高中数学选修2-1精品教案7：2.3.2双曲线的简单几何性质教学设计

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选修2-1教案23-2双曲线的简单几何性质【1】

选修2-1 第二章《圆锥曲线与方程》 2.3.2双曲线的简单几何性质第一课时：范围、对称性、顶点、渐近线、离心率教学重点：理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题.教学难点：双曲线的渐近线、离心率教学过程：（一）复习回顾椭圆的几何性质（二）新课讲解1、范围：由双曲线的标准方程得，222210y x b a=-≥，进一步得：x a ≤-，或x a ≥．这说明双曲线在不等式x a ≤-，或x a ≥所表示的区域；2、对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；3、顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；等轴双曲线：实轴长与虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，双曲线方程为22(0)x y m m -=≠.4、渐近线：直线by x a =±叫做双曲线22221x y a b -=的渐近线；思考：渐近线方程为by x a=±的双曲线方程一定是22221x y a b -=吗？渐近线方程为by x a=±⇔双曲线方程为()22220x y a b λλ-=≠.5、离心率：双曲线的焦距与实轴长的比ace =叫做双曲线的离心率（1e >）．注：①已知双曲线22221x y a b-=，则其离心率e 与渐近线斜率b a ±的直接关系：2221b e a =+（双曲线的焦点在x 轴上），则e 越大，双曲线的张口越大.总结：例1.求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y 轴上的渐近线是ay x b=±．例2.若双曲线的渐近线方程为43y x =±，则双曲线的离心率为 .若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线的夹角为 .例3求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()3A -点的双曲线的标准方及离心率．解法剖析：双曲线221169x y -=的渐近线方程为34y x =±．①焦点在x 轴上时，设所求的双曲线为22221169x y k k -=，∵()3A -点在双曲线上，∴214k =-，无解；②焦点在y轴上时，设所求的双曲线为22221169x y k k -+=，∵()3A -点在双曲线上，∴214k =，因此，所求双曲线的标准方程为221944y x -=，离心率53e =．这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上，可直接设所求的双曲线的方程为()22,0169x y m m R m -=∈≠．例4. 求与双曲线221164x y -=有公共焦点，且过点2)的双曲线方程. 解:方法一：设双曲线方程为22221x y a b -=(a >0,b >0)，则22222021a b b⎧+==解之得22128a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴双曲线方程为221128x y -= 方法二：设双曲线的方程为216x λ-－24y λ+=1（416λ-<<），代入点（32，2），可得：4λ=，故所求双曲线方程为221128x y -=.。

3.3.2双曲线的简单性质教案(高中数学北师大版选修2-1)

3.2双曲线的简单性质●三维目标1．知识与技能(1)能用双曲线的标准方程分析双曲线的几何性质．(2)能用双曲线的几何性质解决简单的相关问题．2．过程与方法在双曲线的简单几何性质的研究过程中，进一步掌握解析几何的基本思想.3.情感、态度与价值观进一步感受数形结合思想在解析几何中的应用．二、教学重点与难点重点：利用标准方程研究双曲线的几何性质．难点：双曲线的性质在研究实际问题中的应用．可类比椭圆的几何性质去发现双曲线的几何性质，在这个过程中，充分发挥学生的主体作用，让学生参与知识的产生和形成过程．引导学生将实际问题抽象为双曲线模型，并通过双曲线模型的应用，培养学生的应用能力．(教师用书独具)●教学建议1．本节课主要采用引导发现法，通过师(生)不断地设(释)疑，揭示思维过程，将学生置于主体位置，发挥学生的主观能动性，将知识的形成过程转化为学生亲自探索、归纳的过程．2．鼓励学生运用发现、探究、协作、讨论的学习方法，联系所学知识，大胆、主动地分析问题和解决问题，进一步提高自己的学习能力．●教学流程以旧引新，揭示课题构造新知识体，关于系实轴、虚轴、离心率、渐近线深化知识，完成新知识体系的构造学以致用，巩固练习1．你能从双曲线的标准方程说明双曲线的对称性吗？【提示】双曲线的标准方程是x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)或y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．将方程中的x换成－x，方程不变，故双曲线关于y轴对称；将方程中的y换成－y，方程不变，故双曲线关于x轴对称；将方程中的x换成－x，y换成－y，方程不变，故双曲线关于原点对称．2．椭圆的离心率e可反映椭圆“扁的程度”，双曲线的离心率e可用来表示什么？【提示】双曲线的离心率e可用来表示双曲线“开口的程度”．3．双曲线确定，渐近线确定吗？反过来呢？【提示】当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线，所以具有相同的渐近线的双曲线可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0，λ∈R)，当λ＞0时，焦点在x轴上，当λ＜0时，焦点在y轴上．双曲线的性质。

人教A版高中数学选修2-1教案2.3.2双曲线的简单几何性质(1)

教学用具
教学重点
双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法.
教学难点
双曲线的渐近线.
教学步骤及要点：
【复习引入】
1.双曲线的定义：
我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点.两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
2.双曲线的标准方程：
∴|x|≥a(a＞0)．
双曲线在不等式x≥a与x≤－a所表示的区域内．
2．对称性
双曲线关于y轴、x轴、原点都是对称的．
坐标轴是双曲线的对称轴．原点是双曲线的对称中心．
双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．
3．顶点
令y＝0，得x＝±a，∴双曲线和x轴有两个交点A1(－a, 0)、A2(a, 0) .双曲线和它的对称轴有两个交点，它们叫做双曲线的顶点．令x＝0，得y2＝－b2，这个方程没有实数根，则双曲线和y轴无交点.特殊点B1(0,－b)、B2(0,b).
焦点的坐标是(0,－5)，(0, 5) .
渐近线方程为
练习1．教科书P.61练习第1、2、3题
练习2．求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
例2求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点P(1,－3)且离心率为的双曲线标准方程.
【课堂小结】
1.双曲线的几何性质：
⑶利用双曲线的对称性画出完整双曲线.
5．离心率
双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率．∵c＞a＞0，∴e＞1．
这
时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔.由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔．
例1求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.

