2019高考数学专题小练————指数对数运算

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指数与对数运算专项----高考

指数与对数的运算热点一指数运算、化简、求值1、分数指数幂的概念和运算法则:为避免讨论,我们约定a>０,ｎ，m ∈N *，且m n为既约分数，分数指数幂可如下定义：1n a =m m n a == -1mn mn a a =2.有理数指数幂的运算性质()Q b a ∈>>βα,00，， (1);a a a αβαβ+⋅= (2）();aa αβαβ= (3)();ab a b ααα= 当a ＞0,p 为无理数时，a p 是一个确定的实数,上述有理数指数幂的运算性质仍适用.3.指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数,底数是带分数,先要化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于用指数运算性质．在化简运算中,也要注意公式：ａ2-b 2＝(ａ-b ）（ａ+b ）,（ａ±b )２＝a 2±2ａb +ｂ2，(a ±ｂ)３=ａ3±3a 2b ＋3a ｂ2±ｂ３，a 3-b 3=(a -b ）(a 2+a ｂ+b 2），a 3+ｂ３=（a ＋b )（a 2－ａb ＋b 2）的运用，能够简化运算. 【例2】1.用分数指数幂形式表示下列各式(式中a>0）:(1）2a （2）3a;2.计算:1111200.253473(0.0081)3()81(3)88-----⎡⎤⎡⎤-⨯⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；热点二对数的运算、化简、求值1．对数的概念：如果a x =N (a ＞0且a ≠1），那么数x 叫做以a 为底Ｎ的对数,记作x ＝ｌog a Ｎ,其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数.(a ｘ=N ｘ＝log a Ｎ)(2）对数的性质：①a log a N = Ｎ ; ②log ａa N＝ N (a >0且a ≠1). ３.对数的运算法则:如果ａ>0,a ≠1,Ｍ>０, N >０有:)()()(3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= ４.对数换底公式：aN N m m a log log log = （ a >0 ,ａａ≠１ ,m >０ ,m ≠1,Ｎ>0)． 5.两个常用的推论：①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a ．② b mn b a n a m log log = 【例3】１．计算:(1)lo ｇ535－2ｌog 573+ｌog 5７－l ｏg 51.8; （２) (ｌｇ5)２＋lg ２·ｌg50．(3)错误!;(4)2（l ｇ＼ｒ(２）)２+lg 错误!·lg5+错误!; ３．计算:log 53５+2lo ｇ错误!错误!－log 5错误!-ｌo ｇ51４；4.设log 34·loｇ4８·lｏｇ８m ＝ｌog 416,求ｍ；5．计算:①3log 12.05 , ②4log 16log 327．－－。

2019高中数学对数练习题(附答案)精品教育.doc

高中数学对数练习题（附答案）数学必修1(苏教版)2.3 对数函数2．3.1 对数2019年我国国民经济生产总值为a亿元，若按平均每年增长10%估算，那么经过多少年国民经济生产总值是2019年的2倍？假设经过x年，则有a(1＋10%)x＝2a，即1.1x＝2，那么如何求指数x呢？基础巩固1．(2019浙江卷)已知x、y为正实数，则()A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg yB．2lg(x＋y)＝2lg x2lg yC．2lg xlg y＝2lg x＋2lg yD．2lg(xy)＝2lg x2lg y答案：D2．(log29)(log34)＝()A.14B.12 C．2 D．4解析：原式＝lg 9lg 2lg 4lg 3＝2lg 32lg 2lg 2lg 3＝4. 答案：D3． )(3－22)＝()A．2 B．4 C．－2 D．－4解析：∵3－22＝(2－1)2＝12＋12＝(2＋1)－2.原式＝－2.答案：C4．设log83＝p，log35＝q，则lg 5为()A．p2＋q2 B.15(3p＋2q)C.3pq1＋3pq D．pq解析：由题知lg 3lg 8＝p，p＝lg 33lg 2，q＝lg 5lg 3，lg 5＝qlg 3＝q(3plg 2)＝3pqlg 105＝3pq(1－lg 5)，即：lg 5＝3pq－3pqlg 5，lg 5＝3pq1＋3pq.答案：C5．若y＝log56log67log78log89log910，则y＝()A．1＋log25 B．1＋log52C．1－log25 D．1－log52解析：由题知y＝lg 6lg 5lg 7lg 6lg 8lg 7lg 9lg 8lg 10lg 9＝lg 10lg 5＝log510＝1＋log52.答案：B6．若a0且a1，x0，nN＋，则下列各式中恒成立的有________个．①(logax)n＝nlogax ②(logax)n＝logaxn③logax＝－loga1x ④logax－yx＋y＝－logax＋yx－y 答案：27．已知01,01，如果，则x的取值范围是________．解析：由01得logb(x－2)0，由01得0x－223.答案：(2,3)8．x＝log23,4y＝83，则x＋2y的值为________．解析：∵4y＝83，22y＝83，2y＝log283，x＋2y＝log23＋log283＝log28＝3.答案：39．若f(x)＝，且f(lg a)＝10，求a的值．解析：由f(lg a)＝10得－12＝10，两边取常用对数得(lg a)2－12lg a＝lg 10，即2(lg a)2－lg a－1＝0.lg a＝1或lg a＝－12，故a＝10或1010.能力提升10．(lg 5)2＋lg 2lg 50＝()A．1 B．2 C．5 D．10解析：原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 2＋2lg 5)＝(lg 5)2＋2lg 2lg 5＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝1.答案：A11．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两根，则＝() A.14 B.12 C．1 D．2解析：由韦达定理，lg a＋lg b＝2，lg alg b＝12，lg ab2＝(lg a－lg b)2＝(lg a＋lg b)2－4lg alg b＝22－412＝2.答案：D12．设a、b、c都是正数，且3a＝4b＝6c，则()A.1c＝1a＋1bB.2c＝2a＋1bC.1c＝2a＋2bD.2c＝1a＋2b解析：设3a＝4b＝6c＝t，则a＝log3t，b＝log4t，c＝log6t.1a＝logt3，1b＝logt4，1c＝logt6.2a＋1b＝logt9＋logt4＝2logt6＝2c.答案：B13．若2m＝3n＝36，则1m＋1n＝________.解析：∵2m＝3n＝36，m＝log236，n＝log336，从而：1m＋1n＝log362＋log363＝log366＝12.答案：1214．(2019上海卷)方程33x－1＋13＝3x－1的实数解为________．解析：去分母整理得32x－23x－8＝03x＝4x＝log34.答案：log3415．已知log5[log4(log3x)]＝0，则x＝________.答案：8116．计算：1－log632＋log62log618log64.解析：原式＝1－2log63＋log632＋log663log663log64＝1－2log63＋log632＋1－log631＋log63log64＝1－2log63＋log632＋1－log632log64＝21－log632log62＝log66－log63log62＝log62log62＝1.17．甲、乙两人解关于x的方程：log2x＋b＋clogx2＝0，甲写错了常数b，得到根14、18；乙写错了常数c，得到根12、64.求原方程的根．解析：原方程可变形为log22x＋blog2x＋c＝0.由于甲写错了常数b，得到的根为14和18，c＝log214log218＝6.由于乙写错了常数c，得到的根为12和64，b＝－log212＋log264＝－5.故原方程为log22x－5log2x＋6＝0.因式分解得(log2x－2)(log2x－3)＝0.log2x＝2或log2x＝3，即x＝4或x＝8.点评：此题取材与学生生活密切相关，将对数与一元二次方程结合．本题在解答时，利用了一元二次方程根与系数的关系，即x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.已知二次项系数为1方程的根为x1、x2时，方程可写成(x－x1)(x－x2)＝x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0.18．已知lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，求lg xy的值．解析：由lg x＋lg y＝2lg (x－2y)得xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，化为－5xy＋4＝0，解得xy＝4或xy＝1，又∵x0，y0，x－2y0，xy2，故xy＝4， xy＝ 4＝ (2)4＝4.。

高考数学难点突破_难点09__指数对数函数

高考数学难点突破_难点09__指数对数函数指数对数函数是高考数学中的一个重要的难点，也是学生普遍认为比较难理解和掌握的内容之一、本文将从基本概念、性质、解题技巧等方面进行详细介绍，帮助学生突破这一难点。

一、基本概念1.指数函数：指数函数是以指数为自变量，以底数为底的函数。

比如y=2^x就是一个指数函数，其中2是底数，x是指数。

2. 对数函数：对数函数是指数函数的逆运算，也就是说，指数函数和对数函数互为反函数。

比如 y = log2(x) 就是一个对数函数，其中 2 是底数，y 是对数。

二、性质1.指数函数的性质：(1)底数为正数且不等于1；(2)指数为任意实数；(3)当底数小于1时，指数函数是递减函数；(4)当底数大于1时，指数函数是递增函数。

2.对数函数的性质：(1)底数为正数且不等于1；(2)对数为任意正数；(3)对数函数的定义域是正数集合，值域是实数集合；(4)对数函数图象是一条过点(1,0)的上凸曲线。

三、解题技巧1.指数函数的解题技巧：(1)利用指数函数的性质进行函数图象的绘制；(2)将指数转化为对数的形式，利用对数的性质简化计算；(3)注意指数函数的定义域和值域，避免出现无解的情况；(4)利用指数函数的性质解决等式、不等式，注意正确应用换底公式。

2.对数函数的解题技巧：(1)利用对数函数的性质进行函数图象的绘制；(2)利用对数函数的反函数性质化简等式、不等式的解；(3)根据定义域和值域限制，判断函数是否有解；(4)注意合理利用换底公式，化简对数运算。

四、经典题型1. 解对数方程：如 log2(x+3) + log2(x-2) = 3，将对数方程转化为指数方程求解。

2.判断函数性质：如f(x)=5^(x-3)，要求判断指数函数f(x)的增减性和定义域。

3.运用指数对数函数求最值：如y=3^x-3^(1-x)，通过化简求函数的最值。

4. 判断指数函数与对数函数的关系：如 f(x) = 2^x 和 g(x) = log2(x)，要求判断两个函数的值域和定义域。

指数对数运算练习题40道(附答案)

