交错级数的敛散性
级数习题 有答案
题型一 正项级数敛散性的判定判定下列级数的敛散性.1) );0(11>⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∞=a n na nn 2) )0(!1>∑∞=a nn a n n n3) ;)cos1(1∑∞=-n n π4) ;)11ln()1(1∑∞=+-+n p n n n解 1）a n nau n n n n =+=∞→∞→1limlim ，则（1）当10<<a 时，原级数收敛； （2）当1>a 时，原级数发散； （3）当1=a 时，01)1(lim lim ≠=+=∞→∞→en n u n n n n ，原级数发散。
2） e an n a n a n n n a u u n n n n n n n n n n =+=⋅++=∞→++∞→+∞→)1(lim !)1()!1(lim lim 111 （1）当e a <<0时，原级数收敛； （2）当e a >时，原级数发散； （3）当e a =时，1)11(lim lim1=+=∞→+∞→nn n n n ne u u ，但n n )11(+是单调增趋于e 的，则1)11(1>+=+nnn neu u ，即n u 单调增，又0>n u ，则0lim ≠∞→n n u ，原级数发散。
3）由于)(21~cos 12∞→-n n n ππ，而∑∞=121n n收敛，则原级数收敛. 4）由于)(1~)11ln(∞→+n nn ，而 p pp n n n n ]111[)1(2-+=-+，nn 21~111-+则原级数与级数∑∞=+12121n pp n同敛散，故原级数在0>p 时收敛，在0≤p 时发散。
判定下列级数敛散性. 1) ∑⎰∞=+1102d 1n n x x x 2) ∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11112n n n 3) ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1)11ln(1n n n解 1）由于⎰⎰=≤+<n n ndx x dx xx 10231213210， 而∑∞=1231n n收敛，则原级数收敛.2）由于232221ln 11ln 1ln ~11212n nn n n n n e n nnn=<<+-=-++，故原级数收敛. 3）方法1° 由不等式)0(,)1ln(1><+<+x x x x x知 21)1(11111111)11ln(10n n n n n n n nn n <+=+-=+-<+-<.而∑∞=121n n 收敛，则原级数收敛.设∑∞=1n n u 为正项级数,下列结论正确的是(A) 若∞→n lim 0=n nu ,则∑∞=1n n u 收敛;(B) 若存在非零常数λ,使∞→n lim λ=n nu ,则∑∞=1n n u 发散.(C) 若∑∞=1n n u 收敛,则∞→n lim 02=n u n .(D) 若∑∞=1n n u 发散,则存在非零常数λ,使得∞→n lim λ=n nu .解法1 直接法. 由0lim ≠=∞→λn n na 知，01lim ≠=∞→λna nn ，由比较法的极限形式知，级数∑∞=1n n a 与∑∞=11n n 同敛散，则∑∞=1n n a 发散，故应选（B ）.解法2排除法. 考虑n n a n ln 1=，级数∑∞=2ln 1n nn 发散.但0ln 1limlim ==∞→∞→nna n n n ，则（A ）和（D ）都不正确.考虑21n a n =，显然级数∑∞=1n n a 收敛，但01lim 2≠=∞→n n a n ，则（C ）不正确.故应选（B ）.题型二 交错级数敛散性判定判定下列级数的敛散性 (1) ∑∞=-1ln )1(n n nn(2) ∑∞=+122)sin(n a n π解 （1）本题中的级数为交错级数，且nn u n ln =，考虑函数xx x f ln )(=.由于 )0(2ln 1)(>-='x xxx xx f)(,02ln 22e x xx x ><-=又 xx xx x x 211limln lim+∞→+∞→=02lim==+∞→xx ，故nn u n ln =单调减且趋于零，由莱不尼兹准则知原级数收敛.2）由于)sin()1()](sin[)sin(222222ππππππn a n n a n n a n n -+-=-++=+ na n a n++-=222sin)1(π此时na n a ++222sin π单调减且0sinlim 222=++∞→na n a n π.由莱不尼兹准则知原级数收敛.设正项数列}{n a 单调减少,且∑∞=-1)1(n n n a 发散,试问级数∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+111n nn a 是否收敛?为什么?解 由于n a 单调减，且0>n a ，即下有界，则n n a ∞→lim 存在，设a a n n =∞→lim ，则0≥a ，若0=a ，由莱不尼兹准则知级数∑∞=-1)1(n n n a 收敛，这与题设矛盾，因此0>a ，此时，对正项级数∑∞=+1)11(n nn a 用根值法，得 11111lim <+=+=∞→a a u n n n n ， 则级数∑∞=+1)1(1n nna 收敛.题型三 任意项级数敛散性判定判定∑∞=12)!sin(2tann nn n π的敛散性.解 因nnn n n 2tan|)!sin(2tan|22ππ≤，又nn2~2tanππ，则级数n n n 2tan 12π∑∞=与∑∞=122n n n π同敛散.对级数∑∞=122n n n 用根值法得 1212)(limlim 2<==∞→∞→n n n n n n u . 则∑∞=122n n n 收敛，则原级数绝对收敛，故原级数收敛. 讨论∑∞=11n pn n a 是绝对收敛,条件收敛还是发散? 解 先考绝对值级数∑∞=11n pn na . 由于 an a n a pn p n n 1||)1(1lim1=++∞→，1）当1>a 时，原级数绝对收敛. 2）当10<<a 时，原级数发散。
数项级数的敛散性判别法-数项级数敛散性判别法
1 2 n 1
,
显然收敛。
综上所述，原级数收敛。
内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数判别法
必要条件 nl im un 0 满足
不满足 发 散
比值判别法
lim
n
un u
1 n
根值判别法 nl im nun
1
1
比较判别法
1 不定 部分和极限
用它法判别 积分判别法
S2n 是单调递增有界数列, 故 n l i m S2nSu1 又 n l iS 2 m n 1 n l i(S m 2 n u 2 n 1 )nl im S2n S
故级数收敛于S, 且 S u1, Sn的余项: rnSSn ( u n 1 u n 2 ) r n u n 1 u n 2 un1
但 p1, 级数发散 .
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例5. 讨论级数 nxn1 (x0) 的敛散性 .
n1
解: lim un1 lim(n1)xn x
n un
n n x n1
根据定理4可知:
当 0x1时 ,级数收敛 ;
当x1时,级数发散 ;
当x1时,级数n发散.
n1
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(1) 当0 < l <∞时, 取l,由定理 2 可知 u n 与 v n
同时收敛或同时发散 ;
n 1 n 1
(2) 当l = 0时, 利 u n ( l用 ) v n ( n N ) 由定,理2 知
若 v n 收敛 , 则un也收敛;
n 1
n1
(3) 当l = ∞时, 存在 NZ,当nN时, un 1 , 即
n 1
收敛例1判断下列级数的敛散性P
定义 若级数
u
n 1
n
满足 un 0,(n 1, 2, 3,)
则称该级数为正项级数．
定理1 正项级数
u
n 1
n
收敛的充分必要条件是：
部分和数列 { Sn } 有上界．
1 例如 讨论级数 2 的敛散性. n 1 n
定理2（比较审敛法） 设 un和 vn均为正项级数，
则 (1) 当 0 l 时 , 二级数有相同的敛散性 ; (2) 当 l 0 时，若
比较审敛法的极限形式
v n 收敛 , 则 un 收敛 ; n 1
n 1
(3) 当 l 时 , 若
v n 发散 ,则 un 发散 .
n 1 n 1
备注：一般情况下，vn 取P-级数或几何级数 。
3. ( arctan n)cos n. n 1 2
思考题
( 1) n 1. n1 n 2 x (1 x ) 0 ( x 2) ) 解 ( 2 x 1 2 x ( x 1)
n
x 故函数 单调递减, un un1 , x 1 n 又 lim un lim 0. n n n 1
1 4. p n 1 n
( p 0)
P -级数
y
1 p x
0
1
2
3
4
n-1
n
n+1
x
5.
n 2
1
3
n2 1
练一练
1.
