(完整版)数学建模模拟试题及答案

数学建模模拟试题及答案

一、填空题（每题5分，共20分）

1.一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是 .

2. 设银行的年利率为0.2，则五年后的一百万元相当于现在的 万元.

3. 在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量N 将和下列因素有关：

（1） 参加展览会的人数n ；（2）气温T 超过C

10； （3）冰淇淋的售价p .

由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为 .

4. 如图一是一个邮路，邮递员从邮局A 出发走遍所有

长方形街路后再返回邮局.若每个小长方形街路的边长横向 均为1km ，纵向均为2km ，则他至少要走km . 二、分析判断题（每题10分，共20分）

1. 有一大堆油腻的盘子和一盆热的洗涤剂水。为尽量图一 多洗干净盘子，有哪些因素应予以考虑？试至少列出四种。

2. 某种疾病每年新发生1000例，患者中有一半当年可治愈.若2000年底时有1200个病人，到2005年将会出现什么结果？有人说，无论多少年过去，患者人数只是趋向2000人，但不会达到2000人，试判断这个说法的正确性.

三、计算题（每题20分，共40分）

1. 某工厂计划用两种原材料B A ,生产甲、乙两种产品，两种原材料的最高供应量依次为22和20个单位；每单位产品甲需用两种原材料依次为1、1个单位，产值为3（百元）；乙的需要量依次为3、1个单位，产值为9（百元）；又根据市场预测，产品乙的市场需求量最多为6个单位，而甲、乙两种产品的需求比不超过5：2，试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答：

（1） 最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由. （2） 原材料的利用情况.

2. 两个水厂21,A A 将自来水供应三个小区,,,321B B B 每天各水厂的供应量与各小区的需求量以及各水厂调运到各小区的供水单价见下表.试安排供水方案，使总供水费最小？

四、综合应用题（本题20分）

某水库建有10个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全线，上游河水还在不断地流入水库.为了防洪，须调节泄洪速度.经测算，若打开一个泄洪闸，30个小时水位降至安全线，若打开两个泄洪闸，10个小时水位降落至安全线.现在，抗洪指挥部要求在3个小时内将水位降至安全线以下，问至少要同时打开几个闸门？试组建数学模型给予解决.

注：本题要求按照五步建模法给出全过程.

数学建模06春试题模拟试题参考解答

一、填空题（每题5分，共20分）

1. 奇数顶点个数是0或2；

2. 约40.1876 ；

3. ),10(,/)10(0

C T p T Kn N ≥-= K 是比例常数； 4. 42. 二、分析判断题（每题10分，共20分）

1. 解： 问题与盘子、水和温度等因素直接相关，故有相关因素：

盘子的油腻程度，盘子的温度，盘子的尺寸大小；洗涤剂水的温度、浓度； 刷洗地点的温度等.

注：列出的因素不足四个，每缺一个扣2.5分。

2. 解： 根据题意可知：下一年病人数=当年患者数的一半+新患者. 于是令n X 为从2000年起计算的n 年后患者的人数，可得到递推关系模型： 10005.01+=+n n X X 得递推公式 ).2

11(2000210n n n X X -+=

由,12000=X 可以算出2005年时的患者数19755=X 人.

由递推公式容易看出，,2000→n n X X ，且是单调递增的正值数列故结论正确. 三、计算题（每题20分，共40分）

1. 解：设21,x x 表示甲、乙两种产品的产量，则有

原材料限制条件：,202232121≤+≤+x x x x 和

又由产品乙不超过6件以及两种产品比例条件有另外两个条件：

,62≤x 以及 ,05221≤-x x

目标函数满足 ,93m ax 21x x z +=便可以得到线性规划模型：

2193m ax x x z +=

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤-≤≤+≤+.

0,

,052,6,20,

223..212

12

2121x x x

x x x x x x t s （1）使用图解法易得其最优生产方案将有无穷多组（这是因为第一个约束条件所在直线的斜率与目标函数直线的斜率相等），其中的两个方案为该直线段上的两个端点：

),4,10(,)6,4(2

1

==X

X T

目标值均为 66=z （百元）.

（2）按照上面的第一个解，原材料B 将有10个单位的剩余量，而按照第二个解，原材料B 将有6个单位的剩余量.不论是哪一个解，原材料A 都全部充分利用.

2. 解： 本问题可以看成是一个产销不平衡的运输问题，属于供小于求问题.为此，虚设一个水厂0A ，其供水量为30吨，相应的运价均定为0，便得到一个产销平衡的运输问题如下表所示：

再利用表上作业法求解，即可获得供水费用最低的供水方案为：

,,,,270

211302315012201B A B A B A B A −→−−→−−→−−→−

小区1B 将有30吨水的缺口.

总费用为 198070513071504206=⨯+⨯+⨯+⨯（元）. 四、综合应用题（本题20分） 解：（一）问题分析

1. 一段时间内需要下泄的水量主要由两部分组成：已有的超过安全线部分的水量和上

游河水不断流进的部分水量；

2. 每个泄洪闸的泄洪速度是否相同的应该予以考虑，而每小时流入水库的水量也在考虑之列.

（二）模型假设

1. 设泄洪开始时，超过安全线的水量为定值)(3

m x ； 2. 上游流入水库的流量为定值h m z /)(3

；

3. 每个泄洪闸的泄洪速度是相同的，均为)(3

m y .

（三）模型建立

依据假设以及题设条件，应有以下两个式子成立

,3030=+y

z

x （1）

,10210=+y

z

x （2） 此即所求数学模型. （四）模型求解

这是一个含有三个量的二元方程组，需要消去一个参数，为此，由（1）、（2）两式得

,30z x =（3） ,2z y = （4）

若同时打开k 个泄洪闸，则所需要的时间为

,ky

tz

x t +=

（5） 将（3）、（4）两式代入（5）式，化简后可解出 ,1

230

-=

k t 于是按照要求应有上式小于3，便可解得 ,5.5>k 故应该至少打开6个闸门. （五）模型分析

1. 本问题将问题的解决归结为流进与流出水量的比较后，通过等量关系获得模型.