2013年天津高考数学(理科)试题及答案

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2013年天津市高考数学试卷(理科)及答案(Word版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分，共150分. 考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动, 用橡皮擦干净后，再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分.参考公式:·如果事件A ， B 互斥，那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积， h 表示棱柱的高.·如果事件A ， B 相互独立，那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π=其中R 表示球的半径.一．选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

（1) 已知集合A = ｛x ∈R | |x ｜≤2｝, A = {x ∈R | x ≤1}，则A B ⋂=(A) (,2]-∞ （B) ［1，2］（C ） [－2，2] (D) ［－2,1]（2) 设变量x ， y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y －2x 的最小值为（A) －7 （B) －4(C) 1 (D ） 2（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序, 若输入x的值为1, 则输出S 的值为（A) 64 （B) 73(C) 512 （D) 585（4）已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是：（A ） ①②③ （B) ①②(C ） ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点， O 为坐标原点。

2013年天津市高考数学试卷(理科)答案与解析

2013年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：(每题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2．（5分）（2013•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的，3．（5分）（2013•天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为（）4．（5分）（2013•天津）已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x+y+1=0与圆相切．V=V=可知，若一个球的半径缩小到原来的；故的圆心到直线=相切，5．（5分）（2013•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px （p＞0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB求出双曲线的渐近线方程与抛物线的面积为，±x，±，双曲线的离心率为，所以则±=的面积为，，得6．（5分）（2013•天津）在△ABC中，，则sin∠BAC=（）BABC=AB=，=得：BAC=x（8．（5分）（2013•天津）已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（）．﹣﹣|+1≤讨论，可得时，﹣﹣＜时，解得0＞时，解得，时，（﹣）二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）（2013•天津）已知a，b∈R，i是虚数单位．若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi=1+2i．，解得10．（5分）（2013•天津）的二项展开式中的常数项为15．=解；设•r=0的二项展开式中的常数项为=1511．（5分）（2013•天津）已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|=．的极坐标为|CP|==2．12．（5分）（2013•天津）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若，则AB的长为．，=+﹣，，∴故答案为13．（5分）（2013•天津）如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=6，BD=5，则线段CF的长为．故答案为：．14．（5分）（2013•天津）设a+b=2，b＞0，则当a=﹣2时，取得最小值．=﹣，=，当取得最小值时，取得最小值三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）（2013•天津）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．2x+）展开，结合二倍角的正余弦公式化简合=2）∈，得﹣﹣≤﹣，）在区间sinxcosx=x=2x+2cos2x=2﹣T==≤，∴﹣≤≤﹣）取得最小值﹣时，﹣）在区间上的最大值为）=216．（13分）（2013•天津）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．张的所有可能结果数有=的卡片的概率为====17．（13分）（2013•天津）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．标系，标出点的坐标后，求出和，由求出（Ⅱ）解：，，即．=．=．的正弦值为（Ⅲ）解：=．所以．的长为．18．（13分）（2013•天津）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若=8，求k的值．代入求出弦长使其等于，由，再由韦达定理进行求解．求得（Ⅰ）根据椭圆方程为，得±，=∵离心率为，∴=b=；﹣（﹣（，，（k=19．（14分）（2013•天津）已知首项为的等比数列{a n}不是递减数列，其前n项和为S n（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{T n}的最大项的值与最小项的值．的方程，结合首项为的等比数列=不是递减数列，且等比数列的首项为﹣（﹣）﹣（﹣）=≤﹣==≥﹣=，总有≤，最小项的值为20．（14分）（2013•天津）已知函数f（x）=x2lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：对任意的t＞0，存在唯一的s，使t=f（s）．（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s关于t的函数为s=g（t），证明：当t＞e2时，有．，由导数在（，，一方面由﹣•，，（，，===成立，只需，2+，＜，＜，时，有成立．。

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2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动,用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y －2x 的最小值为(A) －7(B) －4 (C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x的值为1, 则输出S 的值为(A) 64(B) 73 (C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①② (C) ②③ (D) ②③ (5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为3, 则p =(A) 1 (B) 32 (C) 2(D) 3 (6) 在△ABC 中, ,2,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ = (A) 10 (B) 10 (C) 310 (D) 5(7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是 (A) 15,0⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 13,0⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭(C) 15,0130,⎛⎫+⋃⎛ ⎪ ⎪⎝⎫- ⎪ ⎝⎭⎪⎭ (D) 5,1⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭∞⎪2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = .(10) 6x x ⎛- ⎪⎝⎭ 的二项展开式中的常数项为 . (11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | = .(12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =, 则AB 的长为 .(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC .过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时,1||2||a a b+取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分) 已知函数2()2sin 26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭∈R . (Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2,E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为2, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直线被(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.(19) (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分)已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.2013 National English Contest for College Students.- 11 -。

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2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y－2x 的最小值为(A) －7(B) －4 (C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①② (C) ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p =(A) 1 (B) 32 (C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠==则sin BAC ∠ =(A)(B)(C)(D) (7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) ⎫⎪⎪⎝⎭(B) ⎫⎪⎪⎝⎭(C) ⎛⋃ ⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭(D) ⎛- ⎝⎭∞ 2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = .(10) 6x ⎛ ⎝的二项展开式中的常数项为 . (11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | = . (12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =, 则AB 的长为 .(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC ,AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分)已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R . (Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截. (Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.(19) (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 +a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分)已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.- 11 -2013高考真题。

2013年天津市高考数学试卷(理科)及答案(Word版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y－2x 的最小值为(A) －7(B) －4 (C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①② (C) ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p =(A) 1 (B) 32 (C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠==则sin BAC ∠ =(A)(B)(C)(D) (7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) ⎫⎪⎪⎝⎭(B) ⎫⎪⎪⎝⎭(C) ⎛⋃ ⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭ (D) ⎛- ⎝⎭∞ 2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = . (10) 6x⎛ ⎝ 的二项展开式中的常数项为 . (11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | = . (12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =, 则AB 的长为 .(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC ,AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分)已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R . (Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截. (Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.(19) (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分)已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.。

