平行四边形与矩形的综合运用

合集下载

北师版初中九上数学1.2.3矩形的性质与判定的综合应用【课件】

∠ + ∠ + ∠ + ∠ = °.
∴四边形AGBD是矩形.
∴四边形ABCD是平行四边形.
A
∟
∟D
1、定义：
∟
B
2、性质和判定：
性
质
边
同平行四边形
角
四个角都是直角
对角线
对角线相等且互相平分
判
定
1、有一个角是直角的平行四边形.
2、有三个角是直角的四边形.
3、对角线相等的平行四边形.
2x
2
8 x 2 2 3 x,
K
1、已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对
角线所成的锐角的度数是（ C ）.
A、100°
B、90°
C、80°
D、70°
2、矩形的一边长为6，各边中点围成的四边形的周长是20 ，则
矩形的对角线长为
.
10 ，面积为 48
3、平行四边形四个内角的平分线，如果能围成
（2）若AB＝4cm，AD＝5cm，
求线段CE的长.
（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴DC=AB=4，∠B=∠C=90°.
由题意得AF=AD=5，EF=DE=x，EC=4-x.
由勾股定理，得BF2=52-42，∴BF=3，CF=5-3=2.
在△EFC中，由勾股定理得x2=22+（4-x）2，
解得：x=2.5，EC=4-2.5=1.5．
知识讲解
例1 如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交
于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长.
分析：在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，
BE ︰ ED=1︰3，易证得△OAB是等边三

人教版初中八年级下册数学课件《矩形》平行四边形(第1课时矩形的性质)

A
D
O
B
C
基础训练 1. 下面性质中，矩形不一定具有的是（ D）
A．对角线相等
B．四个角都相等
C．是轴对称图形 D．对角线垂直
2. 过四边形的各个顶点分别作对角线的平行线，若这四条平行线围成一个矩形，则原四边形一定是（ D ）
A．对角线相等的四边形 B．对角线互相平分且相等的四边形 C．对角线互垂直平分的四边形 D．对角线垂直的四边形
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°.点D是 AB的中点，点E为边AC上一点，连接CD，DE，以DE为边在 DE的左侧作等边△DEF，连接BF. 判断△BCD的形状；
温馨提示：矩形的定义有两个要素：
A
D
①四边形是平行四边形
②有一个角是直角，二者缺一不可。
B
C
矩形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质，但它也有自己独特的性质。
2.矩形的性质（从边、角、对角线三个方面总结）
(1).边：①两组对边分别平行 ② 两组对边分别相等
A
D
几何语言：∵四边形ABCD是矩形
3. 已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所夹锐角的度数为（）D
A．50° B．60° C．70° D．80°
4. 矩形ABCD中，AB=2BC，E在CD上，AE=AB，则∠BAE等于
（）
A
A．30° B．45° C．60° D．120°
例2. 如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm,对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少？
B
C
∴AB//CD,AD//BC
AB=CD,AD=BC

平行四边形、菱形、矩形、正方形的综合应用

学生学校年级学科数学教师日期时段次数课题北师大版---正方形的性质与判定(二)考点分析1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．教学步骤及教学内容教学过程：一、教学衔接（课前环节）1、回收上次课的教案，了解家长的反馈意见；2、检查学生的作业，及时指点3、捕捉学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容二二、课前热身：学生总结菱形、矩形与正方形的性质与判定定理及它们之间的转换关系三、内容讲解：①.教学内容知识点1：矩形、菱形的综合应用 P3例1、例2、例3 P3- P5知识点2：菱形与勾股定理综合应用 P6例1、例2、例3P6-P7知识点3：正方形、勾股定理与三角形综合应用P8例1、例2、例3 P8-P10②.教学辅助练习（或探究训练）变式训练1 P5-P6变式训练2 P7-P8变式训练3 P10四、课堂小结五、作业布置P11-P13教导处签字：日期：年月日课后评价一、学生对于本次课的评价○特别满意○满意○一般○差学生签字：二、教师评定1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差2、学生本次上课情况评价：○好○较好○一般○差教师签字：作业布置教师留言家长留言家长签字：日期：年月日心灵鸡汤 1、我努力，我坚持，我一定能成功。

2、站在新起点，迎接新挑战，创造新成绩。

讲义：正方形的性质与判定（二）学生：学科：数学教师：日期：教学步骤及教学内容包括的环节：一、作业检查。

检查学生的作业，及时指点。

二、课前热身：回顾特殊平行四边形的性质与判定及它们之间的转化关系知识点一：矩形、菱形的综合应用例1．如图，在ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ．（1）求证：△ADE ≌△CBF ；（2）若四边形BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴∠1=∠C ，AD=CB ，AB=CD ．∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点， ∴AE=12AB ，CF=12CD ． ∴AE=CF ．∴△ADE ≌△CBF ．（2）当四边形BEDF 是菱形时，四边形AGBD 是矩形． ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ． ∵AG ∥BD ，∴四边形AGBD 是平行四边形． ∵四边形BEDF 是菱形， ∴DE=BE ． ∵AE=BE ， ∴AE=BE=DE ．∴∠1=∠2，∠3=∠4．∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°， ∴2∠2+2∠3=180°． ∴∠2+∠3=90°．即∠ADB=90°，∴四边形AGBD 是矩形．例2、顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是（） A ．正方形 B ．矩形C ．菱形D ．等腰梯形【答案】C 。

