三角函数化简练习(提斜公式)
高中数学三角函数的恒等变换及化简求值精选题
三角函数的恒等变换及化简求值精选题一．选择题（共7小题） 1．若3ta n 4α=，则2c o s 2s in 2(αα+=)A ．6425B ．4825C ．1D ．16252．若3c o s ()45πα-=，则sin 2(α=)A ．725B ．15C ．15-D ．725-3．已知向量(sin ,2),(1,c o s )ab θθ=-=，且ab⊥，则2sin 2c o s θθ+的值为( )A ．1B ．2C ．12D ．34．若1ta n 3θ=，则c o s 2(θ=)A ．45-B ．15- C ．15D ．455．已知角α的终边经过点(2,1)P -，则sin c o s (sin c o s αααα-=+ )A ．3B ．13C ．13-D ．3- 6．已知函数()s in (2)6f x x π=-，若方程3()5f x =的解为1x ，212(0)x x x π<<<，则12sin ()(x x -=)A ．45-B ．35-C ．3-D ．3-7．已知1ta n 4ta n θθ+=，则2c o s ()(4πθ+=)A ．12B ．13C ．14D ．15二．填空题（共15小题）9．设当x θ=时，函数()s in o s f x x x=+取得最大值，则ta n ()4πθ+=．10．求值：s in 50(1n 10)︒+︒=．11．1s in 10c o s 10-=︒︒．12．已知s in 10c o s 102c o s 140m ︒+︒=︒，则m=．13．4c o s 50ta n 40︒-︒=．14．2c o s 10s in 20s in 70︒-︒=︒．15．已知1ta n 31ta n αα+=-，则2sin 2sin co s 1ααα-+=．16．若1s in ()43πα-=，则c o s ()4πα+=．17．若o s 2in 2c o s ()4θθπθ=+，则s in 2θ=．18．若ta n 3α=，则s in 2ta n ()4απα+的值为 ．19．若ta n 3,(0,)2παα=∈，则c o s ()4πα-=．20．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2s in 18m =︒，若24m n +=，si n 63=︒．21．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为2s in 18a=︒，若24a b +=，则2=．22．函数2()ta n 60s in 2inf x x x=︒+在[,]2ππ上的值域为 ．三．解答题（共3小题） 23．设函数()s in ()s in ()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<，已知()06f π=．（Ⅰ）求ω； （Ⅱ）将函数()yf x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在[4π-，3]4π上的最小值．24．已知α，β为锐角，4ta n 3α=，c o s ()5αβ+=-（1）求c o s 2α的值； （2）求tan ()αβ-的值．25．已知函数22()s inc o s in f x x x x =--co s ()x x R ∈．（Ⅰ）求2()3f π的值．（Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．三角函数的恒等变换及化简求值精选题25道参考答案与试题解析一．选择题（共7小题） 1．若3ta n 4α=，则2c o s 2s in 2(αα+=)A ．6425B ．4825C ．1D ．1625【分析】将所求的关系式的分母“1”化为22(c o s sin )αα+，再将“弦”化“切”即可得到答案． 【解答】解：3ta n 4α=，22222314c o s 4s in c o s 14ta n 644c o s 2s in 29s in c o s ta n 125116ααααααααα+⨯++∴+====+++．故选：A ．【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题． 2．若3c o s ()45πα-=，则sin 2(α=)A ．725B ．15C ．15-D ．725-【分析】法1︒：利用诱导公式化s in 2c o s (2)2παα=-，再利用二倍角的余弦可得答案．法︒：利用余弦二倍角公式将左边展开，可以得s in c o s αα+的值，再平方，即得s in2α的值【解答】解：法31:c o s ()45πα︒-=，297s in 2c o s (2)c o s 2()2c o s ()1212442525πππαααα∴=-=-=--=⨯-=-，法32:c o s ()in c o s )425πααα︒-=+=，∴19(1s in 2)225α+=，97s in 2212525α∴=⨯-=-，故选：D ．【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，熟练掌握诱导公式化与二倍角的余弦是关键，属于中档题．3．已知向量(sin ,2),(1,c o s )ab θθ=-=，且ab⊥，则2sin 2c o s θθ+的值为( )A ．1B ．2C ．12D ．3【分析】由题意可得a b ⋅=，即解得ta n 2θ=，再由222222s in c o s c o s 2ta n 1s in 2c o s c o s s in 1ta n θθθθθθθθθ+++==++，运算求得结果．【解答】解：由题意可得sin 2co s 0ab θθ⋅=-=，即ta n 2θ=．222222s in c o s c o s 2ta n 1s in 2c o s 1c o s s in 1ta n θθθθθθθθθ++∴+===++，故选：A ．【点评】本题主要考查两个向量数量积公式的应用，两个向量垂直的性质；同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题． 4．若1ta n 3θ=，则c o s 2(θ=)A ．45-B ．15- C ．15D ．45【分析】原式利用二倍角的余弦函数公式变形，再利用同角三角函数间的基本关系化简，将ta n θ的值代入计算即可求出值．【解答】解：1ta n 3θ=，22224c o s 22c o s 11111519ta n θθθ∴=-=-=-=++．故选：D ．【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．5．已知角α的终边经过点(2,1)P -，则sin c o s (sin c o s αααα-=+ )A ．3B ．13C ．13-D ．3-【分析】先根据已知条件得到ta n α，再化简s in c o s s in c o s αααα-+代入即可得到结果．【解答】解：因为角α的终边经过点(2,1)P -，所以1ta n 2α=-，则11s in c o s ta n 1231s in c o s ta n 112αααααα----===-++-+，故选：D ．【点评】本题考查三角函数的化简求值，着重考查同角三角函数的基本关系式，考查任意角的三角函数的定义，属于中档题． 6．已知函数()s in (2)6f x x π=-，若方程3()5f x =的解为1x ，212(0)x x x π<<<，则12sin ()(x x -=)A ．45- B ．35-C．3-D．3-【分析】由已知可得2123x x π=-，结合12x x <求出1x 的范围，再由12112s i n ()s i n (2)c o s (2)36x xx x ππ-=-=--求解即可． 【解答】解：因为0x π<<，∴112(,)666x πππ-∈-，又因为方程3()5f x =的解为1x ，212(0)x x x π<<<，∴1223x x π+=，∴2123x x π=-，∴12112s in ()s in (2)c o s (2)36x x x x ππ-=-=--，因为12212,3x x x x π<=-，103x π∴<<，∴12(,)662x πππ-∈-，∴由113()s in (2)65f x x π=-=，得14c o s (2)65x π-=，∴124s in ()5x x -=-，故选：A ．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换及化简求值和三角函数的图象与性质，属中档题． 7．已知1ta n 4ta n θθ+=，则2c o s ()(4πθ+=)A ．12B ．13C ．14D ．15【分析】由已知求得s in c o s θθ的值，再由二倍角的余弦及诱导公式求解2c o s ()4πθ+的值．【解答】解：由1ta n 4ta n θθ+=，得s in c o s 4c o s s in θθθθ+=，即224s in c o s s in c o s θθθθ+=，1s in c o s 4θθ∴=，∴21c o s (2)1s in 22c o s ()422πθπθθ++-+==11212s in c o s 14224θθ-⨯-===．故选：C ．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．二．填空题（共15小题） 9．设当xθ=时，函数()s in o s f x x x=+取得最大值，则ta n ()4πθ+=2+【分析】()f x 解析式提取，利用两角和与差的正弦公式化为一个角的正弦函数，由x θ=时函数()f x 取得最大值，得到θ的取值，后代入正切公式中计算求值．【解答】解：()sin o s 2sin ()3f x x x x π=+=+；当xθ=时，函数()f x 取得最大值2,32k k zππθπ∴+=+∈；26k πθπ∴=+，kz∈；∴1ta n ()ta n (2)ta n ()2464463k πππππθπ++=++=+==+故答案为：2+．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．10．求值：s in 50(1n 10)︒+︒=1 ．【分析】先把原式中切转化成弦，利用两角和公式和整理后，运用诱导公式和二倍角公式化简整理求得答案．【解答】解：原式2s in 40s in 80c o s 10s in 50c o s 401c o s 10c o s 10c o s 10c o s 10︒︒︒=︒⋅=︒===︒︒︒︒故答案为：1【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换及其化简求值，以及两角和公式，诱导公式和二倍角公式的化简求值．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用． 11．1s in 10c o s 10-=︒︒4 ．【分析】s in 10c o s 10得结果．【解答】解：12(c o s 10in 10)1221s in 10c o s 10s in 10c o s 10s in 202︒-︒-==︒︒︒︒︒4s in 20420S in ==故答案为：4【点评】本题主要基础知识的考查，考查了在三角函数的化简与求值中，综合运用二倍角正弦公式、两角和的正弦公式，要求考生熟练运用公式对三角函数化简． 12．已知s in 10c o s 102c o s 140m ︒+︒=︒，则m=【分析】由题意可得2c o s 140s in 10c o s 10m ︒-︒=︒，再利用三角恒等变换求得它的值． 【解答】解：由题意可得2c o s 140s in 102c o s 40s in 102c o s (3010)s in 10c o s 10c o s 10c o s 10m ︒-︒-︒-︒-︒+︒-︒===︒︒︒2c o s 10s in 10s in 102c o s 10-︒+︒-︒==︒故答案为：【点评】本题主要考查三角恒等变换，属于中档题． 13．4c o s 50ta n 40︒-︒=【分析】表达式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果． 【解答】解：4c o s 50ta n 404s in 40ta n 40︒-︒=︒-︒4s in 40c o s 40s in 40c o s 40︒︒-︒=︒2s in 80s in (3010)c o s 40︒-︒+︒=︒12c o s 10c o s 10in 1022c o s 40︒-︒-︒=︒3c o s 10in 1022c o s 40︒-︒=︒==．