带有线搜索的非单调自适应新锥模型信赖域算法

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信赖域算法非线性优化问题课件

非ห้องสมุดไป่ตู้性优化问题的求解方法
总结词
非线性优化问题的求解方法主要包括梯度法、牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法等。此外，还有一些启发式算法如模拟退火、遗传算法等也被广泛应用于求解非线性优化问题。
详细描述
梯度法是最早用于求解非线性优化问题的方法之一，其基本思想是沿着目标函数的负梯度方向搜索。牛顿法基于泰勒级数展开，构造一个二次模型逼近目标函数，并在此基础上求解极小值。拟牛顿法是牛顿法的改进，通过构造一个正定的拟牛顿矩阵来逼近海森矩阵。共轭梯度法结合了梯度法和牛顿法的思想，在每一步迭代中沿着当前搜索方向的前一方向共轭的方向进行搜索。
可解释性与透明度
研究如何提高信赖域算法的可解释性和透明度，使其在关键领域（如医疗、金融等）得到更广泛的应用。
信赖域算法的挑战和机遇
挑战
非线性、非凸、大规模、多模态等复杂优化问题对信赖域算法提出了更高的要求。同时，算法的稳定性和收敛速度也是需要克服的难题。
机遇
随着计算能力的提升和算法理论的不断发展，信赖域算法有望在更多领域发挥重要作用。例如，在数据科学、机器学习、人工智能、控制系统等领域，信赖域算法具有广阔的应用前景。同时，与其他先进技术的结合也为信赖域算法的发展提供了新的机遇。
信赖域算法的未来发展
深度学习与机器学习集成
探索将信赖域算法与深度学习、机器学习等先进技术相结合，以解决复杂、高维的非线性优化问题。
智能优化
结合人工智能和优化算法，开发能够自适应学习和进化的智能优化系统。
强化学习与优化算法结合
利用强化学习中的智能体与环境交互学习的特点，与信赖域算法结合，实现更高效的优化。
• 可以处理约束优化问题。
信赖域算法的优缺点

自调节步长的非单调新自适应信赖域算法

其中，ｆ：ＲＲ是二次连续可微函数．信赖域方法是在每次迭代求解信赖域子问题：
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ｍｎ）ｇｄ ÷ ｉ（＝＋ｑ
的解，中ｇ＝（，其ｋ）
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是信赖域半径．
（２１）．
文章编号：０３２４（００－７５０１ｏ・８３２１）５０１－４１
自调节步长的非单调新自适应信赖域算法
邵安，王希云
（太原科技大学应用科学学院，太原００２）３０４
摘要：本文提出了求解无约束优化问题的一种可调节步长的非单调自适应信赖域算法．信赖域半径的调整采用了一种新的自适应技术，算法在试探步不被接受时，采用了一种自动调节的步长寻找下一个迭代点，高了计算的效率．提并在合适的条件下，出了算法的收敛性分析．给最后，细的数值试验表明，详算法是有效的．
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一
则。一．＋ｍ（１ｋ＋Ｓ＝觜＋ｍ１ｉｋ，：１ｔ（＝｛＋）ｋ转ｐｋｎ）＝，ｅ）ｍ２．
算法２双割线折线法求解信赖域子问题算法
ＳｅＯｔｐ：给定梯度，正定矩阵，信赖域半径．
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Ｓｐ：＝ＢＩ，ｔｌ取Ｉ；ｅＩ￣，
第３７卷第５期
西南民族大学学报・自然科学版
ＪｕａｆＳｕｈｓｉｅｓｔｒｔｏａｉｅ・ｔｒｌｃｅｃｄｔｎｏｒｌｏｔｗｅｔｎｏＵｎｖｒｉｆｉｎｌｉｓＮａｕａｉｎｅＥｉｏｙｏＮａｔＳｉ

多重滤子非单调新锥模型信赖域算法

多重滤子非单调新锥模型信赖域算法周新慧;李小伟【摘要】将由Gu和Mo所提出的一种新的非单调技术,应用到新锥模型的过滤信赖域算法中,提出了一种求解无约束优化的非单调多重过滤信赖域方法,新算法中的每个非单调项是其先前单调项和当前目标函数值的凸组合,不但在每一次遥代中构造出新的比率来调整信赖域半径减少运算量,而且在实验步骤不被接受时利用了多重过滤技术增加了试验点的接受几率,在适当的条件下,证明了算法的收敛性.数值试验表明了该算法的有效性.【期刊名称】《电子科技》【年(卷),期】2014(027)003【总页数】3页(P1-3)【关键词】无约束优化;新锥模型;非单调技术;过滤技术;信赖域【作者】周新慧;李小伟【作者单位】西安电子科技大学理学院,陕西西安710071;西安电子科技大学理学院,陕西西安710071【正文语种】中文【中图分类】O221考虑无约束优化问题其中，f(x)∶Rn→R1是二次连续可微函数，对于求解式(1)目前主要有线性搜索和信赖域两类数值方法，信赖域因为其强收敛性、强适性和稳定性等优点，受到最优化研究者的高度重视。

目前众多学者对其进行了深入研究，传统的信赖域算法具有单调性，使得步长的选择具有一定的局限性，因此Deng等人，将1986年Grippo及Lucidi提出的求解无约束问题的非单调线性搜索方法［1］中的非单调技术引入到信赖域算法当中，构造了无约束优化信赖域算法，相应的数值试验表明，该算法的有效性。