2. 3. 2双曲线的简单几何性质(1)教案(人教A版选修2-1)

§2.3.2双曲线的简单几何性质(1>学习目标1．理解并掌握双曲线的几何性质．，文P49~ P51找出疑惑之处）5658复习1：写出满足下列条件的双曲线的标准方程：①，焦点在轴上；②焦点在轴上，焦距为8，．复习2：前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？二、新课导学：※学习探究问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线的几何性质?范围：：：对称性：双曲线关于轴、轴及都对称．顶点：< ），< ）．实轴，其长为；虚轴，其长为．率：．离心渐近线：线的渐近线方程为：．双曲问题2：双曲线的几何性质?图形：范围：：：对称性：双曲线关于轴、轴及都对称．顶点：< ），< ）实轴，其长为；虚轴，其长为．离心率：．渐近线：双曲线的渐近线方程为：．新知：实轴与虚轴等长的双曲线叫双曲线．※典型例题例1求双曲线的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程．变式：求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．例2求双曲线的标准方程：⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；⑵离心率，经过点；⑶渐近线方程为，经过点．※动手试试练1．求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．练2．对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的一个焦点是，求它的标准方程和渐近线方程．三、总结提升：※学习小结双曲线的图形、范围、顶点、对称性、离心率、渐近线．※知识拓展与双曲线有相同的渐近线的双曲线系方程式为学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为< ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测<时量：5分钟满分：10分）计分：1．双曲线实轴和虚轴长分别是< ）．A．、 B．、C．4、 D．4、2．双曲线的顶点坐标是< ）．A． B． C． D．<）3．双曲线的离心率为< ）．A．1 B． C． D．24．双曲线的渐近线方程是．5．经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是．课后作业1．求焦点在轴上，焦距是16，的双曲线的标准方程．2．求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程．申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。

2.3.2双曲线的简单几何性质教学设计(优秀教案)

双曲线的简单几何性质教案一、学习目标知识目标: 了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率。

能力目标: 通过观察、类比、转化、概括等探究，提高学生运用方程研究双曲线的性质的能力. 情感目标: 使学生在合作探究活动中体验成功, 激发学习热情，感受事物之间处处存在联系.二、学习重点、难点1. 教学重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质；2. 教学难点：双曲线的渐近线.三、学习过程：（一）复习式导入：在椭圆部分，我们曾经从图形和标准方程两个角度来研究椭圆的几何性质。

那么，你认为应该研究双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的哪些性质呢？范围、对称性、顶点、离心率等.这就是我们今天要共同学习的内容：双曲线的简单几何性质（二）新课：我们先来研究一下焦点坐标在x 轴上的双曲线的简单几何性质。

1双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的简单几何性质（1）范围从图形看，x 的取值范围是什么？师生：从标准方程能否得出这个结论呢？ y 的范围呢？R y ∈（2）对称性从图形看，双曲线关于什么对称性？生：关于x 轴、y 轴和原点都是对称的那么，类比椭圆几何性质的推导，从标准方程如何得出这个结论呢？提示：用y -代替原方程中的y ，若方程不变，则该曲线……关于x 轴对称。

同理，若用x -代替原方程中的x ，若方程不变，则该曲线关于y 轴对称。

若用y x --,分别代替原方程中的y x ,，若方程不变，则该曲线关于原点对称。

所以，双曲线是关于x 轴、y 轴和原点都是对称的。

x 轴、y 轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。

（3）顶点椭圆的顶点有几个？（4个）它是如何定义的？（椭圆与对称轴的交点）类比椭圆顶点的定义，我们把双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点。

由图形可以看到，双曲a x a x -≤≥或012222≥-=ax b y 2222,1a x ax≥≥∴即ax a x -≤≥∴或线22221(0,0)x y a b a b-=>>的顶点有几个？顶点坐标是？(,0)a ± 虽然对比椭圆，双曲线只有两个顶点，但我们仍然把(0,)b ±标在图形上。

高中数学《2.3.2双曲线的简单几何性质(二)》教案新人教版选修2-1-新人教版高二选修2-1数学

（4）双曲线的渐近线方程为_______.
（5）双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的________，其X围是___________．
例3：过双曲线的右焦点，倾斜角为的直
线交双曲线于两点，求
变式：已知直线与双曲线没有公共点，求的取值X围
选做：已知直线与双曲线的右支相交于不同的两点，求的取值X围。
总结：求到定点和它到定直线距离之比是的点的轨迹。
例2（1）设点的坐标分别为（-5,0），（5,0）.直线相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程。
（2）设点的坐标分别为（-5,0），（5,0）.直线相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程。
总结：已知三角形的两个顶点的坐标分别为（-5,0），（5,0），且所在直线的斜率之积等于，试探求顶点的轨迹.
课题
§双曲线的简单几何性质(二)
讲课教师
教
学
过
程
教
学
过
程
板
书
设
计
过程设计
设计意图
班级
二年一班
课型
新课
2.双曲线的简单几何性质
（1）X围：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）对称性：双曲线是以轴、轴为对称轴的___________图形；也是以原点为对称中心的___________图形，这个对称中心叫做______________．
温故所学知识，为进一步学习做准备
引导学生自我反馈、自我总结，并对所学知识进行提炼升华。让学生学会学习，学会内化知识的方法与经验，促进目标达成。
有利于巩固所学的知识,同时检验本节课效率
课堂小结
课后作业：

2..3..2双曲线的简单几何性质(1)教案(人教A版选修2-1)

§2.3.2双曲线的简单几何性质(1>56~ P 58，文P 49~ P 51找出疑惑之处）复习1：写出满足下列条件的双曲线的标准方程：①3,4a b ==，焦点在x 轴上；②焦点在y 轴上，焦距为8，2a =．复习2：前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？二、新课导学：※ 学习探究问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线22221x y a b -=的几何性质?范围：x ： y ：对称性：双曲线关于轴、轴及都对称．顶点：< ），< ）．实轴，其长为；虚轴，其长为．心率：1c e a=>．离渐近线：双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为：0x y a b ±=．问题2：双曲线22221yx a b-=的几何性质? 图形：范围：x ： y ：对称性：双曲线关于轴、轴及都对称．顶点：< ），< ）实轴，其长为；虚轴，其长为．离心率：1c e a=>．渐近线：双曲线22221y x a b-=的渐近线方程为：．新知：实轴与虚轴等长的双曲线叫双曲线．※ 典型例题例1求双曲线2214925x y -=的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程．变式：求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．例2求双曲线的标准方程：⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上；⑵离心率e =(5,3)M -； ⑶渐近线方程为23y x =±，经过点9(,1)2M -． ※ 动手试试练1．求以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．练2．对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的一个焦点是1(6,0)F -，求它的标准方程和渐近线方程．三、总结提升：※ 学习小结双曲线的图形、范围、顶点、对称性、离心率、渐近线． ※ 知识拓展与双曲线22221x y a b -=有相同的渐近线的双曲线系方程式为2222x y a bλ-= (0)λ≠※ 自我评价你完成本节导学案的情况为< ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测<时量：5分钟满分：10分）计分： 1．双曲线221168x y -=实轴和虚轴长分别是< ）． A ．8、．8、C ．4、．4、2．双曲线224x y -=-的顶点坐标是< ）．A ．(0,1)±B ．(0,2)±C ．(1,0)±D ．<2,0±） 3．双曲线22148x y -=的离心率为< ）． A ．1 B．24．双曲线2241x y -=的渐近线方程是．5．经过点(3,1)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程1．求焦点在y 轴上，焦距是16，43e =的双曲线的标准方程． 2．求与椭圆2214924x y +=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线的方程．申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。

