2015年中国数学奥林匹克(CMO)试题及其解答(扫描版)
2015年世界少年奥林匹克数学竞赛九年级海选赛试题含答案
九年级 第1页 九年级 第2页2015年世界少年奥林匹克数学竞赛九年级海选赛试题含答案绝密★启用前世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛试题（2015年10月）选手须知：1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计50分；第二部分：计算题，共计12分；第三部分：解答题，共计58分。
2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。
3、比赛时不能使用计算工具。
4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。
九年级试题（Ａ卷）（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、填空题。
（每题5分，共计50分）1、两块三角形面板如图放置，等腰直角三角形板ABC 的斜边BC 与∠F=30°的直角三角板DEF 的直角边EF 重合，则∠a 的度数为 。
2、若a 、b 都为实数，且b = 20131-a + 2014a -1+ 2015 则a b= 。
3.设x 1，x 2是方程x 2 - x -2013 = 0 的两实数根，则x 13+2014x 22-2013= 。
4、已知三个实数x ，y ，z 中，x 与y 的平均数是127，y 与z 的和的31是78，x 与z 的和的41是52，则这三个数x ，y ，z 的平均数是 。
5、如图，矩形ABCD 中，已知AB=5，AD=12，P 是AD 上的动点，PE ⊥AC 与E ，PF ⊥BD 与F ，则PE+PF= 。
6、如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB = Rt, CA ⊥x 轴，垂足为点A ，点B 在反比例函数y 1=x4(x>0)的图像上，反比例 函数y 2=x2(x>0)的图像经过点C ，交AB 于点D ，则点D 的坐标 。
7、若有理数x ，y ，z 满足2121=-+-+z y x （x+y+z ）则(x-zy)2= 。
8、我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副"弦图"，后人称其为"赵爽弦图"如图，也是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH,正方形MNKT 的面积，分别为S 1,S 2,S 3,若S 1+S 2+S 3 = 10 ,则S 2的值是 。
2015年全国高中数学联赛试卷解析汇报
2015 年全国高中数学联合竞赛（A 卷）参考答案及评分标准一试说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标冶填空题只设。
分和香分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题该分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．设b a ,为不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =，则=)2(f 答案：4.解：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得22a b a+=-，即20a b +=，所以(2)424f a b =++=．2．若实数α满足ααtan cos =，则αα4cos sin 1+的值为 ． 答案：2. 解：由条件知，ααsin cos 2=，反复利用此结论，并注意到1sin cos 22=+αα，得)cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224αααααααα-+=++=+ 2cos sin 22=-+=αα．3．已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111⋅⋅⋅=++==+n ni z z z n n ，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则=2015z ．答案：2015 + 1007i ．解：由己知得，对一切正整数n ，有211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++, 于是201511007(2)20151007z z i i =+⨯+=+．4．在矩形ABCD 中，1,2==AD AB ，边DC 上（包含点D 、C ）的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q 满足条件BQ DP =，则PQ PA ⋅的最小值为 ． 答案34． 解：不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) ．设 P 的坐标为（t , l) （其中02t ≤≤），则由||||DP BQ =得Q 的坐标为（2，-t )，故(,1),(2,1)PA t P Q t t =--=---,因此，22133()(2)(1)(1)1()244PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥．当12t =时，min 3()4PA PQ ⋅=．5．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为 ．答案：255．解：设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法共有312C =220种．下面考虑使3条棱两两异面的取法数．由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即 AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向．可先取定AB 方向的棱，这有4种取法．不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能．当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH ．由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求概率为8222055=．6．在平面直角坐标系xOy 中，点集{}0)63)(63(),(≤-+-+y x y x y x 所对应的平面区域的面积为 ． 答案：24．解：设1{(,)||||3|60}K x y x y =+-≤． 先考虑1K 在第一象限中的部分，此时有36x y +≤,故这些点对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知，1K 对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD 及其内部．同理，设2{(,)||3|||60}K x y x y =+-≤，则2K 对应的区域是图中以O 为中心的菱形EFGH 及其内部．由点集K 的定义知，K 所对应的平面区域是被1K 、2K 中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S ．由于直线CD 的方程为36x y +=，直线GH 的方程为36x y +=，故它们的交点P 的坐标为33(,)22．由对称性知，138842422CPG S S ∆==⨯⨯⨯=．7．设ω为正实数，若存在实数)2(,ππ≤<≤b a b a ，使得2sin sin =+b a ωω，则ω的取值范围为 ． 答案：9513[,)[,)424w ∈+∞．解：2s in s in =+b a ωω知，1s in s in ==b a ωω，而]2,[,ππωωw w b a si ∈，故题目条件等价于：存在整数,()k l k l <，使得ππππππw l k w 22222≤+≤+≤． ①当4w ≥时，区间]2,[ππw w 的长度不小于π4，故必存在,k l 满足①式． 当04w <<时，注意到)8,0(]2,[πππ⊆w w ，故仅需考虑如下几种情况：(i) ππππw w 2252≤<≤，此时21≤w 且45>w 无解； (ii) ππππw w 22925≤<≤，此时2549≤≤w ; (iii) ππππw w 221329≤<≤，此时29413≤≤w ,得4413<≤w ． 综合(i)、(ii)、(iii)，并注意到4≥w 亦满足条件，可知9513[,)[,)424w ∈+∞．8．对四位数abcd (9d ,0,91≤≤≤≤c b a ，)，若,,,d c c b b a ><>则称abcd 为P 类数；若d c c b b a <><,,，则称abcd 为Q 类数，用N(P)和N(Q)分别表示P 类数与Q 类数的个数，则N(P)-N(Q)的值为 ．答案：285．解：分别记P 类数、Q 类数的全体为A 、B ，再将个位数为零的P 类数全体记为0A ，个位数不等于零的尸类数全体记为1A ．对任一四位数1A abcd ∈，将其对应到四位数dcba ，注意到1,,≥><>d c c b b a ，故B dcba ∈．反之，每个B dcba ∈唯一对应于从中的元素abcd ．这建立了1A 与B 之间的一一对应，因此有011()()||||||||||||N P N Q A B A A B A -=-=+-=．下面计算0||A 对任一四位数00A abc ∈, b 可取0, 1，…，9，对其中每个b ，由9≤<a b 及9≤<c b 知，a 和c 分别有b -9种取法，从而992200191019||(9)2856b k A b k ==⨯⨯=-===∑∑．因此，()()285N P N Q -=．二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2015年高中数学竞赛试题精选及答案
