2014考研数学三真题及解析
2014【考研数三】真题及解析
2014年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有（ ） （A ）2n a
a >
（B ）2
n a a <
（C ）1n a a n >-
（D ）1
n a a n
<+
（2）下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）sin y x x =+ （B ）2
sin y x x =+
（C ）1sin
y x x =+ （D ）2
1sin y x x
=+
（4）设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≥ （B ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≤ （C ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥ （D ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥
（5）行列式
0000000
a
b a b
c
d c
d =
（A ）2
()ad bc - （B ）2
()ad bc -- （C ）2222
a d
b
c - （D ）2222
b c a d -
（6）设123,,a a a 均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的
（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件
历年考研数学三真题及答案解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）曲线
2
21
x x
y
x
+
=
-渐近线的条数为（）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
（2）设函数
2
()(1)(2)
x x nx
f x e e e n
=--…（-）
，其中n为正整数，则
(0)
f'
=（
）
（A）
1
(1)(1)!
n n
-
--
（B）
(1)(1)!
n n
--
（C）
1
(1)!
n n
-
-
（D）
(1)!
n n
-
（3）设函数
()
f t
连续，则二次积分
22
2
02cos
()
d f r rdr
π
θ
θ
⎰⎰
=（）
（A
）
222
() dx x y dy
+
⎰
（B
）
222
() dx f x y dy
+
⎰
（C
）
222
1
() dx x y dy
+
⎰⎰
（D
）
222
1
() dx x y dy
+
⎰⎰
（4
）已知级数1
1
(1)
i
nα
∞
=
-
∑
绝对收敛，
2
1
(1)n
i
nα
∞
-
=
-
∑
条件收敛，则
α
范围为（）
（A）0<α
1
2
≤
（B）
1
2< α≤1
（C）1<α≤
3
2（D）
3
2<α<2
（5）设
1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中1234c c c c ，，，为任意常数，则下列向量组线性相关的是（
） （A ）123ααα，， （B ）124ααα，，
（C ）
134ααα，，
（D ）
234ααα，，
（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且P-1AP=112⎛⎫
历年考研数学三真题及答案解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）曲线
2
2
1
x x
y
x渐近线的条数为（）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
（2）设函数
2
()(1)(2)
x x nx
f x e e e n
…（-）
，其中n为正整数，则
(0)
f
=（
）
（A）
1
(1)(1)!
n
n
（B）
(1)(1)!
n
n
（C）
1
(1)!
n
n
（D）
(1)!
n
n
（3）设函数
()
f t
连续，则二次积分
2
2
2
02cos
()
d f r rdr
=（）
（A）
2
2
24
2222
02
()
x
x x
dx x y f x y dy
（B）
2
2
24
22
02
()
x
x x
dx f x y dy
（C）
2
2
2222
02
1
4
()
2
x
dx x y f x y dy
x x
（D）
2
2
22
02
1
4
()
2
x
dx f x y dy
x x
（4）已知级数1
1 (1)sin
n
i n
n
绝对收敛，
2
1
(1)n
i
n
条件收敛，则范围为（）
（A）0<1
2（B）
1
2< 1
（C）1<3
2（D）
3
2<<2
2014年考研数学三真题与解析-高数
2014年考研数学三真题与解析
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
1．设0lim ≠=∞
→a a n n ，则当n 充分大时，下列正确的有（ ）
（A ）2
a a n >
（B ）2
a a n <
（C ）n a a n 1-
> (D)n
a a n 1+< 【详解】因为0≠=∞
→a a n n lim ，所以0>∀ε，N ∃，当N n >时，有ε<-a a n ，即εε+<<-a a a n ，
εε+≤<-a a a n ，取2
a =
ε，则知2
a a n >
，所以选择（A ）
2．下列曲线有渐近线的是
（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2
（C ）x
x y 1sin
+= （D ）x x y 12
sin +=
【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以． 【详解】对于x
x y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01
==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y =