每天一刻钟，数学点点通郭大侠的数学江湖指数对数运算练习题1．已知，b＝0.32，0.20.3c =，则a，b，c 三者的大小关系是()A．b>c>aB．b>a>cC．a>b>cD．c>b>a2．已知432a =，254b =，1325c =，则（A）b a c <<（B）a b c <<（C）b c a<<（D）c a b<<3．三个数6log ,7.0,67.067.0的大小顺序是()A.7.07.0666log 7.0<< B.6log 67.07.07.06<<C.67.07.07.066log << D.7.067.067.06log <<4．已知4log ,4.0,22.022.0===c b a ，则（）A．c b a >>B．a c b>>C．c a b>>D．b c a>>5．设 1.1 3.13log 7,2,0.8ab c ===则（）A.c a b <<B.ba c << C.ab c << D.bc a <<6．三个数3.0222,3.0log ,3.0===c b a 之间的大小关系是（）A．b c a <<B．c b a <<C．ca b <<D．ac b <<7．已知 1.22a =，0.80.5b =，2log 3c =，则（）A．a b c>>B．c b a <<C．c a b>>D．a c b>>8．已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（）A．a b c>>B．a c b>>C．c a b>>D．c b a >>9．已知0.30.2a =，0.2log 3b =，0.2log 4c =，则（）A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a10．设0.61.50.60.60.6 1.5a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是（）（A）a b c ＜＜（B） a c b ＜＜（C）b a c ＜＜（D）b c a＜＜试卷第2页，总8页11．设a＝34⎛⎫ ⎪⎝⎭0.5，b＝43⎛⎫ ⎪⎝⎭0.4，c＝log 34(log 34)，则()A．c<b<a B．a<b<c C．c<a<bD．a<c<b12．已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（）A．a b c>>B．a c b>>C．c a b>>D．c b a>>13．已知03131log 4,(),log 105a b c ===，则下列关系中正确的是（）A.a b c >>B.b a c >>C.a c b >>D.c a b>>14．设0.5342log log 2a b c π-===，，，则（）A.b a c>> B. b c a >> C.a b c >> D.a c b>>15．设0.90.48 1.512314,8,(2y y y -===，则（）A．312y y y >>B．213y y y >>C．132y y y >>D．123y y y >>16．设12log 5a =，0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132c =，则（）A ．a b c<>B.c a b >>C.a c b>> D.c b a>>18．已知0.5log sin a x =，0.5log cos b x =，0.5log sin cos c x x =，,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A.b a c>> B.c a b>> C.c b a>> D.b c a>>19．设0.50.82x =,2log y =sin1z =，则x 、y 、z 的大小关系为（）A.x y z<< B.y z x<< C.z x y<< D.z y x<<每天一刻钟，数学点点通郭大侠的数学江湖20．若21log 0,(12ba <> ，则（）A ．1,0a b >>B ．1,0a b ><C ．01,0a b <<> D ．01,0a b <<< 21．已知1122log log a b <，则下列不等式一定成立的是（）A.1143ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.11a b> C.()ln 0a b -> D.31a b-<22．计算（1）（2）1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg --+23．计算：1132081()274e π-⎛⎫⎛⎫--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;②2lg 5lg 4ln ++.24．化简下列各式(其中各字母均为正数)：(1)131.5-×76⎛⎫-⎪⎝⎭0＋80.25)6；211113322－－－（）(3)41332233814a a bb a⎛÷⨯⎝－－＋25．（12分）化简或求值:（1）110232418(22(2)()5427--+⨯-；（2）2lg5+试卷第4页，总8页每天一刻钟，数学点点通郭大侠的数学江湖26．（12分）化简、求值：（1）220.53327492()()(0.008)8925---+⨯；（2）计算2lg 5lg8000(lg 11lg 600lg 36lg 0.0122⋅+--27．（本小题满分10分）计算下列各式的值：（1）2203227()(1()38-+-；（2）5log 33332log 2log 32log 85-+-试卷第6页，总8页28．计算：(1)0021)51(1212)4(2---+-+-；(2)3log 5.222ln 001.0lg 25.6log +++e 29．（本题满分12分）计算以下式子的值：1421(0.252--+⨯；（2）7log 237log 27lg 25lg 47log 1++++．30．计算（1）7log 203log lg 25lg 47(9.8)+++-（2）32310641(833()1(416-+--π-每天一刻钟，数学点点通郭大侠的数学江湖31．计算：()10012cos3022π-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭．32．（本题满分12分）计算(1)5log 923215log 32log (log 8)2+-(2)())121023170.0272179--⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33．（1）化简：1222232()()()a b ab a b ---⋅÷；.34．计算：（1）2482(2013)ππ---⨯--（26cos 45-o试卷第8页，总8页35．（1）计算3log 238616132(log 4)(log 27)log 82log 3--+.（2）若1122x x-+=，求1223x x x x --++-的值.36．求值：(122316ln 4⎛⎫-+ ⎪⎝⎭37．（1）求值：（2）已知31=+x x 求221xx +的值38．计算：（1）943232053312332278-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛（2）23log 32lg 222lg 52lg ++-39．下列四个命题：①11(0,),()()23xxx ∃∈+∞>；②23(0,),log log x x x ∃∈+∞<；③121(0,),()log 2xx x ∀∈+∞>；④1311(0,),(log 32xx x ∀∈<．其中正确命题的序号是．40．(23227log 28-⎛⎫--- ⎪⎝⎭=_____________________________参考答案1．A【来源】2013-2014学年福建省三明一中高二下学期期中考试文科数学试卷（带解析）【解析】试题分析：由指数函数的单调性可知0.3xy =是单调递减的所以0.50.20.30.3<即a<c<1;2xy =是单调增的，所以0.30221y =>=，即可知A 正确考点：指数函数比较大小.2．A【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版）【解析】试题分析：因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A．【考点】幂函数的性质．【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决．3．D【来源】2013-2014学年广西桂林十八中高二下学期开学考理科数学试卷（带解析）【解析】试题分析：0.70661>=,6000.70.71<<=,0.70.7log 6log 10<=,所以60.70.7log 600.716<<<<.考点：用指数,对数函数特殊值比较大小.4．A ．【来源】2014届安徽“江淮十校”协作体高三上学期第一次联考理数学卷（带解析）【解析】试题分析：因为0,10,1<<<>c b a ，所以c b a >>，故选A．考点：利用指数函数、幂函数、对数函数的单调性比较数式的大小．5．B【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（安徽卷带解析）【解析】试题分析：由题意，因为3log 7a=，则12a <<； 1.12b =，则2b >； 3.10.8c =，则00.81c <=，所以c a b<<考点：1.指数、对数的运算性质.6．C【来源】2014-2015学年山东省德州市重点中学高一上学期期中考试数学试卷（带解析）【解析】试题分析：∵200.31a <=<，22b log 0.3log 10=<=，0.30221c =>=，∴c a b <<考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算.7．D【来源】2014届河北省唐山市高三年级第三次模拟考试文科数学试卷（带解析）【解析】试题分析：∵ 1.222a =>，0.800.51<<，21log 32<<，∴a c b >>.考点：利用函数图象及性质比较大小.8．C【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（辽宁卷带解析）【解析】试题分析：因为132(0,1)a -=∈，221log log 103b =<=，112211log log 132c =>=，故c a b >>.考点：指数函数和对数函数的图象和性质．9．A【来源】2014届浙江省嘉兴市高三上学期9月月考文科数学试卷（带解析）【解析】试题分析：由指数函数和对数函数的图像和性质知0a >，0b <，0c <，又对数函数()0.2log f x x =在()0,+∞上是单调递减的，所以0.20.2log 3log 4>，所以a b c >>.考点：指数函数的值域；对数函数的单调性及应用.10．C【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷带解析）【解析】由0.6xy =在区间(0,)+∞是单调减函数可知， 1.50.600.60.61<<<，又0.61.51>，故选C .考点：1.指数函数的性质；2.函数值比较大小.11．C【来源】2014届上海交大附中高三数学理总复习二基本初等函数等练习卷（带解析）【解析】由题意得0<a<1，b>1，而log 34>1，c＝log 34(log 34)，得c<0，故c<a<b.12．C【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（辽宁卷带解析）【解析】试题分析：1032122110221,log 0,log log 31,33ab c -<=<==<==>所以c a b >>，故选C.考点：1.指数对数化简；2.不等式大小比较.13．A.【来源】2015届湖南省益阳市箴言中学高三第一次模拟考试文科数学试卷（带解析）【解析】试题分析：∵33log 4log 31a =>=，01(15b ==，11331log 10log 13c =<=，∴a b c >>.考点：指对数的性质.14．A【来源】2015届河南省八校高三上学期第一次联考文科数学试卷（带解析）【解析】试题分析：∵0.53422，，a b log c log π-===，0.52112＞-，341122＞，＝log log π．∴＞＞b a c ．故选：A．考点：不等式比较大小．15．C【来源】2012-2013学年广东省执信中学高一下学期期中数学试题（带解析）【解析】试题分析：根据题意，结合指数函数的性质，当底数大于1，函数递增，那么可知0.9 1.80.48 1.44 1.5 1.5123142,82,()22y y y -======，结合指数幂的运算性质可知，有132y y y >>，选C.考点：指数函数的值域点评：解决的关键是以0和1为界来比较大小，属于基础题。

数学练习题考试题高考题教案讲座4_指数与对数的性质和运算及答案详解

指数与对数的运算1、整数指数幂的概念。

（1）概念：*)(N n a a a a a n∈⋅⋅=Λ )0(10≠=a a *),0(1N n a aa n n∈≠=- n 个a(2)运算性质： )()(),()(),(Z n b a ab Z n m aa Z n m a a a n n n mnnm n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+ 两点解释：① n m a a ÷可看作n m a a -⋅∴n m a a ÷=nm a a -⋅=nm a- ② n b a )(可看作nn b a -⋅ ∴n ba )(=n nb a -⋅=n n b a2、根式：（1）定义：若),1(+∈>=N n n a x n则x 叫做a 的n 次方根。

（2）求法：当n 为奇数时：正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数记作：na x =当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个（互为相反数）记作： n a x ±= 负数没有偶次方根 0的任何次方根为0名称：n a 叫做根式 n 叫做根指数 a 叫做被开方数（3）公式： a a nn=)( ；当n 为奇数时 a a nn =；当n 为偶数时 ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(a a a a a a nn3、分数指数幂（1）有关规定：事实上，knnk a a =)( 若设a >0,*),1(N n n nmk ∈>= ，m n n mn k a a a ==)()(由n 次根式定义, n a a mnm 的是次方根，即：n m nm a a=（2）同样规定：)1*,,0(1>∈>=-n N n m a aanm nm 且；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。

（3）指数幂的性质：整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂。

),0,0()(),,0()(),,0(Q r b a b a ab Q s r a a a Q s r a a a a r r r rs s r s r s r ∈>>=∈>=∈>=+（注）上述性质对r 、∈s R 均适用。

高考数学25个必考点专题01指对数的运算检测(2021年整理)

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专题01 指对数的运算一、基础过关题1.(2018高考江苏卷）函数的定义域为______．【答案】【解析】解：由题意得:,解得:,函数的定义域是．故答案为：．解关于对数函数的不等式，求出x 的范围即可．本题考查了对数函数的性质，考查求函数的定义域问题,是一道基础题．2．()130024.－121(6)4＋34256＋()2322－3－1＋π0＝________.【答案】64错误!【解析】原式＝()13303⎡⎤⎣⎦.－1225[()]2＋()3444＋2332(2)－错误!＋1＝0.3－错误!＋64＋2－错误!＋1＝64错误!.3．（2015·安徽）lg 错误!＋2lg 2－错误!－1＝。

【答案】－14．已知log 7［log 3(log 2x ）］＝0，那么x －错误!＝________。

【答案】错误!【解析】由条件知,log 3(log 2x ）＝1,∴log 2x ＝3,∴x ＝8，∴12 x＝错误!。

5．|1＋lg0。

001｜＋错误!＋lg6－lg0.02的值为________．【答案】6【解析】原式＝|1－3｜＋|lg3－2｜＋lg300＝2＋2－lg3＋lg3＋2＝6。

6．方程4x－2x＋1－3＝0的解是________．答案 log23解析方程4x－2x＋1－3＝0可化为(2x)2－2·2x－3＝0,即（2x－3)（2x＋1)＝0,∵2x〉0，∴2x＝3,∴x＝log23。

(07函数-E题型)2019年全国一卷地区高考题、模拟题分类汇编(小题)3——指数对数运算

2019年高考题、模拟题分类汇编——函数（小题）3——指数对数运算（26题，7页，答案34）1.（2019年G111广东文）已知132a =，则()2log 2a =1 ．1.（2019年G133广东文）已知函数，，则（2 ）2()2x a f x -=14f=(f =A ．1B ． C ． D ． 18-12181.（2019年C343山东文）已知，，则_3_________．132a =231(2b =2log ()ab =1.（2019年G401湖北文）函数.（4）[]____,10)(,0,30,1)(2==⎩⎨⎧>-≤+=x x f f x x x x x f 则若1.（2019年G501河北文）已知函数，则（5 ）()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<=1,110,log 22x x x x x f ()()=2f f A ．2 B ．-2 C ．1 D ．-11.（2019年G414湖南文）已知2a ＝5b ＝10，则＝_6___．a ＋bab 1.（2019年G161广东文）若函数在区间上的最大值为6，则7______．f(x)=a +log 2x [1,a]a =指数对数解不等式：1.（2019年G402湖北文理）设函数，则不等式的解集是（8 1221()1log 1x x f x x x -⎧>=⎨-≤⎩ , , ()2f x ≤）A ．B ．C ．D ．[)0,+∞1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭[]0,11,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦1 答案：43 ；2 答案：D ；3 答案：；31-4 答案：1；5 答案：B ；6 答案：1；【解析】由已知，a ＝log 210＝，b ＝log 510＝.所以＝＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.1lg 21lg 5a ＋b ab 1a 1b 7 【答案】4【解析】解：函数在区间上递增，f(x)=a +log 2x [1,a]可得的最大值为，f(x)f(a)=a +log 2a =6由在递增，且，g(x)=x +log 2x a >1g(4)=4+2=6可得的解为，a +log 2a =6a =4故答案为：4．由对数函数的单调性可得，再由在递增，且，即可得到所求值．f(a)=6g(x)=x +log 2x a >1g(4)=6本题考查对数函数的单调性的判断和运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．8 答案：B ；。

专题02 指数运算与对数运算(解析版)-高考数学计算题型精练(新高考通用版)