2004年 Zhang和Hger［2］提出了新的非单调技术。

但Gu和Mo发现每次更新ηk和Qk使得算法的变得更为复杂。

因此在此基础上Gu和Mo［3］提出了另外一种非单调技术。

1980年，Davidon针对二次模型对于非二次性太强、曲率变化较为剧烈的函数，逼近效果差等缺陷提出了锥模型［4］。

之后倪勤等提出了新锥模型的子问题，取消了对信赖域半径和水平向量的限制，将新锥模型［5］与新的可行集分成3种情形，由此得到3种不同类型的锥模型信赖域子问题。

一个自动确定信赖域半径的锥模型信赖域方法

一个自动确定信赖域半径的锥模型信赖域方法冯琳;段复建【摘要】自适应信赖域算法由于利用了对算法有重大影响的有关当前迭代点的信息,提高了算法的效率,因此对于无约束最优化问题提出一个锥模型自适应信赖域算法.算法中信赖域半径采用新的自适应修正策略.算法在每步迭代中以R-函数变化的速率、水平向量信息以及当前迭代点的一阶导数信息来修正信赖域半径的大小,使得信赖域半径的修正依据于问题本身,克服传统信赖域算法中没有利用当前迭代点的信息修正信赖域半径的缺点.在一定的条件下简洁地给出了算法的全局收敛性分析.算法丰富了已有的自适应信赖域算法.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(039)004【总页数】7页(P542-548)【关键词】无约束最优化;信赖域方法;锥模型;自适应;全局收敛性【作者】冯琳;段复建【作者单位】重庆文理学院数学与财经学院,重庆永川402160;桂林电子科技大学数学与计算科学学院,广西桂林541004【正文语种】中文【中图分类】O224.2其中，f(x):Rn→R1是连续可微函数．本文采用如下记号:‖·‖表示Euclidean范数;g(x)∈Rn是f(x)在点x的梯度;H(x)∈Rn×n是f(x)在点x的Hessian矩阵，{xk}是某一算法产生的迭代点列，并记fk=f(xk)，gk=g(xk)，Hk=H(xk);Bk∈Rn×n是对称矩阵，它是f(x)在点xk的Hessian矩阵或其近似．信赖域算法和线搜索方法是求解(1)式的两类主要的数值计算方法．与线搜索方法相比，信赖域算法具有稳定的数值性能、收敛性强、迭代次数少、能有效地解决病态问题，并且不需要子问题的Hessian矩阵是正定的．因此在非线性优化界受到了特别的重视，特别是最近几年一直是非线性优化界研究的一个热点．信赖域算法是一种迭代算法．在每一步迭代，求解信赖域子问题本文考虑无约束最优化问题其中，s=x－xk，gk=f(xk)，Δk＞0是信赖域半径．在当前迭代点xk，设子问题(2)的解是sk，则在点xk处的实际下降量预估下降量实际下降量Are sk与预估下降量Pre sk的比值为它反映了子问题(2)的解sk令人满意的程度．rk越大，表明sk越令人满意．如果sk令人满意，就接受sk，得到下一个迭代点xk+1，同时增大信赖域半径Δk;反之，则拒绝sk，同时缩小信赖域半径Δk，重新求解子问题(2)，直至sk被接受，即其中，μ∈(0，1)是一个常数，并调节信赖域半径其中，0≤μ1＜μ2＜1，0＜c1＜1＜c2是常数．(3)式表明对信赖域半径Δk的调节只是根据rk按常数倍放大或缩小初始信赖域半径，没有利用对算法有重大影响的gk、Bk等这些有关当前迭代点的信息，这样降低了算法的效率．基于此，许多自适应信赖域方法被提出．A．Sartenaer［1］研究了初始信赖域半径的选取对信赖域算法的影响，提出一个自动确定初始信赖域半径的ITRR方法．J．Y．Fan等［2］提出信赖域半径收敛到零的方法，其信赖域半径Δk=μk‖gk‖．李红等［3］提出一个充分利用rk的信息，利用R－函数变化的速率自动确定信赖域半径Δk=Rη(t)‖dk－1‖的方法，其中Rη(t)是一个关于rk的R－函数．文献［4－6］也提出了自适应信赖域方法．定义1［7］Rη(t)定义在(－∞，+∞)上，参数η∈(0，1)，Rη(t)是一个R－函数当且仅当满足:(i)Rη(t)在(－∞，+∞)非减;(ii)是一个常数);(iii)Rη(t)≤1－γ1(t＜η，γ1∈(0，1－β)是一个常数);(iv)Rη(η)=1+γ2(γ2∈(0，β)是一个常数);(v)是一个常数)．由定义1得到R－函数如下一些性质．定理1［7］如果Rη(t)(η∈(0，1))是一个R－函数，则有因此可以把Rμ(rk)作为增大或缩小信赖域半径的尺度，使信赖域半径的调节依据于问题本身．大多数信赖域算法采用二次模型逼近原问题f(x)，但对一些非二次性态强、曲率变化剧烈的函数，采用二次模型逼近原问题效果较差，因此得到的最优点较差．W．C．Davidon［8］首次提出锥模型．锥模型比二次模型更一般，包含的信息和自由度更多，更能充分地逼近原问题f(x)，因而吸引了许多学者对它进行研究．文献［9－11］研究了锥模型共线调比拟牛顿方法．诸梅芳等［12］提出求解(1)的锥模型信赖域算法;Q．Ni［13］给出锥模型信赖域子问题的最优性条件，为锥模型信赖域子问题的求解提供了更充分、合理的理论基础，信赖域算法进一步发展．文献［14－16］提出了锥模型非单调信赖域算法．文献［17］提出了锥模型回溯过渡信赖域算法．J．H．Fu等［18］将自适应技术引入锥模型信赖域算法，提出锥模型自适应信赖域算法［19－25］;王希云等［26］也提出锥模型自适应信赖域算法，信赖域半径锥模型信赖域算法得到了广泛的发展，并且数值结果表明对一些函数，特别是对曲率变化剧烈的函数，锥模型信赖域算法比二次模型信赖域算法效果更好．求解(1)式的一个典型的锥模型信赖域子问题是其中，bk∈Rn是水平向量，．当bk=0或时，锥模型转化为二次模型，因此锥模型是二次模型的推广．在文献［2－3，26］工作的基础上，基于锥模型信赖域子问题(6)，本文提出一类新的自动确定信赖域半径的信赖域方法．每次迭代，令使得在每次迭代，依据问题本身的信息自动调节信赖域半径．基于锥模型信赖域子问题(6)和新的信赖域半径(7)，给出一个求解(1)式的自适应信赖域方法．设(6)式的解为sk，则目标函数f(x)在第k步的实际下降量为预估下降量为比值具体的自动确定信赖域半径的锥模型信赖域方法实现如下．算法1 第1步给出初始点x0∈Rn，Δ0＞0，b0∈Rn×1，ε＞0，0＜μ＜1，0＜β＜1，0＜γ1＜1－β，γ2＞0，M＞1+γ2，B0=I(单位阵)，k:=0．第2步计算gk=g(xk)．如果‖gk‖≤ε，则停止计算，x*=xk;否则，转第3步．第3步近似求解(6)式得到sk，并利用(8)～(10)式分别计算Are sk、Pre sk、rk．第4步如果rk＜μ，令xk+1=xk;否则，令xk+1=xk+sk．第5步修正bk及Bk，产生bk+1及Bk+1，利用(7)式计算Δk+1．令k:=k+1，转第2步．注1．1 (i)算法1中，要求‖bk‖Δk＜1，如果‖bk‖Δ≥1，则令，使得‖bk‖Δk＜1．(ii)算法1第3步中sk的具体求解及第5步中bk和Bk的校正公式可参见文献［18］．(iii)若(6)和(7)式中的bk=0，则算法1转化为相应的自动确定信赖域半径的二次模型信赖域方法．(iv)算法1中，利用(3)式调节信赖域半径，得到传统的锥模型信赖域算法．在一定的条件下证明算法1的全局收敛性．本文所需假设如下:(A1)水平集L(x0)={x|f(x)≤f(x0)}有界，f(x)在L(x0)上二阶连续可微;(A2){Bk}、{}、{bk}一致有界，即存在常数δ1，δ2，δ3＞0，使得对k有‖Bk‖≤δ1，‖‖≤δ2，‖bk‖≤δ3;(A3)g(x)是Lipschitz连续函数，即存在L＞0，满足本文算法1中的，用文献［18］中的方法校正时保持正定性．以下的均为对称正定矩阵．为讨论方便，记I={k:rk＜μ}，J={k:rk≥μ}．引理1 设sk是子问题(6)的解，gk≠0，则有为得到算法的下降性条件，引入Cauchy点其中引理2 对Cauchy点pck满足证明分3种情况证明．(i)当且时则有(ii)当且时3由‖Bk‖Δk＜1知则有由(13)～(16)式知(iii)当时由(17)式知于是从而由(17)式知于是又由(21)和(22)式知于是由(18)、(23)式和(ii)的过程，(19)和(20)式知证毕．下面的引理说明子问题(6)的解sk满足充分下降条件．引理3 设sk是子问题(6)的解，则有证明由引理2知引理4 如果假设(A1)～(A3)成立，则存在常数c＞0，使得证明由(5)和(7)式及‖bk‖Δk＜1知令c=2M，则Δk≤c‖gk‖，从而‖sk‖≤c‖gk‖．引理5 如果{xk}是由算法1产生的点列，则证明用数学归纳法证明．当k=0时，f(x0)≤f(x0)，则x0∈L(x0)，命题成立．下证假设xk∈L(x0)时，则有xk+1∈L(x0)．当xk∈L(x0)时，有f(xk)≤f(x0)．(i)如果k∈I，则rk＜μ．由算法1第4步知:xk+1=xk，于是 f(xk+1)= f(xk)．所以f(xk+1)≤f(x0)．(ii)如果k∈J，则rk≥μ．于是由(11)式知因而f(xk+1)≤f(xk)．所以f(xk+1)≤f(x0)．由(i)和(ii)知:当xk∈L(x0)时，xk+1∈L(x0)．由数学归纳法知:结论成立．算法1中，如果xk+1=xk+sk，则称xk+1是一个成功的迭代点;如果xk+1=xk，则称xk+1是一个非成功的迭代点．引理6 如果假设(A1)～(A3)成立，{xk}是由算法1产生的无穷点列，且对k有‖gk‖＞ε，ε∈(0，1)是常数，则对，存在非负整数p使得xk+p+1是一个成功的迭代点．证明假设存在非负整数 k0使得p都有xk0+p+1是一个非成功的迭代点，即由算法1第4步知由(4)和(7)式知于是因而对充分大的p有 1其中c1为某一常数．于是对充分大的p有由(24)式知由f(x)是连续可微函数及Taylor展开式知其中由于f(x)二阶连续可微，则对x∈{x|f(x)≤f(x0)，x∈Rn}，α＞0，s．t．‖2f(x)‖≤α．由(29)～(31)式知从而当p充分大时由0＜μ＜1知:当p充分大时，rk0+p≥μ，这与(26)式矛盾．定理2 如果假设(A1)～(A3)成立，算法1产生无穷点列{xk}，则有证明 (反证法)假设结论不成立，则存在常数ε＞0，ε∈(0，1)，使得‖gk‖≥ε，k．下证由引理6知:当k充分大时，则k∈J，此时有由于{fk}单调递减有下界，因此{fk}收敛．于是当k充分大时有因为‖bk‖Δk＜1;当‖bk‖Δ≥1，则(0＜α＜1)，因此τ＞0，使得‖bk‖Δk≤τ．于是所以由(34)式知又k∈J时，有rk≥μ，由定义1和定理1知:，使得，这与(33)式矛盾．因此定理成立．对于无约束最优化问题提出了一个基于锥模型的自适应信赖域算法．信赖域半径采用一个新的自适应修正策略．算法在每步迭代中以R－函数变化的速率、水平向量信息以及当前迭代点的一阶导数信息来修正信赖域半径的大小，使得信赖域半径的修正依据于问题本身，克服了传统信赖域算法中没有利用当前迭代点的信息修正信赖域半径的缺点．在一定的条件下给出了新算法的全局收敛性分析．致谢重庆文理学院校级基金(Y2013SC42)对本文给予了资助，谨致谢意．【相关文献】［1］SARTENAER A．Automatic determination of an initial trust region in nonlinear programming［J］．SIAM J Scientific Computing，1997，18:1788－1803．［2］FAN J Y，AI W B，ZHANG Q Y．A line search and trust region algorithm with trust region radius convergence to zero［J］．J Comput Math，2004，22(6):865－872．［3］李红，焦宝聪．一类带线搜索的自适应信赖域算法［J］．运筹学学报，2008，12(2):97－104．［4］SANG Z Y，SUN Q Y．A self－adaptive trust region method with line search based on a simple subproblem model［J］．J Comput Appl 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新锥模型二维子空间信赖域算法的开题报告