2. 3.
n 1
2016考研数学：无穷级数的敛散性判断方法
2016考研数学:无穷级数的敛散性判断方法无穷级数是高等数学的重要章节，是考研数学一和数学三的必考内容，其主要考点包括两个方面，一个是关于无穷级数的收敛或发散的判断，另一个是无穷级数的求和。
关于级数的敛散性(即收敛或发散)判断，由于其方法较多，很多同学在学习和复习中感到有些困惑，为了帮助大家掌握好这些方法，文都网校的蔡老师对其做些分析总结，供各位参考，下面首先对用无穷级数的部分和来判断级数的敛散性方法做些分析。
一、通过部分和来判断级数的敛散性通过无穷级数的部分和来判断级数的敛散性，是判断敛散性的最基本方法之一，因为按照级数收敛性的定义，收敛就是指其部分和的极限存在;对于正项级数而言，由于其部分和是单调增加的数列，所以只要其部分和是有界的，则部分和数列就是收敛的，因此级数就是收敛的.无穷级数中有一类常见的级数，就是正负项相间的级数，即交错级数，交错级数的敛散性判断有多种方法，包括：莱布尼茨判别法、绝对值判别法以及部分和判别法，下面我们对这些方面及其典型题型做些分析总结，供各位同学参考。
一、交错级数的敛散性判别法对于交错级数的敛散性判别，使用得较多的是莱布尼茨判别法。
从上面的例题我们看到，并非所有的交错级数都是收敛的，即使级数的通项趋于零也不一定收敛，但如果通项趋于零且通项是单调的，则级数是收敛的;有些级数表面上看不是交错级数，但经过恒等变形后却是交错级数，这时就可以利用上面方法进行判断;如果一个交错级数不满足莱布尼茨条件，但每项取绝对值后的级数是收敛的，即绝对收敛，则原交错级数是收敛的。
正项级数是无穷级数的一种基本类型，其敛散性的判断方法有多种，包括：比较判别法、比值判别法、根值判别法(数一要求)等，在不同的条件下，需要根据具体情况使用不同的判别法，下面我们来分析一下比较判别法及其典型题型，供广大考生参考。
一、正项级数的比较判别法正项级数的比较判别法是一种基本的、常用的判别法，其基本用法如下：从上面的典型题型分析看到，有些级数虽然不是正项级数，但却可以借助正项级数的敛散性判别法来分析或证明其是否收敛，如上面例2的情况;在具体正项级数中，p级数是一个十分有用的比较工具，我们常用它与需要判断敛散性的级数进行比较;对于需要判断是否绝对收敛的级数，也需要利用正项级数的判别法，如比较判别法。
高等数学：第五讲 绝对收敛与条件收敛
1. 交错级数及其敛散性
定理1(莱布尼茨准则) 若交错级数 (1)n1un n1
满足以下两个条件：
(1) unun+1
(n=1, 2, …)
(2)
lim
n
un
0
则交错级数收敛，且其和S不超过u1.
1. 交错级数及其敛散性
说明: 1、定理中两个条件是交错级数收敛的充分条件 , 其中条件(1)可放宽为n从某个自然数起.
1、若是交错级数，先判断是否绝对收敛；如果 不是，再用莱布尼茨准则判断是否条件收敛；
2、若是任意项级数，先判断是否绝对收敛；如 果不是，再用级数收敛的定义和级数的性质等判 断是否条件收敛。
谢谢
主讲： 黄飞
条件收敛 ，
(1)n n2
n1
绝对收敛 。
2、绝对收敛与条件收敛
例2. 讨论级数
sin n
5
n2
n1
的敛散性.
sin n
解
令un
5 n2
,
sin n
由于 | un |
5 n2
1 n2
而
n1
1 n2
收敛，
由比较审敛法知，
| un |收敛，
n1
即原级数绝对收敛.
3. 小 结
．
判别交错级数与任意项级数敛散性的方法与步骤
2、 应用莱布尼茨准则判断交错级数敛散性必 须验证这两个条件，缺一不可 .
1. 交错级数及其敛散性
例1. 讨论级数 (1)n 的敛散性. n1 n
解
级数可写成
(1)nun，un
n1
1， n
因为
un
1 n
1 n 1
u
，
n1
无穷极数中的几个典型反例
无穷极数中的几个典型反例一、正项级数中比值判别法和根值判别法的反例（1） 比值差别法：例1：1(1)3nn ∞=+-∑级数1(1)3nn ∞=+-∑发散，但极限1limn n nu u +→∞并不存在因为级数13n ∞=∑发散而级数1(1)3nn ∞=-∑收敛。
所以级数1(1)3nn ∞=+-∑发散。
而11(1)n n nu u +++-=11(1)limlimn n n n nu u ++→∞→∞+-=并不存在。
当然，p-级数∑∞=11n np也是一个典型的反例, 1limn n nu u +→∞=1,但当p>1时收敛;1≤p 时,发散。
（2） 根值判别法：例2：1(1)3nnn ∞=⎤-⎥⎣⎦∑级数13nn ∞=⎣⎦∑收敛，但lim lim3n n →∞→∞=并不存在。
(1)21033nnn⎡⎤⎛⎫+-≤≤ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭而113nn ∞=⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭∑收敛（公比小于1的等比级数）。
由比较判别法，1(1)3nnn ∞=⎤+-⎥⎣⎦∑(1)3n-=是摆动数列。
故(1)limlim3nn n →∞→∞-=不存在。
注：在正项级数的敛散性判别中,比值判别法和根值判别法使用起来非常方便,但是它成立的条件是充分而非必要的。
二、 交错级数中使用莱布尼兹差别法的反例在交错级数的敛散性判别中,莱布尼兹判别法使用起来非常方便,但是有些情况下的交错级数不满足条件。
例3：2(1)nn ∞=-∑1n u =显而易见满足lim 0n n u →∞=，而不满足。
1(1,2,)n n u u n +≥= ， 但作为任意项级数(1)(1)1(1)111n nnn n u n n n ⎤---⎣⎦===-----由级数21n n ∞=-∑收敛，而级数211n n ∞=-∑发散知，级数2nn ∞=∑发散。
例4： nn nn )1(1)1(2-+-∑∞=nn nn )1(1)1(2-+-∑∞==111)1(1))1(()1(222----=----n n n n n nnn，根据莱布尼兹判别法易知交错级数∑∞=--221)1(n nn n 收敛，而∑∞=-2211n n 收敛，所以原级数nn nn )1(1)1(2-+-∑∞=是收敛的。
数学毕业论文级数敛散性的判别方法
淮北师范大学信息学院2012 届学士学位论文级数敛散性的判别方法系别:数学系专业:数学与应用数学学号: 20081884083姓名: 赵高指导教师: 陈冬君指导教师职称: 讲师2012年 5 月10 日级数敛散性的判别方法赵高(淮北师范大学信息学院，淮北，235000)摘要级数有很多重要的性质，其中敛散性是级数的一个非常重要的性质，敛散性的判别方法也一直是人们研究的热点.通过判别级数的敛散性进一步了解级数的性质.本文探论了正项级数、交错级数以及任意项级数敛散性的判别方法，正项级数、交错级数、任意项级数通项的多变性,决定了判别正项级数、交错级数、任意项级数敛散性的方法会有多种，主要有达朗贝尔判别法、柯西判别法、莱布尼茨判别法、狄利克雷判别法.当然由于通项的特殊性也会有特殊的方法判别.本文通过归纳一些判别正项级数与交错级数敛散性的方法,让人们在学习过程中对级数敛散性的判别能够很好的把握，并掌握这些判别法成立的条件.关键词：正项级数、交错级数、敛散性、判别法.The Convergence of the Series of Discriminant MethodZhao GaoCollege of Information Technology Huaibei Normal University, Huaibei,235000AbstractThe series has a lot of important properties, which is the series convergence and divergence of a very important properties, criteria for convergence and divergence has been the focus of study. Through judging the convergence of series to further understand the series nature. This article of the series of positive terms, staggered series as well as any series convergence and divergence sexual discriminant method, a series of positive terms, staggered