河北衡水中学2020届高三自主复习数你最棒密卷(二)理科数学学科(有答案)
2020届河北省衡水中学高三二调考试数学(理)试题(含答案)
2020届河北省衡水中学高三二调考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}|10A x x =+>，{}|1B x x =∈≤Z ，则A B =I ( ) A ．{}|011x x ≤+≤ B ．{}|11x x -<≤C ．{}0,1D ．{}1【答案】C【解析】对集合A 进行化简，然后根据集合的交集运算，得到A B I 的值.【详解】集合{}{}|10|1A x x x x =+>=>-，集合{}|1B x x =∈≤Z所以{}{}|110,1B x x A =∈-<≤=Z I .故选：C.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.2．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是 A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】根据题意，确定函数()y f x =的性质，再判断哪一个图像具有这些性质． 由()()f x f x -=得()y f x =是偶函数，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，可知B ，D 符合；由(2)()f x f x +=得()y f x =是周期为2的周期函数，选项D 的图像的最小正周期是4，不符合，选项B 的图像的最小正周期是2，符合，故选B ．3．若函数2ln y ax b x =-在1x =处的切线方程为52y x =-，则a ，b 的值为( )A ．2,1B ．-2，-1C ．3,1D ．-3，-1【答案】C 【解析】将1x =代入切线方程得到切点，将切点代入到解析式中，得到a ，利用导数的几何意义，对函数求导，代入1x =，得到切线斜率，得b 的值.【详解】将1x =代入切线52y x =-，得到切点坐标为()1,3，将()1,3代入到函数解析式中，得到3=a ，所以23ln y x b x =-， 求导得6b y x x'=-， 代入1x =得6k b =-，所以65b -=，得1b =.故选：C.【点睛】本题考查导数的几何意义，根据导数的切线求参数的值，属于简单题.4．已知命题p ：0[0,)x ∃∈+∞使00420x x k --=，命题q ：()0,x ∀∈+∞，20x k +>，则命题p 成立是命题q 成立的( )条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】C【解析】根据命题p 和命题q ，分别得到k 的范围，从而得到答案.【详解】命题p ：0[0,)x ∃∈+∞使00420x x k --=，则0042x x k =-， 0[0,)x ∈+∞，所以设[)021,x t =∈+∞，则2k t t =-，在[)1,t ∈+∞上单调递增，所以[)0,k ∈+∞，命题q ：()0,x ∀∈+∞，20x k +>，可得[)0,k ∈+∞所以命题p 成立是命题q 成立的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查二次函数相关的复合函数的值域，判断充分必要条件，属于简单题.5．已知()22,026ln ,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，则()y f x =与y x =的交点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】令()f x x =，得()()g x f x x =-，分0x ≤和0x >进行讨论，利用零点存在定理，得到()g x 的零点个数，从而得到答案.【详解】要求()y f x =与y x =的交点，则令()f x x =，设()()g x f x x =-，即求()g x 的零点个数， 所以()22,06ln ,0x x x g x x x x ⎧--≤=⎨-+>⎩，当0x ≤时，220x x --=，解得1x =-，2x =（舍），所以0x ≤时，()g x 有且仅有一个零点；当0x >，()6ln g x x x =-+，()110g x x'=+>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增， 而()150g =-<，()6ln60g =>，由零点存在定理可知()g x 在()0,∞+上有且仅有一个零点；综上所述，()g x 有且仅有两个零点，所以()y f x =与y x =的交点个数为2.故选：B.【点睛】本题考查分段函数的性质，函数图像交点与零点的转化，根据零点存在定理求零点的个数，属于中档题.6．已知函数2,2()24x x f x x -+≤⎧=<≤，则定积分412()f x dx ⎰的值为( ) A ．948π+ B ．144π+ C ．12π+ D ．324π+ 【答案】A【解析】根据积分定义，将积分区间分为两段分别求：左段可根据微积分基本定理求得积分值，右段根据几何意义求得积分值，两个部分求和即可．【详解】 因为()2,224x x f x x -+≤⎧=<≤ 所以()412f x dx =⎰()12222x d x -++⎰⎰()22211221222x dx x x -+=-+⎰()22111122222222⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-+⨯--+⨯⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 98=2⎰的几何意义为以()3,0为圆心，以1r =为半径的圆，在x 轴上方的部分因而21122S ππ=⨯⨯= 所以()21229942828x dx ππ+-++=+=⎰⎰ 所以选A【点睛】本题考查了积分的求法，微积分基本定理的应用及利用几何法求积分值，属于中档题．7．已知函数()y f x =的导函数为()f x '，满足R x ∀∈，()()f x f x '>且(1)e f =，则不等式(ln )f x x >的解集为( )A ．(e,)+∞B ．(1,)+∞C ．(0,e)D ．(0,1)【答案】A【解析】令ln t x =，这样原不等式可以转化为()e t f t >，构造新函数()()e x f x g x =，求导，并结合已知条件()()f x f x '>，可以判断出()g x 的单调性，利用单调性，从而可以解得1t >，也就可以求解出x e >，得到答案.【详解】解:令ln t x =，则(ln )()e t f x x f t >⇔>， 令()()e x f x g x =，则()()()0ex f x f x g x '-'=>， ()g x ∴在R 上单调递增，()()e 1e t t f t f t ∴>⇔> ()(1)1ln 1e g t g t x x ⇔>⇔>⇔>⇔>，故选A.【点睛】本题考查了利用转化法、构造函数法、求导法解决不等式解集问题，考查了数学运算能力和推理论证能力.8．若函数()1y f x =+为偶函数，且1x ≥时，()2xf x x e =-则不等式()()3f x f ≥的解集为( )A ．[]3,-+∞B ．[]1,3-C ．(][),13,-∞-+∞UD ．(][),22,-∞-+∞U【答案】B【解析】根据题意得到()f x 关于1x =成轴对称，得到()()31f f =-再利用导数，得到1x ≥时的单调性，从而得到不等式()()3f x f ≥的解集.【详解】因为函数函数()1y f x =+为偶函数，所以可得()f x 关于1x =成轴对称，所以()()31f f =-，当1x ≥时，()2x f x x e =-， 所以()2xf x x e '=- 设()2xg x x e =-，则()2xg x e '=-， 当1x ≥，()0g x '<，()g x 单调递减，。
2020届河北省衡水密卷新高考原创冲刺模拟试卷(二)理科数学
2020届河北省衡水密卷新高考原创冲刺模拟试卷（二）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
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不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A ＝{3,2a }，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝( ) A ．{1,2,3} B ．{0,1,3} C ．{0,1,2,3} D ．{1,2,3,4}答案 A解析 因为A ∩B ＝{2}，所以2∈A ，所以2a ＝2，解得a ＝1，所以A ＝{3,2}，B ＝{1,2}, 所以A ∪B ＝{1,2,3}．2．(2019·湖北八校联考)已知复数z ＝2－3i ，若z －是复数z 的共轭复数，则z ·(z －＋1)＝( )A ．15－3iB ．15＋3iC ．－15＋3iD ．－15－3i答案 A解析 依题意，z ·(z －＋1)＝(2－3i)(3＋3i)＝6＋6i －9i ＋9＝15－3i. 3．(2019·河南郑州三模)下列命题中，正确的是( )A ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝32B ．复数z 1，z 2，z 3∈C ，若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 3 C ．“a >0，b >0”是“b a ＋ab ≥2”的充要条件D ．命题“∃x ∈R ，x 2－x －2≥0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x －2<0” 答案 D解析 对于A ，由于sin x 0＋cos x 0＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，故sin x 0＋cos x 0的最大值为2，故A 不正确．对于B ，当z 1＝1，z 2＝1－i ，z 3＝－i 时，(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝[1－(1－i)]2＋[1－i －(－i)]2＝i 2＋1＝0，而z 1≠z 3，故B 不正确．对于C ，当a >0，b >0时，b a ＋ab ≥2b a ·a b ＝2成立；反之，当b a ＋ab ≥2时，可得a >0，b >0或a <0，b <0，所以“a >0，b >0”是“b a ＋ab ≥2”的充分不必要条件，故C 不正确． 对于D ，由题意得，命题“∃x ∈R ，x 2－x －2≥0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x －2<0”，故D 正确．4．(2019·江西南昌师大附中三模)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，2＋a 5＝a 6＋a 3，则S 7＝( )A ．