量子力学曾谨言习题解答第十一章
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第十一章：量子跃迁
[1] 具有电荷q 的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁，入射光能量密为)(ωρ，波长较长，求：
（1）跃迁选择定则。
（2）设离子处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率。
（解）本题是一维运动，可以假设电磁场力的方向与振动方向一致。
（1）跃迁选择定则：
为确定谐振子在光照射下的跃迁选择定则，先计算跃迁速率，因为是随时间作交变的微扰，可以用专门的公式（12）（§11.4，P396）
)(34/
/'2
22
2
k k k k k k r q W ωρπ→
=
（1）
式中2
'
→
k k r 应理解为谐振子的矢径的矩阵元的平方和，但在一维谐振子情形，→
k
k
r /
仅有一项
2
/k
k x )(34/
/'2
22
2
k k k k k k x q W ωρπ
= （2）
根据谐振子的无微扰能量本征函数来计算这矩阵元 dx x k k k ⎰
∞
∞
-=
)
0('
/ψ （3）
式中)(2
)(!)0(ax H k a
x k k
k
πψ
=
，
μω=
a
~446~ 要展开（3）式，可以利用谐振子定态波函数的递推公式： }2
12
{
1
)0(1
)0(1
)0(+-++
=
k k k
k k x ψ
ψ
α
ψ
（4）
代入（3），利用波函数的正交归一化关系：
mn n
x
n
dx δψ
ψ
=⎰)0(*
)0(
dx
k k x k k k
k k ⎰
∞
∞
-+-++
⋅
=
}2
12
{
1
)0(1
)0(1
*)0('
'ψ
ψ
α
ψ
1
,1
,'
'
2
112
1+-++
=
k k
k k
k k δα
δα
（5）
由此知道，对指定的初态k 来说，要使矢径矩阵元（即偶极矩阵元）不为零，末态'k 和初态k 的关系必需是：
,1'
-=k k 这时2
1,1'
k k x x k k k α=
=- （6）
,1'
+=k k 这时2
11
,1'+=
=+k k x x k k k α
因得结论：一维谐振子跃迁的选择定则是：初态末态的量子数差数是1。
（2）每秒钟从基态0=k 跃迁到第一激发态的几率可以从（2）式和（7）式得到： )()2
11(
34102
2
2
210ωρα
π
q W =
)(321010
2
2
2
ωρμωπ q
=
~447~
[2]设有一带电q 的粒子，质量为μ，在宽度为a 的一维无限深势阱中运动，它在入射光照射下发生跃迁，波长a >>λ。 （1）求跃迁的选择定则。
（2）设粒子原来处于基态，求跃迁速率公式。
（解）本题亦是一维运动，并且亦是周期性微扰，故可用前题类似方法。 （1）跃迁选择定则： 按第三章§3.1一维无限深势阱定态波函数是：（原点取在势阱左端）
a
x k a
x k πψsin
2)(=
（1）
根据此式计算矩阵元： dx a
x k x a
x k a
x a
x k k ππsin
sin
2
'
'⋅⋅=
⎰=
dx a
x
k k a
x
k k x a
a
x ⎰=+--=
'
'
])(cos
)([cos
1
ππ
利用不定积分公式：
2
cos sin cos p
px x p
px pxdx x x
+
⋅=
⎰
(2)
a
x
k k k k ax a
x
k k k k a
a
x
k k k k ax a x k k ππ
ππ
ππ)(sin
)()(cos
)()(sin )({1
'
'
'
2
2
'
2'
''++---+
--=
~448~
a
a
x
k k k k a
0'
2
2
'
2})(cos
)(ππ
+--
2
2
2
'2
'
)
(1
)1(4'
k k
ka
k k
k ---⋅
=
+π
(3)
从最后一式知道，要使矩阵元0'
≠k k x ，k k +'必需要是奇数。但这个规律也可以用别种
方式叙述，当k k +'是奇数时
k k k k k -=-+'
'
2
必然也是奇数，因此一维无限深势阱受光照的选择定则是：表示初态和末态的量子数之和（或差）应是个奇数
),2,1,0()
12('
=-=±n n k k
因此',k k 二者之中，一个是奇另一个是偶。 （2）跃迁速率：依前题公式（1） )(34'
''2
2
2
2k k k
k k k x q W ωρπ
=
)(]1)
1[()
(364''
2
4
2
2
'22
'2
2
2
2
k k k
k k k
k
k q a ωρπ⋅--⋅-⋅=
+
（4）
=±k k '偶数时0'=k k W ，=±k k '
奇数时
)()
(3256'
'4
2
2
'22
'22
2
2
k k k k k k
k
k h
q W ωρππ-⋅=
（5）
粒子从基态1=k ，跃迁到任何一个偶数态n k 2'
=的速率：