江苏省无锡市2019届高三上学期期末考试数学试题(解析版)Word版
无锡市普通高中2019-2020学年度第一学期期末调研考试卷高三数学(含答案)
d
，若矩阵
A
属于特征值
5
的一个特征向量为
1
，点
P(﹣
2，1)在 A 对应的变换作用下得到点 P′(﹣1，2)，求矩阵 A．
B．选修 4—4：坐标系与参数方程
已知曲线
x
C1：
y
= =
4 cosθ 4 sin θ
，（其中θ
为参数），以坐标原点
O
为极点，x
轴的正半轴为极轴，
建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ cos(θ − π ) = 2 3 ，设曲线 C1 与曲线 C2 交于 A， 3
4.函数 f (x) =(a −1)x − 3 (a > 1, a ≠ 2) 过定点________.
5.等差数列{an}（公差不为 0），其中 a1 ，a2 ，a6 成等比数列，则这个等比数列的公比为_____. 6.小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从 4 道题中随机抽取 2 道作答，小李会其中的 三道题，则抽到的 2 道题小李都会的概率为_____. 7.在长方体 ABCD − A1B1C1D1 中， AB = 1 , AD = 2 ， AA1 = 1 ，E 为
2
17. （本小题满分 14 分）
已知椭圆 C :
x2 a2
+
y2 b2
= 1 (a
> b > 0) 的左右焦点分别为 F1, F2 ，焦距为
4，且椭圆过点 (2, 5) ， 3
过点 F2 且不行与坐标轴的直线交椭圆与 P,Q 两点，点 Q 关于 x 轴的对称点为 R ，直线 PR 交
x 轴于点 M .
2
3
，
S∆A1DE
=1 2
2019年江苏省无锡市文林中学高三数学文上学期期末试卷含解析
2019年江苏省无锡市文林中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知三棱锥A﹣BCD的四个顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别为A（2，0，2），B（2，1，2），C（0，2，2），D（1，2，0），画该三棱锥的三视图中的俯视图时，以xOy平面为投影面，则得到的俯视图可以为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】找出各点在xoy平面内的投影得出俯视图．【解答】解：由题意，A（2，0，2），B（2，1，2），C（0，2，2），D（1，2，0）在xOy平面上投影坐标分别为A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），D（1，2，0）．故选：C．【点评】本题考查了三视图的定义，简单几何体的三视图，属于基础题．2. 高考结束后6名同学游览我市包括皇家湖在内的6个景区,每名同学任选一个景区游览,则有且只有两名同学选择皇家湖景区的方案有( )A.种B.种C.种D.种参考答案：D3. 从8名女生4名男生中，选出6名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为参考答案：C略4. 已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，则命题“，且，”是命题：“，”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也必要条件参考答案：B点睛: 本题主要考查了充分必要条件, 涉及导数的定义与曲线上割线的斜率,属于中档题. 注意当判断命题为假时,可以举出反例.5. 若直线截得的弦长为4，则的最小值为A． B． C．3 D．参考答案：A6. 函数的大致图象为参考答案：C7. 已知向量，则等于A、0B、－1C、D、参考答案：A8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A.（0，B.（）C.（0，）D.（，1）参考答案：D9. 已知函数，若，则实数的值等于( )A．－3 B．－1 C．1 D．3参考答案：A略10. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若c2＝（a－b）2＋6，C＝，则△ABC的面积是（）A．3 B． C． D．3参考答案：B将c2＝（a－b）2＋6化为，由余弦定理及C＝，得，解得；由三角形的面积公式，得△ABC的面积；故选B．考点：1.余弦定理；2.三角形的面积公式．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，已知与相交于A，B两点，直线PQ切于P，与交于N、Q两点，直线AB交PQ于M，若MN=2，PQ=12，则PM=________________。
江苏省无锡市东亭中学2019年高三数学文上学期期末试卷含解析
江苏省无锡市东亭中学2019年高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. a1，a2，a3，a4是各项不为零的等差数列，且公差d≠0，若将此数列删去a2，得到的数列a1，a3，a4是等比数列，则的值为（）A．1 B．﹣4 C．﹣1 D．4参考答案：B【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】利用等比中项的性质，得a32=a1?a4，进而求得a1和d的关系，即可得出结论．【解答】解：若a1、a3、a4成等比数列，则a32=a1?a4∴（a1+2d）2=a1（a1+3d）∴a12+4a1d+4d2=a12+3a1d∴4d2=﹣a1d∵d≠0∴4d=﹣a1则=﹣4故选：B．【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．考查了等差数列通项公式和等比中项的性质的灵活运用．2. ，则（A）；（B）；（C）；（D）．参考答案：A略3. 已知定义在[0,+∞)上的函数f(x)满足，当时，，设f(x)在上的最大值为，则（）A．7 B． C. D．14参考答案：A4. 已知直线的倾斜角为，则=（）A、B、C、D、]参考答案：B略5. 已知集合M={x|（x+3）（x﹣1）≤0}，N={x|log2x≤1}，则M∪N=（）A．[﹣3，2] B．[﹣3，2） C．[1，2] D．（0，2]参考答案：A【考点】并集及其运算．【分析】先分别求出集合M，N，由此利用并集定义能求出M∪N．【解答】解：∵集合M={x|（x+3）（x﹣1）≤0}={x|﹣3≤x≤1}，N={x|log2x≤1}={x|0＜x≤2}，∴M∪N={x|﹣3≤x≤2}=[﹣3，2]．故选：A．6. 已知集合M={x|y=ln（x2﹣3x﹣4）}，N={y|y=2x﹣1}，则M∩N等于（）A．{x|x＞4} B．{x|x＞0} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x＞4或x＜﹣1}参考答案：A【考点】交集及其运算．【分析】求出M中x的范围确定出M，求出N中y的范围确定出N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中x2﹣3x﹣4＞0，即M={x|x＞4或x＜﹣1}，N={y|y=2x﹣1}={y|y＞0}，则M∩N={x|x＞4}，故选：A．7. 在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：B略8. 设，则（）（A）（B）（C）（D）参考答案：C略9. 函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】函数的图象与图象变化．【分析】欲判断图象大致图象，可从函数的定义域{x|x≠0}方面考虑，还可从函数的单调性（在函数当x＞0时函数为减函数）方面进行考虑即可．【解答】解析：函数有意义，需使e x﹣e﹣x≠0，其定义域为{x|x≠0}，排除C，D，又因为，所以当x＞0时函数为减函数，故选A答案：A．10. 已知双曲线的右焦点F，直线与其渐近线交于A，B两点，且为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是( )A. （）B. （1，）C. （）D. （1，）参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知抛物线的焦点为F，E为y轴正半轴上的一点．且（O为坐标原点），若抛物线C上存在一点，其中，使过点M的切线，则切线l在y轴的截距为_____．参考答案：-1【分析】根据与切线垂直列方程求出点坐标，从而得出切线的方程，得出截距．【详解】由题意可得：，由可得，∴直线的斜率为，直线的斜率为．∵切线，∴．结合．解得，不妨设，则直线的方程为，即．∴直线在轴的截距为﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查了抛物线的性质，切线的求解，直线位置关系的判断，属于中档题．12. 等比数列{a n}中，若a1=﹣2，a5=﹣4，则a3= ．参考答案：【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】由题意，{a n}是等比数列，a1=﹣2，设出公比q，表示出a5=﹣4，建立关系，求q，可得a3的值【解答】解：由题意，{a n}是等比数列，a1=﹣2，设公比为q，∵a5=﹣4，即﹣2×q4=﹣4，可得：q4=2，则那么a3=故答案为．【点评】本题考查等比数列的第3项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用13. 已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且，则棱锥的体积为____________参考答案：14. 已知各项均为正数的等比数列{a n},若2a4+a3-2a2-a1=8，则2a8+a7的最小值为___________参考答案：54略15. 若x，y满足约束条件，则的最大值为．参考答案：316. 若函数为奇函数，则a=____________.参考答案：217. 若向量，，则与夹角余弦值等于_____________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
江苏省无锡市陆区中学2019年高三数学理上学期期末试题含解析
江苏省无锡市陆区中学2019年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 给定两个向量，若，则实数x等于（）A．﹣3 B．C．3 D．﹣1参考答案：D【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】求出相关向量，利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．【解答】解：两个向量， =（3+2x，4+x）； =（1，3），∵，∴9+6x=4+x，解得x=﹣1．故选：D．2. 已知实数,则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B略3. 在区间上任取三个数、、，若点在空间直角坐标系中的坐标为，则的概率是A．B． C．D．参考答案：C4. 已知集合，定义函数且点。