2013年高考天津卷理科数学试题及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（天津卷）第Ⅰ卷一、选择题1．已知集合A ＝{x ∈R ||x |≤2}，B ＝{x ∈R |x ≤1}，则A ∩B 等于( ) A ．(－∞，2] B ．[1,2] C ．[－2,2] D ．[－2,1] 答案 D解析 A ＝{x ∈R ||x |≤2}＝[－2,2]，B ＝{x ∈R |x ≤1}＝(－∞，1]，∴A ∩B ＝[－2,2]∩(－∞，1]＝[－2,1]，选D.2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2 答案 A 解析可行域如图阴影部分(含边界)令z ＝0，得直线l 0：y －2x ＝0，平移直线l 0知，当直线l 过A 点时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0得A (5,3)． ∴z 最小＝3－2×5＝－7，选A.3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序．若输入x 的值为1，则输出S 的值为( )A ．64B ．73C ．512D ．585 答案 B解析第1次运行：S ＝0＋13＝1<50 第2次运行：x ＝2，S ＝1＋23＝9<50 第3次运行：x ＝4，S ＝9＋43＝73>50 ∴输出S ＝73，选B. 4．已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切，其中真命题的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③ 答案 C解析 ①正确，②不正确，③正确，选C.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p 等于( ) A ．1 B.32 C ．2 D ．3答案 C解析 e ＝2，⎝⎛⎭⎫c a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝4，∴b a ＝3，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ， ∴|AB |＝2·p2tan 60°又S △AOB ＝3，即12·p 2·2·p 2tan 60°＝3，∴p 24＝1，∴p ＝2，选C.6．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC 等于( )A.1010 B.105 C.31010 D.55答案 C解析在△ABC 中，由余弦定理AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC cos ∠ABC ＝(2)2＋32－2×2×3cos π4＝5.∴AC ＝5，由正弦定理BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC得sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABCAC ＝3×sin π45＝3×225＝31010，选C.7．函数f (x )＝2x |log 0.5 x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析当0<x <1时，f (x )＝2x log 0.5x －1，令f (x )＝0，则log 0.5x ＝⎝⎛⎭⎫12x由y ＝log 0.5x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象知，在(0,1)内有一个交点，即f (x )在(0,1)上有一个零点．当x >1时，f (x )＝－2x log 0.5x －1＝2x log 2x －1，令f (x )＝0得log 2x ＝⎝⎛⎭⎫12x，由y ＝log 2x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象知在(1，＋∞)上有一个交点，即f (x )在(1，＋∞)上有一个零点，故选B.另法：0.52log 10xx -=⇒ 0.51log 2x x =⇒0.51log ()2xx =，画这两个函数的图像，看图可知选B8．已知函数f (x )＝x (1＋a |x |)．设关于x 的不等式f (x ＋a )<f (x )的解集为A .若⎣⎡⎦⎤－12，12⊆A ，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，0C.⎝⎛⎭⎪⎫1－52，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋32 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－52 答案 A解析 f (x )＝x (1＋a |x |)，f (x ＋a )＝(x ＋a )(1＋a |x ＋a |)，由f (x ＋a )<f (x )得，x ＋a ＋a (x ＋a )|x ＋a |<x ＋ax |x |，而a ＋a (x ＋a )|x ＋a |<ax |x |，(1)当a ＝0时，不合题意． (2)当a >0时有1＋(x ＋a )|x ＋a |<x |x |由于当x ＝0时1＋|a |<0无解，故a <0，去掉C. (3)当a <0时，1＋(x ＋a )|x ＋a |>x |x | 取a ＝－12，则1＋⎝⎛⎭⎫x －12⎪⎪⎪⎪x －12>x |x |* ①当x ≤0时，由*得－34<x ≤0②当0<x ≤12时，由☆得0<x ≤2＋279>12此时⎣⎡⎦⎤－12，12⊆A 符合题意，由于－12∉⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，0，－12∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－52去掉B 、D ，故选A. 第Ⅱ卷二、填空题9．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________. 答案 1＋2i解析由(a ＋i)(1＋i)＝b i 得a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝0，a ＋1＝b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.∴a ＋b i ＝1＋2i.10.⎝⎛⎭⎫x －1x 6的二项展开式中的常数项为________．答案 15解析 T r ＋1＝C r 6x 6－r (－x －12)r ＝(－1)r C r 6x 6－3r 2(r ＝0,1，…，6)，由题意得6－3r2＝0，∴r ＝4.故常数项为T 4＋1＝C 46(－1)4＝C 26＝6×52×1＝15. 11．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，则|CP |＝________. 答案 2 3解析由ρ＝4cos θ得：ρ2＝4ρcos θ而x 2＋y 2＝4x ， ∴(x －2)2＋y 2＝4，圆心C (2,0)，点P ⎝⎛⎭⎫4，π3的直角坐标为P (2,23)．∴|CP |＝2 3.12．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．答案 12解析在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →， ∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝⎛⎭⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12.另法：如图建系:由题意AD=1，60=∠DAB ,得)0,21(-A ,),23,0(D 设DE=x,)23,(x E ，)0,212(-xB ， 1(2,22AC x =+,1(,22BE x =-由题意 .1AD BE = 得：143)21)(212(=+-+x x ，得41=x ，∴AB 的长为21。

2013年天津市高考数学试卷(理科)及答案(Word版)

. 如需改动 , 用橡皮
参考公式 : ·如果事件 A, B 互斥 , 那么 P( A B) P( A) P( B)
·棱柱的体积公式 V=Sh，其中 S 表示棱柱的底面面积柱的高 .
, h 表示棱
·如果事件 A, B 相互独立 , 那么 P( AB) P( A) P( B)
·球的体积公式 V 4 R3. 3
(17) (本小题满分 13 分) 如图 , 四棱柱 ABCD－ A1B1C1D1 中 , 侧棱 A1A ⊥底面 ABCD, AB// DC, AB⊥ AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E 为棱 AA1 的中点 .
(Ⅰ ) 证明 B1C1⊥ CE;
(Ⅱ ) 求二面角 B1－ CE－ C1 的正弦值 .
二．填空题 : 本大题共 6 小题 , 每小题 5 分, 共 30 分 .
(9) 已知 a, b∈R, i 是虚数单位 . 若 (a + i)(1 + i) = bi, 则 a + bi =
.
6
1
(10) x
的二项展开式中的常数项为
.
x
(11) 已知圆的极坐标方程为
4cos , 圆心为 C, 点 P 的极坐标为 4, , 则| CP| =
(Ⅲ ) 设点 M 在线段 C1E 上 , 且直线 AM 与平面 ADD1A1
所成角的正弦值为
2 , 求线段 AM 的长 .
6
(18) (本小题满分
设椭圆
x2 a2
y2 b2
y2 2 px( p 0) 的准线分别交于
A, B 两点 , O 为坐标原点 . 若双曲线的离心率为 2, △ AOB 的面积为 3 , 则 p =

2013年天津高考数学试题及答案(理科)