新锥模型二维子空间信赖域算法的开题报告一、选题背景及意义近年来，信赖域算法在数值优化领域得到广泛应用。

信赖域方法是一种迭代数值优化算法，在每一次迭代中，该算法会计算出一个近似的模型来代替原函数，并生成一组搜索方向。

在一次迭代中，信赖域算法会通过不断调整搜索方向和模型参数，来逼近原函数的最小值点。

传统的信赖域算法主要针对实数空间中的无约束优化问题，但在实际应用中，很多问题都涉及到约束条件。

为了解决这些问题，学者们提出了许多信赖域算法的扩展形式。

其中，新锥模型二维子空间信赖域算法是一种应用广泛的算法之一。

它可以充分利用约束条件的信息，生成有效的搜索方向来加速优化过程，具有很高的收敛速度和收敛精度，已成为现代优化算法中不可或缺的一部分。

因此，对于该算法的研究具有很高的意义。

二、研究内容及方法1. 研究内容本研究的主要内容是对新锥模型二维子空间信赖域算法进行深入研究和探讨，以解决约束条件下的优化问题。

在该算法的框架下，我们将研究以下内容：（1）新锥模型的构建方法和优化原理。

（2）约束条件下的搜索方向的生成方法和更新规则。

（3）算法的全局收敛性和局部收敛性分析。

（4）实验验证和分析。

2. 研究方法研究方法主要包括理论分析和实验验证两个方面。

（1）理论分析：通过对新锥模型二维子空间信赖域算法的数学原理进行研究和解析，分析算法在理论上的收敛性和优化效率，并从理论上证明算法的正确性。

（2）实验验证：通过对多个实际问题的数值优化实验，验证算法的优化效果和收敛性，并分析算法的优化特点和优化适用范围。

三、预期成果及意义1. 预期成果（1）对新锥模型二维子空间信赖域算法的基本原理和构建方法进行深入研究和探讨。

（2）提出一种适用于约束条件下的搜索方向生成方法和更新规则，并对其收敛性进行分析和优化。

（3）对算法的全局收敛性和局部收敛性进行理论证明，并通过多组实验数据来验证算法的有效性和优化效果。

2. 意义（1）能够深入研究新锥模型二维子空间信赖域算法，从而推动该算法在实际问题中的应用。

一种非单调自适应新锥模型信赖域算法

一种非单调自适应新锥模型信赖域算法近年来，统计推断和模式识别领域的研究人员发展了一些有效的算法来提取有用信息，这些算法大部分都建立在锥模型中。

在锥模型中，对对象进行抽样，并采用不同的模型表示在不同的空间中。

通过计算锥模型中的约束，可以获得两个或更多的对象的信息。

然而，由于子空间有可能交叉，锥模型在提取信息时存在两个主要问题：第一，多维空间中的子空间可能会发生重叠，这会影响模型的有效性；第二，子空间边界变化可能会导致模型精度降低。