平行四边形与矩形的特性

平行四边形与矩形的特性平行四边形和矩形是几何学中常见的两种特殊四边形。

本文将探讨平行四边形和矩形的定义、特性及其应用。

一、平行四边形的定义和特性1. 定义：平行四边形是指具有两对对边是平行线的四边形。

2. 平行四边形的特性：a. 对边平行性：平行四边形的两对对边是平行线，相邻边之间没有交点。

b. 对角线性质：平行四边形的对角线相互平分，即对角线交于一点，并且对角线的长度相等。

c. 边长性质：平行四边形的对边长度相等。

d. 内角性质：平行四边形的内角和为360度，即所有内角的和为一个圆周角。

二、矩形的定义和特性1. 定义：矩形是指具有四个内角均为直角的四边形。

2. 矩形的特性：a. 内角性质：矩形的每个内角都是90度。

b. 对边平行性：矩形的对边是平行线，相邻边之间没有交点。

c. 边长性质：矩形的对边长度相等。

d. 对角线性质：矩形的对角线相等，且互相平分。

三、平行四边形与矩形的关系及应用1. 平行四边形是矩形的特殊情况：矩形是一种具有特殊角度和边长关系的平行四边形。

2. 矩形的特性也适用于平行四边形：矩形的特性包括对边平行性、边长性质和对角线性质，同样适用于平行四边形。

3. 应用：a. 建筑设计：平行四边形和矩形在建筑设计中常用于平面结构的布局，例如平行四边形的柱子排列和矩形的房间布局。

b. 地理测量：平行四边形和矩形在测量中用于定位和测算，例如测量土地面积时可以利用矩形或平行四边形的特性计算面积。

c. 艺术设计：平行四边形和矩形的几何形状经常出现在艺术设计中，例如建筑设计、绘画和图案的构图。

总结：平行四边形和矩形是几何学中常见且重要的形状。

它们具有各自的定义和特性，同时也存在一些相互重叠的特性。

了解和应用平行四边形和矩形的特性，有助于我们在实际生活和学习中更好地理解和应用几何学的原理。

通过合理运用平行四边形和矩形的特性，我们可以更有效地解决各种与形状、定位和测量相关的问题。

平行四边形与矩形的面积应用

平行四边形与矩形的面积应用在几何学中，平行四边形和矩形是两个重要的概念。

它们在计算面积时有着不同的应用方法。

本文将探讨平行四边形和矩形的面积计算方法，并介绍它们在现实生活中的应用。

一、平行四边形的面积应用平行四边形是一个具有两对平行边的四边形。

我们可以通过以下公式计算平行四边形的面积：面积 = 底边 ×高其中，底边是平行四边形底部的边长，高是从底边到上边平行线的距离。

平行四边形的面积应用广泛。

例如，在日常生活中，我们经常遇到类似平行四边形形状的物体，如桌子、地板等。

通过计算平行四边形的面积，我们可以确定需要的材料数量，使得我们能够更好地预估成本和资源需求。

此外，平行四边形的面积计算也在建筑设计和土地规划中得到应用。

在设计建筑物或规划土地使用时，我们需要计算平行四边形的面积来确定使用面积，从而合理布局和安排建筑或土地。

二、矩形的面积应用矩形是一个拥有四个直角的四边形。

与平行四边形相比，矩形的面积计算更加简单。

我们可以通过以下公式计算矩形的面积：面积 = 长 ×宽其中，长代表矩形的长边，宽代表矩形的宽边。

矩形的面积应用也非常广泛。

在我们的日常生活中，许多物体都采用了矩形的形状。

例如，书本、电脑屏幕、手机等常见物品都是矩形的形状。

通过计算矩形的面积，我们可以了解到它们的大小和空间利用率，从而更好地选择和使用这些物品。

在建筑和工程领域，矩形的面积计算同样非常重要。

建筑物的地板面积、窗户的面积、油漆的涂覆面积等都需要通过计算矩形的面积来确定。

三、平行四边形与矩形面积应用的比较虽然平行四边形和矩形都是四边形，但在面积应用方面存在一些差异。

一方面，矩形的计算方法简单，只需要乘以两个边长即可。

另一方面，平行四边形的计算相对复杂，需要计算底边和高度的乘积。

然而，在实际问题中，我们有时会遇到无法确定底边和高度的情况，而只能通过测量边长来计算面积。

这时，矩形的面积计算更加简便。

因此，在某些情况下，我们可以将平行四边形近似为矩形，以简化计算。

初中二年级几何学习技巧理解平行四边形与矩形的性质与计算方法

初中二年级几何学习技巧理解平行四边形与矩形的性质与计算方法几何学作为数学中的一个重要分支，是初中阶段的基础课程之一。

在初中二年级，学生开始接触更复杂的图形，例如平行四边形和矩形。

理解并掌握平行四边形和矩形的性质与计算方法，是学生进一步学习几何的基础。

本文将介绍一些帮助初中二年级学生理解和应用平行四边形与矩形的学习技巧。

首先，让我们先来了解平行四边形的性质与计算方法。

平行四边形是指四条边两两平行的四边形，它具有以下性质：1. 对边平行性质：平行四边形的两对对边是平行的。

这意味着在一个平行四边形中，如果两条边是平行的，那么其他两条边也一定是平行的。

2. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分。

换言之，平行四边形的任意一条对角线将平行四边形分成两个全等的三角形。

了解了平行四边形的性质，接下来我们来探讨一些计算方法。

计算平行四边形的面积是一个常见的问题。

平行四边形的面积公式为：面积 = 底边长 ×高。

其中，底边长为平行四边形的任意一条边的长度，高为底边到其对边的距离。

例如，如果我们要计算平行四边形的面积，已知底边长为8cm，高为5cm。

那么我们可以使用公式面积 = 8cm × 5cm = 40cm²，得出面积为40平方厘米的结果。

接下来，让我们来了解矩形的性质与计算方法。

矩形是指具有四个角都为直角的四边形，它具有以下性质：1. 对边平行性质：矩形的对边是平行的。

2. 对角线相等性质：矩形的对角线相等。

也就是说，矩形的两条对角线长度相等。

3. 邻边垂直性质：矩形的邻边互相垂直。

这意味着矩形的相邻两条边之间的夹角都是90度。

对于矩形的计算方法，我们可以考虑计算其周长和面积。

矩形的周长公式为：周长 = 2 × (长 + 宽)。

其中，长和宽分别代表矩形的长边和短边的长度。

例如，如果我们要计算一个矩形的周长，已知长为6cm，宽为4cm。

那么我们可以使用公式周长 = 2 × (6cm + 4cm) = 20cm，得出周长为20厘米的结果。

初中数学知识归纳平行四边形与矩形的性质

初中数学知识归纳平行四边形与矩形的性质初中数学知识归纳：平行四边形与矩形的性质平行四边形和矩形是初中数学中非常重要的概念，它们有着特殊的性质和特点。

在本文中，我们将归纳总结平行四边形和矩形的性质，以便更好地理解和应用这些知识。

一、平行四边形的性质1. 对角线性质平行四边形的对角线互相等长，即对角线互相平分。

这是平行四边形独有的特性。

2. 内角性质平行四边形的任意两组对边内角互补，即相加等于180度。

这意味着平行四边形的内角之和始终为360度。

3. 顶角性质平行四边形的相对顶角互补，即相加等于180度。

这个性质与对角线的平分相关。

二、矩形的性质1. 对角线性质矩形的对角线相等，且互相平分。

这与平行四边形的对角线性质相似。

2. 内角性质矩形的内角均为90度，即每个角都是一个直角。

这是矩形的重要特征。

3. 逆定理如果一个四边形的四个角均为90度，那么它就是一个矩形。

这个逆定理告诉我们，如果我们已知一个四边形的四个角均为直角，那么我们可以判断它是一个矩形。

三、平行四边形与矩形的关系1. 平行四边形是矩形的特殊情况每个矩形都是一个平行四边形，但不是每个平行四边形都是矩形。

矩形是平行四边形的一种特殊情况，它具备额外的性质。

2. 矩形的特殊性质由于矩形的内角均为90度，导致了一些特殊的性质。

例如，矩形的对边相等、相邻边互相垂直等。

3. 利用平行四边形和矩形的性质求解问题在实际问题中，我们可以利用平行四边形和矩形的性质求解一些与其相关的几何问题。

