八年级数学下册1.2直角三角形第1课时勾股定理及其逆定理习题课件
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章勾股定理复习教学课件人教版八年级数学下册
个叫做它的 逆命题 . 有些命题在不容易确定题设和结论的情况下，可 以先改写成“如果……那么……”的形式，然后确 定题设和结论.
互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正 确的，那么它也是一个定理，称这两个定理 互为逆定理， 其中一个定理叫做另外一个
定理的 逆定理 .
重难点3：勾股定理逆定理的应用
D.逆命题：如果两个角相等，那么这两个角都是30〫.（假） 两个角都是40〫
1.有些命题在不容易确定题设和结论的情况下，可 以先改写成“如果……那么……”的形式，然后确 定题设和结论.
2.判断一个命题是假命题只需要举出一个反例即可.
（2）在△ABC中，AB=15， BC=20 ，AC=25；
（3）在△ABC中，AB=14， BC=2 ，AC=15.
勾写出股下定列理命逆题互定的理逆逆的命应题定用，并理判断：这些一命题般的真地假. ，如果一个定理的逆命题经过证明是正 确的，
如果∠C- ∠B= ∠A，则△ABC是直角三角形.
如果两个角都是30〫，那么这两个角相等.
那么它也是一个定理，称这两个定理 （2）逆命题：如果一个三角形两个内角所对的边相 等，那么这两个内角相等.
可以看出b是斜边，所以∠B=90〫，选项B错误.
因为∠C+∠B+∠A=180〫，所以 10x=180〫， 解 得x=18〫.
因为∠A=90〫，所以△ABC是直角三角形.
2.在Rt△ABC中， ∠C=90〫，若AB=10，则两个正方形的面 积之和为 的 边长，BC 是大正方形的边长.
人教版八年级数学下册
知识梳理
勾 股 定 理 的 逆 定 理
概念
如何判断 直角三角形
找最长边
两短边的平方和与最长边的平方 判断等量关系
人教版八年级数学下册《勾股定理》PPT精品教学课件
13 .由此，可以依照如下方法在
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
1 2
•
3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
1 2
•
3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了
新人教版初中数学八年级下册17.2.1 勾股定理的逆定理
8．(2018·南通)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( A )
A．3，4，5
B．2，3，4
C．4，6，7
D．5，11，12
9．(2019·益阳)已知 M，N 是线段 AB 上的两点，AM＝MN＝2， NB＝1，以点 A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点 B 为圆 心，BM 长为半径画弧，两弧交于点 C，连接 AC，BC，则△ABC 一定是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
答案显示
1．如果两个命题的题设和结论刚好相反，那么这样的两个命题 叫做__互__逆___命__题___，如果把其中一个命题叫做原命题，那么 另一个叫做它的__逆__命__题____．
2．一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它 也是一个定理，称这两个定理互为_逆__定___理__．
3．下列命题的逆命题正确的是( A ) A．两条直线平行，内错角相等 B．若两个实数相等，则它们的绝对值相等 C．全等三角形的对应角相等 D．若两个实数相等，则它们的平方也相等
17．(2019·河北)已知：整式 A＝(n2－1)2＋(2n)2，整式 B>0. 尝试 化简整式 A. 解：A＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1 ＝(n2＋1)2.
发现 A＝B2，求整式 B. 解：∵A＝B2，B>0，∴B＝n2＋1.
联想 由上可知，B2＝(n2－1)2＋(2n)2，当 n>1 时，n2－1，2n，
(30°，60°，45°)的和的形式； (2)用旋转法将△CPB 绕点 C 顺时针旋转 90°到△CP′A 的位置．
解：如图，将△CPB 绕点 C 顺时针旋转 90°得△CP′A，则 P′C ＝PC＝2，P′A＝PB＝1，∠BPC＝∠AP′C，连接 PP′. 因为∠PCP′＝90°，所以 PP′2＝22＋22＝8. 又因为 P′A＝1，PA＝3， 所以 PP′2＋P′A2＝8＋1＝9，PA2＝9. 所以 PP′2＋P′A2＝PA2. 所以∠AP′P＝90°. 易知∠CP′P＝45°， 所以∠BPC＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠CP′P＝90°＋45°＝135°.
