控制工程作业第四章

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控制工程习题第四章

习题四题型：判断题题目：最小相位系统一定是稳定系统，稳定系统一定是最小相位系统。
习题五
题型：填空题
题目：在最小相位系统中，对数幅频特性的变化趋势和相频特性的变化趋
势
。
B、 G(s) F(t) C、 G(s) L(t) D、 G( j) F(t)
习题四
题型：选择题
题目：以下说法正确的有（
）。
A、时间响应只能分析系统瞬态特性
B、系统的频率特性包括幅频特性和相频特性，它们都是频率ω的函数
C、时间响应和频率特性都能揭示系统动态特性
D、频率特性没有量纲
习题三题型：单项选择题题目：某环节频率特性图 Nyquist 如图 1 所示，则该环节是（）。 A、比例环节 B、微分环节 C、延迟环节 D、惯性环节
习题四题型：单项选择题题目：某环节频率特性 Nyquist 图如图 2 所示，则该环节是（）。 A、比例环节 B、微分环节
C、积分环节 D、惯性环节
第四章
第一节（1）
习题一题型：填空题题目：线性定常系统对正弦信号（谐波输入）的
称为频率响应。
习题二题型：填空题题目：频率响应是系统对___________的稳态响应；频率特性 G（jω）与传递函数 G（s）的关系为________。
习题三题型：单项选择题题目：以下关于频率特性、传递函数和单位脉冲响应函数的说法错误的是（）。 A、 G( j) G(s) s j
E、频率特性反映系统或环节对不同频率正弦输入信号的放大倍数和相移
习题五题型：填空题题目：通常将
和
统称为频率特性。
第一节（2）
习题一题型：综合题
题目：已知系统的单位阶跃响应为 xo t 1 1.8e4t 0.8e 9t，t 0，试求系统

控制工程基础---第四章传递函数

积分环节
微分环节
惯性环节
一阶微分环节
振荡环节
二阶微分环节
延时环节
第三节传递函数的方块图
一、组成元素
1、方块单元：表示环节或系统的传递函数。
2、叠加点：表示信号的运算及其结果。
3、信号线：带箭头的直线或折线。箭头的方向表示信号的流向。
二、基本运算
1、串联
2、并联
3、反馈
三、等效移动原则
1、引出点的移动：保证引出信号不变
2、对于实际的物理系统，
四、概念
1、零点、极点：
零点：系统传递函数分子s多项式为零的根。
极点：系统传递函数分母s多项式为零的根。
2、传递系数：。
3、特征方程：传递函数分母s多项式。
4、阶：系统特征方程s的最高指数。
例3、以例1、例2的结果为例。
第二节典型环节及其传递函数
名称
微分方程
传递函数
比例环节
例：系统方块图如图示，简化求传递函数。
将a点后移
五、方块图的建立
1、步骤：
建立系统微分方程组。
对微分方程图连接。
2、举例
例1：建立电路的方块图，并传递函数。
解：
例2、建立图示系统的方块图，求传递函数。
解：设中间变量为x(t)，其力平衡方程为
例3、建立直流电动机的方块图，求传递函数。
第四章传递函数
第一节传递函数
一、定义：系统初始状态为零，系统输出与输入的拉氏变换之比。
二、求法：
1、由微分方程求取。
若系统的微分方程为
对微分方程的两端求拉氏变换
例1：系统微分方程为，求系统的传递函数。
解：由给定的微分方程，
例2：求R-C电路的传递函数。