指数与对数运算1．求值：(1))20.51π316-⎛⎫+- ⎪⎝⎭；(2)2ln 31274e log 9log 8lg 4lg 25-⋅++．【答案】(1)0(2)12【详解】（1）原式123493711041644⎛⎫=+-=+-= ⎪⎝⎭（2）原式ln923e log 3log 2lg10091212=+⋅+=++=．2．计算(1)1223182π4-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(2)2log 321log lg 2lg 528--+【答案】(1)5(2)1-【详解】（1）()1122222333132282π214154233--⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++++-++=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（2）()2log 321log lg 2lg 523lg 2lg 5318--+=--++=-3．求值：(1)(213103531732248---⎛⎫⎛⎫++-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)2ln3427elog 9log 8lg4lg25-⋅++．【答案】(1)3(2)10【详解】（1）(213103531732248---⎛⎫⎛⎫++-⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()1132533353122224--=+-⨯+⨯123233122222=+-⨯+⨯12331882+=+-+12=+3=；（2）原式ln 923elog 3log 2lg10091210=-⋅+=-+=；综上，（1）原式=3；（2）原式=10.4．计算:(1)341lg2lg 3lg5log 2log 94-+-⨯；(2)21log 3231lglog 3log log 52100+-⨯++.【答案】(1)2(2)4【详解】（1）341lg2lg 3lg5log 2log 94-+-⨯2232log 9lg2lg23lg5log 2log 4-=-+-⨯32lg22lg23lg5log 2log 3=++-⨯3(lg2lg5)1=+-3lg101=-31=-2=.（2）21log 3231lglog 3log log 52100+-⨯+2log 322222log log 512log 322log 5log 32=--⨯++⨯112622=--++4=.5．求下列各式的值：(1)()10.52332770.02721259-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋－；(2)55557log 352log log 7log 1.83-+-.【答案】(1)9100(2)2【详解】（1）原式210.5332333351053-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦95510033=+-9100=（2）原式5555499log 35log log 7log 95=-+-5499log 35795⎛⎫=÷⨯÷ ⎪⎝⎭5log 252==6．计算：(2)()()2266661log 2log 33log 2log log 23⎛⎫++⨯ ⎪⎝⎭【答案】(1)4-(2)1【详解】（11128125lg 25lg10lg10-⨯⨯=⨯()2lg10112=⨯-4=-；（2）()()2266661log 2log 33log 2log log 23⎛⎫++⨯ ⎪⎝⎭()()226666log 2log 33log 2log =++⨯()()22666log 2log 33log 2log =++⨯()()226666log 2log 32log 2log 3=++⨯()266log 2log 3=+1=．7．计算或化简下列各式：(1)()1223164⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(2)228393(log 3log 9)(log 4log 8log 2)(lg 2)lg 20lg5+++++⨯【答案】(1)3(2)172【详解】（1）原式221111111113332362362222255122ln e 333233422++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-++⨯⨯=-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）原式=()22233322log 3log 32log 2log 2log 2lg 2lg 20lg 533⎛⎫⎛⎫+++++⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()22235915log 3log 2lg 2lg 20lg5lg 2lg 21lg5322=⨯++⨯=+++⨯()()()215151517lg 2lg 2lg5lg5lg 2lg 2lg5lg5lg 2lg52222=+++=+++=++=8．计算下列各式的值：(1)2237828-⎛⎫--+⎪⎝⎭；(2)2log 331log 27lg2100++．【答案】(1)1π4+(2)92【详解】（1）02237828-⎛⎫--+⎪⎝⎭()23321213π2=-+-+141π34=-+-+1π4=+；（2）21log 33223311l 2og 27lg 2log 3lg10ln e 332310092-++=+++=-=++．9．计算下列各式的值：(1)213112726-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)3332log 2log 32log 8-+.【答案】(1)5.5(2)0【详解】（1）原式230.52120.54 5.5=-+-=-+=；（2）原式3333348log 4log 32log 8log log 1032⨯=-+===.10．计算下列两个小题：(1)ln 31e2lg15lg 3++；(2)0.25608π+．【答案】(1)4(2)75【详解】（1）ln 3111e2lg15lg 3lg 2lg15lg 3lg 2154333⎛⎫++=+++=+⨯⨯= ⎪⎝⎭.（2）660.750.2650.25085221289π17=⨯+⨯+=+⨯=++.11．求下列式子的值：(1)()()12623129.684-⎛⎫+--- ⎪⎝⎭.(2)ln334lg252lg2log 16log 3e +-⋅+.【答案】(1)0(2)3【详解】（1）()()()()126203122332129.68931912412 1.05444--⎛⎫+--- ⎪⎝⎭⎛⎫⎡⎤+--- ⎪⎣⎦⎝⎭==+--=（2）ln33434lg252lg2log 16log 3e lg25lg42log log 33lg1002324233+-⋅++-⋅+=-+=-+==12．计算与化简：(1)453log 27log 8log 25⨯⨯(2)12271112333662228a a b a b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(3)10220.51392(0.01)54-⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(4)222lg5lg8lg5lg20(lg2)3++⋅+.【答案】(1)9(2)b -(3)5140(4)3【详解】（1）原式3lg 33lg 22lg 592lg 2lg 5lg 3=⨯⨯=；（2）原式12711122363262328a b b-+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪==- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）原式131511421040=+⨯-=（4）原式()()22lg 52lg 2lg 5lg 52lg 2lg 2=++++()()22lg 5lg 2lg 2lg 5=+++2213=+=13．（1）21023213(2)(9.6)(3)(1.5)48---+；（2）log 535﹣2log 573+log 57﹣log 595.【答案】（1）12；（2）2【详解】解：（1）21023213(2)(9.6)(3)(1.5)48---+1﹣2327()8+2.25＝32﹣1﹣2333(2⎡⎤⎢⎥⎣⎦+2.25＝32﹣1﹣94+94＝12；（2）log 535﹣2log 573+log 57﹣log 595＝log 5[35÷（499）×7÷95]＝log 5（35×949×7×59）＝log 525＝2．14．化简求值：(1)2133325-⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(2)7log 2log lg 25lg 47++.【答案】(1)12-(2)112【详解】（1）原式1213331182212122-=-⨯+=-+=-.（2）原式331311log 3lg100222222=++=++=.15．化简或求值：(1)0.5207120.1π93-⎛⎫+-+⎪⎝⎭；(2)7lg142lg lg 7lg183-+-；【答案】(1)101；(2)0；(3)1.【详解】（1）0.5207120.1π93-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭1225151100110011019333⎛⎫=+-+=+-+= ⎪⎝⎭；（2）7lg142lg lg 7lg183-+-27lg14lg lg 7lg183⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭9lg 1471849⎛⎫=⨯⨯÷ ⎪⎝⎭lg1=0=；（3211-=.16．计算：(1))()1211610.259-⎛⎫-- ⎪⎝⎭(2)25lg 42lg 5log 5log 8lg10++⨯+．【答案】(1)23-(2)6【详解】（1）原式4214333=--+=-（2）原式2lg 5lg8lg 4lg 51lg 2lg 5=++⨯+3222log 813log 26=++=+=17．计算下列各式的值：(1)()6221103321642e 453π-⎛⎫⎛⎫+--+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)ln 2352log 27lg2lg5log 16log e ---⋅．【答案】(1)2023(2)2【详解】（1）()6221103321642e π453-⎛⎫⎛⎫+--+⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭611223243245⎛⎫=+-+⨯ ⎪⎝⎭232345=+⨯2023=．（2）()ln 235log 27lg2lg5log 16log e-+-⋅ln25=31log 16log e --⋅()ln 2521=24log 2log 5e =2222-⋅+-+=2．18．计算下列各题：(1)()20.5312816410.751627---⎛⎫⎛⎫+-÷+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)()70log 23log lg 25lg 479.8+++-.【答案】(1)94(2)132【详解】（1）原式20.523814279999116364416164⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-÷+=-+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）原式323100313log 3lg lg 4212lg 4lg 43422=++++=+-++=.19．化简求值(1)1131227(0.002)2)8--⎛⎫+- ⎪⎝⎭；(2)()266661log 3log 2log 18log 4⎡⎤-+⨯÷⎣⎦．【答案】(1)372-(2)1【详解】（1）原式)113131232271350010285002-⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3372022=+-=-.（2）原式()()266666612log 3log 3log log 63log 43⎡⎤=-++⋅⨯÷⎢⎥⎣⎦()()()26666612log 3log 31log 31log 3log 4⎡⎤=-++-+÷⎣⎦()()22666612log 3log 31log 3log 4⎡⎤=-++-÷⎣⎦()666666621log 3log 6log 3log 212log 2log 2log 2--====.20．（1）计算：1222301322(2.5)3483-⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）已知7log 23log 27lg252lg27x a =++-，求33x xx xa a a a--++的值．【答案】（1）12；（2）739．【详解】（1）原式123232223333391991122222444212⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--+=-+=⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎡⎤⎡⎤=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎭⎦⎝⎭．（2）()33log 32lg52lg2232lg5lg223223x a =++-=++-=+-=，所以()()()()3322331xx xx x xx xx x x xx xa a aa a a a a a a a a a a -------++⋅-++==+++()()()22222222117311131.39xxxxxx aaaa aa --⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21．求值：(1))1213250.02719-⎛⎫+-⎪⎝⎭；(2)2350.2log 27log 82log 10log 4⨯--．【答案】(1)4(2)7【详解】（1）)()12131121233255351020.02710.31149310333---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-=+-=+-=+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（2）()13322350.25555ln 3ln 23ln 33ln 2log 27log 82log 10log 42log 25log 22log 212log 292ln 2ln 3ln 2ln 3-⨯--=⨯-⨯-=⨯-++=-=.22．求值：()1220348π49-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭;(2)3323log 54log 2log 3log 4-+⋅.【答案】(1)172；(2)5.【详解】（11215321022532233317(2)(2)1[(]22122248(π4)()9-=++++-+=++=+.（2）322332332322log 454log 54log 2log 3log 4log log 3log 3log 23252log 3-+⋅=+⋅=+=+=.23．计算下列式子(1)()7l 0o 2g lg25+lg4l 79og .8+++-2334lo g log ⨯【答案】(1)132(2)8-【详解】（1）()7l 0o 2g lg25+lg4l 79og .8+++-3233133lg1002122122log =+++=+++=.（22334lo g log ⨯()222log lo 4lg100036281312g log =-⨯=--=-⨯-.24．计算：()031438162-⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭；(2)223lg 2lg 5log log 64++-．【答案】(1)118(2)-2【详解】（1）原式()13314334311111122124488⨯⎛⎫⨯- ⎪⨯⎝⎭⎛⎫=---+=-++= ⎪⎝⎭（2）原式()22lg 25log 32log 312=⨯+---=-25．计算：223327-⋅+；(2)()()()221004lg 2log 2lg 5lg 23++-．【答案】(1)27-(2)1【详解】（1）依题意，223327⋅+()22233433=--⋅+(2224332=--⋅+(224272=--+231227=-+=-（2）()()()221004lg 2log 2lg 5lg 23++-()()4lg 2lg 2lg 5lg 2lg 5lg 23lg100⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭4lg 2lg 2lg 5lg 232⎛⎫=++- ⎪⎝⎭43lg 25lg 322=⋅+52lg 2lg2=+25lg 2lg 2=+5lg 412⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭26．求值：(1)01310.0277-⎛⎫+- ⎪⎝⎭；(2)ln 21lg20lg4lg e 5-++.【答案】(1)73；(2)2.【详解】（1）()()111341334170.0270.3120.31273---⎛⎫+-+-=+-=⎪⎝⎭；（2）ln 21201lg20lg4lg e lg 2lg122545⎛⎫-++=⨯+=+= ⎪⎝⎭.27．求值：(1)))2202220223272264-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭；(2)()9log 1620427log 9log 643lg 2lg 5lg 12022lg 5⨯++⨯+++．【答案】(1)3(2)7【详解】（1）原式()20222162113999++-=++=.（2）原式()3log 4223log 3log 43lg 2lg 5lg 2lg 524lg 2lg 5lg 2lg 5=⨯++⨯++=++++6lg 2lg5617=++=+=.28．计算(1))2log 3lg12lg1001-+-(2))0.523124-⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】(1)2；(2)1π3-.【详解】（1）)2log 3lg12lg1001-+-)32lg101=-+-321=-+2=；（2）)0.523124-⎛⎫+ ⎪⎝⎭20.5233233π22-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦13π322-⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭1π3=-.29．计算下列各式的值：(1)11421481⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(2)33252log 2log 12l 8og 5log -+⨯.【答案】(1)143(2)2【详解】（1）114211423314813⎛⎫ ⎪⎝⎭=+-=．（2）33252log 2log 12l 8og 5log -+⨯321log log 32381==-+=+．30．求下列各式的值：(1)134440.06425--⎛⎫---⋅⎪⎝⎭(2)2log 3232lg25lg8log 27log 223+-⨯+．【答案】(1)1516(2)2【详解】（1）原式1159151910.41621616=--⨯=--=．（2）原式()232lg52lg23log 3log 232lg5lg2332=+-⨯+=+-+=．31．求解下列问题：(1)2433641)27--⎛⎫++ ⎪⎝⎭；(2)2log 3491lg2log 27log 8100--⋅．【答案】(1)2916(2)74-【详解】（1）2433641)27--⎛⎫++ ⎪⎝⎭24333324123--⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦224123--⎛⎫=++ ⎪⎝⎭9129116416=++=.（2）2log 3491lg2log 27log 8100--⋅221233223lg10ln e 3log 3log 2-=-+-⋅2313323log 3log 2222=--+-⋅192324=--+-74=-.32．计算下列各式的值：(1)2log 23log lg 5lg 22++．(2)cos 20sin 50cos50cos70︒︒-︒︒．【答案】(1)72(2)12【详解】（1）2log 2317log lg 5lg 22lg10222++=++=；（2）cos 20sin 50cos50cos70cos 20sin 50cos50sin 20︒︒-︒︒=︒︒-︒︒()1sin 50202=︒-︒=.33．计算下列各式，写出演算过程(1)1222318324272-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(2)5525lg 42lg 52log 10log 20log 5log 8++---⋅.【答案】(1)72(2)12-【详解】（1）解：原式23324344722392992⎡⎤⎛⎫=-+=+-+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（2）解：原式()225101ln 53ln 211lg 45log 213202ln 2ln 522=⨯+--⋅=+--=-.34．化简求值：(1)213240330.250.53π)0.0648---⎛⎫⨯--+ ⎪⎝⎭(2)2log 314319lg 25lg 2log 9log 822-++-⨯++．【答案】(1)7318；(2)4.【详解】（1）213240330.250.53π)0.0648---⎛⎫⨯---++ ⎪⎝⎭212433331132124225---⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯--++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦45731129218=--++=；（2）2log 314319lg 25lg 2log 9log 822-++-⨯++2221221log 322233312log 3lg 5lg 2log 3log 2ln e 22=++-⨯++323314log 3lg 5lg 2log 33log 222=++-⨯++()32314lg 52log 33log 222=+⨯-⨯++41324=+-+=.35．求值：(1)()11202929.3log 443-⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)5log 2lg2lg5lg15+++【答案】(1)1(2)3【详解】（1）()111222029233339.3log 412121432222-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+=--+=--+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（2）5log 2lg 2lg 5lg15lg1002123+++=++=+=.36．化简求值：1020.5+(2)0.21log 53212lg5log 25lg 4-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭.【答案】(1)3(2)2【详解】（1）原式3322=++=（2）原式155log 522lg5log 22lg 25=-++()15log 52112lg 5lg 2log 255-⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭151log 511552⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=11255=-+2=37．计算下列各式的值：(1)1013352943-⎛⎫⎛⎫⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)1433log lg 253log 3lg 43+-+【答案】(1)3(2)1【详解】（1）解：113352943-⎛⎫⎛⎫⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112133334413355⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11213333443355+⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）1433log lg 253log 3lg 4+-+343331log 3log 32lg53log 32lg 24=-+-⨯+3312(lg5lg 2)44=-++-12lg101=-+=.38．化简求值：(1)312log 14lg 2lg529-⎛⎫++- ⎪⎝⎭；(2)71113sin cos tan 634πππ++.【答案】(1)32(2)1【详解】（1）原式()1220233lg 25211322-⎡⎤⎛⎫=+⨯-=+-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦（2）原式πππsin πcos 4πtan2ππ634⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭πππsincos tan π634⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭11πtan 1224=-++=39．化简或求值(1)11034781(0.064)()()|0.1|816---++-(2)7lg142lg lg 7lg183-+-【答案】(1)3110(2)0(3)5π-【详解】（1）11034781(0.064)()()|0.1|816---++-1310.10.42=-++53112210=-++1310=+31.10=（2）27lg142lg lg 7lg1837lg14lg lg 7lg1839lg 1471849lg10.-+-⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭⎛⎫=⨯⨯÷ ⎪⎝⎭==（3）325.πππ+=-+-=--=-40．计算求值(1)2ln 38916log 27log 6log 6e ⨯÷+；(2)419log 8log 34--【答案】(1)11(2)2-【详解】（1）2ln 38916log 27log 6log 6e⨯÷+ln92361log 3log 64log 2e 2=⨯⨯+62236log 22log 392log 3log 2911log 3=⨯+=⨯+=；（2）419log 8log 34--2331log 2log 322=---314222=+-=-.41．计算：(1)()110520.01321π---+；(2)3log 22log 8lg 2lg53++-．【答案】(1)5(2)2【详解】（1）()110520.01321102125π---+=---=；（2）()3log 22log 8lg 2lg 53lg 25223=+++-⨯-=．42．计算：(1)1123182427-⎛⎫-+ ⎛⎫ ⎪⎝⎪⎭⎝⎭(2)2lg 2lg 2lg5(lg5)+⋅+.【答案】(1)94(2)1【详解】（1）解：1123182427-⎛⎫-+ ⎛⎫ ⎪⎝⎪⎭⎝⎭1132233223-⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ =⎪⎝⎭⎢⎥⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦1123223323232⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎛⎫= ⎪⎝⎝⎭⎭⎝⎭33992244-+==.（2）解：2lg 2lg 2lg5(lg5)+⋅+()lg 2lg5lg 2lg5=++()lg 2lg 5lg 25=+⋅⨯()lg 2lg 5lg 251=+=⨯=.43．化简求值：)2138227--⎛⎫++⎪⎝⎭；(2)3log 211lg 9lg 240292361lg 27lg 35+-+-+.【答案】π(2)3【详解】（1）原式2335259π32π3π4344⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫=-+-=-+++-= ⎪⎝⎭．（2）原式32log 21lglg10lg 3lg 24083414336lg8lg10lg 9lg 5+-=+=+=-+=-+.44．求值：(1)230323(8)π)-+-；(2)()22824log 27(lg 5)(lg 2)lg 5lg log 16log 9+-+⨯．【答案】(1)2(2)0【详解】（1）2331032223(π)3313212-=-+⨯=-+=（2）()22824log 27(lg 5)(lg 2)lg 5lg log 16log 9+-+⨯32322222log 3(lg 5)(lg 2)2lg 5lg 2log 3=+-+⨯2(lg 5lg 2)1110=+-=-=45．计算：(1)ln 2lg252lg2e ++(2)()20.5133890.1252749--⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1)4(2)19【详解】（1）原式lg25lg42lg1002224=++=+=+=.（2）原式2132(0.5)3()332313724712939⨯⨯-⨯-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.46．（1）求值：3204161)++；（2）求值：5log 2lg25lg45log +++．【答案】（1）12；（2）112．【详解】（1）原式()343432132112=++=++=（2）原式()323lg 2542log 3=⨯++3lg10022=++112=47．求值：(1)()1430513π38-⎛⎫-- ⎪⎝⎭；(2)()2273log 8log 7log log 81+⨯．【答案】(1)4(2)5【详解】（1）()143015545143π32312381-+⎛⎫-- =+=⎝+⎭-⎪-=；（2）()2273274log 8log 7log log 813log 7log +⨯=+⨯273log 72l 5og 22==++=⨯.48．（1）)1334ln 22811e 162022⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()314163log 4log 2log log 3⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】（1）5；（2）12．【详解】（1）原式31442433333214152222⨯⎛⎫⎛⎫=++-=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）原式()(3344341log 4log 2log log log 2log 32=-=⨯=．49．计算：(1)212232327(1)(()[(3)]28--+⋅+-；(2)232lg5lg 4log 3log 4log +-⋅+【答案】(1)5(2)32【详解】（1）22122233323272349(1)()()[(3)]1()[()]3135283294--+⋅+-=+⋅+=+⨯+=（2）232lg5lg 4log 3log 4log +-⋅+lg 32lg 23332lg 52lg 22(lg 5lg 2)2lg 2lg 3222=+-⨯+=+-+=50．计算下列各式的值：(1)2ln 21elglg 202--；(2)232lg 25lg8log 27log 23+-⨯.【答案】(1)3.(2)1-.【详解】（1）22ln 2ln 2111e lg lg 20e (lg lg 20)4lg(20)4lg10413222--=-+=-⨯=-=-=.（2）2232323232lg 25lg8log 27log 2lg(258)log 27log 2lg103log 3log 22313+-⨯=⨯-⨯=-⨯=-=-.51．化简下列各式：(1)75sincos cos(5)tan 224ππππ++-+；(2)24log 32log 0.252lg 42lg 5⋅++++⋅【答案】(1)-1(2)1592【详解】（1）原式3sincos cos 11011122πππ=+++=-+-+=-.（2）原式421log 322242221log ln e 2lg 4lg55123)log (lg 24lg 4-=++++=++++1159281lg100222=-+++-=.52．计算下列各式的值：(1)()2223327389.682--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)07log 2(9.8)log lg25lg47+-++.【答案】(1)3；(2)132【详解】（1）原式2323334122⎛⎫⨯-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3=（2）原式()323log 3lg 25421=+⨯++3232=++132=53．计算求值：(1))()140231101108200-⎛⎫-++- ⎪⎝⎭；(2)(42log 923lg 2lg 250082log 9log 4⨯+⨯++⋅．【答案】(1)36(2)9【详解】（1）原式()()43431010220236⎡⎤=++-=+-=⎣⎦；（2）原式()2log 3212lg 32lg 2lg 22lg 528lg 524lg 2lg 3⎛⎫=++⨯++⋅ ⎪⎝⎭()22lg 2lg 52lg 22lg 5342lg 5lg 2lg 52lg 27=++++=+++()2lg 5lg 27279=++=+=.54．计算下列各式的值：(1)(332212234-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)5log 3333322log 4log log 2527-++【答案】(1)1(2)6【详解】（1）(33332221392213424-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭33233233331112222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（2）5log 3333322log 4log log 2527-++23332log 423log 27333627⎛⎫=÷⨯+=+=+= ⎪⎝⎭55．求下列各式的值：(1)1220.2531222854--⎛⎫⎛⎫+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)158311lglog 9log 125log 10032+--.【答案】(1)56-(2)163-【详解】（1）()112112220.25344311315222812212544266---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯-=+⨯-⨯=+-=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（2）3235158352311516lglog 9log 125log lg10log 9log 5log 22231003233--+--=---=---+=-.56．化简求值：())13320,0a b a b ->>；(2)7log 52225lg5lg 2lg 2lg5log 5log 47+++⨯+.【答案】(1)1(2)7【详解】（1）因为0,0a b >>()31332221b a ab --⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，()31333222a a b b --=，所以原式332233221a b a b--==；（2）7log 52225lg5lg 2lg 2lg5log 5log 47+++⨯+()25lg 5lg 2lg 2lg 5log 5log 25=+++⨯+()25lg 5lg 2lg 2lg 5log 5log 25=+++⨯+lg 5lg 2157=+++=.57．计算：(1)21304816π27-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2)3ln 22552lg 4lg log 5log 4e 8++⋅+.【答案】(1)154-(2)11【详解】（1）解：原式()231344291521524344-⎡⎤⎛⎫=-+-=--=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（2）解：原式()32ln 25ln 52ln 2lg 4e 128118ln 2ln 5⎛⎫=⨯+⋅+=++= ⎪⎝⎭.58．计算：(1)5log 3311845log 11log 27log 2log 8-⋅++；(2)若33m m --=99m m -+的值.【答案】(1)116(2)9914m m -+=.【详解】（1）原式31122133log 113log 3log 2log 232=-⨯++131133326=-++=.（2）将等式33m m --=99212m m -+-=，则9914m m -+=.。