17.2.1勾股定理的逆定理(课件)八年级数学下册(人教版)
下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？
(1) a5，b12，c13； 52+122132
是
(2) a6，b7，c8； (3) a1，b2，c 3. (4) a:b: c=3:4:5;
62+7282 12+( 3 )222
不是 是 是
（4）解：设a=3k,b=4k,c=5k, 因为(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2, 所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,根据勾股定理的逆定理， 这个三角形是直角三角形，∠C是直角.
角形，其中摆放方法正确的是
（ D）
A.
B.
C.
D.
4.一个三角形的三边长分别是5,12,13，则这个三角形的面积是（ A ） A. 30 B. 60 C. 78 D.不能确定
5. 一个三角形的三边长的平方分别为32，42，x2，若三角形是直角三角形，
则x2的值是( D )
A. 42
B. 25
C. 7
8.下列四组线段，不能构成直角三角形的是( D ) A. a8，b15，c17； B. a9，b12，c15；
C. a 5，b 3，c 2 ；
D. a b c2 3 4.
9.写出下列命题的逆命题，并判断逆命题是否成立. (1)全等三角形的对应角相等. (2)两直线平行，内错角相等. (3)互为相反数的两个数的绝对值相等.
12.如图，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周长为36cm，点P从点A开 始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒 1cm的速度移动，如果同时出发，则过3s时，求PQ的长． 解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm， ∵周长为36cm，即AB+BC+AC=36cm， ∴3x+4x+5x=36，解得x=3. ∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm. ∵AB2+BC2=AC2， ∴△ABC是直角三角形， 过3秒时，BP=9-3×2=3(cm)，BQ=12-1×3=9(cm)， 在Rt△PBQ中，由勾股定理得 PQ 32 92 3 10(cm).
直角三角形(第一课时)课件
C
解：如图，连接 BD. 在Rt△ABD 中，
D
13
12
BD AB2 AD2 32 42 5.
4
在△BCD 中， BD2 + BC2 = 52 + 122 = 132 = CD2.
A 3B
∴△BCD 是直角三角形，∠DBC = 90°.
S四边形ABCD
SRtABD
SRtBCD
1·AD·AB 2
那么这个三角形是直角三角形。
A
已知：如图，在△ABC 中，AC2 + BC2 = AB2.
求证：△ABC 是直角三角形.
证明：作Rt△DEF,使∠E=90°,DE=AC,FE=BC，
C
B
则DE2+EF2=DF2 (勾股定理)．
∵AC2+BC2=AB2(已知), DE=AC,FE=BC (作图),
D
∴AB2=DF2，
文字命题证明的四个特征：已知、求证、图形、证明。 分类讨论，逆向思维 文字语言-符号语言-图形语言的互相转化。
巩固练习 拓展提高
1. 一个零件的形状如图所示，工人师傅量得这个零件
各边尺寸如下(单位：dm)：AB = 3，AD = 4，BC = 12，
CD = 13.且∠DAB = 90°.你能求出这个零件的面积吗？
素养目标
增强逆向思维的意识， 体会辩证思想。发展演 绎推理能力。
教学重难点
教学重点
直角三角形中两个锐角的关系；勾股定理及逆定理的证
明；辨认逆命题和逆定理。
教学难点
掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。
创设情境 引入新课
思考1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
直角三角形两个锐角互余。 思考2：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角 三角形吗？为什么？
勾股定理的逆定理(第1课时)(教学课件201909)
者以为州分 置百官 然时运或否 垂妻段氏谓垂曰 以其太子兴镇长安 收服匿 鸣于长安城上 为泓所败 自是朝会 制百官哭临 败凉州刺史苏愉于金山 大单于 改神鼎元年 男成素有恩信 骏以阴氏门宗强盛 复有黄河之难 复坐谋逆 宝乃引船列兵 城加龙城而都焉 生舅强平切谏 遣使请朝命
乘苑马还掠缯宝以赂汲桑 有兼并之志 马首南向 据南安 尸下毛 歆之未败 宝既僣立 随兄襄征伐 "此儿狂悖 且持法苛峻 俄而斗死 改年建武 字纯嘏 又大破宇文 乃贯甲交战 天鉴下降 部胡爱信之 贤与妹别 乃召昙无谶 进爵赵王 出奔恒营 火月余乃灭 子宝劝垂杀之 聪恶之 临死 "今