2013年天津高考数学试题及答案(理科)一、选择题1．已知集合A ＝{x ∈||x |≤2}，B ＝{x ∈|x ≤1}，则A ∩B ＝( ) A ．(－∞，2] B ．[1，2] C ．[－2，2] D ．[－2，1]1．D [解析] A ∩B ＝{x ∈|－2≤x ≤2}∩{x ∈|x ≤1}＝{x ∈|－2≤x ≤1}．2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．22．A [解析] 作出可行域，如图阴影部分．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0，解得(5，3)，当目标函数线过可行域内A 点时，目标函数有最小值z＝3－2×5＝－7.3．阅读如图1－1所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出S的值为( )图1－1A ．64B ．73C ．512D ．5853．B [解析] 当x ＝1时，S ＝0＋1＝1；当x ＝2时，S ＝1＋23＝9；当x ＝4时，S ＝9＋43＝73满足题意输出．4．已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号是( ) A ．①②③ B ．①② C ．①③ D ．②③4．C [解析] 由球的体积公式V ＝43πR 3知体积与半径是立方关系，①正确．平均数反映数据的所有信息，标准差反映数据的离散程度，②不正确．圆心到直线的距离为|0＋0＋1|1＋1＝22＝r ，即直线与圆相切，③正确． 5．，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )A ．1 B.32C ．2D ．35．C [解析] 双曲线的离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝2，解得ba ＝3，联立⎩⎨⎧y ＝－b ax ，x ＝－p 2，得y ＝bp 2a .又因为S △OAB ＝p 2×bp 2a ＝3，将ba＝3代入解得p ＝2. 6．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )A.1010 B.105C.31010D.556．C [解析] 由余弦定理得AC 2＝2＋9－2×3×2×22＝5，即AC ＝5，由正弦定理得3sin ∠BAC ＝522，解得sin ∠BAC ＝3 1010.7．函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．B [解析] f (x )＝2x|log 0.5 x |－1＝⎩⎪⎨⎪⎧2x log 0.5 x －1，0<x ≤1，－2xlog 0.5 x －1，x >1＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x log 2 x －1，0<x ≤1，2x log 2 x －1，x >1.∵f (x )＝－2x log 2x －1在(0，1]上递减且x 接近于0时，f (x )接近于正无穷大，f (1)＝－1<0，∴f (x )在(0，1]上有一零点；又∵f (x )＝2x log 2x －1在(1，＋∞)上递增，且f (2)＝22×log 2 2－1＝3>0，∴f (x )在(1，＋∞)上有一零点．故f (x )共有2个零点．8．已知函数f (x )＝x (1＋a |x |)，设关于x 的不等式f (x ＋a )<f (x )的解集为A ，若－12，12⊆A ，则实数a 的取值范围是( )A.1－52，0B.1－32，0C.1－52，0∪0，1＋32D ．－∞，1－528．A [解析] 方法一：排除法：当x ＝0时，由f (x ＋a )<f (x )可变为a (1＋a |a |)<0，易得－1<a <0，可得a 的取值范围一定是(－1，0)的子集，排除C ，D 选项；当a ＝－12时，由f (x )>f (x＋a )可解得－34<x <54，满足－12，12⊆A ，可排除B 选项；故答案为A.方法二：直接分类：易知a <0，f (x ＋a )是把f (x )向右平移，且f (x )为奇函数，要使－12，12⊆A ，只要使f (x )与f (x＋a )最左边的交点横坐标小于－12即可，在x <0时，f (x )＝－ax 2＋x ，f (x ＋a )＝－a (x ＋a )2＋x ＋a ，令f (x )＝f (x ＋a )，则x ＝1－a 22a，令1－a 22a <12，可得a 2＋a －1<0，故1－52<a <0.9．已知a ，b ∈，i 是虚数单位，若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________. 9．1＋2i [解析] (a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，a ＋1＝b ，解得a ＝1，b ＝2.故a ＋b i ＝1＋2i. 10． x －1x6的二项展开式中的常数项为________． 10．15 [解析] 由二项式的展开式得T k ＋1＝C k 6x6－k⎝⎛⎭⎫－1x k＝(－1)k C k 6x 6－32k ，令6－32k＝0，解之得k ＝4，T 5＝(－1)4C 46＝15.11．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为4，π3，则|CP |＝________.11．2 3 [解析] ∵圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，∴圆心C 的直角坐标为(2，0)．∵P 点极坐标⎝⎛⎭⎫4，π3，∴化为直角坐标为(2，23)，∴|CP |＝（2－2）2＋（0－2 3）2＝2 3.12．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．12.12 [解析] 由题意得BE →＝AE →－AB →＝AD →＋12AB →－AB →＝AD →－12AB →，AC →＝AD →＋AB →，所以AC →·BE →＝(AD →＋AB →)⎝⎛⎭⎫AD →－12AB →＝AD →2－12AB →2＋12AD →·AB →＝1－12AB →2＋12|AB →|×1×12＝1，解得|AB →|＝12或0(舍去)． 13．如图1－2所示，△ABC 为圆的内接三角形，BD 为圆的弦，且BD ∥AC .过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F ，若AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝5，则线段CF 的长为________．图1－213.83[解析] 由切割线定理可得EA 2＝EB ·ED ，有EB ＝4，ED ＝9. 因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠C ＝∠ADB ，由弦切角定理可得∠EAB ＝∠ADB ，所以∠EAB ＝∠ABC ，故AE ∥BC .又BD ∥AC ，所以四边形AEBC 是平行四边形，可得BC ＝AE ＝6，又由平行线分线段成比例定理可得BF AE ＝BD DE ，因为AE ＝6，所以BF ＝103，故CF ＝BC －BF ＝83. 14．设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b 取得最小值．14．－2 [解析]12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥a 4|a |＋2 b 4|a |×|a |b ≥－14＋1＝34，当且仅当b 4|a |＝|a |b时，等号成立．联立a ＋b ＝2，b >0，a <0.可解得a ＝－2.15．，已知函数f (x )＝－2sin2x ＋π4＋6sin x cos x －2cos 2 x ＋1，x ∈(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间0，π2上的最大值和最小值．15．解：(1)f (x )＝－2sin 2x ·cos π4－2cos 2x ·sin π4＋3sin 2x －cos 2x ＝2sin 2x －2cos 2x ＝22sin2x －π4.所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间0，3π8上是增函数，在区间3π8，π2上是减函数．又f (0)＝－2，f 3π8＝2 2，f π2＝2，故函数f (x )在区间0，π2上的最大值为2 2，最小值为－2. 16．，一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．16．解：设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则P (A )＝C 12C 35＋C 22C 25C 47＝67. 所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67.(2)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4.P (X ＝1)＝C 33C 47＝135，P (X ＝2)＝C 34C 47＝435，P (X ＝3)＝C 35C 47＝27，P (X ＝4)＝C 36C 47＝47.所以随机变量X 的分布列是X 1 2 3 4 P1354352747随机变量X 的数学期望E (X )＝1×135＋2×435＋3×27＋4×47＝175.17．，，如图1－3所示，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点．(1)证明：B 1C 1⊥CE ；(2)求二面角B 1－CE －C 1的正弦值；(3)设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为26.求线段AM 的长．图1－117．解：方法一：如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0，0，0)，B (0，0，2)，C (1，0，1)，B 1(0，2，2)，C 1(1，2，1)，E (0，1，0)．(1)证明：易得B 1C 1→＝(1，0，－1)，CE →＝(－1，1，－1)，于是B 1C 1→·CE →＝0，所以B 1C 1⊥CE . (2)B 1C →＝(1，－2，－1)，设平面B 1CE 的法向量＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧·B 1C →＝0，m ·CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －z ＝0，－x ＋y －z ＝0，消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量为＝(－3，－2，1)．由(1)，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故B 1C 1→＝(1，0，－1)为平面CEC 1的一个法向量．于是cos 〈，B 1C 1→〉＝m ·B 1C 1→|m |·|B 1C 1→|＝－414×2＝－2 77，从而sin 〈，B 1C 1→〉＝217.所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为217. (3)AE →＝(0，1，0)，EC 1→＝(1，1，1)．设EM →＝λEC 1→＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM →＝AE →＋EM →＝(λ，λ＋1，λ)．可取AB →＝(0，0，2)为平面ADD 1A 1的一个法向量．设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则 sin θ＝|cos 〈AM →，AB →〉|＝|AM →·AB →||AM →|·|AB →|＝2λλ2＋（λ＋1）2＋λ2×2＝λ3λ2＋2λ＋1.于是λ3λ2＋2λ＋1＝26，解得λ＝13(负值舍去)，所以AM ＝ 2. 方法二：(1)证明：因为侧棱CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1， B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1C 1.经计算可得B 1E ＝5，B 1C 1＝2，EC 1＝3，从而B 1E 2＝B 1C 21＋EC 21，所以在△B 1EC 1中，B 1C 1⊥C 1E .又CC 1，C 1E ⊂平面CC 1E ，CC 1∩C 1E ＝C 1，所以B 1C 1⊥平面CC 1E ，又CE ⊂平面CC 1E ，故B 1C 1⊥CE .(2)过B 1 作B 1G ⊥CE 于点G ，联结C 1G .由(1)，B 1C 1⊥CE .故CE ⊥平面B 1C 1G ，得CE ⊥C 1G ，所以∠B 1GC 1为二面角B 1－CE －C 1的平面角．在△CC 1E 中，由CE ＝C 1E ＝3，CC 1＝2，可得C 1G ＝2 63.在Rt △B 1C 1G 中，B 1G ＝423，所以sin ∠B 1GC 1＝217，即二面角B 1－CE －C 1的正弦值为217. (3)联结D 1E, 过点M 作MH ⊥ED 1于点H ，可得MH ⊥平面ADD 1A 1，联结AH ，AM ，则∠MAH 为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角．设AM ＝x ，从而在Rt △AHM 中，有MH ＝26x ，AH ＝346x .在Rt △C 1D 1E 中，C 1D 1＝1，ED 1＝2，得EH ＝2MH ＝13x .在△AEH 中，∠AEH ＝135°，AE ＝1，由AH 2＝AE 2＋EH 2－2AE ·EH cos 135°，得1718x 2＝1＋19x 2＋23x .整理得5x 2－2 2x －6＝0，解得x ＝2(负值舍去)，所以线段AM 的长为 2.18．，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4 33.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．18．解：(1)设F (－c ，0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆的方程有（－c ）2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b 3.于是2 6b 3＝4 33，解得b ＝ 2. 又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以所求椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1，0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0，可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1)＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2 ＝6＋2k 2＋122＋3k 2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝±2.19．已知首项为32的等比数列{a n }不．是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈*)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈*)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．19．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12，故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)由(1)得S n ＝1－－12n＝⎩⎨⎧1＋12n ，n 为奇数，1－12n ，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56. 当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712. 综上，对于n ∈*，总有－712≤S n －1S n ≤56.所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.20．已知函数f (x )＝x 2ln x .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)证明：对任意的t >0，存在唯一的s ，使t ＝f (s )；(3)设(2)中所确定的s 关于t 的函数为s ＝g (t )．证明：当t >e 2时，有25<ln g （t ）ln t <12.20．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝2x ln x ＋x ＝x (2ln x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝1e. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x 0，1e 1e 1e ，＋∞f ′(x ) －0 ＋ f (x )极小值所以函数f (x )的单调递减区间是0，1e ，单调递增区间是1e，＋∞. (2)证明：当0<x ≤1时，f (x )≤0，设t >0，令h (x )＝f (x )－t ，x ∈[1，＋∞)．由(1)知，h (x )在区间(1，＋∞)内单调递增．h (1)＝－t <0，h (e t )＝e 2t ln e t －t ＝t (e 2t －1)>0.故存在唯一的s ∈(1，＋∞)，使得t ＝f (s )成立．(3)证明：因为s ＝g (t )，由(2)知，t ＝f (s )，且s >1，从而ln g （t ）ln t ＝ln s ln f （s ）＝ln sln （s 2ln s ）＝ln s 2ln s ＋ln ln s ＝u2u ＋ln u ，其中u ＝ln s .要使25<ln g （t ）ln t <12成立，只需0<ln u <u 2.当t >e 2时，若s ＝g (t )≤e ，则由f (s )的单调性，有t ＝f (s )≤f (e)＝e 2，矛盾．所以s >e ，即u >1，从而ln u >0成立．另一方面，令F (u )＝ln u －u 2，u >1.F ′(u )＝1u －12，令F ′(u )＝0，得u ＝2.当1<u <2时，F ′(u )>0；当u >2时．F ′(u )<0，故对u >1，F (u )≤F (2)<0，因此ln u <u2成立．综上，当t >e 2时，有25<ln g （t ）ln t <12.。

