数学必修平面向量综合练习题

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(word完整版)高中数学必修4平面向量综合练习题

数学必修 4 平面向量综合练习题一、选择题【共 12 道小题】1、以下说法中正确的选项是 ()A. 两个单位向量的数量积为1B. 假设 a·b=a·c且 a≠0, 那么 b=cC.D. 假设 b⊥c, 那么(a+c) ·b=a·b参考答案与解析 : 解析： A 中两向量的夹角不确定 ;B 中假设 a⊥b,a ⊥c,b与 c 反方向那么不成立 ;C 中应为;D 中 b⊥c b·c=0, 所以 (a+c) ·b=a·b+c·b=a·b.答案： D主要考察知识点 : 向量、向量的运算2、设 e 是单位向量 ,=2e,=-2e,||=2, 那么四边形 ABCD是()A. 梯形B. 菱形C. 矩形D. 正方形参考答案与解析 : 解析：, 所以 ||=||,且 AB∥CD,所以四边形ABCD是平行四边形 .又因为 ||=||=2,所以四边形 ABCD是菱形 .答案： B主要考察知识点 : 向量、向量的运算3、 |a|=|b|=1，a 与 b 的夹角为90°, 且 c=2a+3b ，d=ka-4b, 假设 c⊥d, 那么实数 k 的值为 ()参考答案与解析 : 解析：∵ c⊥d, ∴c·d=(2a+3b) ·(ka-4b)=0, 即 2k- 12=0, ∴k=6.答案： A主要考察知识点 : 向量、向量的运算4、设 0≤θ＜ 2π, 两个向量=(cos θ， sin θ),=(2+sin θ， 2- cosθ) ，那么向量长度的最大值是 ()A. B. C.D.参考答案与解析 : 解析：=(2+sin θ - cosθ,2 - cosθ - sin θ),所以 ||=≤=.答案： C主要考察知识点 : 向量与向量运算的坐标表示5、设向量 a=(1,-3) ， b=(-2,4)， c=(-1,-2)，假设表示向量4a、 4b-2c 、 2(a-c)、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，那么向量 d 为 ()A.(2,6)B.(-2,6)C.(2,-6)D.(-2,-6)参考答案与解析: 解析：依题意,4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,答案： D主要考察知识点: 向量与向量运算的坐标表示6、向量a=(3 ， 4) ， b=(-3 ，1) ， a 与 b 的夹角为所以θ, 那么d=-6a+4b-4c=(-2 tan θ等于 (， -6).)A.参考答案与解析: 解析：由得a·b=3×(- 3)+4 ×1= -5 ， |a|=5 ， |b|=，所以 cosθ=.由于θ∈［ 0，π］ ,所以 sin θ=.所以 tan θ==-3.答案： D主要考察知识点: 向量与向量运算的坐标表示7、向量 a 与b 不共线,=a+kb,=la+b(k、l ∈R),且与共线 , 那么k、l 应满足() A.k+l=0 B.k-l=0 C.kl+1=0D.kl-1=0参考答案与解析:解析：因为与共线,所以设=λ( λ∈ R) ,即la+b= λ(a+kb)= λa+λkb, 所以(l- λ)a+(1 - λk)b=0.因为 a 与 b 不共线 , 所以 l- λ=0 且 1- λk=0, 消去λ得 1-lk=0,即kl-1=0.答案： D主要考察知识点: 向量、向量的运算8、平面内三点A(-1,0),B(5,6),P(3,4),且AP=λPB,那么λ 的值为()C. D.参考答案与解析: 解析：因为=λ, 所以 (4 ，4)= λ(2 ，2).所以λ=.答案： C主要考察知识点: 向量与向量运算的坐标表示9、设平面向量a1，a2，a3 的和 a1+a2+a3=0，如果平面向量时针旋转30°后与bi 同向，其中i=1 ， 2， 3，那么 ()b1，b2，b3满足 |bi|=2|ai|，且ai顺A.-b1+b2+b3=0 B.b1-b2+b3=0C.b1+b2-b3=0D.b1+b2+b3=0参考答案与解析: 解析：根据题意, 由向量的物理意义, 共点的向量模伸长为原来的 2 倍, 三个向量都顺时针旋转30°后合力为原来的 2 倍 , 原来的合力为零, 所以由 a1+a2+a3=0, 可得 b1+b2+b3=0.答案： D主要考察知识点: 向量、向量的运算10、设过点P(x ， y) 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A、 B两点，点Q与点 P 关于y 轴对称，O为坐标原点，假设, 且·=1, 那么P 点的轨迹方程是()A.3x2+y2=1(x ＞ 0,y ＞0)y2=1(x ＞ 0,y ＞ 0)C. x2-3y2=1(x ＞ 0,y ＞0)参考答案与解析 : 解析：设P(x,y),那么Q(-x,y).D.设x2+3y2=1(x ＞0,yA(xA),xA,B(0,yByB0,＞ 0)=(x,y-yB)=(xAx,-y).∵=2PA,∴x=2(xA,x),y -yB=2y,xA=x,yB=3y(x ＞0,y ＞ 0).又∵·=1,(- x,y) ·(-xA,yB)=1,∴(- x,y) ·(x,3y)=1,即x2+3y2=1(x ＞ 0,y ＞0).答案： D主要考察知识点: 向量、向量的运算11、△ ABC 中，点 D 在 BC边上，且，假设, 那么 r+s 的值是 ()A. C.D .-3参考答案与解析: 解析：△ ABC 中，== ()=-，故r+s=0.答案： B主要考察知识点: 向量、向量的运算12、定义 a※b=|a||b|sinθ，θ 是向量 a 和b 的夹角， |a|、|b|分别为a、b 的模，点A(-3,2)、B(2,3),O是坐标原点，那么※等于 ()参考答案与解析 : 解析：由题意可知=(-3,2),=(2,3),计算得·=- 3×2+2×3=0，另一方面·=||||cos θ，∴c osθ=0,又θ∈ (0,π) ，从而sin θ=1，∴※=||||sinθ=13.答案： D主要考察知识点: 向量与向量运算的坐标表示二、填空题【共 4 道小题】1、 a+b+c=0, 且 |a|=3,|b|=5,|c|=7,那么向量a 与参考答案与解析: 解析：由得a+b=-c, 两边平方得b 的夹角是 ____________.a2+2a·b+b2=c2,所以2a·b=72 -32-52=15.设a 与b 的夹角为θ,那么cosθ===,所以θ=60°.答案： 60°主要考察知识点: 向量、向量的运算2、假设=2e1+e2,=e1-3e2,=5e1+λe2, 且 B、 C、 D 三点共线 , 那么实数λ=___________.参考答案与解析: 解析：由可得=(e1-3e2)-(2e1+e2)=-e1-4e2,=(5e1+λe2) -(e1-3e2)=4e1+(λ+3)e2.由于 B、 C、 D 三点共线 , 所以存在实数m使得,即-e1-4e2=m ［4e1+(λ+3)e2］ . 所以 -1=4m 且 - 4=m(λ+3), 消去 m得λ=13.答案： 13主要考察知识点: 向量、向量的运算3、 e1、 e2 是夹角为60°的两个单位向量, 那么 a=2e1+e2 和 b=2e2-3e1 的夹角是 __________.参考答案与解析: 解析：运用夹角公式cosθ=，代入数据即可得到结果.答案： 120°。

高中数学必修4平面向量测试试卷典型例题(含详细答案)

高中数学平面向量组卷一．选择题（共18小题）1．已知向量与的夹角为θ，定义×为与的“向量积”，且×是一个向量，它的长度|×|=||||sinθ，若=（2，0），﹣=（1，﹣），则|×（+）|=（）A．4B．C．6D．22．已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•=（）A．﹣1 B．0C．1D．23．已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（）A．2B．C．0D．﹣4．向量，，且∥，则=（）A．B．C．D．5．如图，在△ABC中，BD=2DC．若，，则=（）A．B．C．D．6．若向量=（2cosα，﹣1），=（，tanα），且∥，则sinα=（）A．B．C．D．7．已知点A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），O（0，0），若，则的夹角为（）A．B．C．D．8．设向量=，=不共线，且|+|=1，|﹣|=3，则△OAB的形状是（）A．等边三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形9．已知点G是△ABC的重心，若A=，•=3，则||的最小值为（）A．B．C．D．210．如图，各棱长都为2的四面体ABCD中，=，=2，则向量•=（）A．﹣B．C．﹣D．11．已知函数f（x）=sin（2πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则（）•的值为（）A．B．C．1D．212．已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足(﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC的形状一定为（）A．等边三角形B．直角三角形C．钝三角形D．等腰三角形13．如图所示，设P为△ABC所在平面内的一点，并且=+，则△ABP与△ABC的面积之比等于（）A．B．C．D．14．在△ABC中，|AB|=3，|AC|=2，=，则直线AD通过△ABC的（）A．垂心B．外心C．重心D．内心15．在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则=（）A．B．C．D．16．已知空间向量满足，且的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A、B满足，，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．17．已知点P为△ABC内一点，且++3=，则△APB，△APC，△BPC的面积之比等于（）A．9：4：1 B．1：4：9 C．3：2：1 D．1：2：318．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则=（）A．2B．4C．5D．10二．解答题（共6小题）19．如图示，在△ABC中，若A，B两点坐标分别为（2，0），（﹣3，4）点C在AB上，且OC平分∠BOA．（1）求∠AOB的余弦值；（2）求点C的坐标．20．已知向量=（cosθ，sinθ）和．（1）若∥，求角θ的集合；（2）若，且|﹣|=，求的值．21．如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2﹣AC2=DB2﹣DC2．求证：AD⊥BC．22．已知向量，，其中A、B是△ABC 的内角，．（1）求tanA•tanB的值；（2）若a、b、c分别是角A、B、C的对边，当C最大时，求的值．23．已知向量且，函数f（x）=2（I）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（II）若，分别求tanx及的值．24．已知，函数f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的单调减区间；（3）当时，求函数f（x）的值域．高中数学平面向量组卷（2014年09月24日）参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．已知向量与的夹角为θ，定义×为与的“向量积”，且×是一个向量，它的长度|×|=||||sinθ，若=（2，0），﹣=（1，﹣），则|×（+）|=（）A．4B．C．6D．2考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用数量积运算和向量的夹角公式可得=．再利用平方关系可得，利用新定义即可得出．解答：解：由题意，则，∴=6，==2，=2．∴===．即，得，由定义知，故选：D．点评：本题考查了数量积运算、向量的夹角公式、三角函数的平方关系、新定义，考查了计算能力，属于基础题．2．已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•=（）A．﹣1 B．0C．1D．2考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由条件利用两个向量的数量积的定义，求得、的值，可得（2﹣）•的值．解答：解：由题意可得，=1×1×cos60°=，=1，∴（2﹣）•=2﹣=0，故选：B．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．3．已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（）A．2B．C．0D．﹣考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式，求得m的值．解答：解：由题意可得cos===，解得m=，故选：B．点评：本题主要考查两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．4．向量，，且∥，则=（）A．B．C．D．考点：平行向量与共线向量；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用．专题：计算题；三角函数的求值．分析：根据向量平行的条件建立关于α的等式，利用同角三角函数的基本关系与诱导公式，化简即可得到的值．解答：解：∵，，且∥，∴，即，得sinα=，由此可得=﹣sinα=．故选：B点评：本题给出向量含有三角函数的坐标式，在向量互相平行的情况下求的值．着重考查了同角三角函数的基本关系、诱导公式和向量平行的条件等知识，属于基础题．5．如图，在△ABC中，BD=2DC．若，，则=（）A．B．C．D．考点：向量的加法及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得=，而，，代入化简可得答案．解答：解：由题意可得=====故选C点评：本题考查平面向量的加法及其几何意义，涉及向量的数乘，属基础题．6．若向量=（2cosα，﹣1），=（，tanα），且∥，则sinα=（）A．B．C．D．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：直接由向量共线的坐标表示列式计算．解答：解：∵向量=（2cosα，﹣1），=（，tanα），且∥，则2cosα•tanα﹣（﹣1）×=0，即2sinα=．∴．故选：B．点评：共线问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2=0，∥⇔a1b2﹣a2b1=0．是基础题．7．已知点A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），O（0，0），若，则的夹角为（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题．分析：根据题意求出的坐标，再由它的模求出角α，进而求出点C的坐标，利用数量积的坐标表示求出和夹角的余弦值，再求出夹角的度数．解答：解：∵A（3，0），C（cosα，sinα），O（0，0），∴=（3+cosα，sinα），∵，∴（3+cosα）2+sin2α=13，解得，cosα=，则α=，即C（，），∴和夹角的余弦值是==，∴和的夹角是．故选：D．点评：本题考查向量线性运算的坐标运算，以及数量积坐标表示的应用，利用向量坐标形式进行运算求出对应向量的模，以及它们的夹角的余弦值，进而结合夹角的范围求出夹角的大小．8．设向量=，=不共线，且|+|=1，|﹣|=3，则△OAB的形状是（）A．等边三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：对|+|=1，|﹣|=3分别平方并作差可得，由其符号可判断∠AOB为钝角，得到答案．解答：解：由|+|=1，得=1，即①，由|﹣|=3，得，即②，①﹣②得，4=﹣8，解得＜0，∴∠AOB为钝角，△OAB为钝角三角形，故选：D．点评：本题考查平面向量数量积运算，属基础题．9．已知点G是△ABC的重心，若A=，•=3，则||的最小值为（）A．B．C．D．2考点：平面向量数量积的运算．专题：不等式的解法及应用；平面向量及应用．分析：由A=，•=3，可求得=6，由点G是△ABC的重心，得=，利用不等式则||2==（+6）≥，代入数值可得．解答：解：∵A=，•=3，∴=3，即=6，∵点G是△ABC的重心，∴=，∴||2==（+6）≥==2，∴||≥，当且仅当=时取等号，∴||的最小值为，故选B．点评：本题考查平面向量数量积的运算、不等式求最值，注意不等式求最值时适用的条件．10．如图，各棱长都为2的四面体ABCD中，=，=2，则向量•=（）A．﹣B．C．﹣D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由向量的运算可得=（），=，由数量积的定义可得．解答：解：∵=，=2，∴=（），=，∴=====，∴•=（）•（）===故选：B点评：本题考查向量数量积的运算，用已知向量表示未知向量是解决问题的关键，属中档题．11．已知函数f（x）=sin（2πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则（）•的值为（）A．B．C．1D．2考点：平面向量数量积的运算；正弦函数的图象；正弦函数的定义域和值域．专题：平面向量及应用．分析：根据三角函数的图象和性质，求出函数的周期，利用向量的基本运算和向量的数量积定义即可得到结论．解答：解：∵函数f（x）=sin（2πx+φ）的周期T=，则BC=，则C点是一个对称中心，则根据向量的平行四边形法则可知：=2•∴（）•==2×=．点评：本题主要考查向量的数量积运算，利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键．12．已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足(﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC的形状一定为（）A．等边三角形B．直角三角形C．钝三角形D．等腰三角形考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的三角形法则和平行四边形法则、向量垂直于数量积的关系即可得出．解答：解：∵，=，（﹣）•（+﹣2）=0，∴=0．而一定经过边AB的中点，∴垂直平分边AB，即△ABC的形状一定为等腰三角形．点评：本题考查了向量的三角形法则和平行四边形法则、向量垂直于数量积的关系、等腰三角形的定义，考查了推理能力，属于难题．13．如图所示，设P为△ABC所在平面内的一点，并且=+，则△ABP与△ABC的面积之比等于（）A．B．C．D．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：本题考查的知识点是向量在几何中的应用，及三角形面积的性质，由△ABP与△ABC为同底不等高的三角形，故高之比即为两个三角面积之间，连接CP并延长后，我们易得到CP与CD长度的关系，进行得到△ABP 的面积与△ABC面积之比．解答：解：连接CP并延长交AB于D，∵P、C、D三点共线，∴=λ+μ，且λ+μ=1设=k，结合=+，得=+由平面向量基本定理解之，得λ=，k=3且μ=，∴=+，可得=，∵△ABP的面积与△ABC有相同的底边AB高的比等于||与||之比∴△ABP的面积与△ABC面积之比为，故选：C点评：三角形面积性质：同（等）底同（等）高的三角形面积相等；同（等）底三角形面积这比等于高之比；同（等）高三角形面积之比等于底之比．14．在△ABC中，|AB|=3，|AC|=2，=，则直线AD通过△ABC的（）A．垂心B．外心C．重心D．内心考点：向量在几何中的应用．专题：综合题；平面向量及应用．分析：首先根据已知条件可知||=||=，又因为=，设=，=，由向量加法的平行四边形法则可知四边形AEDF为菱形，从而可确定直线AD通过△ABC的内心．解答：解：∵|AB|=3，|AC|=2 ∴||=||=．设=，=，则||=||，∴==+．由向量加法的平行四边形法则可知，四边形AEDF为菱形．∴AD为菱形的对角线，∴AD平分∠EAF．∴直线AD通过△ABC的内心．故选：D．点评：本题考查向量加法的平行四边形法则及其几何意义，属于中档题．15．在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则=（）A．B．C．D．考点：向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：先判定三角形形状，然后建立直角坐标系，分别求出，向量的坐标，代入向量数量积的运算公式，即可求出答案．解答：解：∵在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，∴根据余弦定理可知BC=由AB=2，AC=1，BC=满足勾股定理可知∠BCA=90°以C为坐标原点，CA、CB方向为x，y轴正方向建立坐标系∵AC=1，BC=，则C（0，0），A（1，0），B（0，）又∵E，F分别是Rt△ABC中BC上的两个三等分点，则E（0，），F（0，）则=（﹣1，），=（﹣1，）∴=1+=故选A．点评：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，其中建立坐标系，将向量数量积的运算坐标化可以简化本题的解答过程．16．已知空间向量满足，且的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A、B满足，，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算；三角形的面积公式．专题：平面向量及应用．分析：由向量的运算可得，，以及，代入夹角公式可得cos∠BOA，由平方关系可得sin∠BOA，代入三角形的面积公式S=，计算可得．解答：解：由题意可得====，同理可得====，而=（）•（）==6×12﹣12=，故cos∠BOA===，可得sin∠BOA==，所以△OAB的面积S===．故选B点评：本题考查平面向量的数量积和三角形面积的求解，熟练掌握公式是解决问题的关键，属中档题．17．已知点P为△ABC内一点，且++3=，则△APB，△APC，△BPC的面积之比等于（）A．9：4：1 B．1：4：9 C．3：2：1 D．1：2：3考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：先将已知向量式化为两个向量共线的形式，再利用平行四边形法则及向量数乘运算的几何意义，三角形面积公式确定面积之比解答：解：∵++3=，∴+=﹣+），如图：∵，∴∴F、P、G三点共线，且PF=2PG，GF为三角形ABC的中位线∴====2而S△APB=S△ABC∴△APB，△APC，△BPC的面积之比等于3：2：1故选C点评：本题考查了向量式的化简，向量加法的平行四边形法则，向量数乘运算的几何意义等向量知识，充分利用向量共线是解决本题的关键18．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则=（）A ．2 B ．4 C ．5 D ．10 考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；综合题．分析：以D 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立坐标系，由题意得以AB 为直径的圆必定经过C 点，因此设AB=2r ，∠CDB=α，得到A 、B 、C 和P 各点的坐标，运用两点的距离公式求出|PA|2+|PB|2和|PC|2的值，即可求出的值．解答：解：以D 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图坐标系，∵AB 是Rt △ABC 的斜边，∴以AB 为直径的圆必定经过C 点设AB=2r ，∠CDB=α，则A （﹣r ，0），B （r ，0），C （rcos α，rsin α） ∵点P 为线段CD 的中点，∴P （rcos α，rsin α） ∴|PA|2=+=+r 2cos α， |PB|2=+=﹣r 2cos α，可得|PA|2+|PB|2=r 2又∵点P 为线段CD 的中点，CD=r∴|PC|2==r 2所以：==10 故选D点评：本题给出直角三角形ABC 斜边AB 上中线AD 的中点P ，求P 到A 、B 距离的平方和与PC 平方的比值，着重考查了用解析法解决平面几何问题的知识点，属于中档题．二．解答题（共6小题）19．如图示，在△ABC 中，若A ，B 两点坐标分别为（2，0），（﹣3，4）点C 在AB 上，且OC 平分∠BOA ．（1）求∠AOB的余弦值；（2）求点C的坐标．考点：向量在几何中的应用．专题：综合题．分析：（1）由题意可得，把已知代入可求（2）设点C（x，y），由OC平分∠BOA可得cos∠AOC=cos∠BOC即=；再由点C在AB即共线，建立关于x，y的关系，可求解答：解：（1）由题意可得，，∴==（2）设点C（x，y），由OC平分∠BOA可得cos∠AOC=cos∠BOC∵，∴=∴，∴y=2x①又点C在AB即共线，∴4x+5y﹣8=0②由①②解得，∴点C的坐标为点评：本题注意考查了向量的夹角公式的坐标表示的应用，向量共线的坐标表示在三角形中的应用，解题的关键是借助于已知图象中的条件，灵活的应用向量的基本知识．20．已知向量=（cosθ，sinθ）和．（1）若∥，求角θ的集合；（2）若，且|﹣|=，求的值．考点：平面向量的坐标运算．专题：计算题．分析：（1）由题意和共线向量的等价条件，列出关于角θ的方程，求出θ的一个三角函数值，再根据三角函数求出角θ的集合．（2）由题意先求出﹣的坐标，根据此向量的长度和向量长度的坐标表示，列出方程求出cos（θ﹣），由余弦的二倍角公式和θ的范围求出的值．解答：解：（1）由题意知∥，则cosθ×cosθ﹣sinθ×（﹣sinθ）=0，∴sinθ=1，sinθ=，∴角θ的集合={θ|θ=+2kπ或θ=+2kπ，k∈Z}；（2）由题意得，﹣=（cosθ﹣+sinθ，sinθ﹣cosθ），∴|﹣|===2=，即cos（θ﹣）=，由余弦的二倍角公式得，=①，∵，∴＜＜，∴＜﹣＜，即cos（﹣）＜0，∴由①得cos（﹣）=﹣．点评：本题考查了共线向量的坐标表示和向量长度的坐标表示，利用两角正弦（余弦）和差公式和二倍角公式进行变形求解，注意由已知条件求出所求角的范围，来确定所求三角函数值的符号．21．如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2﹣AC2=DB2﹣DC2．求证：AD⊥BC．专题：计算题；证明题；平面向量及应用．分析：设=，=，=，=，=，将=+、=+代入2﹣2的式子，化简整理2﹣2=2+2•﹣2•﹣2，结合题意2﹣2=2﹣2化简，可得•（﹣）=0，再结合向量的加减法法则得到•=0，由此结合数量积的性质即可得到AD⊥BC．解答：解：设=，=，=，=，=，则=+，=+．∴2﹣2=（+）2﹣（+）2=2+2•﹣2•﹣2．∵由已知AB2﹣AC2=DB2﹣DC2，得2﹣2=2﹣2，∴2+2•﹣2•﹣2=2﹣2，即•（﹣）=0．∵=+=﹣，∴•=•（﹣）=0，因此，可得⊥，即AD⊥BC．点评：本题给出三角形ABC内满足平方关系的点D，求证AD⊥BC．着重考查了平面向量的加减法则、向量的数量积及其运算性质等知识，属于中档题．22．已知向量，，其中A、B是△ABC的内角，．（1）求tanA•tanB的值；（2）若a、b、c分别是角A、B、C的对边，当C最大时，求的值．专题：计算题．分析：（1）根据推断出=0，利用向量的数量积运算结合二倍角公式求得tanA•tanB；（2）由于tanA•tanB=＞0，利用基本不等式得出当且仅当时，c取得最大值，再利用同角公式求出sinC，sinA，最后由正弦定理求的值．解答：解：（Ⅰ）由题意得=0 即，﹣5cos（A+B）+4cos（A﹣B）=0cosAcosB=9sinAsinB∴tanA•tanB=．（2）由于tanA•tanB=＞0，且A、B是△ABC的内角，∴tanA＞0，tanB＞0∴=﹣当且仅当取等号．∴c为最大边时，有，tanC=﹣，∴sinC=，sinA=由正弦定理得：=．点评：本题是中档题，考查三角函数的化简与求值，正弦定理的应用，基本不等式的知识，是一道综合题，考查学生分析问题解决问题的能力，公式的熟练程度决定学生的能力的高低．23．已知向量且，函数f（x）=2（I）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（II）若，分别求tanx及的值．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；复合三角函数的单调性．专题：平面向量及应用．分析：（I）化简函数f（x）=2=2sin（2x+），可得函数的周期，令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可得到函数的单调递增区间．（II）由，求得tanx=，再由==，运算求得结果．解答：（I）解：函数f（x）=2=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），故函数的周期为=π，令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．（II）解：若，则sinx=cosx，即tanx=．∴====﹣．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的增区间，三角函数的周期性和求法，属于中档题．24．已知，函数f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的单调减区间；（3）当时，求函数f（x）的值域．考点：平面向量的综合题；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性．专题：综合题．分析：（1）根据向量的数量积公式，结合二倍角公式、辅助角公式化简函数，利用周期公式，可求函数f（x）的最小正周期；（2）由2kπ+≤2x+≤2kπ+得kπ+≤x≤kπ+，从而可得f（x）的单调减区间；（3）由，可得，从而可求函数f（x）的值域．解答：解：（1）∵，，∴函数f（x）==5sinxcosx+sin2x+6cos2x===5sin（2x+）+∴f（x）的最小正周期；（2）由2kπ+≤2x+≤2kπ+得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z∴f（x）的单调减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）（3）∵∴∴∴1≤f（x）≤即f（x）的值域为[1，]．点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查函数的单调性与值域，化简函数是关键．。