例如，我们可以利用对角线平分的性质来求解未知长度或角度的值。

总结：平行四边形和矩形是初中数学中重要的几何概念。

它们具有一些相似的性质，包括对角线相等互相平分等。

同时，矩形是平行四边形的特殊情况，拥有更多的性质，如内角均为90度，对边相等等。

通过熟练掌握和应用平行四边形和矩形的性质，我们可以更好地理解和解决与其相关的几何问题。

2022年九年级数学上册第一章特殊平行四边形1.2矩形的性质与判定第2课时矩形的判定教案新版北师大版

1.2矩形的性质与判定第2课时矩形的判定教学目标【知识与能力】熟练运用矩形的定义和判定定理判定四边形是矩形．【过程与方法】经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．【情感态度价值观】通过学生独立完成证明的过程，体会数学是严谨的科学，增强学生严谨的治学态度，从而养成良好的习惯．教学重难点【教学重点】能够用综合法证明矩形的判定定理并利用定义和定理进行证明.【教学难点】灵活运用矩形的性质和判定定理及其相关结论解决问题．课前准备多媒体课件、三角板.教学过程学生：定义，符合定义就是，不符合就不是．教师：说得非常好，我们来看一看下面的四边形是否符合矩形的定义．(课件展示)图1－2－441.已知：如图1－2－44，在ABCD中，AC＝BD.求证：四边形ABCD是矩形，注意：学生思考、交流后，教师可以适当地引导：给出的条件与矩形的定义相比，少了哪个条件？怎么办？教师：分析后课件展示过程．证明：∵AB＝DC，CA＝BD，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB(SSS)，∴∠ABC＝∠DCB.在ABCD中，∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠DCB＝180°，∴2∠ABC＝180°，即∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形．教师：在菱形中，对角线互相垂直，而对角线互相垂直的平行四边形是菱形．类似地，在矩形中，对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形．我们判定的着手点就是看看图形“特殊”的地方，比如菱形的边也比较特殊，四条边都相等，所以四条边都相等的四边形是菱形．那么矩形有没有比较特殊的地方呢？学生：矩形的角特殊，四个角都是直角.教师：如果一个四边形的四个角都是直角，那么这个四边形是不是矩形呢？我们来试一试(课件展示)：2. 如图1－2－45，已知∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，则四边形ABCD是矩形吗？图1－2－45学生：思考、交流后尝试给出证明过程.教师：学生展示过程后点评、规范相应的步骤.证明：在四边形ABCD中，∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°，∴AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形.又∵∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形.教师：我怎么感觉有一个条件没有用到呢？学生：∠D＝90°.。

北师版九年级数学上册作业课件(BS) 第一章特殊平行四边形第3课时矩形的性质与判定的综合应用

∵DE＝12 BC＝12 EF，∴BC＝EF，∴平行四边形 BFCE 是矩形
15．(12 分)如图，矩形 ABCD 中，延长 AB 至点 E，延长 CD 至点 F，且 BE＝DF，连接 EF，与 BC，AD 分别相交于 P，Q 两点． (1)求证：CP＝AQ； (2)若 BP＝1，PQ＝2 2 ，∠AEF＝45°，求矩形 ABCD 的面积．
5．(3分)如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE. 若BC＝7，AE＝4，则CE＝__5__.
6．(3分)如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，A1，B1，C1， D1分别是四边形ABCD各边的中点，若AC＝8，BD＝10，则四边形A1B1C1D1的面积是__2_0_．
7．(3分)如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，DE平分∠ADC交BC 于点E，∠BDE＝15°，则∠COE的度数为_7_5_°_．
8．(8分)(教材P17例4变式)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形．
北师版
第一章特殊平行四边形
2.矩形的性质与判定
第3课时矩形的性质与判定的综合应用
1．(3分)如图，已知在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，连接AC，BD，AC与BD交于点O，若AO＝BO，AD＝3，AB＝2，则四边形ABCD的面积为( C ) A.4 B．5 C．6 D．7
2．(3分)(教材P18“随堂练习”变式)如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，
14．(10 分)在△ABC 中，D 是 BC 边的中点， E，F 分别在 AD 及其延长线上，CE∥BF，连接 BE，CF. (1)求证：△BDF≌△CDE；

矩形的性质与判定的综合运用-课件

•
14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。2021年3月4日星期四2021/3/42021/3/42021/3/4
•
15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。。2021年3月2021/3/42021/3/42021/3/43/4/2021
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/3/42021/3/4Marc h 4, 2021
•
11、越是没有本领的就越加自命不凡。2021/3/42021/3/42021/3/4M ar-214- Mar-21
•
12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/3/42021/3/42021/3/4T hursday, March 04, 2021
•
13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。2021/3/42021/3/42021/3/42021/3/43/4/2021
MK2＋NK2＝（2x）2＋8x2＝2 3x，∴MDNN＝2 x3x＝2 3
•
9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。2021/3/42021/3/4T hursday, March 04, 2021
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/3/42021/3/42021/3/43/4/2021 9:54:09 PM
13．如图，矩形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，点 E 为矩形 ABCD 外一点，若 AE⊥CE，求证：BE⊥DE.
解：连接 OE，∵四边形 ABCD 是矩形，∴OA＝OC，OB ＝OD，AC＝BD，∵AE⊥CE，∴OE＝21AC，∴OE＝12BD，∴ OE＝OB＝OD，可证∠BED＝90°，∴BE⊥DE