若的内切圆圆心为D，且，则满足条件的函数有（）A.12个；B.10个；C.6个；D.16个；参考答案：A5. 设甲为：乙为：，那么乙是甲的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件（D）既不充分也不必要条件参考答案：B6. 如图，设AB为圆锥PO的底面直径，PA为母线，点C在底面圆周上，若PA=AB=2，AC=BC,则二面角P-AC-B大小的正切值是（）A. B. C. D.参考答案：B作AC的中点D，连接OD，PD，如图所示：根据已知可得，，所以，因为D是AC的中点，所以，所以即为二面角的平面角，因为PA=AB=2，所以AC=BC=，所以OD=，在中，，所以在中，.7. 已知关于的方程在有且仅有两根，记为，则下列的四个命题正确的是（）A．B．C．D．参考答案：C略8. 已知全集,集合X={x|x2－x=0},Y={x|x2+x=0},则等于( )A． B．{0} C．｛1｝ D．{－1,0,1}参考答案：C略9. 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（）A 10种B 20种C 30种D 60种参考答案：答案：B10. 已知等比数列{am}的前m项和为Sm，若S=4（a1+a3+a5+…+a2m-1）,a1a2a3=27,则a6=（）A.27B.81C. 243D.729参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．参考答案：205【考点】E5：顺序结构．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件i=2n+1，n∈N，i=i+2≥100时，S=2i+3的值【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件i=2n+1，n∈N，i=i+2≥100时，S=2i+3的值，∵i+2=101时，满足条件，∴输出的S值为S=2×101+3=205．故答案为：205．12. 函数的值域是．参考答案：{﹣1，3}【考点】三角函数值的符号；函数的值域．【专题】计算题．【分析】本题需要对于角所在的象限讨论，确定符号，对于四个象限，因为三角函数值的符号不同，需要按照四种不同的情况进行讨论，得到结果．【解答】解：由题意知本题需要对于角所在的象限讨论，确定符号，当角x在第一象限时，y=1+1+1=3，当角在第二象限时，y=1﹣1﹣1=﹣1，当角在第三象限时，y=﹣1﹣1+1=﹣1，当角在第四象限时，y=﹣1+1﹣1=﹣1．故答案为：{﹣1，3}【点评】本题考查三角函数值的符号，考查函数的值域，本题是一个比较简单的综合题目，这种题目若出现是一个送分题目．13.若，则＝．参考答案：答案：14. 4cos50°﹣tan40°=．参考答案：【考点】三角函数的化简求值；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】表达式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果．【解答】解：4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°======．故答案为：．【点评】本题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．15. 如图，用四种不同颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求四种颜色全都用上，每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色.则不同的涂色方法的种数为_________（用数字做答）.参考答案：21616. 若y3（x+）n（n∈N*）的展开式中存在常数项，则常数项为．参考答案：84【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理．【分析】写出二项式（x+）n的展开式的通项，可得y3（x+）n的展开式的通项，再由x，y的指数为0求得n，r的值，则答案可求．【解答】解：二项式（x+）n的展开式的通项为，则要使y3（x+）n（n∈N*）的展开式中存在常数项，需，即n=9，r=3．∴常数项为：．故答案为：84．【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．17. 已知点，圆上两点满足，则_____参考答案：4【分析】先设过点P（，0）的直线的参数方程为，（为参数），联立直线与圆的方程，设A，B所对应的参数分别为，根据方程的根与系数关系可求，然后结合已知可求，然后根据可求．【详解】设过点P（，0）的直线的参数方程为，（为参数），把直线的参数方程代入到，可得，设A，B所对应的参数分别为，则，∵，∴同向且，∴，解可得，，∴，、故答案为：4．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
江苏无锡2019年高三上学期年末考试数学试题(word版)
江苏无锡2019年高三上学期年末考试数学试题（word 版）2018届高三上学期期末考试数 学 试 题本卷须知本卷考试时间为120分钟，全卷总分值为160分、【一】填空题：〔本大题共14小题，每题5分，共70分、请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上、〕1、设全集U=R ，集合A={}{}2|20,|1x xx B x x -<=>，那么集U A B =ð。
2、i 是虚数单位，那么122i i -+等于。
3、某中学高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，现从中抽取一个容量为200人的样本，那么高中二年级被抽取的人数为。
4、右边的程序语句运行后，输出的S 为。
5、在△ABC 中，∠A=45o ，∠C=105o ，，那么AC 的长度为、6、向量a=〔-2，2〕，b=〔5，k 〕、假设|la+b|不超过5，那么k 的取值范围是、7、P ：|x －a|＜4；q ：〔x －2〕〔3－x 〕>0，假设⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，那么a 的取值范围为、8、变量x ，y 满足约束条件004x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，表示平面区域M ，假设-4≤a ≤t 时，动直线x+y=a 所通过的平面区域M 的面积为7、那么t=、9、圆C l ：22(1)(1)1x y ++-=，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －l=0对称，那么圆C 2的方程为、10、等差数列{a n }的公差为-2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，那么a 20=__、11、如图，过抛物线y 2=2px 〔p>0〕的焦点F 的直线L 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，假设|BC|=2|BF|，且|AF|=3，那么此抛物线的方程为。
12、设函数())(0)f x ϕϕπ=+<<、假设()()f x f x '+是奇函数，那么ϕ=、13、定义一个对应法那么f ：P 〔rn ，n 〕→p '〔m ，2|n|〕、现有直角坐标平面内的点A 〔-2，6〕与点B 〔6，-2〕，点M 是线段AB 上的动点，按定义的对应法那么f ：M →M'、当点M 在线段AB 上从点A 开始运动到点B 时，点M 的对应点M'通过的路线的长度为。
2019届江苏省无锡市高三上学期期末考试数学试题(解析版)
绝密★启用前江苏省无锡市2019届高三上学期期末考试数学试题（解析版）一、填空题：1.设集合 A =｛x｜x＞0｝,B =｛x｜－2＜x＜1｝,则A∩B＝____．【答案】｛x｜0＜x＜1｝【解析】【分析】利用交集的定义直接求解即可.【详解】取集合A,B的公共部分,得：A∩B＝｛x｜0＜x＜1｝.故答案为：｛x｜0＜x＜1｝.【点睛】本题主要考查了交集的运算,属于基础题.2.设复数 z 满足 (1+ i)z = 1－3i（其中 i 是虚数单位）,则 z 的实部为____．【答案】-1【解析】【分析】由复数的除法运算得z,从而可得解.【详解】z＝＝＝,所以,实部为－1故答案为：-1.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算,属于基础题.3.有 A,B,C 三所学校,学生人数的比例为 3：4：5, 现用分层抽样的方法招募 n 名志愿者,若在 A 学校恰好选出 9 名志愿者,那么 n =____．【答案】36【解析】【分析】利用分层抽样列方程求解即可.【详解】设A,B,C三所学校学生人数为：3x,4x,5x,则总人数为：12x,所以,,解得：n＝36.故答案为：36.【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用,属于基础题.4.齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛,则田忌的马获胜的概率为__________．【答案】.【解析】分析：由题意结合古典概型计算公式即可求得题中的概率值.详解：由题意可知了,比赛可能的方法有种,其中田忌可获胜的比赛方法有三种：田忌的中等马对齐王的下等马,田忌的上等马对齐王的下等马,田忌的上等马对齐王的中等马,结合古典概型公式可得,田忌的马获胜的概率为.点睛：有关古典概型的概率问题,关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时,用列举法把所有基本事件一一列出时,要做到不重复、不遗漏,可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合,以及计数原理的正确使用.5.执行如图的伪代码,则输出 x 的值为____．【答案】25【解析】【分析】模拟程序语言的运行过程知该程序运行后的结果.【详解】第1步：x＝1,x＝1；第2步：x＝2,x＝4；。
江苏省无锡市普通高中2019-2020学年上学期高三期末调研考试数学试题含附加题原卷版
无锡市普通高中2019年秋学期高三期终调研考试卷数学 2020.1注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分160分.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1.集合{|21,}A x x k k Z ==-∈，{1,2,3,4}B =，则A B =_____.2.已知复数z a bi =+(,)a b R ∈，且满足9iz i =+（其中i 为虚数单位），则a b +=____.3.某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为____分钟.4.函数()(1)3x f x a =--(1,2)a a >≠过定点________.5.等差数列{}n a （公差不为0），其中1a ，2a ，6a 成等比数列，则这个等比数列的公比为_____.6.小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为_____.7.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =,2AD =，11AA =，E 为BC 的中点，则点A 到平面1A DE 的距离是______.8.如图所示的流程图中，输出n 的值为______.9.圆22:(1)(2)4C x y ++-=关于直线21y x =-的对称圆的方程为_____.10.正方形ABCD 的边长为2，圆O 内切与正方形ABCD ，MN 为圆O 的一条动直径，点P 为正方形ABCD 边界上任一点，则PM PN ⋅的取值范围是______.11.双曲线22:143x y C -=的左右顶点为,A B ，以AB 为直径作圆O ，P 为双曲线右支上不同于顶点B 的任一点，连接PA 角圆O 于点Q ，设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若12k k λ=，则λ=_____.12.对于任意的正数,a b ，不等式222(2)443ab a k b ab a +≤++恒成立，则k 的最大值为_____.13.在直角三角形ABC 中，C ∠为直角，45BAC ∠>，点D 在线段BC 上，且13CD CB =,若1tan 2DAB ∠=，则BAC ∠的正切值为_____.14.函数22()|1|9f x x x kx =-+++在区间(0,3)内有且仅有两个零点，则实数k 的取值范围是_____.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. （本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的分别为,,a b c ，向量(2)m a =，向量(cos ,cos )n B C =，且m n ∥.（1）求角C 的大小；（2）求sin )3y A B π=-的最大值.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，O 为其中心，PAD ∆为锐角三角形，且平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点，CD DP ⊥. （1）求证：OE ∥平面PAB ； （2）求证：CD PA ⊥.17. （本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左右焦点分别为12,F F ，焦距为4，且椭圆过点5(2,)3，过点2F 且不行与坐标轴的直线l 交椭圆与,P Q 两点，点Q 关于x 轴的对称点为R ，直线PR 交x 轴于点M . （1）求1PFQ ∆的周长； （2）求1PF M ∆面积的最大值.一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD(如图所示) ,其中AD≥AB.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米3,深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元(1)求发酵池AD边长的范围;(2)在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和b米的走道(b为常数).