【点评】本题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键． 14．2c o s 10s in 20s in 70︒-︒=︒【分析】利用两角和差的余弦公式，进行化简即可．【解答】解：原式12o s 20s in 20)s in 202c o s (3020)s in 2022c o s 20c o s 20︒+︒-︒︒-︒-︒==︒︒o s 20s in 20s in 20o s 20c o s 20c o s 20︒+︒-︒︒===︒︒【点评】本题主要考查三角函数值的化简，利用两角和差的余弦公式是解决本题的关键． 15．已知1ta n 31ta n αα+=-，则2sin 2sin co s 1ααα-+=25．【分析】由1ta n 31ta n αα+=-，我们可计算出ta n α的值，由于2sin α2c o s +α1=，所以将所求的代收式变形为222222s in c o s s in s in c o s s in c o s ααααααα-+++，然后化弦为切，代入求值．【解答】解：1ta n 31ta n αα+=-，1ta n 2α∴=．22222222222112()212s in c o s 2ta n 1222s in 2s in c o s 1115()12s in s in c o s ta n ta n s in c o s ta n αααααααααααααα⨯-⨯+-++-++∴-+====+++． 故答案是：25．【点评】本题考查的知识点是三角函数的恒等变换及化简求值，同角三角函数间的基本关系，解题的关键是将角的弦化切，属于中档题． 16．若1s in ()43πα-=，则c o s ()4πα+=13．【分析】由已知利用诱导公式化简所求即可得解． 【解答】解：1sin ()43πα-=，∴1c o s ()s in (())s in ()42443a ππππαα+=--=-=．故答案为：13．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 17．若o s 2in 2c o s ()4θθπθ=+，则s in 2θ=23-．【分析】由已知利用三角函数恒等变换的应用可得：2(c o s s in )in 2θθθ+=，平方后整理可得：23sin 24sin 240θθ--=，进而解得s in 2θ的值． 【解答】解：o s 22c o s()4θθπθ=+，∴2(c o s s in )in 22θθθ=+=，∴平方可得：24(1sin 2)3sin 2θθ+=，整理可得：23sin 24sin 240θθ--=，∴解得：2s in 23θ=-，或2（舍去）．故答案为：23-．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 18．若ta n 3α=，则s in 2ta n ()4απα+的值为310-．【分析】直接利用三角函数关系式的变换和倍角公式的应用求出结果．【解答】解：由于ta n 3α=，所以22ta n 3s in 21ta n 5ααα==+，1ta n 4ta n ()241ta n 2πααα++===---所以3s in 235210ta n ()4απα==--+．故答案为：310-【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，倍角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 19．若ta n 3,(0,)2παα=∈，则c o s ()4πα-=5．【分析】由已知结合同角三角函数基本关系式求解s in α、c o s α的值，然后展开两角差的余弦求解．【解答】解：由ta n 3α=，得s in 3c o s αα=，即s in 3c o s αα=．又22sin c o s 1αα+=，且(0,)2πα∈，解得：s in 10α=，c o s 10α=．∴c o s ()c o s c o s s in s in4441021025πππααα-=+=+=．故答案为：5．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式及两角差的余弦，是基础题．20．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2s in 18m=︒，若24m n +=，则s i n 63m +=︒【分析】根据三角函数同角三角函数关系表示n ，利用辅助角公式结合两角和差的正弦公式进行化简即可． 【解答】解：2s in 18m =︒，∴由24m n +=，得222444sin 184co s 18nm =-=-︒=︒，则2s in 182c o s 18in (4518)in 63s in 63s in 63s in 63s in 63m +︒+︒︒+︒︒====︒︒︒︒故答案为：【点评】本题主要考查三角函数值的化简和求解，利用辅助角公式以及两角和差的正弦公式进行化简是解决本题的关键．21．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为2s in 18a=︒，若24a b +=，则2=12-．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求24co s 18b =︒，然后利用降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简得答案． 【解答】解：2s in 18a =︒，若24a b +=，2222444sin 184(1sin 18)4c o s 18b a∴=-=-︒=-︒=︒，∴22c o s 54sin 3614sin 18c o s 182sin 362-︒-︒====-︒︒︒，故答案为：12-．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．22．函数2()ta n 60s in 2inf x x x=︒+在[,]2ππ上的值域为．【分析】由已知利用三角函数恒等变换的应用可求()in (2)4f x x π=-+[,]2x ππ∈，可得：32[44x ππ-∈，7]4π，进而利用正弦函数的性质即可得解．【解答】解：2()tan 60sin 22f x x x=︒+1c o s 2in 22xx -=+2o s 2x x=+-in (2)4x π=-+又[,]2x ππ∈，可得：32[44xππ-∈，7]4π，s in (2)[14x π∴-∈-，2，可得()in (2)4f x x π=-+-，．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用及正弦函数的性质，考查了转化思想和函数思想，属于基础题． 三．解答题（共3小题） 23．设函数()s in ()s in ()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<，已知()06f π=．（Ⅰ）求ω； （Ⅱ）将函数()yf x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在[4π-，3]4π上的最小值．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数()f x 为正弦型函数，根据()06f π=求出ω的值；（Ⅱ）写出()f x 解析式，利用平移法则写出()g x 的解析式，求出[4x π∈-，3]4π时()g x 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数()s in ()s in ()62f x x x ππωω=-+-s in c o sc o s s ins in ()662x x x πππωωω=---3in c o s 22x xωω=-in ()3x πω=-，又()in ()0663f πππω=-=，∴63k ππωπ-=，k Z∈，解得62k ω=+，又03ω<<，2ω∴=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()in (2)3f x x π=-，将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数in ()3y x π=-的图象；再将得到的图象向左平移4π个单位，得到in ()43yx ππ=+-的图象，∴函数()in ()12yg x x π==-；当[4x π∈-，3]4π时，[123xππ-∈-，2]3π，s in ()[122x π∴-∈-，1]，∴当4xπ=-时，()g x取得最小值是322-=-．【点评】本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题． 24．已知α，β为锐角，4ta n 3α=，c o s ()5αβ+=-（1）求c o s 2α的值； （2）求tan ()αβ-的值．【分析】（1）由已知结合平方关系求得s in α，c o s α的值，再由倍角公式得c o s 2α的值； （2）由（1）求得t a n 2α，再由c o s ()5αβ+=-求得t a n (αβ+，利用tan ()tan [2()]αβααβ-=-+，展开两角差的正切求解．【解答】解：（1）由22431s in c o s s in c o s ααααα⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪⎩为锐角，解得4s in 53c o s 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，227c o s 225c o s s in ααα∴=-=-；（2）由（1）得，24s in 22s in c o s 25ααα==，则s in 224ta n 2c o s 27ααα==-．α，(0,)2πβ∈，(0,)αβπ∴+∈，s in ()5αβ∴+==．则s in ()ta n ()2c o s ()αβαβαβ++==-+．ta n 2ta n ()2ta n ()ta n [2()]1ta n 2ta n ()11ααβαβααβααβ-+∴-=-+==-++．【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题． 25．已知函数22()s inc o s in f x x x x =--co s ()x x R ∈．（Ⅰ）求2()3f π的值．（Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，（Ⅰ）代入可得：2()3f π的值．（Ⅱ）根据正弦型函数的图象和性质，可得()f x 的最小正周期及单调递增区间【解答】解：函数22()s inc o s in f x x x x =--7c o s in 2c o s 22s in (2)6x x x x π=-=+（Ⅰ）2275()2s in (2)2s in 23362f ππππ=⨯+==，（Ⅱ）2ω=，故Tπ=，即()f x 的最小正周期为π，由72[262xk πππ+∈-+，2]2k ππ+，k Z∈得：5[6x k ππ∈-+，]3k ππ-+，kZ∈，故()f x 的单调递增区间为5[6k ππ-+，]3k ππ-+或写成[6k ππ+，2]3k ππ+，kZ∈．【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中档。
三角恒等变换化简练习题
三角恒等变换化简练习题两角和公式 sin= sin= cos= cos= tan=tan= 倍角公式 tan2α= cos2α= sin2α=半角公式 sin= cos=tan=和差化积sinAcosB= cosAsinB= cosAcosB= -2sinAsinB=积化和差公式 sinαsinβ= cosαcosβ=sinαcosβ=万能公式sin= )/) cos= )/) tαn= )/)角函数公式两角和公式sin=sinΑcosB+cosΑsinB sin=sinΑcosB-sinBcosΑ cos=cosΑcosB-sinΑsinB cos=cosΑcosB+sinΑsinB tαn=/ tαn=/倍角公式cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?；。