控制工程基础第4章根轨迹法

n 3, m 0, 故三条根轨迹趋向处。
渐进线与实轴交点的坐标为
[S]
a
0
1
3
2
0
1
渐进线与实轴正向的夹角为
a -2 -1 0
a
2k
1180
3
60 , 180
六、根轨迹的起始角与终止角
起始角：起始于开环极点的根轨迹在起点处的切线与水平线正方向的夹角。
终止角：终止于开环零点的根轨迹在终点处的切线与水平线正方向的夹角。
s4
2
1
s3 -2 s20 s1
s3 180 , s3 2 180 s4 1, s4 2 2
若s4位于根轨迹上，则必满足
幅角条件，即1 2 180，
N
s4一定在 2，0的中垂线MN上。
利用幅值条件可算出各根轨迹上的 K 值。
例
Gs
K
s0.5s 1
2K
ss 2
K
ss 2
终止于 zb 的根轨迹在终点处
的切线与水平正方向的夹角
j 1
i 1
ib
其它零点到 zb 的向量夹角
七、分离点的坐标
几条根轨迹在[S]平面上相遇后又分开的点，称为根轨迹的分离点（或会合点）。
分离点坐标的求法：
1 d (G(s)H (s)) 0
ds
2 由根轨迹方程
令：dK 0 解出s ds
n
1 180 p1 z p1 p2
180 116.57 90
206.57
由于对称性
2 206.57
会合点 -3
206.57
p1
[S]
z116.57
2.12
-2 -1 0

孔祥东控制工程基础课新版件第四章

n i1

pi

m

j 1
zj
s nm1

在 n m的条件下，当 K1 时，有 n m条根轨迹分支趋向无穷
远处，即 s 。这时可以只考虑高次项，将上式近似写为
G(s)H (s)
K1
s
snm

n i1

P(s)
K1
(s a )nm

s nm
K1
(n m)( a )snm1
不难看出，此系统的根轨迹有 n-m 条分支，它们都是由(σa，j0)出
发的射线，其相角为
a

180 (2q 1) nm
第四章根轨迹法
§4-2 常规根轨迹
如果选择
(n

m)(
以上两式是满足特征方程的幅值条件和相角条件，是绘制根轨迹的重要依据。在s平面的任一点，凡能满足上述幅值条件和相角条件的，就是系统的特征根，就必定在根轨迹上。
第四章根轨迹法
§4-2 常规根轨迹
系统开环传递函数通常可以写成两种因子式
m
K1 (s z j )
G(s)H (s)
j 1 n
第四章根轨迹法
Gp1(s) 0 K1 s(s 2a)
§4-1 根轨迹的基本概念
一、根轨迹的基本概念
根轨迹是指系统特征根(闭环极点)随系统参量变化在s平面上运动而形
成的轨迹。通过根轨迹图可以看出系统参量变化对系统闭环极点分布的影响，以及它们与系统性能的关系。
下面结合图4-1所示的二阶系统
第四章根轨迹法
§4-1 根轨迹的基本概念
综上所述，根轨迹是指系统特征根(闭环极点)随系统参量变化在s平面上运动而形成的轨迹。通过根轨迹图可以看出系统参量变化对系统闭环极点分布的影响，以及它们与系统性能的关系。

456章《控制工程基础习题详解》高等教育出版社 2010.6

四、稳态偏差
1.参考输入作用下系统的稳态偏差
R( s) +
E (s)
G(s) H (s)
C (s)
-
图 4-1 参考输入作用下系统方框图
ε ss = lim s ⋅ E ( s) = lim
s →0
s R( s) s →0 1 + G ( s ) H ( s )
2.干扰作用下系统的稳态误差
N ( s)
Φ ( s) =
ω n2 C (s) = 2 2 R( s ) s + 2ξω n s + ω n
为了使系统对阶跃输入的响应有约 5%的超调量和 2 秒的调整时间，试求 ξ 和 ω n 。
−
ξπ
1−ξ 2
解：由 M p 解得
=e
= 500
ξ = 0.69
若 Δ = 0.02
ts =
4
ξωn
2
=2 2 = 2.9(rad s) 0.69
R( s) +
E (s)
−
G1 ( s )
+
+
G2 ( s )
C (s)
H ( s)
图 4-2 干扰作用下的反馈系统方框图
e ss N = lim s ⋅ E ( s ) = − lim
s →0 s →0
sG 2 ( s ) N (S ) 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
37
−60 t
− 1.2e −10t ，试求：
42
第四章系统的时间响应分析（2）系统的阻尼比 ξ 和无阻尼固有频率 ω n 。解：（1）单位阶跃响应的拉氏变换为 C ( s ) = 系统的闭环传递函数为

