六年级奥数进位制问题讲座【DOC范文整理】

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六年级的奥数计算综合讲座

六年级的奥数计算综合讲座
关于六年级的奥数计算综合讲座
计算综合
方法二：倒序相加，1+ 2+ 3+ 4+ 5+… 97+ 98+ 99+ 100
方法三：整数裂项(重点)，
【分析与解】方法一：整数裂项
【分析与解】这个题看上去是一个关于小数的问题，实际上我们可以先把它们变成整数，然后再进行计算．即先计算1×3+2 4+3×5+4 6+…+97 99+98×100。

再除以100．
方法二：可以使用平方差公式进行计算．
评注：首先，我们要清楚数与数之间是相通的，小数的计算与整数的计算是有联系的．下面简单介绍一下整数裂项．
6.计算下列式子的值：
【分析与解】虽然很容易看出可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不像分数裂项那样能消去很多项．我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式12+22+32+…+n2= ×n×(n+1)×(2n+1)，于是我们又有减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢?
7．计算下列式子的'值：
【分析与解】显然直接求解难度很大，我们试着看看是否存在递推的规律.
显然12+1=2;
所以原式=198012×2=396024．
习题
计算17×18+18×19+19×20+…+29×30的值．
提示：可有两种方法，整数裂项，利用1到n的平方和的公式.
答案：(29×30×31-16×17×18)÷3=29×10×31-16×17×6=7358.。

奥数讲义数论专题：6 进位制

华杯赛数论专题|：6 进位制我们平常熟悉的十进制：（2012）10＝2×103＋0×102＋1×101＋2其他进制转化为十进制：（a…bcde）n＝a×n k-1＋……＋b×n3＋c×n2＋d×n＋e例题：例1.A，B是两个自然数，如果A进位制数47和B进位制数74相等，那么A＋B的最小可能值是多少？【答案】24【解答】由已知：4A＋7＝7B＋4，即4A＝7B－3，可见B除以4余1。

又B进制中有7出现，说明B＞7，因此B的最小值是9，相应的计算出A＝15。

所以A＋B最小值是9＋15＝24。

例2.一个十进制的两位数A，它的十位数字为5，另一个R进制数为B，它的各位数字与A分别相等，而且B在十进制中恰好是A的3倍，那么数A和B在十进制中各是多少？【答案】50、150，或者55，165【解答】设A在十进制中表示是（），由已知：5×R＋m＝3×（50＋m），即5×R＝150＋2×m，可见m是5的倍数，因此m＝0或5。

相应的计算出R＝30或32。

所以A和B分别是50、150，或者55，165。

例3.一个自然数的六进制表示与九进制表示均为三位数，并且它们各位数字的排列顺序恰好相反，那么此自然数用十进制表示法写出是多少？【答案】212【解答】设自然数在六进制中表示是（），则在九进制中表示是（）。

则36a＋6b＋c＝81c＋9b＋a，35a＝3b＋80c，通过对等式的观察，可以发现b是5的倍数。

又由于b是在六进制中的数，所以，b是0或5。

（1）若b＝0, 则上式变为35a＝80c，即7a＝16c，a需要是16的倍数，a又小于6。

所以，a＝0。

但是a在首位，a又不能等于0。

所以，这样的数字不存在。

（2）若b=5, 则上式变为7a＝3＋16c，a＝5，c＝2。

所以，这个六进制数是（552）6化为十进制是5×62＋5×6＋2＝212。

六年级奥数数论综合讲座

六年级奥数数论综合讲座关于六年级奥数数论综合讲座【分析与解】555555=5×111×1001数论综合进位制的概念、四则运算法则及整数在不同进位制之间的转化，利用恰当的进位制解数论问题．取整符号[]与取小数部分符号{}的定义与基本性质，包含这两种符号的算式与方程的求解．两次与分式不定方程，不便直接转化为不定方程的数论问题．各种数论证明题．典型问题【分析与解】注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为4×5=20，但是现在为4，说明进走20－4=16，所以进位制为16的约数：16、8、4、2．2．求方程19[x]－96{x}=0的'解的个数．【分析与解】有{x}为一个数的小数部分，显然小于1，则96{x}小于96，而19[x]=96{x}，所以19[x]小于96，即[x]小于，又[x]为整数，所以[x]可以取0，1，2，3，4，5，对应有6组解．4．将表示成两个自然数的倒数之和，请给出所有的答案．【分析与解】记标有1为第1号，序号顺时针的依次增大．当超过一圈时，编号仍然依次增加，如1号也是2001号，4001号，……4.对于两个不同的整数，如果它们的积能被和整除，就称为一对“好数”，例如70与30．那么在1，2，…，16这16个整数中，有“好数”多少对?6．甲、乙两人进行下面的游戏：两人先约定一个自然数N，然后由甲开始，轮流把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中的一个填入图28-1的某个方格中，每一方格只能填一个数字，但各方格所填的数字可以重复．当6个方格都填有数字后，就形成一个六位数．如果这个六位数能被N整除，那么乙获胜；如果这个六位数不能被N整除，那么甲获胜．设N小于15，问当N取哪几个数时．乙能取胜?8.已知与的最大公约数是12，与的最小公倍数是300，与的最小公倍数也是300．那么满足上述条件的自然数，，共有多少组?10．圆周上放有N枚棋子，如图28-2所示，B点的那枚棋子紧邻A点的棋子．小洪首先拿走B点处的1枚棋子，然后沿顺时针方向每隔1枚拿走2枚棋子，这样连续转了10周，9次越过A．当将要第10次越过A处棋子取走棋子时，小洪发现圆周上余下20多枚棋子．若N是14的倍数，请精确算出圆周上现在还有多少枚棋子?【分析与解】设圆周上余枚棋子，从第9次越过A处拿走2枚棋子到第10次将要越过A处棋子时，小洪拿了2 枚棋子，所以在第9次将要越过A处棋子时，圆周上有3 枚棋子．．12．是否存在一个六位数A，使得A，2A，3A，…，500000A中任意一个数的末尾6个数码不全相同?a9876542．老师在黑板上依次写了三个数21、7、8，现在进行如下的操作，每次将这三个数中的某些数加上2，其他数减去1，试问能否经过若干次这样的操作后，使得：3．对于n个奇质数，如果其中任意奇数个数的和仍是质数，那么称这些数构成“奇妙数组”，而n就是这个数组的“阶数”．例如11，13，17就是“奇妙数组”，因为11，13，17和11+13+17=41都是质数．有7，13，11，23满足(和依次为47，4l，43，31)．它们的乘积为7×13×11×23=23023．所以4阶“奇妙数组”的4个数最小乘积为23023．评注：四阶的“奇妙数组”还有很多，如97，13，41，53．它们的三个数和依次为107，191，163，151均是质数．。