2 B.7 C.14 D ．28答案 C解析 ∵2＋a 5＝a 6＋a 3，∴2＋a 4＋d ＝a 4＋2d ＋a 4－d ，解得a 4＝2，∴S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7a 4＝14，故选C. 5．(2019·河北衡水十三中质检四)平面内的一条直线将平面分成2部分，两条相交直线将平面分成4部分，三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分，…，则平面内六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为( )A ．16B ．20C ．21D ．22答案 D解析 由题意得由k 条直线增加到k ＋1条直线时增加k ＋1个平面，所以平面内六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为6＋5＋4＋3＋2＋2＝22，故选D.6．(2019·太原摸底考试)为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表：)附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )；概率不超过0.025的前提下认为药物有效；③能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为药物有效；④不能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为药物有效．A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 由表格数据可得K 2＝105×(10×30－20×45)230×75×50×55≈6.1.又6.1>3.841，所以由参考数据知能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物有效，故①正确；又6.1>5.024，所以由参考数据知能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为药物有效，故②错误；又6.1<6.635，所以由参考数据知不能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为药物有效，故③错误；又6.1<7.879，所以由参考数据知不能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为药物有效，故④正确．综上所述，正确结论的个数为2，故选B.7．(2019·海南海口调研测试卷)⎝⎛⎭⎫32＋x 5的展开式中系数为有理数的各项系数之和为( )A ．1B ．20C ．21D ．31答案 C解析 因为⎝⎛⎭⎫32＋x 5展开式的通项为 T k ＋1＝C k 5⎝⎛⎭⎫325－k x k ＝C k 525－k3 x k，所以要使系数为有理数，只需5－k 3为整数，又因为0≤k ≤5且k ∈Z ，所以k ＝2,5，所以系数为有理数的项为C 25⎝⎛⎭⎫323x 2，x 5，故所求系数之和为20＋1＝21，故选C.8．已知双曲线C 1：x 24－y 23＝1的一条渐近线与双曲线C 2的一条渐近线垂直，则双曲线C 2的离心率为( )A ．72B ．213C ．213或72D ．74或73答案 C解析 双曲线C 1的渐近线方程为y ＝±32x ，当双曲线C 2的焦点在x 轴上时，设其标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，由题意得b a ＝23，离心率e ＝1＋b 2a 2＝1＋43＝213，当双曲线C 2的焦点在y 轴上时，设其标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1，由题意得a b ＝23，离心率e ＝1＋b 2a 2＝1＋34＝72.所以双曲线C 2的离心率为213或72.9．运行如图所示的程序框图，若输出的S 值为－10，则判断框内的条件应该是( )A ．k <3?B ．k <4?C ．k <5?D ．k <6?答案 C解析 按照程序框图依次执行为k ＝1，S ＝1，条件是； S ＝2×1－1＝1，k ＝2，条件是； S ＝2×1－2＝0，k ＝3，条件是； S ＝2×0－3＝－3，k ＝4，条件是；S ＝2×(－3)－4＝－10，k ＝5，条件否，退出循环，输出S ＝－10. 所以判断框内的条件应该是k <5？.10．(2019·福建三明质检)斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1,1,2,3,5，…画出来的螺旋曲线．如图，白色小圆内切于边长为1的正方形，黑色曲线就是斐波那契螺旋线，它是依次在以1,2,3,5为边长的正方形中画一个圆心角为90°的扇形，将其圆弧连接起来得到的，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A ．π4B ．39π160C ．19π＋180D ．19π＋280答案 D解析 由图可知，阴影部分的面积为S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋14×π×12＋14×π×22＋14×π×32＋14×π×52＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－π4＋π4＋π＋9π4＋25π4＝1＋19π2，矩形ABCD 的面积为S 1＝5×8＝40，故此点取自阴影部分的概率为1＋19π240＝2＋19π80，故选D.11．如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点，设FG ︵的长为x (0<x <π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )答案 D解析 因为半圆O 的半径r ＝1，则等边△ABC 的边长为1sin60°＝233.当x ＝0时，y ＝EB ＋BC ＋CD ＝BC ＝233；当x ＝π时，此时y ＝AB ＋BC ＋CA ＝3×233＝23；当x ＝π3时，∠FOG ＝π3，三角形OFG 为正三角形，此时AM ＝OH ＝32.在正△AED 中，AE ＝ED ＝DA ＝1，所以y ＝EB ＋BC ＋CD ＝AB ＋BC ＋CA －(AE ＋AD )＝3×233－2×1＝23－2，如图．又当x ＝π3时，图中y 0＝233＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫23－233＝1039>23－2. 故当x ＝π3时，对应的点(x ，y )在图中线段PQ 的下方，故D 正确． 12．(2019·天津塘沽一中、育华中学三模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3－ln x ，x ≤1，x 2－4x ＋6，x >1，若不等式f (x )≥|2x －a |对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－1e ，3B ．[3,3＋ln 5]C ．[3,4＋ln 2]D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－1e ，5答案 C解析 由题意得，设g (x )＝|2x －a |，可得g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ≥a2，－2x ＋a ，x <a2.(1)当x ≥a2，由不等式f (x )≥|2x －a |对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，计算临界值，由f (x )与g (x )相切．①当f (x )＝x 2－4x ＋6，x >1，g (x )＝2x －a ，x ≥a2时，可得f ′(x )＝2x －4，此时切线斜率为2，即2x －4＝2，解得x ＝3，即切点坐标为(3,3)，切线方程为y ＝2x －3，即a ＝3，综合函数图象可得a ≥3.②当f (x )＝3－ln x ，x ≤1，g (x )＝2x －a ，x ≥a 2，可得f ′(x )＝－1x ，此时切线斜率为2，即－1x ＝2，即x ＝－12，又因为－12<0，所以不符合题意，舍去．(2)同理，当x <a2，由f (x )与g (x )相切，①当f (x )＝x 2－4x ＋6，x >1，g (x )＝－2x ＋a ，x <a2时，可得f ′(x )＝2x －4，此时切线斜率为－2，则2x －4＝－2，所以x ＝1，与x >1不符，故无临界值．②当f (x )＝3－ln x ，x ≤1，g (x )＝－2x ＋a ，x <a2，由f (x )与g (x )相切，得f ′(x )＝－1x ，此时切线斜率为－2，即－1x ＝－2，则x ＝12，切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3＋ln 2，切线方程为y －(3＋ln 2)＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝－2x ＋4＋ln 2，即a ＝4＋ln 2，综合函数图象得a ≤4＋ln 2.综上所述可得3≤a ≤4＋ln 2，故选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2018·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．答案 9解析 不等式组表示的可行域是以A (5,4)，B (1,2)，C (5，0)为顶点的三角形区域，如图所示，由图可知目标函数z ＝x ＋y 的最大值在顶点A 处取得，即当x ＝5，y ＝4时，z max ＝9.14．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1p，当x ＝q p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，q 为整数，q p 为既约分数，0，当x ＝0，1或[0，1]上的无理数.若f (x )是定义在R 上且最小正周期为1的函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝R (x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫173＋f (lg 20)＝________.答案 13解析 由函数的最小正周期为1可得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫173＋f (lg 20)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋23＋f (lg 2＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋f (lg 2)＝13＋0＝13. 