第1讲线性规划及单纯形法

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问题
1.可行域顶点的个数是否有限？ 2.最优解是否一定在可行域顶点上达到？ 3.如何找到顶点？ 4.如何从一个顶点转移到另一个顶点?
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线性规划问题解的特点
• 若线性规划问题存在唯一的最优解，那么它必定 在顶点上（基本可行解）。
• 若线性规划问题存在多个最优解，那么必有几个 相邻的顶点是最优解，其它最优解可以表示成这 几个顶点的凸组合。
300 台时 400 千克 250 千克
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获利最多？ 线性规划模型：
目标函数：Max z = 50 x1 + 100 x2 约束条件：s.t. x1 + x2 ≤ 300
2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250
x1 , x2 ≥ 0
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线性规划的组成要素： 目标函数 Max F 或 Min F 约束条件 s.t. (subject to) 满足于 决策变量 用符号来表示可控制的因素 建模步骤 1.理解要解决的问题，了解解题的目标和条件； 2.定义决策变量（ x1 ，x2 ，… ，xn ），每一组值表示一 个方案； 3.用决策变量的线性函数形式写出目标函数，确定最大化或最 小化目标； 4.用一组决策变量的等式或不等式表示解决问题过程中必须遵 循的约束条件。
基变量：与基向量pi相应的变量xi叫基变量，基变量有m个。
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非基变量：与非基向量pj相应的变量xj叫非基变量，非基变量有n－m个。 由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找到一个
基，令这个基的非基变量为零，再求解这个m元线性方程组就可得到唯一
的解了，这个解我们称之为线性规划的基本解。
0 0 1 1 0 0 0 1 0 那么显然所求得的基本解一定是基本可行解，这个单位矩阵或由单位矩阵各列向 量组成的基一定是可行基。实际上这个基本可行解中的各个变量或等于某个bj或等 于零。
约束条件
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可以看出，线性规划的标准形式有如下四个特点：
-目标最大化； -约束为等式； -决策变量均非负； -右端项非负。
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注释
x j ; j 1,2,..., n 为待定的决策变量， c (c1, c2 , , cn )T 为价值向量， c j ; j 1,2,..., n 为价值系数， b (b1, b2 ,..., bm )T 为右端向量， 矩阵
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n s i b i , s i 0
或
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
松弛变量
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n s i b i , s i 0
剩余变量
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不等式变不等式
x2
z=10000=50x1+100x2
AB C
z=0=50x1+100x2
E
z=27500=50x1+100x2
z=20000=50x1+100x2
D
x1
图2
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图解法步骤
❖ 在平面上建立直角坐标系； ❖ 图示约束条件； ❖ 找出可行域； ❖ 图示目标函数和寻找最优解。
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例3 某公司由于生产需要，共需要A，B两种原料至少350 吨（A，B两种材料有一定替代性），其中A原料至少购进125 吨。但由于A，B两种原料的规格不同，各自所需的加工时间 也是不同的，加工每吨A原料需要2个小时，加工每吨B原料需 要1小时，而公司总共有600个加工小时。又知道每吨A原料的 价格为2万元，每吨B原料的价格为3万元，试问在满足生产需 要的前提下，在公司加工能力的范围内，如何购买A，B两种 原料，使得购进成本最低？
在此例中我们不妨找到了 1 1 0 为A的一个基，令这个基的
B3 1 0 0
1 0 1
非基变量x１，s2为零。这时约束方程就变为基变量的约束方程：
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x2+s1＝300， x2=400， x2+s3=250.
x1=0，x2=400，s1=－100，s2=0，s3=－150 由于在这个基本解中s1=－100，s3=－150，不满足该线性规划s1≥0，
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凸集
定义 2.2.1：设 S Rn 是 n 维欧氏空间的点集，若对任意 x S, y S 的和任意 [0,1] 都有 x (1 ) y S 就称 S 是一个凸集。
定理 2.2.1 线性规划的可行域 D { x Ax b, x 0} 是凸集 定理 2.2.2 任意多个凸集 Si 的交还是凸集
• 若一个顶点的目标函数值比它的相邻定点的目标
函数值要好的话，它就是最优解。
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1 单纯形法的基本思路和原理
单纯形法的基本思路：从可行域中某一个顶点开始，判断此顶点是否是最优 解，如不是,则再找另一个使得其目标函数值更优的顶点，称之为迭代，再判断此 点是否是最优解。直到找到一个顶点为其最优解，就是使得其目标函数值最优的 解，或者能判断出线性规划问题无最优解为止。
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
或
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
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D {x Ax b, x 0}
最优解：在可行域中目标函数值最大（或最小）的可行解，最优解的全体 称为最优解集合 O {x D cx c y,y D }
最优值：最优解的目标函数值
v c x, x O
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模型转换
❖变量转换
令 自 由 变 量 xjx j x j， 其 中 x j,x j为 非 负 变 量
❖目标转换
求最大可以等价成求负的最小
maxcx mi ncx
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约束转换
❖等式变不等式
ai1x1 ai2 x2 ainxn bi
ai1x1 ai2 x2 ainxn bi ai1x1 ai2 x2 ainxn bi
❖不等式变等式
❖不等式变不等式
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不等式变等式
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
s3≥0的约束条件，显然不是此线性规划的可行解，一个基本解可以是 可行解，也可以是非可行解，它们之间的主要区别在于其所有变量的解 是否满足非负的条件。我们把满足非负条件的一个基本解叫做基本可行 解，并把这样的基叫做可行基。
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一般来说判断一个基是否是可行基，只有在求出其基本解以后，当其基本解 所有变量的解都是大于等于零，才能断定这个解是基本可行解，这个基是可行 基。那么我们能否在求解之前，就找到一个可行基呢？也就是说我们找到的一个 基能保证在求解之后得到的解一定是基本可行解呢？由于在线性规划的标准型中 要求bj都大于等于零，如果我们能找到一个基是单位矩阵，或者说一个基是由单位 矩阵的各列向量所组成（至于各列向量的前后顺序是无关紧要的事）例如，
第1讲 线性规划及单纯形法
山东轻工业学院 数理学院 李彬 E-mail: ribbenlee@126.com
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1
数学建模 课 件
运
筹
帷
线性规划
幄
之
中
Linear Programming
决 胜 千 里 之 外
2
• §1 • §2 • §3 • §4
21
解：目标函数： Min 约束条件：
f = 2x1 + 3 x2
s.t.