小学奥数进制知识点讲解

【导语】天⾼鸟飞，海阔鱼跃，学习这舞台，秀出你独特的精彩⽤好分秒时间，积累点滴知识，解决疑难问题，学会举⼀反三。

以下是为⼤家整理的《⼩学奥数进制知识点讲解》供您查阅。

【第⼀篇】
【第⼆篇】
⼆进制及其应⽤
⼗进制：⽤0～9⼗个数字表⽰，逢10进1；不同数位上的数字表⽰不同的含义，⼗位上的2表⽰20，百位上的2表⽰200。

所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。

=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100
注意：N0=１；N１=N（其中N是任意⾃然数）
⼆进制：⽤0～1两个数字表⽰，逢2进1；不同数位上的数字表⽰不同的含义。

（2）=An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7
+……+A3×22+A2×21+A1×20
注意：An不是0就是1。

⼗进制化成⼆进制：
①根据⼆进制满2进1的特点，⽤2连续去除这个数，直到商为0，然后把每次所得的余数按⾃下⽽上依次写出即可。

②先找出不⼤于该数的2的n次⽅，再求它们的差，再找不⼤于这个差的2的n次⽅，依此⽅法⼀直找到差为0，按照⼆进制展开式特点即可写出。

【第三篇】。

小学六年级奥数第十三章进位制

第十三章进位制知识要点在日常生活中，我们通常使用十进制，在我们熟知的十进制中，常有O，1，2，…，9共十个数字，相加时满十就要进一。

类似地，在二进制中有“满二进一”，在八进制中有“满八进一”等等。

进位制的选择和使用有一定的客观标准，哪种进位制更能方便地反映某类客观事物的数量关系，人们就会采用哪种进位制。

例如：1小时等于60分钟是六十进制，一年等于十二个月是十二进制等等。

一般地，设K为大于1的自然数时，K进位制的特点是：1.“满K进一”，即相邻两个单位的进率为K，把K叫做K进位制的基数。

2.K进位制有K个不同的记数符号。

如五进制用0，1，2，3，4五个记数符号。

一个K进位制的数就是各位数字与K的幂的乘积的和，其中幂指数等于相应的数字所在的位数(从右往左数)少1。

3.十进制和二进制的转化。

十进制和二进制的对应关系：十进制1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，…二进制1，10， 11 ，100 ，101， 110， 111 ，1000 ，1001，1010，…把一个十进制数化为二进制数，只要用2连续去除，然后将每次所得的余数，按自下而上的顺序写出来。

例如，把(13)10化成二进制：把一个二进制数化为十进制数，只要把二进制数写成以2为底的幂的和的形式，再具体算出来。

例如：(1101)2＝(1×23＋1×22＋0×21＋1×20)10＝(8＋4＋1)10＝(13)10学习进位制知识，就要善于把进位制知识灵活地运用，把问题转化到最合适的进位制中解决问题。

例如计算机就是采用二进制，充分发挥了其运行速度快的特点。

例1 把十进制数(3568)10写成数码与计算单位乘积的和的形式。

点拨一个十进制整数的位数从右边第一位数起依次为个、十、百、千、万…”.计数单位是1，10，100，1000，10000，…，用乘方的形式来写，计数单位依次为1(100)，101，102，103，104…。