15．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝2与y 轴的交点为M ，与抛物线的交点为N ，且4|NF |＝5|MN |，则p 的值为________．答案 1解析 将y ＝2代入抛物线方程，可以求得x ＝2p ， 利用题中条件，结合抛物线定义， 可以求得4⎝ ⎛⎭⎪⎫2p ＋p 2＝5×2p ，解得p ＝1.16．如图，正方形ABCD 的边长为2，顶点A ，B 分别在y 轴的非负半轴、x 轴的非负半轴上移动，E 为CD 的中点，则OE →·OD→的最大值是________．答案 5＋17解析 根据题意，设∠OBA ＝α，则A (0,2sin α)，B (2cos α，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤α<π2，根据正方形的特点，可以确定出C (2cos α＋2sin α，2cos α)，D (2sin α，2sin α＋2cos α)，根据中点坐标公式，可以求得E (cos α＋2sin α，sin α＋2cos α)，所以有OE →·OD →＝2sin α(cos α＋2sin α)＋(2sin α＋2cos α)·(sin α＋2cos α) ＝4＋8sin αcos α＋2sin 2α＝5＋4sin2α－cos2α＝5＋17sin(2α－φ)，其中sinφ＝1717，cosφ＝41717，当2α－φ＝π2时，存在符合题意的角α，使sin(2α－φ)取得最大值1.所以其最大值为5＋17.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)已知三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos Bac是cos Cbc和cos Aab的等差中项．(1)求角B的大小；(2)若a＝2，b＝7，求BC边上高的值．解(1)∵cos Bac是cos Cbc和cos Aab的等差中项，∴2cos Bac＝cos Cbc＋cos Aab，∴2b cos B＝a cos C＋c cos A，4分由正弦定理得2sin B cos B＝sin A cos C＋sin C cos A，∴2sin B cos B＝sin(A＋C)＝sin B.∵sin B≠0，∴cos B＝12，∴角B为π3.8分(2)由余弦定理，b2＝c2＋a2－2ac cos B，解得c＝3.设BC边上的高为h，则h＝c sin B＝3×32＝332.12分18. (2019·四川攀枝花第二次统考)(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD 中，P A⊥底面ABCD，∠BAD为直角，AB∥CD，AD＝CD＝2AB，E，F分别为PC，CD的中点．(1)证明：平面APD ∥平面BEF ；(2)设P A ＝kAB (k >0)，且二面角E －BD －C 的平面角大于60°，求k 的取值范围．解 (1)证明：∵AB ∥CD ，且∠BAD 为直角，CD ＝2AB ，F 为CD 的中点，∴FD ＝AB ，故四边形ABFD 是矩形，∴AD ∥BF ，∴BF ∥平面APD ，又∵E ，F 分别为PC ，CD 的中点． ∴EF ∥PD ，∴EF ∥平面APD ，3分又∵⎩⎨⎧BF ⊂平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，EF ∩BF ＝F ，EF ，BF ⊄平面APD ，∴平面APD ∥平面BEF .5分(2)以A 为原点，以AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设AB ＝1，则B (1,0,0)，D (0,2,0)，P (0,0，k )，C (2,2,0)，故E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，k 2，从而BD→＝(－1,2,0)，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，k 2，设平面BCD 的法向量为m 1＝(0,0,1)，平面BDE 的法向量为m 2＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2·BD→＝0，m 2·BE →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，y ＋kz2＝0，取y ＝1，可得m 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，－2k ，8分设二面角E －BD －C 的大小为θ，因为k >0，则cos θ＝|cos 〈m 1，m 2〉|＝2k22＋1＋4k 2<12，化简得k 2>125，则k >2155.12分19．(2019·贵州贵阳5月适应性考试二)(本小题满分12分)过点M (2,0)的直线l 与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA ⊥OB .(1)求p 的值；(2)若l 与坐标轴不平行，且A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 恒过定点．解 (1)当直线l ⊥x 轴时，可得A (2,2p )，B (2，－2p )， 由OA ⊥OB 得4－4p ＝0，∴p ＝1，当直线l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)代入y 2＝2px 得ky 2－2py －4pk ＝0(k ≠0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－4p ，x 1x 2＝(y 1y 2)24p 2＝4，由OA ⊥OB 得x 1x 2＋y 1y 2＝0，即4－4p ＝0，所以p ＝1，综上所述p ＝1.5分(2)证明：由(1)知，抛物线方程为y 2＝2x ，由于A ，D 关于x 轴对称，故D 的坐标为(x 1，－y 1)，所以直线BD 的方程为y ＋y 1＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 1)＝y 2＋y 1y 222－y 212⎝⎛⎭⎪⎫x －y 212，即2x ＋(y 1－y 2)y －y 1y 2＝0，又y 1y 2＝－4p ＝－4，所以2x ＋(y 1－y 2)y ＋4＝0，所以直线BD 恒过点(－2,0).12分20．(2019·山西吕梁一模)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e ax －b ln x ＋b (a >0)，若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为(2e 2－1)x －y ＋2－e 2＝0.(1)求实数a ，b 的值； (2)证明：f (x )>3＋ln 2.解 (1)因为f (x )＝e ax －b ln x ＋b (x >0)， 所以f ′(x )＝a e ax －b x ，又f (1)＝e 2＋1，f ′(1)＝2e 2－1，所以⎩⎨⎧e a ＋b ＝e 2＋1， ①a e a －b ＝2e 2－1， ② ①＋②可得(a ＋1)e a ＝3e 2，2分构造函数g (x )＝(x ＋1)e x －3e 2(x >0)，则g ′(x )＝(x ＋2)e x 在区间(0，＋∞)内恒大于0，所以g (x )在区间(0，＋∞)内单调递增，又g (2)＝0，所以关于a 的方程(a＋1)e a＝3e2的根为a＝2，把a＝2代入e a＋b＝e2＋1，解得b＝1，所以a＝2，b＝1. 5分(2)证明：由(1)知f(x)＝e2x－ln x＋1，则f′(x)＝2e2x－1 x，因为f′(x)＝2e2x－1x在区间(0，＋∞)上单调递增，f′⎝⎛⎭⎪⎫110<0，f′⎝⎛⎭⎪⎫12>0，所以f′(x)＝0有唯一实根，记为x0，即e2x0＝12x0>1，且x0∈⎝⎛⎭⎪⎫110，12，由e2x0＝12x0得ln e2x0＝ln12x0，整理得－ln x0＝2x0＋ln 2，8分因为x∈(0，x0)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，所以f(x)min＝f(x0)＝e2x0－ln x0＋1＝12x0＋2x0＋ln 2＋1≥3＋ln2，当且仅当12x0＝2x0，即x0＝12时取等号，因为x0∈⎝⎛⎭⎪⎫110，12，所以f(x)min>3＋ln 2，即f(x)>3＋ln 2. 12分21．(2019·福建3月质量检测)(本小题满分12分)“工资条里显红利，个税新政人民心”．随着2019年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税(简称个税)改革迎来了全面实施的阶段.2019年1月1日实施的个税新政主要内容包括：(1)个税起征点为5000元；(2)每月应纳税所得额(含税)＝收入－个税起征点－专项附加扣除；(3)专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等．新旧个税政策下每月应纳税所得额(含税)计算方法及其对应的税率表如下：预估他们2019年的人均月收入24000元．统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除；同时，他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是2∶1∶1∶1；此外，他们均不符合其他专项附加扣除．新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房1000元/月，子女教育每孩1000元/月，赡养老人2000元/月等．假设该市该收入层级的IT从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的IT从业者的人均月收入视为其个人月收入．根据样本估计总体的思想，解决如下问题：(1)设该市该收入层级的IT从业者2019年月缴个税为X元，求X的分布列和期望；(2)根据新旧个税方案，估计从2019年1月开始，经过多少个月，该市该收入层级的IT从业者各月少缴的个税之和就超过2019年的月收入？解(1)既不符合子女教育扣除也不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为24000－5000－1000＝18000，月缴个税X＝3000×0.03＋9000×0.1＋6000×0.2＝2190；只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为24000－5000－1000－1000＝17000，月缴个税X＝3000×0.03＋9000×0.1＋5000×0.2＝1990；只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除的人群每月应纳税所得额为24000－5000－1000－2000＝16000，月缴个税X ＝3000×0.03＋9000×0.1＋4000×0.2＝1790；既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为 24000－5000－1000－1000－2000＝15000，月缴个税X ＝3000×0.03＋9000×0.1＋3000×0.2＝1590, 4分所以X 的可能值为2190,1990,1790,1590.