2019年高考数学真题考点6 指数函数、对数函数、幂函数

考点6 指数函数、对数函数、幂函数一、选择题1.(2019·全国卷Ⅰ理科·T3同2019·全国卷Ⅰ文科·T3)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a【命题意图】本题考查指数和对数大小的比较,渗透了直观想象和数学运算素养.采取中间变量法,利用转化与化归思想解题.【解题指南】运用中间量0比较a,c,运用中间量1比较b,c.【解析】选B.a=log20.2<log21=0,b=20.2>20=1,0<0.20.3<0.20=1,则0<c<1,所以a<c<b.故选B.2.(2019·北京高考文科·T3)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是()A.y=B.y=2-xC.y=lo xD.y=【命题意图】本题考查基本初等函数的单调性,考查考生应用数学解决问题的能力和运算能力等.【解析】选A.对A,y=是幂函数,且>0,所以y=在(0,+∞)上单调递增;对B,y=2-x即y=是指数函数,且0<<1,所以y=2-x在(0,+∞)上单调递减;对C,y=lo x是对数函数,且0<<1,所以y=lo x在(0,+∞)上单调递减;对D,y=即y=x-1是幂函数,且-1<0,所以y=在(0,+∞)上单调递减.3.(2019·天津高考理科·T6)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为()A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b【命题意图】本题考查考生对于对数的运算法则、指数函数、对数函数的性质的理解与掌握情况,考查考生对比较实数大小的方法的掌握情况.【解析】选A.0<log52<log5=,b=log0.50.2>log0.50.5=1,c=0.50.2>0.51=,所以a<c<b.【方法技巧】一般比较大小的题目,常用的方法有:先估算一下每个数值,看能否根据估算值直接比较大小;估算不行的话再找中间量,经常和0,1,-1比较;还可以构造函数,利用函数的单调性来比较大小.4.(2019·天津高考文科·T5)已知a=log27,b=log38,c=0.30.2,则a,b,c的大小关系为()A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b【命题意图】本题考查考生对于对数的运算法则、指数函数、对数函数的性质的理解与掌握情况,考查考生对比较实数大小的方法的掌握情况.【解题指南】利用0,1,2等中间值区分各个数值的大小.【解析】选A.c=0.30.2<0.30=1;log27>log24=2;1<log38<log39=2.故c<b<a.【方法技巧】一般比较大小的题目,常用的方法有:先估算一下每个数值,看能否根据估算值直接比大小;估算不行的话再找中间量,经常和0,1,-1比较;还可以构造函数,利用函数的单调性来比较大小.。

新高考数学计算题型精练指数运算与对数运算(解析版)