已知1111ABCD A BC D -是一个棱长为1的正方体，1O 是底面1111A B C D 的中心，M 是棱1BB 上的点，且:2:3S S =11△DBM△O B M ，则四面体1O ADM 的体积为748（江苏2007夏令营）在正方体1111D C B A ABCD -中，P 是侧面C C BB 11内一动点，若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是抛物线 已知x 为锐角，则22cos sin33=+x x 是4π=x 的（充要条件）同信一寝室的四名女生，她们当中有一人在修指甲，一人在看书，一人在梳头发，另一人在听音乐。
①A 既不在修指甲，也不在看书；②B 既不在听音乐，也不在修指甲；③如果A 不在听音乐，那么C 不在修指甲；④D 既不在看书，也不在修指甲；⑤C 既不在看书，也不在听音乐。
若上面的命题都是真命题，问她们各在干什么？答：ABCD 分别在听音乐；看书；修指甲；梳头发 已知)1(3tan m +=α，且βαββα,,0t a n )t a n (t a n 3=++⋅m 为锐角，则βα+的值为3π=︒-︒︒-︒︒+)5tan 5(cot 10sin 20sin 220cos 12330cos =︒=函数d cx bx ax x x f ++++=234)(，若3)3(,2)2(,1)1(===f f f ，那么)4()0(f f +的值为（28 ）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为c b a ,,，且31cos =A 。
（1）求A CB 2cos 2sin2++的值；（2）若3=a ，求bc 的最大值。
（-1/9； 9/4） 若m 、{}22101010n x x aa a ∈=⨯+⨯+，其中{}1234567i a ∈，，，，，，，012i =，，，并且 636m n +=，则实数对(,)m n 表示平面上不同点的个数为（ 90 ）圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是 2.斜三棱柱111ABC A B C -中，面11AAC C 是菱形，160ACC ∠=︒，侧面11ABB A ⊥11AAC C ，11A B AB AC ===.求证：（1）1AA ⊥1BC ；（2）求点1A 到平面ABC 的距离. 515满足20073+++=x x y 的正整数数对（x ，y ）恰有两对设集合M={-2，0，1}，N={1，2，3，4，5}，映射f ：M →N 使对任意的x ∈M ，都有)()(x xf x f x ++是奇数，则这样的映射f 的个数是（45）将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”。
2015年全国高中数学联赛试题答案
…………………20 分
包含 a1 的集合至少有
n− s −t 个．又由于 A1 ⊆ Ci （ i = 1, , t ） ，故 C1 , C2 , , Ct 都 k
n− s −t ，即在剩下的 n − s − t 个集合中， k
包含 a1 ，因此包含 a1 的集合个数至少为
n− s −t n − s + (k − 1)t n − s + t （利用 k ≥ 2 ） = +t ≥ k k k n ． ……………40 分 ≥ （利用 t ≥ s ） k
n ≤ (n + 1) ∑ห้องสมุดไป่ตู้ai2 ， i =1 所以①得证，从而本题得证．
…………………40 分
证法二：首先，由于问题中 a1 , a2 , , an 的对称性，可设 a1 ≥ a2 ≥ ≥ an ．此 n 外，若将 a1 , a2 , , an 中的负数均改变符号，则问题中的不等式左边的 ∑ ai 不 i =1 减，而右边的 ∑ ai2 不变，并且这一手续不影响 ε i = ±1 的选取，因此我们可进一
2t u − 1 2u − 1 m 1 2αt ⋅ 1 2αt ⋅ 1 + 2u + + 2(t −1)u ) =+ =+ ( q q q
…………………10 分
n + 2 ∑ aj n = j +1 2
2
2
n 2 n n n 2 2 ≤ 2 ∑ ai + 2 n − ∑ a j （柯西不等式） …………30 分 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 n + 1 n n n + 1 2 a j （利用 n − = = 2 ∑ ai + 2 ） ∑ 2 2 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 2 ≤ n ∑ ai + (n + 1) ∑ a j （利用 [ x ] ≤ x ） n = i =1 j +1 2
2015高数竞赛解答
2 z 2 z ze2 x ， x 2 y 2
2分
2 2 z x x f (e sin y ) e sin y f (e x sin y ) e x sin y ， 2 x
f ( x t , y t ) f ( x, y) sin t
f x ( x, y) f y ( x, y)
.
2015 年高等数学竞赛试卷
第 2页
共 4页
二、解答题：11～16 题，共 60 分．
11. 求极限（本题共两小题，每小题 5 分，共 10 分）
（1） lim
2015 年高等数学竞赛试卷
第 1页
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2015 年高等数学竞赛试卷
考试时间：2015 年 5 月
一、填空题：1～10 题，每题 4 分，共 40 分．
10 1. 求极限 lim x x 0 x
10
．
1 (n 1)d = n2
1 1 d 2. 设 d 0 为常数，求极限 lim 2 2 n n n
解： xn
3分 2分
12. （本题 10 分） 设函数 f ( x) 连续， g ( x) f ( xt )dt ，且 lim
0
x 0
1
f ( x) k ，k 为常数，求（1） g ( x) ； x
（2） lim g ( x) .
x 0
解： （1）令 u xt , t
d/2
．
1 3. 设 f 具有二阶导数， f ( x) x 2 ，则 f ( f ( x)) 256 x 2 2
2015年CMO试题及其解答
交流知识 共享智慧
文武光华
L A
C T
Y R
F
B N
S K
P Q
X
D
E
三、给定整数n ≥ 5，求最小的整数m，使得存在两个由整数组成的集合A、B，同时满 足下列条件：
（1）|A| = n，|B| = m，且A ⊆ B； （2）对B中任意两个不同元素x、y，x + y ∈ B当且仅当x、y ∈ A。 解答：设A = a ，a ， … ，a 。记C = a + a |1 ≤ i＜j ≤ n 。则根据条件知A⋃C ⊆ B。 可以证明|C| ≥ 2n − 3。事实上，不妨设a ＜a ＜ … ＜a ，则a + a ＜a + a ＜…＜ a + a ＜a + a ＜ … ＜a + a ，故|C| ≥ 2n − 3。 因为|B| − |A| ≥ |C| − |A| ≥ 2n − 3 − n = n − 3 ≥ 2，故B中至少存在一个不为0的元素 不属于A，设为b。因为0 + b = b ∈ B，而b ∉ A，故0 ∉ B。进而知0 ∉ A。 下面我们证明A⋂C = Φ。若结论不成立，不妨设a = a + a ∈ A。此时A = a ，a ， … ，a ，a + a 。 因为a + a ∈ B，(a + a ) + a = (a + a ) + a ∈ B，a ∈ A，故a + a ∈ A。同理 可知a + a 、a + a 、 … 、a + a 这n − 3个数均属于A，且都不为a 、a + a 。若这 n − 3个数均不等于a ，则 a + a ，a + a ， … ，a + a = a ，a ， … ，a ，从而 有 (a + a ) + (a + a ) + ⋯ + (a + a ) = a + a + ⋯ + a ⇒a =0 这与0 ∉ A矛盾。从而必存在某个a ，使得a + a = a ，即a = a − a 。 同理可知，a + a 、a + a 、 … 、a + a 这n − 3个数也均属于A。同上分析，必存 在某个a ，使得a + a = a ，即a = a − a 。 因为0 ∉ A，故a ≠ a ，从而知a + a = (a − a ) + (a − a ) = 0 ∈ B。然而这与0 ∉ B 矛盾。 综上所述，A⋂C = Φ，于是知|B| ≥ |A| + |C| = n + (2n − 3) = 3n − 3。 另一方面，取A = n + 1，n + 2， … ，2n ，C = 2n + 3，2n + 4， … ，4n − 1 ，令 B = A⋃C即满足条件。 综上所述，m的最小值为3n − 3。
2015年全国高中数学联赛试卷解析