矩形和平行四边形的综合练习题

矩形和平行四边形的综合练习题在几何学中，矩形和平行四边形是常见的图形。

它们具有多个重要的特征和性质，对于理解几何学有着重要的作用。

下面是一些关于矩形和平行四边形的综合练习题，希望能够帮助读者巩固对这两个图形的认识和理解。

练习题一：矩形的性质1. 一个矩形的两条对角线是否相等？为什么？2. 设一个矩形的长为8cm，宽为6cm，计算其面积和周长。

3. 如果一个矩形的周长为30cm，且它的宽为4cm，求其长度。

4. 在一个矩形中，如果两条相邻边的长度分别为10cm和6cm，求其对角线的长度。

练习题二：平行四边形的性质1. 平行四边形的对边是否相等？为什么？2. 设一个平行四边形的底边长为10cm，高为5cm，求其面积。

3. 如果一个平行四边形的面积为24cm²，底边长为6cm，求其高。

4. 在一个平行四边形中，如果两条相邻边的长度分别为8cm和12cm，求其对角线的长度。

练习题三：综合题1. 如果一个矩形的周长是24cm，且其中一条边的长度是6cm，求矩形的面积。

2. 在一个平行四边形中，两条对角线的长度分别为8cm和10cm，求其面积。

3. 一个矩形的长和宽分别为x和y，且它的面积为36cm²，求x和y 的值。

4. 在一个平行四边形中，两条对角线的长度分别为12cm和16cm，求其周长。

解答：练习题一：矩形的性质1. 一个矩形的两条对角线相等。

这是因为矩形的对边相等且平行，所以可以利用同位角的性质来证明两条对角线相等。

2. 矩形的面积可以通过长度和宽度的乘积来计算，即8cm * 6cm = 48cm²。

周长可以通过长度和宽度的两倍之和来计算，即(8cm + 6cm) *2 = 28cm。

3. 设矩形的长度为x，则周长为2x + 2 * 4cm = 30cm。

解这个方程可以得到x = 11cm。

4. 在一个矩形中，两条相邻边的长度分别为10cm和6cm。

可以使用勾股定理来计算对角线的长度，即√(10cm² + 6cm²) ≈ 11.66cm。

初中数学平行四边形与矩形的性质

初中数学平行四边形与矩形的性质平行四边形和矩形是初中数学中重要的几何概念，它们具有一些独特的性质和关系。

在本文中，我们将深入探讨平行四边形和矩形的性质，并对其应用进行一些简单的讨论。

一、平行四边形的性质平行四边形的定义是具有两组对边平行的四边形。

下面我们将介绍几个关于平行四边形的性质：1. 对边性质：平行四边形的两组对边互相平行。

这意味着，如果一个四边形的对边是平行的，那么它是一个平行四边形。

2. 对角线性质：平行四边形的两条对角线相等。

这是因为平行四边形可以看作是一个线段移动并平行保持形状，所以对角线的长度不会改变。

3. 同旁内角性质：平行四边形的同旁内角相等。

这是由平行线交线产生的内同旁角性质决定的。

4. 相对角性质：平行四边形的相对角互补，即相对角的和为180度。

这也是由平行线交线产生的性质。

5. 对边比例性质：平行四边形的对边长度成比例。

如图所示，AB//CD，BC//DA，则有AB/CD = BC/DA。

通过了解这些性质，我们可以更好地理解平行四边形的特点，并更好地解题。

二、矩形的性质矩形是一种特殊的平行四边形，它具有更多的特点和性质。

下面是关于矩形的几个重要性质：1. 直角性质：矩形的四个内角都是直角，即每个角都等于90度。

这是矩形独有的性质。

2. 对边性质：矩形的对边相等。

这是因为矩形可以看作是一个长方形，它的两组对边分别相等。

3. 对角线性质：矩形的对角线相等。

这与平行四边形的对角线性质相似，也可以通过平行线的性质证明。

4. 直角对角线性质：矩形的直角对角线相等。

这是一个重要的性质，可以帮助我们解决一些矩形相关的题目。

三、平行四边形和矩形的应用平行四边形和矩形的性质在初中数学中有广泛的应用。

我们来看几个简单的应用实例：1. 计算面积：矩形的面积计算非常简单，只需将长和宽相乘即可。

对于平行四边形，可以利用其底边长度和高的关系来计算面积。

2. 判断平行关系：利用平行四边形对边平行的性质，我们可以通过给出的条件来判断线段的平行关系。

平行四边形与矩形平行四边形与矩形的性质与计算

平行四边形与矩形平行四边形与矩形的性质与计算平行四边形与矩形的性质与计算平行四边形和矩形是常见的几何形状，它们在数学中有着重要的性质和应用。

本文将介绍平行四边形和矩形的性质，并探讨如何计算它们的相关量。

一、平行四边形的性质平行四边形是指具有两对相对平行的边的四边形。

它具有以下的性质：1. 相对边对应角相等：平行四边形的相对边对应的内角相等，即对应角相等。

2. 相邻边互补角成立：平行四边形的相邻内角互为补角，即相邻内角的和等于180度。

3. 对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，即两条对角线相交于各自的中点。

4. 对边相等：平行四边形的对边相等，即平行四边形的相对边长相等。

二、矩形的性质与计算矩形是一种特殊的平行四边形，具有以下的性质：1. 内角为直角：矩形的内角都是90度，即矩形的四个内角都是直角。

2. 对边相等：矩形的对边相等，即矩形的相对边长相等。

3. 对角线相等：矩形的对角线相等，即矩形的两条对角线长度相等。

4. 对角线互相平分：矩形的对角线互相平分，即两条对角线相交于各自的中点。

在计算矩形的相关量时，可以利用以下公式：1. 周长计算：矩形的周长等于所有边长的和。

设矩形的长为a，宽为b，则周长C=a+a+b+b=2a+2b。

2. 面积计算：矩形的面积等于长乘以宽。

设矩形的长为a，宽为b，则面积S=a*b。

3. 对角线长度计算：矩形的对角线长度可以利用勾股定理计算。

设矩形的长为a，宽为b，则对角线长度D=sqrt(a^2+b^2)。

综上所述，平行四边形和矩形具有一些相似的性质，但矩形是平行四边形的一种特殊情况。

对于平行四边形和矩形，我们可以根据其性质进行相关的计算，如周长、面积和对角线长度的计算。

熟练掌握这些性质和计算方法，有助于我们更好地理解和运用几何学中的概念。

总而言之，平行四边形和矩形在几何学中有着重要的地位，它们的性质和计算方法是学习几何学的基础。

通过深入理解和掌握这些知识，我们能够更好地解决与平行四边形和矩形相关的问题，为数学学习打下坚实的基础。

《矩形》教案

《矩形》教案《《矩形》教案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！名课教了什么1、知识目标：（1）知道什么是矩形（2）理解矩形与平行四边形的关系（3）能说出矩形的性质及推论（4）掌握矩形的判定方法（5）能综合运用矩形的知识解决有关问题2、能力目标：（1）会运用矩形的性质及推论进行有关的论证和计算（2）会运用矩形的判定定理解决有关问题（2）会观察、会比较、会分析、会归纳3、德育目标：初步具有把感性认识上升到理性认识的辩证唯物主义观点。

4、情感目标：养成有良好的学习习惯，有浓厚的学习兴趣。

怎么教的（一用运动方式探索矩形的概念及性质1．复习平行四边形的有关概念及边、角、对角线方面的性质．2．复习平行四边形和四边形的关系．3．用教具演示如图，从平行四边形到矩形的演变过程，得到矩形的概念，并理解矩形与平行四边形的关系．分析：（1）矩形的形成过程是平行四边形的一个角由量变到质变的变化过程．（2）矩形只比平行四边形多一个条件：“有一个角是直角”，不能用“四个角都是直角的行四边形是矩形”来定义矩形．（3）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质（共性），还具有它自己特殊的性质（个性）．（4）从边、角、对角线方面，让学生观察或度量猜想矩形的特殊性质．①边：对边与平行四边形性质相同，邻边互相垂直（与性质定理1等价）．②角：四个角是直角（性质定理 1）．③对角钱：相等且互相平分（性质定理2）．4．证明矩形的两条性质定理及推论．引导学生利用矩形与平行四边形的从属关系、矩形的概念以及全等三角形的知识，规范证明两条性质定理及推论．指出：推论叙述了直角三角形中线段的倍分关系，是直角三角形很重要的一条性质．二应用举例例1已知：如图，矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比 AD边长4 cm．求AD的长及A到BD的距离AE的长．分析：（1）矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，在此可以让学生作一个系统的复习，在直角三角形中，边：勾股定理斜边中线等于斜边的一半角：两锐角互余.边角关系：30°角所对的直角边等于斜边的一半。

矩形与平行四边形的关系

矩形与平行四边形的关系
嘿，咱来说说矩形和平行四边形的关系哈！你看啊，平行四边形就像一个大家族，而矩形呢，可以说是这个家族里挺特别的一员。

比如说，平行四边形那就是自由自在的，它的两组对边都平行，但角度啥的可以变来变去。

哎呀，就像小朋友在操场上无拘无束地玩耍一样！而矩形呢，嘿，它可是有规矩的呀！它不但是两组对边平行，而且四个角还都是直角呢。

这就好比是在操场上玩耍的小朋友，被老师要求站得笔直笔直的！
你想想看，所有的矩形肯定都是平行四边形呀，这没跑吧？但平行四边形不一定是矩形哦，这不是很神奇吗？这就好像是家族里的普通成员和特别成员的关系嘛！
总之啊，矩形和平行四边形就是有着这样特别又有趣的关系呢！你搞懂了没？。

平面几何中的平行四边形与矩形

平面几何中的平行四边形与矩形在平面几何中，平行四边形和矩形是两个常见而重要的概念。

它们都属于四边形的一种特殊情况，具有各自独特的性质和特点。

本文将分别介绍平行四边形和矩形的定义、性质以及它们在几何学中的应用。

一、平行四边形平行四边形是指具有两对平行边的四边形。

简而言之，它的对边是平行的，并且相邻边长度相等。

下面是平行四边形的定义：定义：如果一个四边形的对边是平行的，则它是一个平行四边形。

平行四边形有以下一些重要性质：1. 对边平行性质：平行四边形的对边是平行的。

2. 相邻边性质：平行四边形的相邻边长度相等。

3. 对角线性质：平行四边形的对角线相互平分，并且两条对角线的长度相等。

4. 同位角性质：平行四边形的同位角相等。

5. 内角和性质：平行四边形的内角和等于180度。

平行四边形在几何学中有广泛的应用，例如：1. 构造平行线：利用平行四边形的性质，我们可以通过已知角度和边长，构造平行线段。

2. 推导其他性质：平行四边形的性质可以用于推导其他形状的性质，比如矩形。

二、矩形矩形是一种具有特殊性质的平行四边形。

它的对边是平行的，并且四个角都是直角。

下面是矩形的定义：定义：如果一个平行四边形的四个角都是直角，则它是一个矩形。

矩形有以下一些特点和性质：1. 平行性质：矩形的对边是平行的。

2. 直角性质：矩形的四个角都是直角。

3. 边长性质：矩形的相邻边长度相等。

4. 对角线性质：矩形的对角线相等。

5. 内角和性质：矩形的内角和等于360度。

矩形在日常生活和工程中都有广泛的应用，比如：1. 房屋设计：很多房屋的地面平面图采用矩形的形状，以便统一规划和布局。

2. 建筑结构：矩形的形状在框架结构的设计中被广泛应用，因其稳定性和强度。

3. 统计学：矩形常用于统计图表中的柱状图和条形图的表示单元，方便数据的比较和分析。

总结：平行四边形和矩形是平面几何中的重要概念。

平行四边形是具有两对平行边的四边形，而矩形则是具有四个直角的平行四边形。

小学数学教案认识几何中的平行四边形与矩形

小学数学教案认识几何中的平行四边形与矩形一、引言在小学数学教学中，几何是一个重要的内容模块。

而平行四边形和矩形作为几何中的基本图形，是学生认识几何的起点。

本教案旨在帮助小学生通过活动认识平行四边形和矩形的特性，并能够应用于解决实际问题。

二、教学目标1. 理解平行四边形的概念和特性；2. 理解矩形的概念和特性；3. 能够通过活动比较和判断图形是否为平行四边形或矩形；4. 能够应用平行四边形和矩形的特性解决实际问题。