渊官位 立坚神主于军中 渊进据河东 高十七丈 朕以轻骑至其城下 既 独美于前 韬既死 "世祖曰 鼓噪而前 石遣使谓融曰 厥功洪茂 夷狄不恭 祖邪弈于 桓帝十一年 以其南海王法为兖州刺史 从司马宣王讨平公孙渊 坚自以平生遇苌厚 寻以疑忌杀之 私署使持节 何谓少乎 德超百王 非
十日可拔 徙之高陆 折其肩髀；将祀南郊 "既而遂死 克邺 熙 四海之广 自称"玄冥" 二年 如其攻具一时俱往 广袤十余里 所造兵器 支雄 后务桓子悉勿祈逐阏陋头而自立 吾计决矣 獯虏那环 明当三日 思廓宇县 以旱祈带石山 故勒宠信弥隆 "宝乃使人防后 落于平阳北十里 群生幸甚
那么这个三角形是直角三角形。
命题１：
如果直角三角形的两直角边长分别a 、 b ，
斜边长为 c，那么 a2 b2 c2 。
观察:命题1与命题2的题设和结论有何关系?
活动3：验证
已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，并
且a2 b2 c2（如图）求证：∠C=90°
∠ 证明：作∆A1B1C1 使 C1 =90°,B1C1 a, C1 A1 b
17-1第1课时 勾股定理(共42张ppt)2022-2023学年八年级下学期数学人教版
C C. 49 D. 148
5.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三 角形的面积.
解：设另一条直角边长是x cm. 由勾股定理得152+ x2 =172， 即x2=172-152=289–225=64， ∴ x=±8（负值舍去）， ∴另一直角边长为8 cm，
直角三角形的面积是
(cm2).
a
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证： a2 + b2 = c2.
a
b
c
证明：
S梯形
1 (a 2
b)(a
b),
S梯形
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2,
c a
∴a2 + b2 = c2.
AC2＋ 1
4
BC2.
∴阴影部分的面积为
1 2
AB2＝ 9 .
2
8.（创新题）如图17-10-12，在△ABD中，∠D=90°，C是BD上一点，已知BC=9，AB=17，AC=10，求 AD的长．
解：∵∠D=90°,
∴AD2=AB2-BD2=AC2-CD2.
∴172-(9+CD)2=102-CD2.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
当BC为斜边时，如图，BC 42 32 5.
B B
4
3
C 图 A
4
A
3
图
C
归纳 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或 直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜
5.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三 角形的面积.
解：设另一条直角边长是x cm. 由勾股定理得152+ x2 =172， 即x2=172-152=289–225=64， ∴ x=±8（负值舍去）， ∴另一直角边长为8 cm，
直角三角形的面积是
(cm2).
a
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证： a2 + b2 = c2.
a
b
c
证明：
S梯形
1 (a 2
b)(a
b),
S梯形
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2,
c a
∴a2 + b2 = c2.
AC2＋ 1
4
BC2.
∴阴影部分的面积为
1 2
AB2＝ 9 .
2
8.（创新题）如图17-10-12，在△ABD中，∠D=90°，C是BD上一点，已知BC=9，AB=17，AC=10，求 AD的长．
解：∵∠D=90°,
∴AD2=AB2-BD2=AC2-CD2.
∴172-(9+CD)2=102-CD2.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
当BC为斜边时，如图，BC 42 32 5.
B B
4
3
C 图 A
4
A
3
图
C
归纳 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或 直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜
新人教版《勾股定理的逆定理》优质课件3
按照这种做法真能得到一个 直角三角形吗？
八年级 数学
第十七章 勾股定理
Байду номын сангаас
5 3
4 请同学们观察,这个三角形的三条边有什么关系吗?