series, series of any general variability, determines the identification of series of positive terms, staggered series, any of the convergence of the series will have a variety of methods, mainly the d'Alembert discriminant method, Cauchy method, Leibniz method, di Like dilichlet discriminance. Of course due to the particularity of the general will also have the special methods of discriminant. This paper summarized some criteria for positive term series and the convergence of alternate series method, let people in the learning process of convergence of series of discriminant can be a very good grasp of, and grasp the discriminant conditions.Key words: Series of positive terms，Alternating series，Convergence and divergence，Discriminant analysis method目录引言 (1)一、级数及其敛散性的有关概念 (1)二、正项级数敛散性的判别方法 (2)1、比式判别法（达朗贝尔判别法） (2)2、根式判别法（柯西判别法） (3)3、拉贝判别法 (4)4、高斯判别法 (5)5、对数判别法 (5)6、隔项比值判别法 (5)7、运用微分中值定理判别级数敛散性 (6)8、利用数列判别级数的敛散性 (6)9、运用等价无穷小替换判别级数的敛散性 (7)三、交错级数敛散性的判别方法 (8)1、利用级数敛散性定义判定 (8)2、莱布尼茨判别法 (9)3、极限判别法 (10)4、添加括号法 (11)5、通项变形法 (12)6、微分形式判别法 (13)7、比值判别法或根值判别法 (14)四、任意项级数敛散性判别法 (15)总结 (16)参考文献 (16)致谢 (17)引言级数是数学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数的性质以及数值计算的一种工具.对于一个级数，我们首先要讨论其敛散性，然后才讨论其求和问题.本文就级数的敛散性的判别方法作了一些探讨.正项级数和交错级数是整个级数家族中比较重要和特殊的.对其敛散性的判别方法也有别于一般的级数，除适用于一般级数的敛散性判别法外，还有许多专门针对正项级数和交错级数敛散性的判别方法，常见的如达朗贝尔判别法、柯西判别法、拉贝判别法、莱布尼茨判别法、狄利克雷判别法、微分形式判别法等.其实正项级数敛散性的判别方法远不止这些，下面就介绍几种级数敛散性的判别法.一、级数及其敛散性的有关概念定义1 给定数列{n u }：1u ,2u ,,nu则式子=1n n u ∞∑=12n u u u ++++称为无穷级数，简称为级数.定义2 如果级数=1n n u ∞∑满足n u ≥0（n =1，2，）则称=1n n u ∞∑为正项级数.如果级数是正负项交错出现的，即11234=1=+u n n n u u u u ∞---+∑（-1），或11234=1=+u +u n n n u u u ∞---∑（-1）(n u ≥0，n =1,2) 则称为交错级数.由定义，级数表示无穷多个数的和，但不能理解为无穷多个数逐次求和.事实上，这样也做不到.利用数列极限可以表示级数的和，同时给出级数敛散性的定义.定义3 级数=1n n u ∞∑前n 项之和记为S n =12n u u u +++，称为级数=1n n u ∞∑的第n 次部分和. 当n 分别取1,2, ,n ,时，得到级数=1n n u ∞∑的部分和数列{n S }：12,,,,n S S S 如果当n →∞时，n S 的极限存在，即lim =n n S S →∞时，则称级数=1n n u ∞∑是收敛的，且S 称为级数=1nn u∞∑的和，记为S ==1n n u ∞∑;如果当n →∞时，n S 的极限不存在, 即lim n n S →∞不存在，则称级数=1n n u ∞∑是发散的.由定义，只有收敛的级数才有和的问题，发散的级数没有和，或者说发散级数的和不存在.所以有必要研究级数的敛散性.由于正项级数是各项的符号均为正号的级数，它是数项级数中最简单也是最有代表意义的数项级数. 所以它收敛的最基本的判别方法也是从级数的判敛性质中引出，因此本文先讨论正项级数的敛散性. 有了着一方法来判断某些简单的正项级数的敛散性后，以它作为参照，可以判断另外一些稍微复杂的正项级数的敛散性.下面先来介绍正项级数敛散性的判别方法.二、正项级数敛散性的判别方法1、比式判别法（达朗贝尔判别法）定理[]11 设有正项级数=1n n u ∞∑，如果+1lim=n n nu l u →+∞，则（1） 当0≤l <1时，级数收敛； （2） 当1<l ≤+∞时，级数发散； （3） 当l =1时，此法失效. 例1 判断正项级数=12nn n∞∑的敛散性. 解：1121(1)limlim lim lim ()2(1)(1)1n n n n n n n n n n n n n n n n n n en++→+∞→+∞→+∞→+∞+=<==+++<1所以满足定理1中的（1），故正项级数=12nn n∞∑收敛. 例2 判别正项级数=12!n n ∞∑的敛散性. 解：由2!1(1)!lim lim lim 02(1)!1!n n n n n n n n →+∞→+∞→+∞+===++可知满足定理1中的（1），所以正项级数=12!n n ∞∑收敛. 像正项级数 =1x !nn n ∞∑（x>0）、=1!10n n n ∞∑等都可采用此法判断.2、根式判别法（柯西判别法）定理[]12 设有正项级数=1n n u ∞∑，如果n l ，则（1）当0≤l <1时，级数收敛； （2）当1<l ≤+∞时，级数发散； （3）当l =1时，此法失效.例3 研究级数=12+12nnn ∞-∑（）的敛散性. 解：由于12n n →∞=<所以级数2+12nn-∑（）是收敛的. 注：级数=12n n n ∞∑、=1+1nn na n ∞⎛⎫ ⎪⎝⎭∑ (0)a >、-1=1n n n αβ∞∑（α>0,β>0）等都可采用此法判 断.比式判别法与根式判别法都是建立在正项级数比较判别法基础上的，所用的比较级数是收敛速度相对比较快的等比级数.这两种方法虽然更方便，但是它们也只能用于判别那些比等比级数收敛速度更快的级数，而对于那一类比等比级数收敛速度更缓慢的级数，这两种判别法就无能为力了.这两种判别方法是我们用得比较多，因为它们用起来很方便.但是，对于比值判别法与根值判别法存在两点不足：1) 当=1l 时，判别法失效，既有收敛的，也有发散的级. 2) 判别法可能由于 l 根本不存在而失效.3、拉贝判别法定理[]43 （拉贝判别法） 设n u >0 （n =1,2,3）1。
交错级数敛散性判别法
00
:例7判断级数勺敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛?
解lim un+l
n—8 un
=lim
MT8
xn+1 n n+1 xn
=|x|
|X| < 1时，级数〉绝对收敛;
ixi > 1时，级数2 :发散；
V^00 vn X =1时，级数〉，发散；
V^00 vn
=T时，级数）土条件收敛.
X
^n=l n
定理若交错级数2：二(一1)”—侦如，un > 0, (n = L 2,…)满足
(1)"孔 2 Un+dO = 1, 2,…)；
(2) limun = 0.
71—00
贝U级数U攵敛， 旦其禾口s三 , 其余项I—兀| < 以兀+■•
证明取交错交错级数前2m项之和
Szm = “1 — “2 + “3 — “4 +----!" u2m-l _ u2m —("1 一 “2)+(“3 一 “4)----!■ (u2m-l 一 u2m)
(2)当I > 1 (或I = oo)时，级数竺u兀发散;
(3)当I =丄时，级数、言旨“兀的敛散性不能判别.
♦ 例5判断级数2：］苧*］敛散性.