新高考数学计算题型精练指数与对数运算1．求值：(1))20.501π316-⎛⎫+- ⎪⎝⎭；(2)2ln31274e log9log8lg4lg25-⋅++．【答案】(1)0(2)12【详解】（1）原式123493711041644⎛⎫=+-=+-=⎪⎝⎭（2）原式ln923e log3log2lg10091212=+⋅+=++=．2．计算(1)1223182π4-⎛⎫-++⎪⎝⎭(2)2log321log lg2lg528--+【答案】(1)5(2)1-【详解】（1）()112222203331322 82π214154233--⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-+-++=⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（2）()2log321log lg2lg523lg2lg5318--+=--++=-3．求值：(1)(213103531732248---⎛⎫⎛⎫++-⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(2)2ln3427e log9log8lg4lg25-⋅++．【答案】(1)3(2)10【详解】（1）(213103531732248---⎛⎫⎛⎫++-⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()1132533353122224--=+-⨯+⨯123233122222=+-⨯+⨯12331882+=+-+12=+3=；（2）原式ln923e log3log2lg10091210=-⋅+=-+=；综上，（1）原式=3；（2）原式=10.4．计算:(1)341lg2lg 3lg5log 2log 94-+-⨯；(2)21log 3231lglog 3log log 52100+-⨯+. 【答案】(1)2(2)4【详解】（1）341lg2lg 3lg5log 2log 94-+-⨯2232log 9lg2lg23lg5log 2log 4-=-+-⨯32lg22lg23lg5log 2log 3=++-⨯3(lg2lg5)1=+-3lg101=-31=- 2=.（2）21log 3231lglog 3log log 52100+-⨯+2log 32222log 512log 322log 32=--++⨯ 112622=--++4=.5．求下列各式的值：(1)()10.52332770.02721259-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋－； (2)55557log 352log log 7log 1.83-+-. 【答案】(1)9100(2)2 【详解】（1）原式210.5332333351053-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦95510033=+- 9100=（2）原式5555499log 35log log 7log 95=-+- 5499log 35795⎛⎫=÷⨯÷ ⎪⎝⎭5log 252==6．计算：(2)()()2266661log 2log 33log 2log log 23⎛⎫++⨯ ⎪⎝⎭【答案】(1)4-(2)1 【详解】（11128125lg 25lg10lg10-⨯⨯=⨯()2lg10112=⨯-4=-；（2）()()2266661log 2log 33log 2log log 23⎛⎫++⨯ ⎪⎝⎭()()226666log 2log 33log 2log =++⨯()()22666log 2log 33log 2log =++⨯()()226666log 2log 32log 2log 3=++⨯()266log 2log 3=+1=．7．计算或化简下列各式： (1)()1223164⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(2)228393(log 3log 9)(log 4log 8log 2)(lg 2)lg 20lg 5+++++⨯【答案】(1)3(2)172【详解】（1）原式221111111113332362362222255122ln e 333233422++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-++⨯⨯=-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）原式=()22233322log 3log 32log 2log 2log 2lg 2lg 20lg 533⎛⎫⎛⎫+++++⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()22235915log 3log 2lg 2lg 20lg5lg 2lg 21lg5322=⨯++⨯=+++⨯ ()()()215151517lg 2lg 2lg5lg5lg 2lg 2lg5lg5lg 2lg52222=+++=+++=++= 8．计算下列各式的值：(1)2237828-⎛⎫-- ⎪⎝⎭；(2)2log 331log 27lg2100++．【答案】(1)1π4+(2)92【详解】（1）02237828-⎛⎫-- ⎪⎝⎭()23321213π2=-+-+141π34=-+-+1π4=+；（2）21log 33223311l 2og 27lg 2log 3lg10ln e 332310092-++=+++=-=++．9．计算下列各式的值：(1)213112726-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)3332log 2log 32log 8-+. 【答案】(1)5.5(2)0【详解】（1）原式230.52120.54 5.5=-+-=-+=；（2）原式3333348log 4log 32log 8log log 1032⨯=-+===. 10．计算下列两个小题：(1)ln31e lg15lg 3++；(2)0.25608π+．【答案】(1)4(2)75【详解】（1）ln3111elg15lg 3lg 2lg15lg 3lg 2154333⎛⎫++=+++=+⨯⨯= ⎪⎝⎭.（2）660.750.2650.25085221289π17=⨯+⨯+=+⨯=++.11．求下列式子的值：(1)()()12623129.684-⎛⎫+--- ⎪⎝⎭.(2)ln334lg252lg2log 16log 3e +-⋅+. 【答案】(1)0(2)3 【详解】（1）()()()()126203122332129.68931912412 1.05444--⎛⎫+--- ⎪⎝⎭⎛⎫⎡⎤+--- ⎪⎣⎦⎝⎭==+--=（2）ln33434lg252lg2log 16log 3e lg25lg42log log 33lg1002324233+-⋅++-⋅+=-+=-+==12．计算与化简： (1)453log 27log 8log 25⨯⨯(2)12271112333662228a b a b a b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (3)1220.51392(0.01)54-⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(4)222lg5lg8lg5lg20(lg2)3++⋅+.【答案】(1)9(2)b -(3)5140(4)3 【详解】（1）原式3lg33lg 22lg592lg 2lg5lg3=⨯⨯=；（2）原式12711122363262328a b b -+-++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪==- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）原式131511421040=+⨯-=（4）原式()()22lg52lg 2lg5lg52lg 2lg 2=++++()()22lg5lg 2lg 2lg5=+++ 2213=+=13．（1）21023213(2)(9.6)(3)(1.5)48---+；（2）log 535﹣2log 573+log 57﹣log 595.【答案】（1）12；（2）2【详解】解：（1）21023213(2)(9.6)(3)(1.5)48---+1﹣2327()8+2.25＝32﹣1﹣2333()2⎡⎤⎢⎥⎣⎦+2.25＝32﹣1﹣94+94＝12；（2）log 535﹣2log 573+log 57﹣log 595＝log 5[35÷（499）×7÷95]＝log 5（35×949×7×59）＝log 525＝2．14．化简求值：(1)2133325-⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(2)7log 2log lg 25lg 47++. 【答案】(1)12-(2)112【详解】（1）原式1213331182212122-=-⨯+=-+=-. （2）原式331311log 3lg100222222=++=++=.15．化简或求值：(1)0.5207120.1π93-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭；(2)7lg142lg lg 7lg183-+-；【答案】(1)101；(2)0；(3)1.【详解】（1）0.5207120.1π93-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭1225151100110011019333⎛⎫=+-+=+-+= ⎪⎝⎭；（2）7lg142lg lg 7lg183-+-27lg14lg lg 7lg183⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭9lg 1471849⎛⎫=⨯⨯÷ ⎪⎝⎭lg1=0=；（3211==.16．计算：(1))()1211610.259-⎛⎫-- ⎪⎝⎭(2)25lg 42lg 5log 5log 8lg10++⨯+．【答案】(1)23-(2)6【详解】（1）原式4214333=--+=- （2）原式2lg 5lg8lg 4lg 51lg 2lg 5=++⨯+ 3222log 813log 26=++=+=17．计算下列各式的值：(1)()6221103321642e 453π-⎛⎫⎛⎫+--+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)ln235log 27lg2lg5log 16log e ---⋅．【答案】(1)2023(2)2【详解】（1）()6221103321642e π453-⎛⎫⎛⎫+--+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭611223243245⎛⎫=+-+⨯ ⎪⎝⎭232345=+⨯2023=．（2）()ln235log 27lg2lg5log 16log e -+-⋅ln25=31log 16log e --⋅()ln2521=24log 2log 5e =2222-⋅+-+=2．18．计算下列各题：(1)()20.5312816410.751627---⎛⎫⎛⎫+-÷+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)()70log 2log lg 25lg 479.8+++-. 【答案】(1)94(2)132【详解】（1）原式20.523814279999116364416164⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-÷+=-+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）原式323100313log 3lg lg 4212lg 4lg 43422=++++=+-++=. 19．化简求值(1)1131227(0.002)2)8--⎛⎫+- ⎪⎝⎭；(2)()266661log 3log 2log 18log 4⎡⎤-+⨯÷⎣⎦．【答案】(1)372-(2)1 【详解】（1）原式)113131232271350010285002-⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3372022=+=-. （2）原式()()266666612log 3log 3log log 63log 43⎡⎤=-++⋅⨯÷⎢⎥⎣⎦()()()26666612log 3log 31log 31log 3log 4⎡⎤=-++-+÷⎣⎦()()22666612log 3log 31log 3log 4⎡⎤=-++-÷⎣⎦()666666621log 3log 6log 3log 212log 2log 2log 2--====.20．（1）计算：1222301322( 2.5)3483-⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）已知7log 23log 27lg252lg27xa =++-，求33x xx xa a a a--++的值．【答案】（1）12 ；（2）739．【详解】（1）原式123232223333391991122222444212⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--+=-+=⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎡⎤⎡⎤=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎭⎦⎝⎭．（2）()33log 32lg52lg2232lg5lg223223x a =++-=++-=+-=，所以()()()()3322331xx xx x xx xx xx xx xa a aa a a a a a a a a a a -------++⋅-++==+++()()()22222222117311131.39x xxxx x a aaa aa --⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21．求值：(1))1213250.02719-⎛⎫+-⎪⎝⎭；(2)2350.2log 27log 82log 10log 4⨯--．【答案】(1)4(2)7【详解】（1）)()12131121233255351020.02710.31149310333---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-=+-=+-=+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（2）()13322350.25555ln 3ln 23ln 33ln 2log 27log 82log 10log 42log 25log 22log 212log 292ln 2ln 3ln 2ln 3-⨯--=⨯-⨯-=⨯-++=-=.22．求值：()1220348π49-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭; (2)3323log 54log 2log 3log 4-+⋅. 【答案】(1)172；(2)5. 【详解】（11215321022532233317(2)(2)1[()]22122248(π4)()9-=++++-+=++=+.（2）322332332322log 454log 54log 2log 3log 4log log 3log 3log 23252log 3-+⋅=+⋅=+=+=. 23．计算下列式子(1)()7l 0o 2g lg25+lg4l 79og .8++-2334lo g log ⨯【答案】(1)132(2)8- 【详解】（1）()7l 0o 2g lg25+lg4l 79og .8++- 3233133lg1002122122log =+++=+++=. （22334lo g log -⨯()222log lo 4lg100036281312g log =-⨯=--=-⨯-. 24．计算：()031438162-⎛---+ ⎝⎭； (2)223lg 2lg5log log 64++-．【答案】(1)118(2)-2 【详解】（1）原式()13314334311111122124488⨯⎛⎫⨯- ⎪⨯⎝⎭⎛⎫=---+=-++= ⎪⎝⎭（2）原式()22lg 25log 32log 312=⨯+---=-25．计算：223327⋅+；(2)()()()221004lg 2log 2lg5lg 23++-．【答案】(1)27-(2)1 【详解】（1）依题意，223327⋅+()22233433=--⋅+(2224332=--⋅+(224272=--+231227=-+=-（2）()()()221004lg 2log 2lg5lg 23++- ()()4lg 2lg 2lg5lg 2lg5lg 23lg100⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭ 4lg 2lg 2lg 5lg 232⎛⎫=++- ⎪⎝⎭43lg 25lg 322=⋅+ 52lg 2lg2=+25lg 2lg 2=+5lg 412⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭26．求值：(1)01310.0277-⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2)ln21lg20lg4lg e 5-++.【答案】(1)73；(2)2.【详解】（1）()()111341334170.0270.3120.31273---⎛⎫+=+-=+-=⎪⎝⎭；（2）ln 21201lg20lg4lg e lg 2lg122545⎛⎫-++=⨯+=+= ⎪⎝⎭.27．求值：(1)))2202220223272264-⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)()9log 1620427log 9log 643lg 2lg5lg 12022lg5⨯++⨯+++．【答案】(1)3(2)7【详解】（1）原式()20222162113999=+-=++=. （2）原式()3log 4223log 3log 43lg2lg5lg 2lg524lg2lg5lg2lg5=⨯++⨯++=++++6lg 2lg5617=++=+=.28．计算(1))2log 3lg12lg1001-+(2))0.523124-⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】(1)2；(2)1π3-.【详解】（1）)2log 3lg12lg1001-+)32lg101=-+321=-+2=；（2）)0.523124-⎛⎫ ⎪⎝⎭20.5233233π22-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦13π322-⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭ 1π3=-.29．