2015 年全国高中数学联合竞赛参考答案及评分标准一试一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．设b a ,为不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =，则=)2(f 答案：4.解：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得22a b a+=-，即20a b +=，所以(2)424f a b =++=．2．若实数α满足ααtan cos =，则αα4cos sin 1+的值为 ． 答案：2. 解：由条件知，ααsin cos 2=，反复利用此结论，并注意到1sin cos 22=+αα，得)cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224αααααααα-+=++=+ 2cos sin 22=-+=αα．3．已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111⋅⋅⋅=++==+n ni z z z n n ，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则=2015z ．答案：2015 + 1007i ．解：由己知得，对一切正整数n ，有211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++, 于是201511007(2)20151007z z i i =+⨯+=+．4．在矩形ABCD 中，1,2==AD AB ，边DC 上（包含点D 、C ）的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q =，则PQ PA ⋅的最小值为 ． 答案34． 解：不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) ．设 P 的坐标为（t , l) （其中02t ≤≤），则由||||DP BQ =得Q 的坐标为（2，-t )，故(,1),(2,1)PA t PQ t t =--=---,因此，22133()(2)(1)(1)1()244PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥．当12t =时，min 3()4PA PQ ⋅=．5．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为 ． 答案：255．解：设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法共有312C =220种．下面考虑使3条棱两两异面的取法数．由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即 AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向．可先取定AB 方向的棱，这有4种取法．不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能．当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH ．由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求概率为8222055=．6．在平面直角坐标系xOy 中，点集{}0)63)(63(),(≤-+-+y x y x y x 所对应的平面区域的面积为 ． 答案：24．解：设1{(,)||||3|60}K x y x y =+-≤． 先考虑1K 在第一象限中的部分，此时有36x y +≤,故这些点对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知，1K 对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD 及其内部．同理，设2{(,)||3|||60}K x y x y =+-≤，则2K 对应的区域是图中以O 为中心的菱形EFGH 及其内部．由点集K 的定义知，K 所对应的平面区域是被1K 、2K 中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S ．由于直线CD 的方程为36x y +=，直线GH 的方程为36x y +=，故它们的交点P 的坐标为33(,)22．由对称性知，138842422CPG S S ∆==⨯⨯⨯=．7．设ω为正实数，若存在实数)2(,ππ≤<≤b a b a ，使得2sin sin =+b a ωω，则ω的取值范围为 ． 答案：9513[,)[,)424w ∈+∞．解：2sin sin =+b a ωω知，1sin sin ==b a ωω，而]2,[,ππωωw w b a si ∈，故题目条件等价于：存在整数,()k l k l <，使得 ππππππw l k w 22222≤+≤+≤． ① 当4w ≥时，区间]2,[ππw w 的长度不小于π4，故必存在,k l 满足①式． 当04w <<时，注意到)8,0(]2,[πππ⊆w w ，故仅需考虑如下几种情况：(i) ππππw w 2252≤<≤，此时21≤w 且45>w 无解；(ii) ππππw w 22925≤<≤，此时2549≤≤w ;(iii) ππππw w 221329≤<≤，此时29413≤≤w ,得4413<≤w ．综合(i)、(ii)、(iii)，并注意到4≥w 亦满足条件，可知9513[,)[,)424w ∈+∞．8．对四位数abcd (9d ,0,91≤≤≤≤c b a ，)，若,,,d c c b b a ><>则称abcd 为P 类数；若d c c b b a <><,,，则称abcd 为Q 类数，用N(P)和N(Q)分别表示P 类数与Q 类数的个数，则N(P)-N(Q)的值为 ．答案：285．解：分别记P 类数、Q 类数的全体为A 、B ，再将个位数为零的P 类数全体记为0A ，个位数不等于零的尸类数全体记为1A ．对任一四位数1A abcd ∈，将其对应到四位数dcba ，注意到1,,≥><>d c c b b a ，故B dcba ∈．反之，每个B dcba ∈唯一对应于从中的元素abcd ．这建立了1A 与B 之间的一一对应，因此有011()()||||||||||||N P N Q A B A A B A -=-=+-=．下面计算0||A 对任一四位数00A abc ∈, b 可取0, 1，…，9，对其中每个b ，由9≤<a b 及9≤<c b 知，a 和c 分别有b -9种取法，从而992200191019||(9)2856b k A b k ==⨯⨯=-===∑∑． 因此，()()285N P N Q -=．二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
中国数学奥林匹克(CMO)历届试题及解答(1986-2005)
0(i = 1, 2, . . . , n),则显然有a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn 0, ai −a1 > 0(i = 2, 3, . . . , n). ∴
√ sin ∠F AE FE AD 由正弦定理 sin AE 2 − AD2 = 5, ∠DAE = DE × AF .其中DE = √ √ F E = F D − DE = AF 2 − AD2 − DE = m2 − 122 − 5 > 0. ∴ m > 13, 且∠A为锐角等价于 ∠A为直角等价于 ∠A为钝角等价于 解得当13 < m < 当m = 当m >
∈ Z.
1 3 2n+1 (2n + 1)ϕ = (2l + 3 = 2t + 3 2 )π (l ∈ Z). ∴ (2n + 1)(2k + 6 ) = 2l + 2 , 6 2 , n = 6t + 4(t ∈ Z). 5(2n+1) 5 ) = 2l + 3 = 2t + 3 或(2n + 1)(2k + 6 2, 6 2 , 5|4t + 3, t ≡ 3 (mod 5)(t ∈ Z).
zk ∈A 2 , yk A,x2 k 4 2 1 √
1 4 ,即
2 x2 k + yk 2 x2 k + yk
√
2xk . yk |
zk ∈A zk ∈A
2015年小学数学竞赛(国奥赛)预赛试卷详解
）
2. [1.9＋190%× （ 4 －3.8）]÷ （2 【答案】3.8
4 5
9 －1.9）＝（ 10
）
【解析】原式＝[1.9＋1.9×（4.8－3.8）]÷（2.9－1.9）＝3.8
3. 2015× 20152015－20142014× 2014＝（ 【答案】40294029
）
【解析】原式＝2015×2015×10001－2014×10001×2014 ＝10001×（20152－20142） ＝10001×（2015＋2014）×（2015－2014） ＝10001×4029 ＝40294029.
12. 一个学生参加了若干次考试，在最后一次考试时发现，如果这次他考 100 分，那么他的 平均分数是 90 分，如果这次他考 70 分，那么他的平均分数是 84 分，则该学生一共参加 了（ 【答案】5 【解析】总分差：100－70＝30（分）， 平均差：90－84＝6（分）， 考试次数：30÷6＝5（次）. ）次考试.