sin2??2sin?cos?；2tan?tan2??1?tan2?半角公式sin=/ cos=/ tαn=/和差化积2sinΑcosB=sin+sin cosΑsinB=sin-sin ) cosΑcosB=cos+cos -2sinΑsinB=cos-cos积化和差公式sinsin=—1/2*[cos-cos] coscos=1/2*[cos+cos] sincos=1/2*[sin+sin]1.三角函数式的化简降幂公式sin?cos??11?cos2?1?cos2?2sin2?；sin2??；cos??。
22 辅助角公式asinx?bcosx?sin?x?，其中sin??cos??。
2．在三角函数化简时注意：①能求出的值应求出值；②尽量使三角函数种类最少；③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数；⑥必要时将1与sin2??cos2?进行替换化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂等《三角恒等变换练习题》一、选择题1. 已知x?，cosx?45，则tan2x?Α.4B. ?7242424C.D. ?72. 函数y?3sinx?4cosx?5的最小正周期是Α.5B.2C. ?D. ?3. 在△ΑBC中，cosAcosB?sinAsinB，则△ABC为Α. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法判定4. 设a?sin140?cos140，b?sin160?cos160，c?,则a,b,c大小关系Α. 周期为4的奇函数B. 周期为?4的偶函数C. 周期为?2的奇函数D. 周期为?2的偶函数6.已知cos2??sin4??cos4的值为Α.1318B. 11718C. D. ?1二、填空题1.求值：tan200tan400200tan400_____________.）2. 若1?tan?12008,则?tan2??.1?tan?cos2?3.已知sin4. ?ABC的三个内角为A、B、C，当A为时，cosA?2cos 值，且这个最大值为.三、解答题1. ① 已知sin??sin??sin??0,cos??cos??cos??0,求cos的值.②若sin??sin??2cos2那么sin?的值为,cos2?的值为.3B?C取得最大22,求cos??cos?的取值范围.21?cos2000?100sin10. 求值：02sin20三角恒等变换测试题第Ⅰ卷一．选择题 1.已知cos??1213,??，则cos?A.521 B.1771 C. D.2.若均?,?为锐角，sin??25,sin?35,则cos?? A. 5B. C.2255或D. ?5.?A. ?11 B. ? C. D.4.tan700tan500tan700tan500A.B.C. ?33D. ?5.2sin2?cos21?cos2cos2?A. tanB. tan2C. 1D.126.已知x为第三象限角，化简?cos2x?A.2sinx B. ?2sinx C.cosx D. ?2cosx 7. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于45,则这个三角形底角的正弦值为A. ?6B.6C. ? D. ?5?6）9. 已知sin??cos??1，则sin2??1188A．? B．?C． D．229910.已知cos2??44cos??sin?的值为 A．11. 求cos4BC． D．192?3?4?5?coscoscos?111111111111A. B. C. 1 D. 022xx12.函数y?sin?的图像的一条对称轴方程是 22115?5??A．x?? B．x?C．x?? D．x??3333二．填空题cos13．已知?,?为锐角，cos??1,cos??15,则的值为14．在?ABC中，已知tanA ,tanB是方程3x2?7x?2?0的两个实根，则tanC? 15.若sin3?4,cos，则角?的终边在象限．52516.代数式sin15ocos75o?cos15osin105o?三角恒等变换测试题2009-5-11一、选择题：；；三．解答题3517．△ABC中，已知cosA?,cosB?,求sinC的值．5133123,cos?,sin??,求sin2?．18．已知24135)19．已知α为第二象限角，且 sinα=的值． ,求4sin2??cos2??1sin,??,且tan?,tan，427求tan的值及角2．21．已知函数f?cos2xxcosx?1，x?R. 求证f的小正周期和最值；求这个函数的单调递增区间．《数学必修4》三角恒等变换测试题答案一、选择题二、填空题3?313、14、 ? 15、第四 16、42三、解答题3417.解:在?ABC中,cosA?,?sinA?555123又由sinB?,可得cosBsin2B??,?sinA??A?600若cosB??,?B?1200,这时A?B?1800不合题意舍去,故cosB?,13134123563sinCsinsinAcosBcosAsinB5135136519.解:?23?43?2454sin,cos135sin2sin[]sincoscossin3124556513513651?cos2x21?cos2x2sin2xcos2xsin4x?cos4x20.证明:左边222212cosxsinxsinxcosxsin2x41?cos4x222?2cos2x2右边1?cos4x1?cos4x1?cos4x23. 简单的三角恒等变换一、填空题1．若2．已知sinθ=－4．已知α为钝角、β为锐角且sinα=5．设5π＜θ＜6π，cos二、解答题6．化简7．求证：2sin²sin=cos2x．4Aa?cosB?b?a?b．．在△ABC中，已知cosA=，求证：a?ba?b?cosBtan22tan210．求sin15°，cos15°，tan15°的值．11．设－3π＜α＜－12．求证：1+2cos2θ－cos2θ=2．cos5π，化简．213．求证：4sinθ²cos?=2sinθ+sin2θ．14．设25sin2x+sinx－24=0，x是第二象限角，求cos15．已知sinα=124?，sin=，α与β均为锐角，求cos． 135?x的值．参考答案一、填空题1． ?11?a7．．－34．．－522二、解答题6．解：原式=1?sin2??cos2? 1?sin2??cos2?1?2sin??cos1?2sin2??= 1?2sin??cos2cos? 2sin??cossin2?=2sin??cos??2cos?2sincos??sin??=cos??=tanθ．7．证明：左边=2sin²sin4ππ－x）²cos4π－2x） =cos2x=右边，原题得证．8．证明：左边=1?2sin??cos? cos2??sin2?cos2??sin2??2sin??cos?= ?2===cos??sin? cos??sin?1?tan? 1?tan?=右边，原题得证．9．证明：∵cosA=∴1－cosA=1+cosA=∴a?cosB?b，a?b?cosB?，a?b?cosB?． a?b?cosB1?cosA?． ?1?cosA?2sin2A1?cosA?tan2A， ?而1?cosA2cos2B221?cosBB?tan2， 1?cosB2Atan2AB?a?b．∴tan22?²tan22，即Ba?btan2210．解：因为15°是第一象限的角，所以cos30213223842，2444sin15°=cos15°=1?cos30??21?32?2?3?8?4??6?2，2444tan15°=?cos30?=2－3． 1?cos30?11．解：∵－3π＜α＜－5π3π?5π?，∴－＜＜－，cos＜0．24??又由诱导公式得cos=－cosα，∴1?cos1?cos??=－cos． ?2??1?cos2?12．证明：左边=1+2cos2θ－cos2θ－cos2θ=2=右边．??2213．证明：左边=4sinθ²cos?=2sinθ²2cos?=2sinθ²=2sinθ+2sinθcosθ=2sinθ+sin2θ=右边．14．解：因为25sin2x+sinx－24=0，所以sinx=24或sinx=－1．5247，cosx=－．525又因为x是第二象限角，所以sinx=又x是第一或第三象限角，?cosxx??221?7=±3．5从而cos15．解：∵0＜α＜又∵0＜α＜π5，∴cosα=?sin2??． 132ππ，0＜β＜，2π，∴0＜α+β＜π．若０＜α+β＜∵sin＜sinα，∴α+β＜α不可能．故π3＜α+β＜π．∴cos=－．23541233??，1351365∴cosβ=cos［－α］=coscosα+sinsinα=－∵0＜β＜∴0＜π，?π＜．41?cos?765． ?265故cos。
三角函数式的化简求值训练
)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；(5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．有关公式的逆用、变形等．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)；(2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin èæøöα±π4. ＝α＋β2－α－β2；α－β2＝èæøöα＋β2－èæøöα2＋β.原则: 用已知表示待求用已知表示待求 （2） 化简技巧：切化弦、“1”的代换等．的代换等． 6 三个变化三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．等．(3)等．等．二 典型题目1 三角函数式的化简【例1】►化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan èæøöπ4－x sin 2èæøöπ4＋x. 【训练1】 化简 (sin cos 1)(sin cos 1)sin 2a a a a a+--+：. 1三角三角函数式函数式的化简求值训练 一．重要公式与方法技巧：1 两角和与差的两角和与差的正弦正弦、余弦、正切公式、余弦、正切公式(1)C (α－β)：cos(α－β4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2c os(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．的值唯一确定． 5两个技巧两个技巧（1）拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与分解与组合组合”、“配方与配方与平方平方”＜π2＜α＜π，且cos èæøöα－β2＝－19，sin èæøöα2－β＝23，求cos(α＋β)的值．的值．【训练2】 已知α，β∈èæøö0，π2，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．的值．三 三角函数的求角问题三角函数的求角问题【例3】►已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β. 【训练3】 已知α，β∈èæøö－π2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．的值．四 三角函数的综合应用三角函数的综合应用【例4】►已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x .(1)求f èæø－π62二 三角三角函数式函数式的求值的求值【例2】►已知0＜β，π2，且tan α，tan β是方程x 2öπ3的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．和最小值．【训练4】 已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；的最小正周期；(2)求f (x )在区间ëéûù，π2上的最大值和最小值．上的最大值和最小值．一、给值求值一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的求另外一些角的三角函数值三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式把所求角用含已知角的式子表示子表示，求解时要注意角的范围的讨论．