新版高中数学必修二：6.1平面向量的概念——精选题目练习

6.1平面向量的概念——精选题目练习1．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等；④与非零向量a 共线的单位向量是a|a|. A ．3 B ．2 C ．1D ．02．下列说法正确的是( )A ．若a 与b 平行，b 与c 平行，则a 与c 一定平行B ．终点相同的两个向量不共线C ．若|a|>|b|，则a>bD ．单位向量的长度为13．如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是( )A.AB→＝OC → B.AB →∥DE → C ．|AD→|＝|BE →| D.AD→＝FC → 4．设O 是△ABC 的外心，则AO →，BO →，CO →是( )A ．相等向量B ．模相等的向量C ．平行向量D ．起点相同的向量5．若a 是任一非零向量，b 是单位向量，下列各式：①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1；⑤a|a |＝b ，其中正确的有( )A ．①④⑤B ．③C ．①②③⑤D ．②③⑤6．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________．7．如果在一个边长为5的正△ABC 中，一个向量所对应的有向线段为AD →(其中D 在边BC 上运动)，则向量AD→长度的最小值为________． 8．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________．9.在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AD ，BC 的中点，如图．(1)在每两点所确定的向量中，写出与向量FC →共线的向量；(2)求证：BE→＝FD →. 10．已知在四边形ABCD 中，AB →∥CD →，求AD →与BC →分别满足什么条件时，四边形ABCD 满足下列情况．(1)四边形ABCD 是等腰梯形； (2)四边形ABCD 是平行四边形．答案：DDDBB 2 532 0⃗ 9.(1)由共线向量满足的条件得与向量FC →共线的向量有：CF →，BC →，CB →，BF →，FB→，ED →，DE →，AE →，EA →，AD →，DA →. 在▱ABCD 中，AD //BC 且.AD =BC 又E ，F 分别为AD ，BC 的中点，所以ED //BF ，ED =BF所以四边形BFDE 是平行四边形，所以BE //FD ，BE =FD 所以BE→＝FD →.10.解：(1)|AD →|＝|BC →|，且AD →与BC →不平行．因为AB→∥CD →，所以四边形ABCD 为梯形或平行四边形．若四边形ABCD 为等腰梯形，则|AD→|＝|BC →|，同时两向量不平行．(2)AD→＝BC →(或AD →∥BC →)．若AD →＝BC →，即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形ABCD 为平行四边形．。

高一数学必修四第二章平面向量测试题及答案

一、选择题: (本大题共10小题,每题4分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.)1．设点P 〔3，-6〕，Q 〔-5，2〕，R 的纵坐标为-9，且P 、Q 、R 三点共线，那么R 点的横坐标为〔〕。

A 、-9B 、-6C 、9D 、62． =(2,3), b =(-4,7)，那么在b 上的投影为〔〕。

A 、B 、C 、D 、 3．设点A 〔1，2〕，B 〔3，5〕，将向量按向量 =〔-1，-1〕平移后得向量为〔〕。

A 、〔2，3〕 B 、〔1，2〕 C 、〔3，4〕 D 、〔4，7〕4．假设(a+b+c)(b+c -a)=3bc ，且sinA=sinBcosC ，那么ΔABC 是〔〕。

A 、直角三角形B 、等边三角形C 、等腰三角形D 、等腰直角三角形5．| |=4, |b |=3, 与b 的夹角为60°，那么| +b |等于〔〕。

A 、B 、C 、D 、6．O 、A 、B 为平面上三点，点C 分有向线段所成的比为2，那么〔〕。

A 、B 、C 、D 、7．O 是ΔABC 所在平面上一点，且满意条件，那么点O 是ΔABC 的〔〕。

A 、重心B 、垂心C 、内心D 、外心8．设、b 、均为平面内随意非零向量且互不共线，那么以下4个命题： (1)( ·b )2= 2·b 2 (2)| +b |≥| -b | (3)| +b |2=( +b )2(4)(b ) -( a )b 与不肯定垂直。

其中真命题的个数是〔〕。

A 、1B 、2C 、3D 、49．在ΔABC 中，A=60°，b=1，，那么等于〔〕。

A 、B 、C 、D 、10．设、b 不共线，那么关于x 的方程 x 2+b x+ =0的解的状况是〔〕。

A 、至少有一个实数解B 、至多只有一个实数解C 、至多有两个实数解D 、可能有多数个实数解二、填空题：〔本大题共4小题，每题4分，总分值16分.〕.11．在等腰直角三角形ABC 中，斜边AC=22，那么CA AB =_________12．ABCDEF为正六边形，且AC=a，AD=b，那么用a，b表示AB为______.13．有一两岸平行的河流，水速为1，速度为的小船要从河的一边驶向对岸，为使所行路程最短，小船应朝________方向行驶。

数学4(必修)第二章平面向量练习题A

（数学4必修）第二章平面向量练习题A[基础训练A 组] 一、选择题1．化简AC - BD + CD - AB得（）A ．AB B ．C ．D ．0 2．设00,a b 分别是与,a b向的单位向量，则下列结论中正确的是（）A ．00a b =B ．001a b ⋅=C ．00||||2a b +=D ．00||2a b +=3．已知下列命题中：（1）若k R ∈，且0kb = ，则0k =或0b =，（2）若0a b ⋅= ，则0a = 或0b =（3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-⋅+b a b a（4）若a 与b 平行，则||||a b a b =⋅其中真命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．34．下列命题中正确的是（）A ．若a ⋅b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若a ⋅b ＝0，则a ∥bC ．若a ∥b ，则a 在b 上的投影为|a|D ．若a ⊥b ，则a ⋅b ＝(a ⋅b)25．已知平面向量(3,1)a = ，(,3)b x =- ，且a b ⊥，则x =（）A ．3-B ．1-C ．1D ．36．已知向量)sin ,(cos θθ=a ,向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别是（）A ．0,24B ．24,4C ．16,0D ．4,0二、填空题1．若=)8,2(，=)2,7(-，则31=_________2．平面向量,a b 中，若(4,3)a =-=1，且5a b ⋅= ，则向量=____。

3．若3a = ,2b = ，且与的夹角为060，则a b -= 。

4．把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是___________。

5．已知)1,2(=a与)2,1(=b ，要使b t a +最小，则实数t 的值为___________。

三、解答题1．如图，ABCD 中，,E F 分别是,BC DC 的中点，G 为交点，若AB =a，=b ，试以a ，b 为基底表示DE 、BF 、CG ．2．已知向量 a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=- ,求向量a 的模。