控制工程第4章_系统的瞬态响应与误差分析

➢对稳定的线性定常系统来说，稳态响应只是由输入信号引起，而与系统初始状态无关。因为初始状态由于能量有限，所以它引起的响应总要衰减到0，因此，初始状态引起的响应属于瞬态响应（但不等于瞬态响应，因为输入量也能引起瞬态响应）。稳态响应反映了系统响应的
准确性。
*
17
4-1 时间响应
➢ 求系统时间响应的方法：
➢系统的快速性
快速性是指输出量和输入量产生偏差时，系统消除这种偏差的快慢程度。
*
4
引言
➢ 二阶系统G(s)=ωn2/(s2+2ζωns+ωn2)的单位阶跃响应曲线
二阶系统 G (s) n 2/(s2 2 n s n 2)的单位阶跃响应曲线
2
=0
1.8
1.6
1.4
允差
=0.4 =0.7 =1
y(t) 输出 Y(s)
Y (s)G (s)X (s)
系统对任意输入的响应
y ( t) L 1 [ Y ( s ) ] L 1 [ G ( s ) X ( s ) ]
*
零状态响应
18
4-2 一阶系统的时间响应
1. 一阶系统的数学模型 2. 一阶系统（惯性环节）的单位阶跃响应 3. 一阶系统（惯性环节）的单位脉冲响应 4. 一阶系统（惯性环节）的单位斜坡响应
*
14
4-1 时间响应
➢瞬态响应ctr(t)：对稳定的系统，瞬态响应是指时间响应中随着时间的增加而逐渐减小，最终趋于0 的那部分响应。
➢教材中的定义：系统受到外加作用激励后，从初始状态到最终状态的响应过程称为瞬态响应。指的是稳定状态之前的整个时间响应过程。
➢稳态响应css(t)：是指当时间趋于无穷大时系统的输出状态。

控制工程基础第4章控制系统的频率特性

( ) G ( j ) arctanT
As 0， 1) ( gain G ( j ) 1 L( ) 20lg G ( j ) 0
( ) 0
As 1 gain G ( j ) T L( ) 20lg G ( j ) 20 lg(T )
第四章控制系统的频率特性
4.1 机电系统频率特性的概念及其实验基本方法 4.2 极坐标图 4.3 对数坐标图 4.4 由频率特性曲线求系统的频率特性 4.5 控制系统的闭环频响
4.1 机电系统频率特性的概念及其实验基本方法
频率响应：系统对正弦函数输入的问题响应。当输入正弦信号时，系统的稳态输出也是正弦信号，且其频率与输入信号的频率相同，其幅值及相角随着输入信号频率的变化而变化。当输入为非正弦的周期信号时，可将输入信号利用傅立叶级数展开成正弦函数叠加的形式，系统的响应也是其相应正弦函数响应的叠加输入为非周期信号时也可以将它看作是周期为无穷大的周期信号
V ( )
相频特性
A( )
( )
U ( )
4.2 极坐标图
Im( )
G ( j n )
Re( )
G ( j 2 )
G ( j1 )
4.2.1 典型环节的乃氏图

k

0
积分环节比例环节
0
G (s) k G ( j ) k A( ) G ( j ) k
系统开环传递函数为： 100（0.05s＋1） G（s）＝ s（0.1s＋1）（0.2s＋1）试绘制其开环对数频率特性图
40 20 1 20lgk 5 10 20
1 -90 -180 -270
5
10