小学数学运算技能讲座

小学数学运算技能讲座概述本文档旨在为小学生提供一次关于数学运算技能的讲座。

在讲座中，我们将介绍一些基本的数学运算技巧，帮助学生更好地掌握小学数学。

本讲座将涵盖加法、减法、乘法和除法四种基本运算，以及一些相关技巧和方法。

希望通过本讲座，学生们能够提高数学运算能力，更自信地面对数学学习。

加法加法是数学运算中最基本的运算之一。

小学生们最早接触到的就是简单的一位数相加，例如 1+1=2。

随着学习的深入，加法的难度也逐渐增加。

以下是一些加法运算的技巧和方法：进位与不进位当我们进行多位数相加时，我们需要注意进位的问题。

例如，对于十位数相加，如果十位的和大于或等于10，我们需要将进位的数加到百位数上。

而个位数的相加则不需要进位。

这样，在计算过程中，我们应该始终注意进位的情况。

换位加法换位加法是指将加法运算的顺序改变，以便更容易计算。

例如，对于 67+38，我们可以将其换为 38+67，然后进行计算。

这样，我们可以将更大的数放在前面，方便我们计算。

快速估算有时，我们不需要精确计算加法的结果，只需要一个近似值即可。

在这种情况下，我们可以使用快速估算的方法。

例如，对于 37+49，我们可以将 37 近似为 40，49 近似为 50。

然后，我们进行相加：40+50=90。

虽然这个结果并不精确，但对于快速估算来说已经足够接近了。

减法减法是数学中另一个基本的运算。

和加法一样，减法的难度也逐渐增加。

以下是一些减法运算的技巧和方法：借位与不借位当我们进行多位数相减时，我们可能需要借位。

例如，对于十位数相减，如果被减数小于减数，我们需要从更高位借位。

而个位数的相减则不需要借位。

在计算过程中，我们应该注意是否需要进行借位的操作。

换位减法和换位加法类似，换位减法也是为了简化计算。

例如，对于 72-39，我们可以将其换为 39-72，然后进行计算。

这样，我们可以将更大的数放在前面，方便我们计算。

快速估算和加法一样，我们也可以使用快速估算的方法来得到减法的近似值。

小学六年级奥数第十三章进位制

第十三章进位制知识要点在日常生活中，我们通常使用十进制，在我们熟知的十进制中，常有O，1，2，…，9共十个数字，相加时满十就要进一。

类似地，在二进制中有“满二进一”，在八进制中有“满八进一”等等。

进位制的选择和使用有一定的客观标准，哪种进位制更能方便地反映某类客观事物的数量关系，人们就会采用哪种进位制。

例如：1小时等于60分钟是六十进制，一年等于十二个月是十二进制等等。

一般地，设K为大于1的自然数时，K进位制的特点是：1.“满K进一”，即相邻两个单位的进率为K，把K叫做K进位制的基数。

2.K进位制有K个不同的记数符号。

如五进制用0，1，2，3，4五个记数符号。

一个K进位制的数就是各位数字与K的幂的乘积的和，其中幂指数等于相应的数字所在的位数(从右往左数)少1。

3.十进制和二进制的转化。

例如，把(13)10化成二进制：把一个二进制数化为十进制数，只要把二进制数写成以2为底的幂的和的形式，再具体算出来。

例如计算机就是采用二进制，充分发挥了其运行速度快的特点。

例1 把十进制数(3568)10写成数码与计算单位乘积的和的形式。

六年级奥数-进制与进位(学生版)

第十讲进制与进位我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。

在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。

比如二进制，八进制，十六进制等。

二进制：二进制的运算法则：注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。

n进制：进制间的转换：1.掌握进制之间的转换方法。

2.能用进制互化的方法解题。

例1:① 222(101)(1011)(11011)⨯-=________；② 2222(11000111(10101(11(-÷=））））；③ 4710(3021)(605)()+= ；④ 88888(63121)(1247)(16034)(26531)(1744)----=________；⑤ 若(1030)140n =，则n =________．例2:在几进制中有413100⨯=？例3:将二进制数(11010.11)2 化为十进制数为多少？例4:现有1克，2克，4克，8克，16克的砝码各1枚，在天平上能称多少种不同重量的物体？例5:在6进制中有三位数abc ，化为9进制为cba ，求这个三位数在十进制中为多少?例6:试求(22006-1)除以992的余数是多少?例7:已知正整数N 的八进制表示为8(12345654321)N =，那么在十进制下，N 除以7的余数与N 除以9的余数之和是多少？A1.①852567(((=== ）））；②在八进制中，1234456322--=________；③在九进制中，1443831237120117705766+--+=________．2.在几进制中有12512516324⨯=？3.二进制数10101011110011010101101转化为8进制数是多少？4.算式153********⨯=是几进制数的乘法？5.将二进制数11101001.1011转换为十六进制数。

B6.某数在三进制中为12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第l 位数字是几?7.在7进制中有三位数abc ，化为9进制为cba ，求这个三位数在十进制中为多少？8.一个人的年龄用十进制数和三进制数表示，若在十进制数末尾添个“0”就是三进制数，求此人的年龄．9.N 是整数，它的b 进制表示是777，求最小的正整数b ，使得N 是十进制整数的四次方．10.计算2003(31)-除以26的余数．C11.计算2003(21)-除以7的余数．12.在8进制中，一个多位数的数字和为十进制中的68，求除以7的余数为多少？13.现有1斤、2斤、4斤、8斤、16斤的白糖各一袋，白糖整袋地卖，问顾客可买的斤数有多少种？14.求证：1821-能被7整除.15.一个自然数的六进制与九进制均为三位数, 并且它们各位数字的排列顺序恰好相反, 请问这个自然数是几?1.计算下列结果（仍用二进制表示）：（1）()()221101101⨯（2）()()22100111110⨯2.把下列十进制的数写成数码与计数单位乘积的和的形式:(1)()10732 (2)()101869 (3)()10976553.请你制造一个7进制的乘法表。

六年级春第11讲进位制(教师版)

进位制知识纵横一、“位值制”记数法：同一个数码，在不同位置上表示不同的数值。

二、十进位制记数法：十进制是日常生活和工作中最常用的进位记数制。

在十进制数中，每一位有 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 十个数码，所以计数的基数是10。

超过 9 的数必须用多位数表示，其中低位和相邻高位之间的关系是“逢十进一”，故称十进制。

三、二进位制记数法：二进制是计算技术中广泛采用的一种数制。

在二进制数中，每一位有 0、1 两个数码，所以计数的基数是 2。

超过 1 的数必须用多位数表示，其中低位和相邻高位之间的关系是“逢二进一”，故称二进制。

读法：二进制的读法比较简单，从左往右依次读数字。

四、十进制数与二进制数的相互转化1、二进制数化为十进制数，只需将二进制数改写成各位数位上的数码与计数单位的积的和的形式，再计算出来即可。

2、十进制数化为二进制数，可以根据二进制数“满二进一”的原则，用 2连续去除这个十进制数，直到商为零为止。

然后将每次所得的余数（只能是 0 或1）按自下而上的顺序依次写出来，就是与这个十进制数相等的二进制数。

简记为：除2 倒取余数法。

五、十进制数与其他进制数的相互转化将n进制数（n≥2，n∈N）转换为等值的十进制数时，只要将n进制数展开，然后将所有各项的数值按十进制数相加，就可以得到等值的十进制数了。