因此，开发一种非单调自适应新锥模型信赖域算法（NDA-NCRM）是很有必要的。

NDA-NCRM是一种半抽象的算法，它可以通过在子空间中构造拉格朗日乘数，从而使模型的边界具有可变性，并使子空间不会发生重叠现象。

NDA-NCRM的另一个优点是，它可以支持任意数量的对象，这对锥模型的计算量有很大的影响。

NDA-NCRM算法的主要原理是，在子空间中构造一系列连续的拉格朗日乘数，以使模型的边界具有可变性，从而避免子空间发生重叠的情况，并且算法可以支持任意数量的对象。

NDA-NCRM的基本思想是，在锥模型中建立一个简单的有效的拉格朗日乘数，然后通过迭代对拉格朗日乘数进行修改，从而得到更好的目标函数值的结果。

NDA-NCRM的迭代过程中，需要计算原始锥模型中的约束，从而获取不同子空间中的信息。

在每一步迭代中，都要重新估计拉格朗日乘数，以确保所有变量可以有效地调节子空间的边界，从而保证模型的有效性。

此外，对NDA-NCRM算法进行改进，可以更好地提高模型的精度。

这种改进可以通过引入权重来实现，从而使调整参数更加精确。

此外，可以将NDA-NCRM算法和其他半抽象算法结合起来，比如聚类或分类等，从而更有效地提取有用信息。

总之，NDA-NCRM算法是一种有效的、非单调的锥模型信赖域算法，它可以提高模型的精度，同时可以有效地支持任意数量的对象。

此外，NDA-NCRM算法还可以实现通过调整参数更加精确地提取有用信息，并可以与其他半抽象算法结合起来，从而更有效地提取有用信息。

一类新的带线搜索的自适应非单调信赖域算法

其中：＝ＢｎＳＢ：｛力，ｄ∈ＲＩｌｌｌｌ≤△ ｝ｄ，Ｓ＝｛ｄ∈Ｒｌ１—６ｄＪ０，０ —个０ — Ｊ ≥ ｝为 — １的正数，（）＝（＋ｄ厂）一）ｇ，＝ｇ）为（）在处的梯度，ｂ和分别是ｎ向量和ｎ× 维
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｛｝．１ … ，ｒ（）＝，ｊ｝＝，ｍ，ｋｅ
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作者简介：赵绚（９３一）女，１８，硕士，主要研究方向为最优化理论及应用。
第３卷第１ｌ朝
第３１卷
第ｌ期
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２１００年２月
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赵绚，一类新的带线搜索的自等：适应非单调信赖域算法
３算法的收敛性
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解新锥模型信赖域子问题的折线法

解新锥模型信赖域子问题的折线法
解新锥模型信赖域子问题的折线法
本文以新锥模型信赖域子问题的最优性条件为理论基础,认真讨论了新子问题的锥函数性质,分析了此函数在梯度方向及与牛顿方向连线上的单调性.在此基础上本文提出了一个求解新锥模型信赖域子问题折线法,并证明了这一子算法保证解无约束优化问题信赖域法全局收敛性要满足的下降条件.本文获得的数值实验表明该算法是有效的.
作者：陆晓平倪勤刘浩 LU XIAOPING NI QIN LIU HAO 作者单位：陆晓平,LU XIAOPING(南京航空航天大学经济与管理学院,南京,210016)
倪勤,NI QIN(南京航空航天大学理学院,南京,210016)
刘浩,LIU HAO(南京工业大学理学院,南京,210009)
刊名：应用数学学报ISTIC PKU英文刊名：ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA 年，卷(期)：2007 30(5) 分类号：O221.2 关键词：无约束最优化锥模型信赖域子问题。

非单调自适应信赖域算法

非单调自适应信赖域算法
赵丹;王淑玲
【期刊名称】《商丘师范学院学报》
【年(卷),期】2010(26)3
【摘要】将非单调线搜索技术与自适应信赖域算法相结合,提出了求解无约束优化问题的一个非单调自适应信赖域算法.在适当条件下,证明了本算法的全局收敛性.数值实验说明了本算法的可行性.
【总页数】4页(P42-45)
【作者】赵丹;王淑玲
【作者单位】连云港师范高等专科学校,数学系,江苏,连云港,222000;徐州空军学院,基础部,江苏,徐州,221000
【正文语种】中文
【中图分类】O221.2
【相关文献】
1.一种改进的非单调自适应新锥模型信赖域算法 [J], 周新慧;李小伟
2.带有线搜索的非单调自适应新锥模型信赖域算法 [J], 李小伟;钱慧敏
3.一种无约束优化的非单调自适应锥模型信赖域算法 [J], 段复建;孙中波
4.基于锥模型的非单调自适应信赖域算法 [J], 王开荣;曾刘拴
5.基于修正拟牛顿方程解非线性方程组问题的非单调自适应信赖域算法 [J], 王真真;刘延浩;高苗苗;孙清滢
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基于锥模型的非单调自适应信赖域算法