《控制工程基础》第四章根轨迹

4.2 根轨迹幅值条件与相角条件
LOGO
相角条件：
s1,2 1 1 2K
K s(0.5s 1)
G s H s s (s 2) 180 2k 1k 0,1,2,
（0，+ ∞ ）；
（-2,0）；
（- ∞，-2 ）；
实轴以外；
用幅值条件可以计算
出各根轨迹点上的开环根
轨迹增益K*。
Page 12
ds
即s2 12s 24 0
解之，得 s1 2.54, s 2 9.46
相应的增益为
K
1
1 .0 7 , Page 21
K
2
14.9
4.3 绘制根轨迹的基本法则
LOGO
方法2 设系统开环传递函数为
GsH s
K s s
z1 s z2 s zm p1 s p2 s pn
Gs
H
s
K s
1s 12s
T s 1 T s 1 Page 10
2
1 1
4.2 根轨迹幅值条件与相角条件
LOGO
G s H
s
K* s s
z1 s z2 p1 s p2
s zm s pn
K * Az1e jz1 A e j p1
p1
A e jzm zm
A e j pn pn
LOGO
传递函数：
Gb
s
1
Gs G s H
s
特征方程（根轨迹方程）：1+G(s)H(s)=0 或写作 G(s)H(s)= -1
相角条件： GsH s 180 2k 1 k 0,1,2,
幅值条件： GsHs 1
GsH s

武汉理工控制工程第四章习题解答

武汉理工控制工程第四章习题解答习题解答：4-1 负反馈系统的开环传递函数()()()()21++=s s s K s F s G G，试绘制闭环系统的根轨迹。

解：根轨迹有3个分支，分别起始于0，-1，-2，终止于无穷远。

1-=aσ，︒±︒=60,180aφ。

实轴上的根轨迹是（-∞，-2]及[-1,0]。

)23(23=++dss s s d可得，422.01-=s，578.12-=s；422.01-=s是分离点。

根轨迹见图4-28。

图4-284-2系统的开环传递函数为()()()()()421+++=s s s K s F s G G，试证明点311j s +-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益GK 和开环增益K 。

解：若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图4-29所示。

图4-29 对于311js+-=，由相角条件=∠)()(11s H s G )431()231()131(0++-∠-++-∠-++-∠-j j jππππ-=---=6320满足相角条件，因此311j s+-=在根轨迹上。

将1s 代入幅值条件：1431231131)()(11=++-⋅++-⋅++-=j j j K s H s G G所以，12=GK，238==G K K4-3 已知开环零点z ，极点p ，试概略画出相应的闭环根轨迹图。

（1）2-=z ，6-，0=p ，3-；（2）0=p ，2-，442,1j z ±-=；（3）11-=p ，123,2j p±-=；（4）0=p ，1-，5-，4-=z ，6-；解：图4-30（1）图4-30（2）图4-30（3）图4-30（4）4-4 设单位反馈控制系统开环传递函数为()()()()()23235.31j s j s s s s K s G G-+++++=试概略绘出其闭环根轨迹图（要求确定根轨迹的分离点，起始角和与虚轴的交点）。

控制工程基础第四章频率特性分析

20 0 -20 -40 10 -1 0 10 0 10 1
ξ
=0.1
ξ
=0.1
-90
-180 10 -1 10 0 10 1
4.1.3
频率特性的物理意义
1．频率特性实质上是系统的单位脉冲响应函数的Fourier变换。即 G ( jω ) = F [ w(t )] 。 2．频率特性分析通过分析不同的谐波输入时的稳态响应，揭示系统的动态特性。 3．频率特性分析主要针对系统的稳态响应而言，应用频率特性的概念可以非常容易求系统在谐波输入作用下系统的稳态响应。另外，系统频率特性在研究系统的结构与参数对系统性能的影响时，比较容易。 4．频率特性分析在实验建模和复杂系统分析方面的应用要比时域分析法更方便。
A(ω )e jϕ (ω )
4.1.2 频率特性的求法
1.用拉氏逆变换求取用拉氏逆变换求取
xi (t ) = X i sin ω t
X i ( s ) = L[ xi (t )] = L[ X i sin ω t ] =
X o (s) = G (s) X iω s2 + ω 2 X iω −1 xo (t ) = L [G ( s ) 2 ] 2 s +ω
2.Bode图 2.Bode图：以ω的常用对数值为横坐标，分别以 20 lg A(ω ) 和 Bode 对数幅频特性图和对数相频特性对数幅频特性图 ϕ (ω ) 为纵坐标画出的曲线，称为对数幅频特性图对数相频特性对数坐标图，又称为Bode图。图，统称为频率特性的对数坐标图对数坐标图
dB
A( ω ) =20 lg G( jω )
xo (t ) = X o (ω ) sin (ω t + ϕ (ω ))