1 1 ，乙占 ， 7 4 1 1 3 － ）×2＝ ， 4 7 14 1 1 3 11 － － ＝ . 7 4 14 28 11 ＝28（本）， 28
）
所以丙占（
从而剩余 1－
因此总共有：11÷ 故乙得 28×
1 ＝7（本）. 4
2
成都市青羊区金河路 59 号尊城国际 13 楼 1305
68890961
9. 某人以每三个桔子一元六角的价格购进一批桔子，随后又以每四个桔子两元一角的价格 购进数量是前一批 2 倍的桔子，若他赚取了全部投资的 20%，则每三个桔子的售价是 （ ）元.
【答案】1.9 【解析】假设第一批桔子买了 6 个，第二批桔子买了 12 个. 第一批桔子的成本为：1.6÷3×6＝3.2（元）， 第二批桔子的成本为：2.1÷4×12＝6.3（元）， 总成本为：3.2＋6.3＝9.5（元）， 总售价为：9.5×（1＋20%）＝11.4（元）； 每三个桔子的售价为：11.4÷（6＋12）×3＝1.9（元）.
2015年全国高中数学联赛试卷解析汇报
2015 年全国高中数学联合竞赛（A 卷）参考答案及评分标准一试说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标冶填空题只设。
分和香分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题该分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．设b a ,为不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =，则=)2(f 答案：4.解：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得22a b a+=-，即20a b +=，所以(2)424f a b =++=．2．若实数α满足ααtan cos =，则αα4cos sin 1+的值为 ． 答案：2. 解：由条件知，ααsin cos 2=，反复利用此结论，并注意到1sin cos 22=+αα，得)cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224αααααααα-+=++=+ 2cos sin 22=-+=αα．3．已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111⋅⋅⋅=++==+n ni z z z n n ，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则=2015z ．答案：2015 + 1007i ．解：由己知得，对一切正整数n ，有211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++, 于是201511007(2)20151007z z i i =+⨯+=+．4．在矩形ABCD 中，1,2==AD AB ，边DC 上（包含点D 、C ）的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q =PQ PA ⋅的最小值为 ． 答案34． 解：不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) ．设 P 的坐标为（t , l) （其中02t ≤≤），则由||||DP BQ =得Q 的坐标为（2，-t )，故(,1),(2,1)PA t PQ t t =--=---,因此，22133()(2)(1)(1)1()244PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥．当12t =时，min 3()4PA PQ ⋅=．5．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为 ．答案：255．解：设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法共有312C =220种．下面考虑使3条棱两两异面的取法数．由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即 AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向．可先取定AB 方向的棱，这有4种取法．不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能．当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH ．由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求概率为8222055=．6．在平面直角坐标系xOy 中，点集{}0)63)(63(),(≤-+-+y x y x y x 所对应的平面区域的面积为 ． 答案：24．解：设1{(,)||||3|60}K x y x y =+-≤． 先考虑1K 在第一象限中的部分，此时有36x y +≤,故这些点对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知，1K 对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD 及其内部．同理，设2{(,)||3|||60}K x y x y =+-≤，则2K 对应的区域是图中以O 为中心的菱形EFGH 及其内部．由点集K 的定义知，K 所对应的平面区域是被1K 、2K 中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S ．由于直线CD 的方程为36x y +=，直线GH 的方程为36x y +=，故它们的交点P 的坐标为33(,)22．由对称性知，138842422CPG S S ∆==⨯⨯⨯=．7．设ω为正实数，若存在实数)2(,ππ≤<≤b a b a ，使得2sin sin =+b a ωω，则ω的取值范围为 ． 答案：9513[,)[,)424w ∈+∞．解：2sin sin =+b a ωω知，1sin sin ==b a ωω，而]2,[,ππωωw w b a si ∈，故题目条件等价于：存在整数,()k l k l <，使得ππππππw l k w 22222≤+≤+≤． ①当4w ≥时，区间]2,[ππw w 的长度不小于π4，故必存在,k l 满足①式． 当04w <<时，注意到)8,0(]2,[πππ⊆w w ，故仅需考虑如下几种情况：(i) ππππw w 2252≤<≤，此时21≤w 且45>w 无解； (ii) ππππw w 22925≤<≤，此时2549≤≤w ; (iii) ππππw w 221329≤<≤，此时29413≤≤w ,得4413<≤w ． 综合(i)、(ii)、(iii)，并注意到4≥w 亦满足条件，可知9513[,)[,)424w ∈+∞．8．对四位数abcd (9d ,0,91≤≤≤≤c b a ，)，若,,,d c c b b a ><>则称abcd 为P 类数；若d c c b b a <><,,，则称abcd 为Q 类数，用N(P)和N(Q)分别表示P 类数与Q 类数的个数，则N(P)-N(Q)的值为 ．答案：285．解：分别记P 类数、Q 类数的全体为A 、B ，再将个位数为零的P 类数全体记为0A ，个位数不等于零的尸类数全体记为1A ．对任一四位数1A abcd ∈，将其对应到四位数dcba ，注意到1,,≥><>d c c b b a ，故B dcba ∈．反之，每个B dcba ∈唯一对应于从中的元素abcd ．这建立了1A 与B 之间的一一对应，因此有011()()||||||||||||N P N Q A B A A B A -=-=+-=．下面计算0||A 对任一四位数00A abc ∈, b 可取0, 1，…，9，对其中每个b ，由9≤<a b 及9≤<c b 知，a 和c 分别有b -9种取法，从而992200191019||(9)2856b k A b k ==⨯⨯=-===∑∑．因此，()()285N P N Q -=．二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2015年全国高中数学联赛试卷解析汇报汇报
2015 年全国高中数学联合竞赛（A 卷）参考答案及评分标准一试说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标冶填空题只设。