基于锥模型的非单调自适应信赖域算法王开荣;曾刘拴【摘要】针对无约束优化问题提出了一个基于锥模型的非单调信赖域算法.首先提出一种求解子问题的新方法,在此基础上给出该文算法.算法结合自适应技术,避免信赖域半径更新的盲目性;并引入滤子技术和新的非单调技术,利用非单调Armijo线搜索得到步长,进而产生新的迭代点.在一定的假设条件下,证明了该算法的全局收敛性,数值实验表明了算法的有效性.【期刊名称】《华中师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(049)002【总页数】8页(P171-178)【关键词】无约束规划;非单调信赖域算法;自适应方法;滤子;全局收敛性【作者】王开荣;曾刘拴【作者单位】重庆大学数学与统计学院,重庆401331;重庆大学数学与统计学院,重庆401331【正文语种】中文【中图分类】O221.2本文考虑无约束最优化问题：其中，f(x):R→Rn二阶连续可微且有下界．锥模型方法最初是由Davidon[1]和Sorensen[2]提出的.经典的锥模型如下：其中，s=xk+1-xk，gk=f(xk)，对称阵Bk∈Rn×n是2f(xk)或其近似，hk称为水平向量.若hk=0或者则锥模型退化为二次模型，因此锥模型是二次模型的推广，它包含更多的信息，具有二次模型没有的优势[3-5]．考虑到信赖域方法良好的性质，Di和Sun[6]首次提出了锥模型信赖域方法，他们考虑了下面的信赖域子问题：其中，Δk是信赖域半径是Euclide范数．近年来非单调线搜索技术[7-10]因其较好的数值效果而得到了广泛应用.2008年Mo和Gu[11]提出了一种较为简单的非单调技术，即：其中，并将此技术运用到信赖域方法中，获得了较好的数值效果．自适应方法[12-14]可以避免信赖域半径更新的盲目性.2009年，Sang和Sun[15]充分利用当前迭代点的信息提出了一种自适应方法，即令其中，滤子技术[16]最初的目的是为了克服使用价值函数时选取罚因子的困难.2005年，Gould等[17]将滤子技术应用到一般的无约束优化问题中，提出了一个滤子信赖域方法，2012年，孙文瑜和徐东[18]提出了一种基于锥模型的滤子信赖域方法，证明了其收敛性，并得到较理想的数值效果．本文基于锥模型(3)，首先给出一种求解(3)的简单算法，之后结合Mo等[11]的非单调技术、Sang和Sun[15]的自适应技术及Gould等[17]的滤子技术提出一个求解问题(1)的非单调自适应信赖域算法.当试探步不被接受时，采用滤子技术，增加试探步被接受的可能性；如果试探步也不被滤子集接受，取沿sk方向进行非单调Armijo线搜索得到步长αk，从而得新的迭代点xk+1=xk+αksk．为了给出求解(3)的简单算法，首先简化子问题(3)，在第k步迭代中，用χ(xk)I来逼近Bk，则子问题(3)转化为下面的形式：另外，锥模型应该满足下面的四个插值条件[5]:其中，sk-1=xk-xk-1，由(10)的第一个等式可得令则由上式可得因此有若χ(xk)≤0，则选取充分小的常数δ1>0，令这样就可以保证Bk=χ(xk)I正定．锥模型函数ck(s)的严格极小点为：而ck(s)的Cauchy点为其中，求解问题(3)的计算步骤为：算法1步骤1：若则令否则转步骤2；步骤2：令有了算法1，就可以给出求解问题(1)的算法2如下：算法2(FNTR)步骤1：给定初始滤子集F0，k→0．步骤2：计算若则x*=xk，停止计算，否则，转步骤3．步骤3：计算f(xk)，利用算法1求解信赖域子问题(8)，得试探步sk，令步骤4：计算步骤5：若rk≥ω1，令；否则，计算若被Fk接受，令并将加入到Fk，同时去除Fk中所有被支配的点，得到Fk+1；否则令求ik，使得ik是满足的最小的非负整数，令αk=λik，xk+1=xk+αksk．步骤6：计算χ(xk+1)，若χ(xk+1)≤θ或令χ(xk+1)=κ，Bk+1=χ(xk+1)I．步骤7：按式(6)、(7)更新信赖域半径，按文献[19]的方法更新hk，即其中，转第2步骤．说明： 1) 从算法2的步骤6可以看出，序列是一致有界的，即对任意的k有2) 为了保证算法2的全局收敛性，选取一个足够小的常数σ>0，使得对任意的k 有对算法2的收敛性，首先给出以下假设：(H1) f(x)在有界闭集H={x|f(x)≤f(x0)}上二阶连续可微;(H2) 算法2产生的序列包含在H中;(H3) 假设存在两个正常数和Mb，使得对任意的k有由假设(H1)和(H3)知，存在Δmax>0，使得对任意的k有Δk≤Δmax.为讨论问题的方便，记加到滤子集中}，A={k|rk<ω1}\S．引理1如果{Bk}是由算法2产生的，则对任意的k，Bk及都是正定对角阵，m1≤Bk≤m2，且存在m3，m4>0，使得证明由Bk+1=χ(xk+1)I和说明(1)很容易得到．引理2[20]若假设(H1)、(H2)、(H3)成立，sk是子问题(8)的解，则有其中是一个常数．引理3[21]设sk是子问题(8)的解则∃使得引理4若{xk}是由算法2产生的，则对任意的k有证明由Dk的定义知Dk+1-fk+1=η(Dk-fk+1)．现在考虑3种情况：k∈T，k∈S，k∈A．第1种情况：k∈T.因故有所以Dk+1-fk+1=η(Dk-fk+1)>0，即Dk+1>fk+1，又因即有Dk+1≤Dk，所以当k∈T时结论成立．第2种情况：k∈S.由滤子的定义知fk+1≤fk.若k-1∈T，则有fk≤Dk≤Dk-1，从而有即Dk+1≤Dk，又因即fk+1≤Dk+1，所以有fk+1≤Dk+1≤Dk．若k-1∈S，令M={i|1<i≤k，k-i∈T},如果M=Φ，则有fk+1≤fk≤…≤f1≤f0=D0.下面用数学归纳法证明Dk+1≤Dk.因f0=D0，所以k=1时有假设k=n时，有Dn+1≤Dn下证k=n+1时有Dn+2≤Dn+1，而所以Dk+1≤Dk成立.再证fk+1≤Dk+1，因Dk+1-Dk=(η-1)Dk+(1-η)fk+1=(1-η)(fk+1-Dk)，而由上面的证明可知Dk+1≤Dk，又(1-η)>0 ，所以有(fk+1-Dk)≤0，即fk+1≤Dk，从而有如果M≠Φ，设m=min{i|i∈M}，则有fk+1≤fk≤…≤fk-m+1，因k-m∈T，由第一种情况可知fk-m+1≤Dk-m+1≤Dk-m，而由归纳法可得Dk+1≤Dk，同上可得fk+1≤Dk+1．综上可得当k∈S时，有fk+1≤Dk+1≤Dk．第3种情况：k∈A.因故有即Dk>fk+1,所以Dk+1-fk+1=η(Dk-fk+1)>0，即Dk+1>fk+1，而则有Dk+1≤Dk,所以有fk+1≤Dk+1≤Dk．综合上面3种情况可知，对任意的k都有fk+1≤Dk+1≤Dk．引理5若假设(H1)、(H2)、(H3)成立，则存在常数M>0，使得对任意的k有证明由假设(H1)可知gk和2f(x)是一致有界的，即分别存在Mg>0和Mf>0使得对任意的k有和再由Taylor展式可得：令则结论得证．引理6[11]如果假设(H1)、(H2)、(H3)成立，αk满足(7)式，则存在对任意的k∈A 都有定理1如果假设(H1)、(H2)、(H3)成立则有证明首先证明时必有由的定义知因fk有界，故Dk有界，所以有所以有又因故必有下面证明反证.假设对充分大的k有又令k→∞，则有所以对充分大的k，有rk≥ω1，则由算法知对充分大的k存在μ*>0，使得这与矛盾.所以有定理2[21]如果假设(H1)、(H2)、(H3)成立，且则有定理3如果假设(H1)、(H2)、(H3)成立，且则有证明反证，假设当充分大时，有由引理4知{Dk}单调下降，又{Dk}有界，故其收敛，再由引理3和引理6得记因sk是下降方向，故对任意的k∈A，有fk+1≤fk，从而有又由Dk+m+1的定义知Dk+m+1是fk+1，fk+2，…，fk+m+1的凸组合，因此有故对充分大的k，有Dk-Dk+m+1≥β，这与{Dk}收敛矛盾，所以成立．定理4若假设(H1)、(H2)、(H3)成立，算法2产生的点列{xk}收敛于x*，2f(x*)正定，2f(x)在x*的邻域内Lipschitz连续，其中，Lipschitz常数为L，如果有且则点列{xk}Q-超线性收敛于x*．证明因2f(x*)正定，2f(x)在x*的邻域内Lipschitz连续，则存在正的常数m、M，使得对任意的s∈Rn，x∈Ω有则由(24)式可得进而有所以有2f(xk)sk．由说明2)知所以有0<c(0)-c(sk)=故有因f(x)二阶连续可微，所以有从而又所以有进而有所以,因此令k→∞，则有再结合(24)式，可得所以点列{xk}Q-超线性收敛于x*．本节给出算法2(FNTR)的数值试验结果，并与基本信赖域算法(TR)(文献[22]中算法3.6.1)，滤子信赖域算法(FilterTR)[23]以及锥模型回溯过滤信赖域算法(CRFTR)[24]做比较.算法用Matlab7.01编写程序.Fval表示最优点处的函数值，Gnorm表示迭代终止时函数梯度的范数，K表示迭代次数，CPU代表运行时间(单位为s).设定精度检验函数取自文献[25]，初始点的选取与文献[25]相同.如果计算不出结果或者时间超过200 s或者迭代次数超过1000次，则用“---”表示．算法2(FNTR)中，选择的参数为其中，算法2(FNTR)，算法(FilterTR)和算法(CRFTR)中的Bk都利用本文的方法更新，而算法(TR)中的Bk采用PRP方法更新.检验函数如表1，数值结果如表2．