角的范围的讨论．3【示例】►已知tan èæøöx ＋π4＝2，则tan ＝12，tan β，π2. (1)求sin θ和cos θ的值；的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0＜φ＜π2，求cos φ的值．的值．【课后巩固】1．81cos sin =×a a ，且4p ＜a ＜2p，则a a sin cos -的值为：的值为：A 、23B 、23-C 、43D 、43-2．已知a a aa a cos 3sin 2cos sin ,2tan +--=则的值是的值是A 、－1 B 、1 C 、－3 D 、3 3．已知=-=+-=-)sin(,21sin cos ,43cos sin a b b a b a 则A 、3219B 、3219-C 、0 D 、1916-4．已知 5.已知3sin(),45x p -=则sin 2x 的值为的值为 （ ）A.1925 B.1625 C.1425 D.7256．已知1sin cos 5q q -=，则sin 2q 的值是的值是A 、45B 、45-C 、2425D 、－24257．已知54)cos(-=-b a 54)cos(=+b a ),2(p p b a Î-)2,23(p p b a Î+则cos2a =( ） xtan 2x 的值为________．二、给值求角二、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式把所求角用含已知角的式子表示子表示，由所得的函数值结合该函数的单调由所得的函数值结合该函数的单调区间区间求得角．求得角．【示例】►已知tan(α－β)＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．的值． ▲三角恒等变换与▲三角恒等变换与向量向量的综合问题的综合问题 两角和与差的两角和与差的正弦正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查．近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向．高考的一个新考查方向．【示例】► 已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相互相垂直垂直，其中θ∈èæøö0q tam 和)4(q p-tam 是方程02=++q px x 的两根，则p 、q 间的关系是：间的关系是： A 、01=+-q p B 、01=++q p C 、01=-+q p D 、01=--q p4A 、257-B 、257C 、1-D 、1 8．22cos 75cos 15cos75cos15++ 的值等于（的值等于（ ） A 、62 B 、32 C 、54D 、1＋349．已知tan(α+β)＝52，tan(β－4p )＝41，那么tan(α+4p )的值是的值是A ．1813 B ．223 C ．2213 D ．18310.若,(0,)2pa b Î，3cos()22ba -=,1sin()22a b -=-，则cos()a b +的值等于 （A ）32-（B ）12- （C ）12（D ）32 11、已知tan 2a =，求2212sin cos cos sin a a a a +-12．求tan200+tan400+3tan200tan400的值. 13.已知3110,tan 4tan 3pa p a a<<+=-（Ⅰ）求tan a的值；（Ⅱ）求225sin 8sin cos 11cos 822222sin 2a a a a p a ++-æö-ç÷èø 14.已知40,sin 25pa a <<=（Ⅰ）求22sin sin 2cos cos 2a a a a++的值；（Ⅱ）求5tan()4pa -的值。
三角函数化简求值每日一练
三角函数化简求值每日一练1、的值为____________2、计算：=____________3、化简=____________4、sin15°+sin75°的值是____________5、求值：sin10°tan70°﹣2cos40°=____________6、sin315°sin（﹣1260°）+cos390°sin（﹣1020°）=____________7、=____________8、sin2230°+sin110°•cos80°=____________9、=____________10、=____________11、求值sin17°cos47°﹣sin73°cos43°=____________12、=____________13、﹣的值是____________14、（1+tan21°）（1+tan24°）的值为____________15、=____________16、计算3tan10°+4 =____________17、化简：=____________18、=____________19、sin40°（tan190°﹣）=____________20、计算：=____________21、求值：=____________22、计算：=____________答案解析部分一、单选题1、【答案】B【考点】三角函数的化简求值【解析】【解答】解：= = = ，故选：B．【分析】利用三角恒等变换化简所给的式子，可得结果．二、填空题2、【答案】1【考点】三角函数的化简求值，两角和与差的正切函数【解析】【解答】解：∵tan60°= ，∴==tan（60°﹣15°）=tan45°=1．故答案为：1．【分析】由tan60°= ，利用两角差的正切公式，即可求出答案来．3、【答案】﹣8【考点】三角函数的化简求值【解析】【解答】解：∵tan12°﹣= = = =﹣8sin12°cos24°，∴= =﹣8．故答案为：﹣8．【分析】由同角函数的三角函数关系以及两角和差的正弦公式转化原式可得tan12°﹣=﹣8sin12°cos24°，整理化简可得结果。
三角函数化简和证明题练习
一、化简题1、已知α为第四象限角，化简：ααααααcos 1cos 1sin sin 1sin 1cos +-++- 2、已知 360270<<α，化简α2cos 21212121++ 3、化简： 440sin 12- 4、已知αααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+是第三象限角，化简5、),2(cos 1cos 1cos 1cos 1ππθθθθθ∈-+++-6、x x x x xx sin tan sin tan cos 1sin +-⋅- 7、θθθθcos cos 1sin 1sin 22-+- 二、证明题 1、在ΔABC 中，设tanA+tanC=2tanB,求证cos(B+C-A)=CC 2cos 452cos 54++.2、求证：)sin 2)(cot 2()cot 21)(cos 2(2222αααα-+=+-3、求证：()xx x x 4cos 14cos 32cot tan 22-+=+4、证明：222(3cos 4)tan cot 1cos 4x x x x++=-5、sin(2)sin 2cos()sin sin A B B A B A A+-+=答案一、化简题1、因为α为第四象限角 所以原式=αααααα2222cos 1)cos 1(sin sin 1)sin 1(cos --+-- ()ααααααααααsin cos cos 1sin 1sin cos 1sin cos sin 1cos -=---=--+-= 2、 360270<<α，02cos ,0cos <>∴αα所以原式=2cos 2cos 2cos 1cos 212122cos 1212122ααααα-==+=+=++ 3、解：原式80cos 80cos 80sin 1)80360(sin 1222==-=+-= 4、解：)sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1(αααααααα-+----+++=原式|cos |sin 1|cos |sin 1sin 1)sin 1(sin 1)sin 1(2222αααααααα--+=----+= 0cos <∴αα是第三象限角，αααααt a n 2c o s s i n 1c o s s i n 1-=----+=∴原式 （注意象限、符号）5、原式＝θθθθ2222sin )cos 1(sin )cos 1(++- ＝θθθθsin cos 1sin cos 1++- ＝θθsin 2sin 2= ),2(ππθ∈6、原式＝x x x x x x x x sin cos sin sin cos sin cos 1sin +-⋅- ＝)cos 1(sin )cos 1(sin cos 1sin x x x x x x +-⋅- ＝x x x x x x sin sin sin cos 1cos 1sin =-⋅-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈++++∈-∈++++∈=)()22,232()232,2(1)()2,22()22,2(1z k k k k k x z k k k k k x πππππππππππππππ θθθθcos sin cos sin 7+=、原式 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+<<+∈+<<+-+<<++<<= )(0)22232(0)( )2322(tan 2 )222(0 )222(tan 2πθππθππππθππθππθππππθπθk k k z k k k k k k k二、证明题 1、证明：C C B A tan )tan()tan(-=-=+πC B A B A tan tan tan 1tan tan -=-+∴C B A C B A tan tan tan tan tan tan ⋅⋅=++⇒ 由条件得B C B A tan 3tan tan tan =++∴C B A B tan tan tan tan 3⋅⋅=∴而0tan ,0tan ≠≠C B ，C A tan 3tan =∴ 又A A A A CB 22tan 1tan 12cos )cos(+--=-=-+C C C C 2222tan 9tan 91tan 31tan 3+-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=2、证明：可先证：αααα2222cot 21cot 2sin 2cos 2++=-- （※） 右式＝αααα2222sin cos 21sin cos 2++＝αααα2222cos 2sin cos sin 2++ ＝αααα2222sin 22sin cos cos 22-++-＝αα22sin 2cos 2--＝左式∴（※）式成立，即原等式成立．而C C 2cos 452cos 54++C C C C C C 222222tan 9tan 9tan 1tan 145tan 1tan 154+-=+-⋅++-⋅+=∴ cos(B+C-A)=C C2cos 452cos 54++3、思路点拨：要据角度x 与4x 的特点和函数名的特点，可采用化切为弦，并用倍角公式证明。
6-三角函数的化简与求值(练习)
值为1,求常数a的值.
【解析】f(x)=sin(x+ )+sin(x- )+cos x+a
6 6
= 3 sin x+cos x+a=2sin(x+ )+a.
6
由a+2=1,得a=-1.
1.三角函数的求值类型有三类 (1)给角求值:一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角 与特殊角之间的关系,利用三角变换消去非特殊角,转化为求 特殊角的三角函数值问题;
3 6 3 3
(2)化简
2 2 tan α tan 2α + 3 (sin α-cos α). tan 2α tan α
【分析】此三角函数式出现两类函数,利用两角和与差公式 统一函数成为化简的主要目标. 【解析】(1)sin(3x+ )cos(x- )+cos(3x+ )cos(x+ )
3 6 3 3
4 2 4
3
由sin(β- )= ,知cos(β- )=- , 4 13 4 13
cos(α+ )=cos [(α+β)-(β- )]
4 4
12
5
=cos(α+β)cos(β- )+sin(α+β)sin(β- )
4 4
= ×(- )+(- )× =- .