计算下列各式的值：(1)11421481⎛⎫ ⎪⎝⎭； (2)33252log 2log 12l 8og 5log -+⨯. 【答案】(1)143(2)2 【详解】（1）114211423314813⎛⎫ ⎪⎝⎭=+-=．（2）33252log 2log 12l 8og 5log -+⨯321log log 32381==-+=+．30．求下列各式的值：(1)134440.06425--⎛⎫---⋅ ⎪⎝⎭(2)2log 3232lg25lg8log 27log 223+-⨯+．【答案】(1)1516(2)2 【详解】（1）原式1159151910.41621616=--⨯=--=．（2）原式()232lg52lg23log 3log 232lg5lg2332=+-⨯+=+-+=． 31．求解下列问题：(1)24303641)27--⎛⎫++ ⎪⎝⎭；(2)2log 3491lg2log 27log 8100--⋅．【答案】(1)2916(2)74- 【详解】（1）2433641)27--⎛⎫++ ⎪⎝⎭24333324123--⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦224123--⎛⎫=++ ⎪⎝⎭9129116416=++=. （2）2log 3491lg2log 27log 8100--⋅ 221233223lg10ln e 3log 3log 2-=-+-⋅2313323log 3log 2222=--+-⋅192324=--+-74=-.32．计算下列各式的值：(1)2log 2log lg5lg22++． (2)cos20sin50cos50cos70︒︒-︒︒．【答案】(1)72(2)12【详解】（1）2log 2317log lg5lg 22lg10222++=++=；（2）cos20sin50cos50cos70cos20sin50cos50sin 20︒︒-︒︒=︒︒-︒︒ ()1sin 50202=︒-︒=. 33．计算下列各式，写出演算过程(1)1222318324272-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(2)5525lg42lg52log 10log 20log 5log 8++--⋅.【答案】(1)72(2)12-【详解】（1）解：原式23324344722392992⎡⎤⎛⎫=-+=+-+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. （2）解：原式()225101ln 53ln 211lg 45log 213202ln 2ln 522=⨯+--⋅=+--=-.34．化简求值：(1)213240330.250.53π)0.0648---⎛⎫⨯--+ ⎪⎝⎭(2)2log 31431lg 25lg 2log 9log 822-++-⨯++【答案】(1)7318；(2)4. 【详解】（1）21324330.250.53π)0.0648---⎛⎫⨯--++ ⎪⎝⎭212433331132124225---⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯--++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦45731129218=--++=；（2）2log 31431lg 25lg 2log 9log 822-++-⨯++2221221log 322233312log 3lg 5lg 2log 3log 2ln e 22=++-⨯++323314log 3lg5lg 2log 33log 222=++-⨯++()32314lg 52log 33log 222=+⨯-⨯++41324=+-+=.35．求值：(1)()11202929.3log 443-⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (2)5log 2lg2lg5lg15+++ 【答案】(1)1(2)3【详解】（1）()111222029233339.3log 412121432222-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+=--+=--+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. （2）5log 2lg 2lg 5lg15lg1002123+++=++=+=. 36．化简求值：1020.5+；(2)0.21log 53212lg5log 25lg 4-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭. 【答案】(1)3(2)2【详解】（1）原式3322=+= （2）原式155log 522lg5log 22lg 25=-++()15log 52112lg5lg 2log 255-⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭151log 511552⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=11255=-+2=37．计算下列各式的值：(1)113352943-⎛⎫⎛⎫⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)1433log lg 253log 3lg 4-+ 【答案】(1)3(2)1【详解】（1）解：113352943-⎛⎫⎛⎫⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112133334413355⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11213333443355+⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）1433log lg 253log 3lg 4+-+ 343331log 3log 32lg53log 32lg 24=-+-⨯+3312(lg5lg 2)44=-++- 12lg101=-+=.38．化简求值：(1)312log 14lg 2lg529-⎛⎫++- ⎪⎝⎭；(2)71113sin cos tan 634πππ++.【答案】(1)32(2)1【详解】（1）原式()1220233lg 25211322-⎡⎤⎛⎫=+⨯-=+-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦（2）原式πππsin πcos 4πtan 2ππ634⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭πππsincos tan π634⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭ 11πtan 1224=-++=39．化简或求值 (1)11034781(0.064)()()|0.1|816---++-(2)7lg142lg lg 7lg183-+-【答案】(1)3110(2)0(3)5π- 【详解】（1）11034781(0.064)()()|0.1|816---++-1310.10.42=-++ 53112210=-++1310=+ 31.10=（2）27lg142lg lg 7lg1837lg14lg lg 7lg1839lg 1471849lg10.-+-⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭⎛⎫=⨯⨯÷ ⎪⎝⎭== （3）3(2)325.πππ=-+-=--=- 40．计算求值(1)2ln 38916log 27log 6log 6e ⨯÷+；(2)419log 8log 3--【答案】(1)11(2)2-【详解】（1）2ln 38916log 27log 6log 6e ⨯÷+ln92361log 3log 64log 2e 2=⨯⨯+62236log 22log 392log 3log 2911log 3=⨯+=⨯+=；（2）419log 8log 3--2331log 2log 322=---314222=+-=-. 41．计算：(1)()110520.01321π---+ (2)3log 22log 8lg 2lg 53++-．【答案】(1)5(2)2【详解】（1）()110520.01321102125π---+---=；（2）()3log 22log 8lg2lg53lg 25223=+++-⨯-=．42．计算：(1)1123182427-⎛⎫- ⎛⎫ ⎪⎝⎪⎭⎝⎭(2)2lg 2lg 2lg5(lg5)+⋅+. 【答案】(1)94(2)1【详解】（1）解：1123182427-⎛⎫- ⎛⎫ ⎪⎝⎪⎭⎝⎭1132233223-⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ =⎪⎝⎭⎢⎥⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦1123223323232⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎛⎫= ⎪⎝⎝⎭⎭⎝⎭33992244-+==. （2）解：2lg 2lg 2lg5(lg5)+⋅+()lg2lg5lg2lg5=++ ()lg2lg5lg 25=+⋅⨯ ()lg2lg5lg 251=+=⨯=.43．化简求值：)2138227--⎛⎫+⎪⎝⎭(2)3log 211lg9lg 240292361lg 27lg 35+-+-+.【答案】π(2)3【详解】（1）原式2335259π32π3π4344⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫=-+-=-++-= ⎪⎝⎭．（2）原式32log 21lglg10lg3lg 24083414336lg8lg10lg9lg5+-=+=+=-+=-+. 44．求值：(1)230323(8)π)-+； (2)()22824log 27(lg 5)(lg 2)lg 5lg log 16log 9+-+⨯．【答案】(1)2(2)0【详解】（1）2331032223(8)π)3313212-=-+⨯=-+= （2）()22824log 27(lg 5)(lg 2)lg 5lg log 16log 9+-+⨯32322222log 3(lg5)(lg 2)2lg5lg 2log 3=+-+⨯2(lg 5lg 2)1110=+-=-=45．计算： (1)ln 2lg252lg2e ++ (2)()20.5133890.1252749--⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1)4(2)19【详解】（1）原式lg25lg42lg1002224=++=+=+=.（2）原式2132(0.5)3()332313724712939⨯⨯-⨯-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 46．（1）求值：3204161)++；（2）求值：5log 2lg25lg45log +++ 【答案】（1）12 ；（2）112．【详解】（1）原式()343432132112=++=++=（2）原式()323lg 2542log 3=⨯++3lg10022=++112= 47．求值：(1)()1430513π38-⎛⎫-- ⎪⎝⎭； (2)()2273log 8log 7log log 81+⨯．【答案】(1)4(2)5【详解】（1）()143015545143π32312381-+⎛⎫-- =+=⎝+⎭-⎪-=；（2）()2273274log 8log 7log log 813log 7log +⨯=+⨯ 273log 72l 53og 22==++=⨯.48．（1）)10334ln 22811e 162022⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()31163log 4log 2log log 3⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】（1）5 ；（2）12 ．【详解】（1）原式31442433333214152222⨯⎛⎫⎛⎫=++-=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）原式()(334341log 4log 2log log log 2log 32=-=⨯=． 49．计算： (1)2102232327(1)()()[(3)]28--+⋅+-；(2)2332lg5lg 4log 3log 4log +-⋅+【答案】(1)5(2)32【详解】（1）22122233323272349(1)()()[(3)]1()[()]3135283294--+⋅+-=+⋅+=+⨯+=（2）232lg5lg 4log 3log 4log +-⋅+lg 32lg 23332lg 52lg 22(lg 5lg 2)2lg 2lg 3222=+-⨯+=+-+= 50．计算下列各式的值： (1)2ln 21e lg lg 202--；(2)232lg 25lg8log 27log 23+-⨯.【答案】(1)3.(2)1-.【详解】（1）22ln 2ln 2111e lg lg 20e (lg lg 20)4lg(20)4lg10413222--=-+=-⨯=-=-=.（2）2232323232lg 25lg8log 27log 2lg(258)log 27log 2lg103log 3log 22313+-⨯=⨯-⨯=-⨯=-=-.51．化简下列各式： (1)75sincos cos(5)tan 224ππππ++-+；(2)24log 32log 0.252lg 42lg5⋅+++⋅【答案】(1)-1(2)1592【详解】（1）原式3sincos cos 11011122πππ=+++=-+-+=-. （2）原式421log 322242221log ln e 2lg 4lg55123)log (lg 24lg 4-=++++++++1159281lg100222=-+++-=.52．计算下列各式的值： (1)()2223327389.682--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)07log 2(9.8)log lg25lg47+-++.【答案】(1)3；(2)132【详解】（1）原式2323334122⎛⎫⨯-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3=（2）原式()323log 3lg 25421=+⨯++3232=++ 132=53．计算求值：(1))()140231101108200-⎛⎫-++- ⎪⎝⎭；(2)(42log 923lg 2lg 250082log 9log 4⨯+⨯++⋅．【答案】(1)36(2)9【详解】（1）原式()()43431010220236⎡⎤=++-=+-=⎣⎦；（2）原式()2log 3212lg 32lg 2lg 22lg 528lg 524lg 2lg 3⎛⎫=++⨯++⋅ ⎪⎝⎭()22lg2lg52lg22lg 5342lg5lg2lg52lg27=++++=+++ ()2lg5lg27279=++=+=.54．计算下列各式的值：(1)(332212234-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)5log 3333322log 4log log 2527-++ 【答案】(1)1(2)6【详解】（1）(333302221392213424-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 33233233331112222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（2）5log 3333322log 4log log 2527-++ 23332log 423log 27333627⎛⎫=÷⨯+=+=+= ⎪⎝⎭55．求下列各式的值：(1)10220.2531222854--⎛⎫⎛⎫+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (2)158311lg log 9log 125log 10032+--. 【答案】(1)56-(2)163- 【详解】（1）()1102112220.25344311315222812212544266---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯=+⨯-⨯=+-=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. （2）3235158352311516lg log 9log 125log lg10log 9log 5log 22231003233--+--=---=---+=-. 56．化简求值：())3320,0a b a b ->>； (2)7log 52225lg5lg 2lg2lg5log 5log 47+++⨯+. 【答案】(1)1(2)7【详解】（1）因为0,0a b >>()31332221b a ab --⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，()31333222a a b b --=，所以原式332233221a b a b --==；（2）7log 52225lg5lg 2lg2lg5log 5log 47+++⨯+ ()25lg5lg2lg2lg5log 5log 25=+++⨯+()25lg5lg2lg2lg5log 5log 25=+++⨯+ lg5lg 2157=+++= .57．计算：(1)21304816π27-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ (2)3ln 22552lg 4lg log 5log 4e 8++⋅+. 【答案】(1)154-(2)11 【详解】（1）解：原式()231344291521524344-⎡⎤⎛⎫=-+-=--=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. （2）解：原式()32ln 25ln 52ln 2lg 4e 128118ln 2ln 5⎛⎫=⨯+⋅+=++= ⎪⎝⎭. 58．计算：(1)5log 3311845log 11log 27log 2log 8-⋅++；(2)若33m m --=99m m -+的值.【答案】(1)116(2)9914m m -+=. 【详解】（1）原式31122133log 113log 3log 2log 232=-⨯++ 131133326=-++=. （2）将等式33m m --=99212m m -+-=，则9914m m -+=.。

