牛顿定律要点

[ Eki ( t ) Eki ( t 0 )] (Wi外 Wi内 非 保) E pA E pB
i i
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二、功能原理：质点系在运动过程中，它所 受外力的功与系统内非保守力的功的总和等 于它的机械能的增量。
因为
所以 所以 即 注意： 内力能改变系统的总动能，但不能改变系统的总动量
1
§3-3 动能、势能及机械能守恒
3.1 动能、功和动能定理
一、 功和功率
1、恒力的功
M

F
M S
F
W = F cos r
位移无限小时： dW F dr
dW称为元功
功等于质点受的力和它的位移的标量积
单位：J
量纲：ML2T－2
2
2、变力的功 如果力是位置的函数，设质点在力的作用下沿一曲 线运动，则功的计算如下： b dr 元功：dW 元位移： dr F
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例3.15 若两个分子之间的相互作用势能可以近似地表示 r0 6 r0 12 为 E P ( r ) E0 [2( ) ( ) ] Ep r r 其中E0和r0都是正的常数，r分子间 的距离。给出势能曲线并求出作用 r0 力为零时的分子间距离和此时对应 r O 的势能。 解 势能曲线如图所示 dE p F 分子间作用力为 dr 由上式解得F=0时，r=r0，称为平衡位置。此时 r0 6 r0 12 E P ( r0 ) E 0 [ 2( ) ( ) ] E 0 r0 r0 由于分子力可由势能曲线的负斜率加以说明 在r=r0时，分子力为零，即处于平衡位置；
W
y a mgdy mg(yb ya ) mg(ya yb )
yb
W mg ( yb ya ) ＝－E P
重力的功等于重力势能增量的负值。 重力势能以地面为零势能点，
y a b o
E P mgdy mg (0 y ) mgy
y
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0
E P E P E P Fz Fx Fy z y x E P ˆ E P ˆ E P ˆ ˆ ˆ ˆ F Fx i Fy j Fz k ( i j k) x y z
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五、势能曲线(势能随位置变化的曲线)
EP EP EP
b R o
GMmh R( R h )
只与初末位置有关！
5
ˆ (SI) 例2、质量为2kg的质点在力 F＝ 12t i
的作用下，从静止出发，沿x轴正向作直线运动。 求前三秒内该力所作的功。
解：（一维运动可以用标量） dr ˆ vdti ˆ dxi W＝ F dr 12t vdt
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四、势能和保守力的关系
势能与保守力对路径的线积分有关
dE P F dr F cosdl Fl dl

F
dE P Fl dl
dl
Fl
l
保守力沿某一给定的 l 方向的分量等于与此保守力 相应的势能函数沿 l 方向的空间变化率。
若势能为EP(x,y,z)
0
* 零势能点可以任意取，前述是一般常用取法。
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小结：
势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的。 势能仅有相对意义，所以必须指出零势能参考 点。质点在某一点的势能大小等于在相应的保守 力的作用下，由所在点移动到零势能点时保守力 所做的功。
两点间的势能差是绝对的，即势能是质点间相 对位置的单值函数。
§3-3 动能、势能及机械能守恒
3.1 动能、功和动能定理
一、 功和功率 二、 动能定理 三、质点系的动能定理
3.2 保守力和势能
一、 保守力 二、 势能 三、几种保守力和相应的势能 四、势能和保守力的关系 五、势能曲线
3.3 功能原理和机械能守恒
作业 3-6, 3-9, 3-11, 3-17，3-18，3-20
定义：动能
Ek=mv2/2
WAB=EkB-EkA 。
单位：J 量纲：ML2T－2
合外力对质点所做的功等于质点动能的增量
* 动能是状态量，任一运动状态对应一定的动能。 * EK为动能的增量，可正可负，视功的正负而变。 * 动能是质点因运动而具有的做功本领。
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三、质点系的动能定理
* 质点系的动能
以两个质点的系统为例
E
Ek Ek
EP
E
EP
o
EP
Ek
E
r
o
h
o
弹性势能曲线
x
万有引力势能曲线
重力势能曲线
曲线斜率为保守力的大小。从曲线可见零势能点的 选取，可分析系统的平衡条件及能量的转化。
E P ˆ E P ˆ E P ˆ ˆ ˆ ˆ F Fx i Fy j Fz k ( i j k) x y z

rb
d r m
F
b
1 1 GMm( ) ra rb E P
a
r r dr
可见，万有引力是保守力。
M
万有引力的功等于引力势能增量的负值。
Mm 1 EP ＝ r －G r 2 dr GMm r