高中数学选修2-1精品学案：2.3.2 双曲线的简单几何性质

2.3.2 双曲线的简单几何性质学习目标 1.了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质.知识点双曲线的几何性质(1)双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a y≥a或y≤－a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)实轴和虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴；线段B1B2叫做双曲线的虚轴渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)(2)等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x. 【预习评价】思考 (1)椭圆与双曲线的离心率都是e ，其范围一样吗？ (2)若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？提示 (1)不一样.椭圆的离心率0<e <1，而双曲线的离心率e >1.(2)当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线，如具有相同的渐近线y ＝±b a x 的双曲线可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0，λ∈R )，当λ>0时，焦点在x 轴上，当λ<0时，焦点在y 轴上.题型一已知双曲线的标准方程求其几何性质【例1】求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.解将9y 2－4x 2＝－36化为标准方程x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13.因此顶点为A 1(－3，0)，A 2(3，0)，焦点为F 1(－13，0)，F 2(13，0)，实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4，离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23x .规律方法讨论双曲线的几何性质，先要将双曲线方程化为标准形式，然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质.【训练1】求双曲线x 2－3y 2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率.解将方程x 2－3y 2＋12＝0化为标准方程y 24－x 212＝1，∴a 2＝4，b 2＝12，∴a ＝2，b ＝23， ∴c ＝a 2＋b 2＝16＝4.∴双曲线的实轴长2a ＝4，虚轴长2b ＝43，焦点坐标为F 1(0，－4)，F 2(0，4)，顶点坐标为A 1(0，－2)，A 2(0，2)，渐近线方程为y ＝±33x ，离心率e ＝2.题型二根据双曲线的几何性质求标准方程【例2】求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0，13)，且离心率为135；(2)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3).解 (1)依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13，又c a ＝135，∴a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12，故其标准方程为y 225－x 2144＝1.(2)方法一 ∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝12.①∵A (2，－3)在双曲线上，∴4a 2－9b 2＝1.② 联立①②，无解.若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12.③∵A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b 2＝1.④ 联立③④，解得a 2＝8，b 2＝32. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.方法二由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)，∵A (2，－3)在双曲线上，∴2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8.∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.规律方法由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法，当焦点位置明确时直接设出双曲线的标准方程即可，当焦点位置不明确时，应注意分类讨论，也可以不分类讨论直接把双曲线方程设成mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求出来.当双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x 时，可以将方程设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0). 【训练2】根据条件，求双曲线的标准方程.(1)与双曲线x 29－y 216＝1有共同渐近线，且过点(－3，23)；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2).解 (1)设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，由题意可知（－3）29－（23）216＝λ，解得λ＝14. ∴所求双曲线的标准方程为x 294－y 24＝1.(2)设所求双曲线方程为x 216－k －y 24＋k ＝1(16－k >0，4＋k >0)，∵双曲线过点(32，2)， ∴（32）216－k －44＋k ＝1，解得k ＝4或k ＝－14(舍去).∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 2＝1.【例3】直线l 在双曲线x 3－y 2＝1上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线l 的方程.解设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，由⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ，x 23－y 22＝1，得10x 2＋12mx ＋3(m 2＋2)＝0.(*) 设直线l 与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－65m ，x 1x 2＝310(m 2＋2). 又y 1＝2x 1＋m ，y 2＝2x 2＋m ， ∴y 1－y 2＝2(x 1－x 2)，∴|AB |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝5(x 1－x 2)2 ＝5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤3625m 2－4×310（m 2＋2）. ∵|AB |＝4，∴365m 2－6(m 2＋2)＝16.∴3m 2＝70，m ＝±2103.由(*)式得Δ＝24m 2－240，把m ＝±2103代入上式，得Δ>0，∴m 的值为±2103.∴所求直线l 的方程为y ＝2x ±2103.【迁移】在例3中若直线l 的方程为y ＝kx ，并且直线l 与双曲线x 23－y 22＝1的两支各有一个交点，求实数k 的取值范围. 解由⎩⎨⎧x 23－y 22＝1，y ＝kx得(2－3k 2)x 2－6＝0，设直线与双曲线的交点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2－3k 2≠0，Δ＝24（2－3k 2）＞0，x 1x 2＝－62－3k 2＜0，解得－63＜k ＜63，即实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，63.规律方法直线与双曲线相交的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x 或y 的一元二次方程.要注意根与系数的关系，根的判别式的应用.若与向量有关，则将向量用坐标表示，并寻找其坐标间的关系，结合根与系数的关系求解.【训练3】设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A ，B .(1)求实数a 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，若PA →＝512PB →，求a 的值.解 (1)将y ＝－x ＋1代入双曲线方程x 2a 2－y 2＝1(a >0)，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，Δ＝4a 4＋8a 2（1－a 2）>0，∴0<a <2且a ≠1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意得P (0，1)，因为PA →＝512PB →，所以(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1).由此得x 1＝512x 2.由于x 1，x 2是方程(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0的两根，且1－a 2≠0，所以1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a 2. 消去x 2得－2a 21－a2＝28960.由a >0，解得a ＝1713.课堂达标1.双曲线x 216－y 29＝1的渐近线方程为( ) A.3x ±4y ＝0B.4x ±3y ＝0C.9x ±16y ＝0D.16x ±9y ＝0[解析] 由x 216－y 29＝1得a 2＝16，b 2＝9，∴渐近线方程为y ＝±34x ，即3x ±4y ＝0.[答案] A2.双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( ) A.－14B.－4C.4D.14[解析] 由双曲线方程mx 2＋y 2＝1，知m <0，则双曲线方程可化为y 2－x 2－1m ＝1，则a 2＝1，a ＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b ＝2，∴－1m ＝b 2＝4， ∴m ＝－14，故选A.[答案] A3.双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( ) A.2 3B.2C. 3D.1[解析] ∵双曲线x 24－y 212＝1的一个焦点为F (4，0)，其中一条渐近线方程为y ＝3x ，∴点F 到3x －y ＝0的距离为432＝2 3. [答案] A4.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为10，点P (2，1)在C 的渐近线上，则双曲线C 的方程为( ) A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1[解析] 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b a x ，点P (2，1)在渐近线上，∴2ba ＝1，即a 2＝4b 2，又a 2＋b 2＝c 2＝25，解得b 2＝5，a 2＝20，故选A. [答案] A5.已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________. [解析] 设双曲线的焦点为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，虚轴两个端点为B 1(0，－b )，B 2(0，b )，因为c >b ，所以只有∠B 1F 1B 2＝60°， ∴tan 30°＝bc ，∴c ＝3b ，又a 2＝c 2－b 2＝2b 2，∴e ＝c a ＝3b 2b ＝62.[答案] 62课堂小结1.渐近线是双曲线特有的性质.两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程.反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ，可得双曲线方程. 2.准确画出几何图形是解决[解析]几何问题的第一突破口.利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形.。