问:发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆古地面积最小.已知{}n a ，{}n b 均为正项数列，其前n 项和分别为n S ，n T ，且112a =，11b =，22b =，当2n ≥，*n N ∈时，112n n S a -=-，2211112()2n n n n n n T T b T b b --+--=-+. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设2(2)n nn n nb ac b b +=+，求数列{}n c 的前n 项和n P .20.（本小题满分16分）设函数()ln f x x ax =-，a R ∈，0a ≠. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()0f x =有两个零点1x ，2x （12x x <）. （Ⅰ）求a 的取值范围； （Ⅱ）求证：12x x ⋅随着21x x 的增大而增大.附加题，共40分21．【选做题】本题包括A ，B 两小题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知a ，b R ∈，矩阵A ＝ a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值5的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，点P (﹣2，1)在A 对应的变换作用下得到点P ′(﹣1，2)，求矩阵A ．B ．选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1：4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（其中θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为cos()3πρθ-=，设曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，求AB 的长．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，矩形ABCD 所在的平面垂直于平面AEB ，O 为AB 的中点, ∠AEB ＝90°，∠EAB ＝30°，AB ＝AD ＝3．（1）求异面直线OC 与DE 所成角的余弦值； （2）求二面角A —DE —C 的正弦值．23．（本小题满分10分）对于任意的x ＞1，N n *∈，用数学归纳法证明：1nx x e n ->！．。
江苏省无锡市2019届高三上学期期末调研考试数学试题(word版,含参考答案)
无锡市普通高中2018年秋学期高三期终调研考试卷数 学2019．01命题单位：滨湖区教育研究发展中心 制卷单位：无锡市教育科学研究院注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为160分．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．设集合A ＝{}0x x >，B ＝{}21x x -<<，则A B ＝ ．2．设复数z 满足(1i)13i z +=-（其中i 是虚数单位），则z 的实部为 ．3．有A ，B ，C 三所学校，学生人数的比例为3：4：5，现用分层抽样的方法招募n 名志愿者，若在A 学校恰好选出9名志愿者，那么n＝ ．4．史上常有赛马论英雄的记载，田忌欲与齐王赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为 ．5．执行如图的伪代码，则输出x 的值为 ．6．已知x ，y 满足约束条件10200x y x y x -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则z x y =+的取值范围是 ．7．在四边形ABCD 中，已知AB 2a b =+，BC 4a b =--，CD 53a b =--，其中a ，b 是不共线的向量，则四边形ABCD 的形状是 ．8．以双曲线22154x y -=的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是 ． 9．已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则该圆锥的体积等于 ．10．设公差不为零的等差数列{}n a 满足37a =，且11a -，21a -，41a -成等比数列，则10a 等于 ．11．已知θ是第四象限角，且cos θ＝45，那么sin()4cos(26)πθθπ+-的值为 ． 12．已知直线(2)(0)y a x a =+>与函数cos y x =的图像恰有四个公共点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，C(3x ，3y )，D(4x ，4y )，其中1234x x x x <<<，则441tan x x +＝ ．13．已知点P 在圆M ：22()(2)1x a y a -+-+=上，A ，B 为圆C ：22(4)4x y +-=上两动点，且AB ＝PA PB ⋅的最小值是 ．14．在锐角三角形ABC 中，已知2sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C ，则111tan A tan B tan C++的最小值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本题满分14分）在△ABC 中，设a ，b ，c 分別是角A ，B ，C 的对边，已知向量m ＝(a ，sinC ﹣sinB)，n ＝(b ＋c ，sinA ＋sinB)，且m //n ．（1）求角C 的大小；（2）若c ＝3，求△ABC 周长的取值范围．16．（本题满分14分）在四棱锥P —ABCD 中，锐角三角形PAD 所在平面垂直于平面PAB ，AB ⊥AD ，AB ⊥BC ．（1）求证：BC//平面PAD ；（2）平面PAD ⊥平面ABCD ．。
2019-2020学年 无锡市 高三上数学期末 试卷
绝密⋆启用前江苏省无锡市2019∼2020学年度第一学期期末考试试卷高三数学2020.01一.填空题（本⼤题共14小题，每小题5分，共计70分)1.集合A ={x |x =2k −2.已知复数z =a +b i (a ,3.某校高二(4)用时为8分钟，还有4.函数f (x )=(a −1)x −5.等差数列{an }(比为.6.7.在长方体ABCD −A 1则点A 到平面A 1DE 8.9.圆C :(x +1)2+(y −210.正方形ABCD 直径，点P 为正方形11.双曲线C :x 24−y 23=支上不同于顶点B 别为k 1,k 2,若k 1=λk 12.对于任意的正数a ,b ,值为.13.在Rt △ABC 中，C 3.14.函数f (x )= x 2−1 +x 2+kx +9在区间(0,3)内有且仅有两个零点，则实数k 的取值范围是.二.解答题（本⼤题共6小题，共90分，解答时应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤）15.(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,向量m =(2a −√3b ,√3c ),向量n =(cos B ,cos C )且m n .(1)求角C 的大小；(2)求y =sin A +√3sin (B −π3)的最大值.16.(本小题满分14分)在四棱锥P −ABCD 中，底面四边形ABCD 是平行四边形，O 为其中心，△PAD 为锐角三角形，且平面PAD ⊥底面ABCD ,E 为PD的中点，CD ⊥DP .(1)求证：OE平面PAB ;(2)求证：CD ⊥PA .17.(本小题满分14分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1、且椭圆过点(2,52),过点F 2且不平行于坐标轴的直线l 点，点Q 关于x 轴的对称点为R ,直线PR 交x 轴于点M .(1)求△PF 1Q 的周长；(2)求△PF 1M 面积的最大值.18.(本小题满分14分)一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ 馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD (示),其中AD ⩾AB .结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为米3,深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150酵池造价总费用不超过65400元.(1)求发酵池AD 边长的范围；(2)在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和b 道(b 为常数).最小.19.(本小题满分14分)已知{a n },{b n }均为正项数列，其前n 项和分别为S n ,T n ,且a 1=12,b 1=1,b 2=2,当n ⩾2,n ∈N ∗时，S n −1=1−2a n ,b n =2(T 2n −T 2n −1)b n +1+b n −1−n −1(1)求数列{a n },{b n }的通项公式；(2)设c n =(b n +2)b 2n +b n{c n }的前n 项和P n .20.(本小题满分14分)设函数f(x)=ln x−ax,a∈R,a=0.(1)求函数y=f(x)的单调区间；(2)若函数y=f(x)有两个零点x1,x2(x1<x2).1求实数a的取值范围；2求证：x1·x2随着x2x1的增大而增大.。
江苏省无锡市2019学高三第一学期期末复习数学试题
江苏省无锡市2021— 2021 学年第一学期期末复习试卷高三数学一、填空题〔本大题共14 小题，每题 5 分，共计70 分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡．．．相应的位置上．〕．．．．．．1．集合 A＝ { a2，a 1， 3 }，B＝{ a 3 ， 2a 1 ，a21}，假设A I B＝{﹣3}，那么a的值是．2．复数 z 满足1 i 1，那么复数z的共轭复数 z＝．iz3．如图是甲、乙两位射击运发动的5 次训练成绩〔单位：环〕的茎叶图，那么甲与乙的方差和为．4．实数x，y (0 ， 1) ，三角形ABC三边长为x， y， 1，那么三角形ABC是钝角三角形的概率是．5．为了在运行下面的程序之后得到输出y＝ 25，键盘输入x 应该是．6．在体积为9 的斜三棱柱ABC— A1B1C1中， S 是 C1C 上的一点， S—ABC的体积为2，那么三棱锥S— A1B1C1的体积为．x 2y 2 0x 3y 4，那么实数 m的取值范围为7．实数 x， y 满足2x y 4 0 ，且m ．x 1y x 18．设函数f (x) Asin( x ) 〔其中A，，为常数且 A＞ 0，＞ 0，〕的局部图象如2 2图所示，假设 f ( ) 6〕，那么 f ( ) 的值为．〔 05 2 69．在斜△ ABC中，假设1 10 ，那么tan C的最大值是．tanAtanCtanB10．函数 f ( x) x 1， x R ．那么不等式f( x2 2x) f (3x 4) 的解集是．x 111．如图，平行四边形ABCD中， E， M分别为 DC的两个三等分点，F，N 分别为 BC的两个三等分点，uuur uuur uuuur uuur uuur 2 uuur 2AE AF 25 ， AM AN 43 ，那么 AC BD ＝．12．数列a n的前n项和为 S n， a1 1， a2 2 且 S n 2 3S n 1 2S n a n 0 〔 n N 〕，记T n 1 1 1〔 n N 〕，假设 (n 6) T n对 n NS1 S2L 恒成立，那么的最小值为．S n13．在平面直角坐标系xOy 中，点 A(m，0) ，B(m＋ 4， 0) ，假设圆 C：x2 ( y 3m)2 8 上存在点P，使得∠ APB＝45°，那么实数m的取值范围是．14． a， b∈ R，e 为自然对数的底数．假设存在b∈ [ ﹣3e，﹣ e2] ，使得函数 f (x) ＝e x﹣ax－b在[1，3] 上存在零点，那么 a 的取值范围为．二、解答题〔本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题纸指定区域内作答，解容许写出文字说明，证明过程．．．．．．．或演算步骤．〕15．〔此题总分值 14分〕在△ ABC中，角 A，B， C 所对的边分别为a， b，c，且3b sinA a cosB．〔 1〕求角 B；〔 2〕假设b3 ， sinC 3 sin A ，求 a ， c ．16．〔本小题总分值14 分〕如图，在直四棱柱P ABCD 中，ADB 90o，CB CD ．