三、教学准备1. 教师准备：黑板、彩色粉笔、图形卡片、实物示例（如纸张、书本等）；2. 学生准备：课本、笔记本。

四、教学过程1. 导入在上一节课学习了四边形的基本知识后，本节课我们将进一步学习平行四边形和矩形的概念与特性。

2. 学习平行四边形1. 教师展示图形卡片上的平行四边形，并请学生观察和描述图形的特点。

2. 引导学生发现平行四边形的特性：四条边两两平行，对边相等。

3. 教师引导学生进行活动，利用直尺和尺子测量不同的图形，并判断是否为平行四边形。

3. 学习矩形1. 教师展示图形卡片上的矩形，并请学生观察和描述图形的特点。

2. 引导学生发现矩形的特性：四条边两两平行，对边相等，四个角都是直角。

3. 教师引导学生进行活动，利用直尺和尺子测量不同的图形，并判断是否为矩形。

4. 活动应用1. 教师提供一些实际问题，并引导学生运用平行四边形和矩形的特性解决问题，如利用矩形计算书桌面积等。

2. 学生分组进行小组活动，自主设计解决实际问题的方法，并向全班展示他们的解决方案。

5. 总结与评价1. 教师进行教学总结，强调平行四边形和矩形的特性，以及应用能力的培养。

2. 学生进行小结，总结本节课所学的内容，并对自己的学习进行评价。

六、拓展延伸1. 引导学生自学其他几何图形的特性，并能够运用于解决实际问题；2. 提供更复杂的图形进行活动和讨论，加深对平行四边形和矩形的理解；3. 引导学生进一步探究平行四边形和矩形的相关性质，如边长与面积的关系等。