将十进制数转换为等值的n进制数（n≥2，n∈N）时，整数部分采用“除n倒取余数法。

”将下面的数转化为十进制的数：(1111)2，(1010010)2，(4301)5，(B08)16。

【答案】15；82；576；2824。

【解析】请将下面的数转化为十进制的数：(211)3、(321)7、(7C3)16【答案】22；162；1988。

【解析】请将十进制数 90 转化为二进制、七进制和十六进制的数。

【答案】(1011010)2；(156)7；(5A)16。

例 1 试一试 1例 2【解析】某出版社在印刷一本数学科普书的时候，发现他们印刷的页码每一页都只含数字0 至 5，即从第一页开始这本书的页码依次为 1、2、3、4、5、10、11、12、13、14、15、20、……。

六奥第十五讲位值原理

第十五讲位值原理教学课题：位置原理教学课时：两课时教学目标：1、在理解十进位制，知道每个数位的计数单位的基础上掌握多位数转化成用数位上数字表示的方法。

2、能利用位置原理解决数学问题并会验证一些数学规律。

3、锻炼学生善于思考的习惯，提高解题能力。

教学重难点：能利用位置原理解决数学问题并会验证一些数学规律。

教具准备：本周通知：教学过程：（1）故事导入师：某校的学生总数是一个三位数，平均每个班35人。

统计员提供的学生总数比实际总人数少270人。

原来，他在记录时粗心地将这个三位数的百位与十位的数字对调了。

如果要求这个学校学生最多是多少人，该怎么办呢？生：（。

）师：有同学说可以用方程的方法来做，可是啊，那样比较麻烦，老师告诉你们，通过我们今天学习的知识，可以很快的解决这类型的问题！接下来，我们看看是什么样的方法呢？（2）新课学习师：开始今天的新课之前呢，我们要先复习一个内容——数位与记数单位。

说出每个数所表示的含义：（1）34 （4表示4个1，3表示3个10 ；即34=3×10+4 ）（2）986 （6表示6个1，8表示8个10，9表示9个100；即986=9×100+8×10+6 ）（3）（c表示c个1，b表示b个10，a表示a个100；即=a×100+b×10+c ）师：好，那我们现在来看看它可以帮我们解决怎么样的数学问题？【知识概述】以一个三位数为例，abc=100a+10b+c，通过所在的数位，乘以相应的倍数。

例1：一个三位数ABC，尝试说明如果这个三位数的数字和A+B+C是9的倍数，则这个三位数一定是9的倍数。

师：大家一起想一想，题目上所说的会不会成立呢？生：（。

）师：=100A+10B+C=99A+9B+ (A+B+ C)，因为每一项都是9的倍数，所以这个数也会是9的倍数。

既然知道了这个特征的由来，那我们不防现在就来用一用。

当堂练习例2：一个两位数，交换它的十位与个位数字，得到的新数是原数的431倍，求所有满足条件的两位数？【思路点拨】根据题意，可以将两位数用字母来表示，然后得到各个数位上数字的关系，从而求解！解：设这个两位数为，则交换数位上的数字后得。

(小学奥数)进制的应用

1. 瞭解進制；2. 會對進制進行相應的轉換；3. 能夠運用進制進行解題一、數的進制1.十進位：我們常用的進制為十進位，特點是“逢十進一”。

在實際生活中，除了十進位計數法外，還有其他的大於1的自然數進位制。

比如二進位，八進制，十六進制等。

2.二進位：在電腦中，所採用的計數法是二進位，即“逢二進一”。

因此，二進位中只用兩個數字0和1。

二進位的計數單位分別是1、21、22、23、……，二進位數也可以寫做展開式的形式，例如100110在二進位中表示為：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。

二進位的運算法則：“滿二進一”、“借一當二”，乘法口訣是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。

注意：對於任意自然數n ,我們有n 0=1。

3.k 進制：一般地，對於k 進位制，每個數是由0，1，2，，1k （）共k 個數碼組知識點撥教學目標5-8-2.進制的應用成，且“逢k 進一”．1k k >（）進位制計數單位是0k ，1k ，2k，．如二進位制的計數單位是02，12，22，，八進位制的計數單位是08，18，28，．4.k 進位制數可以寫成不同計數單位的數之和的形式1110110n n n n k n n a a a a a k a k a k a ---=⨯+⨯++⨯+（）十進位表示形式：1010101010n n n n N a a a --=+++；二進位表示形式：1010222n n n n N a a a --=+++；為了區別各進位制中的數，在給出數的右下方寫上k ，表示是k 進位制的數如：8352（），21010（），123145（）,分別表示八進位制，二進位制，十二進位制中的數．5.k 進制的四則混合運算和十進位一樣先乘除，後加減；同級運算，先左後右；有括弧時先計算括弧內的。

二、進制間的轉換：一般地，十進位整數化為k 進制數的方法是：除以k 取餘數，一直除到被除數小於k 為止，餘數由下到上按從左到右順序排列即為k 進制數．反過來，k 進制數化為十進位數的一般方法是：首先將k 進制數按k 的次冪形式展開，然後按十進位數相加即可得結果．如右圖所示:模組一、進制在生活中的運用【例 1】有個吝嗇的老財主，總是不想付錢給長工。

小学六年级奥数系列讲座：进位制问题(含答案解析)