选修2-1教案23-2双曲线的简单几何性质【2】

选修2-1 第二章《圆锥曲线与方程》 2.3.2双曲线的简单几何性质第二课时：求双曲线的离心率例1.已知椭圆22221x y a b +=，则双曲线22221x y a b-=的离心率为例 2.已知12,F F 是双曲线22221x y a b-=的两个焦点，以线段12F F 为边作等边三角形12F PF ，若线段2PF 的中点在双曲线上，则该双曲线的离心率为例3. 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若F 2H 的中点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为________．解：取双曲线的渐近线y ＝b a x ，则过F 2与渐近线垂直的直线方程为y ＝－ab(x －c )，可解得点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2c ，ab c ，则F 2H 的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2＋c 22c ，ab 2c ，代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1可得(a 2＋c 2)24a 2c 2－a 2b 24c 2b 2＝1，整理得c 2＝2a 2，即可得e ＝c a＝ 2. 例 4 已知点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -->>的右支上，双曲线两焦点为12F F 、，212||||PF PF 最小值是8a ，求双曲线离心率的取值范围。

解：222122222||(||2)4||48||||||PF PF a a PF a a PF PF PF +==++≥，由均值定理知：当且仅当2||2PF a =时取得最小值8a ，又2||PF c a ≥-所以2a c a ≥-，则13e <≤。

例5设点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右支上，双曲线两焦点12F F 、，12||4||PF PF =，求双曲线离心率的取值范围。

高中数学人教版选修2-1教案 2.3.2双曲线的简单几何性质

例题2：直线与双曲线相交于A、B两点，当k为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点。
板书设计
2.3.1双曲线及其标准方程
1.双曲线的定义
2.双曲线的标准方程例题
3.直线与双曲线的位置关系：
①相交两一点:直线与渐近线平行
②相切一点:有一个公共点，△=0
③相离:没有公共点，△＜0
注意二次曲线、二次方程、二次函数三者之间的内在联系，直线与双曲线的位置关系通常是转化为二次方程
教学反思
1.为让学生类比直线与椭圆的关系研究直线与双曲线的关系，通过动手实践，让学生分析直线与双曲线的关系是什么？
2.通过系列例题，在老师的指导下，让学生自己推导出直线与双曲线的关系，以提高学生的运算能力。
例1.如果直线与双曲线没有公共点，求k的取值范围.
变式1：如果直线与双曲线有两个公共点，求k的取值范围.
变式2：如果直线与双曲线的右支（左支）有两个公共点，求k的取值范围.
变式3：如果直线与双曲线的两支都有公共点，求k的取值范围.
变式4：如果直线与双曲线的只有一个公共点，求k的取值范围.
（二）相切（三）相离
只有一个公共点没有公共点
总结：位置关系与公共点的个数：
一个公共点
两个公共点
相交：
相切：一个公共点
相离：无公共点
活动二：从“数”上探究直线与双曲线位置关系
直线：，双曲线：
两式联立消去y得：
1.若时：直线和双曲线的渐近线平行或者重合
重合：无交点平行：有一个交点
2.若时：
相交，相切和相离.
问题2：从图形上看，直线与椭圆有几种位置关系？
相交，相切和相离
问题3：直线与双曲线有几种位置关系？也具有类似圆或者椭圆的位置关系吗？

双曲线的简单几何性质(优秀教案)

教案普通高中课程标准选修2-12.3.2双曲线的简单几何性质（第一课时）教材的地位与作用本节内容是在学习了曲线与方程、椭圆及其标准方程和简单几何性质、双曲线及其标准方程的基础上，进一步通过双曲线的标准方程推导研究双曲线的几何性质。

（可以类比椭圆的几何性质得到双曲线的几何性质。

）通过本节课的学习，使学生深刻理解双曲线的几何性质，体验数学中的类比、联想、数形结合、转化等思想方法。

二、教学目标（一）知识与技能1、了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率。

2、理解双曲线的渐近线。

（二）过程与方法通过联想椭圆几何性质的推导方法，用类比方法以双曲线标准方程为工具推导双曲线的几何性质，从而培养学生的观察能力、联想类比能力。

（三）情感态度与价值观让学生充分体验探索、发现数学知识的过程，深刻认识“数”与“形”的关系，培养学生勇于攀登科学高峰的精神。

三、教学重点难点双曲线的渐近线既是重点也是难点。

四、教学过程 (一)课题引入1、前面我们学习了椭圆及其标准方程，并由标准方程推导出椭圆的几何性质，椭圆的几何性质有哪些？（教师用课件引导学生复习椭圆的几何性质，双曲线及其标准方程。

）今天我们以标准方程为工具，研究双曲线的几何性质。

【板书】：双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的性质2、双曲线有哪些性质呢？（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线。

）3、双曲线的这些性质具体是什么？如何推导？请同学们对比椭圆的几何性质的推导方法，推导出双曲线的几何性质。

（讨论）（二）双曲线的性质 1、范围：把双曲线方程12222=-by a x 变形为22221b y a x +=。

因为022≥b y ，因此122≥a x ，即22a x ≥，所以a x a x ≥-≤或。

又因为022≥by ，故R y ∈。

【板书】：1、范围：a x a x ≥-≤或，R y ∈。

2、对称性：下面我们来讨论双曲线的的对称性，哪位同学能根据双曲线12222=-by a x 的标准方程，判断它的对称性？在标准方程中，把x 换成x -，或把y 换成y -，或把x ，y 同时换成x -，y -时，方程都不变，所以图形关于y 轴、x 轴和原点都是对称的。