点E为棱PB的中点．〔 1〕假设PB PD ，求证：PC BD ；〔 2〕求证：CE // 平面PAD．17．〔此题总分值14 分〕如图，有一块半圆形的空地，政府方案在空地上建一个矩形的市民活动广场ABCD及矩形的停车场EFGH，剩余的地方进行绿化，其中半圆的圆心为O，半径为r ，矩形的一边AB 在直径上，点C， D， G，H 在圆周上，E， F 在边 CD上，且∠ BOG＝60°，设∠ BOC＝．H GDCE FA O B〔 1〕记市民活动广场及停车场的占地总面积为 f ( ) ，求 f ( ) 的表达式；〔 2〕当 cos为何值时，可使市民活动广场及停车场的占地总面积最大．18．〔此题总分值16 分〕在平面直角坐标系 xOy 中，设椭圆 C：x2 y2 1〔a＞b＞0〕的下顶点为A，右焦点为 F，离心率为3．已a2 b2 2知点 P 是椭圆上一点，当直线AP经过点 F 时，原点 O到直线 AP 的距离为 3 ．2〔 1〕求椭圆 C 的方程；〔 2〕设直线AP与圆O：x2 y 2 b2相交于点M〔异于点A〕，设点M关于原点O的对称点为N，直线AN与椭圆相交于点Q〔异于点A〕．①假设|AP| ＝ 2|AM| ，求△APQ的面积；②设直线MN的斜率为k1，直线PQ的斜率为 k2，求证：k1是定值．k219．〔此题总分值16 分〕设函数 f (x) 1 ax2 1 ln x ，其中a R．2〔 1〕假设 a＝ 0，求过点 (0 ，﹣ 1) 且与曲线y f ( x) 相切的直线方程；〔 2〕假设函数f ( x)有两个零点x1，x2．①求 a 的取值范围；②求证： f (x1) f ( x2 ) 0．20．〔此题总分值 16分〕各项均为正数的数列a n 满足， a 1 ， aa n 2 2a n， n N ．n 11 a n 1〔 1〕当2，0 时，求证：数列a n 为等比数列；〔 2〕假设数列a n 是等差数列，求的值；〔 3〕假设1，为正常数，无穷项等比数列b n满足a1 b n a n，求b n 的通项公式．参考答案1．﹣ 1 2 ． z 1 i 3． 4 ． 1 5．± 6 6 ． 127． [2 ， 7] 8 ．43 3 9．2 2 10．(1,2) 11 ． 90 12 ．15 613．[ 2 19 4, 2] 14 ． [ e2 , 4e]5 15．〔 1〕在ABC 中，由正弦定理a bsin AcosB ．sin A，得 3sin B sin Asin B又因为在ABC 中sin A 0 ．所以 3 sin B cosB ．法一：因为0 B ，所以 sin B 0 ，因而 cosB 0．所以 tan Bsin B 3cos B ，3所以B6．法二： 3 sin B cosB 0 即2sin( B ) 0 ，6所以 B6k (k Z ) ，因为0 B ，所以 B6 ．a c〔 2〕由正弦定理得sin A，sin C而 sin C 3sin A ，所以 c 3a ，①由余弦定理 b2 a2 c2 2ac cos B ，得 9 a2 c2 2ac cos ，6 即 a2 c2 3ac 9 ，②把①代入②得 a 3， c 3 3 .16．证明：〔 1〕取BD的中点O，连结CO，PO，因为CD CB ，所以CBD 为等腰三角形，所以BD CO . 因为PB PD ，所以PBD 为等腰三角形，所以BD PO . 又PO I CO O ，所以BD平面 PCO .因为 PC平面PCO，所以PC BD .（2〕由E为PB中点，连EO，那么EO //PD，又 EO 平面PAD，所以 EO / / 平面PAD.由ADB 90 ，以及BD CO ，所以CO / / AD ，又 CO 平面PAD ，所以CO / / 平面PAD .又 CO I EO O ，所以平面CEO / / 平面PAD ，而 CE 平面CEO ，所以CE / / 平面PAD .17．解：〔1〕过点G 作 GM AB 于点M ，连接OH .∵GOB 60 ，∴ GM OG sin 60 3 r . 2又BOC ，∴ BC r sin ， OB r cos ，∴ GF GM BC3r r sin ，2由对称性：AB 2OB2r cosHOA GOB 60 .∴HOG 60 ，那么 OHG 为等边三角形，∴GH OG r .∴ S矩形ABCDAB BC (2r cos ) r sin2r 2 sin cos .S矩形EFGH =GH GF r (3 r2r sin )3r 2 r 2 sin .2∴f ( )S矩形ABCDS 矩形EFGH=2r 2 sin cos3 r 2 r 2 sin (0) .23〔 2〕由〔 1〕得： f ( ) r 2(2sincos sin3) ，2∴ f '( )r 2 (2cos 22sin 2cos )r 2 (4cos 2 cos 2)令 f '( )0 ，那么 4cos 2cos 2 0 ，cos1 33 ，8∵(0, ) ，即 cos ( 1,1) ，32133∴ cos . 8令 01 33 (0, ) ， cos 0.38(0, 0 )f '( )+f ( )Z∴ f ( )max f ( 0 ) .( 0 , 3 )0 -极大值]133答：当 cos 时，可使市民活动广场及停车场的占地总面积最大.818. 解：〔1〕据题意，椭圆 C 的离心率为3 ，即 c3 . ①2 a2当直线 AP 经过点 F 时，直线 AP 的方程为xy 1，即 ax cy ac 0 ，ca 由原点 O 到直线 AF 的距离为3，可知 ac3 ，2a 2 c 22即ac3. ③a 2 c 22联立①②可得，a 2， c3 ，故 b 2 a 2 c 2 1 .所以椭圆 C 的方程为x 2y 21.4〔 2〕据题意，直线 AP 的斜率存在，且不为0，设直线 AP 的斜率为 k ，那么直线 AP 的方程为 y kx1 ，联立x 2 y 2 1，整理可得 (1 4k 2 )x 2 8kx 0 ，所以 x0 或 x8k .44k 218k4k所以点 P 的坐标为 (,14k 24k2 21 ) ， 1联立 y kx1 和 x2 y 21，整理可得 (1 k 2 ) x 2 2kx 0 ，所以 x0 或 x2k .1 k 2所以点 M 的坐标为 ( 2k, k21) .1 k2 k 2 1显然， MN 是圆 O 的直径，故 AM AN ，所以直线 AN 的方程为 y1 x 1.k84118k 4 k 2kk 2k ，得点 Q 的坐标为 (,) ，即 Q() . 用代替 2, k 2k4 1 41k4 4k 2k 2①由 AP2 AM 可得， x P 2x M ，即8k2k ，4k 221 1 k 2解得 k2.2根据图形的对称性，不妨取k2，2那么点 P ， Q 的坐标分别为(4 2 , 1) ， ( 8 2 , 7 ) ，339 9故 AP4 3AQ8 63，9 .所以 APQ 的面积为 1APAQ1 4 3 8 6 162 .22 3 99②证明：直线MN 的斜率 k 1 kOMk 2 1 k 2 1 k 2 1 ，k 2 1 2k2k4k 2 1 4k 2k 2 1 .直线 PQ 的斜率 k 24k 2 1 4 k 28k 8k 5k1 4k2 k 24所以k 1k 215k5为定值，得证 .k 2 2kk 2 1 219. 解：〔1〕当 a0时， f (x)1 ln x ， f '(x) 1，x设切点为T ( x 0 , 1ln x 0 ) ，那么切线方程为：y 1 ln x 01( x x 0 ) .x 0因为切线过点 (0, 1) ，所以 1 1 ln x 01(0 x 0 ) ，解得 x 0 e .x 0所以所求切线方程为y1 x 1.e〔 2〕① f '(x)ax1 ax2 10 .xx ， x〔 i 〕假设 a 0 ，那么 f '( x)0 ，所以函数 f ( x) 在 (0, ) 上单调递减，从而函数 f ( x) 在 (0,) 上至多有 1 个零点，不合题意 .〔 ii〕假设 a0 ，由 f '(x)0 ，解得 x 1 .a当 0x1 时， f '( x) 0 ，函数 f ( x) 单调递减；当 x1 时， f '( x) 0 ， f ( x) 单调递增，aa所以 f ( x)minf ( 1 ) 1 ln 1 11 ln 1 .a 2 a 2a要使函数 f ( x) 有两个零点，首先1 ln 10，解得 0 a e .2 a当 0a e 时，11 1 .ae e因为 f (1)a 0 ，故 f ( 1) f ( 1) 0.e2e 2 e a又函数 f (x) 在 (0, 1 ) 上单调递减，且其图象在(0,1) 上不间断，aa所以函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内恰有 1 个零点 .a考察函数 g( x)x 1 ln x ，那么 g'( x)11 x 1 .xx当 x (0,1) 时， g '(x) 0，函数 f ( x) 在 (0,1) 上单调递减；当 x(1, ) 时， g '( x) 0 ，函数 g ( x) 在 (1,) 上单调递增， 所以 g(x)g(1) 0 ，故 f ( 22 20 .)1 lna aa20. 解：〔1〕2 ，0 时， a n 12a n 2 2a n 2a n ，又 a n 0 ，a n1所以an 12 .a n所以数列 { a n } 是以 1 为首项， 2 为公比的等比数列 .〔 2〕因为 { a n } 为等差数列，那么可设a n anb ，an 1a n 2 2a n成立 .a n 1那么 (anab)(an b 1)(an b)2 2(an b)，那么 a 2 (1 )n 2 [ a 2 2(1 )aba]n ab (1)b 2a b0(*) ，对任意 nN * 成立 .记 a 2 (1)A ， a 2 2(1)ab aB ， ab (1 )b 2a bC ，A B C 0令 n 1,2,3 ，那么4 A 2B C 0 ，所以 A B C 0 ，9 A 3B C 02) ①a (1即2②.a2(1 )ab a 0ab (1 )b 2ab ③由①得： a 0 或1 ，当 a0 时，②成立，因为 a 1a b 1，所以 b 1 ，由③得：0 ；此时 an 1 a n 2 2a n ，所以 a1a n 2 a n1 ( a n1)(a n1)，a n 1n 1a n 1a n 1所以 n2 时， a n 1an 11 1(a n 1 1)an 11 a 11(a 1 1) 0 ，an 1a n 1 1a 1 1所以 a n1，满足：当1时，由②得：a 2 a 0 ，所以 a0 ，或 a 1，假设 a 0 ，由上知， b 1 ，0 ；当 a1 时，因为 a 1 a b 1 ，所以 b0 ，由③得：1，a 2 a11时， a n 1n na n 1 ，a n 1所以数列 { a n } 是首项为 1，公差为 1 的等差数列；综上，数列 { a n } 是等差数列，那么0 或2 ；〔 3〕对任意的 n N * ， a 1 b n a n ，所以 a 1 b n a 1 ，所以 b 1 a 1 1 ， 设数列 {b } 的公比为q ，因为 ab ，所以1 n 1，所以q 1 .n1nqa n 1a n 2 2a na na n，a n 1a n1a n 0 ，所以当 01时， a n1，a n 1当1 时，a n，a n1令 1 和 中较大的数为0 ，那么 a n1a n，所以 b na n a n 1 0... a 1 (n 1) 0 0 n 1 0 ，即 qn 1n10 ，当 q 1时，(n1)ln qln( 0 n10 )，设 f (x)ln xx，那么f(x)1 12 x0 ，那么x 4 ，x 2 x2x ，令 f ( x)0 x 4 时， f (x) 0 ， f (x) 在 (0, 4) 上单调递增，x4时， f( x) 0 ， f (x) 在 (4,) 上单调递减，所以 f ( x)max f (4) ln 4 2 0 ，所以 f ( x) f ( x)max 0 ，即 ln x x ，所以对任意的 n N *， ( n1)ln q ln( 0 n 1)0n 1 0 ，所以 ln 2 q(n 1)20 (n 1) 1 0 ，当 n10 24ln 2 q1 0 0 24ln 2 q2ln 2 q，即 n2ln 2 q时，ln 2 q( n 1)20 ( n1) 1 0 不成立，当 q1时，b n 1 ，a n 1 a n22a na na 0a n ，a n 1a 0 1所以数列 { a n } 单调递增，所以 a 1 b na n 成立，综上b n 1.因为21 2 a 0 ，故 21 . aa aaa因为 f ( 1)f ( 2) 0 ，且 f ( x) 在 ( 1,) 上单调递增， 其图象在 ( 1,) 上不间断， 所以函数 f ( x)aa aa在区间 ( 1 , 2 ] 上恰有 1 个零点，即在 ( 1,) 上恰有 1 个零点 .a aa综上所述， a 的取值范围是 (0, e) .ax 12 ②由 x 1 ， x 2 是函数 f ( x) 的两个零点〔不妨设 x 1x 2 〕，得2 1ax 2 221 ln x 1 0，1 ln x2 0两式相减，得 1a( x 1 2 x 22) lnx10 ，即 1a( x 1 x 2 )( x 1x 2 ) lnx 10 ，2x 22x 22lnx 1所以a(x 1x 2 )x 1 x2.x 2f '(x 1 ) f '( x 2 ) 0 等价于 ax 11 ax 21 ，即 a(x 1 1 1x 1 0x 2 ) 0 ，x 2x 1 x 22lnx 11 1x 1x 2 x 1即：x 20 .x 2x 1，即2lnx 2x 1 x 2x 1 x 2设h( x) 2ln x1 x ， x2 1 1(x 1)2 0 ，x (0,1) ，那么 h '( x)x 2x 2x所以函数 h(x) 在 (0,1) 单调递减，所以 h(x) h(1) 0 .因为 x 1(0,1) ，所以 2lnx 1x 2 x 1 0 ，x 2x 2x 1 x 2即 f '( x 1 ) f '( x 2 ) 0 成立 .。