进位制问题内容概述本讲不着重讨论n进制中运算问题，我们是关心n这个数字，即为几进制．对于进位制我们要注意本质是：n进制就是逢n进一．但是，作为数论的一部分，具体到每道题则其方法还是较复杂的．说明：在本讲中的数字，不特加说明，均为十进制．典型问题1．在几进制中有4×13=100．【分析与解】我们利用尾数分析来求解这个问题：不管在几进制均有(4)10×(3)10=(12)10．但是，式中为100，尾数为0．也就是说已经将12全部进到上一位．所以说进位制n为12的约数，也就是12，6，4，3，2．但是出现了4，所以不可能是4，3，2进制．我们知道(4)10×(13)10=(52)10，因52<100，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是我们知道n<10．所以，n只能是6．2．在三进制中的数12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第l位数字是几?【分析与解】我们如果通过十进制来将三进制转化为九进制，那运算量很大．注意到，三进制进动两位则我们注意到进动了3个3，于是为9．所以变为遇9进1．也就是九进制．于是，两个数一组，两个数一组，每两个数改写为九进制，如下表：12 12 0l20 11 01 10 12 11 21 3进制5 5 l6 4 1 3 5 47 9进制所以，首位为5．评注：若原为n进制的数，转化为n k进制，则从右往左数每k个数一组化为n k 进制．如：2进制转化为8进制，23=8，则从右往左数每3个数一组化为8进制．10 100 001 101 2进制2 4 1 5 8进制(10100001101)2=(2415)8．3．在6进制中有三位数abc，化为9进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少?【分析与解】(abc)6=a×62＋b×6+c=36a+6b+c；(cba)9=c×92+b×9+a=81c+9b+a．所以36a+6b+c=81c+9b+a；于是35a=3b+80c；因为35a是5的倍数，80c也是5的倍数．所以3b也必须是5的倍数，又(3，5)=1．所以，b=0或5．①当b=0，则35a=80c；则7a=16c；(7，16)=1，并且a、c≠0，所以a =16，c =7：但是在6,9进制，不可以有一个数字为16．②当b =5，则35a =3×5+80c ；则7a =3+16c ；mod 7后，3+2c ≡0 所以c =2或者2+7k (k 为整数)．因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是c =2．于是，35a =15+80×2；a =5．于是(abc )6 =(552)6=5×62+5×6+2=212．所以．这个三位数在十进制中为212．4．设1987可以在b 进制中写成三位数xyz ，且x y z ++=1+9+8+7，试确定出所有可能的x 、y 、z 及b ．【分析与解】我们注意2()19871987b xyz b x by z x y z ⎧=++=⎨++=+++⎩①②①-②得：(2b -1)x +(b -1)y =1987-25．则(b -1)(b +1)x +(b -1)y =1962，即(b -1)[(b +1)x +y ]=1962．所以，1962是(b -1)的倍数． 1962=2×9×109：当b -1=9时，b =10，显然不满足；当b -1=18时，b =19，则（b -1)[(b +1)x +y ]=18×(20x +y )=1962；则20x +y =109，所以，545,(929911b x x x y y y z ⎧⎪===⎧⎧⎪⎨⎨⎨===⎩⎩⎪⎪=⎩=19不满足),......则显然，当b =109不满足，b =2×109不满足，当b =9×109也不满足．于是为(59B)19=(1987)10，B 代表11．5．下面加法算式中不同字母代表不同的数字，试判定下面算式是什么进制，A 、B 、C 、D 的和为多少? 【分析与解】于是，我们知道n =4，所以为4进制，则 A+B+C+D=3+1+2+0=6．6. 一个非零自然数，如果它的二进制表示中数码l 的个数是偶数，则称之为“坏数”.例如：18=（10010）2是“坏数”．试求小于1024的所有坏数的个数. 【分析与解】我们现把1024转化为二进制： (1024)10=210=(10000000000)2．于是，在二进制中为11位数，但是我们只用看10位数中情况．并且，我们把不足10位数的在前面补上0，如502111...10000...0⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭5个1个或以上912111...1⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭个=9120111...1⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭个则，10* * * * * * * * * *⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭个位置可以含2个l ，4个1，6个1，8个l ，10个1．于是为2268101010101010C C C C C ++++ =10910987109876510987654312123412345612345678⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋ =45+210+210+45+1=511于是，小于1024的“坏数”有511个.7．计算：2003333 3...31⎛⎫⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭个26的余数．【分析与解】2003333 3...31⎛⎫⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭个=2003331000...01⎛⎫⨯-⎪ ⎪⎝⎭个=20033222...2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭个226=(222)3所以，2003333 3...31⎛⎫⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭个÷26=20033222...2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭个2÷(222)3 (222)3整除(222)3，2003÷3：667……2，所以余(22)3=8．所以余数为8．8．一个10进制的三位数，把它分别化为9进制和8进制数后，就又得到了2个三位数．老师发现这3个三位数的最高位数字恰好是3、4、5，那这样的三位数一共有多少个?【分析与解】我们设(3ab )10=(4cd )9=(5ef )8；我们知道(4cd )9 在(400)9～(488)9之间，也就是4×92～5×92-1，也就是324～406；还知道(5ef )8 在(500)8～(577)8之间，也就是5×82～6×82-1，也就是320～383；又知道(3ab )10 在(300)10～(399)10之间．所以，这样的三位数应该在324～383之间，于是有383-324+1=60个三位数满足条件.9. 一袋花生共有2004颗，一只猴子第一天拿走一颗花生，从第二天起,每天拿走的都是以前各天的总和．①如果直到最后剩下的不足以一次拿走时却一次拿走，共需多少天? ②如果到某天袋里的花生少于已拿走的总数时，这一天它又重新拿走一颗开始，按原规律进行新的一轮．如此继续，那么这袋花生被猴子拿光的时候是第几天?【分析与解】①我们注意到每天 1 2 3 4 8 16 32 64 …前若干天的和…210<2004<211前1天为1，前2天为21，前3天是22，所以前11天为210，前12天是211,也就是说不够第11天拿的，但是根据题中条件知．所以共需12天.②每天 1 1 2 4 8 16 32 64 …前若干天的和1 2 4 8 16 32 64 128 …改写为2进制111010001000100000100000010000000…2004=(11111010100)2,(10+1)+(9+1)+(8+1)+(7+1)+(6+1)+(4+1)+(2+1) =11+10+9+8+7+5+3=53天．。