2013年天津市高考数学试卷(理科)

2013年天津市高考数学试卷（理科）一．选择题：每题分，共分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（分）已知集合 ∈ ≤ ， ∈ ≤ ，则 ∩ （）．（﹣∞，．，． ﹣ ，． ﹣ ，．（分）设变量，满足约束条件，则目标函数 ﹣ 的最小值为（）．﹣ ．﹣ ．．．（分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为，则输出的值为（）．．．．．（分）已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线与圆相切．其中真命题的序号是（）．①②③ ．①② ．①③ ．②③．（分）已知双曲线﹣ （＞，＞）的两条渐近线与抛物线（＞）的准线分别交于、、三点，为坐标原点．若双曲线的离心率为，△ 的面积为，则（）．．．．．（分）在△ 中，∠ ，，，则 ∠ （）．．．．﹣ 的零点个数为（）．（分）函数（）．．．．．（分）已知函数（）（）．设关于的不等式（）＜（）的解集为，若，则实数的取值范围是（）．．．．二．填空题：本大题共小题，每小题分，共分．（分）已知， ∈ ，是虚数单位．若（）（），则．．（分）的二项展开式中的常数项为．．（分）已知圆的极坐标方程为，圆心为，点的极坐标为，则．．（分）在平行四边形中，，∠ ，为的中点．若，则的长为．．（分）如图，△ 为圆的内接三角形，为圆的弦，且 ∥ ．过点做圆的切线与的延长线交于点，与交于点．若，，，则线段的长为．．（分）设，＞，则当时，取得最小值．三．解答题：本大题共小题，共分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（分）已知函数（） ﹣ （） ﹣ ， ∈ ．（）求（）的最小正周期；（）求（）在区间上的最大值和最小值．．（分）一个盒子里装有张卡片，其中有红色卡片张，编号分别为，，，；白色卡片张，编号分别为，，．从盒子中任取张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．（）求取出的张卡片中，含有编号为的卡片的概率．（）在取出的张卡片中，红色卡片编号的最大值设为，求随机变量的分布列和数学期望．．（分）如图，四棱柱 ﹣ 中，侧棱 ⊥底面， ∥ ， ⊥ ，，，为棱的中点．（）证明 ⊥ ；（）求二面角 ﹣ ﹣ 的正弦值．（）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．．（分）设椭圆（＞＞）的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（）求椭圆的方程；（）设，分别为椭圆的左，右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点．若，求的值．．（分）已知首项为的等比数列不是递减数列，其前项和为（ ∈ ），且，，成等差数列．（）求数列的通项公式；（）设﹣（ ∈ ），求数列的最大项的值与最小项的值．．（分）已知函数（）．（）求函数（）的单调区间；（）证明：对任意的＞，存在唯一的，使（）．（）设（）中所确定的关于的函数为（），证明：当＞时，有．年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：每题分，共分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（分）（天津）已知集合 ∈ ≤ ， ∈ ≤ ，则 ∩ （）．（﹣∞，．，． ﹣ ，． ﹣ ，【分析】先化简集合，解绝对值不等式可求出集合，然后根据交集的定义求出 ∩ 即可．【解答】解：∵ ≤ ﹣ ≤ ≤∴ ∩ ﹣ ≤ ≤ ∩ ≤ ， ∈ ﹣ ≤ ≤故选．．（分）（天津）设变量，满足约束条件，则目标函数 ﹣ 的最小值为（）．﹣ ．﹣ ．．【分析】先根据条件画出可行域，设 ﹣ ，再利用几何意义求最值，将最小值转化为轴上的截距最小，只需求出直线 ﹣ ，过可行域内的点（，）时的最小值，从而得到最小值即可．【解答】解：设变量、满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，平移直线 ﹣ 经过点（，）时， ﹣ 最小，最小值为：﹣ ，则目标函数 ﹣ 的最小值为﹣ ．故选．．（分）（天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为，则输出的值为（）．．．．【分析】结合流程图写出前几次循环的结果，经过每一次循环判断是否满足判断框中的条件，直到满足条件输出，结束循环，得到所求．【解答】解：经过第一次循环得到，不满足 ≥ ，，执行第二次循环得到，不满足 ≥ ，，执行第三次循环得到，满足判断框的条件，退出循环，执行是，输出．故选．．（分）（天津）已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线与圆相切．其中真命题的序号是（）．①②③ ．①② ．①③ ．②③【分析】对于①由球的体积公式可知①正确；对于②通过举反例，如，，和，，；这两组数据的平均数相等，它们的标准差不相等，故②错；对于③利用圆的圆心到直线的距离与圆的半径之间的关系进行判断即可．【解答】解：①由球的体积公式可知，若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；故①正确；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差不一定相等，如，，和，，；这两组数据的平均数相等，它们的标准差不相等，故②错；③圆的圆心到直线的距离半径，故直线与圆相切，③正确．故选．．（分）（天津）已知双曲线﹣ （＞，＞）的两条渐近线与抛物线（＞）的准线分别交于、、三点，为坐标原点．若双曲线的离心率为，△ 的面积为，则（）．．．．【分析】求出双曲线的渐近线方程与抛物线（＞）的准线方程，进而求出，两点的坐标，再由双曲线的离心率为，△ 的面积为，列出方程，由此方程求出的值．【解答】解：∵双曲线，∴双曲线的渐近线方程是 ±又抛物线（＞）的准线方程是 ﹣，故，两点的纵坐标分别是 ±，双曲线的离心率为，所以，∴则，，两点的纵坐标分别是 ± ，又，△ 的面积为，轴是角的角平分线∴，得．故选．．（分）（天津）在△ 中，∠ ，，，则 ∠ （）．．．．【分析】由，及 ∠ 的值，利用余弦定理求出的长，再由正弦定理即可求出 ∠ 的值．【解答】解：∵∠ ，，，∴由余弦定理得： ﹣ ∠ ﹣ ，∴ ，则由正弦定理得： ∠ ．故选．（分）（天津）函数（）﹣ 的零点个数为（）．．．．【分析】通过令（），将方程的解转化为函数图象的交点问题，从而判断函数的零点个数．﹣ ，令（），【解答】解：函数（），如图，在同一坐标系中作出（）．与由图可得零点的个数为．故选．．（分）（天津）已知函数（）（）．设关于的不等式（）＜（）的解集为，若，则实数的取值范围是（）．．．．【分析】排除法：取 ﹣，由（）＜（），得（ ﹣） ﹣ ＞，分＜， ≤ ≤，＞讨论，可得，检验是否符合题意，可排除、；取，由（）＜（），得（）＞，分＜﹣ ，﹣ ≤ ≤ ，＞进行讨论，检验是否符合题意，排除．【解答】解：取 ﹣时，（） ﹣ ，∵ （）＜（），∴（ ﹣） ﹣ ＞，（）＜时，解得﹣＜＜；（） ≤ ≤时，解得；（）＞时，解得，综上知， ﹣时，（﹣，），符合题意，排除、；取时，（），∵ （）＜（），∴（）＜，（）＜﹣ 时，解得＞，矛盾；（）﹣ ≤ ≤ ，解得＜，矛盾；（）＞时，解得＜﹣ ，矛盾；综上，， ∅，不合题意，排除，故选．二．填空题：本大题共小题，每小题分，共分．（分）（天津）已知， ∈ ，是虚数单位．若（）（），则．【分析】利用复数的乘法展开等式的左边，通过复数的相等，求出，的值即可得到结果．【解答】解：因为（）（），所以 ﹣ （），所以，解得，，所以．故答案为：．．（分）（天津）的二项展开式中的常数项为．（﹣ ）中的【分析】利用二项展开式的通项公式幂指数为即可求得答案．【解答】解；设的二项展开式中的通项为，则（﹣ ），由 ﹣ 得：． ∴的二项展开式中的常数项为（﹣ ）．故答案为：．．