依题意，上述四类人群的人数之比是2∶1∶1∶1，所以P (X ＝2190)＝25，P (X ＝1990)＝15，P (X ＝1790)＝15，P (X ＝1590)＝15， 所以X 的分布列为所以E (X )＝2190×25＋1990×15＋1790×15＋1590×15＝1950. 7分(2)因为在旧政策下该收入层级的IT 从业者2019年每月应纳税所得额为24000－3500＝20500，其月缴个税为1500×0.03＋3000×0.1＋4500×0.2＋11500×0.25＝4120，因为在新政策下该收入层级的IT 从业者2019年月缴个税为1950，所以该收入层级的IT 从业者每月少缴的个税为4120－1950＝2170, 10分设经过x 个月，该收入层级的IT 从业者少缴的个税的总和就超过24000，则2170x ≥24000，因为x ∈N ，所以x ≥12，所以经过12个月，该收入层级的IT 从业者少缴的个税的总和就超过2019年的月收入. 12分(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α＋3sin α，y ＝sin α－3cos α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝2.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)直线l 与y 轴的交点为P ，经过点P 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，证明：|P A |·|PB |为定值．解 (1)由题意，得x 2＋y 2＝(cos α＋3sin α)2＋(sin α－3cos α)2＝4, 化简得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝4.3分由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝2得32ρcos θ－12ρsin θ＝2，故l 的直角坐标方程为3x －y －4＝0.5分(2)证明：显然P 的坐标为(0，－4)，不妨设过点P 的直线方程为⎩⎨⎧x ＝t cos β，y ＝－4＋t sin β(t 为参数)，7分代入x 2＋y 2＝4得t 2－8t sin β＋12＝0，所以|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝12为定值. 10分 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知a >0，b >0，a ＋b ＝2. 求证：(1)a b ＋b a ≤2； (2)2≤a 2＋b 2<16.证明 (1)因为a ＋b ＝2，且a >0，b >0，所以2≥2ab >0，当且仅当a ＝b＝1时，取“＝”，所以0<ab ≤1，3分所以a b ＋b a ＝ab (a ＋b )＝2ab ≤2. 5分(2)由a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ，得a ＋b ＝(a ＋b )2－2ab ＝4－2ab ， 所以a 2＋b 2＝16－16ab ＋4ab －2ab ＝2ab －16ab ＋16＝2(ab －8ab ＋16)－16＝2(ab －4)2－16＝2(4－ab )2－16，8分因为0<ab ≤1，所以3≤4－ab <4，所以9≤(4－ab )2<16，所以18≤2(4－ab )2<32，所以2≤a 2＋b 2<16. 10分。
河北省衡水中学高三高考押题(二)理数试题含答案
河北衡水中学高考押题试卷含答案理数试卷（二）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|60,}A x xx x Z =--<∈，{|||,,}B z z x y x A y A ==-∈∈，则集合A B I =（ ） A ．{0,1} B ．{0,1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{1,0,1,2}- 2.设复数z 满足121z i i +=-+，则1||z=（ ）A ．15C D 3.若1c o s ()43πα+=，(0,)2πα∈，则sin α的值为（ ）B 718D4.已知直角坐标原点O 为椭圆:C 22221(0)x ya b a b+=>>的中心，1F ，2F 为左、右焦点，在区间(0,2)任取一个数e ，则事件“以e 为离心率的椭圆C 与圆O ：2222x y a b+=-没有交点”的概率为（ ）B D5.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90︒的正角.已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，当其离心率]e 时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ） A ．[0,]6π B ．[,]63ππ C.[,]43ππ D ．[,]32ππ 6.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为32π+，则它的表面积是（ ）A.313(3)2222π+++ B ．3133()22242π+++ C.13222π+ D ．13224π+ 7.函数s i n l n ||y x x =+在区间[3,3]-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8.二项式1()(0,0)na x ab b x+>>的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则a b 的值为（ ）A ．4B ．8 C.12 D ．169.执行下图的程序框图，若输入的0x =，1y =，1n =，则输出的p 的值为（ ）A.81 B ．812 C.814 D ．81810.已知数列11a =，22a =，且222(1)nn n a a +-=--，*n N ∈，则2017S 的值为（ ） A ．201610101⨯- B ．10092017⨯ C.201710101⨯- D ．10092016⨯11.已知函数()s i n ()fx A x ωϕ=+(0,0,||)2A πωϕ>><的图象如图所示，令()()'()g x fx f x =+，则下列关于函数()g x 的说法中不正确的是（ ）A. 函数()g x 图象的对称轴方程为()12x k k Z ππ=-∈B ．函数()g x 的最大值为2C. 函数()g x 的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线:31l y x =-平行 D ．方程()2g x =的两个不同的解分别为1x ，2x ，则12||x x -最小值为2π12.已知函数32()31fx a x x =-+，若()f x 存在三个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,2)-∞- B ．(2,2)- C.(2,)+∞D ．(2,0)(0,2)-U 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13.向量(,)a mn =r ，(1,2)b =-r ，若向量a r ，b r 共线，且||2||a b =r r，则mn 的值为 ．14.设点M 是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>上的点，以点M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M与y 轴相交于不同的两点P 、Q ，若P M Q ∆为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为 ．15.设x ，y 满足约束条件230,220,220,x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩则y x 的取值范围为 ．16.在平面五边形A B C D E 中，已知120A ∠=︒，90B ∠=︒，120C ∠=︒，90E ∠=︒，3A B =，3A E =，当五边形A B C D E 的面积6393S 时，则B C 的取值范围为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a=，121n n S S -=+*(2,)n n N ≥∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记12log n n ba =*()n N ∈求11{}n n b b +的前n 项和n T . 18.如图所示的几何体A B C D E F 中，底面A B C D 为菱形，2A B a =，120A B C ∠=︒，AC 与BD 相交于O 点，四边形B D E F 为直角梯形，//D E B F ，B D D E ⊥，222D E B F a ==，平面B D E F ⊥底面A B C D .（1）证明：平面A E F ⊥平面AFC ； （2）求二面角E A CF --的余弦值.19.某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据以上抽样调查数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B 的人数；（2）若等级A 、B 、C 、D 、E 分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求平均分达90分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？ （3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从A 、B 两种级别中，用分层抽样的方法抽取11个学生样本，再从中任意选取3个学生样本分析，求这3个样本为A 级的个数ξ的分布列与数学期望.20. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>2，且过点23P ，动直线l ：y k x m-+交椭圆C 于不同的两点A ，B ，且0O AO B ⋅=u u u r u u u r（O 为坐标原点） （1）求椭圆C 的方程.（2）讨论2232m k -是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由. 21. 