分和香分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题该分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．设b a ,为不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =，则=)2(f 答案：4.解：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得22a b a+=-，即20a b +=，所以(2)424f a b =++=．2．若实数α满足ααtan cos =，则αα4cos sin 1+的值为 ． 答案：2. 解：由条件知，ααsin cos 2=，反复利用此结论，并注意到1sin cos 22=+αα，得)cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224αααααααα-+=++=+ 2cos sin 22=-+=αα．3．已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111⋅⋅⋅=++==+n ni z z z n n ，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则=2015z ．答案：2015 + 1007i ．解：由己知得，对一切正整数n ，有211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++, 于是201511007(2)20151007z z i i =+⨯+=+．4．在矩形ABCD 中，1,2==AD AB ，边DC 上（包含点D 、C ）的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q 满足条件BQ DP =，则PQ PA ⋅的最小值为 ． 答案34． 解：不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) ．设 P 的坐标为（t , l) （其中02t ≤≤），则由||||DP BQ =得Q 的坐标为（2，-t )，故(,1),(2,1)PA t P Q t t =--=---,因此，22133()(2)(1)(1)1()244PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥．当12t =时，min 3()4PA PQ ⋅=．5．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为 ．答案：255．解：设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法共有312C =220种．下面考虑使3条棱两两异面的取法数．由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即 AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向．可先取定AB 方向的棱，这有4种取法．不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能．当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH ．由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求概率为8222055=．6．在平面直角坐标系xOy 中，点集{}0)63)(63(),(≤-+-+y x y x y x 所对应的平面区域的面积为 ． 答案：24．解：设1{(,)||||3|60}K x y x y =+-≤． 先考虑1K 在第一象限中的部分，此时有36x y +≤,故这些点对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知，1K 对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD 及其内部．同理，设2{(,)||3|||60}K x y x y =+-≤，则2K 对应的区域是图中以O 为中心的菱形EFGH 及其内部．由点集K 的定义知，K 所对应的平面区域是被1K 、2K 中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S ．由于直线CD 的方程为36x y +=，直线GH 的方程为36x y +=，故它们的交点P 的坐标为33(,)22．由对称性知，138842422CPG S S ∆==⨯⨯⨯=．7．设ω为正实数，若存在实数)2(,ππ≤<≤b a b a ，使得2sin sin =+b a ωω，则ω的取值范围为 ． 答案：9513[,)[,)424w ∈+∞．解：2s in s in =+b a ωω知，1s in s in ==b a ωω，而]2,[,ππωωw w b a si ∈，故题目条件等价于：存在整数,()k l k l <，使得ππππππw l k w 22222≤+≤+≤． ①当4w ≥时，区间]2,[ππw w 的长度不小于π4，故必存在,k l 满足①式． 当04w <<时，注意到)8,0(]2,[πππ⊆w w ，故仅需考虑如下几种情况：(i) ππππw w 2252≤<≤，此时21≤w 且45>w 无解； (ii) ππππw w 22925≤<≤，此时2549≤≤w ; (iii) ππππw w 221329≤<≤，此时29413≤≤w ,得4413<≤w ． 综合(i)、(ii)、(iii)，并注意到4≥w 亦满足条件，可知9513[,)[,)424w ∈+∞．8．对四位数abcd (9d ,0,91≤≤≤≤c b a ，)，若,,,d c c b b a ><>则称abcd 为P 类数；若d c c b b a <><,,，则称abcd 为Q 类数，用N(P)和N(Q)分别表示P 类数与Q 类数的个数，则N(P)-N(Q)的值为 ．答案：285．解：分别记P 类数、Q 类数的全体为A 、B ，再将个位数为零的P 类数全体记为0A ，个位数不等于零的尸类数全体记为1A ．对任一四位数1A abcd ∈，将其对应到四位数dcba ，注意到1,,≥><>d c c b b a ，故B dcba ∈．反之，每个B dcba ∈唯一对应于从中的元素abcd ．这建立了1A 与B 之间的一一对应，因此有011()()||||||||||||N P N Q A B A A B A -=-=+-=．下面计算0||A 对任一四位数00A abc ∈, b 可取0, 1，…，9，对其中每个b ，由9≤<a b 及9≤<c b 知，a 和c 分别有b -9种取法，从而992200191019||(9)2856b k A b k ==⨯⨯=-===∑∑．因此，()()285N P N Q -=．二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2015年国奥决赛试题
b0，2cd10，c0，1，2，3，4，5
⑵a1，5b2cd10,b1，2cd5，c0，1，2，共10种
b2，cd0，c0
综上，共20种。
14.（此题为解答题，需写出解题过程） 我们称一个自然数n是“好数” ，如果能找到两个非零自然数k , l（k ,l可以相等），使得n=Kl +l－k. 例如：1＝2×1+1－2 ， 3＝1×2+2－1都是“好数”。那么，在自然数1－50中，共有（ ）个“好数”。
2.( - - + )-( - - + )+ ( - - + )－( - - + )=( )
考点计算难度★★答案
【解析】 原式＝ ×( - - + )- ×( - - + )+ ×( - - + )- ×( - - + )
＝( - + - )
＝
3.一串有规律排列的数 2,1,4,3,6,5,8,7,…的第十五个数是16,则它的前十五个数的和是( ).
【解析】设跳绳、跳远和跑步三组人数分别为 5X，3X，2X，由题意列表如下：
男
女
总
跳绳
1.25X
3.75X
5X
跑步
1.25X
1.75X
3X
跳远
1.5X
0.5X
2X
总
4X
6X
10X
所以，1.25X：1.75X＝5：7
9.从1到1000的一千个自然数中抽出若干个数来。如果抽出的这些数中任何两个数之和都不是5的倍数。那么，从这一千个自然数中，最多能抽出（ ）个数。
考点行程问题难度★★★答案130
2015年世界少年奥林匹克数学竞赛五年级海选赛试题含答案