（分）（天津）已知圆的极坐标方程为，圆心为，点的极坐标为，则．【分析】求出圆的直角坐标方程，求出圆的圆心坐标，化的极坐标为直角坐标，利用两点间距离公式求出距离即可．【解答】解：圆的极坐标方程为，圆的方程为：，圆心为（，），点的极坐标为，所以的直角坐标（，），所以．故答案为：．．（分）（天津）在平行四边形中，，∠ ，为的中点．若，则的长为．【分析】利用向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积得运算即可得出．【解答】解：∵，． ∴﹣，化为，∵，∴．故答案为．．（分）（天津）如图，△ 为圆的内接三角形，为圆的弦，且 ∥ ．过点做圆的切线与的延长线交于点，与交于点．若，，，则线段的长为．【分析】利用切割线定理求出，证明四边形是平行四边形，通过三角形相似求出即可．【解答】解：如图由切角弦定理得∠ ∠ ，又因为，，所以∠ ∠ ，所以直线 ∥直线，又因为 ∥ ，所以是平行四边形．因为，，，∴ ，．△ ∽△ ，即：，，故答案为：．．（分）（天津）设，＞，则当 ﹣ 时，取得最小值．【分析】由于，＞，从而，（＜），设（），（＜），画出此函数的图象，结合导数研究其单调性，即可得出答案．【解答】解：∵ ，＞，∴ ，（＜）设（），（＜），画出此函数的图象，如图所示．利用导数研究其单调性得，当＜时，（） ﹣ ，（），当＜﹣ 时，（）＜，当﹣ ＜＜时，（）＞，故函数在（﹣∞，﹣ ）上是减函数，在（﹣ ，）上是增函数，∴当 ﹣ 时，取得最小值．同样地，当＜＜时，得到当时，取得最小值．综合，则当 ﹣ 时，取得最小值．故答案为：﹣ ．三．解答题：本大题共小题，共分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（分）（天津）已知函数（） ﹣ （） ﹣ ， ∈ ．（）求（）的最小正周期；（）求（）在区间上的最大值和最小值．【分析】（）利用两角和的正弦公式将（）展开，结合二倍角的正余弦公式化简合并，得（） ﹣ ，再利用辅助角公式化简得（）（ ﹣），最后利用正弦函数的周期公式即可算出（）的最小正周期；（）根据 ∈，得﹣≤ ﹣≤．再由正弦函数在区间 ﹣，上的图象与性质，可得（）在区间上的最大值为与最小值．【解答】解：（）∵ ，（）∴ （） ﹣ （） ﹣ ﹣ ﹣﹣（）﹣ （ ﹣）因此，（）的最小正周期；（）∵ ≤ ≤，∴﹣≤ ﹣≤∴当时，（ ﹣）取得最小值﹣；当时，（ ﹣）取得最大值由此可得，（）在区间上的最大值为（）；最小值为（） ﹣ ．．（分）（天津）一个盒子里装有张卡片，其中有红色卡片张，编号分别为，，，；白色卡片张，编号分别为，，．从盒子中任取张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．（）求取出的张卡片中，含有编号为的卡片的概率．（）在取出的张卡片中，红色卡片编号的最大值设为，求随机变量的分布列和数学期望．【分析】（）从张卡片中取出张的所有可能结果数有，然后求出取出的张卡片中，含有编号为的卡片的结果数，代入古典概率的求解公式即可求解（）先判断随机变量的所有可能取值为，，，，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值【解答】解：（）设取出的张卡片中，含有编号为的卡片为事件，则（）所以，取出的张卡片中，含有编号为的卡片的概率为（）随机变量的所有可能取值为，，，（）（）（）（）的分布列为．（分）（天津）如图，四棱柱 ﹣ 中，侧棱 ⊥底面， ∥ ， ⊥ ，，，为棱的中点．（）证明 ⊥ ；（）求二面角 ﹣ ﹣ 的正弦值．（）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．【分析】（）由题意可知，，，两两互相垂直，以为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出和，由得到⊥ ；（）求出平面和平面的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，利用同角三角函数基本关系求出其正弦值，则二面角 ﹣ ﹣ 的正弦值可求；（）利用共线向量基本定理把的坐标用和的坐标及待求系数表示，求出平面的一个法向量，利用向量求线面角的公式求出直线与平面所成角的正弦值，代入求出的值，则线段的长可求．【解答】（）证明：以点为原点建立空间直角坐标系，如图，依题意得（，，），（，，），（，，），（，，），（，，），（，，）．则，而．所以 ⊥ ；（）解：，设平面的法向量为，则，即，取，得 ﹣ ， ﹣ ．所以．由（）知 ⊥ ，又 ⊥ ，所以 ⊥平面，故为平面的一个法向量，于是．从而．所以二面角 ﹣ ﹣ 的正弦值为．（）解：，设 ≤ ≤ ，有．取为平面的一个法向量，设为直线与平面所成的角，则．于是．解得．所以．所以线段的长为．．（分）（天津）设椭圆（＞＞）的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（）求椭圆的方程；（）设，分别为椭圆的左，右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点．若，求的值．【分析】（）先根据椭圆方程的一般形式，令代入求出弦长使其等于，再由离心率为，可求出，，的关系，进而得到椭圆的方程．（）直线：（），设（，），（，），由消去得，（） ﹣ ，再由韦达定理进行求解．求得，利用，即可求得的值．【解答】解：（）根据椭圆方程为．∵过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为，∴当 ﹣ 时，，得 ±，∴ ，∵离心率为，∴ ，解得，，．∴椭圆的方程为；（）直线：（），设（，），（，），由消去得，（） ﹣ ，∴ ﹣，，又（﹣，），（，），∴（，）（﹣ ．﹣ ）（，）（﹣ ．﹣），﹣（） ﹣ （）﹣ ，，解得．．（分）（天津）已知首项为的等比数列不是递减数列，其前项和为（ ∈ ），且，，成等差数列．（）求数列的通项公式；（）设 ﹣（ ∈ ），求数列的最大项的值与最小项的值．【分析】（）设等比数列的公比为，由，，成等差数列，可构造关于的方程，结合首项为的等比数列不是递减数列，求出值，可得答案．（）由（）可得的表达式，由于数列为摆动数列，故可分类讨论求出在为奇数和偶数时的范围，综合讨论结果，可得答案．【解答】解：（）设等比数列的公比为，∵，，成等差数列．∴﹣（）﹣（）即，故又∵数列不是递减数列，且等比数列的首项为∴ ﹣∴数列的通项公式×（﹣） ﹣ （﹣ ） ﹣（）由（）得﹣（﹣）当为奇数时，随的增大而减小，所以＜≤故＜≤ ﹣当为偶数时，随的增大而增大，所以＞≥故＞≥ ﹣综上，对于 ∈ ，总有≤≤故数列的最大项的值为，最小项的值为．（分）（天津）已知函数（）．（）求函数（）的单调区间；（）证明：对任意的＞，存在唯一的，使（）．（）设（）中所确定的关于的函数为（），证明：当＞时，有．【分析】（）函数的定义域为（， ∞），求导数令（），可解得，由导数在（，），和（， ∞）的正负可得单调性；（）当＜ ≤ 时，（）≤ ，设＞，令（）（）﹣ ， ∈ ， ∞），由（）可得函数（）的单调性，可得结论；（）令，原命题转化为＜＜，一方面由（）的单调性，可得＞，从而＞成立，另一方面，令（） ﹣，＞，通过函数的单调性可得极值最值，进而得证．【解答】解：（）由题意可知函数的定义域为（， ∞），求导数可得（）（），令（），可解得，当变化时，（），（）的变化情况如下表：（，）（， ∞）（）﹣（）单调递减极小值单调递增所以函数（）的单调递减区间为（，），单调递增区间为（， ∞）（）证明：当＜ ≤ 时，（）≤ ，设＞，令（）（）﹣ ， ∈ ， ∞），由（）可知，（）在区间（， ∞）单调递增，（） ﹣ ＜，（） ﹣ （ ﹣ ）＞，故存在唯一的 ∈（， ∞），使得（）成立；（）证明：因为（），由（）知，（），且＞，从而，其中，要使成立，只需，即＜，即＜，只需，变形可得只需＜＜，当＞时，若（）≤ ，则由（）的单调性，有（）≤ （），矛盾，所以＞，即＞，从而＞成立，另一方面，令（） ﹣，＞，（），令（），可解得，当＜＜时，（）＞，当＞时，（）＜，故函数（）在处取到极大值，也是最大值（） ﹣ ＜，故有（） ﹣＜，即＜，综上可证：当＞时，有成立．。