设函数22()l n fx a x x a x =-+-()a R ∈. （1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）设2()2()l n x x aa x ϕ=+-，记()()()h x fx x ϕ=+，当0a >时，若方程()()h x m m R =∈有两个不相等的实根1x ，2x ，证明12'()02x x h +>. 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xO y 中，曲线1C ：3cos ,2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >），在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4s i n ρθ=.（1）试将曲线1C 与2C 化为直角坐标系xO y 中的普通方程，并指出两曲线有公共点时a 的取值范围； （2）当3a =时，两曲线相交于A ，B 两点，求||AB . 23. 选修4-5：不等式选讲. 已知函数()|21||1|f x x x =-++. （1）在下面给出的直角坐标系中作出函数()y f x =的图象，并由图象找出满足不等式()3f x ≤的解集；（2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设,a b R ∈，且有22a b m +=，试证明：221418117a b +≥++. 参考答案及解析 理科数学（Ⅱ）一、选择题1-5:BCAAD 6-10:AABCC 11、12：CD二、填空题e < 15.27[,]5416.三、解答题17.解：（1）当2n =时，由121n n S S -=+及112a =， 得2121S S =+，即121221a a a +=+，解得214a =. 又由121n n S S -=+，① 可知121n n S S +=+，② ②-①得12n n a a +=，即11(2)2n n a n a +=≥. 且1n =时，2112a a =适合上式，因此数列{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列，故12n n a =*()n N ∈（2）由（1）及12log n n b a =*()n N ∈，可知121lo g ()2nn b n ==， 所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++， 故2231111n n n n T b b b b b b +=+++=L 11111[(1)()()]2231nn -+-++-=+L 1111n n n -=++. 18.解：（1）因为底面A B C D 为菱形，所以A C B D⊥， 又平面B D E F ⊥底面A B C D ，平面B D E F I 平面A B C DB D =， 因此A C ⊥平面B D E F ，从而A C E F ⊥. 又B D D E ⊥，所以D E ⊥平面AB C D ， 由2A B a =，2D E B F =，120A B C ∠=︒，可知A ，2BD a =，E，A ，从而222A FF E A E +=，故E F A F⊥. 又A F A C A =I ，所以E F ⊥平面AFC .又E F ⊂平面AEF ，所以平面A E F ⊥平面AFC . （2）取EF 中点G ，由题可知//O G D E ，所以O G ⊥平面A B C D ，又在菱形A B C D 中，O A O B⊥，所以分别以O A uuu r ，O B uuu r ，O G uuur的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系O x y z -（如图示），则(0,0,0)O ，(3,0,0)Aa ，(3,0,0)C a -，(0,,22)E a a -，(0,,2)F a a ， 所以(0,,22)(3,0,0)A E a a a =--=u u u r (3,,22)a a a --，(3,0,0)(3,0,0)A C a a =--=u u u r (23,0,0)a -，(0,,2)(0,,22)E F a a a a =--u u u r (0,2,2)a a =-.由（1）可知E F ⊥平面AFC ，所以平面AFC 的法向量可取为(0,2,2)E F a a =-u u u r. 设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =r，则0,0,n A E n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuu r r uuu r 即3220,0,x y z x ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩即22,0,y z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩令2z =，得4y =，所以(0,4,2)n =r.从而c o s ,n E F <>=r u u u r 3||||63n E F n E F a ⋅==⋅r u u u rr u u u r . 故所求的二面角E A CF --的余弦值为33.19.解：（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为B ，所以可以估计该校学生获得成绩等级为B 的概率为561410025=， 则该校高三年级学生获得成绩为B 的人数约有1480044825⨯=.（2）这100名学生成绩的平均分为1(3210569078037026)1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯91.3=，因为91.390>，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.（3）由题可知用分层抽样的方法抽取11个学生样本，其中A级4个，B级7个，从而任意选取3个，这3个为A级的个数ξ的可能值为0，1，2，3.则03473117(0)33CCPCξ===，124731128(1)55C CPCξ===，214731114(2)55CCPCξ===，30473114(3)165C CPCξ===.因此可得ξ的分布列为：则728144()0123335555165Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯1211=.20.解：（1）由题意可知2ca=，所以222222()a c a b==-，即222a b=，①又点23(P在椭圆上，所以有2223144a b+=，②由①②联立，解得21b=，22a=，故所求的椭圆方程为2212xy+=.（2）设1122(,),(,)A xyB xy，由0O AO B⋅=u u u r u u u r，可知1212x x y y+=.联立方程组22,1,2y k x mxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y化简整理得222(12)4220k x kmx m+++-=，由2222168(1)(12)0km m k∆=--+>，得2212k m+>，所以122412k mx xk+=-+，21222212mx xk-=+，③又由题知12120x x y y +=， 即1212()()0x x k x m k x m +++=， 整理为221212(1)()0k x x k m x xm ++++=. 将③代入上式，得22222224(1)01212m k m k k m m k k-+-⋅+=++. 化简整理得222322012m k k--=+，从而得到22322m k -=. 21. 解：（1）由22()l n fx a x x a x =-+-，可知2'()2a f x x a x =-+-=222(2)()x a x a x ax a x x--+-=. 因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以，①若0a >时，当(0,)x a ∈时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当(,)x a ∈+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增；②若0a =时，当'()20f x x =>在(0,)x ∈+∞内恒成立，函数()f x 单调递增；③若0a <时，当(0,)2a x ∈-时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当(,)2a x ∈-+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增.（2）证明：由题可知()()()h x fx x ϕ=+=2(2)l n x a xax +--(0)x >， 所以'()2(2)a hx x a x =+--=22(2)(2)(1)x a xa xa x x x+---+=. 所以当(0,)2ax ∈时，'()0h x <；当(,)2a x ∈+∞时，'()0h x >；当2a x =时，'()02ah =. 欲证12'()02x x h +>，只需证12'()'()22x x a h h +>，又2''()20ah x x=+>，即'()h x 单调递增，故只需证明1222x x a+>. 设1x ，2x 是方程()h x m =的两个不相等的实根，不妨设为120x x <<，则21112222(2)l n ,(2)l n ,x ax a x m x ax a x m ⎧+--=⎨+--=⎩ 两式相减并整理得1212(l n l n )a xx x x -+-=22121222x x x x -+-，从而221212121222l n l n x x x x a x x x x -+-=-+-，故只需证明2212121212122222(l n l n )x x x x x x x x x x +-+->-+-， 即22121212121222l n l n x x x x x x x x x x -+-+=-+-. 因为1212l n l n 0xx x x -+-<， 所以（*）式可化为12121222l n l n x x x x x x --<+，即11212222ln1x x x x x x -<+.因为120x x <<，所以1201x x <<， 不妨令12x t x =，所以得到22ln 1t t t -<+，(0,1)t ∈.记22()l n 1t Rt t t -=-+，(0,1)t ∈，所以22214(1)'()0(1)(1)t R t t t tt -=-=≥++，当且仅当1t =时，等号成立，因此()R t 在(0,1)单调递增. 又(1)0R =，因此()0Rt <，(0,1)t ∈，故22ln 1t t t -<+，(0,1)t ∈得证， 从而12'()02x x h +>得证. 22.解：（1）曲线1C ：3cos ,2sin ,x t y t αα=+⎧⎨=+⎩消去参数t 可得普通方程为222(3)(2)x y a -+-=.曲线2C ：4s i n ρθ=，两边同乘ρ.可得普通方程为22(2)4x y +-=. 把22(2)4y x -=-代入曲线1C 的普通方程得：222(3)4136ax x x=-+-=-，而对2C 有222(2)4x x y ≤+-=，即22x -≤≤，所以2125a ≤≤故当两曲线有公共点时，a 的取值范围为[1,5].（2）当3a =时，曲线1C ：22(3)(2)9x y -+-=，两曲线交点A ，B 所在直线方程为23x =. 曲线22(2)4x y +-=的圆心到直线23x =的距离为23d =， 所以482||249A B =-=.23. 解：（1）因为()|21||1|f x x x =-++=3,1,12,1,213,.2x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式()3f x ≤的解集为[1,1]-.（2）证明：由图可知函数()y f x =的最小值为32，即32m =.所以2232a b +=，从而227112a b +++=，从而221411a b +=++2222214[(1)(1)]()71a b a ab ++++=++2222214(1)[5()]711b a a b ++++≥++2222214(1)18[527117b a a b +++⋅=++.当且仅当222214(1)11b a a b ++=++时，等号成立， 即216a =，243b =时，有最小值， 所以221418117a b +≥++得证.。