应该选（C ）
3．设3
2
dx cx bx a x P +++=)(，则当0→x 时，若x x P tan )(-是比3
x 高阶的无穷小，则下列选项
中错误的是（ ）
（A ）0=a （B ）1=b （C ）0=c （D ）6
1
=
d 【详解】只要熟练记忆当0→x 时)(tan 3331x o x x x ++
=，显然3
1
010====d c b a ,,,，应该选（D ） 4．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）
2014考研数学(一、三)真题
I ( x 1) 3 dxdz ( y 1) 3 dzdx ( z 1)dxdy
Σ
第 9 页 共 14 页
2014 考研数学真题
（18）【数三】求幂级数
(n 1)(n 3) x
x 0
n
的收敛域及和函数。
（19）【数一】设数列 an , bn 满足 0 an 级数
（I）求方程组 Ax 0 的一个基础解析； （II）求满足 AB E 的所有矩阵 B。
第 11 页 共 14 页
2014 考研数学真题
1 1 （21）证明 n 阶矩阵 1
1 1 0 1 1 0 与 1 1 0
2
， 0 bn
2
， cos an an cos bn ，且
b
x 1
n
收敛
（I）证明： lim an 0 。
x
（II）证明：级数
b
x 1
an
n
收敛
第 10 页 共 14 页
2014 考研数学真题
（19）【数三】设函数 f ( x), g ( x) 在区间 a, b 上连续，且 f ( x) 单调增加， 0 g ( x) 1 ， 证明： （I） 0
0 1 0 2 相似。 0 n
2014年考研数学三真题及答案解析
设随机变量 X 与 Y 的概率分布相同，X 的概率分布为 P{X 0} 1 , P{X 1} 2 , 且 X 与 Y 的相关系数
3
3
XY
1 2
（1） 求（X，Y）的概率分布
（2）求 P{X+Y 1}
第6页
2014 年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题答案
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上. （1）A （2）C （3）D （4）D （5）B （6）A （7）（B） （8）（C） 二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上. （9）20-Q
中错误的是（）
（A） a 0 （B） b 1 （C） c 0 （D） d 1
6
第1页
（4）设函数 f (x) 具有二阶导数， g(x) f (0)(1 x) f (1)x ，则在区间[0,1] 上（ ）
（A）当 f '(x) 0 时， f (x) g(x)
（B）当 f '(x) 0 时， f (x) g(x)
x
t 2
1
et
1
t dt
求极限 lim 1
x
x2 ln(1 1 )
x
（16）（本题满分 10 分）
2014年考研数学三真题和答案
2014年考研数学三真题
一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。下列媒体给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)设lim n→∞
a n =a,且a ≠0，则当n 充分大时有
(A )|a n |>
|a |2
(B ) |a n |<
|a |2
(C ) a n >a −1n
(D ) a n
【答案】A 。 【解析】
【方法1】直接法：
由lim n→∞
a n =a,且a ≠0，则当n 充分大时有
|a n |>
|a |2
【方法2】排除法：
若取a n =2+2
n ,显然a =2,且(B )和(D )都不正确；
取a n =2−2
n
,显然a =2，且(C )不正确
综上所述，本题正确答案是(A )
【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的概念与性质 (2)下列曲线中有渐近线的是
(A )y =x +sin x (B )y =x 2+sin x (C ) y =x +sin 1
x
(D ) y =x 2+sin 1
x
【答案】C 。 【解析】 【方法1】
由于lim
x→∞f(x)
x
=lim
x→∞
x+sin1
x
x
=1=a
lim x→∞[f(x)−ax]=lim
x→∞
[x+sin1
x
−x]=lim
x→∞
sin1
x
=0=b
所以曲线y=x+sin1
x
有斜渐近线y=x，故应选(C)
解法2
考虑曲线y=x+sin1
x
与直线y=x纵坐标之差在x→∞时的极限
lim x→∞[x+sin1
x
−x]=lim
x→∞
sin1
x
=0
则直线y=x是曲线y=x+sin1
x
的一条斜渐近线，故应选(C)
综上所述，本题正确答案是(C)
2014年考研数学三真题(含解析)
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项
符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若a a n n =∞
→lim ，且0≠a ，则当n 充分大时有（ ）
（A ）2
a a n > （B ）2
a a n <
（C ）n a a n 1-
> （D ）n
a a n 1
+< 【答案】A
【考点】极限的概念 【详解】 【解法一】
lim 0n n a a ε→∞
=⇔∀>，当n 充分大时，有-n a a ε<
取2
a ε=
，有-2
n a a a <
即2
2
n a a a a a -
<<+
当0a >时，322n a a a <<；当0a
n a a
a <<.从而2n a a >.
故选A .
【解法二】
根据极限的保号性推论：若,0lim ≠=∞
→a a n n 则存在0>N ，当N n >时，
10,<<>θθa a n
取2
1
=
θ，故选A . 【解法三】
令⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-+--=为偶数
为奇数
n n a n n a a n 111
1，则排除D C B ,,，故选A .