2019-2020学年江苏省无锡市高三(上)期末数学试卷
2019-2020学年江苏省无锡市高三（上）期末数学试卷一、填空题（共14小题）1.集合A＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}，B＝{1，2，3，4}，则A∩B＝．2.已知复数z＝a+bi（a，b∈R），且满足iz＝9+i（其中i为虚数单位），则a+b＝﹣．3.某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为分钟．4.函数f（x）＝（a﹣1）x﹣3（a＞1，a≠2）过定点﹣．5.等差数列{a n}（公差不为0），其中a1，a2，a6成等比数列，则这个等比数列的公比为．6.小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为．7.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝1，E为BC的中点，则点A到平面A1DE的距离是．8.如图所示的流程图中，输出n的值为．9.圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝4关于直线y＝2x﹣1的对称圆的方程为﹣．10.正方形ABCD的边长为2，圆O内切与正方形ABCD，MN为圆O的一条动直径，点P为正方形ABCD边界上任一点，则的取值范围是．11.双曲线C：＝1的左右顶点为A，B，以AB为直径作圆O，P为双曲线右支上不同于顶点B的任一点，连接P A交圆O于点Q，设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，若k1＝λk2，则λ＝﹣．12.对于任意的正数a，b，不等式（2ab+a2）k≤4b2+4ab+3a2恒成立，则k的最大值为．13.在直角三角形ABC中，∠C为直角，∠BAC＞45°，点D在线段BC上，且CD＝CB，若tan∠DAB＝，则∠BAC的正切值为．14.函数f（x）＝|x2﹣1|+x2+kx+9在区间（0，3）内有且仅有两个零点，则实数k的取值范围是﹣﹣．二、解答题（共10小题）15.在△ABC中，角A，B，C所对的分别为a，b，c，向量，向量，且．（1）求角C的大小；（2）求y＝sin A+的最大值．16.在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，O为其中心，△P AD为锐角三角形，且平面P AD⊥底面ABCD，E为PD的中点，CD⊥DP．（1）求证：OE∥平面P AB；（2）求证：CD⊥P A．17.已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为4，且椭圆过点，过点F2且不平行与坐标轴的直线l交椭圆与P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为R，直线PR交x轴于点M．（1）求△PF1Q的周长；（2）求△PF1M面积的最大值．18.一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD（如图所示），其中AD≥AB．结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米3，深2米．若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元（1）求发酵池AD边长的范围；（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和b米的走道（b为常数）．问：发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小．19.已知{a n}，{b n}均为正项数列，其前n项和分别为S n，T n，且a1＝，b1＝1，b2＝2，当n≥2，n∈N*时，S n﹣1＝1﹣2a n，b n＝﹣2T n﹣1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n＝，求数列{c n}的前n项和P n．20.设函数f（x）＝lnx﹣ax，a∈R，a≠0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）＝0有两个零点x1，x2（x1＜x2）．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）求证：x1•x2随着的增大而增大．21.已知a，b∈R，矩阵A＝，若矩阵A属于特征值5的一个特征向量为，点P（﹣2，1）在A对应的变换作用下得到点P′（﹣1，2），求矩阵A．22.已知曲线C1：，（其中θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，设曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求AB的长．23.如图，矩形ABCD所在的平面垂直于平面AEB，O为AB的中点，∠AEB＝90°，∠EAB＝30°，AB＝，AD＝3．（1）求异面直线OC与DE所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣DE﹣C的正弦值．24.对于任意的x＞1，n∈N*，用数学归纳法证明：e x﹣1＞．2019-2020学年江苏省无锡市高三（上）期末数学试卷参考答案一、填空题（共14小题）1.【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：因为2k﹣1，k∈Z表示为奇数，集合A＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}，B＝{1，2，3，4}，故A∩B＝{1，3}．故答案为：{1，3}．【知识点】交集及其运算2.【分析】把z＝a+bi两边同乘i，得到iz，结合iz＝9+i利用复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：由z＝a+bi，得iz＝ai+bi2＝﹣b+ai＝9+i，∴a＝1，b＝﹣9，则a+b＝﹣8．故答案为：﹣8．【知识点】复数代数形式的乘除运算3.【分析】直接利用平均数的计算公式求解即可．【解答】解：因为：有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟；所以：平均用时：，故答案为：7.5．【知识点】众数、中位数、平均数4.【分析】利用指数函数的性质即可求解．【解答】解：令x＝0得：f（0）＝1﹣3＝﹣2，∴函数f（x）恒过定点（0，﹣2），故答案为：（0，﹣2）．【知识点】指数函数的单调性与特殊点5.【分析】本题先设等差数列{a n}的公差为d，则有a2＝a1+d，a6＝a1+5d．然后根据等比中项的性质有，代入整理可得d＝3a1，再通过q＝即可算出等比数列的公比．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则a2＝a1+d，a6＝a1+5d．依题意，，即整理得d＝3a1，∴a2＝a1+d＝4a1，∴q＝．故答案为：4．【知识点】等差数列与等比数列的综合6.【分析】基本事件总数n＝＝6，抽到的2道题小李都会包含的基本事件m＝＝3，由此能求出抽到的2道题小李都会的概率．【解答】解：小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，基本事件总数n＝＝6，抽到的2道题小李都会包含的基本事件m＝＝3，则抽到的2道题小李都会的概率为P＝．故答案为：．【知识点】古典概型及其概率计算公式7.【分析】利用等体积法，转化求解点A到平面A1DE的距离即可．【解答】解：，，解得．故答案为：．【知识点】点、线、面间的距离计算8.【分析】根据流程图的顺序一步一步走，注意对数的运算．【解答】解：模拟程序的运行，可得S＝1，n＝1；S＝1+log2＝0，n＝2；S＝0+log2，n＝3；S＝，n＝4；S≤﹣1．跳出循环，输出结果，n＝4，故答案为：4【知识点】程序框图9.【分析】求关于直线对称的圆，只需要圆心关于直线对称即可，半径相同，直线为两个圆的圆心的中垂线，求出圆心的对称点即可．【解答】解：圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝4的圆心为（﹣1，2），关于y＝2x﹣1对称点设为（x，y），则有：，解得，所以对称后的圆心为（3，0），故答案为：（x﹣3）2+y2＝4．【知识点】圆的标准方程、关于点、直线对称的圆的方程10.【分析】由＝，即可得解．【解答】解：作图如下，＝，又，故，故，即的取值范围是[0，1]．故答案为：[0，1]．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律11.【分析】利用已知条件推出直线的斜率的关系式，然后求解λ的值即可．【解答】解：双曲线C：＝1的左右顶点为A，B，以AB为直径作圆O，P为双曲线右支上不同于顶点B的任一点，连接P A交圆O于点Q，设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，若k1＝λk2，可得：，，故答案为：．【知识点】双曲线的简单性质12.【分析】通过变形，换元可得，接下来只需求出在（1，+∞）上的最小值即可．【解答】解：依题意，，令，则，令μ＝2t+1＞1，则，而函数在（1，+∞）上的最小值为，故，即k的最大值为．故答案为：．【知识点】不等式恒成立的问题13.【分析】作出图象，根据题设条件得出各边的关系，利用正切的差角公式即可求解．【解答】解：设AC＝x，BC＝3t，由∠BAC＞45°可知，tan∠BAC＝，，令，即，解得m＝1或，则tan∠BAC＝3或tan∠BAC＝1（舍），故tan∠BAC＝3．故答案为：3．【知识点】三角形中的几何计算14.【分析】分段函数，由两个零点分别讨论k的取值不同零点的区间也不同．【解答】解：f（x）＝0（x∈（0，3）可得：﹣k＝＝如图所示：由两个零点的范围满足8＜﹣k，所以k∈（﹣，﹣8）故答案为：（﹣，﹣8）．【知识点】函数的零点与方程根的关系二、解答题（共10小题）15.【分析】（1）根据向量共线以及正弦定理得到sin A＝2sin A cos C；再结合三角形中教的范围即可求解；（2）利用（1）的结论整理得到y＝2sin（A+）；再结合角A范围即可求解．【解答】解：（1）由，得c cos B﹣（2a﹣b）cos C＝0；由正弦定理得：sin C cos B﹣（2sin A﹣sin B）cos C＝0；∴（sin C cos B+sin B cos C）＝2sin A cos C；∴sin（B+C）＝sin A＝2sin A cos C；∵sin A≠0；∴cos C＝；又C∈（0，π）；∴C＝；（2）由（1）知A+B＝π﹣C＝，所以B﹣＝﹣A，A；所以y＝sin A+＝y＝sin A+sin（﹣A）＝sin A+＝2sin（A+）；∵A；∴A+∈（，）；∴A+＝即A＝时，y取最大值2．【知识点】两角和与差的余弦函数、正弦定理16.【分析】（1）连结BD，则O是BD中点，从而OE∥PB，由此能证明OE∥平面P AB．（2）作PH⊥AD于H，则PH⊥平面ABCD，从而CD⊥平面P AD，由此能证明CD⊥P A．【解答】证明：（1）连结BD，∵ABCD是平行四边形，O为其中心，∴O是BD中点，∵E是PD中点，∴OE∥PB，∵PB⊂平面P AB，OE⊄平面P AB，∴OE∥平面P AB．（2）作PH⊥AD于H，∵平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，PH⊥AD，PH⊂平面P AD，∴PH⊥平面ABCD，又CD⊥PD，PD∩PH＝P，∴CD⊥平面P AD，∵P A⊂平面P AD，∴CD⊥P A．【知识点】直线与平面垂直的判定、直线与平面平行的判定17.【分析】（1）根据椭圆定义求出a，代入即可；（2）设直线l：x＝my+2，P（x1，y1），Q（x2，y2），椭圆的方程为，求出M坐标，联立解方程求出x1y2+x2y1＝2my1y2+2（y1+y2）＝，利用面积公式求出即可．