新教材高中数学第2章平面向量及其应用综合检测题北师大版必修第二册

第二章综合检测题考试时间120分钟,满分150分．一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中正确的是( D ) A ．OA →－OB →＝AB → B ．AB →＋BA →＝0 C ．0·AB →＝0D ．AB →＋BC →＋CD →＝AD →[解析] 起点相同的向量相减,则取终点,并指向被减向量,OA →－OB →＝BA →；AB →,BA →是一对相反向量,它们的和应该为零向量,AB →＋BA →＝0；0·AB →＝0.2.如右图,a －b 等于( C )A ．2e 1－4e 2B ．－4e 1－2e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2[解析] a －b ＝e 1－3e 2.3．设O ,A ,M ,B 为平面上四点,OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →,且λ∈(1,2),则( B ) A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上 D ．O ,A ,B ,M 四点共线[解析] OM →＝λOB →＋OA →－λOA →,所以OM →－OA →＝λ(OB →－OA →),AM →＝λAB →,由λ∈(1,2)可知,A ,B ,M 三点共线,且B 在线段AM 上．4．已知a 、b 、c 分别是△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边,b ＝7,c ＝3,B ＝π6,那么a 等于( C )A ．1B ．2C ．4D ．1或4[解析] 在△ABC 中,b ＝7,c ＝3,cos B ＝32,由余弦定理有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ,即7＝a 2＋3－3a ,解得a ＝4或a ＝－1(舍去)．故a 的值为4.5．已知向量a ＝(1,2),b ＝(－2,3),c ＝(4,5),若(a ＋λb )⊥c ,则实数λ＝( C ) A ．－12B ．12C ．－2D ．2[解析] a ＋λb ＝(1,2)＋(－2λ,3λ) ＝(1－2λ,2＋3λ),由(a ＋λb )⊥c ,可得(1－2λ)×4＋(2＋3λ)×5＝0,解得λ＝－2.6．在△ABC 中,已知sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ,且满足ab ＝4,则该三角形的面积为(D )A ．1B ．2C ． 2D ． 3[解析] 由sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ,得a 2＋b 2－ab ＝c 2,cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12.∵C ∈(0°,180°),∴C ＝60°. ∴sin C ＝32,∴S △ABC ＝12ab sin C ＝ 3. 7．在△ABC 中,B ＝60°,C ＝45°,BC ＝8,D 为BC 上一点,且BD →＝3－12BC →,则AD 的长为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 75°＝6＋24( C )A ．4(3－1)B ．4(3＋1)C ．4(3－3)D ．4(3＋3)[解析] 由题意知∠BAC ＝75°,根据正弦定理,得AB ＝BC sin 45°sin 75°＝8(3－1),因为BD →＝3－12BC →,所以BD ＝3－12BC ．又BC ＝8,所以BD ＝4(3－1)．在△ABD 中,AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos 60° ＝4(3－3)．故选C ．8.如图所示,半圆的直径AB ＝4,O 为圆心,C 是半圆上不同于A ,B 的任意一点,若P 为半径OC 上的动点,则(PA →＋PB →)·PC →的最小值是( D )A ．2B ．0C ．－1D ．－2[解析] 由平行四边形法则得PA →＋PB →＝2PO →,故(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →,又|PC →|＝2－|PO →|,且PO →,PC →反向,设|PO →|＝t (0≤t ≤2),则(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2t (2－t )＝2(t 2－2t )＝2[(t －1)2－1]．∵0≤t ≤2,∴当t ＝1时,(PA →＋PB →)·PC →取得最小值－2,故选D ．二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的四个选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)9．设向量a ,b 满足：|a |＝3,|b |＝4,a ·b ＝0,以a ,b ,a －b 的模为边长构成三角形,则它的边与半径为1的圆的公共点个数可以是( ABC )A ．0或1B ．2或3C ．4D ．6[解析] 由题意可知该三角形为直角三角形,其内切圆半径恰好为1,它与半径为1的圆的公共点个数可能为0个,1个,2个,3个,4个,故选ABC ．10．已知m ,n 是实数,a ,b 是向量,则下列命题中正确的为( AB ) A ．m (a －b )＝m a －m b B ．(m －n )a ＝m a －n a C ．若m a ＝m b ,则a ＝bD ．若m a ＝n a ,则m ＝n[解析] 对于A 和B 属于数乘对向量与实数的分配律,正确；对于C,若m ＝0,则不能推出a ＝b ,错误；对于D,若a ＝0,则m ,n 没有关系,错误．故选AB ．11．对于△ABC ,有如下命题,其中正确的有( ACD ) A ．若sin 2A ＝sin 2B ,则△ABC 为等腰三角形 B ．若sin A ＝cos B ,则△ABC 为直角三角形 C ．若sin 2A ＋sin 2B ＋cos 2C <1,则△ABC 为钝角三角形D ．若AB ＝3,AC ＝1,B ＝30°,则△ABC 的面积为34或 32[解析] 对于A,sin 2A ＝sin 2B ,∴A ＝B ⇒△ABC 是等腰三角形；对于B,由sin A ＝cos B ,∴A －B ＝π2或A ＋B ＝π2.∴△ABC 不一定是直角三角形,B 错误；对于C,sin 2A ＋sin 2B <1－cos 2C＝sin 2C ,∴a 2＋b 2<c 2,∴△ABC 为钝角三角形,C 正确；对于D,如图所示,由正弦定理,得sin C ＝c ·sin B b ＝32.而c >b ,∴C ＝60°或C ＝120°,∴A ＝90°或A ＝30°,∴S △ABC ＝12bc sin A ＝32或34,D 正确．故选ACD ．12．给出下列四个命题,其中正确的选项有( ABC )A ．非零向量a ,b 满足|a |＝|b |＝|a －b |,则a 与a ＋b 的夹角是30°B ．若(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0,则△ABC 为等腰三角形C ．若单位向量a ,b 的夹角为120°,则当|2a ＋x b |(x ∈R )取最小值时x ＝1D ．若OA →＝(3,－4),OB →＝(6,－3),OC →＝(5－m ,－3－m ),∠ABC 为锐角,则实数m 的取值范围是m >－34[解析]A 中,令OA →＝a ,OB →＝b .以OA →,OB →为邻边作平行四边形OACB ． ∵|a |＝|b |＝|a －b |,∴四边形OACB 为菱形,∠AOB ＝60°,∠AOC ＝30°,即a 与a ＋b 的夹角是30°,故A 正确；B 中,∵(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0,∴|AB →|2＝|AC →|2,故△ABC 为等腰三角形,故B 正确；C 中,∵(2a ＋x b )2＝4a 2＋4x a ·b ＋x 2b 2＝4＋4x cos 120°＋x 2＝x 2－2x ＋4＝(x －1)2＋3,故|2a ＋x b |取最小值时x ＝1．故C 正确；D 中,∵BA →＝OA →－OB →＝(3,－4)－(6,－3)＝(－3,－1),BC →＝OC →－OB →＝(5－m ,－3－m )－(6,－3)＝(－1－m ,－m ),又∠ABC 为锐角,∴BA →·BC →>0,即3＋3m ＋m >0,∴m >－34.又当BA →与BC →同向共线时,m ＝12,故当∠ABC 为锐角时,m 的取值范围是m >－34且m ≠12,故D 不正确．故选ABC ．三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13．已知a ,b 为单位向量,且a ·b ＝0,若c ＝2a －5b ,则cos 〈a ,c 〉＝ 23.[解析] 由题意,得cos 〈a ,c 〉＝a ·2a －5b|a |·|2a －5b |＝2a 2－5a ·b|a |·|2a －5b |2＝21×4＋5＝23. 14．设向量a ,b ,c 满足a ＋b ＋c ＝0,(a －b )⊥c ,a ⊥b ,若|a|＝1,则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是 4 .[解析] 由于a ⊥b ,由此画出以a ,b 为邻边的矩形ABCD ,如图所示,其中,AD →＝a ,AB →＝b ,∵a ＋b ＋c ＝0,∴CA →＝c ,BD →＝a －b .∵(a －b )⊥c ,∴矩形的两条对角线互相垂直,则四边形ABCD 为正方形． ∴|a |＝|b |＝1,|c |＝2,|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.15．在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若a ＝7,b ＝2,A ＝60°,则sin B ＝ 217,c ＝ 3 . [解析] 由正弦定理,得a sin A ＝b sin B ,∴7sin 60°＝2sin B ,得sin B ＝217,由余弦定理,得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4＋c 2－74c ＝12,解得c ＝3.16．在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知(a ＋b －c )·(a ＋b ＋c )＝3ab ,且c ＝4,则△ABC 面积的最大值为 4 3 .[解析] (a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋2ab ＋b 2－c 2＝3ab ,∴a 2＋b 2－c 2＝ab . 又∵a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C , ∴2ab cos C ＝ab ,∴cos C ＝12,∵C ∈(0,π),∴C ＝π3.由余弦定理,得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ,∴16＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ≥2ab －ab ＝ab ,∴ab ≤16.∴△ABC 面积的最大值S ＝12ab sin C ≤12×16×sin π3＝4 3.四、解答题(本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知向量a ,b 满足b ＝(1,3),a ·b ＝4,(a －2b )⊥a . (1)求向量a 与b 的夹角； (2)求|2a －b |的值；(3)若向量c ＝3a －4b ,d ＝m a ＋b ,c ∥d ,求m 的值．[解析] (1)因为(a －2b )⊥a ,所以(a －2b )·a ＝0,|a |2＝8,即|a |＝2 2.设向量a 与b 的夹角为θ,则cos θ＝b ·a |b ||a |＝22,又θ∈[0,π],所以θ＝π4.(2)由向量模的计算公式|a |＝a ·a ,得|2a －b |＝2a －b2＝4|a |2－4a ·b ＋|b |2＝32－16＋4＝2 5.(3)因为c ∥d ,所以c ＝λd ,设3a －4b ＝λ(m a ＋b ),则⎩⎪⎨⎪⎧3＝λm ，－4＝λ，解得m ＝－34.18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,已知点A (－1,－2),B (2,3),C (－2,－1)．(1)求以线段AB ,AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0,求t 的值． [解析] (1)AB →＝(3,5),AC →＝(－1,1),求两条对角线的长即求|AB →＋AC →|与|AB →－AC →|的大小．由AB →＋AC →＝(2,6),得|AB →＋AC →|＝210,由AB →－AC →＝(4,4),得|AB →－AC →|＝4 2.∴以线段AB ,AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别为210和4 2. (2)OC →＝(－2,－1),∵(AB →－tOC →)·OC →＝AB →·OC →－tOC →2, 易求AB →·OC →＝－11,OC →2＝5, ∴由(AB →－tOC →)·OC →＝0得t ＝－115.19．(本小题满分12分)(2021·新高考全国卷Ⅰ)记△ABC 内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知b 2＝ac ,点D 在边AC 上,BD sin ∠ABC ＝a sin C ．(1)证明：BD ＝b ；(2)若AD ＝2DC ,求cos ∠ABC ．[解析] (1)由BD sin ∠ABC ＝a sin C 得,BD ＝a sin C sin ∠ABC ,在△ABC 中由正弦定理知：csin C＝bsin ∠ABC ,即sin C sin ∠ABC ＝cb,∴BD ＝acb,又b 2＝ac ,∴BD ＝b . (2)由题意知：BD ＝b ,AD ＝2b 3,DC ＝b3,∴cos ∠ADB ＝b 2＋4b 29－c 22b ·2b 3＝13b 29－c 24b 23,同理cos ∠BDC ＝b 2＋b 29－a 22b ·b 3＝10b 29－a22b 23, ∵∠ADB ＝π－∠CDB ,∴cos ∠ADB ＝－cos ∠BDC ,即13b 29－c 24b 23＝a 2－10b 292b 23, 整理得2a 2＋c 2＝11b 23,又b 2＝ac ,∴2a 2＋b 4a 2＝11b 23,整理得6a 4－11a 2b 2＋3b 4＝0,解得a 2b 2＝13或a 2b 2＝32,在由余弦定理知：cos ∠ABC ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝43－a 22b 2,当a 2b 2＝13时,cos ∠ABC ＝76>1不合题意；当a 2b 2＝32时,cos ∠ABC ＝712；综上,cos ∠ABC ＝712.20．(本小题满分12分)△ABC 是等腰直角三角形,∠B ＝90°,D 是边BC 的中点,BE ⊥AD ,垂足为E ,延长BE 交AC 于F ,连接DF ,求证：∠ADB ＝∠FDC ．[解析] 如图,以B 为原点,BC 所在直线为x 轴建立直角坐标系,设A (0,2),C (2,0),则D (1,0),AC →＝(2,－2)．设AF →＝λAC →,则BF →＝BA →＋AF →＝(0,2)＋(2λ,－2λ)＝(2λ,2－2λ)．又DA →＝(－1,2),BF →⊥DA →, ∴BF →·DA →＝0,∴－2λ＋2(2－2λ)＝0, ∴λ＝23.∴BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23,DF →＝BF →－BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23.又DC →＝(1,0),∴cos ∠ADB ＝DA →·DB →|DA →|·|DB →|＝55,cos ∠FDC ＝DF →·DC →|DF →|·|DC →|＝55,又∠ADB ,∠FDC ∈(0,π), ∴∠ADB ＝∠FDC ．21．(本小题满分12分)如图所示,甲船以每小时30 2 n mile 的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于A 1处时,乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处,此时两船相距20 n mile.当甲船航行20 min 到达A 2处时,乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处,此时两船相距10 2 n mile,问乙船每小时航行多少n mile?[解析] 如图,连接A 1B 2,由题意知A 2B 2＝10 2 n mile,A 1A 2＝302×2060＝10 2 n mile. 所以A 1A 2＝A 2B 2.又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°, 所以△A 1A 2B 2是等边三角形．所以A 1B 2＝A 1A 2＝10 2 n mile.由题意知,A 1B 1＝20 n mile,∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°,在△A 1B 2B 1中,由余弦定理,得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200. 所以B 1B 2＝10 2 n mile.因此,乙船速度的大小为10220×60＝302(n mile/h)．答：乙船每小时航行30 2 n mile.22．(本小题满分12分)已知向量a ＝(2＋sin x,1),b ＝(2,－2),c ＝(sin x －3,1),d ＝(1,k ),(x ∈R ,k ∈R )．(1)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2,且a ∥(b ＋c ),求x 的值； (2)若函数f (x )＝a ·b ,求f (x )的最小值；(3)是否存在实数k ,使得(a ＋d )⊥(b ＋c )？若存在,求出k 的取值范围；若不存在,请说明理由．[解析] (1)∵b ＋c ＝(sin x －1,－1),又a ∥(b ＋c ), ∴－(2＋sin x )＝sin x －1,即sin x ＝－12.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2, ∴x ＝－π6.(2)∵a ＝(2＋sin x,1),b ＝(2,－2), ∴f (x )＝a ·b ＝2(2＋sin x )－2＝2sin x ＋2.又x∈R,∴当sin x＝－1时,f(x)有最小值,且最小值为0.(3)∵a＋d＝(3＋sin x,1＋k),b＋c＝(sin x－1,－1),若(a＋d)⊥(b＋c),则(a＋d)·(b＋c)＝0,即(3＋sin x)(sin x－1)－(1＋k)＝0,∴k＝sin2x＋2sin x－4＝(sin x＋1)2－5.由sin x∈[－1,1],∴－5≤(sin x＋1)2－5≤－1,得k∈[－5,－1]．∴存在k∈[－5,－1],使得(a＋d)⊥(b＋c)．。

高中数学平面向量测试题及答案

高中数学平面向量测试题及答案一、选择题1、下列哪一组向量是平行向量？A. (3，4)与(4，3)B. (3，4)与( - 4，- 3)C. (3，4)与( - 4，9)D. (3，4)与(7，8)2、下列哪一组向量是共线向量？A. (1，2)与(2，3)B. (1，1)与(2，2)C. (1，2)与( - 2，4)D. (1， - 1)与( - 2，2)3、下列哪一组向量是垂直向量？A. (1，2)与(2，1)B. (3，4)与(4，3)C. ( - 3，4)与(4， - 3)D.平面向量是数学中的一个重要概念，是解决许多实际问题的重要工具。

以下是一些经典的平面向量测试题，可以帮助大家了解和评估自己的平面向量水平。

给出平面向量的基本概念和性质，包括向量的表示、向量的模、向量的加法、减法和数乘等。

给出一个向量的坐标表示，包括在直角坐标系中的表示和在极坐标系中的表示。

给定两个向量 a和 b，求它们的数量积、夹角和模长。

给定一个向量 a，求它的单位向量、零向量和负向量。

给定一个平面向量场，求其中的平行向量、共线向量和线性无关向量。

给定一个三维平面向量场，求其中的法向量和切线向量。

给定一个向量的模长和夹角，求这个向量的坐标表示。

给定两个三维向量 a和 b，求它们在空间中的位置关系，如平行、共线和垂直等。

给定一个平面向量 a和一个非零向量 b，求 a和 b的垂直平分面和a和 b的中垂线。

给定一个向量的正交分解和极坐标表示，求这个向量的直角坐标表示和极坐标表示。

以上是平面向量经典测试题的一些例子，这些题目可以帮助大家巩固平面向量的基本概念和性质，提高解决实际问题的能力。

解释：平面向量是由两个数值和一个字母组成的，其中字母表示向量的方向，而数值表示向量的模长。

选项A符合这个要求，而其他选项都不符合。

解释：平面向量的基本运算包括加法、减法和数乘，而D选项中的“数乘和加法”实际上是包含了这三种运算，因此不是平面向量的运算。

人教版A版(2019)高中数学必修第二册：第六章平面向量及其应用综合测试(附答案与解析)