32 + 42 = 52
八年级 数学
第十七章 勾股定理
动手画一画
下面的两组数分别是一个三 角形的三边长a，b，c： ，6cm，。
4cm，，。 （1）这两组数都满足a2b2c2吗？
∴ A’B’ 2=c2 ∵ 边长取正值
则 △ ABC是直角三角形 （直角三角形的定义）
∴ A’B’ =c
勾股定理的逆逆命定理题
如果三角形的三边长a、b、c满足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。(且边 C所对的角为直角。)
勾股定理
互逆命定题理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么 a2 + b2 = c2
172＝289
∴ 152＋82＝172
∴这个三角形是直角三角形
练下一面练以a,b,c为边长的三角形是不是直
(角1)三a=角5形b？=如4 果c=是3 ，那么_是哪__一_个∠角_A是__=直_9_0角;0 ？
(2) a=13 b=14 知识点四 列一元一次不等式解应用题 c=15 _不__是_ _____ ;
N 22 AB＝202 n mile，∴渔船航行202 n mile距离小岛B最近
解：(1)设每个足球为x元，每个篮球为y元，根据题意得7x＝5y，40x＋20y＝3400， 解得x＝50，y＝70. 答：每个足球为50元，每个
篮球为70元 2.运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？
海天
Q 远航
八年级 数学
第十七章 勾股定理
Байду номын сангаас
5 3
4 请同学们观察,这个三角形的三条边有什么关系吗?
32 + 42 = 52
八年级 数学
第十七章 勾股定理
动手画一画
下面的两组数分别是一个三 角形的三边长a，b，c： ，6cm，。
4cm，，。 （1）这两组数都满足a2b2c2吗？
∴ A’B’ 2=c2 ∵ 边长取正值
则 △ ABC是直角三角形 （直角三角形的定义）
∴ A’B’ =c
勾股定理的逆逆命定理题
如果三角形的三边长a、b、c满足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。(且边 C所对的角为直角。)
勾股定理
互逆命定题理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么 a2 + b2 = c2
172＝289
∴ 152＋82＝172
∴这个三角形是直角三角形
练下一面练以a,b,c为边长的三角形是不是直
(角1)三a=角5形b？=如4 果c=是3 ，那么_是哪__一_个∠角_A是__=直_9_0角;0 ？
(2) a=13 b=14 知识点四 列一元一次不等式解应用题 c=15 _不__是_ _____ ;
N 22 AB＝202 n mile，∴渔船航行202 n mile距离小岛B最近
解：(1)设每个足球为x元，每个篮球为y元，根据题意得7x＝5y，40x＋20y＝3400， 解得x＝50，y＝70. 答：每个足球为50元，每个
篮球为70元 2.运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？
海天
Q 远航
2024八年级数学下册第1章直角三角形的性质和判定(Ⅱ)第4课时勾股定理的逆定理习题课件新版湘教版
素材：一张正方形纸板.
步骤1：如图①，将正方形纸板的边三等分，画出九个相同
的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图②，把剪好的纸板折成无盖正方体纸盒.
猜想与证明：(1)直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A1B1C1的
大小关系；
【解】∠ABC＝∠A1B1C1.
(2)证明(1)中你发现的结论.
∴AB2＋CB2＝CA2.∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°.
当经过4秒时，BM＝AB－AM＝18－2×4＝10(cm)，
BN＝3×4＝12(cm)，
∴S△BMN＝ BM·BN＝ ×10×12＝60(cm2).
故经过4秒时，△BMN的面积为60 cm2.
利用直角三角形的判定求角的度数
12. [新考法 类比迁移法]在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝
∴∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠A 1 B 1 C 1 .
利用勾股数的特征求整式值
10.[2023·衡阳二中模拟]已知：整式A＝(n2－1)2＋(2n)2，整式
B＞0.
【尝试】化简整式A.
【解】A＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1
＝(n2＋1)2.
【发现】A＝B2，求整式B.