【解答】解：（1）设椭圆C的焦距为2c，则2c＝4，c＝2，F1（﹣2.0），F2（2，0），且椭圆过点A，由椭圆的定义2a＝AF1+AF2＝6，故a＝3，所以，△PF1Q的周长为4a＝12；（2）由（1）知，b2＝9﹣4＝5，故椭圆的方程为，设直线l：x＝my+2，P（x1，y1），Q（x2，y2），则R（x2，﹣y2），直线PR：，得M（，0），联立，消去x，得（5m2+9）y2+20my﹣25＝0，，，x1y2+x2y1＝2my1y2+2（y1+y2）＝，所以•|y1|＝，当且仅当P在短轴顶点处取得等号，故△PF1M面积的最大值为．【知识点】椭圆的简单性质18.【分析】本题第（1）题先根据题意有长方形ABCD的面积S＝＝225米2，然后设AD＝x米，则AB＝米，初步得到x的取值范围，设发酵池造价总费用为f（x），列出f（x）的表达式，然后根据题意得到发酵池AD边长的范围；第（2）题设发酵馆的占地面积为S（x），列出S（x）的表达式，再对S（x）求导，然后通过单调性分析找到S（x）的最小值，注意要对b进行分类讨论．【解答】解：（1）由题意，长方形ABCD的面积S＝＝225米2，设AD＝x米，则AB＝米．则x＞＞0，解得x≥15．设发酵池造价总费用为f（x），则f（x）＝225×200+150×2•（2x+）＝600（x+）+45000＜65400．解得9≤x≤25，又x≥15，故x∈[15，25]．（2）由题意，可设发酵馆的占地面积为S（x），则S（x）＝（x+8）（+2b）＝2bx++16b+225，x∈[15，25]．S′（x）＝，x∈[15，25]．①当b≥4时，S′（x）≥0．即S（x）在[15，25]上单调递增，此时当x＝15时，发酵馆的占地面积S（x）最小，即AB＝AD＝15米时，发酵馆的占地面积最小；②当0＜b≤时，S′（x）≤0．即S（x）在[15，25]上单调递减，此时当x＝25时，发酵馆的占地面积S（x）最小，即AD＝25米，AB＝9米时，发酵馆的占地面积最小；③当＜b＜4时，有当15≤x＜时，S′（x）＜0，S（x）单调递减；当＜x≤25时，S′（x）＞0，S（x）单调递增．当x＝＝时，S′（x）＝0，S（x）取得极小值．即AD＝，AB＝时，发酵馆的占地面积最小．【知识点】根据实际问题选择函数类型19.【分析】本题第（1）题由S n﹣1＝1﹣2a n可得S n＝1﹣2a n+1，两式相减可发现数列{a n}成等比数列，则通过计算可得出通项公式，而b n＝﹣2T n﹣1＝T n﹣T n﹣1，通过整理化简，再根据等差中项的性质，可知数列{b n}成等差数列，通过计算也可得出通项公式．第（2）题先对数列{c n}的一般项化简整理后进行裂项，在求和时相消可得到前n项和P n．【解答】解：（1）由题意，S n﹣1＝1﹣2a n，则有S n＝1﹣2a n+1，两式相减，整理得a n+1＝a n，（n≥2）．当n＝2时，S1＝a1＝＝1﹣2a2，解得a2＝＝a1．∴数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列．∴a n＝，n∈N*．又∵b n＝﹣2T n﹣1＝T n﹣T n﹣1，n≥2．整理，得＝＝T n+T n﹣1，n≥2．∵b n＞0，∴T n＞0．∴＝1，n≥2．即2b n＝b n+1+b n﹣1，n≥2．根据等差中项的性质，可知数列{b n}成等差数列．∵b1＝1，b2＝2，∴d＝b2﹣b1＝2﹣1＝1．∴数列{b n}是以1为首项，1为公差的等差数列．∴b n＝n，n∈N*．（2）由（1），得c n＝＝•＝﹣，根据累加法，可得：P n＝c1+c2+…+c n＝（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝1﹣．【知识点】数列递推式、数列的求和20.【分析】（1）结合导数与单调性的关系，对a进行分类讨论，结合导数的符号可判断函数的单调性，（2）（Ⅰ）结合导数与单调性的关系及零点判定定理可求a的范围，（Ⅱ）由题意构造函数，然后转化为证明函数的单调性．【解答】解：（1）∵f（x）＝lnx﹣ax，∴f′（x）＝﹣a，当a＜0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，函数f（x）在（0，+∞）单调递增，当a＞0时，由f′（x）＞0可得，x，此时f（x）单调递增，由f′（x）＜0可得，x，此时函数单调递减，综上可得，a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），当a＞0时，函数的递增区间（0，），单调递减区间为（）；（2）（Ⅰ）由（1）可知，a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），最多一个零点，不符合题意，当a＞0时，若使得f（x）有两个零点，则f（x）max＝f（）＝﹣lna﹣1＞0，解可得0＜a＜，∵f（1）＝﹣a＜0，且1，∴存在x1使得f（x1）＝0，又因为f（）＝﹣2lna﹣，设g（a）＝﹣2lna﹣，a，则g′（a）＝＞0，故g（a）单调递增，所以g（a）＝2﹣e＜0，即f（）＜0，∵，所以存在使得f（x2）＝0，综上可得，a，（Ⅱ）由题意可得，lnx1﹣ax1＝lnx2﹣ax0＝0，∴，∵x1＜x2，∴＞1，令t＝＞1，则x2＝tx1，∴＝，解可得，lnx1＝，∴lnx2＝lnt+lnx1＝，所以ln（x1x2）＝，设h（t）＝，t＞1，则h′（t）＝，令H（t）＝t﹣﹣2lnt，t．＞1，则H′（t）＝1+＝＞0，∴H（t）单调递增，H（t）＞H（1）＝0，则h′（t）＞0，故h（t）单调递增，即ln（x1x2）随着＝t的增大而增大，所以x1•x2随着的增大而增大．【知识点】利用导数研究函数的单调性21.【分析】推导出＝5＝，且＝，由此能求出矩阵A．【解答】解：∵a，b∈R，矩阵A＝，矩阵A属于特征值5的一个特征向量为，点P（﹣2，1）在A对应的变换作用下得到点P′（﹣1，2），∴＝5＝，且＝，∴，解得，∴矩阵A＝．【知识点】矩阵与矩阵的乘法的意义22.【分析】首先把方程进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．【解答】解：曲线C2的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为：．曲线C1：，（其中θ为参数），转换为直角坐标方程为x2+y2＝16．所以圆心（0，0）到直线的距离d＝．所以AB＝2＝＝4．【知识点】简单曲线的极坐标方程、参数方程化成普通方程23.【分析】（1）以O为原点，在平面ABE中过O作AB的垂线为x轴，OB为y轴，过O作AD的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线OC与DE所成角的余弦值．（2）求出平面ADE的法向量和平面DEC的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣DE﹣C的正弦值．【解答】解：（1）以O为原点，在平面ABE中过O作AB的垂线为x轴，OB为y轴，过O作AD的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，∵∠AEB＝90°，∠EAB＝30°，AB＝，AD＝3．∴BE＝，C（0，，3），D（0，﹣，3），A（0，﹣，0），E（，，0），＝（0，），＝（，，﹣3），设异面直线OC与DE所成角为θ，则cosθ＝＝＝，∴异面直线OC与DE所成角的余弦值为．（2）∵＝（0，0，3），＝（），＝（0，2，0），设平面ADE的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（﹣，1，0），设平面DEC的法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（2，0，1），设二面角A﹣DE﹣C的平面角为θ，则|cosθ|＝＝＝，∴sinθ＝＝，∴二面角A﹣DE﹣C的正弦值为．【知识点】与二面角有关的立体几何综合题、异面直线及其所成的角24.【分析】根据数学归纳法的证明步骤，先证明当n＝1时，不等式是成立，然后假设n＝k成立，即得一个不等式成立，证明当n＝k+1时，也成立即可，从而证明不等式．【解答】证明：①当n＝1时，设f（x）＝e x﹣1﹣x，x∈（1，+∞），则f'（x）＝e x﹣1﹣1＞0，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（1）＝0，即e x﹣1＞x，∴当n＝1时，原命题成立；②假设当n＝k时，对任意x∈（1，+∞），当n＝k+1时，设，则，∴g（x）在（1，+∞）上单调递增，∴，∴，由①②知，e x﹣1＞成立．【知识点】数学归纳法。
江苏省无锡市2019届高三上学期期末复习数学试题+Word版含解析 - 副本
江苏省无锡市2018—2019学年第一学期期末复习试卷高三数学一、填空题（不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．）1.集合A＝{，，}，B＝{，，}，若A B＝{﹣3}，则a的值是_．【答案】﹣1【解析】【分析】由集合有一个元素为，根据两集合的交集中元素为，得出集合中必然有一个元素为，分别令集合中的元素等于列出关于的方程，求出方程的解，经过检验即可得到的值.【详解】∵，，若，∴或或，解得或，将代入得，，此时，不合题意；将代入得，，此时，满足题意，则，故答案为.【点睛】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，注意对所求结果进行检验，属于基础题.2.复数z满足，则复数z的共轭复数＝__．【答案】【解析】【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，结合共轭复数的概念即可得最后结果.【详解】由，得，∴，故答案为.【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．3.如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则甲与乙的方差和为__．【答案】57.2【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，计算甲、乙二人的平均数与方差，求方差和即可.【详解】根据茎叶图知，甲的平均数是，方差是；乙的平均数是，方差是，∴甲与乙的方差和为，故答案为57.2．【点睛】本题考查了利用茎叶图求平均数与方差的应用问题，是基础题4.已知实数x，y(0，1)，三角形ABC三边长为x，y，1，则三角形ABC是钝角三角形的概是__．【答案】【解析】【分析】由题意知为钝角三角形时，且，构成三角形的区域为不等式且，，利用几何概型的概率公式求出对应区域的面积比即可．【详解】如图所示，由题意得构成三角形的、满足的条件为且，，其区域为，其面积为，若为钝角三角形，则，且；其区域为阴影部分，∴，∴所求的概率值为，故答案为.【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，同时考查了不等式组表示平面区域问题，解题的关键在于构造几何概型模型，属于中档题．5.为了在运行下面的程序之后得到输出y＝25，键盘输入x应该是___．【答案】－6或6【解析】程序对应函数时,由得x＝－6或x＝6.故答案为：－6或6.6.在体积为9的斜三棱柱ABC—A1B1C1中，S是C1C上的一点，S—ABC的体积为2，则三棱锥S—A1B1C1的体积为___．【答案】【解析】【分析】由已知棱柱体积与棱锥体积可得S到下底面距离与棱柱高的关系，进一步得到S到上底面距离与棱锥高的关系，则答案可求。
2019届江苏省无锡市高三第一学期期末复习数学试题(解析版)
2019届江苏省无锡市高三第一学期期末复习数学试题一、填空题1．集合A＝{，，}，B＝{，，}，若A B＝{﹣3}，则a的值是_．【答案】﹣1【解析】由集合有一个元素为，根据两集合的交集中元素为，得出集合中必然有一个元素为，分别令集合中的元素等于列出关于的方程，求出方程的解，经过检验即可得到的值.【详解】∵，，若，∴或或，解得或，将代入得，，此时，不合题意；将代入得，，此时，满足题意，则，故答案为.【点睛】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，注意对所求结果进行检验，属于基础题.2．复数z满足，则复数z的共轭复数＝__．【答案】【解析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，结合共轭复数的概念即可得最后结果.【详解】由，得，∴，故答案为.【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．3．如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则甲与乙的方差和为__．【答案】57.2【解析】根据茎叶图中的数据，计算甲、乙二人的平均数与方差，求方差和即可.【详解】根据茎叶图知，甲的平均数是，方差是；乙的平均数是，方差是，∴甲与乙的方差和为，故答案为57.2．【点睛】本题考查了利用茎叶图求平均数与方差的应用问题，是基础题4．已知实数x，y(0，1)，三角形ABC三边长为x，y，1，则三角形ABC是钝角三角形的概是__．【答案】【解析】由题意知为钝角三角形时，且，构成三角形的区域为不等式且，，利用几何概型的概率公式求出对应区域的面积比即可．【详解】如图所示，由题意得构成三角形的、满足的条件为且，，其区域为，其面积为，若为钝角三角形，则，且；其区域为阴影部分，∴，∴所求的概率值为，故答案为.【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，同时考查了不等式组表示平面区域问题，解题的关键在于构造几何概型模型，属于中档题．5．为了在运行下面的程序之后得到输出y＝25，键盘输入x应该是___．【答案】－6或6【解析】程序对应函数时,由得x＝－6或x＝6.故答案为：－6或6.6．在体积为9的斜三棱柱ABC—A1B1C1中，S是C1C上的一点，S—ABC的体积为2，则三棱锥S—A1B1C1的体积为___．【答案】【解析】由已知棱柱体积与棱锥体积可得S到下底面距离与棱柱高的关系，进一步得到S到上底面距离与棱锥高的关系，则答案可求。