第六章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在ABC △中，内角,A B C ,的对边分别为,,a b c ，若a =，2A B =，则cos B 等于（）D.62.已知两个单位向量a 和b 的夹角为60︒，则向量-a b 在向量a 上的投影向量为（）A.12a B.aC.12-aD.-a3.已知点(2,1),(4,2)A B -，点P 在x 轴上，当PA PB 取最小值时，P 点的坐标是（） A.(2,0) B.(4,0)C.10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(3,0)4.已知,,A B C 为圆O 上的三点，若有OA OC OB +=，圆O 的半径为2，则OB CB =（） A.1- B.2- C.1 D.25.已知点(4,3)A 和点(1,2)B ，点O 为坐标原点，则||()OA tOB t +∈R 的最小值为（）A. B.5 C.36.已知锐角三角形的三边长分别为1，3，a ，那么a 的取值范围为（） A.(8,10)B.C.D.7.已知圆的半径为4,,,a b c 为该圆的内接三角形的三边，若abc =，则三角形的面积为（）A.B.8.已知向量,a b 满足(2)(54)0+⋅-=a b a b ，且1==a b ，则a 与b 的夹角θ为（）A.34π B.4π C.3π D.23π 9.已知sin 1sin cos 2ααα=+，且向量(tan ,1)AB α=，(tan ,2)BC α=，则AC 等于（）A.(2,3)-B.(1,2)C.(4,3)D.(2,3)10.在ABC △中，E F ,分别为,AB AC 的中点，P 为EF 上的任意一点，实数,x y 满足PA xPB yPC ++=0，设,,,ABC PBC PCA PAB △△△△的面积分别为123,,,S S S S ，记(1,2,3)ii S i Sλ==，则23λλ⋅取到最大值时， 2x y +的值为（）A.1-B.1C.32-D.32二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）11.已知ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足,3B a c π=+，则ac=（） A.2 B.3C.12D.1312.点P 是ABC △所在平面内一点，满足20PB PC PB PC PA --+-=，则ABC △的形状不可能是（） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上） 13.已知,12e e 是平面内的单位向量，且12⋅=12e e .若向量b 满足1⋅=⋅=12b e b e ，则=b ________.14.已知向量,a b 满足5,1==a b ，且4-a b ⋅a b 的最小值为________.15.如图，在直角梯形ABCD 中，AB DC ∥，AD DC ⊥，2DC A A B D ==，E 为AD 的中点，若CA CE DB λμ=+，则λ=________，μ=________.（本题第一空2分，第二空3分）16.如图所示，某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60︒的C 处，12时20分测得轮船在海岛北偏西60︒的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5km 的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，则船速的大小为________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）如图所示，以向量,OA OB ==a b 为邻边作OADB ，11,33BM BC CN CD ==，用,a b 表现,,OM ON MN .18.（本小题满分12分）已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2a =，3cos 5B =. （1）若4b =，求sin A 的值；（2）若4ABC S ∆=，求,b c 的值.19.（本小题满分12分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos 1sin 2C C C +=-，（1）求sin C 的值；（2）若ABC △的外接圆面积为(4π+，试求AC BC 的取值范围.20.（本小题满分12分）某观测站在城A 南偏西20︒方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40︒，距C 处31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达D 处，此时,C D 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A ？21.（本小题满分12分）已知正方形ABCD ，E F 、分别是CD AD 、的中点，BE CF 、交于点P ，连接AP .用向量法证明：（1）BE CF ⊥；（2）AP AB =.22.（本小题满分12分）已知向量(sin ,cos )x x =a ，sin ,sin 6x x π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b ，函数()2f x =⋅a b ，()4g x f x π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值，并求出相应的x 的值；（2）计算(1)(2)(3)(2014)g g g g ++++的值；（3）已知t ∈R ，讨论()g x 在[,2]t t +上零点的个数.第六章综合测试答案解析一、 1.【答案】B【解析】由正弦定理得sin sin a Ab B=，a ∴=可化为sin sin A B =.又sin 22sin cos 2,sin sin 2B B B A B B B =∴==，cos B ∴. 2.【答案】A【解析】由已知可得111122⋅=⨯⨯=a b ，211()122-⋅=-⋅=-=a b a a a b ，则向量-a b 在向量a 上的投影向量为()12-⋅⋅=a b a a a a . 3.【答案】D【解析】点P 在x 轴上，∴设P 上的坐标是(,0),(2,1),(4,2)x PA x PB x ∴=--=-，22(2)(4)266(3)3PA PB x x x x x ∴⋅=---=-+=--，∴当3x =时，PA PB ⋅取最小值.P ∴点的坐标是(3,0).4.【答案】D 【解析】OA OC OB +=，OA OC =，∴四边形OABC 是菱形，且120AOC ∠=︒，又圆O 的半径为2，22cos602OB CB ∴⋅=⨯⨯︒=. 5.【答案】D【解析】点(4,3),(1,2)A B ，O 为坐标原点，则(4,32)OA tOB t t +=++，22222()(4)(32)520255(2)55OA tOB t t t t t ∴+=+++=++=++≥，∴当2t =-时，等号成立，此时OA tOB +取得最小值6.【答案】B【解析】设1,3，a 所对的角分别为,,C B A ∠∠∠，由余弦定理的推论知2222222213cos 0,21313cos 0,2131cos 0,23a A a B a a C a ⎧+-=⎪⨯⨯⎪⎪+-=⎨⨯⨯⎪⎪+-=⎪⨯⨯⎩＞＞＞即()()222100,280,680,a a a a a ⎧-⎪⎪-⎨⎪+⎪⎩＞＞＞解得a ，故选B . 7.【答案】C【解析】设圆的半径为R ，内接三角形的三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C .28sin sin sin a b cR A B C====，sin 8cC∴=，1sin 216ABC abc S ab C ∆∴===8.【答案】C 【解析】22(2)(54)5680+⋅-=+⋅=-a b a b a a b b ，又11,63,cos 2θ==∴⋅=∴=a b a b ，又[0,],3πθπθ∈∴=，故选C .9.【答案】D【解析】sin 1sin cos 2ααα=+，cos sin αα∴=，tan 1α∴=，(2tan ,3)(2,3)AC AB BC α∴=+==.故选D .10.【答案】D【解析】由题意可得，EF 是ABC △的中位线，P ∴到BC 的距离等于ABC △的边BC 上的高的一半，可得12323121,2S S S S λλ++===.由此可得223231216λλλλ+⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭≤，当且仅当23S S =，即P 为EF 的中点时，等号成立.0PE PF ∴+=.由向量加法的四边形法则可得，2PA PB PE +=，2PA PC PF +=，两式相加，得20PA PB PC ++=.0PA xPB yPC ++=，∴根据平面向量基本定理，得12x y ==，从而得到322x y +=. 二、11.【答案】AC【解析】3B π=，a c +=，2222()23a c a c ac b ∴+=++=，①由余弦定理可得，2222cos3a c acb π+-=，②联立①②，可得222520a ac c -+=，即22520a a c c ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2ac=或12a c =.故选AC .12.【答案】ACD 【解析】P 是ABC △所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=，|||()()|0CB PB PA PC PA ∴--+-=，即||||CB AC AB =+，||||AB AC AC AB ∴-=+，两边平方并化简得0MC AB ⋅=，AC AB ∴⊥，90A ︒∴∠=，则ABC △一定是直角三角形.故选ACD .三、13.【解析】解析令1e 与2e 的夹角为θ.1cos cos 2θθ∴⋅=⋅==1212e e e e ，又0θ︒︒≤≤180，60θ∴=︒.()0⋅-=12b e e ，∴b 与,12e e 的夹角均为30︒，从而1||cos30︒=b . 14.【答案】52【解析】|4|-a b ，52⋅≥a b ，即⋅a b 的最小值为52. 15.【答案】65 25【解析】以D 为原点，DC 边所在直线为x 轴，DA 边所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.不妨设1AB =，则(0,0),(2,0),(0,2),(1,2),(0,1)D C A B E .(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB =-=-=，,(2,2)(2,1)(1,2)CA CE DB λμλμ=+∴-=-+，22,22,λμλμ-+=-⎧∴⎨+=⎩解得6,52.5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩16./h【解析】轮船从C 到B 用时80分钟，从B 到E 用时20分钟，而船始终匀速前进，由此可见，4BC EB =.设EB x =，则4BC x =，由已知得30BAE ∠=︒，150EAC ∠=︒.在AEC △中，由正弦定理的sin sin EC AE EAC C=∠， sin 5sin1501sin 52AE EAC C EC x x︒∠∴===. 在ABC △中，由正弦定理得sin120sin BC ABC =︒，14sin sin120x BC C AB ⋅∴===︒. 在ABE △中，由余弦定理得22216312cos30252533BE AB AE AB AE︒=+-=+-=，故BE ∴船速的大小为/h)3BE t==. 四、 17.【答案】解：BA OA OB =-=-a b ，11153666OM OB BM OB BC OB BA ∴=+=+=+=+a b . 又OD =+a b ，222333ON OC CN OD ∴=+==+a b ， 221511336626MN ON OM ∴=-=+--=-a b a b a b . 18.【答案】解：3cos 05B =＞，且0B π＜＜， 4sin 5B ∴=. 由正弦定理得sin sin a b A B=，42sin 25sin 45a B Ab ⨯∴===. （2）1sin 42ABC S ac B ∆==， 142425c ∴⨯⨯⨯=，5c ∴=. 由余弦定理得2222232cos 25225175b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，b ∴=19.【答案】（1）解：ABC △中，由sin cos 1sin 2C C C +=-，得22sin cos 2sin sin 2222C C C C =-， sin 02C ＞，1cos sin 222C C ∴-=-，两边平方得11sin 4C -=，解得3sin 4C =. （2）设ABC △的外接圆的半径为R ，由（1）知sin cos 22C C ＞，24C π∴＞， 2C π∴＞，cos C ∴=. 易得2sin c R C =，22294sin (44c R C ∴==，由余弦定理得，222977(4221444c a b ab ab⎛⎫⎛⎫=+=+--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，902ab ∴＜≤，cos 8AC BC ab C ⎡⎫∴=∈-⎪⎢⎪⎣⎭，即AC BC 的取值范围是8⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭. 20.【答案】解：如图所示，设ACD α∠=，CDB β∠=.在CBD △中，由余弦定理的推论得2222222021311cos 2220217BD CD CB BD CD β+-+-===-⨯⨯，sin 7β∴=()411sin sin 60sin cos60sin 60cos 27αβββ︒︒︒⎛⎫∴=-=-=--= ⎪⎝⎭在CBD △中，由正弦定理得21sin 60sin AD α=︒， 21sin 15sin60AD α∴==︒（千米）. ∴这人还要再走15千米可到达城A .21.【答案】证明：如图，建立平面直角坐标系xOy ，其中A 为原点，不妨设2AB =，则(0,0),(2,0),(2,2),(1,2),(0,1)A B C E F .（1）(1,2)(2,0)(1,2)BE OE OB =-=-=-，(0,1)(2,2)(2,1)CF OF OC =-=-=--，(1)(2)2(1)0BE CF ∴⋅=-⨯-+⨯-=，BE CF ∴⊥，即BE CF ⊥.（2）设(,)P x y ，则(,1)FP x y =-，(2,)BP x y =-，由（1）知(2,1)CF =--，(1,2)BE =-，FP CF ∥，2(1)x y ∴-=--，即24y x =-+.同理，由BP BE ∥，即24y x =-+.22,24,x y y x =-⎧∴⎨=-+⎩解得6,58,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即68,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 222268455AP AB ⎛⎫⎛⎫∴=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ||||AP AB ∴=，即AP AB =.22.【答案】（1）解：21()22sin sin(2sin cos sin 262f x x x x x x x π⎫=⋅=-+=+=⎪⎭a b1sin 22sin 223x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 252333x πππ∴-≤≤，1sin 23x π⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭≤，∴当3232x ππ-=，即1112x π=时，()f x 1-，当2233x ππ-=，即2x π=时，()f x（2）由（1）得()sin 23f x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. ()sin 423g x f x x πππ⎛⎫⎛⎫∴==-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 4T ∴=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(2009)(2010)(2011)(2012)g g g g g g g g g g g g ∴+++=+++==+++.又(1)(2)(3)(4)gg g g +++=，(1)(2)(3)(2014)503(1)(2)g g g g g g ∴++++=⨯+=.（3）()g x 在[,2]t t +上零点的个数等价于sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与y =.在同一平面直角坐标系内作出这两个函数的图象（图略）.当4443k t k +＜＜，k ∈Z 时，由图象可知，sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与2y =-两图象无交点，即()g x 无零点；当44243k t k ++≤＜或10444,3k t k k ++∈Z ＜≤时，sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与y =1个交点，即()g x 有1个零点；当10244,3k t k k ++∈Z ≤≤时，sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与y =2个交点，即()g x 有2个零点.。

第六章平面向量及其应用综合训练-2021-2022学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

第六章平面向量及其应用章末综合训练一、选择题1. 下列结论中，不正确的是 ( ) A ．若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线与 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的意义是相同的 C ．若向量 a ，b ⃗ 满足 ∣a ∣=∣∣b ⃗ ∣∣，则 a =b ⃗ D ．若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗2. 设 a ，b ⃗ 是向量，则“∣a ∣=∣b ⃗ ∣”是“∣a +b ⃗ ∣=∣a −b⃗ ∣”的 ( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3. 已知向量 a 与 b ⃗ 方向相反，a =(1,−√3)，|b ⃗ |=2，则 |a −b⃗ |= ( )A ． 2B ． 4C ． 8D ． 164. △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 a =3，b =7，cosB =−12，则 c = ( )A ． 4B ． 5C ． 8D ． 105. 在 △ABC 中，∠BAC =60∘，∠BAC 的平分线 AD 交 BC 边于点 D ，已知 AD =2√3，且λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ （λ∈R ），则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影数量为 ( )A ． 1B ． 32C ． 3D ．3√326. 如图所示，为了测量山高 MN ，选择 A 和另一座山的山顶 C 作为测量基点，从 A 点测得 M 点的仰角 ∠MAN =60∘，C 点的仰角 ∠CAB =45∘，∠MAC =75∘，从 C 点测得 ∠MCA =60∘，已知山高 BC =500 m ，则山高 MN （单位：m ）为 ( )A ． 750B ． 750√3C ． 850D ． 850√37. 已知在 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 b =1，c =√3，且 2sin (B +C )cosC =1−2cosAsinC ，则 △ABC 的面积是 ( )A ．√34B ． 12C ．√34或√32D ．√34或 128. 已知 e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗是平面内两个夹角为 2π3的单位向量，设 m ⃗⃗ ，n ⃗ 为同一平面内的两个向量，若 m ⃗⃗ =e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，∣n ⃗ −e 1⃗⃗⃗ ∣=12，则 ∣m ⃗⃗ −n ⃗ ∣ 的最大值为 ( )A ． 12B ． 32C ．√3−12D ．√3+12二、多选题9. 如图，在平行四边形 ABCD 中，下列计算错误的是 ( )A ． AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B ． AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ C ． AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D ． AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 10. △ABC 满足下列条件，其中有两个解的是 ( )A ． b =3，c =4，B =30∘B ． b =12，c =9，C =60∘C ． b =3√3，c =6，B =60∘D ． a =5，b =8，A =30∘ 11. 设 a ，b⃗ 是两个非零向量．则下列命题为假命题的是 ( ) A ．若 ∣∣a +b ⃗ ∣∣=∣a ∣−∣∣b ⃗ ∣∣，则 a⊥b ⃗ B ．若 a ⊥b ⃗ ，则 ∣∣a +b ⃗ ∣∣=∣a ∣−∣∣b ⃗ ∣∣C ．若 ∣∣a +b ⃗ ∣∣=∣a ∣−∣∣b ⃗ ∣∣，则存在实数 λ，使得 b⃗ =λaD ．若存在实数 λ，使得 b ⃗ =λa ，则 ∣∣a +b ⃗ ∣∣=∣a ∣−∣∣b ⃗ ∣∣12. 《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边 a ，b ，c ，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即 S =√14[c 2a 2−(c 2+a 2−b 22)2]．现有 △ABC 满足 sinA:sinB:sinC =2:3:√7，且 △ABC 的面积 S =6√3，请运用上述公式判断下列结论正确的是 ( ) A ． △ABC 的周长为 10+2√7B ． △ABC 三个内角 A ，B ，C 满足 2C =A +B C ． △ABC 外接圆的直径为4√213D ． △ABC 的中线 CD 的长为 3√2三、填空题13. 在 △ABC 中，sinA:sinB:sinC =3:2:4，则 cosC = ．14. 已知 A ，B ，C 三点共线，若 O 是这直线外一点，满足 mOA ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则点 A 分 BC⃗⃗⃗⃗⃗ 的比为．15. 已知 △ABC 的面积为 3√15，且 AC −AB =2，cosA =−14，则 BC 的长为．16.如图所示，等腰梯形ABCD中，AB=4，BC=CD=2，若E，F分别是BC，AB上的点，且满足BEBC =AFAB=λ，当AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DF⃗⃗⃗⃗⃗ =0时，则实数λ的值是．四、解答题17.已知a=(1,2)，b⃗=(−3,2)，当k为何值时：(1) ka+b⃗与a−3b⃗垂直？(2) ka+b⃗与a−3b⃗平行？平行时它们是同向还是反向？18.如图所示，AD，BE，CF是△ABC的三条高，求证：AD，BE，CF相交于一点．19.已知平面向量a，b⃗，c满足∣a∣=4，∣∣b⃗∣∣=3，∣c∣=2，b⃗⋅c=3，求(a−b⃗)2(a−c)2−[(a−b⃗)⋅(a−c)]2的最大值．20. △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 a =1，B =π3，△ABC 的面积为3√34．(1) 求 △ABC 的周长； (2) 求 cos (B −C ) 的值．21. 已知 △ABC 的外接圆半径为 R ，其内角 A ，B ，C 的对边长分别为 a ，b ，c ，设 2R (sin 2A −sin 2B )=(a −c )sinC ． (1) 求角 B ；(2) 若 b =12，c =8，求 sinA 的值．22. 已知 O 为坐标原点，对于函数 f (x )=asinx +bcosx ，称向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b ) 为函数 f (x ) 的伴随向量，同时称函数 f (x ) 为向量 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的伴随函数． (1) 设函数 g (x )=√3sin (π+x )−sin (3π2−x)，试求 g (x ) 的伴随向量 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；(2) 记向量 ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3) 的伴随函数为 f (x )，当 f (x )=85，且 x ∈(−π3,π6) 时，求 sinx 的值； (3) 将（1）中函数 g (x ) 的图象的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再把整个图象向右平移2π3个单位长度得到 ℎ(x ) 的图象，已知 A (−2,3)，B (2,6)，问在 y =ℎ(x ) 的图象上是否存在一点 P ，使得 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由．。