高中数学选修2-1优质学案6：2.3.2 双曲线的简单几何性质

2.3.2 双曲线的简单几何性质问题导学一、双曲线几何性质的应用活动与探究1(1)设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是( )A ． 2B ． 3C ．3＋12D ．5＋12(2)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x迁移与应用求双曲线4x 2－y 2＝4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程．【名师点津】(1)已知双曲线的方程求其几何性质时，若不是标准方程的先化为标准方程，确定方程中a ，b 的对应值，利用c 2＝a 2＋b 2得到c 的值，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b＞0)的渐近线方程为y ＝±abx ，两者容易记混，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解即可得渐近线方程，这样就不至于记错了．二、由双曲线的几何性质求标准方程活动与探究2求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：(1)双曲线过点(3,92)，离心率e ＝103．(2)双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．(3)与双曲线x 2－2y 2＝2有共同的渐近线，且经过点(2，－2)． (4)过点P (2，－1)，渐近线方程是y ＝±3x ．迁移与应用1．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( ) A ．x 225－y 29＝1 B ．x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1 C ．x 2100－y 236＝1 D ．x 2100－y 236＝1或y 2100－x 236＝1 2．已知双曲线的一个焦点坐标为(13，0)，渐近线方程为2x ±3y ＝0，则双曲线的标准方程为( )A ．x 24－y 29＝1B ．x 29－y 24＝1C ．x 22－y 23＝1D ．x 23－y 22＝1 【名师点津】(1)由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程的常用方法：一是设法确定基本量a ，b ，c ，从而求出双曲线的标准方程；二是采用待定系数法．首先依据焦点的位置设出标准方程的形式，再由题目条件确定参数的值．当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，防止遗漏．为了避免讨论，也可设方程为mx 2－ny 2＝1(mn ＞0)，从而直接求解．(2)若是根据双曲线的渐近线求标准方程，设法为：①若双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ，则双曲线方程可表示为x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0)；②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)共渐近线的双曲线方程可表示为x 2a 2－y 2b2＝λ(a ＞0，b＞0．λ≠0)；与双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)共渐近线的双曲线方程可表示为y 2a 2－x 2b2＝λ(a＞0，b ＞0，λ≠0)．三、与双曲线离心率有关的问题活动与探究3(1)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A ． 2B ． 3C ．2D ．3(2)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞1，b ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范围．迁移与应用1．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )A ．31414B ．324C ．32D ．432．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率．【名师点津】(1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a ，c ，再计算e ＝c a；二是依据条件建立参数a ，b ，c 的关系式，如果含有b ，一种方法是消去b 转化成离心率e 的方程求解，另一种方法是消去c 转化成含b a 的方程，求出ba 后利用e ＝1＋b 2a2求离心率． (2)双曲线的离心率是双曲线几何性质的一个重要参数，常与直线、三角形、向量等平面几何知识综合考查，求双曲线离心率(或离心率的取值范围)的关键是由条件寻找a ，c 所满足的等式(或不等式)．四、直线与双曲线的位置关系活动与探究4(1)已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1,0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l的条数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1(2)过点P (8,1)的直线与双曲线x 2－4y 2＝4相交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点，求直线AB 的方程．迁移与应用已知双曲线x 2－y 2＝4，直线l ：y ＝k (x －1)，试讨论实数k 的取值范围． (1)直线l 与双曲线有两个公共点；(2)直线l 与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l 与双曲线没有公共点．【名师点津】双曲线的综合问题最终仍体现在直线与双曲线轨迹、向量的应用及参数范围的探求上，直线与双曲线方程联立后，要注意二次项系数为零的情况．另外，设而不求、根与系数的关系、消参也是常用的方法．在解题时，应有意识地运用这些方法，达到熟练掌握的程度．答案【问题导学】活动与探究1(1)【思路分析】根据已知条件，利用坐标表示垂直，求出a ，b ，c 的关系，消去b ，进而求得c a的值．[答案]D[解析]不妨设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，取虚轴的一个端点为B (0，b )，一个焦点为F (c,0)，则直线FB 与渐近线y ＝bax 垂直，∴－b c ·b a ＝1．∴b 2－ac ＝0．又∵c 2＝a 2＋b 2，∴c 2－ac －a 2＝0．∴e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)．(2)【思路分析】由已知求出b ，c ，然后利用平方关系求出a ，最后根据方程写出渐近线．[答案]C[解析]由已知2b ＝2,2c ＝23，∴b ＝1，c ＝3．∴a 2＝c 2－b 2＝2．由双曲线的焦点在x 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ．迁移与应用 [答案]解：将4x 2－y 2＝4变形为x 2－y 24＝1，即x 212－y 222＝1，∴a ＝1，b ＝2，c ＝5，∴顶点A 1(－1,0)，A 2(1,0)，焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，实半轴长是a ＝1，虚半轴长是b ＝2，离心率e ＝c a ＝5．渐近线方程为y ＝±b ax ＝±2x ．活动与探究2 【思路分析】(1)(2)可用待定系数法求出a ，b ，c 后求方程；(3)(4)可以利用渐近线的方程进行假设．[答案]解：(1)e 2＝109，得c 2a 2＝109，设a 2＝9k (k ＞0)，则c 2＝10k ，b 2＝c 2－a 2＝k ．于是，设所求双曲线方程为x 29k －y 2k ＝1①或y 29k －x 2k＝1②．把(3,92)代入①，得k ＝－161与k ＞0矛盾，无解；把(3,92)代入②，得k ＝9，故所求双曲线方程为y 281－x 29＝1．(2)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1．故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1．(3)设所求双曲线方程为x 2－2y 2＝k ．③由于双曲线过点(2，－2)，将(2，－2)代入③，得k ＝22－2·(－2)2＝－4．故所求双曲线方程为x 2－2y 2＝－4，即y 22－x 24＝1．(4)方法一：首先确定所求双曲线的标准类型，可在图中判断一下点P (2，－1)在渐近线y ＝－3x 的上方还是下方．如图所示，x ＝2与y ＝－3x 交点为Q (2，－6)，P (2，－1)在Q (2，－6)的上方，所以焦点在x 轴上．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ba＝3，4a 2－1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝359，b 2＝35.∴所求双曲线方程为x 2359－y 235＝1．方法二：由渐近线方程3x ±y ＝0，可设所求双曲线方程为x 219－y 2＝λ(λ≠0)．(*)将点P (2，－1)的坐标代入(*)，得λ＝35， ∴所求的双曲线方程为x 2359－y 235＝1．迁移与应用1．[答案]B [解析]由已知a ＝5，b ＝3．当焦点在x 轴上时，方程为x 225－y 29＝1；当焦点在y 轴上时，方程为y 225－x 29＝1．2．[答案]B [解析]设双曲线方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)，即x 2λ4－y 2λ9＝1(λ≠0)． ∵双曲线的焦点坐标为(13，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ>0，λ4＋λ9＝13.∴λ＝36．∴双曲线的标准方程为x 29－y 24＝1．活动与探究3(1)【思路分析】设出双曲线的标准方程，将|AB |用参数a ，b 表示，然后根据“|AB |为C 的实轴长的2倍”，列关于a ，b 的等式，由此求离心率．[答案]B [解析]设双曲线的两焦点分别为F 1，F 2，由题意可知|F 1F 2|＝2c ，|AB |＝2|AF 1|＝4a ，在Rt△AF 1F 2中，∵|AF 1|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，|AF 2|＝4a 2＋c 2，∴|AF 2|－|AF 1|＝4a 2＋c 2－2a ＝2a ，即3a 2＝c 2，∴e ＝c a＝3．(2)【思路分析】写出直线l 的方程→写出点(1,0)到直线l 的距离→写出点(－1,0)到直线l 的距离→依题意列出不等式→求出e 的范围．[答案]解：直线l 的方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0．点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b a －1a 2＋b 2，点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝b a ＋1a 2＋b 2， s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b2＝2abc ，由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c 2－a 2≥2c 2，于是得5e 2－1≥2e 2，即4e 4－25e 2＋25≤0，得54≤e 2≤5．由于e ＞1＞0，所以e 的取值范围是52≤e ≤5．迁移与应用1．[答案]C [解析]由双曲线的右焦点为(3,0)知c ＝3，即c 2＝9，又∵c 2＝a 2＋b 2，∴9＝a 2＋5，即a 2＝4，a ＝2．故所求离心率e ＝c a ＝32．2．[答案]解：设F 1 (c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b2＝1，则y ＝±b 2a．由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°，知|PF 1|＝|F 1F 2|， ∴b 2a＝2c ，∴b 2＝2ac ． ∴c 2－2ac －a 2＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－2×c a －1＝0．即e 2－2e －1＝0．∴e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)． ∴所求双曲线的离心率为1＋2．活动与探究4(1)【思路分析】注意点P (1,0)恰好是双曲线的右顶点，从而利用数形结合就可确定直线条数．[答案]B [解析]由已知点P (1,0)是双曲线的右顶点，故过点P (1,0)且与x 轴垂直的直线与双曲线相切，它们只有一个公共点．另外过点P (1,0)且与其中一条渐近线平行的直线与双曲线相交，它们只有一个公共点．所以满足条件的直线l 有三条．(2)【思路分析】若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝2，可把A ，B 两点代入双曲线方程，通过作差法求得k 即可．[答案]解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵(8,1)是弦AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝2．把A ，B 两点坐标代入x 2－4y 2＝4，得x 21－4y 21＝4，①x 22－4y 22＝4，②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0． ∴y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24y 1＋y 2＝164×2＝2，即直线AB 的斜率为2．∴所求的直线方程为y －1＝2(x －8)，即2x －y －15＝0．经验证该直线符合题意．迁移与应用 [答案]解：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝4，y ＝k x －1，消去y ，得(1－k 2)x 2＋2k 2x －k 2－4＝0．(*)当1－k 2＝0，即k ＝±1时，直线l 与双曲线渐近线平行，方程(*)化为2x ＝5，故此方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点．当1－k 2≠0，即k ≠±1时，Δ＝(2k 2)2－4(1－k 2)·(－k 2－4)＝4(4－3k 2)．①⎩⎪⎨⎪⎧ 4－3k 2>0，1－k 2≠0，即－233＜k ＜233，且k ≠±1时，方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点． ②⎩⎪⎨⎪⎧4－3k 2＝0，1－k 2≠0，即k ＝±233时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有一个公共点．③⎩⎪⎨⎪⎧4－3k 2<0，1－k 2≠0，即k ＜－233或k ＞233时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点．综上所述，(1)当－233＜k ＜－1，或－1＜k ＜1，或1＜k ＜233时，直线与双曲线有两个公共点；(2)当k ＝±1，或k ＝±233时，直线与双曲线有且只有一个公共点；(3)当k ＜－233，或k ＞233时，直线与双曲线没有公共点．。