河北省衡水中学2020届高三数学下学期第二次调研试题理(含解析)
uuur uuur uuur AB AC 且 AP
uuur BC ，
则实数 的值为__________．
【答案】1
【解析】
试题分析：因为 AP BC ，所以 AP BC 0 ．
AP
BC
(
AB
AC)
( AC
AB)
AB
AC
2 AC
－
2 AB
AB
AC
＝
( 1) AB AC cos 60 AC |2 AB |2 ＝ 2( 1) 4 4 2 2 0 ，解得 1 ．
【解析】
试题分析：令 x 0 ，得 a0 1；令 x 1 ，得 2 a0 a1 a2 a8 ，即
a1 a2 a8 3 ．又 a8 (2)7 C77 128 ，所以 a1 a2 a7 3 a8 125 ，
故选 C．
考点：二项式定理．
10.已知圆 C1 ： x2
2cx
它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离， 就是球的半径，
三棱柱中，底面 BDC ， BD CD 1, BC 3 , BDC 120 ，
BDC
的外接圆的半径为
1 2
sin
3 120
1
，
3 由题意可得：球心到底面的距离为 2 .
r 3 1 7
球的半径为
y2
0 ，圆 C2 ： x2
2cx
y2
x2 0 ， c 是椭圆 C ： a2
y2 b2
1
的
半焦距，若圆 C1 ， C2 都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ）
A.
1 2
,1
【答案】B
B.
0,
1 2
河北省衡水市2020届高三数学二模试题 理(含解析)
2020学年度第二学期二模考试 高三年级数学试卷（理科）一、选择题（下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.集合{}{}11324x A x x B x ，+=-≤=≥，则A B =U （ ）A. []02，B. ()13，C. []14， D.[)2-+∞，【答案】D 【解析】 【分析】解不等式313x -≤-≤可得集合A ，解1222x +≥可得集合B ，进而得到集合A,B 的并集。
【详解】由题得{}|24A x x =-≤≤，{}|1B x x =≤，则有{}|2A B x x ⋃=≥-，故选D 。
【点睛】本题考查求集合的并集，属于基础题。
2.复数121z i z i =+=，，其中i 为虚数单位，则12z z 的虚部为（ ） A. 1- B. 1C. iD. i -【答案】A 【解析】 【分析】根据复数共轭的概念得到__1z ，再由复数的除法运算得到结果即可.【详解】11211,1,z i z i i z i-=-==--虚部为-1， 故选A.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的共轭复数等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3.某中学2020年的高考考生人数是2020年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2020年和2020年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）A. 与2020年相比，2020年一本达线人数减少B. 与2020年相比，2020二本达线人数增加了0.5倍C. 2020年与2020年艺体达线人数相同D. 与2020年相比，2020年不上线的人数有所增加 【答案】D 【解析】 【分析】设2020年该校参加高考的人数为S ，则2020年该校参加高考的人数为1.5S . 观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2020年该校参加高考的人数为S ，则2020年该校参加高考的人数为1.5S . 对于选项A.2020年一本达线人数为0.28S .2020年一本达线人数为0.24 1.50.36S S ⨯=，可见一本达线人数增加了，故选项A 错误；对于选项B ，2020年二本达线人数为0.32S ，2020年二本达线人数为0.4 1.50.6S S ⨯=，显然2020年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B 错误；对于选项C ，2020年和2020年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C 错误； 对于选项D ，2020年不上线人数为0.32S .2020年不上线人数为0.28 1.50.42S S ⨯=.不达线人数有所增加.故选D.【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．4.如图所示，ABC ∆中，点D 是线段BC的中点，E 是线段AD 的靠近A 的三等分点，则AC =u u u r（ ）A. 43AD BE +u u ur u u u rB. 53AD BE +u u ur u u u rC. 4132AD BE +u u ur u u u rD. 5132AD BE +u u ur u u u r【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加减运算求解即可 【详解】据题意，2533AC DC DA BD AD BE ED AD BE AD AD AD BE =-=+=++=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r．故选：B ． 【点睛】本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，是基础题5.程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序配图，求得该垛果子的总数S 为（ ）A. 120B. 84C. 56D. 28 【答案】B【解析】运行程序：i=1,n=1,s=1,1＜7，i=2,n=3,s=4,2＜7，i=3,n=6,s=10,3＜7，i=4,n=10,s=20,4＜7，i=5.n=15,s=35,5＜7，i=6,n=21,s=56,6＜7，i=7,n=28,s=84,7≮7,s=84.故选C.6.某人在微信群中发一个8元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领到的钱数不少于其他任何人的概率为（ ） A.13B.827C.37D.518【答案】B 【解析】 【分析】利用隔板法得到共计有n 27C ==21种领法，利用列举法求得甲领到的钱数不少于其他任何人的情况总数m ＝8，由此能求出结果． 【详解】如下图，利用隔板法，得到共计有n 27C ==21种领法，甲领3元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有2种，即乙领3元，丙领2元或丙领3元，乙领2元，记为（乙2，丙3）或（丙2，乙3）；甲领4元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有3种，即（乙1，丙3）或（丙1，乙3）或（乙2，丙2）甲领5元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有2种，即（乙1，丙2）或（丙1，乙2）；甲领6元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况只有1种，即（乙1，丙1） “甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况总数m ＝2+3+2+1＝6， ∴甲领取的钱数不少于其他任何人的概率p 821=． 故选B ．【点睛】本题考查概率的求法，考查隔板法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7.以双曲线()2222:100x y C a b a b-=>>，上一点M 为圆心作圆，该圆与x 轴相切于C 的一个焦点F ，与y 轴交于P Q ，两点，若PQ =，则双曲线C 的离心率是（ ）C. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据圆与x 轴相切于C 的一个焦点F ，且圆心在双曲线上，可确定圆心坐标和半径，再由弦长3PQ c =，即可求出结果. 【详解】因为以双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点M 为圆心作圆，该圆与x 轴相切于C 的一个焦点F ，所以MF x ⊥轴；不妨令M 在第一象限，所以易得2b M c a ，⎛⎫⎪⎝⎭，半径2b r a=；取PQ 中点N ，连结MN ，则MN 垂直且平分PQ ，所以MQ ==；又MQ r =，所以23b c a =222ac =220e -=，解得e =故答案为A【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，根据题意，结合双曲线的性质即可求解，属于常考题型.8.在斜ABC ∆中，设解 A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin sin 4sin a A b B c C b B +-=cos C ，若CD 是角C 的角平分线，且CD b =，则cos C =（ ）A.34B.18C.23D.16【答案】B 【解析】 【分析】由已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，可得22224cos ,a b c b C +-= 结合余弦定理可得2,a b = 又CD 是角C 的角平分线，且CD b =，结合三角形角平分线定理可得2BD AD =，再结合余弦定理可得cos2C的值，则cos C 可求. 