《控制工程基础》第四章习题解题过程和参考答案

4-1 设单位反馈系统的开环传递函数为：10()1G s s =+。

当系统作用有下列输入信号时：()sin(30)r t t =+︒，试求系统的稳态输出。

解：系统的闭环传递函数为：10()()11()()1()111C s G s s R s G s Φ===++这是一个一阶系统。

系统增益为：1011K =，时间常数为：111T =其幅频特性为：()A ω=其相频特性为：()arctan T ϕωω=-当输入为()sin(30)r t t =+︒，即信号幅值为：1A =，信号频率为：1ω=，初始相角为：030ϕ=︒。

代入幅频特性和相频特性，有：1(1)A ====11(1)arctan arctan5.1911T ωϕω==-=-=-︒ 所以，系统的稳态输出为：[]()(1)sin 30(1)24.81)c t A A t t ϕ=⋅⋅+︒+=+︒4-2 已知系统的单位阶跃响应为：49()1 1.80.8(0)t t c t e e t --=-+≥。

试求系统的幅频特性和相频特性。

解：对输出表达式两边拉氏变换：1 1.80.8361()49(4)(9)(1)(1)49C s s s s s s s s s s =-+==++++++ 由于()()()C s s R s =Φ，且有1()R s s=（单位阶跃）。

所以系统的闭环传递函数为：1()(1)(1)49s s s Φ=++可知，这是由两个一阶环节构成的系统，时间常数分别为：1211,49T T ==系统的幅频特性为二个一阶环节幅频特性之积，相频特性为二个一阶环节相频特性之和：3-212()()()A A A ωωω===1212()()()arctan arctan arctanarctan49T T ωωϕωϕωϕωωω=+=--=--4-3 已知系统开环传递函数如下，试概略绘出奈氏图。

（1）1()10.01G s s=+（2）1()(10.1)G s s s =+（3）)1008()1(1000)(2+++=s s s s s G （4）250(0.61)()(41)s G s s s +=+ 解：手工绘制奈氏图，只能做到概略绘制，很难做到精确。

机电控制工程基础习题课课后习题答案第四章习题

1)
0.4(s 1)(s 5) s3 9s2 26s 18
习题 3 已知单位负反馈系统的开环传递函数为
0.25(s a) G(s) s2 (s 1)
a的变化范围为(0, ) ，试绘制系统的闭环根轨迹。
解：系统闭环特征方程为 D(s) s3 s2 0.25s 0.25a
即有
1
s3
0.25a s2 0.25s
分离角2k1pill为根轨迹分支数10525比较12知系统1不稳定2稳定且系统性能由一对共轭复极点主导极点决定随着k值增大第三个极点逐渐靠近零点成为偶极子系统性能仍由这对共轭复极点决定练习的根皆为实数试确定参数的范围
习题４－ 2 (2) G(s)H (s) K (0.4s 1) K *(s 2.5)
s(0.2s 1) s(s 5)
i
(3) G(s)H (s) K (0.5s 1)(0.25s 1) K (s 2)(s 4)
(s 1)(0.125s 1) (s 1)(s 8)
i
习题４－3 已知单位负反馈系统开环传递函数为 G(s)
K
s(s 1)(0.5s 1)
，试作出Ｋ从 0 变化的闭环根轨迹（按步骤做，写明
60
,180
, 120
（4）根轨迹的分离点。
由分离点方程
d
K *(3s2 2s 0.25)
dx G1(s)
s2 (s 0.5)
0
解得：
d1
1 2
, d2
1 6
（5）根轨迹与虚轴的交点。
根据闭环特征方程写劳斯表如下
s3
1
0.25
s2
1
0.25a
s1
0.25-0.25a
当a=1时，劳斯表的 s1 行元素全为零，辅助方程为