2.3.2双曲线的简单几何性质(1)(教学设计)

2．3．2双曲线的简单几何性质（1）（教学设计）教学目标：知识与技能目标了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条件，求出表示曲线的方程；（2）通过方程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题。

过程与方法目标通过观察、类比、转化、概括等探究，提高运用方程研究双曲线的性质的能力。

情感、态度与价值观目标使学生在合作探究活动中体验成功，激发学习热情，感受曲线美、数学美。

教学重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质教学难点：渐近线的性质。

教学过程：一、复习回顾：1、双曲线的标准方程：12222=-b y a x ,(a>0,b>0)…… 表示焦点在x 轴上的双曲线 ()222210,0y x a b b a-=>>……表示焦点在y 轴上的双曲线 2、求双曲线标准方程的方法：待定系数法二、创设情境、新课引入类比椭圆简单几何性质，探究双曲线的简单几何性质。

三、师生互动、新课讲解：问题1：作图：221169x y -=和221916y x -= 问题2：12222=-b y a x (a>0,b>0)和()222210,0y x a b ba -=>>有哪些性质？通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质．1、双曲线的简单几何性质（列表解析）①范围：由双曲线的标准方程得，222210y x b a=-≥，进一步得：x a ≤-，或x a ≥．这说明双曲线在不等式x a ≤-，或x a ≥所表示的区域；②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；④离心率：双曲线的焦距与实轴长的比ac e =叫做双曲线的离心率（1e >）．⑤渐近线：直线b y x a =±叫做双曲线22221x y a b-=的渐近线；双曲线的渐近线方程推导：先取双曲线在第一象限内的部分进行证明，这一部分的方程可写为y=)(22a x a x ab >- 设M(x,y)是它上面的点，N(x,y)是直线y=x a b 上与M 有相同横坐标的点，则Y=x a b , 因为，y=Y x ab x a x a b a x a b =<-=-222)(1 所以，|MN|=Y-y=22(a x x a b --) =22a x x ab-+因此，把两条直线y=x a b ±叫做双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的渐近线。

高中数学人教A版选修2-1第二章2.3.2双曲线的简单几何性质教学设计

人教A版高中数学2-1（选修）2.3.2双曲线的简单几何性质一、教材分析本节课是人教A版高中数学2-1（选修）第二章圆锥曲线与方程的第三节双曲线中的第二小节双曲线的简单几何性质的第一课时，本节知识是讲完了双曲线及其标准方程之后，反过来利用双曲线的方程研究双曲线的几何性质它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点。

本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中用类比的研究方法进行讲解，主要应指出它们的联系与区别。

对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，利用图形启发引导学生理解渐近线的几何意义，渐近线的位置、渐近线与双曲线张口之间的关系是学生学习离心率的概念、搞懂离心率与双曲线形状之间的关系。

二、教学目标1．知识与技能(1)使学生理解并掌握双曲线的几何性质；(2)能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质；(3)能利用双曲线的几何性质求出双曲线的标准方程。

2．过程与方法在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力。

3．情感态度与价值观使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，体会与同学之间交流合作的重要性。

三、教学重点、难点重点：双曲线的几何性质及初步运用。

难点：双曲线的渐近线方程的推出和证明。

四、教法与学法分析教法分析：根据本节课的特点，采用引导发现和类比归纳相结合的教学方法，引导学生利用已学知识解决新的问题，调动学生的积极性，鼓励学生通过观察图形发现问题，突破难点。