高中数学(平面向量)综合练习含解析

高中数学(平面向量)综合练习含解析1．在△ABC 中，AB c ，AC b ．若点 D 满足BD 2DC ，则AD （）A．2 1b c B．3 35 2c b C．3 32 1b c D．3 31 2b c3 32．已知OA 1, OB 3 ，OA OB 0 ，点 C 在AOB 内，且AOC 30 ，OC mOA nOB m,n R ，则mn等于（）A．3 B．13C．33D． 33．若向量a,b,c 满足a∥b，且a c，则c a 2b （）A．4 B．3 C．2 D．04．已知向量m (a, 2), n (1,1 a) ，且m∥n，则实数a （）A． 1 B．2 或 1 C．2 D． 25．已知向量a (1,2) ，向量b (x, 2) ，且a(a b) ，则实数x等于A． 4 B．4 C．0 D． 96．已知| a| ＝1，| b | ＝ 2 ，且a (a b)，则向量a与向量b 的夹角为（）A． B ． C ． D ．6 4 3 2 37．已知平面向量a，b 满足a a b 3 ，且 a 2 ，b 1，则向量a与b 夹角的正弦值为（）A．12B ．32C ．12D ．328．在平行四边形ABCD 中，AD 2 ，BAD 60 ，E为CD 的中点．若AD BE 1，则AB 的长为( )A． 6 B ．4 C ．5 D ．69 ．O 为平面上的定点， A ， B ， C 是平面上不共线的三点，若(OB OC ) (OB OC 2OA) 0，则ABC 是（）A．以AB为底面的等腰三角形B．以BC为底面的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形试卷第 1 页，总 4 页10．在ABC 中，则有（）1MB AB ，且对AB边上任意一点N，恒有NB NC MB MC ，4A．AB BC B ．AB ACC．AB AC D ．AC BC11．点P是ABC 所在平面内的一点，若CB PA PB( R) ，则点P在（）A．ABC 内部B．AC边所在的直线上C．AB边所在的直线上D．BC边所在的直线上12．在ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b ，c，c b 6，c b a 2 ，且O 为此三角形的内心，则AO CB （）A．4 B ．5 C ．6 D ．713．在ABC 中，BC a, AC b,| a|2,| b| 3,a b 3则∠C的大小为（）A．30 B ．60 C ．120 D ．15014．在ABC 中，A、B 、C 的对边分别为a、b 、c，且b c o s C 3 a c o s B c o s B ，BA BC 2，则ABC 的面积为（）A． 2 B ．32C ．2 2D ．4 215．若非零向量a, b满足| a b | | a b | 2 | a |，则向量b与a b 的夹角为.16．在平面直角坐标系中，设M , N,T 是圆C : 2 2(x 1) y 4上不同三点，若存在正实数a,b，使得CT aCM bCN ，则3 2 2 1a ab ab ba的取值范围为．17．已知向量a (1, 3) ，向量a,c 的夹角是3 ，a c 2，则|c|等于．18．已知正方形ABCD ，过正方形中心O的直线MN 分别交正方形的边AB ,CD 于点2MNM、N ，则最小值为_________________．2BN19．若a,b均为非零向量，且a 2b a, b 2a b ，则a,b的夹角为．120．在等腰梯形ABCD中，已知AB//DC，∠ABC=60°，BC=2AB=2，动点 E 和F 分别在线段BC和DC上，且BE = BC ，DF =12DC ，则AE ·BF 的最小值为．试卷第 2 页，总 4 页21．已知ABC 是边长为 1 的正三角形，动点M 在平面ABC内，若AM AB 0，|CM | 1，则CM AB的取值范围是．22．向量a (1,1)，且a与a b 的方向相反，则 a b的取值范围是．23．如图，在三棱锥中 D ABC 中，已知AB 2，AC BD 3，设AD a，BC b ，CD c ，则2cab 1的最小值为．24．已知 A 点坐标为( 1,0) ，B 点坐标为(1,0) ，且动点M 到A 点的距离是 4 ，线段MB 的垂直平分线l 交线段MA 于点P ．（1）求动点P 的轨迹C方程．（2）若P是曲线C上的点，，求k PA PB 的最大值和最小值．25．△ABC中，内角为A，B，C，所对的三边分别是a，b，c，已知 2b ac ，cos3 B ．4（1）求1 1 tan A tan C；（2）设BA·3BC , 求a c．226．已知函数 f x1x 1，点O为坐标原点, 点A n n, f n (n N *) ,向量i0,1 ，cos cos cosn 是向量OA n 与i的夹角，则 1 2 2016sin sin sin1 2 2016的值为．27．已知向量3a (sin x, ),b (cos x, 1).2试卷第 3 页，总 4 页（1）当a//b时，求22cos x sin2x的值；（2）求f(x)(a b)b在,02上的值域．2y2DX Ey F28．如图，在平面直角坐标系中，方程为x0的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直，且AC和BD分别在x轴和y轴上．（1）若四边形ABCD的面积为40，对角线AC的长为8，AB AD0，且ADC为锐角，求圆的方程，并求出B,D的坐标；（2）设四边形ABCD的一条边CD的中点为G，OH AB，且垂足为H，试用平面解析几何的研究方法判断点O、G、H是否共线，并说明理由．29．在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2)，点P(x,y)在ABC中三边围成的区域（含边界）上，且OP AB AC(,R)．（1）若23，求OP；（2）用x,y表示并求的最大值．30．已知椭圆22x yC:1(a b0)22a b,过左焦点F1(1,0)的直线与椭圆C交于M、N两点，且F2MN的周长为8；过点P(4,0)且不与x轴垂直的直线l与椭圆C相交于A、B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求OA OB的取值范围；（3）若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．试卷第4页，总4页参考答案1．C【解析】试题分析：如图所示，在ABC 中，AD AB BD又BD 2DC ，2 2 2 2 1BD BC BC AC AB b c AD AB BC c b c b c3 3 3 3 3故选C．考点：向量加法2．A【解析】试题分析：如图所示，建立直角坐标系．则OA 1,0 ,OB 0, 3 ,．故选 B∴, 3 , tan 30 3n 3 m 3OC mOA nOB m nm 3 n考点：共线向量【名师点睛】本题主要考查了共线向量及向量的模等知识，属基础题．解题时对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据已知条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果．3．D【解析】试题分析：设 a b ，则由已知可得c (a 2b) c a c (2b) c a c (2 b) 2 1 c a 0考点：向量的运算4．B【解析】试题分析：由已知m∥n，则a (1 a) 2 1 a2 a 2 0 a 1,a 2考点：共线向量5．D答案第 1 页，总13 页【解析】试题分析： a b 1 x,4 由a(a b) 1,2 1 x,4 1 x 8 0 x 9考点；向量垂直的充要条件6．B【解析】试题分析：由题意得 2 a b 2a (a b) 0 ab a 1 cos a,b| a | | b | 2r ，所以向量a与r向量b的夹角为 4 ，选Ｂ．考点：向量夹角7．D【解析】试题分析：2 1 2a ab 3 a a b 3 a b 1 cos a,b a,b .2 3选D．考点：向量夹角8．D【解析】试题分析：1 1AD BE AD（BA+ AD DE) AD（- AB +AD AB) AD（AD AB)2 21 14 2 AB cos 4 AB 12 3 2，因此AB 6. 选D．考点：向量数量积9．B【解析】试题分析：设BC 的中点为 D ，∵(OB OC) (OB OC 2OA) 0 ，∴CB (2OD 2OA )0，∴CB 2AD 0，∴C B AD ，故△A BC的B C边上的中线也是高线．故△ABC是以BC为底边的等腰三角形，故选B．考点：三角形的形状判断．10． D【解析】试题分析：以 A 为原点，AB 为x轴，建立直角坐标系，设B(4,0), C(a,b) ，N ( x,0) ，则M (3,0) ，MB MC (1,0) (a 3,b ) a 3 ，答案第 2 页，总13 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

高中数学必修二第六章平面向量及其应用专项训练题(带答案)

高中数学必修二第六章平面向量及其应用专项训练题单选题1、定义空间两个向量的一种运算a⃑⊗b⃑⃑=|a⃑|⋅|b⃑⃑|sin⟨a⃑,b⃑⃑⟩，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）A．λ(a⃑⊗b⃑⃑)=(λa⃑)⊗b⃑⃑B．(a⃑⊗b⃑⃑)⊗c⃑=a⃑⊗(b⃑⃑⊗c⃑)C．(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑=(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)D．若a⃑=(x1,y1)，b⃑⃑=(x2,y2)，则a⃑⊗b⃑⃑=|x1y2−x2y1|答案：D分析：A．按λ的正负分类讨论可得，B．由新定义的意义判断，C．可举反例说明进行判断，D．与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断．A．(λa⃑)⊗b⃑⃑=|λa⃑||b⃑⃑|sin<λa⃑,b⃑⃑>，λ>0时，<λa⃑,b⃑⃑>=<a⃑,b⃑⃑>，(λa⃑)⊗b⃑⃑=λ|a⃑||b⃑⃑|sin<a⃑,b⃑⃑>=λ(a⃑⊗b⃑⃑)，λ=0时，λ(a⃑⊗b⃑⃑)=0,(λa⃑)⊗b⃑⃑=0，成立，λ<0时，<λa⃑,b⃑⃑>=π−<a⃑,b⃑⃑>，sin<λa⃑,b⃑⃑>=sin(π−<a⃑,b⃑⃑>)=sin<a⃑,b⃑⃑>(λa⃑)⊗b⃑⃑=−λ|a⃑||b⃑⃑|sin< a⃑,b⃑⃑>=−λ(a⃑⊗b⃑⃑)，综上，A不恒成立；B．a⃑⊗b⃑⃑是一个实数，(a⃑⊗b⃑⃑)⊗c⃑无意义，B不成立；C．若a⃑=(0,1),b⃑⃑=(1,0)，c⃑=(1,1)，则a⃑+b⃑⃑=(1,1)，<a⃑+b⃑⃑,c⃑>=0，(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑=|a⃑+b⃑⃑||c⃑|sin0=√2×√2×0=0，<a⃑,c⃑>=π4,<b⃑⃑,c⃑>=π4，(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)=1×√2×sinπ4+1×√2×sinπ4=2，(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑≠(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)，C错误；D．若a⃑=(x1,y1)，b⃑⃑=(x2,y2)，则|a⃑|=√x12+y12，|b⃑⃑|=√x22+y22，cos <a ⃑,b ⃑⃑>=1212√x 12+y 12×√x 22+y 22，sin <a ⃑,b ⃑⃑>=√1−cos 2<a ⃑,b ⃑⃑>=√1−(x 1x 2+y 1y 2)2(x 12+y 12)(x 22+y 22)=1221√(x 1+y 1)(x 2+y 2)，所以a ⃑⊗b ⃑⃑=|a ⃑||b ⃑⃑|sin <a ⃑,b⃑⃑>=|x 1y 2−x 2y 1|，成立．故选：D ．小提示：本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解．解题方法一种方法是直接利用新定义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的sin <a ⃑,b ⃑⃑>用cos <a ⃑,b⃑⃑>，而余弦可由数量积进行计算． 2、若|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=5，|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=8，则|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的取值范围是（） A ．[3,8]B ．(3,8)C ．[3,13]D ．(3,13)答案：C分析：利用向量模的三角不等式可求得|BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的取值范围. 因为|BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，所以，||AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|−|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑||≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≤|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|+|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，即3≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≤13. 故选：C.3、已知非零平面向量a ⃗，b ⃑⃗，c ⃗，下列结论中正确的是（）（1）若a ⃗⋅c ⃗=b ⃑⃗⋅c ⃗，则a ⃗=b ⃑⃗；（2）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗|+|b ⃑⃗|，则a ⃗//b⃑⃗ （3）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗−b ⃑⃗|，则a ⃗⊥b ⃑⃗（4）若(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=0，则a ⃗=b ⃑⃗或a ⃗=−b⃑⃗ A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（2）（3）（4）答案：B解析：根据向量的数量积运算，以及向量模的计算公式，逐项判断，即可得出结果.已知非零平面向量a ⃗，b ⃑⃗，c ⃗，（1）若a ⃗⋅c ⃗=b ⃑⃗⋅c ⃗，则(a ⃗−b ⃑⃗)⋅c ⃗=0，所以a ⃗=b ⃑⃗或(a ⃗−b ⃑⃗)⊥c ⃗，即（1）错；（2）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗|+|b ⃑⃗|，则a ⃗与b ⃑⃗同向，所以a ⃗//b⃑⃗，即（2）正确；（3）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗−b ⃑⃗|，则|a ⃗|2+|b ⃑⃗|2+2a ⃗⋅b ⃑⃗=|a ⃗|2+|b ⃑⃗|2−2a ⃗⋅b ⃑⃗，所以2a ⃗⋅b ⃑⃗=0，则a ⃗⊥b⃑⃗；即（3）正确；（4）若(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=0，则|a ⃗|2−|b ⃑⃗|2=0，所以|a ⃗|=|b⃑⃗|，不能得出向量共线，故（4）错；故选：B.小提示：本题主要考查向量数量积的运算，考查向量有关的判定，属于基础题型.4、已知向量a ⃑，b ⃑⃑满足|a ⃑|=√3，|b ⃑⃑|=2，且a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑)，则a ⃑与b⃑⃑的夹角为（） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案：A分析：利用数量积的定义，即可求解.解：a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑),所以a ⃑⋅(a ⃑−b ⃑⃑)=0,即|a →|2−|a →||b →|cos <a →,b →>=0，解得cos <a →,b →>=√32,又因为向量夹角的范围为[0°,180°]，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角为30°，故选：A. 5、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a +b )2−c 2=4，C =120°，则△ABC 的面积为（）A ．√33B ．2√33C ．√3D ．2√3 答案：C解析：利用余弦定理可求ab 的值，从而可求三角形的面积.因为C =120°，故c 2=a 2+b 2−2abcos120°=a 2+b 2+ab ，而(a +b )2−c 2=4，故c 2=a 2+b 2+2ab −4=a 2+b 2+ab ，故ab =4，故三角形的面积为12×ab ×sin120°=√34×4=√3，故选：C.6、△ABC 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知b 2+c 2−a 2=bc ，则A =（）A ．π6B ．5π6C ．π3D ．2π3答案：C分析：利用余弦定理求出cosA ，再求出A 即可.∵b 2+c 2−a 2=bc ,∴cosA =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12，∵0<A <π，∴A =π3. 故选：C7、已知向量a ⃑=(−1,m )，b ⃑⃑=(m +1,2)，且a ⃑⊥b⃑⃑，则m =（） A ．2B ．−2C ．1D ．−1答案：C分析：由向量垂直的坐标表示计算．由题意得a ⃑⋅b⃑⃑=−m −1+2m =0，解得m =1 故选：C ．8、已知直角三角形ABC 中，∠A =90°，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最大值为（）A ．16+16√55B ．16+8√55C ．165D ．565答案：D分析：建立如图所示的坐标系，根据PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC⃑⃑⃑⃑⃑⃑=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−5可求其最大值. 以A 为原点建系，B (0,2),C (4,0)，BC:x 4+y 2=1，即x +2y −4=0，故圆的半径为r =√5 ∴圆A:x 2+y 2=165，设BC 中点为D (2,1)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2−14BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−14×20=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−5， |PD |max =|AD |+r =√5+√5=√5，∴(PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)max =815−5=565，故选：D.多选题9、下列说法正确的有（）A ．若a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑，则a ⃑//c ⃑B ．若a ⃑=b ⃑⃑，b ⃑⃑=c ⃑，则a ⃑=c ⃑C ．若a ⃑//b ⃑⃑，则a ⃑与b⃑⃑的方向相同或相反D ．若AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑、BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑共线，则A 、B 、C 三点共线答案：BD分析：取b⃑⃑=0⃑⃑可判断AC 选项的正误；利用向量相等的定义可判断B 选项的正误；利用共线向量的定义可判断D 选项的正误.对于A 选项，若b ⃑⃑=0⃑⃑，a ⃑、c ⃑均为非零向量，则a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑成立，但a ⃑//c ⃑不一定成立，A 错；对于B 选项，若a ⃑=b ⃑⃑，b ⃑⃑=c ⃑，则a ⃑=c ⃑，B 对；对于C 选项，若b ⃑⃑=0⃑⃑，a ⃑≠0⃑⃑，则b⃑⃑的方向任意，C 错；对于D 选项，若AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑、BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑共线且AB 、BC 共点B ，则A 、B 、C 三点共线，D 对.故选：BD.10、下列说法正确的是（）A ．向量不能比较大小，但向量的模能比较大小B ．|a ⃑|与|b ⃑⃑|是否相等与a ⃑与b⃑⃑的方向无关 C ．若a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑，则a ⃑//c ⃑D ．若向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑与向量CD⃑⃑⃑⃑⃑⃑是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上答案：AB分析：根据向量的定义以及向量模的定义可判断A ，B ；举反例b⃑⃑=0⃑⃑时可判断C ；由共线向量的定义可判断D ，进而可得正确选项.对于A ：向量即有大小又有方向不能比较大小，向量的模可以比较大小，故选项A 正确；对于B ：|a ⃑|与|b ⃑⃑|分别表示向量a ⃑与b ⃑⃑的大小，与a ⃑，b⃑⃑的方向无关，故选项B 正确；对于C ：当b ⃑⃑=0⃑⃑时，向量a ⃑与c ⃑可以是任意向量都满足a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑，故选项C 不正确；对于D ：若向量AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑与向量CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑是共线向量，表示AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑与CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑方向相同或相反，得不出A ，B ，C ，D 四点在一条直线上，故选项D 不正确；故选：AB.11、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2cosAsinB =b 2sinAcosB ，则△ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案：AC分析：根据正弦定理和二倍角公式进行求解.∵a 2cosAsinB =b 2sinAcosB∴由正弦定理得sin 2AcosAsinB =sin 2BsinAcosB ，∵sinAcosA ≠0∴sinAcosA =sinBcosB ，即sin2A =sin2B∴2A =2B 或2A +2B =π，即该三角形为等腰三角形或直角三角形.故选：AC.填空题12、已知a ⃗,b ⃑⃑是空间两个向量，若|a ⃗|=2,|b ⃑⃗|=2,|a ⃗−b ⃑⃗|=√7，则cos 〈a ⃗,b⃑⃑〉＝________．答案：18 分析：根据向量几何法的模长公式，可得向量数量积的值，根据向量夹角余弦值的公式，可得答案.由|a ⃑−b ⃑⃑|=√7，可知(a ⃑−b ⃑⃑)2=7，则|a ⃑|2−2a ⃑⋅b⃑⃑+|b ⃑⃑|2=7， ∵|a ⃑|=2,|b ⃑⃑|=2，∴a ⃑⋅b ⃑⃑=12，则cos⟨a ⃑⋅b ⃑⃑⟩=a ⃑⃑⋅b ⃑⃑|a ⃑⃑|⋅|b ⃑⃑|=18. 所以答案是：18. 13、如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =2，DE =2EC ，M 为BC 的中点，若点P 在线段BD 上运动，则PE⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗的最小值为______.答案：2352 分析：构建直角坐标系，令AP⃑⃑⃑⃑⃑⃗=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+(1−λ)AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗求P 的坐标，进而可得PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗，由向量数量积的坐标表示及二次函数的性质求最值即可.以A 为坐标原点，AB ，AD 分别为x ，y 建系，则E(2,2)，M(3,1)，又AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(3,0)，AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(0,2)，令AP⃑⃑⃑⃑⃑⃗=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+(1−λ)AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(3λ,2−2λ)，0≤λ≤1，故P(3λ,2−2λ)，则PE⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(2−3λ,2λ)，PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(3−3λ,2λ−1)， PE⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(2−3λ)(3−3λ)+2λ(2λ−1) =13λ2−17λ+6，所以λ=1726时，PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗取最小值2352. 所以答案是：2352.14、海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD =45m ，∠ADB =135°，∠BDC =∠DCA =15°，∠ACB =120°，则AB 两点的距离为______m ．答案：45√5分析：先将实际问题转化为解三角形的问题，再利用正、余弦定理求解。