五年级 第1页 五年级 第2页绝密★启用前世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛试题（2015年10月）选手须知：1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计50分；第二部分：计算题，共计12分；第三部分：解答题，共计58分。
2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。
3、比赛时不能使用计算工具。
4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。
五年级试题（Ａ卷）（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、填空题。
（每题5分，共计50分）1、一桶油连桶重120千克，用去一半后，连桶还重65千克。
这桶里原有油 千克，空桶 重 千克。
2、连续的六个自然数，前三个数的和是60，那么后三个数的和是 。
3、有一个一位小数，如果去掉小数点，得到的新数比原数多907.2这个一位小数是 。
4、今天是星期日，从今天算起，第60天是星期 。
5、有一根木料，要锯成4段，每锯开一处，需要4分钟。
全部锯完需要 分钟。
6、如图长方形纸片,假如按图中所示剪成四块,这四块纸片可拼成一个正方形.那么所拼成的正方形 的边长是 厘米.7、苹果的个数是梨的3倍，如果每天吃2个苹果、1个梨，若干天后，苹果还剩7个，梨正好全 部吃完。
原来有苹果 个。
8、在一次登山活动中，小红上山每分钟行50米，然后按原路下山，每分钟行75米。
小红上山和 下山平均每分钟行 米。
9、一个数减去16加上24，再除以7得36，这个数是 。
10、自1开始，每隔3个数一数，得到数列1，4，7，10，……问第100个数是 。
二、计算题。
（每题6分，共计12分）11、 9999+999+99+9+812、（425×5776—425+4225×425）÷125÷8省 市 学校 姓名 赛场 参赛证号∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕ 密 〇 封 〇 装 〇 订 〇 线 ∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕密 封 线 内 不 要答 题三、解答题。
2015年世界少年奥林匹克数学竞赛七年级海选赛试题含答案
七年级 第1页 七年级 第2页绝密★启用前世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛试题（2015年10月）选手须知：1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计50分；第二部分：计算题，共计12分；第三部分：解答题，共计58分。
2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。
3、比赛时不能使用计算工具。
4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。
七年级试题（Ａ卷）（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、填空题。
（每题5分，共计50分）1、甲数和乙数的比7:3，乙数和丙数的比是6:5，甲数和丙数的比是 。
2、购买3斤苹果，2斤橘子需6.90元；购买8斤苹果，9斤橘子需22.80元。
那么苹果、橘子各买1斤需 元。
3、有盐的质量分数为16％的盐水800克，要得到盐的质量分数为20％的盐水，应蒸发水 克。
4、将5,6,7,8,9,0这6个数字填入下面算式中，使乘积最大□□□×□□□5、一个正方形，把它的边长增加4厘米，那么它的面积就增加96平方厘米，则原来正方形的面积是 。
6、单独完成某工程，甲队需要10天，乙队需要15天，丙队需要20天，开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程，问甲队实际工作了 天。
7、在平面上有10条直线，任何两条都不平行，并且任何三条都不交于同一点，这些直线能把平面分成 部分。
8、大客车有48个座位，小客车有30个座位，现在306名旅客，要使每个旅客都有座位而且车上无空位，需要大客车 辆，小客车 辆。
9、在16点16分这个时刻，钟表盘面上时针和分针的夹角是 度。
10、若│a+2014│与│b-2015│互为相反数，则a+b 的值是_________。
二、计算题。
（每题6分，共计12分）11、6513.3838525.4415÷+÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-12、201520141...541431321211⨯++⨯+⨯+⨯+⨯三、解答题。
2015小学数学竞赛决赛试题答案和详解(成都国奥赛)
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2015 年国奥赛决赛试题 （成都） 【答案】130 【解析】
DF＝340－80－40＝180km， 甲从 D 出发，乙从 F 出发，甲乙速度均为 80km/h, 所以甲乙相遇点 E 为 DF 的中点，所以 DE＝90km，所以 CE＝90＋40＝130km。
11. a、b、c 是三个数字，且 a＞b＞c。由 a、b 两个数字可组成两个不同的两位数，这两个 两位数之和为 55。由 a、b、c 三个数字可组成六个不同的三位数，这六个三位数之和大 于 1300 且小于 1400.那么，三位数 abc 等于（ 【答案】321 【解析】（1）由 ab ba 55 得： 11( a b) 55 ， a b 5 （2） abc acb bac bca cab cba 222( a b c) ） 没错，又是我们！ 科雅数学第一时间奉上详解！ 电话：68890961，86111521； 科雅小升初 QQ 交流群： 194587786； 科雅 5 年级 QQ 交流群：252737962； 科雅 3，4 年级交流群： 217107180；
14.（此题为解答题，需要写出解题过程）我们称一个自然数 n 是“好数”，如果能找到两个 非零自然数 k，l （k，l 可以相等） ，使得 n＝kl＋l－k。例如，1＝2×1＋1－2 ， 3＝1×2＋2－1 都是“好数”。那么，在自然数 1~50 中，共有（ 【答案】49 【解析】 n kl l k ）个“好数”。
2015 年国奥赛决赛试题 （成都）
科雅数学：彭泽老师 谷运增老师 杨秀情老师 彭艳老师 校区地址：金河路尊城国际 1305
提供详解
小南街 128 号福华新起点五层
2015 年国奥赛决赛（成都）
答案及详解
CGMO2015-2015第14届中国数学女子奥林匹克试题及答案
2015中国女子数学奥林匹克第一天2015年8月12日 上午8:00 ~ 12:00广东深圳 深圳市高级中学1．如图，在锐角△ABC 中，AB > AC ，O 为外心，D 为边BC 的中点．以AD 为直径作圆与边AB 、AC 分别交于点E 、F ．过D 作DM ∥AO 交EF 于点M ．求证：EM = MF ．（郑焕供题）2．设(0,1)a ∈，且3232()(14)(51)(35),()(1)(2)(31).f x ax a x a x ag x a x x a x a =+-+-+-=--+--+求证：对于任意实数x ，()f x 和()g x 中都至少有一个不小于1a +．（李胜宏供题）3．把12×12的方格纸的每个单位方格染成黑色或白色，使得由方格线围成的任意一个3×4或4×3的长方形内都至少有一个黑色单位方格．试求黑色单位方格个数的最小值．（梁应德供题）4．对每个正整数n ，记()g n 为n 与2015的最大公约数，求满足下列条件的有序三元数组(,,)a b c 的个数：1) ,,{1,2,,2015}a b c ∈；2) (),(),(),(),(),(),()g a g b g c g a b g b c g c a g a b c +++++这七个数两两不同．（王彬供题）中国女子数学奥林匹克第二天2015年8月13日 上午8:00 ~ 12:00广东深圳 深圳市高级中学5．有多少个不同的三边长为整数的直角三角形，其面积值是周长值的999倍？（全等OMFED CB A的两个三角形看作相同的）（林常供题）6．如图，两圆12,ΓΓ外离，它们的一条外公切线与12,ΓΓ分别切于点,A B ，一条内公切线与12,ΓΓ分别切于点,C D ．设E 是直线,AC BD 的交点，F 是1Γ上一点，过F 作1Γ的切线与线段EF 的中垂线交于点M ，过M 作MG 切2Γ于点G ．求证：MF MG =．（付云皓供题）7．