【详解】由已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，根据正弦定理可得22224cos ,a b c b C +-=又由余弦定理可得2222cos ,a b c ab C +-=故24,a b =即2,a b =结合三角形角平分线定理可得2BD AD =，再结合余弦定理可得()22222222cos54cos 22C CBD b b b b b b =+-⨯⨯⨯=- ， 222222cos 22cos 22C CAD b b b b b b =+-⨯⨯⨯=-，由2224BD AD BD AD =⇒= ，可得2222354cos 88cos ,cos ,2224C C C b b b b -=-∴=故2231cos 2cos 121,248C C ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭故选B.【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理及三角形角平分线定理，属中档题.9.如图所示，边长为1的正方形网络中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体所有棱长组成的集合为A. {1,5}B. {1,6}C. {1,2,5}D.{1,2,22,6}【答案】B 【解析】 【分析】将三视图还原成四棱柱即可得解.【详解】该几何体是四棱柱，底面是边长为16, 故选B.【点睛】由三视图还原几何体时应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正），主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐），左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等），若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称．10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，质点M N ，间隔3分钟先后从点P ，绕原点按逆时针方向作角速度为6弧度/分钟的匀速圆周运动，则M 与N 的纵坐标之差第4次达到最大值时，N 运动的时间为（ ）A. 37.5分钟B. 40.5分钟C. 49.5分钟D. 52.5分钟 【答案】A 【解析】【详解】分析：由题意可得：y N =sin cos 626x x πππ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，y M =()x+3sin 626x πππ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，计算y M ﹣y N 2sin 64x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，即可得出．详解：由题意可得：y N =sin cos 626x x πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，y M =()cos x+3sin 626x πππ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦∴y M ﹣y N = y M ﹣y N 2sin 64x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，令sin 64x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=1，解得：64x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2kπ+2π，x=12k+32，k=0，1，2，3．∴M 与N 的纵坐标之差第4次达到最大值时，N 运动的时间=3×12+32=37.5（分钟）． 故选：A ．点睛：本题考查了三角函数的图象与性质、和差公式、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．也查到了三角函数的定义的应用，三角函数的定义指的是单位圆上的点坐标和这一点的旋转角之间的关系.11.在圆锥PO 中，已知高2PO =，底面圆的半径为4，M 为母线PB 的点；根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（ ）①圆的面积为4π； 37；③双曲线两渐近线的夹角正切值为34-④抛物线中焦点到准线的距离为55. A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 【解析】 【分析】根据点M 是母线的中点，求出截面圆的半径即可判断①；由勾股定理求出椭圆长轴可判断②；建立坐标系，求出,a b 的关系可判断③；建立坐标系，求出抛物线方程，可判断④. 【详解】①Q 点M 是母线的中点， ∴截面的半径2r =，因此面积224ππ=⨯=，故①正确；②由勾股定理可得椭圆的长轴为()2242137=++=，故②正确；③在与底面、平面PAB 的垂直且过点M 的平面内建立直角坐标系，不妨设双曲线的标准方程为()22221,0x y a b a b-=>，则()1,0M ，即1a =，把点(2,23代入可得21241b -=，解得2,2b b a =∴=，设双曲线两渐近线的夹角为2θ，2224tan 2123θ⨯∴==--，4sin 25θ∴=，因比双曲线两渐近线的夹角为4arcsin 5，③不正确；④建立直角坐标系，不彷设抛物线的标准方程为22y px =,把点)5,4代入可得2425p =，解得85p =∴抛物线中焦点到准线的距离p 85，④不正确，故选B .【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查圆锥的性质、椭圆的性质、双曲线的性质，抛物线的方程与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.12.设使直线y ax =与曲线()sin ln 4x x x f π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭有公共点的a 的取值范围为集合A ，则（ ）A. ()1A ⊆-∞，B. ()1A +∞≠∅I ， C. ()1A ⊆+∞， D. ()1R A ⋃+∞=， 【答案】A 【解析】 【分析】设公共点(),s t ，可得πsin ln 1ln 4s ss a s s⎛⎫++ ⎪+⎝⎭=≤，通过构造函数()1ln g s s s =+-，求导分析单调性可得1ln 1ss+≤，从而得1a <. 【详解】设直线y ax =与曲线()πsin ln 4f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭有公共点(),s t ,则πsin ln 1ln 4s ss a s s⎛⎫++ ⎪+⎝⎭=≤, 设()1ln g s s s =+-,则()111sg s s s-=-=' , 所以()g s 在()0,1上是增函数,在()1,+∞上是减函数, 所以()()10g s g ≤=,1+ln s s ≤，又0s >，所以1ln 1ss+≤，当1s =时，πsin ln 1ln 41s ss s s⎛⎫++ ⎪+⎝⎭<=,所以1a <,故选A. 【点睛】本题是一道灵活处理方程问题求参的试题，用到了放缩的思想和构造新函数的方法，方法较为巧妙，难度较大，属于难题.二、填空题（把答案在答题纸的横线上）13.某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到 第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 若从表中第6行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第6个样本编号_____ 【答案】535 【解析】 【分析】根据题意按既定的方法向右读，直到取到第六个样本为止，即可得其编号。
2020届河北衡水中学高三理科数学试卷及答案
.2020 届河北衡水中学高三年级期中考试理科数学试卷本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分满分150 分.考试时间120 分钟.第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．已知集合 S={1，2}，T={x|x 2＜4x ﹣3}，则 S∩T=（）A ．{1}B ．{2}C ．1D ．22．已知复数 z 1，z 2 满足|z 1|=|z 2|=1，|z 1﹣z 2|= ，则|z 1+z 2|等于（ ）A ．2B ．C ．1D ．33．设正数 x ，y 满足 x+y=1，若不等式对任意的 x ，y 成立，则正实数 a 的取值范围是（）A ．a≥4B ．a ＞1C ．a≥1D ．a ＞44．如图，在正方体 ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 中，O 是底面 ABCD 的中心，E 为 CC 1 的中点，那么异面直线 OE 与 AD 1 所成角的余弦值等于（ ）A ．B ．C ．D ．5．给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）A ．i ＞10B ．i ＜10C ．i ＞20D ．i ＜206．如图，在 R t△ABC 中，AC=1，BC=x ，D 是斜边 AB 的中点，将△BCD 沿直线 CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得 CB⊥AD，则 x 的取值范围是（ ）A ．（0，C ．（] B ．（，2 ] D ．（2，4]，2]7．数列{a n }中，对任意 n∈N *，a 1+a 2+…+a n =2n ﹣1，则 a 12+a 22+…+a n 2 等于（）A ．（2n ﹣1）2B ．C ．4n ﹣1D ．8．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．C ．D ．9．设函数 f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ，ω，φ 是常数，A ＞0，ω＞0），且函数 f （x ）的部分图象如图所示，则有（）A ．f （﹣C ．f （）＜f （）＜f （ ）＜f （）＜f （﹣ ）） B ．f （﹣D ．f （ ）＜f （）＜f （﹣ ）＜f （）＜f （ ））10．