2013年高考理科数学天津卷(含详细答案)

)(A B P A=棱柱的体积公式S表示棱柱的底面面积A B=]2,2C.1D.2x的值为1,()B.73D.585()B.①②D.②③22(0)px py=>的准线分别2,AOB△则p=()C.2D.33,则sin BAC∠=C DC.3D.4的不等式()()f x a f x+<的解集为A.若11,22A⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦,则实数a的取值范围是()A.B.C.13(0,+D.(-∞第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题,共110分.二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.已知a,b∈R,i是虚数单位.若(i)(1i)ia b++=,则ia b+=.10.6(x-的二项展开式中的常数项为.11.已知圆的极坐标方程为4cosρθ=,圆心为C,点P的极坐标为π(4,)3,||CP=.12.在平行四边形ABCD中,1AD=,60BAD︒∠=,E为CD的中点.若1AC BE=,则AB的长为.13.如图,ABC△为圆的内接三角形,BD为圆的弦,且BD AC∥.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E,AD与BC交于点F.若AB AC=,6AE=,5BD=,则线段CF的长为.14.设2a b+=,0b>,则当a=时,1||2||aa b+取得最小值.三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.,过点F 且与x 轴垂直的直（Ⅱ）设A 、B 分别为椭圆的左、k 的直线与椭圆交于C ,D 两若8AC DB AD CB +=,求k n 项和为(*)n S n ∈N ,且33S a +,.20.（本小题满分14分）已知函数2l ()n f x x x =. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：对任意的0t >,存在唯一的s ,使()t f s =；（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =,证明：当2e t >时,有2ln ()15ln 2g t t <<.2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】D【解析】由已知得{22}A x x =∈-≤≤R ，于是{21}AB x x =∈-≤≤R【提示】先化简集合A ，解绝对值不等式可求出集合A ，然后根据交集的定义求出A B 即可.【考点】集合的基本运算 2.【答案】A【解析】作出可行域，平移直线2y x =，当直线过可行域内的点(5,3)A 时，Z 有最小值，min 3257Z =-⨯=-.【提示】先根据条件作出可行域，通过平移目标函数，求可行域的最值. 【考点】二元线性规划求目标函数的最值 3.【答案】B【解析】10150295047350x S S S x S S x S ===<⇒==<⇒==>，，，，，，，跳出循环，输出73S =. 【提示】直接执行程序框图中的语句求值. 【考点】循环结构的程序框图 4.【答案】C【解析】命题①，设球的半径为R ，则33414ππ3283R R ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故体积缩小到原来的18，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1，3，5和3，3，3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；数学试卷第10页（共39页）对于命题③，圆2212x y +=的圆心(0,0)到直线10x y ++=的距离1222d ==，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确.【提示】对于①由球的体积公式可知命题正确；对于②通过举反例，如1，3，5和3，3，3的平均数相同，但标准差不同，故命题错误；对于③利用圆2212x y +=的圆心到直线10x y ++=的距离与圆的半径之间的关系进行判断即可.【考点】球的体积，标准差，直线与圆的位置关系 5.【答案】C【解析】由已知得2c a =，所以2224a b a +=，解得3b a=，即渐近线方程为3y x =±.而抛物线的方程为2p x =-，于是3,22p p A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，3,22p p B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，从而AOB △的面积为13=322pp，可得2p =. 【提示】求出双曲线的渐进方程和抛物线的准线方程，进而求出A ，B 两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，AOB △的面积为3，可求p 的值.【考点】三角形面积，双曲线与抛物线的简单几何性质 6.【答案】C【解析】由余弦定理可得2222cos 2922352AC BA BC BA BC ABC =+-∠=+-⨯⨯⨯=，于是由正弦定理可得sin sin BC AC BAC ABC=∠∠，于是233102sin 105BAC ⨯∠==. 【提示】由已知条件，利用余弦定理求出AC 的长，再由正弦定理即可求出sin BAC ∠的值. 【考点】正弦定理，余弦定理 7.【答案】B【解析】令0.5()2|log |10xf x x =-=，可得0.51|log |2x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.设0.5()|log |g x x =，1()2xh x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在同一坐标系下分别画出函数()g x ，()h x 的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数()f x 有2个零点.【提示】函数的零点转化为两个函数图像的交点个数，作出函数的图象即可判断. 【考点】函数的图象，函数零点的判断 8.【答案】A 【解析】11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦，()(0)f a f ∴<，(1||)0a a a ∴+<，解得10a -<<，可排除C ，又1122f a f ⎛⎫⎛⎫-+<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111112222a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-++-+<-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，115224a a a a ⎛⎫∴-+-+<- ⎪⎝⎭10a -<<，115224a a ⎛⎫∴-+-+>- ⎪⎝⎭21524a ⎛⎫∴--+>- ⎪⎝⎭，21524a ⎛⎫∴-+< ⎪⎝⎭，1502a -∴<<.排除B ，D ，应选A .【提示】由题目可知11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦，将0x =带入()()f x a f x +<可得()(0)f a f <，解得10a -<<；将12x =-代入()()f x a f x +<解得1502a -<<.【考点】解含参的一元二次不等式第Ⅱ卷二、填空题 9.【答案】12i +【解析】由(i)(1i)i a b ++=可得(1)(1)i i a a b -++=，因此10a -=，1a b +=，解得1a =，2b =，故i 12i a b +=+【提示】利用复数的乘法展开等式的左边，通过复数的相等，求出a ，b 的值即可得到结果. 【考点】复数代数形式的四则运算 10.【答案】15【解析】61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开通项为36621661(1)(1)rr r r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令3602r -=，解得4r =，故数学试卷第16页（共39页）常数项为446(1)15C -=. 【提示】利用二项式展开式的通项公式36216(1)r rr r T C x-+=-中x 的幂指数为0即可求得答案.【考点】二项式定理 11.【答案】23【解析】由4cos ρθ=可得224x y x +=，即22(2)4x y -+=，因此圆心C 的直角坐标为(2,0)，又点P 的直角坐标为(2,23)，因此||23CP =.【提示】求出圆的直角坐标方程，求出圆心坐标，化P 的极坐标为直角坐标，利用两点间的距离公式求出距离即可.【考点】坐标系与参数方程，两点间的距离公式12.【答案】12【解析】用AB ，AD 表示AC 与BE ，然后进行向量的数量积运算. 由已知得AC AD AB =+，12BE BC CE AD AB =+=-， ∴221122AC BE AD AB AD AB AD AB =-+-2211111||1||||cos60||12222AB AD AB AB AD AB ︒=+-=+-=，∴12AB =.【提示】已知平行四边形及部分条件，用向量表示，利用向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积的运算即可得出.【考点】向量的线性运算，平面向量的数量积运算13.【答案】83【解析】因为AB AC =，所以ABC C ∠=∠，因为AE 与圆相切，所以EAB C ∠=∠，所以ABC EAB ∠=∠，所以AE BC ∥.又因为AC DE ∥，所以四边形AEBC 是平行四边形，由切割线定理可得2AE EB ED =，于是26(5)EB EB =+，所以4EB =（负值舍去），因此4AC =，6BC =.又因为AFC DFB △∽△，所以456CF CF =-，解得83CF =. 【提示】证明四边形AEBC 是平行四边形，利用圆的切割线定理求出EB ，通过三角形相似求出CF 即可. 【考点】圆的切割线定理，三角形相似 14.【答案】2-【解析】由于2a b +=，所以1||||||2||4||4||4||a a b a a b a a b a b a a b++=+=++，由于0b >，||0a >，所以||||214||4||b a b a a b a b +≥=，因此当0a >时，1||2||a a b +的最小值是15144+=；当0a <时1||2||a a b +的最小值是13144-+=，故1||2||a a b +的最小值为34，此时||4||0ba ab a ⎧=⎪⎨⎪<⎩，即2a =-. 【提示】由于2a b +=，从而1||||||2||4||4||4||a a b a a b a a b a b a a b++=+=++，由于0b >，||0a >，所以||||214||4||b a b a a b a b+≥=，由1||2||a a b +的最小值求a 的值. 【考点】基本不等式求最值三、解答题 15.【答案】（Ⅰ）2ππ2T == （Ⅱ）()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为22，最小值为2-【解析】（Ⅰ）ππ()2sin 2cos2cos2sin 3sin 2cos244f x x x x x =--+-， π2sin 22cos222sin 24x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故()f x 的最小正周期2ππ2T ==；（Ⅱ）因为()f x 在区间3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间3ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，并且(0)2f =-，3π228f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为22，最小值为2-.