设12,,,(0,1)n x x x ∈，2n ≥．求证：121211n n nx n x x --+<．（王新茂供题）8．给定整数2n ≥．黑板上写着n 个集合，然后进行如下操作：选取黑板上两个互相不包含的集合,A B ，擦掉它们，然后写上A B 和A B ．这称为一次操作．如此操作下去，直到任意两个集合中都有一个包含另一个为止．对所有的初始状态和操作方式，求操作次数的最大可能值．（朱华伟供题）试题解答1．如图，在锐角△ABC 中，AB > AC ，O 为外心，D 为边BC 的中点．以AD 为直径作圆与边AB 、AC 分别交于点E 、F ． 过D 作DM ∥AO 交EF 于点M ． 求证：EM = MF ．证明 如图，连接DE 、DF ，过O 作ON ⊥AB 交AB 于点N ． 由题意可知，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ． 因此，ON ∥DE ． 又因为DM ∥AO ，所以∠EDM =∠AON ．因为O 为△ABC 外心，所以∠AON = ∠ACB ． 从而∠EDM =∠ACB ．Γ2Γ1MG FEDCBA图1同理可得，∠FDM = ∠ABC ． 在△EDF 中，有sin sin sin sin 1sin sin sin sin EM DE EDM DE ACB DB ABC ACBMF DF FDM DF ABC DC ACB ABC ⋅∠⋅∠⋅∠⋅∠====⋅∠⋅∠⋅∠⋅∠， 即EM = MF ．2．设(0,1)a ∈，且3232()(14)(51)(35),()(1)(2)(31).f x ax a x a x ag x a x x a x a =+-+-+-=--+--+求证：对于任意实数x ，()f x 和()g x 中都至少有一个不小于1a +．证明 由于(0,1)a ∈，a 与1a -皆为正数，因此对任意实数x ，{}{}{}max (),()(1)max (),()max (),()(1)()()(1)()()f xg x a f x g x a f x g x a f x a g x a f x a g x =-⋅+⋅≥-+≥-⋅-⋅而222 (1)()()[(1)(14)][(1)(51)(2)][(1)(35)(31)](21)(2)1a f x a g x a a a x a a a a x a a a a a x x a-⋅-⋅=--++----+--++=-⋅-+++又22172()024x x x -+=-+>，故{}max (),()1f x g x a ≥+．问题得证．3．把12×12的方格纸的每个单位方格染成黑色或白色，使得由方格线围成的任何3×4和4×3长方形内都至少有一个黑格．试求黑格个数的最小值．解 所求黑格个数的最小值12n =．先证明12n ≥．由于12×12单位方格纸可划分为12121234⨯=⨯个（除边界外）互不相交的3×4方格长方形．由题设可知这些长方形各至少有一个黑色方格，故至少要涂12个黑色方格．要证明12n =，只需构作一个可行的例子，见下图．4．对每个正整数n ，记()g n 为n 与2015的最大公约数，求满足下列条件的有序三元数组(,,)a b c 的个数：1) ,,{1,2,,2015}a b c ∈；2) (),(),(),(),(),(),()g a g b g c g a b g b c g c a g a b c +++++这七个数两两不同．解 分解质因数123201551331p p p =⨯⨯=⨯⨯．()g n 是2015的约数，只有8种情况．我们把满足()1g n =的n 叫做零型数，把满足()g n 取1p 或2p 或3p 的n 叫做一型数，把满足()g n 取12p p 或13p p 或23p p 的n 叫做二型数．我们使用下面两个简单的事实：对任意整数x ，()()(2015)(2015)g x g x g x g x =-=+=-，因此本题可以看做在模2015意义下讨论，即模2015同余的两个数看成相同．对素数p ，若|p x ,|p y 两者都成立则|p x y ±，若恰有一个成立则|p x y ±/．把满足条件三元组(,,)a b c 对应为七元组(,,,,,,)A a b c a b a c b c a b c =+++++，我们考虑A 的七个位置上的数的g 值的分布．首先这七个g 值不能有2015，否则，若某个位置上的数x 是2015的倍数，则A 中存在另外两个位置上的数,y z 满足x y z =+或x y z =-，这样就有()()g y g z =，矛盾．所以七个g 值必须是1,1p ,2p ,3p ,12p p ,13p p ,23p p 各一个．这样A 的七个位置必须是3个二型数、3个一型数、一个零型数．我们关心三个二型数在哪三个位置上．设123,,p p p 是5,13,31的任意排列，若,,x y z 满足12()g x p p =，13()g y p p =，23()g z p p =，则有111|,||p x p y p x y ⇒±±，222|,||p x p y p x y ⇒±±//，333|,||p x p y p x y ⇒±±//，可得1()g x y p ±±=，同理有2()g x z p ±±=，3()g y z p ±±=，()1g x y z ±±±=．因此当确定A 中的三个二型数,,x y z 的位置后，如果其它四个位置可以分别表示为,,x y z 的3个两两线性组合与,,x y z 三个数的线性组合(要求线性组合系数是1±)，我们就可断定A 中的七个位置的g 值互不相同，我们把这种可以线性组合成功表示的三个二型数的一组位置叫做合理位置．在一组合理位置上，当我们确定,,x y z 的取值(模2015意义下)后，七元组A 也被唯一决定了．在模2015意义下，满足12()g n p p =的n 恰好有31p -个，满足13()g n p p =的n 恰好有21p -个，满足23()g n p p =的n 恰好有11p -个，此外,,x y z 的顺序或者说123,,p p p 的顺序可以调换，因此每组合理位置下，,,x y z 的取值有3213!(1)(1)(1)614408640p p p ⨯---=⨯=种可能，也就恰好对应8640个满足条件的三元组．我们关心哪组位置可能是合理的．对素数5,13,31p =，七元组A 中恰好有3个位置是p 的倍数，若,,a b a c b c +++这三个位置至少有两个p 的倍数，不妨设|,|p a b p a c ++，则在此前提下||||p a p b p c p a b c⇔⇔⇔++并且||()()()|2|p b c p a b a c b c p a p a +⇒+++-+⇒⇒，这时A 中不能恰有3个位置是p 的倍数．所以()g a b +,()g a c +,()g b c +的素因子个数总共不超过3，,,a b a c b c +++这三个位置上至多有一个二型数，也就是,,,a b c a b c ++这四个位置上有2或3个二型数．若,,,a b c a b c ++中有三个二型数，二型数的位置有4种可能情况：若,,x a y b z c ===是三个二型数，则a b x y +=+,a c x z +=+,b c y z +=+是三个一型数，a b c x y z ++=++是零型数，位置合理．若,,x a y b z a b c ===++是二型数，则,,a b x y b c z x a c z y +=++=-+=-，c x y z =--+，位置合理．同理其他两种位置也是合理的．若,,,a b c a b c ++中恰有两个二型数，我们分两类考虑：第一类考虑两个二型数都在,,a b c 中，不妨设a 和b 是二型数，则a b +不可能是二型数，a c +,b c +之一是二型数，不妨设a c +是二型数．这时,,x a y b z a c ===+是三个二型数，,,a b x y c x z a b c y z +=+=-+++=+，b c x y z +=-++，位置合理．这一类由对称性共有6种情况是合理位置．第二类考虑a b c ++是二型数且,,a b c 之一是二型数，不妨设a 和a b c ++是二型数，则b c +不可能是二型数，a b +,a c +之一是二型数，不妨设a b +是二型数．这时,,x a y a b c z a b ==++=+是二型数，则,,b c x y b x z c y z +=-+=-+=-，a c x y z +=+-，位置合理．这一类由对称性共有6种情况是合理位置．综上，三个二型数的合理位置共有16种，(其他不合理位置都不可能使三元组满足条件)．所以满足条件的三元组共有168640138240⨯=．5．有多少个不同的三边长为整数的直角三角形，其面积值是周长值的999倍？