P > 1时，级数5 绝对收敛； »n=l n
00 ( 一 1
0<p< 1时，级数〉 条件收敛; 厶」71 = 1 n
P < 0时，级数发散
（_1）"一12
moo lUTOO
综上所述，UmSn = S,级数收敛，且S V ”1. n—>oo
余项|R兀 I = Un + 1 — (Un+2 — U兀+3)—…< Un+r.
交错级数及其审敛法
由莱布尼茨定理知这个交错级数收敛.
例2
n 1 判定级数 (1) n 1
n 2n
的敛散性.
解 这也是一个交错级数,且 如何比较大小？
(1)un n n 1 , u ,则 n 1 n n 1 2 2 n n 1 n 1 n1 n1 0,(n 1, 2,3, ), n 2 2 2
为什么？
un un1
(2) lim un lim
n
n 0, n 2n
由莱布尼茨定理知这个交错级数收敛.
二、绝对收敛与条件收敛
1、定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级 数.
u n 收敛，则称级数 定义：对于 u n 级数，若 n 1 u n 发散，但本身 u n 收敛，则称 绝对收敛；如果 n 1
n 1 n 1
级数条件收敛． 绝对收敛、条件收敛与收敛 之间有着什么样的关系呢？
定理2
若 un 收敛, 则 un收敛.
n 1 n 1
证明 令 vn 1 (un un ) (n 1, 2, ),
2
显然vn 0, 且vn un ， vn收敛,
又
u (2v
(1)un un 1 ( n 1, 2, 3,
n 1
); (2) lim un 0
n
则级数 (1)n1un 收敛，且其和S u1
例1
n 1 1 ( 1) 判定级数 n n 1
的敛散性.
解 这是一个交错级数,且
1 1 1 (1)un , 且un un 1 , n n n 1 1 (2) lim un lim 0, n n n
交错级数的敛散性
交错级数敛散性判别判别探究
交错级数敛散性判别探究摘要: 交错级数是数学分析重要内容之一，对交错级数敛散性的判别方法在教材中并不多，关于交错级数的敛散性判别文中总结出一些判别准则，包括教材以外的其它判别准则，利用其中一些准则不仅能够判定一个交错级数的敛散性，而且能够判定交错级数是绝对收敛还是条件收敛，并选择实例对给出的判别准则的可行性进行了检验．关键词: 交错级数；判别准则；收敛；发散Convergence and Divergence of Alternating SeriesExploring DiscriminateAbstract Alternating series is one of important contents in mathematical analysis, at the present, there are not many criterions about convergence or divergence of alternating series. Established several criterions to decide convergence or divergence of alternating, during phase criterions, some of them are outside the teaching material. Based on these convergence criterions can decide not only convergence or divergence but also absolute convergent or conditional convergent of alternating series. Selected some examples to test the feasibility of the proposed criterion.Key words alternating series; criterion; convergence; divergence1 引言及预备知识在许多数学分析和高等数学教材中，对级数敛散性的判别是一个重要内容，特别介绍了一类特殊级数．定义1 考虑如下的级数11121(1)(1)n n n n n u u u u ∞--=-=-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅∑（其中0n u ≥） （1）我们称这样的级数为交错级数．交错级数是数学分析重要内容之一，对于交错级数敛散性的判别在许多数学分析教材中给出了莱布尼玆判别法．引理1 （莱布尼玆判别法）对于交错级数（1）若满足两个条件： ①数列{}n u 单调递减；②0n →时0n u →， 则交错级数（1）收敛．对于莱布尼玆判别法的证明在教材中都已给出，在这里就不作介绍，但在应用莱布尼玆判别法时应注意以下两点：第一注意莱布尼玆判别法的条件是交错级数收敛的充分条件而不是必要条件，如果数列{}n u 不满足单调递减性时不能判定级数（1）式发散．第二根据莱布尼玆判别法我们需要判别数列{}n u 是否单调递减，判别数列{}n u 是否单调递减常用的方法有3种：一是讨论1n n u u --的的符号情况；二是讨论比值1n n u u -与1的大小情况；三是构造函数()u x 使得()n u x u =，利用函数的单调性得到数列{}n u 的单调性．但莱布尼玆判别法在使用是存在着局限性，对于交错级数敛散性的判别除了我们比较熟悉的莱布尼玆判别法之外,还有其它一些判别方法．2 最一般情形的判别方法对交错级数敛散性的判别最一般情形的判别方法就是满足所有级数敛散性判别的方法，常见的方法有定义法，即判断级数部分和数列{}n S 是否收敛来判断交错级数是否收敛．同时，柯西收敛准则的推论也是非常有用的，即级数收敛的必要条件是：如果lim 0n n u →∞≠，则级数发散．例1 判别级数121012011001nn ⋅⋅⋅-++++⋅⋅⋅的敛散性．解 此级数为交错级数，因为1lim 01001100n n n u n →∞==≠+，所以级数111(1)1001n n n ∞-=-+∑发散．例2 判别级数2(1)(1)nnn n ∞=-+-∑的敛散性． 解 此级数为交错级数，但不满足1n n u u +≥，设2n S 为级数的部分和，先证2n S 单调递减，再证其有下界．2111111()()()3254212n S n n =-+-++-+⋅⋅⋅，括号内各项均小于0，因而2n S 单调递减，又因为21111111()()234212212n S n n n =-+-++-+-+⋅>-⋅⋅，即2n S 有下界，故2lim n n S →∞存在，设2n S S=又1lim lim0(1)n n n n u n →∞→∞==+-，因此2221lim lim()n n n n n S S U S +→∞→∞=+=，从而2lim n n S S →∞=，故原级数收敛．例3++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅的敛散性． 解 此级数为交错级数,设2n S 为级数的部分和．2112(1)2n S n ⋅⋅⋅+=++=+⋅⋅++⋅而级数11n n∞=∑发散，故211lim lim 2(1)2n n n S n →∞→∞⋅=⋅++⋅+=+∞，所以原级数发散．3 绝对收敛情形下交错级数敛散性的判别根据文献[1]与[2]中介绍的绝对收敛的级数一定收敛，则可以把判别交错级数（1）的敛散性转变为判别正项级数的敛散性，在文献[1]与[2]中对正项级数敛散性的判别方法 介绍了很多种，比如定义法、比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、积分判别法、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等．例4 判别级数111(1)2n n n n∞--=-∑的敛散性．解 1111||112lim lim lim 1||222n n n n n nn n u n n u n ++→∞→∞→∞-++==<，因为112n n n ∞-=∑收敛，所以原级数收敛．例5 判别级数1(1)()21n nn n n ∞=-+∑的敛散性． 解1lim 1212n n n n n →∞===<+，因为1()21nn n n ∞=+∑收敛，故原级数收敛． 例6 判别级数 ln 12(1)3nnn n ∞=-∑的敛散性．解ln 022lim 2133n n n n n→∞====>，因为ln 123n n n ∞=∑发散，则原级数是否收敛需用其他方法进行讨论．4 不绝对收敛情形下交错级数敛散性的判别利用绝对收敛的情形只能判定交错级数在绝对收敛的情况下收敛，如果交错级数不绝对收敛，那么我们并不能判定交错级数的敛散性，下面我们将以定理的形式介绍另一种在已知交错级数不绝对收敛的情况下如何判定交错级数敛散性的方法．为了证明定理先看引理．引理2 设有级数1n n u ∞=∑若：①当n →∞时此级数的通项趋于0；②通过重新组合已给级数各项，但不改变级数各项原有顺序所得的某一新的级数1n n A ∞=∑也收敛；③在和式111231()n p n in A u pp p +-==<<<⋅⋅⋅∑中相加项i u 的数目是有限的，则级数1n n u ∞=∑收敛．