数学试卷第22页（共39页）【提示】（Ⅰ）利用两角和的正弦公式将πsin 24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开，结合二倍角的正余弦公式化简合并，得()2sin 22cos2f x x x =-，再利用辅助角公式化简得π()22sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最后利用正弦函数的周期公式即可算出()f x 的最小正周期；（Ⅱ）由()f x 在区间3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间3ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，可得()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【考点】三角函数的周期性和最值 16.【答案】（Ⅰ）67（Ⅱ）175EX =【解析】（Ⅰ）记“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则13222525476()7C C C C P A C +==，故所求概率为67；（Ⅱ）X 的所有可能取值为1，2，3，4.33471(1)35C P X C ===，34474(2)35C P X C ===，35472(3)7C P X C ===，36474(4)7C P X C ===，故X 的分布列如下表是： X 1 2 3 4 P1354352747其期望14241712343535775EX =⨯+⨯+⨯+⨯= 【提示】（Ⅰ）从7张卡片中取出4张的所有可能结果数有47C ，然后求出取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的结果数，代入古典概率的求解公式即可求解；（Ⅱ）先判断随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列和期望值.【考点】古典概型，离散型随机变量的分布列和期望17.【答案】如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，由题意得(0,0,0)A ，(0,0,2)B ，(1,0,1)C ，1(0,2,2)B ，1(1,2,1)C，(0,1,0)E.（Ⅰ）易得11(1,0,1)B C=-，(1,1,1)CE=--，故11B C CE=，因此11B C CE⊥；（Ⅱ）1(1,2,1)B C=--，设(,,)n x y z=是平面1B CE的法向量，则1n B Cn CE⎧=⎪⎨=⎪⎩，得20x y zx y z--=⎧⎨-+-=⎩，取1z=可得平面1B CE的一个法向量()3,2,1n=--；由（Ⅰ）11B C CE⊥，又111B C CC⊥，故11B C⊥平面1CEC，知11(1,0,1)B C=-为平面1CEC的一个法向量.故111111427cos,7142|n B Cn B Cn B C-<>===-⨯|，知1121sin,7n B C<>=，所以所求二面角的正弦值为217；（Ⅲ）(0,1,0)AE=，1(1,1,1)EC=，设1(,,)(01)EM ECλλλλλ==≤≤，则(,1,)AM AE EMλλλ=+=+.取(0,0,2)AB=为平面11ADD A的一个法向量，设θ为AM与平面11ADD A所成的角，则2||sin|cos,|||||321AM ABAM ABAM ABλθλλ=<>==++.于是226321λλλ=++，解得13λ=（负值舍去），所以2AM=.【提示】（Ⅰ）由题意可知，AD，AB，AA1两两互相垂直，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出11B C和CE，由11B C CE=得到11B C CE⊥；（Ⅱ）求出平面1B CE和平面1CEC的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，利用同角三角函数基数学试卷第28页（共39页）本关系求出其正弦值，则二面角的正弦值可求；（Ⅲ）利用共线向量基本定理把M 的坐标用E 和C 1的坐标及待求系数表示，求出平面11ADD A 的一个法向量，利用向量求线面角的公式求出直线AM 与平面11ADD A 所成角的正弦值，代入求出λ的值，则线段AM 的长可求.【考点】两条直线的位置关系，二面角，线面角，空间向量的应用18.【答案】（Ⅰ）22=132x y + （Ⅱ）2k =±【解析】（Ⅰ）设(,0)F c -，用33c a =，知3a c =. 过点F 且与x 轴垂直的直线为x c =-，代入椭圆的方程有2222()1c y a b-+=，解得63y b =±，于是264333b =，解得2b =. 又222a cb -=，从而3a =，1c =，所以椭圆的方程为22=132x y +. （Ⅱ）设点11(,)C x y ，22(,)D x y ，由(1,0)F -得直线CD 的方程为(1)y k x =+，由方程组221132y k x x y =(+)⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得2222(23)6360k x k x k +++-=，求解可得12x x +22623k k =-+，12x x =223623k k-+. 因为(3,0)A -，(3,0)B ，所以AC DB AD CB +11222211(3,)(3,)(3,)(3,)x y x y x y x y =+--++--1212622x x y y =--21212622(1)(1)x x k x x =--++22212126(22)2()2k x x k x x k =-+-+- 22212623k k +=++.11 / 13由已知得222126823k k ++=+，解得2k =±. 【提示】（Ⅰ）由离心率为33，可求出a ，b ，c 的关系，根据椭圆的一般方程，令x c =-代入求出弦长等于433，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设点11(,)C x y ，22(,)D x y ，直线CD 的方程为(1)y k x =+，由221132y k x x y =(+)⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得 2222(23)6360k x k x k +++-=，再由韦达定理进行求解，求得AC DB AD CB +，利用8AC DB AD CB +=，即可求得k 的值.【考点】椭圆的定义与简单几何性质，直线与椭圆的位置关系19.【答案】（Ⅰ）13(1)2n n n a -=- （Ⅱ）{}n T 的最大项为56，最小项为712- 【解析】（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，因为33S a +，55S a +，44S a +成等差数列.所以55334455S a S a S a S a +--=+--，即534a a =，故25314a q a ==. 又{}n a 不是递减数列，且132a =，故12q =-，故等比数列{n a }的通项公式为11313(1)222n n n n a --⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭，（Ⅱ）由（Ⅰ）得12()11212()n n n n n S n --⎧+⎪⎛⎫=--=⎨ ⎪-⎝⎭⎪⎩为奇数为偶数，当n 为奇数时，n S 随n 的增大而减小，故1312n S S <≤=，故1111506n n S S S S <-≤-=；当n 为偶数时，n S 随n 的增大而增大，故2314n S S =≤<，故22117012n n S S S S >-≥-=-. 综上，{}n T 的最大项为56，最小项为712-. 【提示】（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由33S a +，55S a +，44S a +成等差数列，可构造关于q 的方程，结合首项为32等比数列{n a }不是递减数列，求出q 值；数学试卷第34页（共39页）数学试卷第35页（共39页）数学试卷第36页（共39页）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得n S 的表达式，由于数列为摆动数列，故可分类讨论求出1n nS S -在n 为奇数和偶数时的范围，综合讨论结果，可得答案.【考点】等比数列的通项及性质，前n 项和 20.【答案】（Ⅰ）由题得()2ln (2ln 1)(0)f x x x x x x x '=+=+>，令()0f x '=得1ex =，当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表所示. x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1e1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ ()f x ' - 0+ ()f x极小值因此，函数的单调递减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）证明：当01x <≤时，()0f x ≤，设0t >，令()()(1)h x f x t x =-≥，由（Ⅰ）知，()h x 在区间(1,)+∞单调递增，(1)0h t =-<，22(e )e lne (e 1)0t t t t h t t =-=->，故存在唯一的(1,)s ∈+∞，使得()t f s =成立；（Ⅲ）证明：因为()s g t =，由（Ⅱ）知()t f s =，且1s >，从而2ln ()ln ln ln ln ln ()ln(ln )2ln ln(ln )2ln g t s s s u t f s s s s s u u====++，其中ln u s =，要使2ln ()15ln 2g t t <<成立，只需0ln 2u u <<. 当2e t >时，若()e s g t =≤，则由()f s 的单调性，有2()(e)e t f s f =≤=，矛盾.故e s >，即1u >，从而ln 0u >成立.另一方面，令()ln (1)2u F u u u =->，则11()2F u u '=-，令()0F u '=，得2u =，当12u <<时，()0F u '>；当2u >时，()0F u '<，故对1u >，()(2)0F u F ≤<，因此ln 2u u <成立.13 / 13综上，当2e t >时，有2ln ()15ln 2g t t <<. 【提示】（Ⅰ）求导可得()2ln (2ln 1)(0)f x x x x x x x '=+=+>，令()0f x '=得1e x =，由导数在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭的正负可得单调性；（Ⅱ）当01x <≤时，()0f x ≤，设0t >，令()()(1)h x f x t x =-≥，由（Ⅰ）知，()h x 的单调性，可得结论；（Ⅲ）令ln u s =，原题转化为0ln 2u u <<，一方面由()f s 的单调性可得1u >，从而ln 0u >成立；另一方面，令()ln (1)2u F u u u =->，通过函数的单调性可得极值最值，进而得证. 【考点】利用导数求函数的单调区间，函数的零点的应用，不等式的证明。