指数对数计算题100道(含答案)

指数对数计算题100道（含答案）1．0.×﹣+log3649+log89•log964．2．（1）（式中字母均为正数）；（2）．3．（1）；（2）（2log43+log83）（log32+log92）．4．（Ⅰ）（式中字母均为正数）；（Ⅱ）log225×log34×log59．5．（Ⅰ）；（Ⅱ）log3．6．（1）log3（9×27）；（2）；（3）lg25+lg4；（4）．7．（1）；（2）．8．（1）；（2）．9．（1）log3﹣log32•log23﹣+lg+lg；（2）（lg2）2+lg20•lg5+log92•log43．10（Ⅰ）（lg2）2+lg5•lg20﹣1（Ⅱ）（×）6+（2）﹣4×（）﹣×80.25﹣（2019）0 11．求值：（1）；（2）log25．12．（1）．（2）．13．（1）；（2）．14．（1）．（2）．15．（Ⅰ）（a＞0，b＞0）；（Ⅱ）．16．（1）；（2）．17．（1）；（2）log3+lg25+lg4++log23•log94．18．（1）；（2）．19．（Ⅰ）log525+lg；（Ⅱ）．20．（1）；（2）（log43+log83）（log32+log92）．21．（1）0.﹣（﹣）0++0.；（2）lg25+lg2+（）﹣log29×log32．22．（1）；（2）．23．计算的值．24．（1）4；（2）lg．25．（1）（2）+（2）﹣3π0+（2）．26．求值：（1）（2）．27．（1）（2）．28．（1）（2.25）﹣（﹣9.6）0﹣（）+（1.5）﹣2；（2）lg25+lg2﹣lg﹣log29×log32．29．解方程：log3（x+14）+log3（x+2）＝log38（x+6）30．（1）已知4x+x﹣1＝6，求的值；（2）若log32＝m，log53＝n，用m，n表示log415．31．求值：（1），（2）．32．（1）；（2）．33．（1）；（2）．34．（1）（0.064）﹣（﹣）0+[（﹣2）3]+16﹣0.75；（2）2log32﹣log3+log38﹣5．35．（1）；（2）．36．（Ⅰ）；（Ⅱ）．37．（1）；（2）．38．（1）lg25+lg32+lg5•lg20+（lg2）2；（2）．39．（1）；（2）．40．（1）；（2）+lg2+lg5．41．（1）（a＞0，b＞0）；（2）．42．（Ⅰ）；（Ⅱ）．43．（1）4+（）﹣（﹣1）0+；（2）log9+lg25+lg2﹣log49×log38．44．且a≠1）；（2）（a≠0）．45．（1）；（2）（log37+log73）2﹣．46．log49•log38+lne2+lg0.01．47．（1）；（2）．48．（1）；（2）．49．（1）（）×（﹣）0+9×﹣；（2）log3+lg25﹣3log334+lg4．50．计算下列各题：（Ⅰ）已知，求的值；（Ⅱ）求（2log43+log83）（log32+log92）的值．51．（1）化简（结果用有理数指数幂表示）：；（2）已知log53＝a，试用a表示log459；（3）若，则实数M．52．（Ⅰ）设函数f（x）＝，计算f（f（﹣4））的值；（Ⅱ）log525+lg；（Ⅲ）．指数对数计算题100道参考答案与试题解析一．试题（共52小题）1．0.×﹣+log3649+log89•log964．【解】0.×﹣+log3649+log89•log964＝＝2×8﹣16+6×（﹣2）＝﹣10．2．（1）（式中字母均为正数）；（2）．【解】（1）＝＝＝1；（2）＝log535﹣1+log550﹣log514＝log5﹣1＝3﹣1＝2．3．（1）；（2）（2log43+log83）（log32+log92）．【解】（1）＝﹣1+﹣＝0.1﹣1+8﹣9＝﹣1.9；（2）（2log43+log83）（log32+log92）＝（2×•log23+log23）（log32+log32）＝××log23×log32＝2．4．（Ⅰ）（式中字母均为正数）；（Ⅱ）log225×log34×log59．【解】（Ⅰ）（式中字母均为正数）＝﹣6＝﹣6a；（Ⅱ）log225×log34×log59＝××＝8．5．（Ⅰ）；（Ⅱ）log3．【解】（Ⅰ）＝（）﹣1﹣（）+64＝﹣1﹣+16＝16；（Ⅱ）log3＝+lg1000+2＝．6．（1）log3（9×27）；（2）；（3）lg25+lg4；（4）．【解】（1）；（2）；（3）lg25+lg4＝lg100＝2；（4）．7．（1）；（2）．【解】（1）原式＝﹣1++e﹣＝+e．（2）原式＝+4﹣2log23×log32＝＝＝1+2＝3．8．：（1）；（2）．【解】（1）＝1+＝19．（2）＝＝2+＝．9．（1）log3﹣log32•log23﹣+lg+lg；（2）（lg2）2+lg20•lg5+log92•log43．【解】（1）原式＝．（2）＝＝．10．（Ⅰ）（lg2）2+lg5•lg20﹣1（Ⅱ）（×）6+（2）﹣4×（）﹣×80.25﹣（2019）0【解】（Ⅰ）原式＝（lg2）2+lg5•（lg5+2lg2）﹣1＝（lg2）2+（lg5）2+2lg5lg2﹣1＝（lg2+lg5）2﹣1＝0，（Ⅱ）原式＝2×3+﹣4×﹣×﹣1＝4×27+4﹣7﹣2﹣1＝102．11．求值：（1）；（2）log25．【解】（1）＝＝；（2）＝；12．（1）．（2）．【解】（1）原式＝﹣1﹣+16＝16．（2）原式＝+2+2＝．13．（1）；（2）．【解】（1）原式＝＝＝（2）原式＝＝＝14．（1）．（2）．【解】（1）原式＝＝4；（2）原式＝＝＝＝．15．（Ⅰ）（a＞0，b＞0）；（Ⅱ）．【解】（Ⅰ）原式＝＝＝（Ⅱ）原式＝＝＝1 16．（1）；（2）．【解】（1）由题知a﹣1＞0即a＞1，所以＝a﹣1+|1﹣a|+1﹣a＝a﹣1；（2）＝lg（5×102）+lg8﹣lg5﹣lg+50[lg（2×5）]2＝lg5+2+lg8﹣lg5﹣lg8+50＝52．17．（1）；（2）log3+lg25+lg4++log23•log94．【解】（1）原式＝﹣72+﹣+1＝﹣49+64+＝15+4＝19．（2）原式＝+lg（25×4）+2+＝﹣+2+2+1＝．18．（1）；（2）．【解】（1）＝＝＝2•3＝6；（2）．＝＝2（lg5+lg2）+lg5•lg2+（lg2）2+lg5＝2+lg2•（lg5+lg2）+lg5＝2+1＝3．19．（Ⅰ）log525+lg；（Ⅱ）．【解】解：（Ⅰ）＝．（Ⅱ）＝＝0．20．计算．（1）；（2）（log43+log83）（log32+log92）．【解】（1）＝4＝4a．（2）（log43+log83）（log32+log92）＝（log6427+log649）（log94+log92）＝log64243•log98＝＝＝．21．（1）0.﹣（﹣）0++0.；（2）lg25+lg2+（）﹣log29×log32．【解】（1）0.﹣（﹣）0++0.＝﹣1++＝2.5﹣1+8+0.5＝10（2）lg25+lg2+（）﹣log29×log32＝lg5+lg2+﹣2（log23×log32）＝1+﹣2＝﹣22．（1）；（2）．【解】（1）原式＝＝100；（2）原式＝﹣3＝log39﹣3＝﹣1．23．计算的值．【解】＝＝2+2﹣lg3+lg6﹣lg2+2＝6．24．（1）4；（2）lg．【解】（1）＝＝＝11﹣π；（2）＝＝＝＝．25．（1）（2）+（2）﹣3π0+（2）．【解】（1）原式＝+﹣3+＝+﹣3+＝3﹣3＝0．（2）原式＝﹣3+log24+＝﹣3+2+＝﹣1+2＝1．26．求值：（1）（2）．【解】（1）原式＝﹣1++＝﹣1++＝．（2）原式＝+3+﹣＝2+3+1﹣＝．27．（1）（2）．【解】（1）原式＝﹣++1＝﹣64++1＝﹣．（2）原式＝•＝×log55＝．28．（1）（2.25）﹣（﹣9.6）0﹣（）+（1.5）﹣2；（2）lg25+lg2﹣lg﹣log29×log32．【解】（1）原式＝﹣1﹣+＝﹣1﹣+＝；（2）原式＝lg5+lg2﹣lg﹣2log23×log32＝1+﹣2＝﹣．29．解方程：log3（x+14）+log3（x+2）＝log38（x+6）【解】∵log3（x+14）+log3（x+2）＝log38（x+6），∴log3[（x+14）（x+2）]＝log38（x+6），∴，解得x＝2．30．（1）已知4x+x﹣1＝6，求的值；（2）若log32＝m，log53＝n，用m，n表示log415．【解】（1）显然x＞0，令，则已知a2+b2＝6，ab＝2，∴，∴，（2）∵，∴．31．求值：（1），（2）．【解】（1）＝5﹣9×+1＝6﹣9×＝6﹣4＝2．（2）＝log66+lg10﹣3+e ln8＝1﹣3+8＝6．32．（1）；（2）．【解】（1）原式＝1+×+（﹣1）＝+1，（2）原式＝log327+（lg25+lg4）﹣2＝+2﹣2＝．33．（1）；（2）．【解】（1）＝＝﹣5．（2）＝．34．（1）（0.064）﹣（﹣）0+[（﹣2）3]+16﹣0.75；（2）2log32﹣log3+log38﹣5．【解】（1）（0.064）﹣（﹣）0+[（﹣2）3]+16﹣0.75＝（0.43）﹣1+（﹣2）﹣4+（24）＝0.4﹣1﹣1++2﹣3＝﹣1++＝．（2）2log32﹣log3+log38﹣5＝＝＝﹣1．35．（1）；（2）．【解】（1）原式＝＝．（2）原式＝＝．36．（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解】（Ⅰ）原式＝＝16+1﹣1﹣1＝15．（Ⅱ）原式＝＝＝＝625．37．计算下列各式的值；（1）；（2）．【解】（1）原式＝﹣+1﹣5＝﹣2+1﹣5＝﹣．（2）原式＝﹣log33+4lg2+lg5﹣lg8+e ln8＝﹣+3lg2+（lg2+lg5）﹣3lg2+8＝﹣+1+8＝．38．（1）lg25+lg32+lg5•lg20+（lg2）2；（2）．【解】（1）原式＝2lg5+lg2+lg5•（lg2+lg10）+（lg2）2＝2（lg2+lg5）+lg5•lg2+lg5+（lg2）2＝2+lg2•（lg2+lg5）+lg5＝2+lg2+lg5＝2+1＝3；（2）原式＝﹣﹣2×1÷＝﹣﹣＝0．39．（1）；（2）．【解】（1）原式＝．（2）原式＝．40．（1）；（2）+lg2+lg5．【解】（1）原式＝﹣+×＝﹣+25×＝﹣+2＝．（2）原式＝3+1﹣2+（lg2+lg5）＝3+1﹣2+1＝3．41．（1）（a＞0，b＞0）；（2）．【解】（1）原式＝；（2）原式＝＝．42．（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解】（Ⅰ）原式＝．（Ⅱ）原式＝．43．（1）4+（）﹣（﹣1）0+；（2）log9+lg25+lg2﹣log49×log38．【解】（1）4+（）﹣（﹣1）0+＝+﹣1﹣3＝﹣；（2）log9+lg25+lg2﹣log49×log38＝4+lg5+lg2﹣log23×log38＝4+1﹣3＝2．44．且a≠1）；（2）（a≠0）．【解】且a≠1）＝+＝（a x﹣1）＝a x﹣1；（2）（a≠0）＝＝＝﹣1．45．求值：（1）；（2）（log37+log73）2﹣．【解】（1）原式＝．（2）原式＝．46．log49•log38+lne2+lg0.01．【解】原式＝＝3+2+（﹣2）+5×3＝18．47．计算（1）；（2）．【解】（1）原式＝2lg2﹣（lg2﹣lg5）﹣﹣＝lg2+lg5﹣﹣＝1﹣＝；（2）原式＝3+1﹣2+1＝3．48．（1）；（2）．【解】（1）；（2）．49．（1）（）×（﹣）0+9×﹣；（2）log3+lg25﹣3log334+lg4．【解】（1）（）×（﹣）0+9×﹣＝（）×1+×﹣（）＝×＝3；（2）log3+lg25﹣3log334+lg4＝log3+lg25﹣12+lg4＝﹣+2﹣12＝﹣10．50．（Ⅰ）已知，求的值；（Ⅱ）求（2log43+log83）（log32+log92）的值．【解】（Ⅰ）∵，∴a＝，b＝，∴＝＝＝＝＝2．（Ⅱ）原式＝（log23）（log32）＝＝2．51．幂、指数、对数的运算（在划线处直接填写结果）（1）化简（结果用有理数指数幂表示）：；（2）已知log53＝a，试用a表示log459；（3）若，则实数M．【解】（1）原式＝2×（﹣6）÷4××＝（﹣3）××b﹣1＝﹣3b﹣1，（2）根据题意，log53＝a，则log459＝＝＝＝；（3）若，则M＝＝＝．52．（Ⅰ）设函数f（x）＝，计算f（f（﹣4））的值；（Ⅱ）log525+lg；（Ⅲ）．【解】（Ⅰ）因为﹣4＜0，所以f（﹣4）＝﹣4+6＝2＞0所以，．（Ⅱ）＝（每一项（1分）结论1分）（Ⅲ）＝＝。