4 5
5 13
3 5
(2)给值求值:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角
的三角函数值,解题的关键在于“变角”,如α=(α+β)-β,2α=(α +β)+(α-β)等,把所求角用含已知角的式子表示,求解时要注意
三角函数的恒等式变形练习题
三角函数的恒等式变形练习题在数学中，三角函数是一类涉及角度的函数，其中最常见的包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
在学习三角函数时，我们经常需要运用各种恒等式，通过变换和等价关系来简化计算或证明数学结论。
本文将为大家提供一些三角函数的恒等式变形练习题，帮助大家巩固理解并运用这些重要的数学公式。
1. 对于任意角θ，化简以下恒等式：a) sin(θ) / cos(θ) = tan(θ)b) 1 + tan^2(θ) = sec^2(θ)c) 1 + cot^2(θ) = csc^2(θ)2. 将下列恒等式变形为sin和cos的复合恒等式：a) sin^2(θ) = (1 - cos(2θ)) / 2b) cos^2(θ) = (1 + cos(2θ)) / 23. 利用和角的三角函数和差角的三角函数来证明以下恒等式：a) sin(α) + sin(β) = 2sin((α + β)/2)cos((α - β)/2)b) cos(α) + cos(β) = 2cos((α + β)/2)cos((α - β)/2)c) sin(α) - sin(β) = 2cos((α + β)/2)sin((α - β)/2)d) cos(α) - cos(β) = -2sin((α + β)/2)sin((α - β)/2)4. 将下列恒等式变形为三角函数的复合恒等式：a) sin(α)sin(β) = (cos(α-β) - cos(α+β)) / 2b) cos(α)cos(β) = (cos(α-β) + cos(α+β)) / 2c) sin(α)cos(β) = (sin(α+β) + sin(α-β)) / 25. 利用和差角的三角函数来证明下列恒等式：a) sin(α)sin(β) = (cos(α-β) - cos(α+β)) / 2b) cos(α)cos(β) = (cos(α+β) + cos(α-β)) / 2c) sin(α)cos(β) = (sin(α+β) + sin(α-β)) / 26. 利用和角的三角函数来证明平方差公式：a) sin^2(α) - sin^2(β) = sin(α + β)sin(α - β)b) cos^2(α) - cos^2(β) = -sin(α + β)sin(α - β)7. 利用和角的三角函数来证明倍角公式：a) sin(2α) = 2sin(α)cos(α)b) cos(2α) = cos^2(α) - sin^2(α)这些恒等式和变形题目将帮助我们熟悉和巩固三角函数的性质和运算方法。
三角函数中的化简求值模型
三角函数中的化简求值模型【问题背景】三角函数的化简求值几乎是高考的必考内容之一，化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之间的关系，以便于某种要求的应用．一般从函数名、角、运算三方面进行差异分析，遵循化繁为简、清除差异的原则，常用的方法技巧有：切割化弦，降幂，用三角公式转化出现特殊角，异角化同角，异名化同名，高次化低次等.【解决方法】【典例1】（2024高三下·全国·专题练习）已知角α，β的顶点均为坐标原点，始边均与x 轴的非负半轴重合，终边分别过点()1,2A ，()2,1B -，则tan 2αβ+=．【答案】3-【分析】利用三角函数的定义求得tan 2α=，1tan 2β=-，可求得()tan αβ+，再利用二倍角的正切公式解得tan2αβ+，进而确定2αβ+的范围，求得tan2αβ+的值.【套用模型】第一步：因为角α，β的终边分别过点()1,2A ，()2,1B -，所以tan 2α=，1tan 2β=-，（提示：若角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点()(),0x y x ≠，则tan y xα=），第二步：因此()tan tan 3tan 1tan tan 4αβαβαβ++==-，又()22tan32tan 41tan 2αβαβαβ++==+-，所以tan32αβ+=-或1tan23αβ+=．第三步：因为角α的终边过点()1,2A ，因此112,242k k ππαππ⎛⎫∈++⎪⎝⎭，1k ∈Z ，因为角β的终边()2,1B -，因此2232,24k k πβπππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，2k ∈Z ，所以3,224k k αβππππ+⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，所以tan 32αβ+=-．【典例2】（2024·山西晋城·二模）已知tan 2tan αβ=，1sin()4αβ+=，则)in(s βα-=．【答案】112-【分析】由tan 2tan αβ=切化弦可得sin cos 2cos sin αβαβ=，结合两角和差公式分析求解.【套用模型】第一步：因为tan 2tan αβ=，即sin 2sin cos cos αβαβ=，可得sin cos 2cos sin αβαβ=，第二步：又因为()1sin sin cos cos sin 3cos sin 4αβαβαβαβ+=+==，可得1cos sin 12αβ=，第三步：所以()sin cos sin sin cos cos sin 112βααβαβαβ-=-=-=-.故答案为：112-.【典例3】（2024·全国·模拟预测）在ABC 中，tan A ，tan B 是方程2670x x -+=的两个根，则C 的值是．【答案】4π/45︒【分析】根据根与系数的关系及两角和的正切公式求得()tan A B +，再利用诱导公式求解.【套用模型】第一步：由题意，tan tan 6A B +=，tan tan 7A B ⋅=，第二步：所以tan tan 6tan ()11tan tan 17A B A B A B ++===--⋅-，第三步：在ABC 中，()()tan tan πtan 1C A B A B =-+=-+=⎡⎤⎣⎦，由0πC <<，可知π4C =.故答案为：π4（2024·全国·二模）1．已知6cos tan 7sin ααα=-，则cos2α=.（2024·云南昆明·一模）2．已知cos α=π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 2α=．（2024·宁夏银川·一模）3．已知3cos si 2n x x +=，则sin 2πcos 4xx =⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2024·青海·模拟预测）4．若3π4αβ+=，tan 2α=，则tan β=．（2024·山东·二模）5．在平面直角坐标系中，角α的始边与x轴非负半轴重合，终边经过点()2，则πsin 3α⎛⎫+=⎪⎝⎭．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）6．已知tan α，tan β是方程2530x x +-=的两个根，则()()22cos sin αβαβ+=-．（2024·广西·二模）7．已知2sin sin2αα=，则πtan 4α⎛⎫+=⎪⎝⎭.（2024·全国·模拟预测）8．已知点()()()cos ,sin A βαβα--与点5π5πcos ,sin 1212B ββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于原点对称，则sin cos αα+=．（2024·全国·模拟预测）9．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2222024a b c +=，则2tan tan tan (tan tan )A BC A B =+.（2024·陕西安康·模拟预测）10．若()2tan 2024π3α-=，则2sin cos 2cos cos2αααα-=.（2024·山西朔州·一模）11．若πtan 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2ππ1tan cos 362αα⎛⎫⎛⎫-+--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2024·全国·模拟预测）12．在平面直角坐标系中，若角π3α-的顶点为原点，始边为x 轴非负半轴，终边经过点()3,4P --，则πtan 23α⎛⎫+=⎪⎝⎭.（2024·陕西安康·模拟预测）13．已知π,,π2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且πsin2sin 21cos21sin αβαβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-=+，则tan tan21tan tan 2βαβα+=-．（2024·河北沧州·模拟预测）14．已知1cos sin 63παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+=⎪⎝⎭．（2024·上海嘉定·二模）15．已知()22sin cos f x x x =+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则函数()y f x =的最小值为．（2024·吉林长春·模拟预测）16．已知tan 3,2sin cos 1tan 2ααββ==，则()2tan αβ+=.（2024·全国·模拟预测）17．已知锐角三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin 2A =则a b 的取值范围是.（2024·全国·模拟预测）18．已知,αβ为锐角，满足()1sin sin ,cos 69αβαβ+=+=-，则sin2αβ+=，()cos αβ-=．（2024·全国·模拟预测）19．已知πtan ,74x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭为第二象限角，则10πsin 21x ⎛⎫+=⎪⎝⎭．（2024·上海·一模）20．已知ABC 中，,,A B C 为其三个内角，且tan ,tan ,tan A B C 都是整数，则tan tan tan A B C ++=．三角函数中的化简求值模型解析：1．725##0.28【分析】切化弦，然后整理可得sin α，再利用倍角公式计算即可.【详解】6cos sin tan 7sin cos ααααα==-，得()()226co 7sin s 61n s s n i i αααα==--，解得3sin 5α=或sin 2α=-（舍）所以2237cos212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：725.2．-【分析】根据同角三角函数关系式求出sin α，tan α，再利用二倍角正切公式求解.【详解】由cos απ0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 3α∴，sin tan cos ααα∴==，22tan tan 21tan 1ααα∴==---.故答案为：-3．73-【分析】由倍角公式和差角公式、平方关系求解即可.【详解】sin 2πcos 4x x =⎛⎫- ⎪⎝⎭2273133⎡⎤⎛+-⎢⎥=-=- ⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故答案为：73-..4．3【分析】由已知条件可得3π4βα=-，根据两角和的正切公式化简即可求解.【详解】因为3π4αβ+=，所以3π4βα=-，所以3πtan tan 3π4tan tan 3π41tan tan 4αβαα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-= ⎪⎛⎫⎝⎭+⋅ ⎪⎝⎭，又因为tan 2α=，3πtan 14⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以上式可化为：12tan 312β--==-.故答案为：35．14-##【分析】先利用角α的终边所经过的点求出sin ,cos αα，再求πsin 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【详解】因为角α的始边与x轴非负半轴重合，终边经过点()2，所以sin 7α=，cos 7α==-；πππsin sin cos cos sin 33314ααα⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭.故答案为：6．1637【分析】利用韦达定理可得tan tan 5αβ+=-，tan tan 3αβ=-，再利用两角和差公式和三角函数的商数关系求解即可.【详解】因为tan α，tan β是方程2530x x +-=的两个根，所以tan tan 5αβ+=-，tan tan 3αβ=-，则cos cos 0αβ≠，所以()()2222cos cos cos sin sin 1tan tan sin sin cos cos sin tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβ+⎛⎫⎛⎫--=== ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭()2161637tan tan 4tan tan αβαβ=+-．故答案为：16377．1或3-【分析】由已知可得sin 0α=或sin 2cos αα=，从而可求出πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】由2sin sin2αα=可得2sin 2sin cos ααα=，所以sin 0α=或sin 2cos αα=，即tan 0α=或tan 2α=，当tan 0α=时，πtan 1tan 141tan ααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭当tan 2α=时，πtan 1tan 341tan ααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭，故答案为：1或3-.8．22【分析】根据题意，列出方程组，求得7π2π,Z 12k k αββ-=+-∈，得到7π2π,Z 12k k α=+∈，结合πsin cos 4ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即可求解．