引力势能以无穷远为零势能点。
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重力的功常用竖直方向计算： M在重力作用下由 a运动到 b，其坐标分别为ya、yb
2、弹力的功和弹性势能
F kx 以弹簧原长为零点
W
b
a

xb
xa
1 1 2 2 kxdx ( kxb kxa ) E P 2 2
可见，弹性力是保守力。 弹性力的功等于弹性势能增量的负值。 弹性势能以弹簧原长为零势能点。
1 1 2 2 E P x kxdx (0 kx ) kx 2 2
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3.3 功能原理和机械能守恒
一、保守内力的功仅与质点的相对位移有关， 与参照系无关。且等于初末态的势能差。
由质点系的动能定理：W外+W内=EkB - EkA
W
i
i外



i
B
A
Fi外 dri W外
W
i
i内 保

i
B
A
Fi内 保 dri


B
A
F12 dr 1
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例3.13 在一光滑的水平桌面上放有一块质量为m′的 木块，今从水平方向射来一发质量为m的子弹，在子弹 射进木块 l 距离后，嵌入其中。如果在子弹射入木块的 整个过程中所受阻力可以视为恒力，求: 子弹开始进入 木块到子弹相对木块静止时，木块前进的距离 l′。 解 将子弹和木块作为一个质点 m 系统。由于子弹击入木块过程中 子弹与木块间的摩擦力属于内力， 水平方向系统动量守恒，即有 mv 0 ( m' m ) v
m' v0
l' l
其中V0 是子弹的初速度，V是子弹相对于木块静止时 子弹和木块的速度。 因为重力、支撑力不对系统作功，题设摩擦力为恒力， 根据动能定理有
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1 1 2 2 W内 f l ( m' m ) v mv 0 2 2
2 1 1 ( m ' m ) 2 f l ( m' m ) v 2 m v 2 2 m2
解：选地面为参照系。 因为是匀速提升，所以提升时用常力： F y 又因变质量：
mg
m m0 y
0.5kg / 米
y
h
W
h
0
h F dy ( m0 y ) gdy m
0
1 2 mo gh gh 2205( J ) 2
o
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二、 动能定理
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功的其它单位：1eV=1.6×10-19J
例1、一陨石从距地面高为h 处由静止开始落向地面， 忽略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引力的功是 多少？
解：取地心为原点，引力与矢 径方向相反 R W F dr
R h
Mm W G 2 dr R h r
R
h
F
a
1 1 GMm ( ) R Rh

B
A
F21 dr2
r21 m2 m1 F21 F 12 r1 r2 dr1
O
20
dr2


B
A
F12 d ( r1 r2 )

B
A
F12 dr12
W
i
i内 保
B Fi内 保 dri i A


B
z
m1
r 1 r2
m2
Ek Ek 1 Ek 2
1 1 2 m1 v 1 m 2 v 2 2 2 2
x
O
y
应用质点的动能定理，然后相加。
[E
i
ki
( t ) E ki ( t 0 )] (Wi外 Wi内 )
i
A、B分别为系统的初末态。
*质点系的动能定理：W外+W内=EkB - EkA
* 功是过程量，与路径有关。 * 功是标量，但有正负。 * 合力的功为各分力的功的代数和。 3、功率 力在单位时间内所作的功
W 平均功率： P t W dW 瞬时功率： P lim t 0 t dt
单位：W或Js-1
量纲：ML2T－3
dW F dr
dr P F Fv dt
这里 l 是子弹相对于木块的位移的大小。 1 对木块使用质点的动能定理，有 f l ' m' v 2 0 2 这里l′是要求的木块（相对于地面）的距离。 2 ( m ' m ) 2 2 mv 0 ( m' m ) v v0 v 2 m