从表2的数据可以看出，算法2(FNTR)与算法(TR)相比，对于函数Penalty Ⅰ，Penalty Ⅱ，Variably，Broyden tridiagonal的高维情况，后者失效，且对于函数Broyden banded，后者无法求解，而算法2(FNTR)在这些函数上都有出色的表现，说明算法2(FNTR)的构造是可行的.算法2(FNTR)与算法(FilterTR)相比，对于函数Box 3-D，Osborne 2，Penalty Ⅰ，Penalty Ⅱ和Broyden banded，后者基本上无法求解，对于函数Variably，Broyden tridiagonal和Linear full rank的高维情况，后者基本失效，而前者却可以很好的求解，并且在其它函数的数值表现上，算法2(FNTR)也有很大的优势，说明对于大多数测试函数，锥模型与滤子方法的结合在数值表现上具有优势.算法2(FNTR)与算法(CRFTR)相比，在函数Gaussian，Box 3-D，Osborne 2，Penalty Ⅰ，Penalty Ⅱ的数值表现上，前者具有明显的优势，在函数Jensam，Gulf，Discrete integral，Broyden tridiagonal，Linear full rank的数值表现上，两者同样优秀，而在函数Variably，Broyden banded的数值表现上，前者稍显不足，说明在在信赖域方法框架下，线搜索、锥模型、非单调、自适应以及滤子等技术是可以混合使用的.上述结果表明本文提出的算法2(FNTR)是可靠有效的．【相关文献】[1] Davidon W C. Conic approximation and collinear scaling for optimizers[J]. SIAM Journal on Numerical Analysis， 1980， 17:268-281．[2] Sorensen D C.The Q-superlinear convergence of a collinear scaling algorithm for unconstrained optimization [J].SIAM Journal on Numerical Analysis， 1980， 17:84-114．[3] Ni Q. Optimization conditions for trust-region subproblems involving a conic model [J]. SIAM J Optim， 2005， 15:826- 837．[4] Qu Shaojian， Jiang Suda.A trust-region method with a conic model for unconstrained optimization[J]．Math Meth Appl Sci， 2008， 31:1780-1808．[5] Sun W Y, Yuan Y X.Optimization Theory and Methods[M]. New York：Springer, 2006.[6] Di S S. Stregion method for conic model to solve unconstrained optimization [J].Optim Methods Softw， 1996， 6:237-263．[7] Grippo L， Lampariello F， Lucidi S. A nonmonotone line search technique for Newton’s method[J].SIAM Journal on Numerical Analysis， 1986， 23(4) :707-716．[8] Deng N Y， Xiao Y， Zhou F J. Nonmonotone trust region algorithm[J]. Journal of Optimization Theory and Applications，1993， 76 (2) :259-285．[9] Zhang H， Hager W W. A nonmonotone line search technique and its application tounconstrained optimization[J].SIAM Journal on Optimization， 2004， 14(4):1043-1056．[10] Mo J， Liu C， Yan S. A nonmonotone trust region method based on nonincreasing technique of weighted average of the successive function values[J].Journal of Computational and Applied Mathematics， 2007， 209(1):97-108．[11] Gu Nengzhu， Mo Jiangtao.Incorporating nonmonotone strategies into the trust region method for unconstrained optimization[J].Computers and Mathematics with Applications， 2008， 55(9):2158-2172．[12] Sartenaer A. Automatic determination of an initial trust-region in nonlinear programming [J]. SIAM Journal on Scientific Computing， 1997， 18(6):1788-1803．[13] Fan J Y， Yuan Y X. A new trust region algorithm with trustregion radius convergingto zero[C]//Proceedings of the 5th International Conference onOptimization:Techniquesand Applications，Hongkong， Dec， 2001．[14] Zhang X S， Zhang J L， Liao L Z. An adaptive trust method and its convergence [J].Computers and Mathematics with Applications， 2003， 45(10-11):1469-1477．[15] Sang Zhaoyang， Sun Qingying. A self-adaptive trust region method with line search based on a simple subproblem model[J].Journal of Computational and Applied Mathematics， 2009， 232(2):514-522．[16] Fletcher R，Leyffer S. Nonlinear programming without a penalty function[J].Mathematical Programming， 2002， 91(2):239-269．[17] Gould N I M， Sainvitu C. Toint P H L.A filter-trust-region method for constrained optimization[J].SIAM Journal on Optimization， 2005， 16(2):341-357．[18] 孙文瑜，徐东. 解无约束最优化的基于锥模型的过滤集-信赖域方法[J].中国科学， 2012，42(5):527-543．[19] 诸梅芳，薛毅，张凤圣. 锥模型的拟NEWTON型信赖域方法[J].高等学校计算学报， 1995，17:36-47．[20] Qu Shaojian， Zhang Kecun， Zhang Jian. A nonmonotone trust-region method of conic model for unconstrained optimization[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics. 2008， 220:119-128．[21] 冯琳，段复建，和文龙. 基于简单二次函数模型的滤子非单调信赖域方法[J].山东大学学报:理学版， 2012(5):1-8．[22] 袁亚湘，孙文瑜. 最优化理论与方法[M].北京:科学出版社， 1997．[23] 繆卫华，孙文瑜. 一个解无约束优化问题的过滤信赖域方法[J].高等学校计算数学学报， 2007，29(1):88-96．[24] 葛恒武. 无约束优化问题的锥模型回溯过滤信赖域算法[J].苏州大学学报:自然科学版， 2010,26(2):8-11．[25] More J J， Garbow B S， Hillstrom K E. Testing uncontrained optimization software[J]. ACM Trans Math Softw， 1981， 7(1):136-140．。

