidu
Mx N dx ( p 2 4q 0, k 1, 2, ) 2 k ( x px q)