（2）下列曲线中有渐近线的是（ ） （A ）sin y x x =+ （B ）2
sin y x x =+
（C ）1sin y x x =+ （D ）2
1sin y x x
=+ 【答案】C
【考点】函数的渐近线 【详解】
对于选项A ， lim(sin )x x x →∞
+ 不存在，因此没有水平渐近线，
同理可知，选项A 没有铅直渐近线， 而sinx
历年考研数学三真题及答案解析
（2004-2014）历年考研数学三真题及答案解析
20XX 年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有（）
（A ）2
n a a >
（B ）2
n a a <
（C ）1n a a n >-
（D ）1
n a a n
<+
（2）下列曲线有渐近线的是（） （A ）sin y x x =+ （B ）2
sin y x x =+
（C ）1sin
y x x =+ （D ）21
sin y x x
=+
（3）设2
3
(x)a P bx cx dx =+++，当0x →时，若(x)tanx P -是比x 3高阶的无穷小，则下列试题中错误的是 （A ）0a = （B ）1b = （C ）0c = （D ）16
d =
（4）设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（）
（A ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≥ （B ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≤ （C ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥ （D ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥
（5）行列式
0000000
a
b a b
c
d c
d =
（A ）2
()ad bc - （B ）2
()ad bc -- （C ）2222a d b c - （D ）2222b c a d -
考研数学三真题及答案
2014年考研数学三真题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。下列媒体给出的四个选项
中，只有一个选项是符合题目要求的。）
(1)设lll
l→∞
l l=l,且l≠0，则当l充分大时有
(A)|l l|>|l|
2 (B)|l l|<|l|
2
(C)l l>l−1
l (D)l l<l+1
l
【答案】A。
【解析】
【方法1】直接法：
由lll
l→∞
l l=l,且l≠0，则当l充分大时有
|l l|>|l|
2
【方法2】排除法：
若取l l=2+2
l
,显然l=2,且(B)和(D)都不正确；
取l l=2−2
l
,显然l=2，且(C)不正确
综上所述，本题正确答案是(A)
【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的概念与性质
(2)下列曲线中有渐近线的是
(A)l=l+lll l (B)l=l2+lll l
(C)l=l+lll1
l (D)l=l2+lll1
l
【答案】C。【解析】【方法1】
由于lll l →∞
l (l )
l =lll
l →∞
l +lll 1
l
l
=1=l
lll l →∞[l (l )−ll ]=lll l →∞
[l +lll
1
l
−l ]=
lll l →∞
lll 1
l =0=l
所以曲线l =l +lll 1
l
有斜渐近线l =l ，故应选(C)
解法2
考虑曲线l =l +lll 1l
与直线l =l 纵坐标之差在l →∞时的极限
lll l →∞
[l +lll
1l
−l ]=lll l →∞
lll 1
l =0
则直线l =l 是曲线l =l +lll 1
l
的一条斜渐近线，故应选(C) 综上所述，本题正确答案是(C)
2014年考研数学三真题与解析
一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．
）
1．设 lim a n = a ≠ 0 ，则当 n 充分大时，下列正确的有（
n→ ∞
（A） a n >
a 2
n→ ∞
（B） a n <
a 2
（C） a n > a −
1 n
(D) a n < a +
1 n
【详解】因为 lim a n = a ≠ 0 ，所以 ∀ε > 0 ，∃N ，当 n > N 时，有 a n − a < ε ，即 a − ε < a n < a + ε ，
a − ε < a n ≤ a + ε ，取 ε =
2．下列曲线有渐近线的是 （A） y = x + sin x （C） y = x + sin
a 2
，则知 a n >
a 2
，所以选择（A）
（B） y = x 2 + sin x （D） y = x 2 + sin
1 x
1 x
【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以． 【详解】对于 y = x + sin 应该选（C） 3．设 P ( x ) = a + bx + cx 2 + dx 3 ，则当 x → 0 时，若 P ( x ) − tan x 是比 x 3 高阶的无穷小，则下列选项 中错误的是（ （A） a = 0 ） （B） b = 1 （C） c = 0 （D） d =
2014年考研数三真题及答案解析(完整版)
2014年考研数三真题与答案
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有（ ） （A ）2n a a >
（B ）2
n a a <
（C ）1
n a a n >-
（D ）1
n a a n
<+
（2）下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+
（C ）1sin
y x x =+ （D ）2
1sin y x x
=+
（3）设23(x)a P bx cx dx =+++ ，当0x → 时，若(x)tanx P - 是比x 3高阶的无穷小，则下列试题中错误的是 （A ）0a = （B ）1b = （C ）0c = （D ）16
d =
（4）设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≥ （B ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≤ （C ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥ （D ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥
（5）行列式
00000000a b a
b
c d c d
= （A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a d b c -
（D ）2222
b c a d -
2014考研数学三试题及答案解析【完整版】
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历年考研数学三真题及答案解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）曲线
2
2
1
x x
y
x渐近线的条数为（）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
（2）设函数
2
()(1)(2)
x x nx
f x e e e n
…（-）
，其中n为正整数，则
(0)
f
=（
）
（A）
1
(1)(1)!