证明 设n A 中相加项的数目不超过某一固定的自然数m ，即1||(1,2,)n n p p m n +-≤=⋅⋅⋅，任给0ε>，考察121m εε=+由于0n u →（当n →∞时），于是存在自然数'N ，使得当'n N ≥时有1||n u ε<，再由1n n A ∞=∑收敛性知存在'1N N >，使得当1n N ≥及p 为任意自然数时有11||n n n p A A A ε++⋅⋅+⋅++<，取1N N p =，当n N ≥时对任意自然数s ，考虑1ns n n n s u u u ++∆⋅⋅+⋅=++，注意到每一个i u 必属于某一个k A ，记n A 的项i u 的集合为n A ，即知：当i j >时，若i k u A ∈，j l u A ∈,则必有k l ≤在n ∆中，显然(0)n N r u A r +∈≥，再看以后的各项便有11'1ns N r N r q B A A B ++++∆=++⋅⋅⋅++，其中111N n p r B u u ++=+⋅⋅⋅+-，11'N r q p n s B u u ++++=+⋅⋅⋅+，显然，B 是1N r A +中一部分之和，'B 是11N r q A +++中一部分之和，于是(记'1n N N N ≥≥≥)．1111||()N r N r B p p m εε+++≤-≤，11'2111||()N r q N r q B p p m εε++++++≤-≤，1111||N r N r q A A ε+++++⋅⋅⋅+<从而11'11||||||||(21)ns N r N r q B A A B m εε++++∆≤++⋅⋅⋅++<+=，由柯西收敛准则知级数1n n u ∞=∑收敛．定理1 如果交错级数（1）满足（a ）lim 0n n u →∞=；（b ）1n n u ∞=∑发散则有：①若2121()n n n u u ∞-=-∑收敛，则级数（1）也收敛.②若2121()n n n u u ∞-=-∑发散，则级数（1）也发散．证明 若2121()n n n u u ∞-=-∑收敛，lim 0n n u →∞=，2(21)1n n --=，即和式相加项数有限，由引理知级数11(1)(0)n n n n u u ∞-=-≥∑收敛，若2121()n n n uu ∞-=-∑发散，利用反证法，假设11(1)(0)n n n n u u ∞-=-≥∑收敛，由收敛级数的性质知2121()n n n uu ∞-=-∑也收敛，这与已知条件矛盾,故定理成立．推论1 交错级数11(1)(0)n n n n u u ∞-=-≥∑依次k 项添加括号构成的级数记作（*）若满足条件：①级数（*）收敛于A ；②lim 0n n u →∞=，则交错级数11(1)(0)n n n n u u ∞-=-≥∑必收敛于A ，若级数（*）发散或lim 0n n u →∞≠，则交错级数11(1)(0)n n n n u u ∞-=-≥∑发散．例7++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅的敛散性．解 此级数为交错级数且一般项趋于0，该项的绝对值级数为2n ∞=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=∑， 显然该级数是发散的．考察2121111()n n n n n u u n ∞∞∞-===-==∑∑∑为发散级数，由定理知原级数为发散级数．例8 判别级数1111234a a -+-+⋅⋅⋅的敛散性．解 此级数为交错级数且一般项趋于0，则该级数的绝对值级数为111111111()23421(2)21(2)a a a an n n n n ∞=++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅=+--∑， 因为1121n n ∞=-∑发散，则111()21(2)a n n n ∞=+-∑发散．考察2121111()()21(2)n n an n u u n n ∞∞-==-=+-∑∑． 当1a =时，级数212111111()()2122(21)n n n n n u u n n n n ∞∞∞-===-=-=--∑∑∑为收敛级数，故原级数收敛． 当1a >时，21211111()21(2)n n an n n u u n n ∞∞∞-===--=+-∑∑∑,因为1121n n ∞=-∑发散，故 21211111()21(2)n n a n n n u u n n ∞∞∞-===--=+-∑∑∑ 发散，则原级数发散．当1a <时，2121111()()(2)21n n a n n u u n n ∞∞-==-=--∑∑，因为111(2)21lim 12a a n a n n n→∞--=，而11an n ∞=∑(1)a <发散，所以由定理知原级数发散．由上讨论可知，级数1111234aa -+-+⋅⋅⋅当1a =时为条件收敛，1a ≠时发散．5 拉贝判别法下面以定理的形式介绍一种新的判别方法，该方法不仅能判定交错级数的敛散性，而且还能判别它是绝对收敛还是条件收敛，该定理的判别模式是极限的形式，运用起来极为方便，定理2（拉贝判别法）对于级数（1）若1lim (1)nn n u n u ρ→∞+-=则 ①当1ρ>时，级数（1）绝对收敛； ②当01ρ<<时，级数（1）条件收敛； ③当0ρ<时，级数（1）发散；④当0ρ=时，级数（1）可能发散也可能条件收敛，但不会绝对收敛；⑤当1ρ=时，级数（1）收敛，可进一步用其他方法判断是绝对收敛还是条件收敛．证明上述定理将用到两个引理．引理3（拉贝审敛法）对于正项级数1(0)n n n u u ∞=>∑，若1lim (1)n n n un u ρ→∞+-=则①当1ρ>时，级数1n n u ∞=∑收敛；②当1ρ<时，级数1n n u ∞=∑发散；③当1ρ=时，级数1n n u ∞=∑可能收敛也可能发散．引理4 若0(1,2,3,)n u n >=⋅⋅⋅且1lim (1)n n n u n u ρ→∞+-=，则1()(0)n u nρεοε-=>． 对于引理3在[1]与[2]中已给出，引理4在[5]中也有介绍，这里就不作证明，下面证明定理．证明 由引理3知道若0n u >及1lim (1)nn n u n u ρ→∞+-=，则当1ρ>时，级数1(0)n n n u u ∞=>∑收敛，当1ρ<时，级数1(0)n n n u u ∞=>∑发散，当0ρ>时，取0ε>使得0ρε->，则存在自然数N ，使得当n N ≥时有1(1)n n u n u ρερε+-<-<+或1111n n u n u nρερε+-+<+<<+，因此当n N ≥，时有1n n u u +≥，且n u 单调递减．由引理4知1()(0)n u n ρεοε-=>，取2ρε=，于是n →∞时有0n u →，因此当1ρ>时，级数11(1)n n n u ∞-=-∑绝对收敛；当01ρ<<时，级数11(1)n n n u ∞-=-∑条件收敛；当0ρ<时，级数（1）发散；当1ρ=时，级数11(1)n n n u ∞-=-∑收敛，可进一步用其他方法判断是绝对收敛还是条件收敛；当0ρ=时，级数11(1)n n n u ∞-=-∑可能发散也可能条件收敛，但不会绝对收敛．例如111(1)ln n n n ∞-=-∑收敛，111(1)(1)n n n ∞-=-+∑发散．例9 判别级数11(21)!!(1)(2)!!n n n n ∞-=--∑的敛散性．解 因为1(21)!!1(2)!!lim (1)lim (1)0(21)!!2(22)!!n n n n n u n n n n u n ρ→∞→∞+-=-=-=>++， 故级数11(21)!!(1)(2)!!n n n n ∞-=--∑条件收敛．例10 判别级数 11()[(1)](1)(0,0,0)()[(1)]n n a a d a n d a b d b b d b n d ∞-=⋅++-->>⋅⋅⋅⋅⋅>++-∑的敛散性． 解 1()lim (1)lim (1)lim n n n n n u b nd n b a b an n u a nd a nd dρ→∞→∞→∞++--=-=-==++，由定理可得：当01b a d -<<即a b a d <<+时原级数条件收敛；当1b ad->即b a d >+时原级数绝对收敛；当1b ad -=即b a d =+时原级数收敛，此时原级数为11(1)n n a a nd ∞-=-+∑为条件收敛；当0b a d -<即b a <时原级数发散；当0b ad -=即b a =时原级数为11(1)n n ∞-=-∑发散．综上可得原级数当b a ≤时发散，当a b a d <≤+时条件收敛，当b a d >+时绝对收敛．6 其它判别方法下面以定理的形式介绍两个新的判别交错级数敛散性的方法，最后通过例子说明这两个方法在判别交错级数敛散性的可行性．