0，m，n是互质的奇数.下列四组勾股数中，不能由该勾股
数计算公式直接得出的是( C )
A.3，4，5
B.5，12，13
C.6，8，10
D.7，24，25
【点拨】
∵当m＝3，n＝1时，
a＝ (m2－n2)＝ ×(32－12)＝4，b＝mn＝3×1＝3，c＝
步骤1：如图①，将正方形纸板的边三等分，画出九个相同
的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图②，把剪好的纸板折成无盖正方体纸盒.
猜想与证明：(1)直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A1B1C1的
大小关系；
【解】∠ABC＝∠A1B1C1.
(2)证明(1)中你发现的结论.
∴AB2＋CB2＝CA2.∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°.
当经过4秒时，BM＝AB－AM＝18－2×4＝10(cm)，
BN＝3×4＝12(cm)，
∴S△BMN＝ BM·BN＝ ×10×12＝60(cm2).
故经过4秒时，△BMN的面积为60 cm2.
利用直角三角形的判定求角的度数
12. [新考法 类比迁移法]在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝
∴∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠A 1 B 1 C 1 .
利用勾股数的特征求整式值
10.[2023·衡阳二中模拟]已知：整式A＝(n2－1)2＋(2n)2，整式
B＞0.
【尝试】化简整式A.
【解】A＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1
＝(n2＋1)2.
【发现】A＝B2，求整式B.
0，m，n是互质的奇数.下列四组勾股数中，不能由该勾股
数计算公式直接得出的是( C )
A.3，4，5
B.5，12，13
C.6，8，10
D.7，24，25
【点拨】
∵当m＝3，n＝1时，
a＝ (m2－n2)＝ ×(32－12)＝4，b＝mn＝3×1＝3，c＝
八年级数学《勾股定理》第一课时课件
2
c a
=2ab+b2-2ab+a2
b
=a2+b2
∴a2+b2=c2
c a
b
c a
b
c a
b
我探索、我验证！
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ；
也可以表示为
c2 +4• ab
2
c a
b
c a
b
c a
b
c a
b
∵
(a+b)2
=
c2
+4•
ab 2
a2+2ab+b2 = c2 +2ab
∴a2+b2=c2
这就是本届大会 会徽的图案.
这个图案被称为“赵爽弦 图”， 是我国汉代数学家赵 爽在证明勾股定理时用到的.
你听说过勾股定理吗？
我操作 ，我猜想！
请同学们以四人一小组合作完成下列问题，其中 每组选两名同学动手操作，另两名同学负责监督整个 操作过程确保准确无误，最后每组派一名同学代表本 组发言。
（1）分别在方格纸上作两个直角三角形，使其两直角 边分别是3厘米和4厘米,5厘米和12厘米。
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
直角三角形两直角边的平方 和等于斜边的平方.
弦c b股
┏
勾a
a2+b2=c2
走进勾股世界
两千两多千多年年前前，，古古希希腊有腊个有哥拉个毕达哥拉斯 学斯学派派，，他他们们首首先发先现发了勾现股了定勾理，股因定此 理，因此在 国在国外外人人们们通通常常称勾称股勾定理股为定毕理达哥为拉毕斯 达哥拉斯定 理定理。。为为了了纪纪念念毕达毕哥达拉斯哥学拉派斯，1学95派5 ，1955年 希年希腊腊曾曾经经发发行行了一了枚一纪念枚票纪。念邮票。
c a
=2ab+b2-2ab+a2
b
=a2+b2
∴a2+b2=c2
c a
b
c a
b
c a
b
我探索、我验证！
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ；
也可以表示为
c2 +4• ab
2
c a
b
c a
b
c a
b
c a
b
∵
(a+b)2
=
c2
+4•
ab 2
a2+2ab+b2 = c2 +2ab
∴a2+b2=c2
这就是本届大会 会徽的图案.
这个图案被称为“赵爽弦 图”， 是我国汉代数学家赵 爽在证明勾股定理时用到的.
你听说过勾股定理吗？
我操作 ，我猜想！
请同学们以四人一小组合作完成下列问题，其中 每组选两名同学动手操作，另两名同学负责监督整个 操作过程确保准确无误，最后每组派一名同学代表本 组发言。
（1）分别在方格纸上作两个直角三角形，使其两直角 边分别是3厘米和4厘米,5厘米和12厘米。
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
直角三角形两直角边的平方 和等于斜边的平方.