n
n
（B）
(1)(1)!
n
n
（C）
1
(1)!
n
n
（D）
(1)!
n
n
（3）设函数
()
f t
连续，则二次积分
2
2
2
02cos
()
d f r rdr
=（）
（A）
2
2
24
2222
02
()
x
x x
dx x y f x y dy
（B）
2
2
24
22
02
()
x
x x
dx f x y dy
（C）
2
2
2222
02
1
4
()
2
x
dx x y f x y dy
x x
（D）
2
2
22
02
1
4
()
2
x
dx f x y dy
x x
（4）已知级数1
1 (1)sin
n
i n
n
绝对收敛，
2
1
(1)n
i
n
条件收敛，则范围为（）
（A）0<1
2（B）
1
2< 1
（C）1<3
2（D）
3
2<<2
（5）设
1
2
3
4
1
2
3
4
1
1
0,
1,
1,1c c c c 其中
1234c c c c ，，，为
任意常数，则下列向量组线性相关的是（
）（A ）
1
2
3
，，
（B ）
1
2
4
，，（C ）
13
4
，
，
（D ）
234
，
，
（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且
P-1AP=
1
1
2
，1
2
3
=P （
，
，
），1
2
2
3
=Q （
+
，
，
）则1
=Q
AQ （）
历年考研数学三真题及答案解析(2004-2012)汇总
2012考研数学真题完整版——数学三真题（跨考版）
2011年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
(1) 已知当0x →时，函数()3sin sin 3f x x x =-与是k
cx 等价无穷小，则
(A) 1,4k c == (B) 1,4k c ==-
(C) 3,4k c == (D) 3,4k c ==-
(2) 已知()f x 在0x =处可导，且(0)0f =,则2330()2()lim x x f x f x x →-=
(A) '
2(0)f - (B) '
(0)f - (C) '
(0)f (D) 0 (3) 设
{}n u 是数列，则下列命题正确的是
(A) 若1
n
n u
∞
=∑收敛，则21
21
()
n n n u
u ∞
-=+∑收敛
(B) 若
21
21()
n n n u
u ∞
-=+∑收敛，则
1
n
n u
∞
=∑收敛
(C) 若1
n
n u
∞
=∑收敛，则21
21
()
n n n u
u ∞
-=-∑收敛
(D) 若
21
21
()
n n n u
u ∞
-=-∑收敛，则
1
n
n u
∞
=∑收敛
(4) 设4
ln(sin )I x dx π=⎰,
40
ln(cot )J x dx π
=⎰,
40
ln(cos )K x dx
π
=⎰ 则I ,J ,K 的大小关系
是
(A) I J K << (B) I K J << (C) J I K << (D) K J I <<
(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得
-历年考研数学三真题及答案解析
是c+等价无穷小，则
(C) R = 3,c = 4
已知 f(x)在 X = O 处可导，且 /(0) = 0,则 Iim x ~f M
~
2 / CV
)
Λ→0
设｛冷｝是数列，则下列命题正确的是
OO
X
若£心收敛’则∑(∕G H -I +U 2π)收敛
/1-1
n-1
X OC
若£(%如)收敛，则收敛
“■]
/1-1
OO X
若X ©收敛，则X(∕Y 2^1 T6)收敛 ∕ι≡l
π-! 若X("2-1 Tf 2』收敛‘则X ©收敛
π-l ∕ι≡l
π JT π
设/ =JJIn(Sin x)dx , J = JJ In(COt x)dx, K = U In(COS x)dx 贝IJ 八 J , K
的大 小关系是
解，k lt k 2为任意常数.则Ax = β的通解为
(A) k = l,c = 4
(B) IC = ^C =-4
⑷-2/(0)
(B) -/'(O) (C) /(O) (D) 0
(C) (D)
(A) I
⑸ 设A 为3阶矩阵・将A 的第2列加到第1列得矩阵3.再交换B 的第2行与第3
1 O O
U O 0,
行得单位矩阵记为片=
1 1 O
，£ = O O 1
,0 0 1’
O 1 O 丿
(C) P 2P 1 (D) P['P ∖
(6)设人为4x3矩阵，7，J Il > “3 是非齐次线性方程组AX = 0的3个线性无关的
(B) P^P I (A)砒 ,则4 =
(B)t h∑211 + k2{η2-η^
(C)T h；+ & (% - 帀)+ £(“2 - 7)
(D)+ «2(〃2 一〃1)+ 鸟3(〃3一帀)
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2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、选择题：1～8 小题，每小题4 分，共32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.