【详解】因为点()()()cos ,sin A βαβα--与点5π5πcos ,sin 1212B ββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于原点对称，所以()()5πcos cos 125πsin sin 12βαββαβ⎧⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎩，即()()5πcos cos π125πsin sin π12αββαββ⎧⎡⎤⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎨⎡⎤⎛⎫⎪-=-+ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎩，所以7π2π,Z 12k k αββ-=+-∈，解得7π2π,Z 12k k α=+∈，所以π7ππ5π2sin cos 412462ααα⎛⎫⎛⎫+=+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：22.9．2023【分析】将已知条件切化弦，然后结合两角和的正弦公式、正余弦定理，将等量关系转化为2a ，2b ，2c 间的关系，则问题可解.【详解】2tan tan 2211cos cos tan (tan tan )tan tan tan tan sin sin A BB AC A B C C B A B A ==+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin sin 2sin sin 2sin sin tan (sin cos cos sin )tan sin()tan sin A B A B A B C A B A B C A B C C ===++222sin sin cos 2cos sin A B C ab CC c ==，由余弦定理有：222222cos ab C a b c c c +-=，又2222024a b c +=，所以原式22220242023c c c -==.故答案为：202310．3215-【分析】利用诱导公式求出tan α，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.【详解】因为()2tan 2024π3α-=，所以2tan 3α=-，所以2sin cos 2cos cos 2αααα-222sin cos 2cos cos sin ααααα=--2tan 121tan αα=--221323215213-=-=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故答案为：3215-11．8310-+【分析】根据同角三角函数关系求出2π1cos 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用正切差角公式得到πtan 3α⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而求出答案.【详解】由题意得ππsin 2cos 66αα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又22ππsin cos 166αα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2π1cos 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，ππtan tan 2πππtan tan 8666ππ31tan tan 666αααα⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=--==- ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+- ⎪⎝⎭2ππ111tan cos 8362283510αα⎛⎫⎛⎫-+--=-++-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：8310-+12．247-【分析】先利用三角函数的定义得到πtan 3α⎛⎫- ⎪⎝⎭，再利用倍角公式和诱导公式进行转化求得πtan 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【详解】由三角函数的定义，得π4tan 33α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以πππtan 2tan 2πtan2333ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2π82tan 243316π711tan 93αα⎛⎫- ⎪⎝⎭===-⎛⎫--- ⎪⎝⎭.故答案为：247-13．1【分析】利用二倍角公式，同角关系，两角和与差的正切公式变形求解．【详解】由πsin2sin 21cos21sin αβαβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-=+得1cos2cos sin 21sin αβαβ-=+，22222cos sin 2sin 222sin cos cos sin 2sin cos 2222ββαββββαα-=++,所以cossinsin 22cos cos sin 22ββαββα-=+，即π1tantantan π242tan tan()π421tan 1tan tan242βββαββ--==-++，又π,,π2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ42βα=-+，即5π24βα+=，所以tan tan5π2tan()tan 1241tan tan 2βαβαβα+=+==-．故答案为：1.14．79-【分析】根据题意，由余弦的和差角公式展开可得π1 cos 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再由二倍角公式，即可得到结果.【详解】因为π1cos sin 63αα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，整理得ππ1cos cos sin sin sin 663ααα+-=，11sin 23αα-=，所以π1cos 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2ππ17cos 22cos 1213699αα⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：79-15．【分析】令πsin cos )4t x x x =+=+，可求t 的范围，利用同角的基本关系对已知函数化简计算，结合函数的单调性即可求解.【详解】由题意知，222(sin cos )()sin cos sin cos x x f x x x x x+=+=，令πsin cos 4t x x x =+=+，由π02x <<，得ππ3π444x <+<，所以2πsin()124x <+≤，则1t <≤由sin cos t x x =+，得22(sin cos )12sin cos t x x x x =+=+，所以21sin cos 2t x x -=，则原函数可化为22244()1112ttg t t t t t ===---，又函数1,y t y t ==-在上单调递增，所以1y t t =-在上单调递增，故当t 时，1y t t =-取得最大值22，此时()g t取得最小值故答案为：16．2511##3211【分析】根据同角三角函数关系，结合已知条件求得cos sin αβ，以及()sin αβ+，()2sin αβ+，()2cos αβ+，再求结果即可.【详解】由tan 3tan 2αβ=可得：sin cos 3cos sin 2αβαβ=，又2sin cos 1αβ=，即1sin cos 2αβ=，则1cos sin 3αβ=，故()115sin sin cos cos sin 236αβαβαβ+=+=+=，()225sin 36αβ+=，则()()2211cos 1sin 36αβαβ+=-+=，故()()()22225sin 2536tan 11cos 1136αβαβαβ++===+.故答案为：2511.17．【分析】由二倍角公式可得cos 2c bA b-=，利用正弦定理边化角，结合和差公式整理可得()sin sin B A B =-，可得2A B =，根据三角形ABC 为锐角三角形求出角B 的范围，然后利用正弦定理和二倍角公式可得2cos aB b=，可得范围.【详解】因为sin2A 23sin 24A b c b -=，所以2cos 12sin 22A c b A b -=-=，由正弦定理得sin sin cos 2sin C B A B -=，即2sin cos sin sin B A C B =-，所以()2sin cos sin sin B A A B B =+-，所以sin cos cos sin sin A B A B B -=，即()sin sin B A B =-，所以B A B =-或πB A B +-=（舍去），因为三角形ABC 为锐角三角形，所以π20,2A B ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，又π3,π2A B B ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，解得64ππ,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 22B ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.因为sin sin22cos sin sin a A B B b B B ===，所以a b 的取值范围为.故答案为：18．14##0.25【分析】由,2222αβαβαβαβαβ+-+-=+=-，利用两角和与差的正弦公式和余弦的二倍角公式，求出sin 2αβ+；再用余弦的二倍角公式求出()cos αβ-.【详解】因为,2222αβαβαβαβαβ+-+-=+=-，所以sin sin sin 22αβαβαβ+-⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭sin 2sin cos 2222αβαβαβαβ+-+-⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，又sin sin αβ+=sin cos 2212αβαβ+-=，因为,αβ为锐角，所以2αβ+为锐角，又()21cos 12sin 29αβαβ++=-=-，所以sin 2αβ+=又52sin cos 2212αβαβ+-=，所以cos 2αβ-=，所以()2101cos 2cos 1212164αβαβ--=-=⨯-=．故答案为：3；14.19【分析】由π2tan 74x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭及同角三角函数的基本关系可求得ππsin ,cos 77x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据10πππ2173x x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭并结合两角和的正弦公式即可得解．【详解】 π2tan 74x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π2πsin cos 747x x ⎛⎫⎛⎫∴+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2222ππππsin cos cos 7777x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=-+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦29πcos 187x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，x 为第二象限角，∴πcos 7x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π1sin 73x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，10πππππππsin sin sin cos cos sin 21737373x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1122312632326-=⨯-=．20．6【分析】不妨令A B C ≤≤，利用正切函数的单调性，结合已知求出tan A ，再利用和角的正切公式分析求解即得.【详解】在ABC 中，不妨令A B C ≤≤，显然A 为锐角，而tan A 是整数，若πtan 2tan 3A =>=，又函数tan y x =在π(0,2上单调递增，则π3A >，此时3πABC A ++≥>与πA B C ++=矛盾，因此tan 1A =，π3π,44A B C =+=，tan tan tan()11tan tan B C B C B C++==--，整理得(tan 1)(tan 1)2B C --=，又tan ,tan B C 都是整数，且tan tan B C ≤，因此tan 2,tan 3B C ==，所以tan tan tan 6A B C ++=.故答案为：6。
三角函数化一公式训练题