(典型题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(有答案解析)

一、选择题1．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且(),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的个数为（）①当0x =时，[]2,3y ∈②当P 是线段CE 的中点时，12x =-，52y =③若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段 ④x y -的最大值为1- A ．1 B ．2C ．3D ．42．若平面向量与的夹角为，，，则向量的模为（） A ．B ．C ．D ．3．若12,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，则向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为（） A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒4．在AOB ∆中，0,5,25,OA OB OA OB AB ⋅===边上的高为,OD D 在AB 上，点E 位于线段OD 上，若34OE EA ⋅=，则向量EA 在向量OD 上的投影为（） A ．12或32B ．1C ．1或12D ．325．已知1a ，2a ，1b ，2b ，()*k b k ⋅⋅⋅∈N是平面内两两互不相等的向量，121a a-=，且对任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈，则k 最大值为（） A ．3B ．4C ．5D ．66．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝13BC ，则AM ·MN ＝（） A ．6B ．4C ．3D ．27．已知正方形ABCD 的边长为2，EF 为该正方形内切圆的直径，P 在ABCD 的四边上运动，则PE PF ⋅的最大值为（）A B ．1C ．2D ．8．已知向量,a b 满足2(1,2),(1,)+==a b m b m ，且a 在b ，则实数m =（）A ．2±B ．2C ．5±D 9．已知两个非零向量a ，b 的夹角为23π，且=2a b -，则·ab 的取值范围是（） A ．2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．[)2,0-C ．2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．[)1,0-10．在直角梯形ABCD 中，0AD AB ⋅=，30B ∠=︒，AB =，2BC =，13BE BC =，则（）A ．1163AE AB AD =+ B ．1263AE AB AD =+ C ．5163AE AB AD =+ D ．5166AE AB AD =+ 11．已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（） A ．a b ⋅B ．a c ⋅C ．b c ⋅D ．不能确定12．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(,)m a b b c =++，(,)n c b a =-，若//m n ，则C =（）A ．56πB ．23π C ．3π D ．6π 二、填空题13．已知平面向量a ，b ，c ，d 满足1a b ==，2c =，0a b ⋅=，1c d -=，则2a b d ++的取值范围为______.14．已知向量1e ，2e 是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当12OP xe ye =+时，则称有序实数对(),x y 为点P 的广义坐标，若点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，对于下列命题： ① 线段A 、B 的中点的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭；② A 、B③ 向量OA 平行于向量OB 的充要条件是1221x y x y =； ④ 向量OA 垂直于向量OB 的充要条件是12120x x y y +=. 其中的真命题是________（请写出所有真命题的序号）15．如图，在Rt ABC ∆中，2,60,90AB BAC B =∠=︒∠=︒，G 是ABC ∆的重心，则GB GC ⋅=__________．16．在平面内,定点,,A B C 满足DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点,P M 满足1AP PM MC ==，则2BM 的最大值为________.17．如图，设圆M 的半径为2，点C 是圆M 上的定点，A ，B 是圆M 上的两个动点，则CA CB ⋅的最小值是________.18．如图，在等腰三角形ABC 中，已知1AB AC ==，120A ∠=︒，E F 、分别是边AB AC 、上的点，且,AE AB AF AC λμ==,其中(),0,1λμ∈且41λμ+=，若线段EF BC 、的中点分别为M N 、，则MN 的最小值是_____.19．已知O 为ABC 内一点，且满足305OA OB OC =++，延长AO 交BC 于点D .若BD DC λ=，则λ=_____.20．已知平面向量a ，b 满足3a b +=，3a b -=，则向量a 与b 夹角的取值范围是______.三、解答题21．平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=. （1）求32a b c +-；（2）求满足a mb nc =+的实数m 和n ；（3）若()(2)a kc b a +⊥-，求实数k . 22．已知向量a 与b 的夹角为3π，且1a =，2b =. （1）求a b +；（2）求向量a b +与向量a 的夹角的余弦值. 23．已知向量,a b 满足：16,()2a b a b a ==⋅-=,. （1）求向量a 与b 的夹角；（2）求2a b -.24．如图，正六边形ABCDEF 的边长为1．M ，N 分别是BC ，DE 上的动点，且满足BM DN =．（1）若M ，N 分别是BC ，DE 的中点，求AM AN ⋅的值；（2）求AM AN ⋅的取值范围．25．已知向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭且函数()f x u v =⋅,若函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π. (1)求函数f (x )的解析式; (2)将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后,得到函数y =g (x )的图象,求函数g (x )的表达式并其对称轴;(3)若方程f (x )=m (m >0)在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,有两个不同实数根x 1,x 2,求实数m 的取值范围,并求出x 1+x 2的值.26．在ABC 中，D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点，E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点，4DF FE =，设AB m =，BC n =. （1）用m ，n 表示AF ；（2）设G 是线段BC 上一点，且使//EG AF ，求CG CB的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用向量共线的充要条件判断出①错，③正确；利用向量的运算法则求出OP ，求出x ，y 判断出②正确,利用三点共线解得④正确【详解】当0x =时，OP yOB =，则P 在线段BE 上，故13y ≤≤，故①错当P 是线段CE 的中点时，13()2OP OE EP OB EB BC =+=++ ()11153(2)32222OB OB AB OB OB OB OA OA OB =+-+=-+-=-+，故②对x y +为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，故P 的轨迹是线段，故③对如图，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则：OP ON OM =+；又OP xOA yOB =+；0x ∴≤，1y ≥；由图形看出，当P 与B 重合时：01OP OA OB =⋅+⋅；此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x y -取最大值1-，故④正确所以选项②③④正确. 故选：C 【点睛】结论点睛：若OC xOA yOB =+，则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=.2．C解析：C 【解析】，，又，，则，故选3．B解析：B 【分析】首先分别求出12a e e =+与122b e e =-+的数量积以及各自的模，利用数量积公式求之．【详解】由已知，1212e e ⋅=，所以(()1212)2e e e e +-+=32，|12e e +3，|122e e -+3, 设向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为α，则312cos ,2333παα==∴=⋅.故答案为B 【点睛】(1)本题主要考查向量的夹角的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求两个向量的夹角一般有两种方法,方法一：·cos ,ab a b a b=,方法二：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，θ为向量a 与b 的夹角，则121222221122cos x y x yθ=+⋅+.4．A解析：A 【解析】Rt AOB 中，0OA OB ⋅=，∴2AOB π∠=，∵5OA =，25OB =，∴225AB OA OB += ， ∵AB 边上的高线为OD ，点E 位于线段OD 上，建立平面直角坐标系，如图所示；则)5,0A、(025B ，、设(),D m n ，则OAD BAO ∽，∴OA ADAB OA=， ∴1AD =，∴15AD AB =，即()(155,255m n =-，，求得45m =， ∴4525D ⎝⎭；则45254525OE OD λλ⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 45255,EA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎭；∵34OE EA ⋅=， ∴2454525354⎫⎫⋅-=⎪⎪⎪⎪⎭⎝⎭，解得34λ=或14λ=；∴向量EA 在向量OD 上的投影为))452511ED OD OE λλ⎛⎫=-=-- ⎪⎪⎝⎭，当34λ=时，5512ED ⎛== ⎝⎭；当14λ=时，353532ED ==⎝⎭．即向量EA 在向量OD 上的投影为12或32，故选A.5．D解析：D 【分析】根据向量的几何意义把抽象问题具体化，转化到圆与圆的位置关系问题. 【详解】如图所示，设11OA a =，22OA a =，此时121A A =，由题意可知：对于任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈，作j j OB b =则有1j A B 等于1或2，且2j A B 等于1或2，所以点(1,2,,)j B j k =同时在以(1,2)i A i =为圆心，半径为1或2的圆上，由图可知共有6个交点满足条件，故k 的最大值为6.故选：D. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的应用.6．C解析：C 【分析】根据向量的运算法则，求得12AM AD AB =+，2132MN AD AB =-+，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】由题意，作出图形，如图所示：由图及题意，根据向量的运算法则，可得12AM AD DM AD AB =+=+， 2132MN CN CM CB CD =-=-21213232BC DC AD AB =-+=-+，所以2212121||||23234AM MN AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21936334=-⨯+⨯=.故选C ．【点睛】本题主要考查了向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟练应用向量的运算法则和向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.7．B解析：B 【分析】作出图形，利用平面向量的线性运算以及数量积的运算性质可得出21P OP E PF =⋅-，求得OP 的最大值，由此可求得PE PF ⋅的最大值. 【详解】如下图所示：由题可知正方形ABCD 的内切圆的半径为1，设该内切圆的圆心为O ，()()()()2221PE PF OE OP OF OP OP OE OP OE OP OE OP ⋅=-⋅-=-+⋅--=-=-，由图象可知，当点P 为ABCD 的顶点时，2OP 取得最大值2，所以PE PF ⋅的最大值为1.故选：B. 【点睛】本题考查平面向量数量积最值的计算，考查计算能力，属于中等题.8．A解析：A 【分析】根据2(1,2),(1,)+==a b m b m 可得0,2m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合||cos a θ=，列出等式，即可解出答案. 【详解】因为向量,a b 满足2(1,2),(1,)a b m b m +==，22(0,)a a b b m =+-=，所以20,,22m m a a b ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，若向量,a b 的夹角为θ，则2225||(||cos )152m b a m a b θ=+⋅=⋅=，所以42516160m m --=，即()()225440m m +-=，解得2m =±. 故选：A ．【点睛】本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是||||cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，cos ||||a ba b θ⋅=⋅（此时a b ⋅往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是||a bb ⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;（4）求向量ma nb +的模（平方后需求a b ⋅）. 9．C解析：C 【分析】对=2a b -两边平方后，结合2·cos 3a b a b π=⋅进行化简可得：224a b b +⋅+=；由基本不等式可得222a b a b +⋅，于是推出403a b<⋅，再结合平面向量数量积即可得解．【详解】因为2a b -=，所以 2224a a b b -⋅+=，所以2222cos 43b b a a π-⋅+=，即224a a b b +⋅+=，由基本不等式的性质可知，222a ba b +⋅，403a b∴<⋅，所以212·cos ,0323a b a b a b π⎡⎫=⋅⋅=-⋅∈-⎪⎢⎣⎭．故选：C ．【点睛】本题主要考查平面向量数量积运算，考查利用基本不等式求最值，难度一般.对于平面向量的模长问题，一般采用平方处理，然后结合平面向量数量积的运算公式求解即可．10．C解析：C 【分析】先根据题意得1AD =，CD =2AB DC =，再结合已知和向量的加减法运算求解即可得的答案. 【详解】由题意可求得1AD =，CD =所以2AB DC =，又13BE BC =，则()1133AE AB BE AB BC AB BA AD DC =+=+=+++ 1111333AB AD DC ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1111336AB AD AB ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭115116363AB AD AB AD ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查用基底表示向量，考查运算能力，是基础题.11．C解析：C 【分析】由0a b c ++=，可得2222222().2()a b c a b b c a b c =-+=-+、2222()a c b a c =-+，利用||||||a b c <<，即可比较．【详解】解：由0a b c ++=，可得()c a b =-+，平方可得2222()a b c a b =-+．同理可得2222()b c a b c =-+、2222()a c b a c =-+，||||||a b c <<，∴222a b c <<则a b 、b c 、a c 中最小的值是b c ．故选：C ．【点睛】本题考查了向量的数量积运算，属于中档题．12．B解析：B 【分析】由//m n ，可得()()()0a b a c b b c +⨯--⨯+=.结合余弦定理，可求角C . 【详解】(,),(,)m a b b c n c b a =++=-，且//m n ，()()()0a b a c b b c ∴+⨯--⨯+=，整理得222c a b ab =++. 又22212cos ,cos 2c a b ab C C =+-∴=-.()20,,3C C ππ∈∴=.故选：B. 【点睛】本题考查向量共线的坐标表示和余弦定理，属于基础题.二、填空题13．【分析】用几何意义求解不妨设则在圆心在原点半径为2的圆上设则在以为圆心半径为1的圆上运动后形成的轨迹是圆心在原点大圆半径为3小圆半径为1的圆环表示圆环内的点与定点的距离由图形可得最大值和最小值【详解解析：3⎡⎤⎣⎦【分析】用几何意义求解．不妨设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，则(,)C x y 在圆心在原点，半径为2的圆上，设(),d x y '='，则(,)D x y ''在以C 为圆心半径为1的圆上，C 运动后，D 形成的轨迹是圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环，2a b d ++表示圆环内的点D 与定点()2,1P --的距离，由图形可得最大值和最小值．【详解】令()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，设C 的坐标为(),x y ，C 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆上.设(),d x y '='，D 的坐标为(),x y ''，D 的轨迹为圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环上.()22,1a b d d ++=---表示D 与点()2,1P --的距离，由图可知，故2a b d ++的取值范围为0,53⎡⎤+⎣⎦. 故答案为：0,53⎡⎤+⎣⎦【点睛】本题考查向量模的几何意义，考查模的最值，解题关键是设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，(),d x y '='，固定,a b 后得出了,C D 的轨迹，然后由模2a b d ++的几何意义得出最值．14．①③【分析】根据点的广义坐标分别为利用向量的运算公式分别计算①②③④得出结论【详解】点的广义坐标分别为对于①线段的中点设为M 根据=（）=中点的广义坐标为故①正确对于②∵（x2﹣x1）A 两点间的距离为解析：①③ 【分析】根据点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，1112OA x e y e ∴=+，2122OB x e y e =+，利用向量的运算公式分别计算①②③④，得出结论.【详解】点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，1112OA x e y e ∴=+，2122OB x e y e =+，对于①，线段A 、B 的中点设为M ，根据OM =12（OA OB +）=12112211()()22x x e y y e +++∴中点的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭,故①正确. 对于②，∵AB =（x 2﹣x 1）()1212e y y e +-，∴A 、B 12e ，故②不一定正确.对于③，向量OA 平行于向量OB ，则t OA OB =，即（11,x y ）=t ()22,x y ,1221x y x y ∴=，故③正确.对于④，向量OA 垂直于向量OB ，则OA OB =0，221211221121220x x e x y x y e e y y e ∴+++=（），故④不一定正确.故答案为①③. 【点睛】本题在新情境下考查了数量积运算性质、数量积定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．【解析】分析：建立平面直角坐标系结合平面向量数量积的坐标运算整理计算即可求得最终结果详解：建立如图所示的平面直角坐标系则：由中心坐标公式可得：即据此有：结合平面向量数量积的坐标运算法则可得：点睛：求解析：209-【解析】分析：建立平面直角坐标系，结合平面向量数量积的坐标运算整理计算即可求得最终结果.详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则：()0,2A ，()0,0B ，()C ，由中心坐标公式可得：2003G ⎫++⎪⎪⎝⎭，即23G ⎫⎪⎭，据此有：233GB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，4233GC ⎛⎫=-⎪⎭，结合平面向量数量积的坐标运算法则可得：222203339GB GC ⎛⎛⎫⎛⎫⋅=--⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎝⎭.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．16．【分析】由可得为的外心又可得为的垂心则为的中心即为正三角形运用向量的数量积定义可得的边长以为坐标原点所在直线为轴建立直角坐标系求得的坐标再设由中点坐标公式可得的坐标运用两点的距离公式可得的长运用三角解析：494【分析】由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心，又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得D 为ABC ∆的垂心，则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形．运用向量的数量积定义可得ABC ∆的边长，以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，求得,B C 的坐标，再设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由中点坐标公式可得M 的坐标，运用两点的距离公式可得BM 的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．【详解】解: 由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心，又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得()0,(DB DA DC DC DB ⋅-=⋅ )0DA -=，即0DB AC DC AB ⋅=⋅=，即有,DB AC DC AB ⊥⊥，可得D 为ABC ∆的垂心，则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形，由2DA DB ⋅=-，即有||||cos1202DA DB ︒⋅=-，解得||2DA =，ABC ∆的边长为4cos3023︒=以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，可得B(3,3),C(3,3),D(2,0)-，由||1AP =，可设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由PM MC =，可得M 为PC 中点，即有3cos 3sin (2M θθ++，则2223cos3sin||3=3+2BMθθ⎛⎫++⎛⎫-+⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝22(3cos)(33sin)376cos63sin4θθθθ-+-+=+=3712sin64πθ⎛⎫+-⎪⎝⎭=，当sin16πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，即23πθ=时，取得最大值，且为494．故答案为：494．【点睛】本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．17．【分析】延长BC作圆M的切线设切点为A1切线与BD的交点D结合数量积的几何意义可得点A运动到A1时在上的投影最小设将结果表示为关于的二次函数求出最值即可【详解】如图延长BC作圆M的切线设切点为A1切解析：2-【分析】延长BC，作圆M的切线，设切点为A1，切线与BD的交点D，结合数量积的几何意义可得点A运动到A1时，CA在CB上的投影最小，设CP x=，将结果表示为关于x的二次函数，求出最值即可.【详解】如图，延长BC，作圆M的切线，设切点为A1，切线与BD的交点D，由数量积的几何意义，CA CB⋅等于CA在CB上的投影与CB之积，当点A运动到A1时，CA在CB上的投影最小；设BC中点P，连MP，MA1，则四边形MPDA1为矩形；设CP=x，则CD=2-x，CB=2x，CA CB⋅=()()222224212x x x x x--⋅=-=--，[]02x∈，，所以当1x =时，CA CB ⋅最小，最小值为2-，故答案为：2-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的几何意义，考查了学生的作图能力以及分析问题解决问题的能力，属于中档题.18．【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数量积运算解析：77【分析】根据条件及向量数量积运算求得AB AC ⋅,连接,AM AN ,由三角形中线的性质表示出,AM AN .根据向量的线性运算及数量积公式表示出2MN ,结合二次函数性质即可求得最小值. 【详解】根据题意,连接,AM AN ,如下图所示:在等腰三角形ABC 中,已知1AB AC ==,120A ∠=︒则由向量数量积运算可知1cos 11cos1202AB AC AB AC A ⋅=⋅=⨯⨯=- 线段EF BC 、的中点分别为M N 、则()()1122AM AE AF AB AC λμ=+=+ ()12AN AB AC =+ 由向量减法的线性运算可得11112222MN AN AM AB AC λμ⎛⎫⎛⎫=-=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2211112222MN AB AC λμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222211111111222222222AB AC AB AC λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭221111111112222222222λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为41λμ+=,代入化简可得22221312111424477MN μμμ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭因为(),0,1λμ∈且41λμ+=10,4μ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭所以当17μ=时, 2MN 取得最小值17因而minMN==故答案为: 7【点睛】本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.19．【分析】将已知条件转化为结合得到设列出关于的方程组由此求得【详解】由于所以所以即因为即化简得设所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理考查平面向量的线性运算考查化归与转化的数学思想解析：53【分析】将已知条件转化为1539AO AB AC =+，结合BD DC λ=，得到111AD AB AC λλλ=+++，设AO k AD =，列出关于,k λ的方程组，由此求得λ. 【详解】由于305OA OB OC =++，所以()()350OA AB AO AC AO +-+-=，所以935AO AB AC =+，即1539AO AB AC =+. 因为BD DC λ=，即()AD AB AC AD λ-=-, 化简得111AD AB AC λλλ=+++，设11k k AO k AD AB AC λλλ==+++，所以1 13519kkλλλ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得53λ=.故答案为：53【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理，考查平面向量的线性运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.20．【分析】由已知得由得由不等式可知再由得最后由可得解【详解】由得即由得即由得由得所以故答案为：【点睛】本题考查了向量及其模的运算考查了向量的夹角公式和基本不等式考查了计算能力属于中档题解析：0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由已知，得22222923a ab ba ab b+⋅⎧⎪⎨⎪+=-⋅+=⎩②①，由+①②，得226a b+=，由不等式可知3a b ≤，再由-①②，得32a b⋅=，最后由cos,a ba ba b⋅=可得解.【详解】由3a b+=，3a b-=，得()()2239baab⎧⎪⎨⎪-==+⎩，即22222923a ab ba ab b+⋅⎧⎪⎨⎪+=-⋅+=⎩②①由+①②，得226a b+=，即226a b+=由-①②，得32a b⋅=由222a b a b +≥，得3a b ≤1cos ,2a b a b a b⋅=≥所以，0,3a b π≤≤.故答案为：0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了向量及其模的运算，考查了向量的夹角公式和基本不等式，考查了计算能力，属于中档题.三、解答题21．（1）6；（2）58,99m n ==；（3）1118k =-.【分析】（1）利用向量加法的坐标运算得到()320,6a b c +-=，再求模长即可；（2）先写mb nc +的坐标，再根据a mb nc =+使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可. 【详解】解：（1）由(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=，得3(9,6),(1,2),2(8,2)a b c ==-=∴()()32918,6220,6a b c +-=--+-=，∴23206a b c +-=+=；（2）()(),2,4,mb m m nc n n =-=， ∴()4,2mb nc n m m n +=-+，a mb nc =+，∴()4,2(3,2)a n m m n ==-+，故4322n m m n -=⎧⎨+=⎩，解得58,99m n ==；（3）(3,2),(4,)a kc k k ==，∴()34,2a kc k k +=++，(3,2),2(2,4)a b ==-，∴()25,2b a -=-，()()2a kc b a +⊥-，∴()()20a kc b a +⋅-=，即()()534220k k -+++=，解得1118k =-. 【点睛】结论点睛：若()()1122,,,a x y b x y == ，则//a b 等价于12210x y x y -=；a b ⊥等价于12120x x y y +=.22．（1；（2. 【分析】（1）由已知利用平面向量数量积公式可得1a b ⋅=，平方后根据向量数量积的运算可求||a b +的值．（2）结合（1），根据已知条件，由向量夹角的余弦公式即可求解．【详解】（1）向量a 与b 的夹角为3π，且||1a =，||2b =， ∴||||cos a b a b a ⋅=<，112cos12132b π>=⨯⨯=⨯⨯=．222||()2142a b a b a b a b ∴+=+=++⋅=++=．（2）设向量a b +与向量a 的夹角θ，22()||27cos ||||||||||||71a b a a a b a a b a b a a b a a b a θ+⋅+⋅+⋅∴=====+⋅+⋅+⋅⨯．【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的余弦公式，属于中档题．23．（1）π3；（2）【分析】（1）设向量a 与b 的夹角θ，利用向量的数量积公式计算()2a b a ⋅-=，可得向量的夹角；（2）利用向量的模长公式：2a a =，代入计算可得. 【详解】（1）设向量a 与b 的夹角θ， ()16cos 12a b a a b θ⋅-=⋅-=-=，解得1cos 2θ=，又[]0πθ∈，，π3θ∴= （2）由向量的模长公式可得：()222a b a b -=-==. 【点睛】本题主要考查向量数量积公式的应用，向量模长的计算，求向量的模长需要熟记公式2a a =，考查学生的逻辑推理与计算能力，属于基础题.24．（1）118；（2）31.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）首先以点A 为坐标原点建立平面直角坐标系．求AM ，AN 的坐标，再求数量积；（2）首先利用BM DN =，设BM DN t ==，表示向量AM ，AN ，利用数量积的坐标表示转化为二次函数求取值范围. 【详解】（1）如图，以AB 所在直线为x 轴，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系．因为ABCDEF 是边长为1的正六边形，且M ，N 分别是BC ，DE 的中点，所以53,44M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，132N ⎛ ⎝，所以5311848AM AN ⋅=+=．（2）设BM DN t ==，则[]0,1t ∈．所以31,22t M ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，(13N t -．所以()()223113*********t AM AN t t t t t ⎛⎫⋅=+⋅-+=-++=--+ ⎪⎝⎭．当0t =时，AM AN ⋅取得最小值1；当1t =时，AM AN ⋅取得最大值32．所以AM AN ⋅的取值范围为31.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查数量积的坐标表示，重点考查计算能力，属于基础题型.25．(1)()26f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭;(2)()2g x sin x =, 对称轴为,42k x k Z ππ=+∈;(3)112m ≤<,,1223x x π+=. 【分析】 (1) 根据向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭和函数()f x u v =⋅，利用数量积结合倍角公式和辅助角法得到，()26πω⎛⎫=-⎪⎝⎭f x sin x ，再根据函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π求解. (2)依据左加右减，将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后，得到函数()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令2,2ππ=+∈x k k Z 求其对称轴. (3)作出函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上图象，根据函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点求解.再令2,62x k k Z πππ-=+∈，求对称轴. 【详解】(1)()()21122ωωωωωω=-=-f x sin x sin x x sin x xcos x ，1222226πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭sin x cos x sin x ∵函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π， ∴22T π=， ∴2(0)2ππωω=>， ∴ω=1，故函数f (x )的解析式为()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭; (2)依题意，()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令2,2ππ=+∈x k k Z ，则,42ππ=+∈k x k Z ， ∴函数g (x )的对称轴为,42ππ=+∈k x k Z ;(3)∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴12,162sin x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的草图如下，依题意，函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点，则112m ≤<，令2,62x k k Z πππ-=+∈，则,32k x k Z ππ=+∈， ∴函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的对称轴为3x π=，则1223x x π+=. 【点睛】本题主要考查了平面向量和三角函数，三角函数的图象和性质及其应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.26．（1）1135AF m n =+（2）310CG CB = 【分析】（1）依题意可得23AD AB =、14AE AC =，再根据DE AE AD =-，AF AD DF =+计算可得；（2）设存在实数λ，使得(01)CG CB λλ=<<，由因为//EG AF ，所以存在实数μ，使AF EG μ=，再根据向量相等的充要条件得到方程组，解得即可；【详解】解：（1）因为D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点，所以23AD AB =.因为E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点，所以14AE AC =，所以1243DE AE AD AC AB =-=-. 因为4DF FE =，所以4185515DF DE AC AB ==-，则2183515AF AD DF AB AC AB =+=+- 2111()15535AB AB BC AB BC =++=+. 又AB m =，BC n =. 所以11113535AF AB BC m n =+=+. （2）因为G 是线段BC 上一点，所以存在实数λ，使得(01)CG CB λλ=<<，则33()44EG EC CG AC CB AB BC BC λλ=+=+=+- 3333()()4444AB BC m n λλ=+-=+- 因为//EG AF ，所以存在实数μ，使AF EG μ=，即1133[()]3544m n m n μλ+=+-，整理得31,4331(),45μμλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得310λ=，故310CGCB =. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算及平面向量共线定理的应用，属于中档题.。

