第一章3条件概率全概与逆概

n
且
P ( A i ) 0 ( i 1 , 2 , n ), 则对任一事件
P B
P A P B
i i1
Ai
证明：
A 1 , A 2 , , A n 是完备事件组

i1
n
Ai
Ai A j
(i j)
B B B ( A 1 A 2 A n ) BA 1 BA
例2 设某种动物由出生算起活到20年以上 的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上 的概率是多少？ 解：设A={能活20年以上}，B={能活25年以上} 所求为P(B|A) . 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4
P ( B | A) P ( AB) P ( A) P ( B) P ( A) 0.4 0.8 0.5
但在一些特殊情况下，
① 若BA,P(B/A) ≥P(B) ② 若AB, P(B/A) =1
③若 A ∩ B=, P(B/A) =0
( 4 ) P ( B | A ) 与 P ( AB )的异同： P ( B | A )中 A 作为条件； P ( AB )中 A 作为结果 .
且
P B A
A
AB B

注释： （1）理解好条件概率P(B｜A)与无条件概率P(A)的 主要不同，前者在压缩了的样本空间中考察
在古典概型中条件概率 的计算要注意： 中考虑， P ( B | A ) 是在压缩了的样本空间 P ( B ) 是在整个样本空间
( 2 ) 一般情况下，
中考虑
P ( B | A ) 与 P ( B ) 没有什么必然的联系。 可有一些特殊的关系：
二、乘法（定理）公式
对于两个事件A、B ， 若 P(A) > 0 , 则有： P(AB)= P(A)P(B|A) 若 P(B)>0, 则有：
P(AB)= P(B)P(A|B)
乘 法 公 式
概率的乘法公式可以推广到任意有限多事件 的情形。
例如：对于3个事件A1、A2 、A3 ，若 P(A1A2) > 0 , 则有： P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)
例5、波里亚罐子模型（传染病模型） 一个罐子中包含b个白球和r个红球.随机地抽取一个 球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的 球具有相同颜色的球.这种手续进行四次，试求第一、 二次取到白球且第三、四次取到红球的概率. 解: 设Wi={第i次取出是白球},
Rj ={第j次取出红球}, i, j=1,2,3,4 P(W1W2R3R4)
P ( A 2 ) P ( A1 B A 2 )
P ( B) P ( A 1 B ) P ( A 1 ) P ( B | A 1 ) 0.8 0.3 0.24
由概率的可加性：P(A)
其中： A 2 A 1 B A 2
1
由乘法定理
[ P ( A 2 ) P ( A 1 B A 2 )] P ( A 1 ) P ( B | A 1 ) P ( A 2 | A 1 B )
证： 因为: A1A2 A1 ， P(A1A2) > 0 而
所以： P(A1) P(A1A2) > 0
故有： P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2 )
P ( A1 )
P ( A1 A 2 ) P ( A1 )

P ( A1 A 2 A 3 ) P ( A1 A 2 )
P ( A1 A 2 A 3 )
即 P B
n
P A P B
i i1
Ai
注释(1): 用全概公式的关键是找到合适的完备事件组 我们把事件B看作某一过程的结果，
把 A1 , A2 , , An 看作该过程的若干个原 因，
根据历史资料，每一原因发生的概率已知，
即 P Ai 已知
P AB P A

P ( AB )
(A )
（5）条件概率符合概率定义的三个条件 ① ② ③
非负性：对任意事件
完备性： P A
B ，有 P B A 0
P ( A ) P ( A) P ( A) P ( A)
事件 B 1 ， B
n
1；
， ， n， B 两
(8) P ( B | A ) 1 P ( B | A )
( 9 ) P ( B C | A ) P ( B | A ) P ( C | A ) P ( BC | A ).
条件概率的计算 1) 用定义计算:
P ( B | A) P ( AB) P ( A) ,
P(A)>0
P ( B1 ) P ( A | B1 ) P ( B 2 ) P ( A | B 2 ) P ( B 3 ) P ( A | B 3 )
3 6 6 9 2 6 3 6 1 6 0 1 2
（乘法公式）
定理（全概率公式）P20
设事件 A 1 , A2 , , A n 为一个完备事件组，而 B有
一般地：
设 A1， A 2， ， A n 为 n 个随机事件，且
P A1 A 2 A n 1 0
则有
P A1 A 2 A n P A1 P A 2 A1 P A 3 A1 A 2 P A n A1 A 2 A n 1
设 B i { 取到第 i 类盒 }, i 1 , 2 , 3
显然 B 1 , B 2 , B 3 是完备的事件组，
A A A ( B 1 B 2 B 3 ) AB
P ( A ) P ( AB 1 AB
2
1
AB
2
AB
3
AB 3 )
P ( AB 1 ) P ( AB 2 ) P ( AB 3 ) （加法公式）
P A 3 6 1 2 ,
P B
5 6
,
P AB