（全等的两个三角形看作相同的）解法一 设内切圆半径为r ，1()()2S r a b c m a b c =++=++．故22a b c r m +-==，4c a b m =+-．代入222a b c +=得24480ab ma mb m --+=，2(4)(4)8a m b m m --=．不同的无序解(,)a b 给出不同的三角形，故所求三角形个数为21(8)2d m ．本题999m =，236282337m =⋅⋅，1(31)(61)(21)422+++=．解法二 由勾股数公式，22222, (), ()a k uv b k u v c k u v =⋅=-=+，其中k （三边长的最大公因数）为任意正整数，u 与v 互素，u v >且u 与v 一奇一偶．22231999()()9992()2()19982337ab a b c k uv u v u u v kv u v =⋅++⇔-=⋅+⇔-==⋅⋅ u v -为奇数，因数2只能分给k 或v ，有两种方式．v 与u v -互素，奇素因子p α分给,,k v u v -只能是(,0,0)α或(,,0)i i α-，(,0,)i i α-（1i α≤≤），有21α+种方式．故由乘法原理，素因子的分配共有2(231)(211)42⋅⋅+⋅+=种方式，每种分配方式给出唯一的三角形．因此共有42个所求三角形．评注 一般地，若倍数为112nn m p p ββα=⋅（1,,n p p 为不同的奇素数），则所求三角形个数为1(2)(21)(21)n αββ+⋅++．6. 如图，两圆12,ΓΓ外离，它们的一条外公切线与12,ΓΓ分别切于点,A B ，一条内公切线与12,ΓΓ分别切于点,C D . 设E 是直线,AC BD 的交点，F 是1Γ上一点，过F 作1Γ的切线与线段EF 的中垂线交于点M ，过M 作MG 切2Γ于点G . 求证：MF MG =.证法一 设12,ΓΓ的圆心分别为12,O O ，直线,AB CD 交于点H ，连12,HO HO . 设,J K 分别是线段,AB CD 的中点，连,JE KE .由于,HA HC 是1Γ的切线，故1HO 平分AHC ∠，且1AC HO ⊥. 同理，2HO 平分BHD ∠，Γ2 Γ1 M G F E D C BA且2BD HO ⊥. 由于12,HO HO 分别是AHC ∠的内角平分线和外角平分线，故它们互相垂直，结合1AC HO ⊥及2BD HO ⊥知AC BD ⊥.由于直角三角形斜边中线等于斜边一半，故,JE JA JB KE KC KD ====. 考虑12,ΓΓ及以E 为圆心，0为半径的圆，由JE JA JB ==知J 到这三个圆的幂相等，由KE KC KD ==知K 到这三个圆的幂也相等. 显然,J K 是两个不同的点，因此这三个圆必然有一条公共的根轴. 由于M 在EF 的中垂线上，所以MF ME =，结合MF 是1Γ的切线知M 在这三个圆的公共根轴上，又MG 是2Γ的切线，故MF MG =，证毕.证法二 同证法一可得AC BD ⊥. 设12,ΓΓ的半径分别为12,r r ，则由勾股定理可知222222111JO JE r JA JE r -=+-=，同理有22211KO KE r -=，22211MO ME r -=. 因此222222111JO JE KO KE MO ME -=-=-，由平方差原理知1JK O P ⊥，1KM O P ⊥. 由于过平面上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，所以,,J K M 三点共线.由于222222222JO JE r JB JE r -=+-=，同理22222KO KE r -=，由此可得222222JO JE KO KE -=-，由平方差原理知2JK O E ⊥，故2JM O E ⊥，因此22222222MO ME JO JE r -=-=，结合22222MO MG r =+得MG ME =，故MG MF =，证毕.评注 事实上，点E 在直线12O O 上，两个证法均证明了这一点，但这个结论在本题中作用不大.7．设12,,,(0,1)n x x x ∈，2n ≥．求证：121211n nx n x x x x --+++<．证法一：对n 应用数学归纳法．当2n =时，由Cauchy 不等式可得121212121x x=≤<当3n ≥时，由归纳假设和Cauchy 不等式，得121212212112112121211212()11n n nn nn n nnnnx n x x x x x n x x x x xn x x x x x x x -----+<+--+-+-=≤<证法二：设1111212()n n A x x x x x x ---=+++，12n B x x x =．两边同乘以B ，只需证明22341121111n n n n x x x x x x x x x x n -+-++-<-．由Cauchy 不等式，左边2341121n n n x x x x x x x x -+++⋅22341121(1)(1)(n n n n x x x x x x x x x x A A nB -+-++-=-．故只需证明()1A A nB n -<-．我们先证明1(1)A n B <+-．事实上，12312341234512211(1)(1)(1)(1)(1) (1)(1)(1)(1)0n n n n n n n B A x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --+--=--+--+--++-->（这也可以用调整法或一次函数极值来证明）．故()()()2222()1(1)1(1)1(1)(1)2(2)(1)(2)1(1)12(1)4(1)(2)11(2)14(1)A A nB n B n B nB n B B n n n B n B n B n n n n n n -<+-+--=+--⎛⎫⎛⎫--=--+-+=---++⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭-≤+≤+-=-- 证毕．8．给定整数2n ≥．黑板上写着n 个集合，然后进行如下操作：选取黑板上两个互相不包含的集合,A B ，擦掉它们，然后写上A B 和A B ．这称为一次操作．如此操作下去，直到任意两个集合中都有一个包含另一个为止．对所有的初始状态和操作方式，求操作次数的最大可能值．解 首先我们证明操作次数不可能超过2(1)2n n n C -=． 当黑板上写着n 个集合时，考虑成包含关系的集合对的数量，我们证明，每次操作后，这个数量至少增加1．假设我们将,A B 变成A B 和A B ．首先,A B 不是包含关系，而A B 和A B 是包含关系，故这里至少增加了一对成包含关系的集合对．对于另一集合C ，若C 与,A B 之一成包含关系，由对称性不妨设A C ⊆，则A B C ⊆，即C 至少与A B 和A B 之一成包含关系；若C 与,A B 均成包含关系，则由,A B 不成包含关系知或者,A C B C ⊆⊆，或者,A C B C ⊇⊇，若为前者，则,A B C A B C ⊆⊆，若为后者，则,A B C A B C ⊇⊇．因此，在操作之后，其余成包含关系的集合对的数量不会减少，因此每次操作后，这个数量至少增加1．由于此数量最少为0，最多为2(1)2n n n C -=，故操作至多进行(1)2n n -次． 另一方面，我们给出操作次数达到(1)2n n -的例子．定义集合{,1,...,2}i A i i i n =++-，1,2,...,i n =，我们证明由12,,...,n A A A 出发，可以进行(1)2n n -次操作． 使用数学归纳法，当2n =时，12{1},{2}A A ==，可进行2(21)12⨯-=次操作．若结论对n 成立，考虑1n +的情况．先将1{1,2,...,}A n =与2{2,3,...,1}A n =+进行一次操作，得到的交集{2,3,...,}n 留下，并集继续与3{3,4,...,2}A n =+进行操作，得到的交集{3,4,...,1}n +留下，并集继续与4A 进行操作，依此类推．进行完n 次操作后，得到原来所有集合的并集{1,2,...,2}n 及另外n 个集合{2,3,...,}n ，{3,4,...,1}n +，……，{1,2,...,21}n n n ++-．下面仅考虑后n 个集合之间的操作．由于将所有元素都减1并不改变集合间的关系，故可考虑集合{1,2,...,1}n -，{2,3,...,}n ，……，{,1,...,22}n n n +-．而由归纳假设，这些集合之间可以操作2(1)2n n n C -=次，故原来的1n +个集合可以操作21(1)(1)22n n n n n n C +-++==次，即此结论对1n +也成立． 综上所述，操作次数的最大可能值为2(1)2n n n C -=．。