基于新锥模型的带固定步长的非单调自适应信赖域算法

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自然
学版
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文章编号：０３２４（０２ｏ一０４０１０．８３２１）ｌ４－６０
基于新锥模型的带固定步长的
非单调自适应信赖域算法
朱帅。，朱世昕，王希云
（１．山西大同大学，山西大同０７０；．３０３２太原科技大学应用科学学院，山西太原摘００２３０４）
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第１期
朱帅等：基于新锥模型的带固定步长的非单调自适应信赖域算法
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第３８卷第１期
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西南民族大学学报
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王希云、仝建【出了一种带固定步长的非单调自）提适应信赖域算法．本文将带固定步长的信赖域算法应用到新锥模型信赖域算法中，出了一种新的算法，提数值试验表明算法是有效的．

锥模型的拟牛顿型信赖域方法

锥模型的拟牛顿型信赖域方法本文旨在研究锥模型的拟牛顿型信赖域方法，通过几何角度推广拟牛顿的定义并且更好地理解和应用它。

具体来说，本文将介绍拟牛顿型信赖域方法的定义，锥模型的拟牛顿型信赖域方法的基本理论，然后分析其优缺点，探讨在实践中的应用以及如何更有效地利用拟牛顿型信赖域方法。

首先，拟牛顿法是一种可用于最小化不同类型的函数的技术，这是实现机器学习和深度学习的基础。

拟牛顿法的目的是通过迭代寻找最优解，从而确定函数的最小值。

它可以用来解决多变量的连续的函数的极小值。

拟牛顿型信赖域方法是基于拟牛顿法的扩展，它可以有效地求取函数的最小值，而不必涉及步长参数。

为了更好地理解拟牛顿型信赖域方法，本文将基于锥模型来推广拟牛顿的定义。

锥模型是以机器学习中的多变量函数最小化技术为基础，它将函数参数看作向量(Vector),组合这些向量使得梯度步长函数最小化，并以此为基础建立出一个有锥模型的数学模型。

由于它没有涉及步长参数，拟牛顿型信赖域方法也被用来代替锥模型。

拟牛顿型信赖域方法和锥模型相比，它有一些优点：首先，它在多变量函数的最小值的求取方面比锥模型更加有效；其次，它可以有效地处理非线性极小值的计算，而且不需要涉及步长参数，计算效率更高；最后，它能够更好地处理波动性函数和多峰函数。

此外，拟牛顿型信赖域方法也有一些缺点:首先，它在极小值的求取上不够精确；其次，它可能不能满足复杂的函数；最后，当极小值位置非常复杂时，它相比锥模型不能够有效地处理。

尽管拟牛顿型信赖域方法有一些缺点，但它在实践中仍然是一种非常有用的方法。

它能够用于优化普适性更强的函数，而不仅仅是简单的多变量函数，这也是它所独特的地方。

同时，它在优化计算结果、减少计算时间以及提高计算准确率方面具有一定的优势。

总之，本文通过基于锥模型的拟牛顿型信赖域方法的理论推广，分析拟牛顿型信赖域方法的优缺点以及在实践中的应用，提出如何更有效地利用拟牛顿型信赖域方法。

最后，它仍然是在机器学习中最常用的一种方法，也是具有更高性能的最佳选择。

一个求解非线性互补问题非单调自适应信赖域方法

第３Ｏ卷第３期２１００年６月
桂林电子科技大学学报
ＪｒａｉｉｉｅｓｔｆＥｌｃｒｎｃＴｅｈｏｌｇｏｕｎｌＧｕｌＵｎｖｒｉｙｏｅｔｏｉｃｎｏｙｏｆｎ
Ｖｏ＿Ｏ，Ｉ３Ｎｏ．３
ｎｕｍｅｉａｌｅｅｉｅｓｒｃｘｐｒｍｎｔ．
Ｋｅｒｓｎｎｉｅｒｃｍｐｅｎａｉｒｂｅｎｎｎｔｎｕｏｔｃｄｔｒｉａｉｎｔｕｔｅｉｎｍｅｈｄ；ｌｂｌｙｗｏｄ：ｏｌａｏｌｍｅｔｒｔｐｏｌｍｎｙｏｍｏｏｏｅａｔｍａｉｅｅｍｎｔｒｓｇｏｔｏｇｏａｏｒ
ＡｂｔａｔＢｓｎＦｉｃｅ — ｒｉｔｒｆｎｔｎ（ｕｃｉｎ）ｗｅｃｎｒｆｒｕａｅｔｅｎｎｉｅｒｃｍｐｅｎａｉｙｓｒｃ：ａｅｏｓｈｒＢｕｍｅｓｅｕｃｉｏＦＢｆｎｔｏａｅｏｍｌｔｈｏｌａｏｌｍｅｔｒｔｎ
２ＳｈｏｆＭａｈｍａｉｓａｄＣｍｐｔｒＳｉｎｅｕｉｎＮｏｍａｉｅｓｔ．ｃｏｌｔｅｔｎｏｕｅｃｅｃ，ＦｊｒｌｏｃａＵｎｖｒｉｙ，Ｆｚｏ５０７，ｈｎ）ｕｈｕ３００Ｃｉａ
摘
要：于ＦｓｈｒＢｒｉｅ基ｉｅ— ｕｍｅｔｒ函数（称Ｆ函数）将非线性互补问题转化等价的无约束问题求解。信赖域与ｃｓ简Ｂ可在

一个带线搜索的自适应信赖域算法

否则，转步２；步２求子问题（）：１的解ｓ，且满足
① 收稿日期：１ｏＤ２２一３一８０基金项目：国家自然科学基金重点资助项目（０７０７．１６１５）作者简介：苗荣（１８一）。，９５女河南焦作人，河南理工大学硕士，研究方ｆ为最优化理论与应用．句
考虑无约束优化问题：
ｍｉ） ∈Ｒｎ，
其中）是二阶连续可微函数．通常的信赖域方法在每步迭代求子问题：
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ｓｔ１『．ｌＩ≤△ ．ｓ其中ｓ：一＝）ｇ为），在处的梯
个自动确定初始信赖域半径的ＩＲＴＲ算法，其基本思想是通过近似模型（）目标函数粕＋ｄｄ和）沿负梯度方向的近似程度，调节初始信赖域半径．Ｈｉ提出当前迭代的信赖域半径是关于比值ｅ的函数与上次迭代的步长ｌ ¨ Ｉ积．ａＩｄｌ乘Ｆｎ与
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带线搜索的非单调自动确定信赖域半径的算法，并
在一定条件下证明其收敛性．
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令
ａ＝。ｍｘ｛｝ｋ＝０１２ … ，中Ｏ，，，，其
近似， △ 为信赖域半径．近几年出现了非单调算法【］数值结果表明非单调算法比单调算法有了ｌ，很大的改进．在信赖域方法的实现过程中，信赖域半径的选取是一个关键因素，它直接决定着当前迭

解线性约束优化问题的新锥模型信赖域法

解线性约束优化问题的新锥模型信赖域法正在研究线性约束优化问题，yaeger等研究人员提出了基于“新锥模型信赖域法”的解决方案。

这种方法有助于确定给定线性约束优化问题的最优解，并且具有简单的属性：可以通过一组简单的步骤求解线性约束优化问题。

本文旨在介绍该方法的基本原理以及其用于线性约束优化问题的实验结果。

首先，本文将重点介绍新锥模型信赖域法的基本原理，该方法可将给定的线性约束优化问题转化为求解一个带有信赖域的非线性规划问题，并且可以确保求解出的结果为最优解。

其次，本文介绍新锥模型信赖域法的实现细节，给出了从线性约束优化问题到非线性规划问题的转换，以及在求解出最优解时如何保证信赖域的完整性等具体细节。

最后，本文对新锥模型信赖域法进行了实验，通过实验证明该方法可以有效地求解多维线性约束优化问题。

新锥模型信赖域法是一种有效而有效的解决多维线性约束优化问题的新方法。

该方法可以有效地将多维线性约束优化问题转换为求解带有信赖域的非线性规划问题，并且可以保证求解出的结果一定是最优解。

该方法在求解多维线性约束优化问题时，可以通过一系列简单的步骤解决问题，比起传统的线性约束优化方法来说，新锥模型信赖域法有更简单高效的特点，可以有效求解多维线性约束优化问题。