控制工程,第四章

实轴开始，以反时针旋转（或顺时针旋转）
来定义的；
② 在极坐标图上，G(jw) 在实轴和虚轴上
的投影是它的实部和虚部；
③ 它不仅表示了实频特性和虚频特性，而
且也表示了幅频性和相频特性。
控制工程基础
二、典型环节的极坐标图
第四章频域分析法
一般系统都是由典型环节组成，熟悉典型环节的频率特性，对了解系统的频率特性和分析系统的动态特性带来很大的方便。
解：G(j)G(s)sj1K jT
控制工程基础
A()G(j) K 1T22
()G(j)arctgT
第四章频域分析法
G(j) K ejarctgT 1T22
系统的稳态输出：
xo(t)Ai G(j)sin[tG(j)] KAi sin[tarctgT] 1T22
控制工程基础
第四章频域分析法
（2）前一项为稳态响应，当 t ts 时，系统的输出即可视为稳态响应。
xo(t)
AiK sint(arct)gT 1T22
控制工程基础
第四章频域分析法
故频率特性： A() Ao K
Ai 1T22 () arctgT
或
K
ejarctgT
1T22
2、将传递函数中，s换为 j 来求取：
例2：用方法2求解例1。
控制工程基础
第四章频域分析法
第二节频率特性极坐标图(Nyquist)
一、频率特性极坐标图表示
频率特性的极坐标图又称Nyquist图，也称幅相频率特性图。
极坐标图是当 j 由零变化到无穷大时，矢量 G( j) 极坐标系统上端点的轨迹。
控制工程基础
第四章频域分析法
注意：
① 在极坐标图上，正（或负）相角是从正

控制工程基础第四章频域响应法fhfr

频率响应法是二十世纪三十年代发展起来的一种经典工程实用方法,是一种利用频率特性进行控制系统分析的图解方法,可方便地用于控制工程中的系统分析与设计。频率法用于分析和设计系统有如下优点：
（1）不必求解系统的特征根，采用较为简单的图解方法就可研究系统的稳定性。由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形对系统进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特点。
A s2
2
b0sm b1sm1 bm1s bm sn a1sn1 an1s an
A s2 2
n
c(t) ae jt ae jt bie pit
i1
稳态响应Css(t) 瞬态响应（t 趋向于零）
a
G(s) A s2 2
(s
j) s j
G( j)
(s
A j)(s
2. 积分环节:G(s)=1/s
3. 微分环节:G(s)=s
4. 惯性环节:G(s)=1/(Ts+1)
5. 一阶微分环节:G(s)=Ts+1
6. 振荡环节
G(s)
s2
wn2
2wns wn2
s2 wn2
1
2
wn
s 1
T
2s2
1
2Ts
1
7. 二阶微分环节
G(s)
s2 wn2
2
wn
s 1 T 2s2
G(s)=-K
-180o
G(s)=1/(-Ts+1) 0 ~ 90o
G(s)=-Ts+1 0 ~ -90o
G(s)
s2 wn2
1
2
wn
s 1
0 ~ 180o
G(s)
s2 wn2

现代控制工程-第四章线性系统的可控性和可观性

关于可控性定义的说明：
（1）上述定义可以在二阶系统的相平面上来说明。假如相平面中的P点能在输入的作用下转移到任一指定状态P ，那么相平面上的P点是可控状态。假如 1, P 2 ,, P n 可控状态“充满”整个状态空间，即对于任意初始状态都能找到相应的控制输入 u(t ) ，使得在有限时间间隔内，将此状态转移到状态空间中的任一指定状态，则该 x P 系统称为状态完全可控。
解：利用递推法
k 0
x(1) Gx(0) hu(0)
1 1 1 1 0 1 0 1 0u (0) 1 0u (0) 1 0 2 1 0 1 1 1 2 1
Ax Bu ，如果存在一个对于给定的线性定常系统 x 分段连续的输入 u(t ) ，能在有限时间间隔内 [t 0 , t f ] ，将系统由零初始状态 x(t 0 ) 转移到任一指定的非零终端状态 x(t f ) ，则称此系统是状态完全可达的，简称系统是可达的（能达的）。
对于线性定常系统，可控性和可达性是等价的；在以后对可控性的讨论中，均规定目标状态为状态空间中的原点，并且我们所关心的，只是是否存在某个分段连续的输入，能否把任意初始状态转移到零状态，并不要求算出具体的输入和状态轨线。
“输入能否控制状态的变化”——可控性 “状态的变化能否由输出反映出来”——可观性
卡尔曼
4.2 线性定常连续系统的可控性
一、线性定常连续系统状态可控性的定义
Ax Bu ，如果存在一个分对于线性定常系统 x 段连续的输入 u(t ) ，能在有限时间间隔内 [t 0 , t f ] ，使得系统从某一初始状态 x(t 0 ) 转移到指定的任一终端状态 x(t f ) ，则称此状态是可控的。若系统的所有状态都是可控的，则称此系统是状态完全可控的，简称系关于定理4 .3的小结：