平行四边形与矩形的性质

平行四边形与矩形的性质平行四边形和矩形是几何学中常见的两个概念，它们具有一些共同的性质和特点。

本文将就平行四边形和矩形的性质展开论述，深入探讨它们在几何学中的应用。

一、平行四边形的性质平行四边形是由四条平行的边所围成的四边形。

它具有以下性质：1. 对边平行性质：平行四边形的对边是两两平行的，即AB || CD，AD || BC。

2. 对角线性质：平行四边形的对角线相互平分且相等，即AC=BD。

3. 同位角性质：平行四边形的同位角相等，即∠A = ∠C，∠B =∠D。

4. 钝角性质：平行四边形中的两个相邻内角是钝角。

二、矩形的性质矩形是一种特殊的平行四边形，它具有以下性质：1. 对边平行性质：矩形的对边是两两平行的，即AB || CD，AD || BC。

2. 内角性质：矩形的内角都是直角，即∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°。

3. 对角线性质：矩形的对角线相等，即AC=BD。

4. 對边相等性质：矩形的对边相等，即AB = CD，AD = BC。

5. 对角线垂直性质：矩形的对角线互相垂直，即AC ⊥ BD。

三、平行四边形和矩形的关系矩形是一种特殊的平行四边形，因此矩形具有平行四边形的所有性质，另外还有一些独特的性质。

1. 矩形是菱形：由于矩形的对边相等，所以矩形也可以看作是一个菱形。

2. 矩形是正方形的一种情况：当矩形的四个内角都等于90°时，它就是一个正方形。

3. 矩形的对角线相等且垂直：矩形的对角线相等且垂直，即AC=BD，AC ⊥ BD。

4. 矩形的面积计算公式：矩形的面积可以通过长乘以宽来计算，即S = length × width。

五、平行四边形与矩形的应用1. 建筑设计：平行四边形和矩形在建筑设计中经常被使用，如房屋的平行四边形窗户和矩形门等。

2. 包装设计：平行四边形和矩形的规则形状可以使得包装更加整齐美观，利于储存和运输。

3. 数学几何应用：平行四边形和矩形的性质在数学几何中有广泛的应用，可以用于证明和推导其他几何问题。

题型专项研究：平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质

题型6平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质,备考攻略)1．简单的应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质或判定解答证明题．2．四边形动态问题——旋转变换类、平移变换类、折叠变换类，运动问题类，利用折叠(翻折)、轴对称解答最值问题．3．平行四边形的存在性问题．4．四边形与二次函数的综合题．1．折叠、轴对称及特殊平行四边形的性质应用出错．2．平行四边形的存在性问题中解有遗漏．3．很难解答四边形与二次函数的综合题，无从下手．1．四边形是几何知识中非常重要的一块内容，因其“变化多端”更是成为中考数学考试的一个热门考点．近几年随着新课改的不断深入，中考题更加考查学生思维能力，如出现一些图形折叠、翻转等问题．这类问题的实践性强，要利用图形变化前后线段、角的对应相等关系，构造一些特殊三角形等知识来求解．2．中考还常把四边形与平面直角坐标系结合起来考查，这类题目不仅仅把“数”与“形”联系起来思考，更提高同学们综合运用知识的能力．数形结合题目可以考查学生对“新事物”“新知识”的接受和理解能力，也考查学生运用所学知识来解决“新事物”“新知识”的能力．3．四边形作为特殊的四边形，一直是中考试题中的主角．尤其是在综合了函数知识后动态研究它的存在性问题，对学生分析问题和解决问题的要求较高．此类题目主要考查平行四边形的判定与性质、函数解析式的确定与性质，考查识图作图、运算求解、数学表达等能力，数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想．1．简单的应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质或判定解答证明题：平行四边形具有对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等性质，它们在计算、证明中都有广泛的应用：(1)求角的度数；(2)求线段的长；(3)求周长；(4)求第三边的取值范围．2．四边形动态问题——旋转变换类、平移变换类、折叠变换类，运动问题类，利用折叠(翻折)、轴对称解答最值问题：有关矩形纸片折叠的问题，通过动手操作去发现解决问题的方法．其规律为利用折叠前后线段、角的对应相等关系，构造直角三角形，利用勾股定理来求解．折叠问题数学思想：(1)思考问题的逆向(反方向)，(2)转化与化归思想；(3)归纳与分类的思想；(4)从变寻不变性的思想．3．综合了函数知识后动态研究平行四边形的存在性问题：此类题目主要考查平行四边形的判定与性质、函数解析式的确定与性质，考查识图作图、运算求解、数学表达等能力，数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想．学生在处理问题的时候，往往不能正确分类，导致漏解．此外，在解题时一般需要添设辅助线，利用平行四边形的性质，转化为全等进行计算，学生顺利完成的难度就更大．如何才能让他们有目的的进行分类、简单明了的给出解答，从而减轻学习负担呢？借助平行四边形的对角线性质，来探究平行四边形的存在性问题就是一个很好的途径．4．四边形与二次函数的综合题是压轴题：综合考查了二次函数，一次函数，尺规作图，勾股定理，平面直角坐标系，一元二次方程，轴对称——翻折，最值问题．读懂题目、准确作图、熟悉二次函数及其图象是解题的关键．解决压轴题关键是找准切入点，如添辅助线，构造定理所需的图形或基本图形；紧扣不变量，并善于使用前题所采用的方法或结论；深度挖掘题干，反复认真的审题，在题目中寻找多解的信息，等等．压轴题牵涉到的知识点较多，知识转化的难度较高，除了要熟知各类知识外，平时要多练，提高知识运用和转化的能力．,典题精讲)◆简单的应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质或判定解答证明题【例1】(成都中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为________．【解析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA＝AB＝OB＝3，得出BD＝2OB ＝6，由勾股定理求出AD即可．【答案】3 31．(巴中中考)如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E＝__15__°.2．(2017甘肃中考)如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形； (2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长．解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，O 是BD 的中点， ∴∠A ＝90°，AD ＝BC ＝4，AB ∥DC ，OB ＝OD, ∴∠OBE ＝∠ODF.在△BOE 和△DOF 中，⎩⎨⎧∠OBE ＝∠ODF ，OB ＝OD ，∠BOE ＝∠DOF ，∴△BOE ≌△DOF(ASA ), ∴EO ＝FO,∴四边形BEDF 是平行四边形；(2)当四边形BEDF 是菱形时，BD ⊥EF, 设BE ＝x ，则DE ＝x ，AE ＝6－x. 