新锥模型信赖域法对于线性约束优化问题的研究具有重要的意义，可以帮助研究者更加有效地求解多维线性约束优化问题，并有助于更好地利用线性约束优化在工程实践和研究中的应用。

为了进一步完善新锥模型信赖域法，还需要对该方法的实施细节和实验结果进行进一步的研究，为进一步发展线性约束优化准备更充分和有效的基础。

综上，本文介绍了新锥模型信赖域法，并且给出了该方法在求解线性约束优化问题方面的实验结果。

通过对新锥模型信赖域法的深入研究，可以更好地理解和有效利用线性约束优化在实践和研究中的应用。

一个新的锥模型自适应信赖域算法

部，因此并增大信赖域半径；反之，则拒绝Ｓ，同时也说明更好的点应该在信赖域内部，因此并缩小信赖域半径，重解子问题（２），直至试探步ｓ被
接受．即
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（２）
收稿Ｅ１期：２０１３－０３ — ２６．基金项目：国家自然科学基金项目（１１０６１０１１）；广西自然科学基金项目（２０１１ＧｘＮｓＦＡＯ１８１３８）；重庆文理学院校级科研项目（Ｙ２Ｏ１３ＳＣ４２）．
文章编号：１０００ — １１９０（２０１３）０６ — ０７４３ — ０６
一
个新的锥模型自适应信赖域算法
冯琳 ¨ ，段复建
（１．重庆文理学院数学与财经学院，重庆４０２１６０；
２．桂林电子科技大学数学与计算科学学院，广西桂林５４１００４）
ＣＡｋｒｋ＜１
信赖域算法的基本思想是：每次迭代，求解信
赖域子问题
１
△ ＋１＝＝ｃ２ △ ，ｒ＞叩２；
（３）
ｌ，７１≤ ｒｋ≤ ，
其中，０≤ ＇７＜ｚ＜１，０＜Ｃｌ＜１＜ｆ。是常数．（３）中对信赖域半径的修正是根据ｒ将初始信赖域半径常数倍放大或缩小的，没有利用ｇ，

解非线性互补问题带线搜索的非单调自适应信赖域法

解非线性互补问题带线搜索的非单调自适应信赖域法刘宁;马昌凤;唐江花;丁小妹【摘要】Based on Fischer-Burmeister function, we can reformulate the nonlinear complementarity problem as the solution to unconstrained optimization. In this paper, based on the combination of trust-region and the nonmonotonic techniques of weighted average of successive function values, a new nonmonotone automatic determination trust region method for nonlinear complementarity problem with line search is presented. The global convergence properties of this algorithm are proved. The local superlinear convergence is also obtained under suitable condition. This algorithm is eficient by the numerical experiments.%基于Fischer-Burmeister(FB)函数将非线性互补问题等价地转化为求解无约束优化问题.结合自适应信赖域半径方法和基于函数平均权重的非单调技术,提出一个求解非线性互补问题的非单调自适应信赖域方法.在适当的假设条件下,证明了该算法的全局性和超线性,数值结果表明该算法是可行的.【期刊名称】《桂林电子科技大学学报》【年(卷),期】2011(031)001【总页数】4页(P44-47)【关键词】非线性互补问题;线搜索;非单调自适应信赖域;全局性;超线性【作者】刘宁;马昌凤;唐江花;丁小妹【作者单位】桂林电子科技大学,数学与计算科学学院,广西,桂林,541004;桂林电子科技大学,数学与计算科学学院,广西,桂林,541004;福建师范大学,数学与计算机科学学院,福建,350007;桂林电子科技大学,数学与计算科学学院,广西,桂林,541004;桂林电子科技大学,数学与计算科学学院,广西,桂林,541004【正文语种】中文【中图分类】O224.2从上述子问题来获得试验步dk,按照某个的准则判断是否接受这个可能的改进点以及更新信赖域半径。

.信赖域算法

.信赖域算法：信赖域算法是一种迭代算法，用于寻找目标函数的近似最优解。

该算法的基本思想是在每一次迭代中，先在信赖域的范围内进行搜索，然后根据搜索结果来更新信赖域的半径。

具体来说，信赖域算法从初始点开始，根据当前点的梯度和Hessian矩阵等信息，构造一个二次模型来近似目标函数。

然后在这个二次模型上寻找使目标函数下降的步长，并进行一次线搜索。

如果线搜索成功，说明当前点附近的函数值是下降的，因此可以扩大信赖域的半径；如果线搜索失败，说明当前点附近的函数值是上升的，因此需要缩小信赖域的半径。

通过反复迭代，信赖域算法可以在有限的步骤内找到一个近似最优解。

这种算法适用于非线性优化问题，并且对于一些难以处理的问题，如约束优化问题，也能取得较好的效果。

最优化方法——信赖域法

2012-2013（1）专业课程实践论文信赖域法董文峰，0818180123，R数学08-1班伊广旭，0818180113，R数学08-1班李超，0818180114，R数学08-1班一、算法理论信赖域方法与线搜索技术一样, 也是优化算法中的一种保证全局收敛的重要技术. 它们的功能都是在优化算法中求出每次迭代的位移, 从而确定新的迭代点.所不同的是: 线搜索技术是先产生位移方向(亦称为搜索方向), 然后确定位移的长度(亦称为搜索步长)。

而信赖域技术则是直接确定位移, 产生新的迭代点。

信赖域方法的基本思想是:首先给定一个所谓的“信赖域半径”作为位移长度的上界，并以当前迭代点为中心以此“上界”为半径确定一个称之为“信赖域”的闭球区域。

然后,通过求解这个区域内的“信赖域子问题”(目标函数的二次近似模型) 的最优点来确定“候选位移”。

若候选位移能使目标函数值有充分的下降量, 则接受该候选位移作为新的位移,并保持或扩大信赖域半径, 继续新的迭代。

否则, 说明二次模型与目标函数的近似度不够理想,需要缩小信赖域半径，再通过求解新的信赖域内的子问题得到新的候选位移。

如此重复下去，直到满足迭代终止条件。

信赖域方法解决无约束线性规划f(x)R x ∈min的基本算法结构。

设k x 是第k 次迭代点，记)f(x f k k =，)f(x g k k ∇=，k B 是Hesse 阵)f(x k 2∇的第k 次近似，则第k 次迭代步的信赖域子问题具有如下形式：,21g (d)min T k d B d d q k T k += k d t s ∆≤..其中k ∆是信赖域半径，•是任一种向量范数，通常取2-范数或∞-范数。

定义k f ∆为f 在第k 步的实际下降量：),d f(x f Δf k k k k +=-定义k q ∆对应的预测下降量：()().-0k k k k d q q q =∆定义他们的比值为：kk k q f r ∆∆= 一般的，我们有0>∆k q 。