定理3 对于交错级数（1）若1lim nn n n u u ρ→∞+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则①当1e ρ<<时，级数（1）条件收敛；②当e ρ>（包含+∞）时，级数（1）绝对收敛；③当1ρ<时，级数（1）发散．证明上述结论用到如下引理．引理5 对于正项级数1(0)n n n u u ∞=>∑，令1n n n n u H u +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若1lim lim nn n n n n u H u ρ→∞→∞+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，则当e ρ>时正项级数1(0)n n n u u ∞=>∑收敛，当e ρ<时正项级数1(0)n n n u u ∞=>∑发散．下面证明定理.证明 当1ρ>时，因为1lim 1nn n n u u ρ→∞+⎡⎤=>⎢⎥⎣⎦，则存在N ，当n N >时有11nn n u u +⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，所以当n N >时有：1n n u u +> (2)又1lim 1n n n n u u ρ→∞+⎡⎤=>⎢⎥⎣⎦，取0r >，而1lim 1nr r n e n →∞⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，则11lim 10n nr r n n n u e u n ρ→∞+⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎡⎤-+=->⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭，所以存在自然数N ，当n N >时有：111nnr n n u u n +⎡⎤⎡⎤>+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,即1111r r n n u n u n n ++⎡⎤⎡⎤>+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以11rn n u n u n +⎡⎤<⎢⎥+⎣⎦因此有 11110...11111rrrrrrrn n n N N n n n n n N N u u u u u n n n n n N n +---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤<<<<=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 又因为0r >，则lim 01rN n N u n →∞⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦，由夹逼定理得：1lim 0n n u +→∞= （3）由(2)和(3)两式知数列{}n u 单调递减，且lim 0n n u →∞=．由莱布尼玆判别法知级数（1）收敛．再由引理知：①当1e ρ<<时，级数（1）条件收敛；②当e ρ>（包含+∞）时，级数（1）绝对收敛；③当1ρ<时，因为1lim 1nn n n u u ρ→∞+⎡⎤=<⎢⎥⎣⎦，则存在N ，当n N >时有11nn n u u +⎡⎤<⎢⎥⎣⎦，所以当n N >时有1n n u u +<，因此lim 0n n u →∞≠，由级数收敛的必要条件知级数（1）发散．定理4 对于交错级数（1）满足条件：存在自然数N ，当n N ≥时，11n n u au n+=+，a 为常数，则①当0a >时，交错级数（1）收敛；②当0a ≤时，交错级数（1）发散． 证明 由于改变级数有限项后，不改变级数的敛散性，不妨设11(1,2,)n n u an u n+=+=⋅⋅⋅，当0a >时，因为111n n u au n+=+>，所以数列{}n u 单调递减，又因为 111223.(1)(1)(1)121n n n u u u u a a a u u u u n -=⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+-,lim(1)(1)(1)121n a a a n →∞++⋅⋅⋅+=+∞-， 所以lim 0n n u →∞=．由莱布尼玆判别法知,交错级数（1）收敛．当0a ≤时，111(1,2,)n n u an u n+=+≤=⋅⋅⋅所以数列{}n u 为单调递增数列，故lim 0n n u →∞≠，所以交错级数（1）发散．例11判别级数11(1)n n ∞-=-∑的敛散性．解令n u =,则22212221212nnnn n n u n n n H u n n n +⎡⎤⎡⎤+++⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 由于2111(21)(2).112222211lim lim 11212n n n nn n n H e n n n ρ+-+-→∞→∞⎡⎤⎡⎤==++=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦，则由定理知原级数条件收敛．例12 判别级数11!(1)456(3)n n n n ∞-=-⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯+∑的敛散性．解 令!456(3)n n u n =⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯+,则1313143111n nnn n n u n H u N n ⋅+-+⎡⎤+⎡⎤⎡⎤===+⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦，由于131333lim lim 11n n n n H e e n ρ+⋅-→∞→∞⎡⎤==+=>⎢⎥+⎣⎦，则由定理知原级数绝对收敛． 例13 判别级数11(1)!n n n n n ∞-=-∑的敛散性． 解 令!n n n u n =则1(1)(1)nn n n n n n H n n -⎡⎤⎡⎤==+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦，由于1lim lim (1)01nn n n n H n ρ-→∞→∞⎡⎤==+=<⎢⎥⎣⎦由定理知原级数发散．例14 判别交错级数121(2)!(1)4(!)n n n n n -∞=-⋅∑的敛散性． 解 因为1221(2)!4[(1)!]22114(!)(22)2121n n n n u n n n u n n n n ++⋅++=⋅==+⋅+++，即对于任意的自然数0N >，只要n N ≥就有1021n >+，根据定理4得原级数收敛．7 一类特殊交错级数敛散性的判别在许多教材中，对莱布尼玆判别法只介绍了一种简单的形式，对于交错级数1(1)nn n u ∞=-∑，只要满足：①10(1,2,)n n u u n +≥≥=⋅⋅⋅；②lim n n u →∞=+∞时级数也是收敛，下面我们将以此为基础介绍关于一类特殊交错级数敛散性判别的方法．定理5 设交错级数1(1)nn n u ∞=-∑收敛，0n u >，1,2,n =⋅⋅⋅，lim 0n n nv u →∞=，若级数21||n n n v u ∞=∑收敛，则级数1(1)n n nu v ∞=-+∑收敛．证明 考察级数 11(1)(1)(1)()n n n nn n nn n n n n v u u v u u v ∞∞==⎡⎤----=⎢⎥++⎣⎦∑∑ （4） 级数1(1)nn nu ∞=-∑收敛，故级数1(1)n n n u v ∞=-+∑收敛的的充要条件是（4）收敛．由级数21||n n n v u ∞=∑收敛及2|(1)()|lim 1n n n n n n n n v u u v v u →∞-+=，知级数（4）绝对收敛，于是级数1(1)n n nu v ∞=-+∑收敛． 定理6 设10n n u u +≥≥，0n v >(1,2,)n =⋅⋅⋅，lim n n u →∞=+∞，lim 0n n nvu →∞=，则级数1(1)(1)nnn n nu v ∞=-+-∑收敛的充要条件是21n n n v u ∞=∑． 证明 考虑级数11(1)(1)(1)((1))n nn n nn n nn n n n n v u u v u u v ∞∞==⎡⎤---=⎢⎥+-+-⎣⎦∑∑ （5） 级数1(1)n n n u ∞=-∑是收敛的，因此级数1(1)(1)nnn n nu v ∞=-+-∑收敛的充要条件是（5）收敛．注意到，当n 充分大时，级数（5）一般项非负，而2((1))lim lim 1(1)n n n n n nn n n n n nn v u u v u v u u v →∞→∞⎡⎤⎡⎤+-==⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦，因此，级数（5）收敛的充要条件是21n n nvu ∞=∑收敛． 