x1 + x2 ≥ 350
x1 ≥ 125
2 x1 + x2 ≤ 600
x1 , x2 ≥ 0 采用图解法。如下图：得Q点坐标（250，100）为最优解。
x2
x1 =125
600
500
2x1+3x2 =1200
400
2x1+x2 =600
300
2x1+3x2 =900
200
x1+x2 =350
100
Q
2x1+3x2 =800
100 200 300 400 500 600
x1
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• 重要结论：
– 如果线性规划有最优解，则一定有一个可行域的顶点对 应一个最优解；
– 无 穷 多 个 最 优 解 。 若 将 例 1 中 的 目 标 函 数 变 为 max z=50x1+50x2，则线段BC上的所有点都代表了最优解；
– 无界解。即可行域的范围延伸到无穷远，目标函数值可 以无穷大或无穷小。一般来说，这说明模型有错，忽略 了一些必要的约束条件；
– 无可行解。若在例1的数学模型中再增加一个约束条件 4x1+3x2≥1200，则可行域为空域，不存在满足约束条件 的解，当然也就不存在最优解了。
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§3 单纯形方法
• 单纯形法的基本思路和原理 • 单纯形法的表格形式 • 求目标函数值最小的线性规划的问题的
a11
A
a 21
a12 a 22
a1n a2n
am1 am2 amn
为约束(系数)矩阵。
8
规范形式
max cx Ax b
s.t.x 0
9
标准形式
max cx
s.t. xAx
0
b
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概念
可行解（或可行点）：满足所有约束条件的向量 x (x1, x2 , xn ) 可行集（或可行域）：所有的可行解的全体
2 x1 + x2 ≤ 400 (B)
x2 ≤ 250 (C)
x1 ≥ 0
(D)
x2 ≥ 0
(E)
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（1）画出线性规划问题的可行域，如图所示。
x2 2x1+x2=400
x2=250
x1+x2=300
x2=0
x1=0
x1
图1
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（2）目标函数z=50x1+100x2，当z取某一固定值时得到一条直线，直线上 的每一点都具有相同的目标函数值，称之为“等值线”。平行移动等 值线，当移动到B点时，z在可行域内实现了最大化。得到最优解： x1 = 50， x2 = 250， 最优目标值 z = 27500
单纯形表解法
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可行域的几何结构
• 基本假设 • 凸集 • 可行域的凸性
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基本假设
考虑线性规划的标准形式 max cx Ax b s.t.x 0
其中 x, c Rn , b Rm , A Rmn ，并且假定可行域
D { x Rn Ax b, x 0} 不空，系数矩阵 A是行
满秩的， r( A) m ，否则的话可以去掉多余约束。
量的个数n，为了找到一个初始基本可行解，先介绍以下几个线性规划的
基本概念。
基： 已知A是约束条件的m×n系数矩阵，其秩为m。若B是A中m×m阶非
奇异子矩阵（即可逆矩阵），则称B是线性规划问题中的一个基。
基向量：基B中的一列即称为一个基向量。基B中共有m个基向量。
非基向量：在A中除了基B之外的一列则称之为基B的非基向量。
线性规划问题及模型 图解法 单纯形方法 线性规划应用举例分析
3
§1 问题的提出
例1. 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产，已知生产单位产 品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗、资源的限制，如下表：
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利
Ⅰ
1 2 0 50 元
Ⅱ
1 1 1 100 元
资源限制
例1 把问题转化为标准形式
min z x1 x2
2x1 x2 2
s.t.
x1 x1
2Leabharlann Baidu2 2 x2 5
x1 0
max z x1 (x3 x4 )
2x1 (x3 x4 ) x5 2
s.t.
x1 x1
2(x3 x4 (x3 x4 )
) x6 2 x7 5
5
一般形式
目标函数
max z c1x1 c2 x2 cn xn
ai1x1 ai2 x2 ain xn bi ;i 1, 2,..., p
s.t.
ai1
x
j
x1
ai2 x2 ain xn 0; j 1, 2,..., q
bi ;i
p
1,..., m
xj无限制; j q 1,..., n
例1 目标函数： max 50x1+100x2 约束条件：x1+x2+s1=300，
2x1+x2+s2=400， x2+s3=250.
xj≥0 （j=1，2）,sj≥0 （j=1，2,3）
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它的系数矩阵 ,
1 1 1 0 0
A(p1,p2,p3,p4,p5)2 1 0 1 0
0 1 0 0 1
其中pj为系数矩阵A第j列的向量。A的秩为3,A的秩m小于此方程组的变
xi 0; i 1,3, 4,5, 6, 7
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§2 图 解 法
• 对于只有两个决策变量的线性规划问题，可以在平面直角坐标系上作 图表示线性规划问题的有关概念，并求解。下面通过例2详细讲解其方 法。
例2.目标函数：
Max z = 50 x1 + 100 x2
约束条件：
s.t.
x1 + x2 ≤ 300 (A)