若圆 C ：x 2+y 2+2x ﹣4y+3=0 关于直线 2ax+by+6=0 对称，则由点（a ，b ）向圆 C 所作切线长的最小值是（）A ．2B ．3C ．4D ．611．若函数 f （x ）=x 3﹣3x 在（a ，6﹣a 2）上有最大值，则实数 a 的取值范围是（）A ．（﹣，﹣1） B ．（﹣ ，﹣1] C ．（﹣ ，﹣2）D ．（﹣ ，﹣2]12．已知 f′（x ）为函数 f （x ）的导函数，且 f （x ）=x 2﹣f （0）x+f′（1）e x ﹣1，若g （x ）=f （x ）﹣ x 2+x ，则方程 g （﹣x ）﹣x=0 有且仅有一个根时，a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，0）∪{1}B ．（﹣∞，1]C ．（0，1]D ．[1，+∞）第Ⅱ卷 非选择题 （共 90 分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值．14．设数列{an}的n项和为Sn，且a1=a2=1，{nSn+（n+2）an}为等差数列，则{an}的通项公式an=．15．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，+∞），部分对应值如下表．f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如下图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则取值范围是．的Xf（x）﹣21﹣14116.已知正三棱锥S﹣ABC内接于半径为6的球，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）△ABC中，已知的对边依次为a，b，c．（1）求∠C的大小；（2）若c=2，且△ABC是锐角三角形，求a2+b2的取值范围．，记角A，B，C18. （本小题满分 12 分）已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ，且 S n =n （n+1）（n∈N *）．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足：，求数列{b n }的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N *），求数列{c n }的前 n 项和 T n ．19. （本小题满分 12 分） 已知圆 C ：x 2+y 2+2x ﹣4y+3=0．（1）若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆 C 外一点 P （x 1，y 1）向该圆引一条切线，切点为 M ，O 为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点 P 的坐标．20. （本小题满分 12 分）如图，ABCD 是边长为 3 的正方形，DE⊥平面 ABCD ，AF∥DE，DE=3AF ，BE 与平面 ABCD 所成角为 60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面 BDE ；（Ⅱ）求二面角 F ﹣BE ﹣D 的余弦值；（Ⅲ）设点 M 是线段 BD 上一个动点，试确定点 M 的位置，使得 AM∥平面 BEF ，并证明你的结论．21.（本小题满分12分）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆C的方程是x2+y2﹣4x=0，圆心为C，在以坐标原点为极点，以x轴的：ρ=﹣4sinθ与圆C相交于A，B两点．非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1（1）求直线AB的极坐标方程；：（t是参数）交直线AB于点D，交y轴于点（2）若过点C（2，0）的直线C2E，求|CD|：|CE|的值．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=m﹣|x﹣3|，不等式f（x）＞2的解集为（2，4）．（1）求实数m的值；（2）若关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．理科数学参考答案一．选择题1-5B C C DA6-10A D B D C11-12D A．二．填空题13．﹣814.．16.．三．解答题17．解：（1）依题意：又0＜A+B＜π，∴，∴（2）由三角形是锐角三角形可得，，即，，...............4分即由正弦定理得∴，，，=====∵，∴=，，∴，即..............12分18.．解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，知a1=2满足该式，∴数列{an}的通项公式为an=2n．（2分）（Ⅱ）∵（n≥1）①∴②（4分）②﹣①得：，b n+1=2（3n+1+1），故bn=2（3n+1）（n∈N*）．（6分）（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，∴Tn =c1+c2+c3+…+cn=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）（8分）令Hn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①则3Hn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②①﹣②得：﹣2Hn=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=∴，…（10分）∴数列{cn}的前n项和…（12分）19.解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，又∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于圆的半径即，解得：a=﹣1或a=3，，当截距为零时，设y=kx，同理可得或，则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0或或．---------6分（2）∵切线PM与半径CM垂直，∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2．∴（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2=x12+y12．∴2x1﹣4y1+3=0．∴动点P的轨迹是直线2x﹣4y+3=0．∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．而|PO|的最小值为原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离，∴由，可得故所求点P的坐标为．--12分20.证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．….......................................（4分）解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知则A（3，0，0），，．，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．令，则=．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．所以cos．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．…（12分）21.解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，当x∈（1，+∞），，所以函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；........2分（2），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．若﹣2e2＜a＜﹣2，当时，f'（x）=0；当当故[f（x）]min =时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．=．若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）的最小值为，相应的x值为；当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e．.....................7分（3）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，因而（x∈[1，e]）令（x∈[1，e]），又 ，当 x∈[1，e]时，x ﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx ＞0，从而 g'（x ）≥0（仅当 x=1 时取等号），所以 g （x ）在[1，e]上为增函数，故 g （x ）的最小值为 g （1）=﹣1，所以 a 的取值范围是[﹣1，+∞）．......12 分22.解：（1）在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，极坐标与直角坐标有如下关系 x=ρcosθ，y=ρsinθ，曲线 C 1：ρ=﹣ sinθ，∴ρ2=﹣4 ρsinθ，∴x 2+y 2=﹣4 y ，∴曲线 C 1：x 2+y 2+ y=0，∴直线 AB 的普通方程为：（x 2+y 2﹣4x ）﹣（x 2+y 2+4y ）=0，∴y=﹣x ，∴ρsinθ=﹣ρcosθ，∴tanθ=﹣ ，∴直线 AB 极坐标方程为：θ = - 1( ρ ∈ R ) ．............ 5 分6（2）根据（1）知，直线 AB 的直角坐标方程为 y=﹣x ，根据题意可以令 D （x 1，y 1），则，又点 D 在直线 AB 上，所以 t 1=﹣（2+ t 1），解得 t 1=﹣，根据参数方程的定义，得|CD|=|t 1|= ，同理，令交点 E （x 2，y 2），则有，又点 E 在直线 x=0 上，令 2+t 2=0，∴t 2=﹣ ，∴|CE|=|t 2|= ，∴|CD|：|CE|=1：2．........................... 10 分23.解：（1）∵f（x ）=m ﹣|x ﹣3|，∴不等式 f （x ）＞2，即 m ﹣|x ﹣3|＞2，∴5﹣m ＜x ＜m+1，而不等式 f （x ）＞2 的解集为（2，4），∴5﹣m=2 且 m+1=4，解得：m=3；....... 5 分（2）关于 x 的不等式|x ﹣a|≥f（x ）恒成立⇔关于 x 的不等式|x ﹣a|≥3﹣|x ﹣3|恒成立⇔|x ﹣a|+|x ﹣3|≥3 恒成立⇔|a ﹣3|≥3 恒成立，由 a ﹣3≥3 或 a ﹣3≤﹣3，解得：a≥6 或 a≤0．............. 10 分。