2019-2020学年江苏省无锡市高三(上)期末数学试卷
2019-2020学年江苏省无锡市高三（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5分）集合{|21A x x k ==-，}k Z ∈，{1B =，2，3，4}，则A B =I ． 2．（5分）已知复数(,)z a bi a b R =+∈，且满足9iz i =+（其中i 为虚数单位），则a b += ． 3．（5分）某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为 分钟．4．（5分）函数()(1)3(1,2)x f x a a a =-->≠过定点 ．5．（5分）等差数列{}n a （公差不为0)，其中1a ，2a ，6a 成等比数列，则这个等比数列的公比为 ．6．（5分）小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为 ．7．（5分）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2AD =，11AA =，E 为BC 的中点，则点A 到平面1A DE 的距离是 ．8．（5分）如图所示的流程图中，输出n 的值为 ．9．（5分）圆22:(1)(2)4C x y ++-=关于直线21y x =-的对称圆的方程为 ．10．（5分）正方形ABCD 的边长为2，圆O 内切与正方形ABCD ，MN 为圆O 的一条动直径，点P 为正方形ABCD 边界上任一点，则PM PN u u u u r u u u rg 的取值范围是 ．11．（5分）双曲线22:143x y C -=的左右顶点为A ，B ，以AB 为直径作圆O ，P 为双曲线右支上不同于顶点B 的任一点，连接PA 交圆O 于点Q ，设直线PB ，QB 的斜率分别为1k ，2k ，若12k k λ=，则λ= ．12．（5分）对于任意的正数a ，b ，不等式222(2)443ab a k b ab a +++…恒成立，则k 的最大值为 ．13．（5分）在直角三角形ABC 中，C ∠为直角，45BAC ∠>︒，点D 在线段BC 上，且13CD CB =，若1tan 2DAB ∠=，则BAC ∠的正切值为 ． 14．（5分）函数22()|1|9f x x x kx =-+++在区间(0,3)内有且仅有两个零点，则实数k 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的分别为a ，b ，c ，向量(23,3)m a b c =-r，向量(cos ,cos )n B C =r，且//m n r r ．（1）求角C 的大小；（2）求sin 3sin()3y A B π=+-的最大值．16．（14分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，O 为其中心，PAD ∆为锐角三角形，且平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点，CD DP ⊥． （1）求证：//OE 平面PAB ； （2）求证：CD PA ⊥．17．（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，焦距为4，且椭圆过点5(2,)3，过点2F 且不平行与坐标轴的直线l 交椭圆与P ，Q 两点，点Q 关于x 轴的对称点为R ，直线PR 交x 轴于点M ． （1）求△1PFQ 的周长； （2）求△1PF M 面积的最大值．18．（16分）一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ 的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD （如图所示），其中AD AB …．结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米3，深2米．若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元 （1）求发酵池AD 边长的范围；（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和b 米的走道(b 为常数）．问：发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小．19．（16分）已知{}n a ，{}n b 均为正项数列，其前n 项和分别为n S ，n T ，且112a =，11b =，22b =，当2n …，*n N ∈时，112n n S a -=-，2211112()2n n n n n n T T b T b b --+--=-+． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设2(2)n nn n nb ac b b +=+，求数列{}n c 的前n 项和n P ．20．（16分）设函数()f x lnx ax =-，a R ∈，0a ≠． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()0f x =有两个零点1x ，212()x x x <． （Ⅰ）求a 的取值范围； （Ⅱ）求证：12x x g 随着21x x 的增大而增大． 【选做题】本题包括A ，B 两小题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．（10分）已知a ，b R ∈，矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值5的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，点(2,1)P -在A 对应的变换作用下得到点(1,2)P '-，求矩阵A ． [选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线14cos :4sin x C y θθ=⎧⎨=⎩，（其中θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos()233πρθ-=，设曲线1C 与曲线2C 交于A ，B 两点，求AB 的长．【必做题】第23题、第24题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．23．（10分）如图，矩形ABCD 所在的平面垂直于平面AEB ，O 为AB 的中点，90AEB ∠=︒，30EAB ∠=︒，23AB =，3AD =．（1）求异面直线OC 与DE 所成角的余弦值； （2）求二面角A DE C --的正弦值．24．（10分）对于任意的1x >，*n N ∈，用数学归纳法证明：1!nx x e n ->．2019-2020学年江苏省无锡市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5分）集合{|21A x x k ==-，}k Z ∈，{1B =，2，3，4}，则A B =I {1，3} ． 【解答】解：因为21k -，k Z ∈表示为奇数， 集合{|21A x x k ==-，}k Z ∈，{1B =，2，3，4}， 故{1A B =I ，3}． 故答案为：{1，3}．2．（5分）已知复数(,)z a bi a b R =+∈，且满足9iz i =+（其中i 为虚数单位），则a b +=8- ．【解答】解：由z a bi =+，得29iz ai bi b ai i =+=-+=+，1a ∴=，9b =-，则8a b +=-．故答案为：8-．3．（5分）某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为 7.5 分钟．【解答】解：因为：有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟； 所以：平均用时：761471584107.5714154⨯+⨯+⨯+⨯=+++，故答案为：7.5．4．（5分）函数()(1)3(1,2)x f x a a a =-->≠过定点 (0,2)- ． 【解答】解：令0x =得：(0)132f =-=-，∴函数()f x 恒过定点(0,2)-，故答案为：(0,2)-．5．（5分）等差数列{}n a （公差不为0)，其中1a ，2a ，6a 成等比数列，则这个等比数列的公比为 4 ．【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则 21a a d =+，615a a d =+．依题意，2216a a a =， 即2111()(5)a d a a d +=+ 整理得13d a =， 2114a a d a ∴=+=，214a q a ∴==．故答案为：4．6．（5分）小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为12． 【解答】解：小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，基本事件总数246n C ==， 抽到的2道题小李都会包含的基本事件233m C ==， 则抽到的2道题小李都会的概率为232412C P C ==．故答案为：12． 7．（5分）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2AD =，11AA =，E 为BC 的中点，则点A 到平面1A DE 的距离是6．【解答】解：1111211323A ADE V -=⨯⨯⨯⨯=三棱锥，116611123233A DE A A DE S V h -=⨯⨯==⨯⨯=V 三棱锥，解得6h =． 故答案为：6． 8．（5分）如图所示的流程图中，输出n 的值为 4 ．【解答】解：模拟程序的运行，可得1S =，1n =；211log 02S =+=，2n =； 220log 3S =+，3n =； 2222321344S log log log =+==-，4n =； 1S -…．跳出循环，输出结果，4n =，故答案为：49．（5分）圆22:(1)(2)4C x y ++-=关于直线21y x =-的对称圆的方程为22(3)4x y -+= ．【解答】解：圆22:(1)(2)4C x y ++-=的圆心为(1,2)-，关于21y x =-对称点设为(,)x y ，则有：2121 222112y xyx+-⎧=⨯-⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩，解得3xy=⎧⎨=⎩，所以对称后的圆心为(3,0)，故答案为：22(3)4x y-+=．10．（5分）正方形ABCD的边长为2，圆O内切与正方形ABCD，MN为圆O的一条动直径，点P为正方形ABCD边界上任一点，则PM PNu u u u r u u u rg的取值范围是[0，1]．【解答】解：作图如下，2222211[()()][(2)]144PM PN PM PN PM PN PO NM PO=+--=-=-u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u rg，又1||2POu u u r剟，故212POu u u r剟，故2011PO-u u u r剟，即PM PNu u u u r u u u rg的取值范围是[0，1]．故答案为：[0，1]．11．（5分）双曲线22:143x yC-=的左右顶点为A，B，以AB为直径作圆O，P为双曲线右支上不同于顶点B的任一点，连接PA交圆O于点Q，设直线PB，QB的斜率分别为1k，2k，若12k kλ=，则λ=34-．【解答】解：双曲线22:143x yC-=的左右顶点为A，B，以AB为直径作圆O，P为双曲线右支上不同于顶点B的任一点，连接PA交圆O于点Q，设直线PB，QB的斜率分别为1k，2k，若12k kλ=，可得：341PA PBPA QBk kk k⎧=⎪⎨⎪=-⎩gg，34PBQBkkλ==-，故答案为：34-．