三角函数化一公式训练题三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数，掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在三角函数化一公式训练题： 已知1027)4(sin =-πα，257cos2=α，=αsin （ ） A ．54 B ．54- C ．53- D ．53【答案】D 【解析】试题分析：由7sin()sin cos 45πααα-=⇒-=①，2277cos2cos sin 2525ααα=⇒-=所以()()7cos sin cos sin 25αααα-+=②，由①②可得1cos sin 5αα+=-③，由①③得，3sin 5α= ，故选D考点：本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式 点评：解决本题的关键是熟练掌握两角和与差的三角函数，二倍角公式 ．cos690=（ ）A ．21 B ．21- C ．23D ．23-【答案】C【解析】 试题分析：由()()3cos 690cos 236030cos 30cos302=⨯-=-==，故选C考点：本题考查三角函数的诱导公式点评：解决本题的关键是熟练掌握三角函数的诱导公式以及特殊角的三角函数值π316tan的值为 A.33- B.33 C.3D.3-【答案】 C 【解析】试题分析tan π=tan （6π﹣）=﹣tan=．考点：三角函数的求值，诱导公式．点评：本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值．若202παβπ<<<<-，1cos()43πα+=，cos()42πβ-=cos()2βα+= A ．33B ．33-C ．935 D ．96-【答案】C ． 【解析】 试题分析：因为202παβπ<<<<-，1cos()43πα+=，所以4344παππ<+<，且322)4sin(=+απ；又因为cos()42πβ-=02<<-βπ，所以2244πβππ<-<，且36)24sin(=-βπ．又因为)24()4(2βπαπβα--+=+，所以)24sin()4sin()24cos()4cos()]24()4cos[()2cos(βπαπβπαπβπαπβα-++-+=--+=+935363223331=⨯+⨯=．故应选C ．考点：1、同角三角函数的基本关系；2、两角差的余弦公式． 若角的终边在第二象限且经过点，则sin α等于AB ．C ．D ．【答案】A 【解析】试题分析：由已知23sin 2,3,1==⇒=∴=-=r y r y x α，故选A ．考点：三角函数的概念．sin70Cos370- sin830Cos530的值为（ ） A ．21- B ．21 C ．23D ．23-【答案】A 【解析】 试题分析：sin70Cos370- sin830Cos530α(1P -12-12()()3790sin 790cos 37cos 7sin ---=()()2130sin 377sin 37sin 7cos 37cos 7sin -=-=-=-= 考点：三角恒等变换及诱导公式； 已知53)4cos(=-x π，那么sin 2x ＝（ ） （A ）2518 （B ）2524± （C ）257- （D ）257【答案】C 【解析】试题分析：sin2x ＝cos （2π－2x ）＝2cos 2（4π－x ）－1＝2×237()1525-=- 考点：二倍角公式，三角函数恒等变形 已知51sin()25πα+=,那么cos α= （ ）A ．25- B ．15- C ．15D ．25【答案】C 【解析】试题分析：由51sin()25πα+==sin()cos 2a a π+=,所以选C ．考点：三角函数诱导公式的应用 已知31)2sin(=+a π，则a 2cos 的值为（ ）A ．31B ．31-C ．97D ．97-【答案】D 【解析】试题分析：由已知得31cos =α,从而971921cos 22cos 2-=-=-=αα,故选D.考点：诱导公式及余弦倍角公式.已知点P （ααcos ,tan ）在第三象限，则角α在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B 【解析】试题分析：由已知得，tan 0,cos 0αα<⎧⎨<⎩，故角α在第二象限．考点：三角函数的符号.已知α是第四象限角，125tan -=α，则=αsin （ ） A ．51 B ．51- C ．135D ．135-【答案】D 【解析】试题分析：利用切化弦以及1cos sin 22=+αα求解即可．125cos sin tan -==ααα， ，，16925sin 1cos sin 222=∴=+ααα又α是第四象限角，135sin ,0sin -=<αα,故选：D.考点：任意角的三角函数的定义 ．化简2cos ()4πα--2sin ()4πα-得到（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】Aωπω2sin ==T xy α2sin α2sin -α2cos α2cos -【解析】 试题分析：απαπαπαπααππα2sin )22cos()4(2cos )4(sin )4(cos )4(sin )4(cos 2222=-=-=---=---考点：三角函数的诱导公式和倍角公式.已知3cos ,05ααπ=<<，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A.15B.17C.1-D.7-【答案】D 【解析】试题分析：由053cos ,0>=<<απα可知20πα<<，因此54sin =α，34tan =α，由和角公式可知713411344tan tan 14tantan )4tan(-=⨯-+=⋅-+=+παπαπα，故答案为D 。
三角函数的倍角化简练习题
三角函数的倍角化简练习题1. sin 2θ的化简：根据三角函数的倍角公式sin 2θ = 2sinθcosθ2. cos 2θ的化简：根据三角函数的倍角公式cos 2θ = cos²θ - sin²θ3. tan 2θ的化简：根据三角函数的倍角公式tan 2θ = (2tanθ)/(1-tan²θ)4. cot 2θ的化简：根据三角函数的倍角公式cot 2θ = (cot²θ - 1)/(2cotθ)5. sec 2θ的化简：根据三角函数的倍角公式sec 2θ = (1 + tan²θ)/(1 - tan²θ)6. csc 2θ的化简：根据三角函数的倍角公式csc 2θ = (2cscθcotθ)/(csc²θ - cot²θ)通过这些练习题，我们可以更加熟悉和了解三角函数的倍角化简方法。
在解三角函数问题中，倍角公式是非常重要的一部分。
熟练掌握这些公式，对于简化表达式、证明恒等式以及求解复杂的三角方程等问题都有很大的帮助。
在化简三角函数的倍角时，我们可以利用已经知道的三角函数的值，通过代数运算将复杂的表达式转化为简洁的形式，从而便于计算和进一步推导。
牢记这些公式，并进行反复练习，可以提高我们在解题过程中的速度和准确性。
在实际应用中，三角函数的倍角公式在物理、工程、计算机图形学等领域中有广泛的应用。
例如在机械工程中，利用角度的倍角关系可以简化机械零件的设计和加工；在计算机图形学中，三角函数的倍角公式可以用来实现旋转和变形效果等。
总之，三角函数的倍角化简是解三角函数问题中的重要步骤，掌握倍角公式的应用和运用，可以帮助我们更好地理解和解决各种与三角函数相关的数学和应用题目。
通过反复练习和思考，我们可以不断提高自己的解题能力和数学素养。
三角函数的化简求值(含答案)
三角函数的化简求值一、单选题(共10道，每道10分)1.化简的结果是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简2.化简的结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简3.下列选项中，不是化简的结果的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简4.化简的结果的是( )A.，其中B.，其中C.，其中D.，其中答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简5.函数（）的值域为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简6.函数（）的值域为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简7.已知函数，若为偶函数，则的一个值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简8.函数（）的值域为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简9.函数（）的值域为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简10.函数（）的值域是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简。
三角函数化简求值练习题(超级好)
三角化简求值测试题1．若sin α＝35，α∈(－π2，π2)，则cos(α＋5π4)＝________.2．已知π<θ<32π，则 12＋12 12＋12cos θ＝________.3．计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.4．函数y ＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是__________________．5．函数f (x )＝(sin 2x ＋12010sin 2x )(cos 2x ＋12010cos 2x)的最小值是________． 6．若tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，则tan(α＋π4)＝_____.7．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为________．8.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是________．9．若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为_________．10．若函数f (x )＝sin2x －2sin 2x ·sin2x (x ∈R )，则f (x )的最小正周期为________．11． 2cos5°－sin25°cos25°的值为________．12．向量a ＝(cos10°，sin10°)，b ＝(cos70°，sin70°)，|a －2b |＝________________.13．已知1－cos2αsin αcos α＝1，tan(β－α)＝－13，则tan(β－2α)＝________.14．设a ＝sin14°＋cos14°，b ＝sin16°＋cos16°，c ＝62，则a 、b 、c 的大小关系是________.15．已知角α∈(π4，π2)，且(4cos α－3sin α)(2cos α－3sin α)＝0.(1)求tan(α＋π4)的值；(2)求cos(π3－2α)的值．16. 已知tan α＝2.求(1)tan(α＋π4)的值；(2)sin2α＋cos 2(π－α)1＋cos2α的值．17．如图，点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B 两点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 是正三角形，若点A 的坐标为(35，45)，记∠COA ＝α. (1)求1＋sin2α1＋cos2α的值；(2)求|BC |2的值．18．△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B，sin(B －A )＝cos C .，，求角A 。
三角函数化简求值练习题（超级好）
三角函数化简求值练习题（超级好）三角化简求值测试题1．若sin α＝35，α∈(－π2，π2)，则cos(α＋5π4)＝________.2．已知π<θ<32π，则 12＋12 12＋12cos θ＝________.3．计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.4．函数y ＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是__________________．5．函数f (x )＝(sin 2x ＋12010sin 2x )(cos 2x ＋12010cos 2x)的最小值是________． 6．若tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，则tan(α＋π4)＝_____.7．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为________．8.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是________．9．若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为_________．10．若函数f (x )＝sin2x －2sin 2x ·sin2x (x ∈R )，则f (x )的最小正周期为________．11．2cos5°－sin25°cos25°的值为________．12．向量a ＝(cos10°，sin10°)，b ＝(cos70°，sin70°)，|a －2b |＝________________.13．已知1－cos2αsin αcos α＝1，tan(β－α)＝－13，则tan(β－2α)＝________.14．设a ＝sin14°＋cos14°，b ＝sin16°＋cos16°，c ＝62，则a 、b 、c 的大小关系是________.15．已知角α∈(π4，π2)，且(4cos α－3sin α)(2cos α－3sin α)＝0.(1)求tan(α＋π4)的值；(2)求cos(π3－2α)的值．16. 已知tan α＝2.求(1)tan(α＋π4)的值；(2)sin2α＋cos 2(π－α)1＋cos2α的值．17．如图，点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B 两点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 是正三角形，若点A 的坐标为(35，45)，记∠COA ＝α. (1)求1＋sin2α1＋cos2α的值；(2)求|BC |2的值．18．△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B，sin(B －A )＝cos C .，，求角A 。
三角函数化简题
三角函数的化简、求值与证明 日期：2009年 月 日星期式进行三角函数式的化简与恒等式的证明．用．（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。
（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数2、三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
3、三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分．三角函数的求值： 2．正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值； 3．一些常规技巧：“1”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等． 1．三角函数式的化简： 三角函数式的化简常用方法是：异名函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切割化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化． 2．三角恒等式的证明： 三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．①无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端的“异”化为“同”；②有条件的等式常用方法有：代入法、消去法、综合法、分析法等．1、已知θ是第三象限角，且4459sin cos θθ+=，那么2sin θ等于 （ A ）A B 、 C 、23 D 、23-2、函数22y sin x x =-的最小正周期 （ B ）A 、2πB 、πC 、3πD 、4π3、tan 70cos10(3tan 201)-等于 （ D ）A 、1B 、2C 、－1D 、－24、已知46sin (4)4m m m αα-=≠-，则实数m 的取值范围是＿＿[－1，73]＿＿＿。