六年级进位制与位值原理通用版(奥数拓展)-第9讲

进位制与位值原理（奥数拓展）知识点进位制进制也就是进位计数制，是人为定义的带进位的计数方法（有不带进位的计数方法，比如原始的结绳计数法，唱票时常用的“正”字计数法，以及类似的tally mark计数）。

对于任何一种进制---X 进制，就表示每一位置上的数运算时都是逢X进一位。

十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，x进制就是逢x进位。

1)二进制二进制有两个特点：它由两个数码0，1组成，二进制数运算规律是逢二进一。

为区别于其它进制，二进制数的书写通常在数的右下方注上基数2，或在后面加B表示，其中B是英文二进制Binary的首字母。

例如：二进制数10110011可以写成（10110011）2，或写成10110011B。

对于十进制数可以不加标注，或加后缀D，其中D是英文十进制Decimal的首字母D。

计算机领域我们之所以采用二进制进行计数，是因为二进制具有以下优点：1）二进制数中只有两个数码0和1，可用具有两个不同稳定状态的元器件来表示一位数码。

例如，电路中某一通路的电流的有无，某一节点电压的高低，晶体管的导通和截止等。

2）二进制数运算简单，大大简化了计算中运算部件的结构。

二进制数的加法和乘法基本运算法则各有四条，如下：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=100×0=0，0×1=0，1×0=0，1×1=12)八进制由于二进制数据的基数R较小，所以二进制数据的书写和阅读不方便，为此，在小型机中引入了八进制。

八进制的基数R=8=2^3，有数码0、1、2、3、4、5、6、7，并且每个数码正好对应三位二进制数，所以八进制能很好地反映二进制。

八进制用下标8或数据后面加O表示例如：二进制数据（ 11 101 010 . 010 110 100 ）2 对应八进制数据 (352.264)8或352.264O。