例15 讨论级数1(1)(0)(1)npnn p n ∞=->+-∑的敛散性． 解 在本题中pn u n =，1n v =，22111n p n n n v u n∞∞===∑∑，当12p >时该级数收敛，12p ≤时发散，由定理知级数1(1)(0)(1)n p nn p n ∞=->+-∑，当12p >时收敛，当12p ≤时发散． 例16 讨论级数2(1)(1)np nn n n∞=-+-∑的敛散性． 解 22212221n p p n n n n v n u n n ∞∞∞-=====∑∑∑，由定理知级数2(1)(1)np nn n n∞=-+-∑当1p >时收敛，当1p <时发散．例17 讨论级数1(1)n p n nn v ∞=-+∑的敛散性，这里{}n v 为任意有界数列．解 因为{}n v 有界，则存在常数M ，使得||n v M ≤，级数2211||||n n p n n n v v u n∞∞===∑∑，又22||n p pv Mn n ≤于是当12p >时，级数21||n p n v n∞=∑收敛，当12p <时21||n p n v n ∞=∑发散，即12p >时原级数收敛，当1p 时，原级数发散．28 结束语本文以莱布尼兹判别法及交错级数自身特征，探究总结出了一些判别准则，利用其中一些准则不仅能判定交错级数的敛散性，还能判定其是绝对收敛还是条件收敛，且有些判别方法的判别模式是用极限形式，用起来极为方便有效，同时克服了莱布尼兹判别法的种种缺陷．参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M].北京:高等教育出版社,2006:17-19.[2]刘玉琏.数学分析（下册）[M].北京:高等教育出版社,1988:26-27.[3]吉米多维其.数学分析(下册)[M].费定晖,周学圣,译.济南:山东科学技术出版社,2005:81-83.[4]华中师范大学数学系.数学分析(下册)[M].武汉:华中师范大学出版社,2001:243-245.[5]范新华.关于交错级数敛散性判别法的一些探讨[J].常州工学院学报,2007,20(5):57-59.[6]肖清风.交错级数敛散性的探究[J].黄山学院报,2004,6(3):3-7.[7]周玉霞.关于交错级数敛散性判别法的补充[J].高等数学研究,2007,10(3):40-42.[8]骆汝九.交错级数敛散性的一个判别定理[J].盐城工学院学报,2000,13(1):73-75.[9]江莹茵.交错级数收敛准则的探讨[J].甘肃联合大学学报(自然科学报),2005,19(2):6-7.[10]郑玉敏.交错级数敛散性判别法[J].大学数学,2009,4(2):192-194.[11]刘晓玲,张艳霞.交错级数敛散性的一个判别法[J].高等数学研究,2007,10(3):51.[12]张建军,宋业新.关于交错级数敛散性判别的探究[J].高等数学研究,2009,12(3):38-40.[13]杨志忠.关于一类交错级数敛散性的一种判别方法[J].青海师专学报,2009,6(5):42-44.。
交错级数敛散性判别法
(ii ) 当 a < 1 时 , 因为 lim
n →+ ∞
= a < 1 , 则存在 N , 当 n > N 时 , 有
∞
an an+ 1
n
< 1 . 所以当 n > N 时 ,
有 an < an + 1 , 因此 lim an ≠ 0 . 由级数收敛的必要条件知 , 级数
n →+ ∞
n=1
∑( - 1)
第 1 期 郑玉敏 : 交错级数敛散性判别法
∞
193
(i ) 当 a > 1 ( 包括 + ∞ ) 时 , 级数
∞
n=1
∑( - 1)
n- 1
n- 1
an 收敛 , 且
①当 1 < a < e 时 , 级数
n=1
∑( - 1)
an 条件收敛 ,
n- 1
∞
) 时 , 级数 ②当 a > e ( 包括 + ∞
1+
1
n
β n
1-
α
n + 1 +α
=e
β- α
.
由定理知 , 当 eβ- α < 1 时 , 即β<α时 , 级数发散 ; 当 eβ- α > 1 即β>α时 , 级数收敛 . 且当 1 < eβ- α < e 即α<β βα <α+ 1 时 , 级数条件收敛 ; 当 e - > e 即β>α+ 1 时 , 级数绝对收敛 . 综上所述 :当β<α时级数发散 ; 当β>α时级数收敛 . 且当α<β<α+ 1 时级数条件收敛 ; 当β>α+ 1 时级数绝对收敛 .
交错级数的敛散性
阅读教材：P134~136 习题： P138 1、（1）~（6） 预习教材：P136~138
中青年教师教学基本功竞赛
第二节 交错级数及其审敛法 主讲：
分析：只需证级数部分和 Sn 当 n 时极限存在.
S2n
S2n1 u1 u2 u3 u4 u2n1 u2n u2n1
S2n u2n1
故前2n 项部分和数列 S2n 单调增加
又SS2n2nuu11 u(u22uu33 )u4 (u2n2u2nu12n1 u) 2nu2n u1
故前2n 项部分和数列 S2n 有上界
lim
n
S2n
S
u1 .
(1) un un1 0
(2)
lim
n
un
0
则交错级数 (1)n1un 收敛 n1
中青年教师教学基本功竞赛
第二节 交错级数及其审敛法 主讲：
例1、判别下列级数的敛散性:
un
1 1 1 1 (1)n1 1
234
n
解
1 这是一个交错级数： un n
故收敛！
11 又 un n n 1 un1
1
lim
n
un
lim
n
n
0
(1) un un1 0
(2)
lim
n
un
中青年教师教学基本功竞赛
第二节 交错级数及其审敛法 主讲：
例、判别下列级数的敛散性: 241 1 1 1 1 1 23456
不满足
，但收敛！
返回
(1) un un1 0
(2)
lim
n
un
0
则交错级数 (1)n1un收敛 n1
中青年教师教第二节 交错级数及其审敛法 主讲：
泰勒公式在判定交错级数敛散性中的应用
ｆ １＋
、 。 乃 ，
如果厂，（０）≠０，由引理可知级数主，，（ｏ）．
条 件收敛 。 于 是 ，当 ｆ（ｏ） ＝ ０，且 厂 （０）≠ ０时 ，级 数
）为条件收敛。
＝ １ ～· 】 例３判断 ［（·＋ ） 一 】的收敛
：
一 ． （１＋ ）一
凡
、
由 已知 ＞ １ ， 则 由 ｐ 一级 数 的 敛散 性 及 比
）的收敛性。
格 ，尤 其是 对 于复 杂通 项 ，单 调递 减 条件 既不 容 易 解 法 Ｉ 令 ）＝Ｉｎ（１＋ ），则厂（ ）在 ＝０处 判 断 大多 又很难 保证 。于是 为 了克服 这个 问题 ，有 某领域内二阶连续可导 ，对 ）在 ＝０处进行泰
不少学者对该方法提出了许多推广和改进 ．５ｊ，但 勒展开：，（ ）＝ 一 ｌ ＿ ２，其中 在。与 之
· １８·
贵州大学学报 （自然科学版 ）
第 ３０Байду номын сангаас
证 明 由 黍 勒 公 式 ：
（１＋ ）～ ＝ １一（１＋ ）一 ·
所以
）为绝对收敛。
其 中 在 ０与 之 间 ，于是级 数通项
ｎ。＋（一 １） ＝ （ ＼－ ‘ ＋’ ｎ ） ，
利用 上式可 得 ：
：
ｎ ＋ （一１）
．
∞
．／
…
连续导数，且 ０）＝０，则∑ ）收敛。
证 明 由 泰 勒 公 式 有 ：＿厂（ ） ＝ ０）＋ｆ （０） ＋
二 ： ， 其中 ｔｏ与 之间，于是， 、 １， ：
解 法 Ｉ１ 令 ）＝Ｉｎ（１＋ ），于是原 级数 可表 示
为 ）。又 ）在 ＝０处的某领域内
交错级数敛散性的微分形式判别法
（ ） Ｆ 志 （ 一 ，
若
ｌ ｘ ｘ） ｚ）一 ｐ ｉ ｆ（ Ｆ（ ｍ ， ．
存 在 Ｍ ＞ ０ 当 ≥ Ｍ 时 ， ， 有
（ （ ） 一 ＜ Ｐ＋ ￡＜ １ ，
（ｉ 当 Ｉ ｌ 包括 ＋∞ ） ， ） Ｄ ＞ （ 时 级数 ∑， 收敛 ； （）
（ Ｆ（ ）一 ） ＞ Ｉ一 ￡＿ ｒ＞ ０ Ｄ ，
例ｌ 别 数霎 １ （ ０ 收 性 判 级 （ ） ａ ） 敛 ． 。 ＞ 的 一
０ （ ＜掣 ， ＜厂 ） ｚ 厂） （ ＜掣 ，
收敛 ， 由正项级 数 的 比
当 ≥ Ｍ 时 ， 于验证 ； 在 级 数收敛 时 ， 能直 接 判 别 级数 是 绝 对 所 以 ， ② 不
＞ 时 正项 级数 ∑ 问题 ， 文给 出交错 级 数 微 分 形 式 的 判 别法 ， 应用 又 当 ｒ １ ， 本 它
摘 要 给 出交 错 级 数 敛 散 性 微 分 形 式 的 判 别 法 ， 用 此 判 别 法 可 直 接 判 别 交 错 级 数 是 否 收 敛 ， 及 收 敛 时 应 以
是 绝对 收敛 还 是 条 件 收 敛 ．
关 键 词 交 错 级 数 ； 散 性 ； 别 法 ； 对 收 敛 ； 件 收敛 ． 敛 判 绝 条
（ｉ ）当 Ｉ １ 包括 一。 ） ， ｉ Ｄ ＜ （ 。 时 级数 ∑厂（ 发 散． ）
所 以
一
厂） ’ （ 丢 ＜ ， 、
证 明 （１ ）当 ｐ＞ ｌ ， ￡ ０ 使 时 取 ＞ ，
ｒ— ｐ— ｅ＞ １ ．
两边 取积 分得
一
ｌｆ ｘ ＋ ｌｆ １ ＜ ｌｘ ｎ （） ｎ （） ｎ，
高等数学-交错级数
tan
的敛散性.