三角函数化简练习题及答案
三角函数化简练习题及答案1．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简和恒等式证明2．掌握三角函数式的化简和证明的方法及步骤。
1．cosαcosβ=sinαcosβ=2．sinθ+sinφ= ；sinθ-sinφ= ；cosθ+cosφ= ； cosθ-cosφ=1cos2a1.已知tan ? ? ,则sin2a?2的值是4cos2a-4sin2a5A.B.?22C. 1D.?114142.?sin22?cos4等于A.C. sin B.D.4?cos?3coscos. 1 a等于 cosa-sina?sin2asinA.C. cosa sina B. cos2aD sin2a4.化简2?sin4?2?2cos4的结果是sin? sin?]可化简为. ? ?)cosa ?[sin?sin?B. ?sinC. sin?D. 0?)??)等于.化简4北京一对一上门家教品牌家教电话：010—6256125 xx??x2xx A. tanx B.tanxtan2tan222cos100-sin200的值是 D.1 A. C.2. tan700?cos100等于化简 ??a?cos?a-cos?a10. cos sina a?sin???11.如果tana,tna?是方程x2?3x?3?0两根，则。
cossin12．2cos2a?1化简2?a)sin24413．求证： sinsin??2cos?sina sina1214．讨论函数f?cos?cos??2coscosxcos?的值域、周期性、2奇偶性及单调性北京一对一上门家教品牌家教电话：010—6256125515．设sin??msin?2?????m?0?,????k??k?z?，求证：tan??????无论是化简还是证明都要注意：角度的特点函数名的特点化切为弦是常用手段升降幂公式的灵活应用1?mtan? 1?m3.2.2三角函数化简及证明111．[cos+cos]；[sin+sin]；22．2sin3．2cos???2coscos???22；2cos；-2sin???22sinsin???22； ???2?????????1.C2.D3.B4.2sin25.C.6.B北京一对一上门家教品牌家教电话：010—62561255 7.C8.C9.-210.cos?11.?12.cos2a?1-a)??cos2＝2cosa?113. ?a)?-a)442cos2a-1cos2a? ? 1 cos2acos2a2证明∵sin?2cossina=sin[?a]?2cossina＝sincosa?cossina?2cossina＝sincosa?cossina＝sin[-a]＝sin?.sinsin?两边同除以sina?2cos＝.sinasina12214.解：f?[2cos?1]?cos??2coscosxcos?12 =cos??2coscosxcos??cos?12=cos[cos?2cosxcos?]?cos??12=cos[sinxsin??cosxcos?]?cos??11=cos[?cos]?cos2? ??cos2x211∴f的值域为[?,]，周期为π，是偶函数，2??当x?[k?,k??]时f是增函数，当x?[k??,k?]时f是减函22北京一对一上门家教品牌家教电话：010—62561255 数。
三角函数化简题
2|cos||cos|
22
∵0，∴0
∴原式cos．
22
，∴|cos|cos
22
，
§4.04三角函数的化简、求值与证明共7页,第3页
222(3cos4x)
例3．证明：（1）tanxcotx
1cos4x
sin(2AB)sinB
；（2）2cos()
AB
sinAsinA
．
证：（1）左边
224422222
右边，∴得证．
说明：由等式两边的差异知：若选择“从左证到右”，必定要“切化弦”；若“从右证到
左”，必定要用倍角公式．
（2）左边
sin[(AB)B]2cos(AB)sinA
sinA
sin(AB)cosAcos(AB)sinA
sinA
sin[(AB)A]sinB
sinAsinA
右边，∴得证．
课堂练习
1．若cos130a，则tan50
1cos1cossin1cos
()(1)
sinsincossin
2cos1cos1
(1)2cot(11)2csc
sincoscos
．
（3）原式
2
(2cos2cossin)(sincos)
22222
2(1cos)
2cos(cossin)(sincos)
22222
2
22cos
2
22
2cos(sincos)cos(cos)
1．三角函数式的化简：
三角函数式的化简常用方法是：异名函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为
同次，切割化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．
2．三角恒等式的证明：
三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．①无条件的等式证明的基本方法是
三角函数化简求值精选题
三角化简求值测试题1．若sinα＝35，α∈(－π，2π)，则c os(α＋25π)＝________.4322．已知π<θ<π，则1＋12 21＋1cosθ＝________.2 2cos10 °＋3sin10 °＝________.3．计算：1－cos80 °4．函数y＝2cos2x＋sin2 x的最小值是__________________．12 2 5．函数f(x)＝(sin x＋x ＋2x)(cos2010sin12010cos2x)的最小值是________．2x)的最小值是________．25，tan(β－6．若tan(α＋β)＝π1 π，则t an(α＋4)＝4)＝_____.41的值为________．7．若3sinα＋cosα＝0，则2α＋sin2α cos8. 2＋2cos8＋2 1－sin8的化简结果是________．9．若tanα＋1 10π＝，，α∈(tanα 3 4ππ2)，则s in(2α＋4)的值为_________．10．若函数 f (x)＝sin2x－2sin2x·sin2x(x∈R)，则f( x)的最小正周期为________．11．2cos5 °－sin25 °的值为________．cos25 °12．向量a＝(cos10 ，°sin10 )°，b＝(cos70 ，°s in70 )°，|a－2b|＝________________.13．已知1－cos2α＝1，tan(β－α)＝－sinαcosα13，则t an(β－2α)＝________.14．设a＝sin14 ＋°c os14 °，b＝sin16 ＋°c os16 °，c＝6，则a、b、c 的大小关系是________. 2π15．已知角α∈(，4 π)，且(4cosα－3sinα)(2cosα－3sinα)＝0. 2(1)求tan(α＋ππ－2α)的值．)的值；(2)求cos(4 32sin2α＋cos (π－α) π16. 已知tanα＝2.求(1)tan(α＋)的值；(2)4 1＋cos2α的值．17．如图，点A，B 是单位圆上的两点，A，B 两点分别在第一、二象限，点 C 是圆与x轴正半轴的交点，△A OB 是正三角形，3 若点 A 的坐标为(5，45)，记∠C OA＝α.(1)求1＋sin2α的值；(2)求|BC |2 的值．2 的值．1＋cos2α18．△ABC 中，A，B，C 所对的边分别为a，b，c，tanC＝sin A＋sin BcosA＋cosB，sin(B－A)＝cosC .，，求角A。
三角函数的化简模拟试题
三角函数的化简模拟试题考虑以下三角函数的化简问题，试解答以下模拟试题。
1. 化简以下表达式：a) $\sin(\frac{\pi}{2} - x)$b) $\cos(\frac{\pi}{2} + x)$c) $\tan(\pi - x)$2. 将下列表达式化简为同角三角函数的形式：a) $\sin(-x)$b) $\cos(\pi + x)$c) $\tan(\frac{\pi}{2} - x)$3. 根据倍角公式，化简以下表达式，其中 $0 \leq x \leq\frac{\pi}{2}$:a) $\sin(2x)$b) $\cos(2x)$c) $\tan(2x)$4. 根据半角公式，将下列表达式化简为三角函数的形式：a) $\sin^2\frac{x}{2}$b) $\cos^2\frac{x}{2}$c) $\tan^2\frac{x}{2}$5. 根据和差公式，化简以下表达式：a) $\sin(x + \frac{\pi}{3})$b) $\cos(x - \frac{\pi}{4})$c) $\tan(x + \frac{\pi}{6})$6. 化简以下复合角三角函数表达式：a) $\sin[2(\frac{\pi}{4} - x)]$b) $\cos[2(\frac{\pi}{6} + x)]$c) $\tan[2(\pi - x)]$7. 结合以上知识，化简以下复合角三角函数表达式：a) $\sin[2(\frac{\pi}{4} - x)] + \cos[2(\frac{\pi}{6} + x)]$b) $\cos[2(\frac{\pi}{6} + x)] - \sin[2(\frac{\pi}{4} - x)]$8. 进一步化简以下复合角三角函数表达式：a) $2\sin(\pi - \frac{x}{2})\cos(\pi + \frac{x}{2})$b) $2\cos^2(\frac{\pi}{4} - x) - 1$试题解答如下：1.a) $\sin(\frac{\pi}{2} - x)= \cos(x)$b) $\cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin(x)$c) $\tan(\pi - x)= \tan(x)$2.a) $\sin(-x) = -\sin(x)$b) $\cos(\pi + x) = -\cos(x)$c) $\tan(\frac{\pi}{2} - x) = \cot(x)$3.a) $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$b) $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$c) $\tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1-\tan^2(x)}$4.a) $\sin^2\frac{x}{2} = \frac{1 - \cos(x)}{2}$b) $\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1 + \cos(x)}{2}$c) $\tan^2\frac{x}{2} = \frac{1 - \cos(x)}{1 + \cos(x)}$5.a) $\sin(x + \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x) +\frac{1}{2}\cos(x)$b) $\cos(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos(x) +\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(x)$c) $\tan(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\tan(x)$6.a) $\sin[2(\frac{\pi}{4} - x)] = 2\sin(\frac{\pi}{4} - x)\cos(\frac{\pi}{4} - x)$b) $\cos[2(\frac{\pi}{6} + x)] = \cos^2(\frac{\pi}{6} + x) -\sin^2(\frac{\pi}{6} + x)$c) $\tan[2(\pi - x)] = \frac{2\tan(\pi - x)}{1-\tan^2(\pi - x)}$7.a) $\sin[2(\frac{\pi}{4} - x)] + \cos[2(\frac{\pi}{6} + x)] =2\sin(\frac{\pi}{4} - x)\cos(\frac{\pi}{4} - x) + \cos^2(\frac{\pi}{6} + x) -\sin^2(\frac{\pi}{6} + x)$b) $\cos[2(\frac{\pi}{6} + x)] - \sin[2(\frac{\pi}{4} - x)] =\cos^2(\frac{\pi}{6} + x) - \sin^2(\frac{\pi}{6} + x) - 2\sin(\frac{\pi}{4} - x)\cos(\frac{\pi}{4} - x)$8.a) $2\sin(\pi - \frac{x}{2})\cos(\pi + \frac{x}{2}) = \sin(\pi - x) =\sin(x)$b) $2\cos^2(\frac{\pi}{4} - x) - 1 = 2(\frac{1}{2}\cos(x) +\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(x))^2 - 1 = \cos^2(x) - \sin^2(x)$通过上述题目的解答，我们学习了三角函数的化简方法，包括基础的化简公式，倍角公式，半角公式以及和差公式等。
三角函数中的化简求值(经典版)
一、题型选讲
题型一灵活运用和与差的正弦、余弦和正切、二倍角等公式化简求值
通过两角和与差的正弦、余弦和正切以及二倍角公式或者公式的变形进行化简求值。
在应用同角三角函数的关系或两角和与差的三角函数公式求值时，需要注意解题的规范性，一要注意角的范围对三角函数值的符号的影响；二要注意“展示”三角函数的公式．否则，就会因为不规范而导致失分．
求tan()
αβ
-的值．
题型二探究角度之间的关系
在三角函数的化简求值中，往往出现已知角与所求角不同，此时要观察两个角度之间的关系，寻求角度之间的特殊性，通过二倍角、互补、互与余等公式进行转化。
应用三角公式解决问题的三个变换角度
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代
换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
．
题型三、运用构造法化简与求值
2、(2018南京、盐城一模）已知锐角α，β满足(tanα－1)(tanβ－1)＝2，则α＋β的值为________．。