学法分析：学生在教师创设的问题情境中，通过观察、类比、探究、归纳，用所学知识解决新的问题，并通过多媒体演示让学生更形象的了解了图形的变化，体现了类比和数形结合的数学思想方法的应用。

五、教学过程。

高中数学选修2-1教学设计-双曲线的简单几何性质

双曲线的简单几何性质课前预习学案预习目标：⒈理解双曲线的简单几何性质；⒉会用双曲线的性质解题.预习内容： ()2210,0a b b a-=>> 提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案学习目标：㈠知识目标：⒈会求双曲线的标准方程；2.会用双曲线的几何性质解决有关问题.㈡能力目标：⒈会利用双曲线的定义、性质解决有关问题；⒉进一步加强数形结合思想；学习重点：会利用双曲线的定义、性质解决有关问题学习难点：直线与双曲线的位置关系的问题．学习过程：例1一椭圆其中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为132，一双曲线和这椭圆有公共焦点,且双曲线的半实轴比椭圆的长半轴长小4，且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为7:3，求椭圆和双曲线的方程．（22221,1493694x y x y +=-=）例2、过点(0,3)作直线l ，如果它与双曲线13422=-y x 有且只有一个公共点，则直线l 的条数是____________________．.（4）当堂检测：1.设双曲线以椭圆192522=+y x 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（）A ．2±B ．34±C ．21±D ．43±2共轭双曲线的离心率分别为e 1与e 2，则e 1与e 2的关系为：（）A 、e 1=e 2B 、e 1e 2=1C 、11121=+e e D 、1112221=+e e 3若方程152||22=-+-ky k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是：（）A 、)5,2()2,( --∞B 、)5,2(-C 、),5()2,(+∞--∞D 、),5()2,2(+∞-（1. C ．2. D 、3. D 、）五、课后练习与提高：1.以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若1(),2OP OA OB =+则动点P 的轨迹为椭圆；③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线13519252222=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点. 其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）2.若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是，则双曲线的方程是__________。

高中数学选修2-1精品教案3：2.3.2 双曲线的简单几何性质教学设计

(三)渐近线双曲线的范围在以直线by xa=和by xa=-为边界的平面区域内，那么从x,y的变化趋势看，双曲线22221x ya b-=与直线by xa=±具有怎样的关系呢？根据对称性，可以先研究双曲线在第一象限的部分与直线by xa=的关系。

双曲线在第一象限的部分可写成：当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．在其他象限内也可以证明类似的情况．现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线．(四)离心率由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．这时，指出：焦点在y 轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变．（五）例题讲解例1求双曲线22143x y -=的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程，并画出双曲线的草图。

分析：由双曲线的标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用双曲线的实轴长、虚轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y 轴上的渐近线是ay x b=±．例2 已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。

例3求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()23,3A -点的双曲线的标准方及离心率．分析：已知双曲线的渐近线求双曲线的标准方程：方法一按焦点位置分别设方程求解；方法二可直接设所求的双曲线的方程为()22,0169x y m m R m -=∈≠ 例4.如图，设(),M x y 与定点()5,0F 的距离和它到直线l ：165x =的距离的比是常数54，求点M 的轨迹方程．分析：若设点(),M x y ，则()225MF x y =-+，到直线l ：165x =的距离165d x =-，则容易得点M 的轨迹方程．例5.双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），它的最小半径为12m ，上口半径为13m ，下口半径为25m ，高为55m ．试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到1m ）．练习反馈1．已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e 和渐近线方程． (1)16x 2－9y 2=144；(2)16x 2－9y 2=－144．限时训练 2．求双曲线的标准方程：(1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上； (2)焦距是10，虚轴长是8，焦点在y 轴上；曲线的方程．点到两准线及右焦点的距离．课堂小结作业布置提高。