在Rt △ADE 中，DE 2＝AD 2＋AE 2, ∴x 2＝42＋(6－x)2, 解得：x ＝133.∵BD ＝AD 2＋AB 2＝213， ∴OB ＝12BD ＝13.∵BD ⊥EF,∴EO ＝BE 2－OB 2＝2133，∴EF ＝2EO ＝4133.◆四边形动态问题——旋转变换类、平移变换类、折叠变换类，运动问题类，利用折叠(翻折)、轴对称解答最值问题【例2】(宿迁中考)如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，再过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，折痕为BE.若AB 的长为2，则FM 的长为( )A ．2B . 3C . 2D ．1【解析】根据翻折不变性，AB ＝FB ＝2，BM ＝1，在Rt △BFM 中，可利用勾股定理求出FM 的值．【答案】B3．(咸宁中考)已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，OB ＝45，点P 是对角线OB 上的一个动点，D(0，1)，当CP ＋DP 最短时，点P 的坐标为( D )A ．(0，0)B .⎝⎛⎭⎫1，12C .⎝⎛⎭⎫65，35D .⎝⎛⎭⎫107，57(第3题图)(第4题图)4．(苏州中考)矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为(3，4)，D 是OA 的中点，点E 在AB 上，当△CDE 的周长最小时，点E 的坐标为( B )A ．(3，1)B .⎝⎛⎭⎫3，43C .⎝⎛⎭⎫3，53 D ．(3，2)5．(黄冈中考)如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边CD ，BC 上，且DC ＝3DE ＝3a ，将矩形沿直线EF 折叠，使点C 恰好落在AD 边上的点P 处，则FP ＝.6．(2017甘肃中考)如图，E ，F 分别是▱ABCD 的边AD ，BC 上的点，EF ＝6，∠DEF ＝60°，将四边形EFCD 沿EF 翻折，得到EFC′D′，ED ′交BC 于点G ，则△GEF 的周长为( C )A ．6B ．12C ．18D ．247．(2017广东中考)如图①，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F.(1)求证：△BDF 是等腰三角形；(2)如图②，过点D 作DG ∥BE ，交BC 于点G ，连接FG 交BD 于点O. ①判断四边形BFDG 的形状，并说明理由； ②若AB ＝6，AD ＝8，求FG 的长．解：(1)如图①，根据折叠，∠DBC ＝∠DBE, 又AD ∥BC,∴∠DBC ＝∠ADB, ∴∠DBE ＝∠ADB, ∴DF ＝BF,∴△BDF 是等腰三角形；(2)①∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC, ∴FD ∥BG.∴四边形BFDG 是平行四边形． ∵DF ＝BF,∴四边形BFDG 是菱形； ②∵AB ＝6，AD ＝8, ∴BD ＝10， ∴OB ＝12BD ＝5.假设DF ＝BF ＝x ，∴AF ＝AD －DF ＝8－x.∴在Rt △ABF 中，AB 2＋AF 2＝BF 2，即62＋(8－x)2＝x 2,解得x ＝254，即BF ＝254， ∴FO ＝BF 2－OB 2＝⎝⎛⎭⎫2542－52＝154， ∴FG ＝2FO ＝152. ◆解决平面直角坐标系中平行四边形存在性问题【例3】(2017大理中考模拟)如图，A ，B ，C 是平面上不在同一直线上的三个点． (1) 画出以 A ，B ，C 为顶点的平行四边形；(2)若 A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1，5)，(－5，1)，(2，2)，请写出这个平行四边形第四个顶点 D 的坐标．【解析】利用坐标系的知识点解题．【答案】(1)如图所示；(2)第四个顶点D 的坐标为(－2，－2)或(6，6)或(－8，4)．1．(兰州中考)如图所示，菱形ABCD 的周长为20 cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，sin A ＝35，则下列结论正确的个数有( C )①DE ＝3 cm ；②BE ＝1 cm ；③菱形的面积为15 cm 2；④BD ＝210 cm . A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．(济南中考)如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，过对角线交点O 作OE ⊥AC 交AD 于E ，则AE 的长是( D )A ．1.6B ．2.5C ．3D ．3.4(第2题图)3．(珠海中考)如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4 cm，则点P到BC的距离是__4__cm.4．(新疆中考)如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将▱ABCD沿过点A 的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.(1)求证：四边形BCED′是菱形；(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．解：(1)∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，∴∠DAE＝∠D′AE，∠DEA＝∠D′EA，∠D＝∠AD′E.∵DE∥AD′，∴∠DEA＝∠EAD′，∴∠DAE＝∠EAD′＝∠DEA＝∠D′EA，∴∠DAD′＝∠DED′，∴四边形DAD′E是平行四边形，∴DE＝AD′.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥DC，∴CE＝D′B，CE∥D′B，∴四边形BCED′是平行四边形；(2)∵AD＝AD′，∴▱DAD′E是菱形．∴D与D′关于AE对称．连接BD交AE于P，则BD的长即为PD′＋PB的最小值，过D作DG⊥BA于G.∵CD ∥AB ，∴∠DAG ＝∠CDA ＝60°. ∵AD ＝1，∴AG ＝12，DG ＝32，BG ＝52，∴BD ＝DG 2＋BG 2＝7， ∴PD ′＋PB 的最小值为7.5．(资阳中考)如图，在平行四边形ABCD 中，点A ，B ，C 的坐标分别是(1，0)，(3，1)，(3，3)，双曲线y ＝kx(k ≠0，x ＞0)过点D.(1)求双曲线的解析式；(2)作直线AC 交y 轴于点E ，连接DE ，求△CDE 的面积．解：(1)∵▱ABCD 中，点A ，B ，C 的坐标分别是(1，0)，(3，1)，(3，3)， ∴点D 的坐标为(1，2)． ∵点D 在双曲线y ＝kx 上，∴k ＝1×2＝2，∴双曲线的解析式为y ＝2x ；(2)∵直线AC 交y 轴于点E ， ∴点E 的横坐标为0. ∵AD ＝2，∵S △ADC ＝12·(3－1)·AD ＝2，∴S △CDE ＝S △EDA ＋S △ADC ＝1＋2＝3.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