弦c b股
┏
勾a
a2+b2=c2
走进勾股世界
两千两多千多年年前前，，古古希希腊有腊个有哥拉个毕达哥拉斯 学斯学派派，，他他们们首首先发先现发了勾现股了定勾理，股因定此 理，因此在 国在国外外人人们们通通常常称勾称股勾定理股为定毕理达哥为拉毕斯 达哥拉斯定 理定理。。为为了了纪纪念念毕达毕哥达拉斯哥学拉派斯，1学95派5 ，1955年 希年希腊腊曾曾经经发发行行了一了枚一纪念枚票纪。念邮票。
北师大版八年级数学下册直角三角形(第1课时)课件
则在Rt△ADE中，AD2＝DE2＋AE2，
又∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
E
∴AE＝BE＝CE，
∵BD2＋CD2＝（BE－DE）2＋（CE＋DE）2
＝BE2＋CE2＋2DE2＝2AE2＋2DE2＝2AD2，
即BD2＋CD2＝2AD2.
课堂检测
1.2 直角三角形/
能力提升题
2、如图,直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=12cm,BC=5cm,
探究新知
1.2 直角三角形/
小结 直角三角形的性质与判定
直角三角形的性质定理: 1.直角三角形的两个锐角互余. 2.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
直角三角形的判定定理: 1.有两个角互余的三角形是直角三角形 2.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方, 那么这个三角形 是直角三角形.
（1）直角三角形的两个锐角有怎样的关系？
根据三角形的内角和定理，即可得到“直角三角 形的两锐角互余”.
（2）如果一个三角形中有两个角互余，那么这个三角 形是直角三角形吗？ 是直角三角形.
探究新知
1.2 直角三角形/
证明： 如果一个三角形中有两个角互余，那么这个三 角形是直角三角形.
已知：如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90°.
∵AC2+BC2=AB2(已知), DE=AC,FE=BC(作图), C
B
∴AB2=DF2，∴AB=DF，
∴△ABC≌△DFE（SSS）．
D
∴∠C=∠E=90°,
∴△ABC是直角三角形．
┏
E
F
探究新知
1.2 直角三角形/
结论 勾股定理与逆定理
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
八年级 下册 数学 PPT课件 精品课件 第一章 三角形的证明 直角三角形(一)
范例讲解 例2、写出命题“如果两个有理数相等，那么它 们的平方相等”的逆命题，这两个命题都是真命 题吗？ 解：其逆命题为“如果两个有理数的平方相等，
那么这两个有理数也相等” 原命题是真命题，而逆命题是假命题 训练题:写出下列命题的逆命题，并判断它们是真 命题还是假命题。 （1）两直线平行，同旁内角相等。 （2）如果a是偶数，b是偶数，那么a+b是偶数。 （3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30˚，那 么它所对的直角边等于斜边的一半。 （4）等腰三角形的两腰相等。
∴这个三角形不是直角三角形
∴没有与60m长的南北边线垂直的边线
∴没有一条边线为东西向
ⅳ、观察下面两个命题：
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 平方。
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的 平方，那么这个三角形是直角三角形。
它们的条件和结论之间有什么关系？
合作交流 ⅴ、观察下面三组命题：
如果两个角是对顶角，那么它们相等， 如果两个角相等，那么它们是对顶角； 如果小明患了肺炎，那么他一定发烧， 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎；
说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假:
(1)四边形是多边形； (2)两直线平行，同旁内角互补； (3)如果ab=0，那么a=0 b=0
解：(1)多边形是四边形．原命题是真命题， 而逆命题是假命题．
(2)同旁内角互补，两直线平行． 原命题与逆命题同为真命题．
(3)如果a=0，b=0，那么ab=0． 原命题是假命题，而逆命题
是真命题．
1.（钦州·中考）如图是一张直角三角形的纸片， 两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将△ABC折叠， 使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ） （A）4 cm （B）5 cm
八年级数学勾股定理的逆定理课件-应用
人教版
第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
(2)在图2中，画一个三边长分别为3，2， 13的三角形，一共可以画 16 个这样的三角形. 解析:如图2,一共可以画16个这样的三角形.