3)十六进制由于二进制数在使用中位数太长，不容易记忆，所以又提出了十六进制数。

六年级(上)奥数思想第05讲进位制问题

第五讲进位制问题有这样一个笑话：请问“11+”在什么样的情况下等于10，答：“在算错的情况下等于10！”．笑话毕竟是笑话，现实生活中一般也不会出现把11+算错的情况．不过学习完今天的知识，同学们就知道，不用算错，11+也是可以等于10！说起来很奇怪，但在二进制中就是这样的．说到这里，同学们可能会有疑问，什么是二进制呢？那还得从进位制说起．一、什么是进位制所谓“进位制”就是指进位的法则．在我们已经学过的加法运算中就有一条进位法则——逢十进一．由于它规定逢十．进一，所以这一进位法则又称“十进制”．生活中最常用的就是十进制，例如10分钱就是1角，10角钱就是1元；10毫米等于1厘米，10厘米等于1分米，10分米等于1米．当然，生活中也并不总是“逢十进一”，比如时间就是60进制的：60秒等于1分钟，60分钟等于1小时．再比如西方国家常用的单位“打”，所谓一“打”就是指12个，这就是一种12进制．我国古代重量单位“斤”和“两”就是16进制的，常说的“半斤八两”就是指半斤和八两相当，所以一斤就是16两……像这样的例子有很多，大家不妨自己想想，还有没有别的进位制的例子．二、怎么表示进位制这么多进位制，究竟怎么通过写法把它们区分开来呢？一般的，如没有特殊说明，．．．．．．．．．．．．都默认为．．．．10．．进制．．．如果要表示其他进制，就必须采用括号加脚标的形式．例如5进制中的1234，我们就写成()51234，2进制的101就写成()2101．在n 进制中，恰好会用到n 种数字：从0一直到1n -．这里请大家注意以下两点：（1）n 进制中，不可能出现数字n 以及比n 更大的数：如5进制中不可能出现数字5、6、7、8、9等；反过来，如果一个数中出现了数字5或大于5的数字，这个数就一定不会是5进制数，如125，733都不可能是5进制数；（2）n 进制中，出现的数字可能会超出0到9这十种数字，比如16进制，必须逢16才能进1，所以从0开始数到9之后不能进位，必须仍然用一个字符来表示．数学上约定在16进制种，用字母A 、B 、C 、D 、E 、F 来表示等于10进制中的10、11、12、13、14、15．在n 进制种，n 也称为该进位制的“基”．三、n 进位制化十进制十进制：3221012101100101=⨯+⨯+⨯+；三进制：()321321012313031=⨯+⨯+⨯+；四进制：()321421012414041=⨯+⨯+⨯+；五进制：()321521012515051=⨯+⨯+⨯+； ……例1．（1）5812162013====（_______）（_______）（_______）（_______）（2）()1052012=（_______）（3） ()10122012=（_______）「分析」把10进制的数转化为其他进制，一般采用的是短除求余法，就是把10进制数不断的除以进制数，保留余数，直到余数为0为止，然后将余数倒序写出即可；其它进制转化成10进制，可以用位值原理展开求解．练习1、()101232A =（_______） ()1016ADD =（_______） ()1252012=（_______）()1282012=（_______）例2．（1）把三进制数12120120110110121121改写为九进制，它从左向右数第1位数字是多少？（2）()482111011001==（_______）（_______）．「分析」三进制数化为九进制数除了用前面说过的以十进制为桥梁进行转化，是否有更简单巧妙的办法呢？练习2、()93120011221=（_______）例3． ()()77754536245+=（_______）「分析」这是一个七进制下的加法，记住严格遵循“逢七进一”的原则，你一定能得出正确答案．练习3、例4．在6进制中有三位数abc ，化为9进制为cba ，这个三位数在十进制中是多少？「分析」怎样把题目中的两个数统一在一个进位制下，是十进制还是二进制？你是否能根据位置原理列出不同进制下的三位数展开形式呢？练习4、在7进制中有三位数，化为9进制为，这个三位数在十进制中是多少？例5．一个天平，物品必须放在左盘，砝码必须放在右盘，那么为了能称出1克到1000克，至少需要多少个砝码？「分析」从最小的重量1、2、3……克开始推理，注意已有砝码是可以累加在一起的．例6．一本书共有2013页，第一天看一页书，从第二天起，每天看的页数都是以前各天的总和．如果直到最后剩下的不足以看一次时就一次看完，共需多少天？「分析」根据题目要求逐一列出每天所看的页码数，不断总结计算纸质得出最后答案．cba abc ()()555123123⨯=（_______）作业1. 进制互化：（1）；（2）；（3）=；（4）=；（5）；（6）．2. （1）；（2）．3. 一个十进制三位数，其中的a 、b 、c 均代表某个数码，它的二进制表达式是一个七位数，这个十进制的三位数是多少？4. 一个自然数用三进制和四进制表示都为三位数，并且它的各位数字的排列顺序恰好相反，这个自然数用十进制表示是多少？5. a 、b 是自然数，a 进制数47和b 进制数74相等，a 与b 的和的最小值是多少？()21abcabc ()10abc()()()55521322⨯= ()4 ()()44202323+= ()()916157= ()()4911202= ()5 ()101248 ()16 ()103120 ()()10161CA = ()10 ()411202=第五讲进位制问题例题：例7．答案：（1）31023、3735、11B9、7DD ；（2）257；（3）1742详解：（1）（2）32025051525257⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）3202120121122121742⨯+⨯+⨯+⨯=．例8．答案：（1）5；（2）13121、731 详解：三进制转九进制从右往左两位两位转换；二进制转四进制从右往左两位两位转换；二进制转八进制从右往左三位三位转换．例9．答案：15031 详解：列竖式计算．例10．答案：212．a =5、b =5、c =2例11．答案：10个详解：若要称量1克的重量必须有1克的砝码，若要称量2克的重量必须有2克的砝码，依次类推可得：1+2+4+8+16+32+64+128+256+512，此时可以称量1克到1023克的所有重量，此时需要10个砝码．例12．答案：12...... 3 ...... 2 ...... 1 0 (3)...... 2 ...... 3 (7) (3)…… 9 ……12 (1) (1)...... 13 ...... 13 (7)详解：所看页数列为1、1、2、4、8、……、256、512、989．练习：6. 答案：554；2781；195；7227. 答案：161578. 答案：212349. 答案：248．a =5、b =0、c =3作业：1. 答案：（1）354；（2）458；（3）C 30；（4）14443；（5）433；（6）852. 答案：（1）1131；（2）123123. 答案：100简答：a 很容易知道只能为1，再根据进位制展开解方程得出b 、c 均为0，所以原数十进制是100．4. 答案：22简答：由题意有，其中a 、b 、c 均小于3，则有，化简得，符合条件的a 、b 、c 为2、1、1，化成十进制是22．5. 答案：24简答：由题意有，其中a 、b 均要大于7，则有，符合条件的最小的a 、b 为15、9，和是24．4774a b +=+ ()()4774a b = 815a b c =+ 93164a b c c b a ++=++ ()()34abc cba =。

六年级奥数-进制与进位(教师版)

第十讲进制与进位我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。

在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。

比如二进制，八进制，十六进制等。

二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。

因此，二进制中只用两个数字0和1。

二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。

二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。

注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。

n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。

进制间的转换：如右图所示。

1.掌握进制之间的转换方法。

2.能用进制互化的方法解题。

例1:① 222(101)(1011)(11011)⨯-=________； ② 2222(11000111(10101(11(-÷=））））； ③ 4710(3021)(605)()+= ；④ 88888(63121)(1247)(16034)(26531)(1744)----=________； ⑤ 若(1030)140n =，则n =________．分析与解：① 对于这种进位制计算，一般先将其转化成我们熟悉的十进制，再将结果转化成相应的进制： 2221010101010(101)(1011)(11011)(5)(11)(27)(28)(11100)⨯-=⨯-==； ② 可转化成十进制来计算： 222101010102(11000111(10101(11(199)(21)(3)(192)(11000000-÷=-÷==））））；如果对进制的知识较熟悉，可直接在二进制下对22(10101(11÷））进行除法计算，只是每次借位都是2，可得222222(11000111(10101(11(11000111(111(11000000-÷=-=））））））； ③ 本题涉及到3个不同的进位制，应统一到一个进制下．统一到十进制比较适宜： 32471010103021)(605)(34241)(675)(500)+=⨯+⨯++⨯+=(；④ 十进制中，两个数的和是整十整百整千的话，我们称为“互补数”，凑出“互补数”的这种方法叫“凑整法”，在n 进制中也有“凑整法”，要凑的就是整n ．原式88888(63121)[(1247)(26531)][(16034)(1744)]=-+-+ 8888(63121)(30000)(20000)(13121)=--=；⑤若(1030)140n =，则33140n n +=，经试验可得5n =．例2:在几进制中有413100⨯=？分析与解：利用尾数分析来解决这个问题：由于101010(4)(3)(12)⨯=，由于式中为100，尾数为0，也就是说已经将12全部进到上一位．所以说进位制n 为12的约数，也就是12，6，4，3，2中的一个．但是式子中出现了4，所以n 要比4大，不可能是4，3，2进制．另外，由于101010(4)(13)(52)⨯=，因为52100<，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是知道10n <，那么n 不能是12．所以，n 只能是6．例3:将二进制数(11010.11)2 化为十进制数为多少？分析与解：根据二进制与十进制之间的转化方法，(11010.11)2 =1×24+1×23+0×22+1×21+0×20+1×2-1+1×2-2=16+8+0+2+0+0.5+0.25=26.75。