课题：平行四边形的判定与性质的综合运用
目标：1.熟练掌握平行四边形的判定与性质，并会灵活运用。

2.总结线段“倍分”、“和差”问题的思路，形成一定的思维模型。

3.培养学生运用知识分析问题解决问题的能力，特别是将题设与结论结合的综合分析能力。

重点：平行四边的性质和判定的综合、灵活运用。

难点：解题思路的获得——辅助线的构造
教学方法：引导分析。

教学过程：
25.(2017年三模题)如图,在平行四边形ABC 中,AC ⊥BC,点E 是CD 的中点,连接AE,作AF ⊥AE 交BC 于F.
(1) 若AC=6，BC=8，求AE 的长;
(2) G 为BC 延长线上一点,且AG+CG=BC,求证:AF=2EG.
(1)小题分析:由勾股定理和直角三角形斜边中线性质易得.
(2)小题分析:
分析思路1
考虑到点E 是CD 中点,且EG 在结论中出现,试着构造“X”形全等三角形,于是延长GE 交AD 于H.易知△CEG ≅△DEH,∴CG=DH,GE=EH.由已知AG+CG=BC 及平行四边形的性质得,AG+DH=BC=AD=AH+DH ,∴AG=AH,由等腰三角形“三线合一”得,AE ⊥GH,又AE ⊥AF,∴AF ∥HG,∴四边形AFGH 是平行四边形,∴AF=HG,∴AF=2EG.(全等三角形的判定性质,等腰三角形“三线合一”,平行四边形的判定性质).
分析思路2
仍然从中点E 出发考虑构造“X”形全等三角形,延长AE 与CG 的延长线交于点H,易知△ADE ≅△HCE,∴AE=EH,AD=CH,由已知及平行四边形的性质有
AG+CG=BC=AD=CH=GH+CG,∴AG=GH,∴∠4=∠2,因为∠4+∠3=90°,∠2+∠FAG=90°,∴∠3=∠FAG,∴AG=FG,∴GH=FG,∴AF=2EG.
分析思路3
第一点由题设AG+CG=BC,这是线段和差的典型问题,可考虑“截长”或“补短”.试着延长AG 点M,使GM=CG,则AG+CG=AG+GM=AM,∴AM=AD.因此连接DM,得△ADM 为等腰三角形.∴∠ADM=∠AMD.延长BG 交DM 于点P,则∠ADM=∠GPM,∴∠GPM=∠GMP,∴GP=GM=GC,∴∠CMP=90°.在Rt △CAD 和Rt △CM 中,AE=(1/2)CD=ME.由上易得△AEM ≅△AED,∴∠1=∠2,∴AE ⊥MD(三线合一).而AE ⊥AF,∴AF ∥DM.∴四边形AFPD 是平行四边形,∴AF=PD.又易知,PD=2EG(三角形中位线性质).∴AF=2EG.
第二点从结论AF=2EG 分析,这是线段倍分问题,既可考虑作“分”也可作“倍”(事实上均可，若“分”则用梯形中位线性质,若“倍”则用三角形全等),都能得到平行四边形.如用“倍”即为分析思路1.
(3)后记：
①本题涉及平行线、三角形、四边形的几乎所有重要知识点：垂直于同一直线的直线平行,平行于同一直线的直线平行;等腰三角形定义、性质、“三线合一”;直角三13
24H G E
B D
C A
角形斜边中线的性质及其逆定理；全等三角形的判定与性质;三角形、梯形中位线性质;平行四边形的判定与性质.是一个综合性很强的几何论证题.
②本题设计非常巧妙,必须熟练掌握有关知识及常用辅助线才能进行逐一分析.
③本题最难之处在于如何根据初中知识将题设与结论结合起来分析出思路——辅助线的作法,学生必须具备灵活而严密的思维能力，才能通观全局、综合考虑、步步深入、找到解决问题的金钥匙.
④本题有多种破题思路,题目虽有难度,但可从多角度思考得出相应的解题思路,为更多学生解答此题提供了可能。

⑤本题还可做一些研究,比如,结论可改为“求证BF=2CG”思路类似.
此题告诉我们,数学的核心素养既包括基础知识、基本技能,更要重视思维能力的培养.。