n1
3n
9.3.2 绝对收敛与条件收敛
设 un 为任意级数(即 un 可正,可负), n1
称 un 为原级数的绝对值级数. n1
若 un 收敛,则称 un 绝对收敛;
n1
n1
若 un 收敛,而 un 发散,则称 un 条件收敛.
0)
是绝对收敛、
条件收敛还是发散？
作业:习题 9-3
1(5)(6)(8)(9)(10) 3 5 6
补充题
1. 判断
sin(n
1
) 是绝对收敛,条件收敛,还是发散?
n1
ln n
2. 判别
(1)n1 n2 [n (1)n ]p
( p 0) 的敛散性.
3. 判断 (1)n1
n1
n1
n1
例如, (1)n1 1 为条件收敛.
n1
n
定理 9 7 若 un 收敛,则 un 收敛.
n1
n1
定理
(1)
若 lim un1 1,
u n n
则 un 发散.
n1
(2)
若
lim n
n
un
1,
则 un 发散.
n1
【例9-16】判别级数
(1)n1
ln(
n
1)
的敛散性.
n1 n
n
【例9-17】判断下列级数的敛散性，如果收敛，指出是 绝对收敛还是条件收敛：
(1) (1)n1
交错级数审敛法综述
级数的审敛法。从研 究成果 看, 对 于正项 级数的 研究比 较
充分, 而针对交错级数 的研究 却显 不足。为 了呈现 国内 对
于交错级数审敛法的 最新成 果的整 体概貌, 同时 为进一 步
研究交错级数的审敛 法提供 些许素 材, 对 交错级 数的审 敛
法加以综述。
关键词: 交错级数; 审敛法; 综述
中图分类号: O 173
文献标识码: A
文章编号: 1004 8626( 2011) 02 0070 04
R eview on the Convergence- D ivergence
Tests of A lternate Series
ZHANG Y ong m ing
( Beijing In stitu te of G raph ic Commun ication, Be ijing 102600, C h ina)
div ergence two term s, th is leads to study w ide ly and deeply on the convergence d ive rgence test o f ser ies of infin ite constan t term s, and a lo t of tests are presented. T he results for the se ries o f the pos itive term s are abundant re la tive ly, but the re su lts for the a lternate series are inadequate. T o show the latest ach ievem ents dom estic overall profile of the convergence diver gence tests o f the alterna te ser ies, as w ell as to provides som e m ater ia ls for further study ing on the conve rgence d iverg ence tests o f the alte rnate se ries, the rev iew on the convergence d i vergence tests of a lterna te ser ies is presented. K ey word s: a lternate series; conve rgence d iverg ence test; re
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第二节 交错级数及其审敛法 主讲：
证明 （1）
lim
n
S2n
S
u1 .
（2）
lim
n
u2n1
0,
lim
n
S2n1
lim(
n
S2n
u2n1 )
S
（3） lim n
S2n
lim
n
S2n1
S
lim
n
Sn
S
从而交错级数
收敛
2)
lim
n
un
0,
注：莱布尼 兹判别法只 是充分条件
则级数 (1)n1un 收敛 , 且其和 S u1. n1
分析 证明
中青年教师教学基本功竞赛
第二节 交错级数及其审敛法 主讲：
例1、判别下列级数的敛散性:
un
1 1 1 1 (1)n1 1
234
中青年教师教学基本功竞赛
第二节 交错级数及其审敛法 主讲：
分析：只需证级数部分和 Sn 当 n 时极限存在.
S2n
S2n1 u1 u2 u3 u4 u2n1 u2n u2n1
S2n u2n1
0 (由已知条件)
(1) un证明un的1 关0键在于则它交的错极级限数是 否(存1)n在1un？收敛
(1) un un1 0
(2)
lim
n
un
0
则交错级数 (1)n1un收敛 n1
不满足（1）或（2）两个条件
交错级数发散
中青年教师教学基本功竞赛
第二节 交错级数及其审敛法 主讲：
作业
阅读教材：P134~136 习题： P138 1、（1）~（6） 预习教材：P136~138
(2)
lim
n
un
0
n1
分析毕
中青年教师教学基本功竞赛
第二节 交错级数及其审敛法 主讲：
证明（1） un un1 un un1 0
SS22nn(uu11uu2 2) (uu33 uu44) (uu22nn11 uu22nn) 0
故前2n 项部分和数列 S2n 单调增加
证毕
(1) un un1 0
(2)
lim
n
un
0
则交错级数 (1)n1un收敛 n1
中青年教师教学基本功竞赛
第二节 交错级数及其审敛法 主讲：
例、判别下列级数的敛散性: 241 1 1 1 1 1 23456
不满足
，但收敛！
返回
(1) un un1 0
(2)
lim
n
un
0
则交错级数 (1)n1un收敛 n1
中青年教师教学基本功竞赛
中青年教师教学基本功竞赛
第二节 交错级数及其审敛法
主讲人： 理学院数学系
高等数学 第十二章 无穷级数
第二节 交错项级数的敛散性 主讲：刘盼萍
第二节
2019年5月1第4日十星期二二 章
交错级数及其审敛法
一、交错级数 二、莱布尼兹判别法
中青年教师教学基本功竞赛
第二节 交错级数及其审敛法 主讲：
一、交错级数
形如
的级数，其中 un 0 , n 1, 2, , 称为交错级数.
如： 1 1 1 1 (1)n1 1
234
n
中青年教师教学基本功竞赛
第二节 交错级数及其审敛法 主讲：
二、莱布尼兹判别法
定理( 莱布尼兹判别法 )
若交错级数
满足:
1) un un1 ( n 1, 2, );
n
解
这是一个交错级数：
un
1 n
故收敛！
又
un
1 n
1 n
1
un1
1
lim
n
un
lim
n
n
0
(1) un un1 0
(2)
(1)n1un 收敛 n1
中青年教师教学基本功竞赛
第二节 交错级数及其审敛法 主讲：
【小结】
莱布尼兹判别法:
又SS2n2nuu11 u(u22uu33 )u4 (u2n2u2nu12n1 u) 2nu2n u1
故前2n 项部分和数列 S2n 有上界
lim
n
S2n
S
u1 .
(1) un un1 0
(2)
lim
n
un
0
则交错级数 (1)n1un收敛 n1