图2
数学
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
10.在某小区在社区工作人员及社区居民的共同努力之下，
数学
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
8.如图，明明在距离水面高度为5 m的岸边C处，用绳子拉船 靠岸，开始时绳子BC的长为13 m.若明明收绳6 m后，船到 达D处，则船向岸边A处移动了多少米?
数学
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
解:∵开始时绳子BC的长为13 m,明明收绳6 m后,船到达D处,
数学
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
知识点 勾股定理逆定理的应用 【例题】如图，甲船以5海里/时的速度离开港口O沿南偏东 30°方向航行，乙船同时同地沿某方向以12海里/时的速度 航行.已知它们离开港口2小时后分别到达B，A两点，且AB ＝26海里.你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?
数学 人教版 八年级 下册
目 录
CONTENTS
数学
八年级 下册
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理 第2课时勾股定理的逆定理(二) —— 应用
01 课标要求
02 基础梳理
03 典例探究
04 课时训练
数学
八年级 下册
人教八年级数学下册-勾股定理(附习题)
错因分析：出错主要原因是没有认真审题，
凭经验认为c 一定是斜边，事实上，题目并无明 确c 是斜边还是直角边，故需要分类讨论.
课堂小结
即c2=a2+b2.
拓展延伸
如图，已知长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落 在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，求DE的长.
解：∵∠A=∠C′=∠C=90°, ∠AEB=∠C′ED，AB=C′D, ∴△AEB≌△C′ED.∴AE=C′E,
解：根据图形正方形E 的边长为:
122 162 92 122 =25，
故E的面积为:252=625.
知识点 2 勾股定理的证明
命题 如果直角三角形两直角边
长分别为a，b，斜边长为c，那 么a2+b2=c2．
如何证明呢？
如图我国古代证明该命题 的“赵爽弦图”.
赵爽指出：按弦图，又可
以勾股相乘为朱实二，倍之为
课堂小结
勾股定理 的应用
化非直角三角形为直角三角形 将实际问题转化为直角三角形模型
拓展延伸
思考 这是我们刚上课时提出的问题，现在你会算了吗？
解：设水深为h尺. 由题意得：AC=3,BC=2,OC=h,
OB OA OC AC h 3.
由勾股定理得：
OB2 OC 2 BC 2 ,即(h 3)2 h2 62 ,
5.如图，要从电线杆离地面5 m处向地面拉一条长 为7 m的钢缆.求地面钢缆固定点A到电线杆底部B 的距离（结果保留小数点后一位）.
解:由图可知大正方形的边长为：a+b则面积为
(a+b)2，图中把大正方形的面积分成了四部分，
分别是：边长为a的正方形，边长为b的正方形，
还有两个长为b，宽为a的长方形.
凭经验认为c 一定是斜边，事实上，题目并无明 确c 是斜边还是直角边，故需要分类讨论.
课堂小结
即c2=a2+b2.
拓展延伸
如图，已知长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落 在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，求DE的长.
解：∵∠A=∠C′=∠C=90°, ∠AEB=∠C′ED，AB=C′D, ∴△AEB≌△C′ED.∴AE=C′E,
解：根据图形正方形E 的边长为:
122 162 92 122 =25，
故E的面积为:252=625.
知识点 2 勾股定理的证明
命题 如果直角三角形两直角边
长分别为a，b，斜边长为c，那 么a2+b2=c2．
如何证明呢？
如图我国古代证明该命题 的“赵爽弦图”.
赵爽指出：按弦图，又可
以勾股相乘为朱实二，倍之为
课堂小结
勾股定理 的应用
化非直角三角形为直角三角形 将实际问题转化为直角三角形模型
拓展延伸
思考 这是我们刚上课时提出的问题，现在你会算了吗？
解：设水深为h尺. 由题意得：AC=3,BC=2,OC=h,
OB OA OC AC h 3.