高一数学必修二《平面向量》单元综合测试卷(答案)

高一数学必修二《平面向量》单元综合测试卷(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( )A ．(－7，－4)B ．(7,4)C ．(－1,4)D ．(1,4)【答案】 A2．设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )A ．－32B ．－53C ．53D ．32【答案】 A3．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( )A ．－32a 2B ．－34a 2C ．34a 2D ．32a 2 【答案】 D4．对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立．．．．的是( ) A ．|a·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2【答案】 B5．已知非零向量a ，b 满足|b|＝4|a|，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( )A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π6【答案】 C6．△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →【答案】 D7．已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，|a ＋b|＝50，则|b|＝( )A ．0B ．2C ．5D ．25【答案】 C8.已知AD ，BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，设AD →＝a ，BE →＝b ，则BC →等于( )A ．43a ＋23bB ．23a ＋43bC ．23a －43bD ．－23a ＋43b 【答案】 B9．设非零向量a ，b ，c 满足|a|＝|b|＝|c|，a ＋b ＝c ，则向量a ，b 的夹角为( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°【答案】 B10．在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，E 是CD 上一点，且AE →·AB →＝1，则AE →·AC →的值为( )A ．3B ．2C ．32D ．33【答案】 B11．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点坐标为( )A ．(－3,0)B ．(3,0)C ．(2,0)D ．(4,0)【答案】 B12．在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．三边均不相等的三角形【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.【答案】－614．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．【答案】－315．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)．若a ⊥(t a ＋b )，则实数t 的值为________．【答案】－516．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.【答案】 12 －16三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)不共线向量a ，b 的夹角为小于120°的角，且|a|＝1，|b|＝2，已知向量c ＝a ＋2b ，求|c|的取值范围．【解】 |c|2＝|a ＋2b|2＝|a|2＋4a·b ＋4|b|2＝17＋8cos θ(其中θ为a 与b 的夹角)．因为0°<θ<120°，所以－12<cos θ<1，所以13<|c|<5，所以|c |的取值范围为(13，5)．18．(本小题满分12分)设OA →＝(2，－1)，OB →＝(3,0)，OC →＝(m,3)．(1)当m ＝8时，将OC →用OA →和OB →表示； (2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，求实数m 应满足的条件．【解】 (1)m ＝8时，OC →＝(8,3)，设OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴(8,3)＝λ1(2，－1)＋λ2(3,0)＝(2λ1＋3λ2，－λ1)，∴⎩⎨⎧ 2λ1＋3λ2＝8，－λ1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＝－3，λ2＝143，∴OC →＝－3OA →＋143OB →. (2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，则有AB →与AC →不共线，又AB →＝OB →－OA →＝(3,0)－(2，－1)＝(1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(m,3)－(2，－1)＝(m －2,4)，则有1×4－(m －2)×1≠0，∴m ≠6.19．(本小题满分12分)设i ，j 是平面直角坐标系中x 轴和y 轴正方向上的单位向量，AB →＝4i －2j ，AC →＝7i ＋4j ，AD →＝3i ＋6j ，求四边形ABCD 的面积．【解】因为AB →·AD →＝(4i －2j )·(3i ＋6j )＝3×4－2×6＝0，所以AB →⊥AD →.又因为AC →＝7i ＋4j ＝4i －2j ＋3i ＋6j ＝AB →＋AD →，所以四边形ABCD 为平行四边形，又AB →⊥AD →，所以四边形ABCD 为矩形，所以S 四边形ABCD ＝|AB →|×|AD →|＝16＋4×9＋36＝30.20．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 在同一平面内，且a ＝(1,2)．(1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c ； (2)若|b |＝52，且(a ＋2b )⊥(2a －b )，求a 与b 的夹角．【解】 (1)∵c ∥a ，∴设c ＝λa ，则c ＝(λ，2λ)．又|c |＝25，∴λ＝±2，∴c ＝(2,4)或(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0.∵|a |＝5，|b |＝52，∴a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝180°.21．(本小题满分12分)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．【解】 (1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2.又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎨⎧cos α＋cos β＝0， ①sin α＋sin β＝1， ②由①得，cos α＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.22．(本小题满分12分)已知⊙O 的直径为10，AB 是⊙O 的一条直径，长为20的线段MN 的中点P 在⊙O 上运动(异于A ，B 两点)．(1)求证：AM →·BN →与点P 在⊙O 上的位置无关；(2)当MN →与AB →的夹角θ取何值时，AM →·BN →有最大值？【解】 (1)证明：∵AB 为⊙O 的直径，P 为圆上一点，∴AP ⊥BP ，∴AP →⊥BP →，即AP →·BP →＝0.∵P 为MN 的中点，且|MN →|＝20，∴MP →＝PN →，|MP →|＝|PN →|＝10，∴AM →·BN →＝(AP →＋PM →)·(BP →＋PN →)＝(AP →－PN →)·(BP →＋PN →)＝AP →·BP →＋AP →·PN →－PN →·BP →－PN →·PN →＝PN →·(AP →－BP →)－100＝12MN →·AB →－100，∴AM →·BN →仅与MN →，AB →的夹角有关，而与点P 在⊙O 上的位置无关．(2)由(1)得，AM →·BN →＝12MN →·AB →－100＝100cos θ－100. ∵0≤θ≤π，∴当θ＝0时，AM →·BN →取得最大值0.。