（1）设lim a n a, 且a 0, 则当n 充分大时有（）
（A）a
（B）a
1
（C）a n a
n
1
（D）a n a
n
（2）下列曲线有渐近线的是（）
（A）y x s in x
（B）y x2 s in x
（A）当f '(x) 0时，f x( ) g x( )
（B）当f '(x) 0时，f x( ) g x( )
（C）当f '(x) 0时，f x( ) g x( )
（D）当
f '(x) 0时，f x( )
g x( )
0 a
a 0 （5）行列式0 c c 0b
d
b
0 d
（A）(ad bc)2
（B） (ad bc)2
（C）a d22 b c2 2
（D）b c2 2 a d2 2
（6）设a a1,2,a3 均为3 维向量，则对任意常数k,l ，向量组 1 k 3, 2 l 3 线性无关是向量组 1, 2, 3
线性无关的（A）必要非充分条件
（B）充分非必要条件
（C）充分必要条件
（D）既非充分也非必要条件
（7）设随机事件A 与B 相互独立，且P（B）=0.5，P(A-B)=0.3，求P（B-A）=（）（A）0.1
（B）0.2
（C）0.3
（D）0.4
（8）设X X X1, , 为来自正态总体N (0, 2) 的简单随机样本，则统计量X
1
X
2 服从的分布为
2 3 2 X
（A）F（1,1）
（B）F（2,1）
（C）t(1）
（D）t(2)
二、填空题：9 14 小题，每小题4 分，共24 分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.
（9）设某商品的需求函数为Q 40 2P （P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。
(10)设D是由曲线xy 10 与直线y x 0及y=2 围成的有界区域，则D 的面积为_________。
a
(11)设xe2x dx ，则a _____.
2
x 2
(12)
二次积分
1
dy 1
(
e e y 2 )dx ________.
y
x （13） 设二次型f x x ( 1, 2, x 3) x 12 x 22 2ax x 1 3 4x x
2 3 的负惯性指数为1，则a 的取值范围
是_________
2x
（14） 设总体X 的概率密度为f x ( ; ) 3 2 x 2 ，其中 是未知参数, X X 1 , 2 ,..., X n ,
为来自
0 其它
总体X 的简单样本，若c
n
x
i 2
是
2 的无偏估计，则c = _________
i 1
三、解答题：15—23 小题，共94 分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10 分）
1
x
2
t
1 t dt t e 1
求极限lim x 2
1
x ln(1 )
x
（16）（本题满分10 分）
2
2
2 2 ，计算
x sin( x y ) dxdy . 设平面区域D {(x y , )
|1 x y 4, x 0, y 0}
D
x y
（17）（本题满分10 分）
2
2 x
满足
z z 2 4(z
e x cos y e ) 2x ，若设函数
f (u ) 具有2 阶连续导数，z f e ( cos y ) 2 x y
4
f (0) 0, f '(0) 0 ，求f (u ) 的表达式。（18）（本题满
分10 分）
求幂级数
(n 1)(n 3)x n
的收敛域及和函数。
n 0
（19）（本题满分10 分）设函数f x ( ), g x ( ) 在区间[a b , ] 上连续，且f (x ) 单调增加，0 g x ( ) 1 ，证明：
x
（I ）0 g t dt ( ) x a x , [a b ,
];
a b （II ）
a
a g t dt ( )f x dx (
) b f x g x dx (
)(
). a
a
1 2 3 （20）（本题满分11 分）设A
1
1 2
4
1 ，E 为3 阶单位矩阵。 3
①求方程组Ax 0的一个基础解系；
②求满足AB E 的所有矩阵B
1 1 1 0 0 1
（21） （本题满分11 分）证明n 阶矩阵 1 1
1 与 0 0
2 相似。
1 1 1 0 0 n
（22） （本题满分11 分）
设随机变量X 的概率分布为P{X=1}=P{X=2}= ，在给定X i 的条件下，随机变量Y 服从均匀分布
U (0,i i )( 1,2)
（1）求Y 的分布函数F Y (y ) （2）求EY
（23）（本题满分11 分）