控制工程基础第四章控制系统的稳定性分析

此阵列称为劳斯阵列（劳斯表）。其中，各未知元素 b1,b2,b3,b4,，
c1 , c2 , c3 , c4 , ，
e1,e2 ,
f
,
1
g 1
根据下列公式计算：
b1
a1
a2 a0 a1
a3
,b2
a1
a4 a0 a1
a5
,b3
a1
a6 a0 a1
a7
,
c1
b1
a3 a1b2 b1
,
c2
b1
X
0
(s)
s
A1 p
A2 s p
Aj s p
An s p
1
2
j
n
式中，A1，A2，…，Aj，…，An为待定系数。对其进行拉氏反变换，
得单位脉冲响应函数为
x A e A e A e A e (t)
pt 1
pt 2
pjt
pt n
0
1
2
j
n
A e n
j 1
pt j
j
根据稳定性的定义，若系统稳定，应有
a a a a 0
0
0
0
ao (s
p )(s 1
p )(s 2
p) n
0
式中，p1，p2，…，pn为系统的特征根。
由根与系数的关系可知，若使全部特征根p1，p2，…，pn均具有负实部，系统必须满足以下条件：（1）特征方程的各项系数a0，a1，a2，…，an都不等于零。（2）特征方程的各项系数a0，a1，a2，…，an的符号都相同。在控制工程中，一般取a0为正值，则系统稳定的必要条件为：特征方程的各项系数a0，a1，a2，…，an均必须为正值。若a0为负值，可在特征方程的两边同乘以-1使其变为正值。

控制工程基础_第四章

系统具有什么样的频率特性，取决于系统结构本身，与外界因素无关。
二．频率特性的求法
频率特性的求法有三种
１．根据已知系统的微分方程，把输入以正弦函数代入，求其稳态解，取其输出的稳态分量与输入正弦的复数比即得系统的频率特性。２．根据传递函数求取，将传递函数G(s)中的s用j替代，即为频率特性G(j)。３．通过实验测得。
它描述了稳态情况下，系统输出与输入之间的幅值比随频率的变化情况，即幅值的衰减或放大特性。
系统的相频特性定义：输出信号与输入信号的相位之差随频率的变化，记为()。
它描述了输出相位对输入相位的滞后或超前特性。
幅频特性A()和相频特性()统称为系统频率特性，记作 G(j)。频率特性G(j)是频率的复变函数，是一个矢量。
Y ( s ) p ( s ) G ( s ) X ( s ) ( s p )( s p ) ( s p ) 1 2 n
X s
2 2
于是输出量的拉氏变换为
X Y ( s ) G ( s ) X ( s ) 2 2 ( s ps ) ( p ) ( s p ) s 1 2 n p ( s )
y ( t X X G ( j ) aY ( s ) ( s j ) G ( s ) ( s j ) s 2 j
X X G ( j) a Y ( s ) ( s j) G ( s ) ( s j) s j s j 2 2 s 2 j
频率特性分析方法具有如下特点：
可通过分析系统对不同频率的稳态响应获得系统动态特性。频率特性有明确物理意义，可用实验方法获得。
这对那些不能或难于用分析方法建立数学模型的系统或环节，具有非常重要的意义。即使对于能用分析法建模系统，也可通过频率特性实验对其模型加以验证和修改。