六下奥数第9讲~数论综合

六年级下册奥数第9讲~数论综合【知识精讲】本讲属于数论专题，数论专题在近几年的升学中占比大约在5% ——10%，在各类竞赛中的占比约为15%，虽然分值不是很高，但是题型多变，考察方式也呈现多样化。

在2015年辅仁，2008年大桥以及各类竞赛中都有出现。

这部分的内容主要以填空和选择的形式考察，偶尔会有创新题的形式出现，对学生提取信息以及综合运用的能力要求比较高，但是有不少知识点需要同学们在理解的基础上加以记忆。

本讲需要掌握以下三点内容：1、位值原理2、进位制3、整除的性质和判定。

知识点一：位值原理例1、【大桥期初题】一个两位数的中间加上一个 0，得到的三位数比原两位数的8倍小1。

原来的两位数是多少？练1、在一个两位数的两个数字中间加一个 0,所得的三位数比原来大8倍，求这个两位数例2、一个三位数，把它的个位和百位调换位置之后，得到一个新的三位数，这个新三位数和原三位数的差的个位数字是7,试求两个数的差。

练2、把一个三位数颠倒顺序后得到一个新数，这个数比原来数大792,那么原来的三位数最大可以是多少?知识点二：进位制例 3、(2012) 5=( )io 2015=( )8=( )12 练 3、( 3A2) 12= ( ) 10 2014=( )5= ( ) 16知识点三：整除的性质和判断例4、某个七位数2013□□口能够同时被2，3，4，5，6，7次是多少？练4、已知13ab45c能被792整除，求a,b,c的值自我挑战:1、【希望杯】在算式“希望杯就是好 8就是好希望杯 5希望杯就是好”所代表的的六位偶数是多少?，8, 9中，不同的汉字代表不同的数字，则2、在六进制中有三位数abc，化为九进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少?3、1111 111仁22222 22222是一个4023位数，它能被13整除，□内应填数字是多少?2011个1 2011个24、【大桥】由0— 6组成，百位比十位大，十位比各位大的三位数，能被3整除的数有多少个?温故而知新!1、进制互化1CA16= 101248 10 = 3120 10= 1611202 4=2、六位数口2004□能被99整除，这个六位数是多少?3、一个两位数，将个位与十位交换位置后，得到一个新的两位数，已知新数比原数大54,求原数是多少?4、已知个五位数1a75b能被72整除，则这个五位数是多少?5、依次写上1,2,3,4……，2008,则123456789101112…20072008除以9的余数是多少?6、由1、3、4、5、7、8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少?。

小学六年级数学竞赛讲座第4讲进位制与位值原理

第四讲进位制与位值原理（二）模块一、进制的互化与计算:一、熟悉进制n进制：“逢n进一，借一当n”，如：十进制的特点是“逢10进一，借一当十”。

N进制的四那么混合运算和十进制一样：先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。

二、进制转换n进制化十进制：位值原理法。

十进制化n进制：倒取余数法。

n进制化m进制：先把n进制化成十进制，在把十进制化成m进制。

专门地，n进制化n a进制：从低位到高位，取a合一；n a进制化n进制：从低位到高位，取一分a，不足位补0.三、进制判定判定一个式子在何种进制下成立，一样依托以下两个方式：1．数字特点：在n进制下，每一个数字都不能大于(n−1)，如在八进制下，每一个数字都不能大于7；反过来讲，假设n进制下显现7那个数字，那么n必然大于7，最少为八进制；2．尾数特点：观看那个式子的尾数在十进制下应运算出什么结果，在对照式子结果的尾数，找出进位进了多少，在推断进制。

例1．（1）把以下各数转化为十进制数。

(大写英文字母表示10以上进制中的数，如：A表示10，B表示11，……)(463)8= ；(2BA)12= ；(5FC)16= .（2）(1001101010111100)2=( )4=( )8=( )16.（3）请将十进制数90转化成七进制数是；(125)7转化为八进制数是。

解：（1）(463)8=4×82+6×8+3=307；(2BA)12=2×122+11×12+10=430；(5FC)16=5×162+15*16+12=1532.（2）(1001101010111100)2=(21222330)4=(115274)8=(9ABC)16.（3）90=72+5×7+6=(156)7，(125)7=72+2×7+5=68=82+0×8+4=(104)8.例2．（1）计算：(231)5+(124)5= ，(251)6+(434)6= ；（2）计算：(11000111)2−(10101)2÷(11)2=( )2；（3）计算：(45)8×(12)8−(456)8=( )8.解：（1）(231)5+(124)5=(410)5，(251)6+(434)6=(1125)6.（2）(11000111)2−(10101)2÷(11)2=(11000111)2−(111)2= (11000000)2.（3）(45)8×(12)8−(456)8=(562)8−(456)8=(104)8.例3．（1）算式1534×25=43214是进制的乘法。

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