高中数学必修二平面向量练习题

高中数学必修二平面向量练习题1. 已知向量 a = 3i - 4j + 2k 和向量 b = i + 2j - 3k，求向量 a - b 的模长。

2. 若向量 a = 2i - 3j + 5k 和向量 b = 3i - 4j + 2k，求向量 a · b 的结果。

3. 已知向量 a = 2i - 3j + k 和向量 b = -i + 4j - 2k，求向量 a × b 的结果。

4. 已知向量 a = 3i - 2j + 5k 和向量 b = 2i + j - k，求向量 a 在向量 b 上的投影。

5. 若向量 a = 3i - 2j + k 和向量 b = 2i + j - 2k，求向量 a 与向量b 的夹角的余弦值。

6. 设直线 l 的对称式为 x - y = 1，点 A(2, 3) 在直线 l 上，求点A 关于直线 l 的对称点坐标。

7. 已知平面上点 A(1, 2, -3) 和点 B(2, -1, 4)，求向量 AB 的模长。

8. 若向量 a = 2i - 3j + 4k 和向量 b = -i + 4j - 2k，求向量 a + b 的结果。

9. 已知向量 a = 3i - j + 4k 和向量 b = -2i + 5j - 3k，求向量 a × b的结果。

10. 设平面 P 的法向量为 n = i + 2j - 3k，平面 P 上一点为 A(1, 2, -3)，求平面 P 的方程。

以上是高中数学必修二平面向量的练题，希望能帮助你巩固和练相关知识。

如需解答，请参考下面的答案。

1. 向量 a - b = (3 - 1)i + (-4 - 2)j + (2 + 3)k = 2i - 6j + 5k模长 |a - b| = √(2^2 + (-6)^2 + 5^2) = √652. 向量 a · b = (2)(3) + (-3)(-4) + (5)(2) = 6 + 12 + 10 = 283. 向量 a × b = (2)(4)i + (-3)(-1)j + (1)(-i + 4j) = 8i + 3j + 4k4. 向量 a 在向量 b 上的投影为：(向量 a ·向量 b 单位向量)b向量 a ·向量 b = (3)(2) + (-2)(1) + (5)(-1) = 6 - 2 - 5 = -1向量 b 的模长 |b| = √(2^2 + 1^2 + (-1)^2) = √6向量 b 的单位向量为：(1/√6)(2i + j - k)投影向量 = (-1)(1/√6)(2i + j - k) = (-1/√6)(2i + j - k)5. 两个向量的夹角的余弦值公式为：cosθ = (向量 a ·向量 b) / (|a| |b|)|a| = √(3^2 + (-2)^2 + 1^2) = √14|b| = √(2^2 + 1^2 + (-2)^2) = √9 = 3向量 a ·向量 b = (3)(2) + (-2)(1) + (1)(-2) = 6 - 2 - 2 = 2cosθ = 2 / (√14 * 3)6. 直线的对称式为 x - y = 1，斜率为1，由直线的对称性，对称点的坐标为：(2 + 2, 3 + 1) = (4, 4)7. 向量 AB = (2 - 1)i + (-1 - 2)j + (4 - (-3))k = i - 3j + 7k模长|AB| = √(1^2 + (-3)^2 + 7^2) = √598. 向量 a + b = (2 + (-1))i + (-3 + 4)j + (4 + (-2))k = i + j + 2k9. 向量 a × b = (3)(5)i + (-1)(-2)j + (4)(-2)k = 15i + 2j - 8k10. 平面 P 的方程为 A·n + d = 0，其中 A 为平面上一点的坐标，n 为法向量，d 为常数项A·n = (1)(1) + (2)(2) + (-3)(-3) = 1 + 4 + 9 = 14平面 P 的方程为 x + 2y - 3z + d = 0，代入点 A 的坐标可得 d = -14所以平面 P 的方程为 x + 2y - 3z - 14 = 0希望以上练习题和解答能为你提供帮助，并使你对高中数学必修二平面向量的相关概念和计算方法更加理解。

(完整版)高中数学平面向量综合练习含解析

高中数学
1.在△
uuu
ABC中，AB
r c,
uuur AC
b.若点
uuur
D满足BD
uuur
2DC，贝U
uiur
AD()
2〔
1r
5r
2r
2r
1r
1r
2r
A.—b
_c
B.
-c
-b
C.
_b
-c
D.—b
-c
3
3
3
3
3
3
3
3
uuu
uur
uuu
uuu
2.已知
OA
1,
OB
船,
OA
OB
0,
占
八、、
C在
AOB内，且
)
A.
1B.
2或1C. 2
D
2
r
r
r
r
r
5.
已知向量a
（1,2），向量b
(x, 2)，
且
a
(a
b），则实数
x等于
A.
4
B.4C.0
D.
9
r
r-
rr
r
rr
6.
已知|a|=1,
1b|=2，且
a (a
b)
，则向量
a与向量b
的夹角为（
)
A.—
B.—C.—
D.2
6
4
3
3
r rr r r
r
「r r
7.已知平面向量a，b满足a a b 3，且
AOC:
uuu uun uuum
OC mOA nOB m,n R，则m等于()

人教版B版(2019)高中数学必修第二册：第六章平面向量初步综合测试(附答案与解析)

知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
第六章综合测试
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知平面向量 a = (−1, 2) ； b = (1,0) ，则向量 3a + b 等于（）
A. (−2,6)
C.若 a 和 b 都是单位向量，则 a = b 或 a = −b
D.零向量与任何向量都共线
uuur uuur uuur
uuur
4.在四边形 ABCD 中，设 AB = a, AD = b, BC = c ，则 DC 等于（）
D. (2, −6) uuur
D. DB
A. a − b + c
B. b − (a + c)
（1）求 3a + b − 3c 的值；（2）求满足 a = mb + nc 的实数 m,n 的值；
uuur （3）若线段 AB 的中点为 M ，线段 BC 的三等分点为 N （点 N 靠近点 B ），求 MN .
6 / 15
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根 22.（12 分）如图，已知河水自西向东流，流速为 v0 = 1 m / s ，设某人在静水中游泳的速度为 v1 ，在水中的
C.外心
D.内心
uuur uuur
uuur
9.已知 O, A, B 是平面内的三个点，直线 AB 上有一点 C ，满足 AB + AC = 0 ，则 OC = （）
uur uuur A. 2OA − OB
uur uuur B. −OA + 2OB
C.
2
uur OA

高中数学必修四第二章《平面向量》单元测试题(含答案)

高中数学必修四第二章单元测试题《平面向量》（时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则 a b ⋅=（）．A. 20B. 10C. 10-D. 20-2．已知向量31,22BA ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭， ()0,1BC =，则向量BA 与BC 夹角的大小为（） A. π6 B. π4 C. π3 D. 2π33.已知向量()11a =-，， ()12b =-，，则()2a b a +⋅＝（）A. 1-B. 0C. 1D. 24．已知向量，若，则实数m 的值为（） A. 0 B. 2 C. D. 2或 5．如上图，向量1e ， 2e ， a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 用基底1e ， 2e 表示为( )A. 1e ＋2eB. 21e －2eC. －21e ＋2eD. 21e ＋2e6．若三点()1,2A --、()0,1B -、()5,C a 共线，则a 的值为（）A. 4B. 4-C. 2D. 2-7．已知平面向量,a b 的夹角为60°，()1,3a =， 1b =，则a b +=（）A. 2B. 37 D. 48．已知向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则 a b ⋅=（）．A. 20B. 10C. 10-D. 20-9.已知向量()()()3,1,0,1,,3a b c k ==-=，若（2a b -）与c 互相垂直，则k 的值为 A. 1 B. 1- C. 3 D. 3-10.已知点()0,1A ， ()1,2B ， ()2,1C --， ()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（） A. 322 B. 2 C. 322- D. 3152- 11．在矩形ABCD 中， 3AB =， 3BC =， 2BE EC =，点F 在边CD 上，若•3AB AF =，则•AE BF 的值为（）A. 0B. 833C. 4-D. 4 12．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形， P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值为（）A. 3-B. 6-C. 2-D. 83-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+与2a b -共线，则λ=__________．14.已知单位向量a ， b 满足()1•232a ab -=，则向量a 与b 的夹角为__________． 15．在平行四边形ABCD 中， AC 与BD 交于点O ， E 是线段OD 的中点， AE 的延长线与CD 交于点F . 若AC a =， BD b =，则AF 等于_______（用a ， b 表示）.16．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在线段AB 边上运动（包含线段端点），则DE CB ⋅的值为__________； DE DB ⋅的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题10分）已知四点A （-3，1），B （-1，-2），C （2，0），D （23,4m m +）（1）求证： AB BC ⊥；(2) //AD BC ，求实数m 的值.18．（本小题12分）已知向量()1,2a =，()3,4b =-．（1）求a b +与a b -的夹角；（2）若()a ab λ⊥+，求实数λ的值．19．（本小题12分）已知是夹角为的两个单位向量，，.（1）求；（2）求与的夹角.20．（本小题12分）如图，在平行四边形中，，是上一点，且. （1）求实数的值；（2）记，，试用表示向量，，.21．（本小题12分）已知向量a 与b 的夹角为120︒， 2,3a b ==， 32,2m a b n a kb =-=+. （I ）若m n ⊥，求实数k 的值；（II ）是否存在实数k ，使得//m n ？说明理由.22.（本小题12分）已知点(1,0),(0,1)A B -，点(,)P x y 为直线1y x =-上的一个动点.（1）求证：APB ∠恒为锐角；（2）若四边形ABPQ 为菱形，求BQ AQ ⋅的值.高中数学必修四第二章单元测试题《平面向量》参考答案（时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则 a b ⋅=（）．A. 20B. 10C. 10-D. 20- 【答案】C【解析】向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则a b a b ⋅=⨯ 1cos12054102⎛⎫︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭．故选：C ．2．【2017届北京房山高三上期末】已知向量31,22BA ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭， ()0,1BC =，则向量BA 与BC 夹角的大小为（）A. π6B. π4C. π3D. 2π3【答案】C3.【2018届四川省成都市郫都区高三上期中】已知向量()11a =-，， ()12b =-，，则()2a b a +⋅＝（） A. 1- B. 0 C. 1 D. 2【答案】C【解析】()()()21,01,11a b a +⋅=-=,故选：C.4．已知向量，若，则实数m 的值为（） A. 0 B. 2 C.D. 2或【答案】C 【解析】∵向量，且 ∴， ∴.选C. 5．如上图，向量1e ， 2e ， a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 用基底1e ， 2e 表示为( )A. 1e ＋2eB. 21e －2eC. －21e ＋2eD. 21e ＋2e【答案】C6．若三点()1,2A --、()0,1B -、()5,C a 共线，则a 的值为（）A. 4B. 4-C. 2D. 2-【答案】A【解析】()1,2A --, ()()0,1,5B C a -，三点共线ABAC λ∴→=→即()()1162a λ=+，，()16{ 12a λλ==+ 16λ∴=, 4a = 故答案选A .7．【2018届全国名校大联考高三第二次联考】已知平面向量,a b 的夹角为60°，()1,3a =， 1b =，则a b +=（） A. 2 B. 23 C. 7 D. 4 【答案】C 8．已知向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则 a b ⋅=（）．A. 20B. 10C. 10-D. 20-【答案】C【解析】向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则a b a b ⋅=⨯ 1cos12054102⎛⎫︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭．故选：C ．9.【2018届福建省福安市一中上学期高三期中】已知向量()()()3,1,0,1,,3a b c k ==-=，若（2a b -）与c 互相垂直，则k 的值为A. 1B. 1-C. 3D. 3-【答案】D【解析】()23,3a b -=，因为（2a b -）与c 互相垂直，则()233303a b c k k -⋅=+=⇒=-，选D. 10.【2018届河南省中原名校高三第三次考评】已知点()0,1A ， ()1,2B ， ()2,1C --， ()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（）A. 322B. 2C. 322-D. 3152-【答案】B【解析】()()1,1.5,5AB CD ==则向量AB 在CD 方向上的投影为10cos ,252AB CDAB AB CD AB AB CD ⋅=⋅==故选B.11．【2018届黑龙江省齐齐哈尔地区八校高三期中联考】在矩形ABCD 中， 3AB =，3BC =， 2BE EC =，点F 在边CD 上，若•3AB AF =，则•AE BF 的值为（）A. 0B. 833 C. 4- D. 4【答案】C【解析】12．【2018届河南省漯河市高级中学高三上期中】已知ABC ∆是边长为4的等边三角形， P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值为（）A. 3-B. 6-C. 2-D. 83-【答案】B【解析】如图建立坐标系， (()()0,23,2,0,2,0A B C -，设(),P x y ，则()()(),23,2,,2,PA x y PB x y PC x y =--=---=--，()()()22,232,22243PA PB PC x y x y x y ∴⋅+=-⋅--=+-(222366x y ⎡⎤=+--≥-⎢⎥⎣⎦，∴最小值为6-，故选B.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+与2a b -共线，则λ=__________．【答案】12-【解析】由题意得()11:2:12λλ=-∴=- .14.【2018届河北省邢台市高三上学期第二次月考】已知单位向量a ， b 满足()1•232a ab -=，则向量a 与b 的夹角为__________．【答案】60°（或3π）【解析】因为()1232a a b ⋅-=，化简得： 2123232a a b a b -⋅=-⋅=，即12a b ⋅=，所以1cos ,2a b a b a b⋅==⋅，又0,a b π≤≤，所以,3a b π=，故填3π. 15．【2018届福建省三明市第一中学高三上学期期中】在平行四边形ABCD 中， AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点， AE 的延长线与CD 交于点F . 若AC a =， BD b =，则AF 等于_______（用a ，b 表示）.【答案】2133a b + 【解析】∵AC a =， BD b =，∴11112222AD AC BD a b =+=+. ∵E 是OD 的中点，∴＝，∴DF＝AB .∴111111332266DF AB AC BD a b ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭， ∴111121226633AF AD DF a b a b a b =+=++-=+. 16．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在线段AB 边上运动（包含线段端点），则DE CB ⋅的值为__________； DE DB ⋅的取值范围为__________．【答案】 1 []1,2【解析】如图，以D 为坐标原点，以DC ， DA 分别为x ， y 轴，建立平面直角坐标系， ()0,0D ， ()0,1DE x ， ()1,1B ， ()0,1CB ，()1,0C ， ()1,1DB ， ()0,1E x ， []00,1x ∈，∴1DE CB ⋅=， 01DE DB x ⋅=+，∵001x ≤≤，0112x ≤+≤，∴DE DB ⋅的取值范围为[]1,2，故答案为1， []1,2.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题10分）已知四点A （-3，1），B （-1，-2），C （2，0），D （23,4m m +）（1）求证： AB BC ⊥； (2) //AD BC ，求实数m 的值. 【答案】(1)见解析(2) 12-或1 【解析】试题分析：（1）分别根据向量的坐标运算得出AB BC ，算出AB BC ⋅（2）由向量的平行进行坐标运算即可. 试题解析：(1)依题意得， ()()2,3,3,2AB BC =-= 所以()23320AB BC ⋅=⨯+-⨯= 所以AB BC ⊥.18．（本小题12分）已知向量()1,2a =，()3,4b =-．（1）求a b +与a b -的夹角；（2）若()a ab λ⊥+，求实数λ的值．【答案】（1）34π；（2）1-．【解析】（1）因为()1,2a =，()3,4b =-，所以()2,6a b +=-，()4,2a b -=- 所以()()2,64,2202cos ,240204020a b a b -⋅--+-===-⨯⨯，由[],0,a b a b π+-∈，则3,4a b a b π+-=；（2）当()a ab λ⊥+时，()0a a b λ⋅+=，又()13,24a b λλλ+=-+，所以13480λλ-++=，解得：1λ=-.19．（本小题12分）已知是夹角为的两个单位向量，，.（1）求；（2）求与的夹角. 【答案】(1);(2)与的夹角为.【解析】试题分析：（1）向量点积的运算规律可得到再展开根据向量点积公式得最终结果；（2）同第一问，由向量点积公式展开=0.∵是夹角为的两个单位向量，∴，(1)(2) ,,∴，∴与的夹角为.20．（本小题12分）如图，在平行四边形中，，是上一点，且. （1）求实数的值；（2）记，，试用表示向量，，.【答案】(1)；(2)，，.【解析】试题分析：（1）根据平面向量共线定理得到，由系数和等于1，得到即。