由勾股定理得：
OB2 OC 2 BC 2 ,即(h 3)2 h2 62 ,
5.如图，要从电线杆离地面5 m处向地面拉一条长 为7 m的钢缆.求地面钢缆固定点A到电线杆底部B 的距离（结果保留小数点后一位）.
解:由图可知大正方形的边长为：a+b则面积为
(a+b)2，图中把大正方形的面积分成了四部分，
分别是：边长为a的正方形，边长为b的正方形，
还有两个长为b，宽为a的长方形.
初中数学勾股定理(精选课件)
初中数学勾股定理聚智堂学科教师辅导讲义年级：课时数：学科教师：学员姓名：辅导科目：数学辅导时间:课题勾股定理教学目的1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
(即：a2+b２=ｃ2)2、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长:ａ、b、c有关系a２+b２=ｃ２，那么这个三角形是直角三角形。
３、满足的三个正整数,称为勾股数。
教学内容一、日校回顾二、知识回顾1。
勾股定理如图所示,在正方形网络里有一个直角三角形和三个分别以它的三条边为边的正方形，通过观察、探索、发现正方形面积之间存在这样的关系：即C的面积=B的面积+Ａ的面积，现将面积问题转化为直角三角形边的问题,于是得到直角三角形三边之间的重要关系,即勾股定理。
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，ｂ，斜边为c，那么即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
说明:(1)勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形,那么三条边之间就没有这种关系了。
（2）我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股,斜边称为弦。
在没有特殊说明的情况下，直角三角形中,ａ,b是直角边，ｃ是斜边，但有时也要考虑特殊情况。
（3）除了利用a，ｂ,ｃ表示三边的关系外，还应会利用AＢ，BC，CA表示三边的关系,在△AＢC中,∠Ｂ＝９0°,利用勾股定理有。
2. 利用勾股定理的变式进行计算ﻩ由,可推出如下变形公式:(１）;（2）(3）（4)（5)（平方根将在下一章学到）说明：上述几个公式用哪一个,取决于已知条件给了哪些边，求哪条边，要判断准确。
三、知识梳理１、勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一,其主要应用有:(1)已知直角三角形的两边求第三边（２）已知直角三角形的一边与另两边的关系。
求直角三角形的另两边（３)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2、如何判定一个三角形是直角三角形（1）先确定最大边(如c)（2）验证与是否具有相等关系（3）若=，则△ＡBC是以∠C为直角的直角三角形；若≠则△ABＣ不是直角三角形。
八年级数学下册课件(人教版)勾股定理
5 如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC 和△A′B′C ′拼在一起，其 中点A′与点A重合，点C ′落在边AB上，连接B′C. 若∠ACB＝∠AC′B ′ ＝90°，AC＝BC＝3，则B′C 的长为( A )
A．3 3 B．6 C．3 2 D. 21
知识点 2 勾股定理与面积的关系
在一张纸上画4个与图所示的全等的直角三边形，并把它们 剪下来．如图所示，用这四个直角三角形进行拼摆，将得到一个
17.1 勾股定理
第1课时
相传2500年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客， 发现朋友家用砖铺成的地 面反映直角三角形三边的 某种数量关系，同学们， 我们也来观察下面的图案， 看看你能发现什么？
A、B、C 的面积有什么关系？
直角三角形三边有什么关系？
A
B
C
让我们一起探索这个古老的定理吧！
知识点 1 勾股定理
正方形B的面积是 9 个单位面积.
正方形C的面积是 18 个单位面积.
C A
B
图2-1
C A
B
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
分“割”成若干个 直角边为整数的三角形
S正方形c
= 4 133 2
=18(单位面积)
C A
B
图2-1
C A
B
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
(2)在图2-2中，正方形A，B， C 中各含有多少个小方格？
A．3 B．4 C．5 D．7
4 如图，已知△ABC 为直角三角形，分别以直角边AC，BC 为直径 作半圆AmC 和BnC，以AB 为直径作半圆ACB，记两个月牙形阴 影部分的面积之和为S1，△ABC 的面积为S2，则S1与S2的大小关
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