1 3
P B A
2 3

P ( AB ) P ( A)
（给文氏图）
定义（P17） ：设A、B是某随机试验中的两个事 件，且 P A 0 则
P B A P AB P A

称为在事件A已发生的条件下事件B的条件概率， 简称为B在A之下的条件概率。
2)从加入条件后改变了的情况去算
例：B={掷出2点}， A={掷出偶数点}
掷骰子
P(B|A）=
A发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数
1 3
在缩减样本空间 中B所含样本点 个数
例1 一批产品100件，有80件正品，20件次品。其中甲 生产的产品为60件，有50件正品，余下的40件均为乙 生产。现从该批产品中任取一件，记A=―正品”， B=―甲生产的产品”，写出 P(A),P(B),P(AB),P(B|A),P(A|B)的值. 解：
三 全概率公式与逆概率公式（贝叶斯公式）
全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算 比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式 和乘法公式的综合运用. 综合运用
加法公式
A 1 , A 2 ,..., A n两两互斥 P ( Ai )
i1 n

i1
n
P ( Ai )
乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)>0
例3 假设在空战中，若甲机先向乙机开火，则击落 乙机的概率为0.2；若乙机未被击落，就进行还击， 击落甲机的概率为0.3；若甲机亦未被击落，则再次 进攻乙机，击落乙机的概率为0.4 ，在这几个回合中， 分别计算甲、乙被击落的概率。 解： 设A=―乙机被击落”， Ai =―乙机第i次被击落” i=1，2
可列可加性：如果随机 两互不相容， 则
P B n1
2
A
P B
n1

n
A
(6) P ( | A ) 0
( 7 ) 若 C B , 则 P ( C B | A ) P ( C | A ) P ( B | A )， 且 P (C | A ) P ( B | A )
1 全概率公式
完备事件组： P20 如果事件 A 1 , A 2 , , A n 两两
互不相容（互斥） , 且 A1 A 2 A n , . 则称这 n 个事件 A 1 , A 2 , , A n 为一个完备事件组
A1
A3


A2

An
引例（教材P19）： 有6盒粉笔，其中3盒中，每盒有3只白6只红，基作第 一类；另外2盒中，每盒有3只白3只红记作第二类； 还有1盒，有3只白没有红，记作第三类。现从这6盒 中任取一只粉笔，求取到红色粉笔的概率。 分析和解： 设A={取到红色粉笔}
0 .8 0 .7 0 .4 0 . 224

P ( A ) P ( A1 ) P ( A 2 )
0 . 2 0 . 224 0 . 424
因此，甲机与乙机被击
落的概率分别为
0.24 和 0.424.
例4 某地区一银行的贷款范围内，有甲、乙两家同类企 业。若其中任一家向该行申请贷款，则该行一年内的计 划贷款就会突破。设一年内甲申请贷款的概率为0.15， 乙申请贷款的概率为0. 2。当甲申请贷款后，乙也向该 行申请贷款的概率为0.3， 求（1）一年内该行计划贷款被突破的概率 ． （2）乙申请贷款后甲也向该行申请贷款的概率 解：设A={一年内甲申请贷款}，B={一年内乙申请贷款} P(B|A)=0.3 据题意有 P(A)=0.15 P(B)=0.2 （1）若一年内该行计划贷款总额被突破，则事件中至 少有一个发生，故所求概率为
BA 1 , BA 2 , , BA n 两两互斥
2
BA n
P ( B ) P ( BA 1 ) P ( BA 2 ) P ( BA n ) P ( A1 ) P ( B | A1 ) P ( A 2 ) P ( B | A 2 ) P ( A n ) P ( B | A n )
P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( AB ) P ( A ) P ( B ) P ( A ) P ( B | A )
= 0.15+ 0.2 –0.15×0.3=0.305
( 2) P ( A | B )
P ( AB ) P( B)

P ( A) P ( B / A) P ( B) 0.15 0.3 0.2 0.225
且
B=―甲机被击落”
A A 1 A 2 , A 1 与 A 2 互斥， 由已知 P ( A 1 ) 0.2 ，
P ( B | A 1 ) 0.3 ， P ( A 2 | A 1 B ) 0.4 ， 要求 P(B) 、 P(A)
注意到 B A 1 B
由条件概率：
P(A A 2 ) P ( A1 ) P ( A 2 )
bc rc
b个白球, r个红球
=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)
b r b r b r c b r 2c b r 3c
当 c>0 时，由于每次取出球后会增加 下一次也取到同色球的概率. 这是一个传染 病模型. 每次发现一个传染病患者，都会增 加再传染的概率.
第三节 条件概率 全概率公式与逆概率 公式
第一章
随机事件与概率
§1.3
条件概率 全概率公式和逆概率Leabharlann Baidu式
§1.3
条件概率 全概公式与逆概公式
本节要点： 条件概率 乘法公式 完备事件组 全概率公式 贝叶斯公式(逆概率公式)
一、条件概率 引例、掷一颗骰子，观察出现的点数，若已知 出现的是奇数点，求点数大于1的概率。 解：设A={ 出现奇数点 } B={ 出现的点数大于1 }
P ( A) 80 100 P ( AB )
P(A | B) P (B | A)
0 .8 , 50 100
P ( AB ) P (B ) P ( AB ) P ( A)
P (B ) 0 .5 ,
50 60 50 80
60 100
0 .6 ,
0 . 833 , 0 . 625 .