2013年天津市高考数学试卷(理科)及答案(Word版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时，考生务必将答案凃写在答题卡上，答在试卷上的无效. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥，那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立，那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径。

一．选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1）已知集合A = {x ∈R | |x ｜≤2｝， A = ｛x ∈R | x ≤1}，则A B ⋂=(A) (,2]-∞ （B) [1,2］（C ）［－2,2] （D) ［－2,1］（2）设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z= y －2x 的最小值为（A ）－7 （B ）－4（C ） 1 （D) 2（3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 （B) 73(C ） 512 （D) 585（4）已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是：(A) ①②③ （B ） ①②(C) ②③ （D) ②③(5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点， O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2， △AOB 的面积为3, 则p =（A ） 1 (B) 32 （C) 2(D ） 3 （6）在△ABC 中， ,2,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ = (A) 1010 (B ） 105 (C ） 31010 （D ） 55(7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为（A ） 1 （B ） 2 (C) 3 （D) 4（8) 已知函数()(1||)f x x a x =+。

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2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y－2x 的最小值为(A) －7(B) －4 (C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①② (C) ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为3, 则p =(A) 1 (B) 32 (C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中, ,2,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ = (A) 10 (B) 10 (C) 310 (D) 5 (7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) 15,0⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 13,0⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭(C) 15,0130,⎛⎫+⋃⎛ ⎪ ⎪⎝⎫- ⎪ ⎝⎭⎪⎭ (D) 5,1⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭∞⎪ 2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = .(10) 6x x ⎛- ⎪⎝⎭ 的二项展开式中的常数项为 . (11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | = . (12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =u u u r u u u r , 则AB 的长为 .(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC ,AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分)已知函数2()2sin 26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭∈R . (Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为2, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分) 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , 离心率为3, 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为43. (Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=u u u r u u u r u u u r u u u r , 求k 的值.(19) (本小题满分14分)已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分)已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.- 11 - 2013高考真题。

2013年天津市高考数学试卷(理科)及答案(Word版)

2013年天津市高考数学试卷(理科)及答案(Word版)2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2.本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A, B 互斥, 那么)()()(B P AP A P B⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件A , B 相互独立, 那么 )()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x∈R| |x|≤2}, A = {x∈R| x≤1},则A B⋂=(A) (,2]-∞(B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1](2) 设变量x, y满足约束条件360,20,30,x yyx y≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y－2x的最小值为(A) －7 (B) －4(C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x的值为1, 则输出S的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18;②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切.其中真命题的序号是: (A) ①②③(B) ①②(C) ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y=>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积3则p = (A) 1 (B) 32(C) 2(D) 3 (6) 在△ABC 中, ,2,3,4AB BC ABC π∠==则sin BAC ∠ =10 103105 (7) 函数0.5()2|log |1xf x x =-的零点个数为(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是 (A) 15⎫-⎪⎪⎝⎭(B) 13⎫-⎪⎪⎝⎭(C) 1513⎛+⋃ ⎝⎫-⎪⎝⎭⎪⎭(D)51⎛-- ⎝⎭∞2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 +i ) = bi , 则a + bi = .(10)6x x ⎛- ⎪⎝⎭ 的二项展开式中的常数项为 .(11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C ,点P 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭, 则|CP | = . (12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1,60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =u u u r u u u r,则AB 的长为 .(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时,1||2||a a b+取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分13分) 已知函数2()226sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R.(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1中, 侧棱A1A⊥底面ABCD,AB//DC, AB⊥AD, AD = CD =1, AA1 = AB = 2, E为棱AA1的中点.(Ⅰ) 证明B1C1⊥CE;(Ⅱ) 求二面角B1－CE－C1的正弦值.(Ⅲ) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为2, 求线段AM的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为F, 离心率为3, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为43.(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=u u u r u u u r u u u r u u u r , 求k 的值.(19) (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}na 不是递减数列, 其前n 项和为(*)nS n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}na 的通项公式;(Ⅱ) 设*()1nn nTS n S ∈=-N , 求数列{}nT 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分) 已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.。