2018课标版理数一轮(7)第七章-不等式(含答案)2 第二节 一元二次不等式及其解法夯基提能作业本

第二节一元二次不等式及其解法
A组基础题组
1.若不等式4x2+ax+1>0的解集为 x|x≠-1
2
,则a的值为()
A.4
B.-4
C.1
D.-1
2.函数f(x)=1
ln(-x2+4x-3)
的定义域是()
A.(-∞,1)∪(3,+∞)
B.(1,3)
C.(-∞,2)∪(2,+∞)
D.(1,2)∪(2,3)
3.(2016山西四校联考)不等式组x2-4x+3<0,
2x2-7x+6>0
的解集是()
A.(2,3)
B.1,3
2
∪(2,3)
C.-∞,3
2
∪(3,+∞) D.(-∞,1)∪(2,+∞)
4.(2017沈阳三十一中月考)已知关于x的不等式ax+b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式ax-b
x-2
>0的解集是()
A.{x|x<-1或x>2}
B.{x|-1<x<2}
C.{x|1<x<2}
D.{x|x>2}
5.已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是()
A.-1<b<0
B.b>2
C.b<-1或b>2
D.不能确定
6.不等式|x(x-2)|>x(x-2)的解集是.
7.若0<a<1,则不等式(a-x) x-1
a
>0的解集是.
8.若不等式ax2+5x-2>0的解集是 x|1
2
<x<2.
(1)求实数a的值;
(2)求不等式ax2-5x+a2-1>0的解集.
9.已知函数f(x)=2+2ax+1的定义域为R.
(1)求a的取值范围;
(2)若函数f(x)的最小值为2
2
,解关于x的不等式x2-x-a2-a<0.
B组提升题组
10.(2013陕西,9,5分)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是()
A.[15,20]
B.[12,25]
C.[10,30]
D.[20,30]
11.若不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则a的取值范围是()
A.-23
5,+∞ B.-23
5
,1
C.(1,+∞)
D.-∞,-23
5
12.不等式a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,则实数λ的取值范围为.
13.若对于任意的n∈N*,n2+(a-4)n+3+a≥0恒成立,求实数a的取值范围.
14.设二次函数f(x)=ax2+bx+c,函数F(x)=f(x)-x的两个零点为m,n(m<n).
(1)若m=-1,n=2,求不等式F(x)>0的解集;
(2)若a>0,且0<x<m<n<1
,比较f(x)与m的大小.
a
答案全解全析A组基础题组
1.A由不等式4x2+ax+1>0的解集为 x|x≠-1
2知,-a
2×4
=-1
2
.∴a=4(经检验满足题意).故选A.
2.D由题意知-x2+4x-3>0,
-x2+4x-3≠1,
即
1<x<3,
x≠2,故函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3).
3.B∵x2-4x+3<0,∴1<x<3.又∵2x2-7x+6>0,∴(x-2)(2x-3)>0,∴x<3
2
或x>2,∴原不等式组的解集为
1,3
2
∪(2,3).
4.A依题意得,a>0且-b
a
=1.
ax-b x-2>0⇒(ax-b)(x-2)>0⇒ x-b
a
(x-2)>0⇒(x+1)(x-2)>0⇒x>2或x<-1.
5.C由f(1-x)=f(1+x)知f(x)图象的对称轴为直线x=1,则a
2
=1,故a=2.
由f(x)的图象可知f(x)在[-1,1]上为增函数,∴x∈[-1,1]时,f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2,令b2-b-2>0,解得b<-1或b>2.
6.答案{x|0<x<2}
解析不等式|x(x-2)|>x(x-2)的解集即x(x-2)<0的解集,解得0<x<2.
7.答案 x|a<x<1
a
解析原不等式可化为(x-a) x-1
a <0,由0<a<1得a<1
a
,∴a<x<1
a
.
8.解析(1)由题意知a<0,且方程ax2+5x-2=0的两个根为1
2
,2,代入解得a=-2.
(2)由(1)知不等式ax2-5x+a2-1>0即为-2x2-5x+3>0,即2x2+5x-3<0,解得-3<x<1
2
,即不等式ax2-5x+a2-1>0
的解集为-3,1
2
.
9.解析(1)∵函数f(x)= ax2+2ax+1的定义域为R,∴ax2+2ax+1≥0恒成立,当a=0时,1≥0恒成立.
当a≠0时,要满足题意,则需a>0,
Δ=(2a)2-4a≤0,解得0<a≤1,综上可知,a的取值范围是[0,1].
(2)f(x)=2+2ax+1=a(x+1)2+1-a,
由题意及(1)可知0<a≤1,∴当x=-1时,f(x)取最小值,f(x)min=1-a,
由题意得,1-a=2
2,∴a=1
2
,
∴不等式x2-x-a2-a<0即为x2-x-3
4
<0.
解得-1
2<x<3
2
,
∴不等式的解集为-1
2,3
2
.
B组提升题组
10.C矩形的一边长为xm,则由相似三角形可得其邻边长为(40-x)m,故矩形面积S=x(40-x)=-x2+40x,由
S≥300得-x2+40x≥300,即10≤x≤30.
11.A由Δ=a2+8>0,知方程x2+ax-2=0恒有两个不等实根,又知两根之积为负,
所以方程必有一正根、一负根.
设f(x)=x2+ax-2,于是不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)>0,解得a>-23
5
,故a的取
值范围为-23
5
,+∞.
12.答案[-8,4]
解析因为a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,所以a2+8b2-λb(a+b)≥0对于任意的a,b∈R 恒成立,即a2-λba+(8-λ)·b2≥0对于任意的a,b∈R恒成立,所以
Δ=λ2b2+4(λ-8)b2=b2(λ2+4λ-32)≤0,所以(λ+8)(λ-4)≤0,解得-8≤λ≤4.
13.解析对于n∈N*,不等式n2+(a-4)n+3+a≥0可变形为-a≤n 2-4n+3
n+1
.令x=n+1,则x≥2,x∈N*,问题可
转化为-a≤x2-6x+8
x 对于x≥2,x∈N*恒成立.设f(x)=x2-6x+8
x
=x+8
x
-6,则f(x)在[2,22]上为减函数,在
[22,+∞)上为增函数.而f(2)=0,f(3)=-1
3,∴对于x≥2且x∈N*,f(x)min=-1
3
,故有-a≤-1
3
,即a≥1
3
.
14.解析(1)由题意知,F(x)=f(x)-x=a(x-m)(x-n),当m=-1,n=2时,不等式F(x)>0即a(x+1)(x-2)>0.当a>0时,不等式F(x)>0的解集为{x|x<-1或x>2};当a<0时,不等式F(x)>0的解集为{x|-1<x<2}.
(2)f(x)-m=a(x-m)(x-n)+x-m=(x-m)(ax-an+1),∵a>0,且0<x<m<n<1
,∴x-m<0,1-an+ax>0.∴f(x)-m<0,
a
即f(x)<m.。