高考数学一轮复习专题训练—对数与对数函数

对数与对数函数考纲要求1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数. 知识梳理 1.对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.2.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1). (2)对数的运算性质如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R ).(3)换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1，N >0).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a >10<a <1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1，0)当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称.1.换底公式的两个重要结论(1)log a b ＝1log b a(a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1).(2)log am b n ＝nm log a b (a >0，且a ≠1；b >0；m ，n ∈R ，且m ≠0).2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)log 2x 2＝2log 2x .( )(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数.( )(3)函数y ＝ln 1＋x1－x 与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同.( )(4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b .( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× 解析 (1)log 2x 2＝2log 2|x |，故(1)错误.(2)形如y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)为对数函数，故(2)错误. (4)若00，且a ≠1)的图象恒过的定点是________. 答案 (2，2)解析当x ＝2时，函数y ＝log a (x －1)＋2(a >0，且a ≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2，2).4.(2020·全国Ⅰ卷)设a log 34＝2，则4－a ＝( ) A.116B.19C.18D.16答案 B解析法一因为a log 34＝2，所以log 34a ＝2，则4a ＝32＝9，所以4－a ＝14a ＝19.故选B.法二因为a log 34＝2，所以a ＝2log 34＝2log 43＝log 432＝log 49，所以4－a ＝4－log 49 ＝4log 49－1＝9－1＝19.故选B.5.(2019·天津卷)已知a ＝log 27，b ＝log 38，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c log 24＝2，所以a >2.故c <b <a .6.(2021·陕西名校联考)若log 2x ＋log 4y ＝1，则( ) A.x 2y ＝2 B.x 2y ＝4 C.xy 2＝2 D.xy 2＝4答案 B解析 log 2x ＋log 4y ＝log 2x ＋12log 2y ＝log 2x ＋log 2y 12＝log 2(xy 12)＝1，所以xy 12＝2，两边平方得x 2y ＝4.考点一对数的运算1.设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( )A.10B.10C.20D.100 答案 A解析由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. 因此m 2＝10，m ＝10.2.(2019·北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A.1010.1 B.10.1C.lg 10.1D.10－10.1答案 A解析依题意，m 1＝－26.7，m 2＝－1.45，代入所给公式得52lg E 1E 2＝－1.45－(－26.7)＝25.25.所以lgE 1E 2＝25.25×25＝10.1，即E 1E 2＝1010.1. 3.计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝________.答案 1解析原式＝1－2log 63＋（log 63）2＋log 663·log 6（6×3）log 64＝1－2log 63＋（log 63）2＋1－（log 63）2log 64＝2（1－log 63）2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.4.已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________.答案 4 2解析设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52，所以t ＝2，则a ＝b 2.又a b ＝b a ，所以b 2b ＝bb 2，即2b ＝b 2，又a >b >1，解得b ＝2，a ＝4.感悟升华 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.考点二对数函数的图象及应用【例1】 (1)在同一直角坐标系中，函数y ＝1ax ，y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________. 答案 (1)D (2)(1，＋∞)解析 (1)若a >1，则y ＝1a x 单调递减，A ，B ，D 不符合，且y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12过定点⎝⎛⎭⎫12，0，C 项不符合，因此0<a <1.当0<a <1时，函数y ＝a x 的图象过定点(0，1)，在R 上单调递减，于是函数y ＝1a x 的图象过定点(0，1)，在R 上单调递增，函数y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12的图象过定点⎝⎛⎭⎫12，0，在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上单调递减.因此，选项D 中的两个图象符合.(2)如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线y ＝－x ＋a 在y 轴上的截距.由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝f (x )只有一个交点.感悟升华 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 【训练1】 (1)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，且a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A.a >1，c >1B.a >1，0<c <1C.0<a <1，c >1D.0<a <1，0<c <1(2)(2021·西安调研)设x 1，x 2，x 3均为实数，且e －x 1＝ln x 1，e－x 2＝ln(x 2＋1)，e－x 3＝lg x 3，则( )A.x 1<x 2<x 3B.x 1<x 3<x 2C.x 2<x 3<x 1D.x 2<x 1<x 3答案 (1)D (2)D解析 (1)由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a <1.又当x ＝0时，y >0，即log a c >0，所以0<c <1.(2)画出函数y ＝⎝⎛⎭⎫1e x，y ＝ln x ，y ＝ln(x ＋1)，y ＝lg x 的图象，如图所示：由图象直观性，知x 2<x 1<x 3.考点三解决与对数函数性质有关的问题角度1 比较对数值大小【例2】 (1)(2020·全国Ⅲ卷)设a ＝log 32，b ＝log 53，c ＝23，则( )A.a <c <bB.a 2，∴log 53>23，即b >c .∴a <c a >c .角度2 解简单的对数不等式【例3】已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f (1)＝2，则不等式f (log 2x )>2的解集为( ) A.(2，＋∞)B.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，22∪(2，＋∞) D.(2，＋∞)答案 B解析因为偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数. 又f (1)＝2，所以不等式f (log 2x )>2＝f (1)，即|log 2x |>1，解得0<x <12或x >2.角度3 对数型函数性质的综合应用【例4】 (2020·合肥调研)已知函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫12x ＋a . (1)若函数f (x )是R 上的奇函数，求a 的值；(2)若函数f (x )的定义域是一切实数，求a 的取值范围；(3)若函数f (x )在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a 的取值范围. 解 (1)若函数f (x )是R 上的奇函数，则f (0)＝0， ∴log 2(1＋a )＝0，∴a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝－x 是R 上的奇函数. 所以a ＝0.(2)若函数f (x )的定义域是一切实数，则12x ＋a >0恒成立.即a >－12x 恒成立，由于－12x ∈(－∞，0)，故只要a ≥0，则a 的取值范围是[0，＋∞).(3)由已知得函数f (x )是减函数，故f (x )在区间[0，1]上的最大值是f (0)＝log 2(1＋a )，最小值是f (1)＝log 2⎝⎛⎭⎫12＋a .由题设得log 2(1＋a )－log 2⎝⎛⎭⎫12＋a ≥2，则log 2(1＋a )≥log 2(4a ＋2).∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ≥4a ＋2，4a ＋2>0，解得－12<a ≤－13.故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－12，－13. 感悟升华 1.比较对数值的大小与解形如log a f (x )>log a g (x )的不等式，主要是应用函数的单调性求解，如果a 的取值不确定，需要分a >1与0<a <1两种情况讨论.2.与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.【训练2】 (1)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a ＝b <cB.a ＝b >cC.a b >c(2)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________. 答案 (1)B (2)⎝⎛⎭⎫1，83 解析 (1)因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1.所以a ＝b >c .(2)当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1，2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则f (x )min ＝f (2)＝log a (8－2a )>1，即8－2a >a ，且8－2a >0，解得1<a <83.当0<a <1时，f (x )在[1，2]上是增函数，由f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，知f (x )min ＝f (1)＝log a (8－a )>1，且8－2a >0. ∴8－a <a 且8－2a >0，此时解集为∅. 综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，83.A 级基础巩固一、选择题1.设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A.a ＋b <ab <0B.ab <a ＋b <0C.a ＋b <0<abD.ab <0<a ＋b 答案 B解析由题设，得1a ＝log 0.30.2>0，1b＝log 0.32<0. ∴0<1a ＋1b ＝log 0.30.4<1，即0<a ＋b ab<1. 又a >0，b <0，故ab <a ＋b <0.2.(2021·濮阳模拟)已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫3x ＋43x ＋m 的值域是全体实数，则实数m 的取值范围是( )A.(－4，＋∞)B.[－4，＋∞)C.(－∞，－4)D.(－∞，－4]答案 D解析由题意可知3x ＋43x ＋m 能取遍所有正实数. 又3x ＋43x ＋m ≥m ＋4，所以m ＋4≤0，即m ≤－4. ∴实数m 的取值范围为(－∞，－4].3.已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a －x 与函数g (x )＝log b x 的图象可能是( )答案 C解析由lg a ＋lg b ＝0，得ab ＝1.∴f (x )＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1b －x ＝b x ，因此f (x )＝b x 与g (x )＝log b x 单调性相同.A ，B ，D 中的函数单调性相反，只有C 的函数单调性相同.4.若函数f (x )＝|x |＋x 3，则f (lg 2)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12＋f (lg 5)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 15＝( ) A.2B.4C.6D.8答案 A解析由于f (x )＝|x |＋x 3，得f (－x )＋f (x )＝2|x |.又lg 12＝－lg 2，lg 15＝－lg 5. 所以原式＝2|lg 2|＋2|lg 5|＝2(lg 2＋lg 5)＝2.5.已知a ＝log 3 72，b ＝⎝⎛⎭⎫1413，c ＝log 13 15，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b 答案 D解析 log 13 15＝log 3－15－1＝log 35，因为函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上为增函数，所以log 35>log 3 72>log 33＝1，因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x 在R 上为减函数，所以⎝⎛⎭⎫1413<⎝⎛⎭⎫140＝1，故c >a >b . 6.若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2＋32x (a >0，且a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为( )A.(0，＋∞)B.(2，＋∞)C.(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 答案 A解析令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，恒有f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝⎛⎭⎫x ＋342－916，因为M 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－34，＋∞. 又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞).二、填空题7.若log 43＝m log 23，则log2m ＝________.答案－2解析 ∵log 43＝12log 23，∴m ＝12，∴log 2m ＝－2. 8.(2021·济南一中检测)已知函数y ＝log a (2x －3)＋2(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝3x ＋b 的图象上，则b ＝________.答案－7解析令2x －3＝1，得x ＝2，∴定点为A (2，2)，将定点A 的坐标代入函数f (x )中，得2＝32＋b ，解得b ＝－7.9.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是________. 答案 [0，＋∞)解析当x ≤1时，由21－x ≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；当x >1时，由1－log 2x ≤2，解得x ≥12，所以x >1. 综上可知，x ≥0.三、解答题10.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1).(1)求函数f (x )的解析式；(2)若－1<f (1)<1，求实数a 的取值范围.解 (1)当x <0时，－x >0，由题意知f (－x )＝log a (－x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x ).所以当x <0时，f (x )＝log a (－x ＋1)，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a （x ＋1），x ≥0，log a （－x ＋1），x <0. (2)因为－1<f (1)<1，所以－1<log a 2<1，所以log a 1a<log a 2<log a a . ①当a >1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1a <2，a >2，解得a >2； ②当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1a >2，a <2，解得0<a <12. 综上，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞). 11.已知函数f (x )＝log 21＋ax x －1(a 为常数)是奇函数. (1)求a 的值与函数f (x )的定义域；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 2(x －1)>m 恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)因为函数f (x )＝log 21＋ax x －1是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以log 21－ax －x －1＝－log 21＋ax x －1，即log 2ax －1x ＋1＝log 2x －11＋ax，所以a ＝1，f (x )＝log 21＋x x －1，令1＋x x －1>0，解得x <－1或x >1，所以函数的定义域为{x |x <－1或x >1}.(2)f (x )＋log 2(x －1)＝log 2(1＋x )，当x >1时，x ＋1>2，所以log 2(1＋x )>log 22＝1.因为x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 2(x －1)>m 恒成立，所以m ≤1，所以m 的取值范围是(－∞，1].B 级能力提升12.(2021·西安调研)设函数f (x )的定义域为D ，若满足：①f (x )在D 内是单调增函数；②存在[m ，n ]⊆D (n >m )，使得f (x )在[m ，n ]上的值域为[m ，n ]，那么就称y ＝f (x )是定义域为D 的“成功函数”.若函数g (x )＝log a (a 2x ＋t )(a >0且a ≠1)是定义域为R 的“成功函数”，则t 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，14 B.⎝⎛⎦⎤0，14 C.⎝⎛⎭⎫－∞，14 D.⎝⎛⎭⎫14，＋∞答案 A解析因为g (x )＝log a (a 2x ＋t )是定义在R 上的“成功函数”，所以g (x )为增函数，且g (x )在[m ，n ]上的值域为[m ，n ]，故g (m )＝m ，g (n )＝n ，即g (x )＝x 有两个不相同的实数根.又log a (a 2x ＋t )＝x ，即a 2x －a x ＋t ＝0.令s ＝a x ，s >0，即s 2－s ＋t ＝0有两个不同的正数根，可得⎩⎪⎨⎪⎧t >0，Δ＝1－4t >0. 解得0<t <14. 13.已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0且a ≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为________.答案 2解析易知函数f (x )＝a x ＋log a x 在[1，2]上单调，所以f (x )在[1，2]上的最大值与最小值之和为f (1)＋f (2)＝log a 2＋6.因此a 2＋log a 2＋a ＋log a 1＝6＋log a 2，∴a 2＋a －6＝0，解之得a ＝2或a ＝－3(舍).14.已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x .(1)当x ∈[1，4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域；(2)如果对任意的x ∈[1，4]，不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，求实数k 的取值范围. 解 (1)h (x )＝(4－2log 2x )log 2x ＝2－2(log 2x －1)2.因为x ∈[1，4]，所以log 2x ∈[0，2]，故函数h (x )的值域为[0，2].(2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )，得(3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ，令t ＝log 2x ，因为x ∈[1，4]，所以t ＝log 2x ∈[0，2]，所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈[0，2]恒成立，①当t ＝0时，k ∈R ；②当t ∈(0，2]时，k <（3－4t ）（3－t ）t恒成立，即k <4t ＋9t－15，因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号，所以4t ＋9t－15的最小值为－3. 所以k <－3.综上，实数k 的取值范围为(－∞，－3).。

高考数学热点问题专题练习——指对数比较大小知识归纳及典型例题分析

指对数比较大小一、技巧和方法1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来：判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为()0,1和()1,+∞（1）如果底数和真数均在()0,1中，或者均在()1,+∞中，那么对数的值为正数（2）如果底数和真数一个在()0,1中，一个在()1,+∞中，那么对数的值为负数例如：30.52log 0.50,log 0.30,log 30<>>等2、要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了3、比较大小的两个理念：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况例如：1113423,4,5，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同()()()11111143634212121233,44,55===，从而只需比较底数的大小即可（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如2log 3，可知2221log 2log 3log 42=<<=，进而可估计2log 3是一个1点几的数，从而便于比较 4、常用的指对数变换公式：（1）nm mn a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）log log log a a a M N MN += log log log a a aM M N N-=（3）()log log 0,1,0n a a N n N a a N =>≠> （4）换底公式：log log log c a c bb a=进而有两个推论：1log log a b b a = （令c b =） log log m n a a nN N m=典型例题例1：设323log ,log log a b c π===则,,a b c 的大小关系是______________ 思路：可先进行0,1分堆，可判断出1,0b 1,0c 1a ><<<<，从而a 肯定最大，只需比较,b c 即可，观察到,b c 有相同的结构：真数均带有根号，抓住这个特点，利用对数公式进行变换：223311log log 3,log log 222b c ====，从而可比较出32log 21log 3<<，所以c b < 答案：c b a <<例2：设123log 2,ln 2,5a b c -===，则,,a b c 的大小关系是___________ 思路：观察发现,,a b c 均在()0,1内，,a b 的真数相同，进而可通过比较底数得到大小关系：a b <，在比较和c 的大小，由于c 是指数，很难直接与对数找到联系，考虑估计,,a b c值得大小：12152c -==<=，可考虑以12为中间量，则331log 2log 2a =>=，进而12a c >>，所以大小顺序为b ac >> 答案：b a c >>例3：设ln2ln3ln5,,,235a b c === 则,,a b c 的大小关系为（） A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >> D.思路：观察到,,a b c 都是以e 为底的对数，所以将其系数“放”进对数之中，再进行真数的比较。

指数对数运算-教师用卷(含答案)

4
−
1
24
×
3
24＋1=2
−
4
×
7 4
−
2
+
1=-6；
（2）原式=��2.52.52
+
��10−2
+
3
��2
+
��24=2
−
2
+
3 2
+
2=72．
【解析】本题考查根式和指数式的运算、对数式的运算，是基础题．
本题考查对数式、指数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数、指数性
质、运算法则的合理运用．
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9. 不使用计算器，计算下列各题：
（1）(5 1 )0.5 + (−1)−1 ÷ 0.75−2 + (2 10)−23；
16
27
（2）lo��3√27 + ��25 + ��4 + 7lo��72 + (−9.8)0．
2
2
2
=12
−
(3)−2
2
+
(3)−2
2
=1．
2
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（2）∵10x=3，10y=4，
∴102x-y=11002��=(1100��)2=49．【解析】本题考查有理数指数幂的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质、运算法则的合理运用．（1）利用有理数指数幂的性质、运算法则求解．（2）利用有理数指数幂的性质、运算法则求解．

高考数学题型解析复数与指数对数运算的多重应用

高考数学题型解析复数与指数对数运算的多重应用复数与指数对数运算是高考数学中常见的题型，学好这一知识点对于考试来说至关重要。

本文将对复数与指数对数运算的多重应用进行解析，帮助学生更好地掌握相关知识与解题技巧。

一、复数的运算及其应用在高考数学中，复数的运算是一个重要的考点。

复数可以表示为a+bi的形式，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。

复数的运算包括加减乘除四则运算，下面我们将逐一进行解析。

1. 加减法复数的加法和减法遵循实部相加、虚部相加的原则。

例如，(2+3i)+(4+5i)=6+8i，(6+9i)-(2+4i)=4+5i。

这一知识点常用于解决坐标运动问题、电路问题等。

2. 乘法复数的乘法是通过分配律和虚数单位i的定义进行计算的。

例如，(1+2i)(3+4i)=(-5+10i)，(2+3i)^2=(-5+12i)。

复数的乘法在几何问题、电磁问题等方面有广泛应用。

3. 除法复数的除法需要利用到共轭复数的概念，即复数a+bi的共轭复数为a-bi。

通过将除数的分子分母同时乘以共轭复数，可以将除法转化为乘法。

例如，(3+4i)/(1-2i)=(2+1i)。

复数的除法在解决电路、信号传输等问题中有重要作用。

以上是复数的基本运算方法，通过对复数的灵活运用，在解决问题时可以更高效地进行计算。

下面我们将介绍指数对数运算及其与复数的应用。

二、指数对数运算及其应用指数对数运算是数学中常见的运算，也是高考数学中的重要考点。

指数运算可以将幂运算转化为乘法运算，而对数运算则可以将乘法运算转化为加法运算。

下面我们将分别介绍指数运算和对数运算，并探讨其与复数的应用。

1. 指数运算指数运算的特点是将底数乘以自身多次得到幂。

例如，2^3=2×2×2=8。

指数运算在复利计算、概率计算等问题中有广泛应用。

2. 对数运算对数运算可以将乘法运算转化为加法运算，并以指数形式表示。

例如，log₂8=3，意味着2的3次方等于8。

指数对数计算题高三数学

以下是一些高三数学中的指数对数计算题示例：
1. （2021届高三文数三轮模拟用题）已知 33a = 2，则
2a3 + 2−a3 =（）
A. 2
B. 4
C. 103
D. 3
答案：C. 103
由指数式 33a = 2，可得到对数式 log3⁡2 = 3a，两边
同时取倒数，得到 1log3⁡2 = a3，即 log2⁡3 = a3，故
2a3 + 2−a3 = 2log2⁡3 + 2−log2⁡3 = 3 + 13 = 103，故
选 C.
2. （来源：班班通教学系统 ID：www-1ydt-com）知识点：指数函数和对数函数
（1）定义：指数函数 y=ax(a>0，且a≠1)，注意与幂函
数的区别。

对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)．指数函数
y=ax与对数函数y=logax互为反函数。

（2）指数函数y=ax(a>0，且a≠1)与对数函数
y=logax(a>0，且a≠1)的图象和性质。

（3）指数方程和对数方程：指数方程和对数方程属于超
越方程，在中学阶段只要求会解一些简单的特殊类型指数方
程和对数方程，基本思想是将它们化成代数方程来解。

其基
本类型和解法。

希望以上示例对你有所帮助，更多指数对数计算题可以请教数学老师或查阅相关习题集。