高中数学选修2-1精品教案1：2.3.2 双曲线的简单几何性质教学设计

2．3.2 双曲线的简单几何性质◆知识与技能目标了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条件，求出表示曲线的方程；（2）通过方程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题．◆过程与方法目标让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．◆情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新．◆教学过程一.复习引入双曲线的定义及标准方程二.思考分析问题1：双曲线的对称轴和对称中心各是什么？提示：坐标轴、坐标原点问题2：在双曲线中，有两条线与双曲线无限靠近，但不能相交，这条直线叫做什么？提示：双曲线的渐近线．问题3：过双曲线的某个焦点平行于渐近线的直线与双曲线有几个交点？提示：只有一个交点．三.抽象概括1．双曲线的几何性质F(－c,0)，F(c,0)F(0，－c)，F(0，c)实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y ＝±x ，离心率为e ＝ 2.1．双曲线的焦点和顶点在同一条对称轴上．2．利用双曲线的渐近线可以较为精确地画出双曲线，渐近线是直线x ＝±a ，y ＝±b (或x ＝±b ，y ＝±a )围成的矩形的对角线，它决定了双曲线的形状．3．为了便于记忆，根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程时，可以把双曲线标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中等号右边的“1”改成“0”，然后分解因式即可得到渐近线的方程x a ±yb ＝0. 四.例题分析及练习[例1] 求双曲线nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．[思路点拨] 化为标准形式→求a ，b ，c →得双曲线的几何性质 [精解详析] 把方程nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)化为标准方程x 2m －y 2n＝1(m >0，n >0)，由此可知，半实轴长a ＝m ，半虚轴长b ＝n ，c ＝m ＋n ，焦点坐标为(m ＋n ，0)，(－m ＋n ，0)，离心率e ＝ca ＝m ＋n m ＝1＋nm，顶点坐标为(－m ，0)，(m ，0)，渐近线的方程为y ＝±n mx ，即y ＝±mn m x .[感悟体会] 已知双曲线的方程求其几何性质时，若方程不是标准形式的先化成标准方程．弄清方程中的a ，b 对应的值，再利用c 2＝a 2＋b 2得到c ，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．训练题组11．(2011·安徽高考)双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．22C ．4D ．4 2解析：双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，2a ＝4.答案：C2．已知双曲线C 的焦点、顶点恰好分别是椭圆x 225＋y 216＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为( ) A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0解析：由已知得，双曲线焦点在x 轴上，且c ＝5，a ＝3， ∴双曲线方程为x 29－y 216＝1.∴渐近线方程为x 29－y 216＝0，即x 3±y4＝0.答案：A[例2] 求适合下列条件的双曲线标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(3)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共的渐近线，且过点M (2，－2)． [思路点拨]分析双曲线的几何性质→求a ，b ，c →确定讨论焦点位置→求双曲线的标准方程[精解详析] (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8，∴标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)法一：当焦点在x 轴上时，b a ＝32且a ＝3，∴b ＝92.∴所求的方程为x 29－4y 281＝1.当焦点在y 轴上时，a b ＝32且a ＝3，∴b ＝2.∴所求的方程为y 29－x 24＝1.法二：设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)．当λ>0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94；当λ<0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1. ∴所求的方程为x 29－4y 281＝1和y 29－x 24＝1.(3)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝k ，将点(2，－2)代入得k ＝222－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.[感悟体会] 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论．为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．若已知双曲线的渐近线方程y ＝±ba x ，还可以将方程设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，可避免讨论焦点的位置．训练题组23．若双曲线的一个焦点为(0，－13)，且离心率为135，则其标准方程为( )A.x 252－y 2122＝1B.y 2122－x 252＝1C.x 2122－y 252＝1D.y 252－x 2122＝1 解析：依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13.又c a ＝135，所以a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12，故其标准方程为y 252－x 2122＝1. 答案：D4．与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，离心率之和为145的双曲线标准方程为________．解析：椭圆的焦点是(0,4)，(0，－4)，∴c ＝4，e ＝45，∴双曲线的离心率等于145－45＝2，∴4a ＝2，∴a ＝2.∴b 2＝42－22＝12.∴双曲线的标准方程为y 24－x 212＝1. 答案：y 24－x 212＝1.[例3] 已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦．如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率． [思路点拨]设F 1c ，0，将焦点F 1的横坐标代入方程→求出P 的纵坐标及|PF 1|→由∠PF 2Q ＝90°建立a ，b ，c 的关系→求出离心率[精解详析] 设F 1(c,0)，由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°，知|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ，|PF 2|＝22c . 由双曲线的定义得22c －2c ＝2a .∴e ＝c a ＝222－2＝1＋ 2.所以所求双曲线的离心率为1＋ 2.[感悟体会] (1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a ，c ，再计算e ＝ca；二是依据条件建立参数a ，b ，c 的关系式，一种方法是消去b 转化成离心率e 的方程求解，另一种方法是消去c 转化成含b a 的方程，求出ba后利用e ＝1＋b 2a2求离心率． (2)求离心率的范围一般是根据条件建立a ，b ，c 的不等式，通过解不等式得c a 或ba 的范围，再求得离心率的范围．训练题组35．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( )A. 3B.2C.52D.22解析：由题意可知，此双曲线为等轴双曲线．等轴双曲线的实轴与虚轴相等，则a ＝b ，c ＝a 2＋b 2＝2a ，于是e ＝ca ＝ 2.答案：B6．设a >1，则双曲线x 2a2－y 2a ＋12＝1的离心率e 的取值范围是( )A ．(2，2)B ．(2，5)C ．(2,5)D ．(2, 5) 解析：e 2＝a 2＋a ＋12a 2＝1a 2＋2a ＋2＝(1a＋1)2＋1， ∵a >1，∴0<1a <1,1<1a ＋1<2，∴2<e 2<5.又e >1，∴2<e < 5.答案：B7．(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m的值为________．解析：由题意得m ＞0，∴a ＝m ，b ＝m 2＋4，c ＝m 2＋m ＋4，由e ＝ca ＝5得m 2＋m ＋4m ＝5，解得m ＝2.答案：2五.课堂小结与归纳1．已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，然后由方程确定焦点所在的坐标轴，找准a 和b ，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．2．如果已知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，那么双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．3．双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋b a2(a >0，b >0)．六.当堂训练1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 210＝1 解析：由题意e ＝ca ＝2，∴c ＝2a .又c ＝4，∴a ＝2.∴b 2＝42－22＝12.∴双曲线方程是x 24－y 212＝1.答案：A2．(2011·湖南高考)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：∵x 2a 2－y 29＝1(a >0)，∴双曲线的渐近线方程为x 2a 2－y 29＝0，即3x ±ay ＝0.又双曲线的渐近线方程为3x ±2y ＝0，∴a ＝2. 答案：C3．若双曲线x 29－y 2m ＝1的渐近线的方程为y ＝±53x ，则双曲线焦点F 到渐近线的距离为( )A. 5B.14C ．2 D ．2 5解析：∵a ＝3，b ＝m ，∴m 3＝53，∴m ＝5，∴c ＝a 2＋b 2＝14， ∴一个焦点的坐标为(14，0)，到渐近线的距离d ＝|5×14－3×0|5＋9＝ 5.答案：A4．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为边作正△MF 1F 2.若双曲线恰好平分该三角形的另两边，则双曲线的离心率为( ) A ．1＋ 3B ．4＋23C ．23－2D ．23＋2解析：如图，设N 为MF 2的中点，N 在双曲线上，∴|NF 1|－|NF 2|＝2a .又|F 1N |＝3c ，|NF 2|＝c ，∴3c －c ＝2a ，∴e ＝c a ＝23－1＝3＋1.答案：A5．(2011·辽宁高考)已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．解析：根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a ，b 的等式，即4a 2－9b 2＝1.考虑到焦距为4，可得到一个关于c 的等式，2c ＝4，即c ＝2.再加上a 2＋b 2＝c 2，可以解出a ＝1，b ＝3，c ＝2，所以离心率e ＝2. 答案：26．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________．解析：设椭圆C 1的方程为x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＝26，e ＝c 1a 1＝513，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，c 1＝5.∴焦距为2c 1＝10.又∵8<10，∴曲线C 2是双曲线．设其方程为 x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)，则a 2＝4，c 2＝5，∴b 22＝52－42＝32， ∴曲线C 2的方程为x 242－y 232＝1.答案：x 216－y 29＝17．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求此双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在此双曲线上，求证：1F M u u u u r ·2F M u u u u r＝0. 解：(1)∵离心率e ＝ca ＝2，∴a ＝b .设双曲线方程为x 2－y 2＝n (n ≠0)，∵(4，－10)在双曲线上，∴n ＝42－(－10)2＝6.∴双曲线方程为x 2－y 2＝6. (2)∵M (3，m )在双曲线上，故m 2＝3.又F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴kMF 1·kMF 2＝m 3＋23·m 3－23＝－m 23＝－1.∴1F M u u u u r ·2F M u u u u r ＝0. 8．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线离心率e 的取值范围．解：设直线l 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a >1，得点(1,0)到直线l 的距离d 1＝ba －1a 2＋b 2，点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝ba ＋1a 2＋b 2.∴s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b 2＝2abc . 由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c 2－a 2≥2c 2.∵e ＝ca ，∴5e 2－1≥2e 2，∴25(e 2－1)≥4e 4，即4e 4－25e 2＋25≤0，∴54≤e 2≤5(e >1)．∴52≤e ≤5，即e 的取值范围为[52，5]．。