12．（5分）对于任意的正数a ，b ，不等式222(2)443ab a k b ab a +++„恒成立，则k 的最大值为 22 ．【解答】解：依题意，22224()43443221b bb ab a a a k b ab a a++++=++g g g „， 令0bt a=>，则22443(21)22121t t t k t t ++++=++„， 令211t μ=+>，则222k μμμμ+=+„，而函数2y μμ=+在(1,)+∞2222=故2k „k 的最大值为22 故答案为：2213．（5分）在直角三角形ABC 中，C ∠为直角，45BAC ∠>︒，点D 在线段BC 上，且13CD CB =，若1tan 2DAB ∠=，则BAC ∠的正切值为 3 ． 【解答】解：设AC x =，3BC t =，由45BAC ∠>︒可知，3tan 1tBAC x∠=>，2231tan ,tan 321t t t x x CAD DAB t xx-∠=∠==+， 令t m x =，即231132m m m -=+，解得1m =或13m =，则tan 3BAC ∠=或tan 1BAC ∠=（舍)，故tan 3BAC ∠=． 故答案为：3．14．（5分）函数22()|1|9f x x x kx =-+++在区间(0,3)内有且仅有两个零点，则实数k 的取值范围是 26(3-，8)- ． 【解答】解：()0((0f x x =∈，3)可得：2210,(0,1)|1|982,[1,3)x x x xk x x x x ⎧∈⎪+-+⎪-==⎨⎪+∈⎪⎩，如图所示：有两个零点的范围满足2683k <-<，所以26(3k ∈-，8)-故答案为：26(3-，8)-．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的分别为a ，b ，c ，向量(233)m a b c =r，向量(cos ,cos )n B C =r，且//m n r r ．（1）求角C 的大小；（2）求sin 3sin()3y A B π=+-的最大值．【解答】解：（1）由//m n r r，得3cos (23)cos 0c B a b C --=；由正弦定理得：3sin cos (2sin 3sin )cos 0C B A B C --=；∴3(sin cos sin cos )2sin cos C B B C A C +=； ∴3sin()3sin 2sin cos B C A A C +==；sin 0A ≠Q ；3cos C ∴=； 又(0,)C π∈；6C π∴=；（2）由（1）知56A B C ππ+=-=， 所以32B A ππ-=-，5(0,)6A π∈； 所以sin 3sin()sin 3sin()sin 3cos 2sin()323y A B y A A A A A πππ=+-==+-=+=+；5(0,)6A π∈Q ； (33A ππ∴+∈，7)6π； 32A ππ∴+=即6A π=时，y 取最大值2．16．（14分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，O 为其中心，PAD ∆为锐角三角形，且平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点，CD DP ⊥． （1）求证：//OE 平面PAB ； （2）求证：CD PA ⊥．【解答】证明：（1）连结BD ，ABCD Q 是平行四边形，O 为其中心，O ∴是BD 中点，E Q 是PD 中点，//OE PB ∴， PB ⊂Q 平面PAB ，OE ⊂/平面PAB ， //OE ∴平面PAB ．（2）作PH AD ⊥于H ，Q 平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PH AD ⊥，PH ⊂平面PAD ， PH ∴⊥平面ABCD ，又CD PD ⊥，PD PH P =I ，CD ∴⊥平面PAD ，PA ⊂Q 平面PAD ，CD PA ∴⊥．17．（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，焦距为4，且椭圆过点5(2,)3，过点2F 且不平行与坐标轴的直线l 交椭圆与P ，Q 两点，点Q 关于x 轴的对称点为R ，直线PR 交x 轴于点M ． （1）求△1PFQ 的周长； （2）求△1PF M 面积的最大值．【解答】解：（1）设椭圆C 的焦距为2c ，则24c =，2c =，1( 2.0)F -，2(2,0)F ，且椭圆过点5(2,)3A ，由椭圆的定义1226a AF AF=+=，故3a =， 所以，△1PFQ 的周长为412a =； （2）由（1）知，2945b =-=，故椭圆的方程为22195x y +=，设直线:2l x my =+，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，则2(R x ，2)y -， 直线121112:()y y PR y x x y x x +=-+-，得121212(y x x yM y y ++，0)， 联立222195x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得22(59)20250m y my ++-=，1222059m y y m -+=+，1222559y y m -=+， 1221121229022()59mx y x y my y y y m -+=++=+，所以112211112113135(2)||||24PF M x y x y S y y y y +=+=+V g g „，当且仅当P 在短轴顶点处取得等号，故△1PF M 面积的最大值为135． 18．（16分）一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ 的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD （如图所示），其中AD AB …．结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米3，深2米．若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元 （1）求发酵池AD 边长的范围；（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和b 米的走道(b 为常数）．问：发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小．【解答】解：（1）由题意，长方形ABCD 的面积4502252S ==米2， 设AD x =米，则225AB x =米．则2250x x>>，解得15x …． 设发酵池造价总费用为()f x ，则450225()2252001502(2)600()4500065400f x x x x x=⨯+⨯+=++<g ． 解得925x 剟，又15x …，故[15x ∈，25]． （2）由题意，可设发酵馆的占地面积为()S x ，则2251800()(8)(2)216225S x x b bx b x x=++=+++，[15x ∈，25]． 222(900)()bx S x x -'=，[15x ∈，25]． ①当4b …时，()0S x '…．即()S x 在[15，25]上单调递增， 此时当15x =时，发酵馆的占地面积()S x 最小， 即15AB AD ==米时，发酵馆的占地面积最小； ②当36025b <„时，()0S x '„．即()S x 在[15，25]上单调递减， 此时当25x =时，发酵馆的占地面积()S x 最小， 即25AD =米，9AB =米时，发酵馆的占地面积最小；③当36425b <<时，有当15x <„时，()0S x '<，()S x 单调递减；25x <„时，()0S x '>，()S x 单调递增．当x ==时，()0S x '=，()S x 取得极小值．即AD =AB = 19．（16分）已知{}n a ，{}n b 均为正项数列，其前n 项和分别为n S ，n T ，且112a =，11b =，22b =，当2n …，*n N ∈时，112n n S a -=-，2211112()2n n n n n n T T b T b b --+--=-+． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设2(2)n nn n nb ac b b +=+，求数列{}n c 的前n 项和n P ．【解答】解：（1）由题意，112n n S a -=-，则有112n n S a +=-，两式相减，整理得112n n a a +=，(2)n …．当2n =时，1121122S a a ===-， 解得211142a a ==． ∴数列{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列． 12n na ∴=，*n N ∈． 又22111112()2n n n n n n n n T T b T T T b b ---+--=-=-+Q ，2n …．整理，得111111112()()2()n n n n n n n n n n n n n T T T T b T T T T b b b b --+-+-+--++==+++，2n …． 0n b >Q ，0n T ∴>．∴1121nn n b b b +-=+，2n …． 即112n n n b b b +-=+，2n …．根据等差中项的性质，可知数列{}n b 成等差数列． 11b =Q ，22b =，21211d b b ∴=-=-=．∴数列{}n b 是以1为首项，1为公差的等差数列．n b n ∴=，*n N ∈．（2）由（1），得221(2)211122(1)2n n n n n nn n b a n c b b n n n n -++===-+++g g g ， 根据累加法，可得： 12n n P c c c =++⋯+2111111(1)()()2222322(1)2n nn n -=-+-+⋯+-⨯⨯⨯+g g 11(1)2nn =-+g ． 20．（16分）设函数()f x lnx ax =-，a R ∈，0a ≠． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()0f x =有两个零点1x ，212()x x x <． （Ⅰ）求a 的取值范围； （Ⅱ）求证：12x x g 随着21x x 的增大而增大． 【解答】解：（1）()f x lnx ax =-Q ，1()f x a x∴'=-， 当0a <时，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，函数()f x 在(0,)+∞单调递增，当0a >时，由()0f x '>可得，1(0,)x a ∈，此时()f x 单调递增，由()0f x '<可得，1(,)x a ∈+∞，此时函数单调递减，综上可得，0a <时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，当0a >时，函数的递增区间1(0,)a ，单调递减区间为1(,)a+∞；（2）（Ⅰ）由（1）可知，0a <时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，最多一个零点，不符合题意，当0a >时，若使得()f x 有两个零点，则1()()10max f x f lna a ==-->，解可得10a e<<， f Q （1）0a =-<，且11a<， ∴存在11(1,)x a∈使得1()0f x =，又因为211()2f lna a a=--， 设g （a ）12lna a=--，1(0,)a e ∈，则g '（a ）2120aa -=>， 故g （a ）单调递增，所以g （a ）1()20g e e <=-<，即21()0f a <， Q211a a>， 所以存在2211(,)x a a ∈使得2()0f x =，综上可得，1(0,)a e∈，（Ⅱ）由题意可得，11200lnx ax lnx ax -=-=，∴1212lnx lnx x x =， 12x x <Q ，∴211x x >，令211xt x =>，则21x tx =， ∴121121lnx lnx lntx x x tx ==， 解可得，11lntlnx t =-， 211tlntlnx lnt lnx t ∴=+=-， 所以12(1)()1t lntln x x t +=-， 设(1)()1t lnth t t +=-，1t >， 则212()(1)t lnt t h t t --'=-， 令1()2H t t lnt t=--，t ．1>，则22212(1)()10t H t t t t -'=+-=>，()H t ∴单调递增，()H t H >（1）0=，则()0h t '>，故()h t 单调递增，即12()ln x x 随着21x t x =的增大而增大， 所以12x x g 随着21x x 的增大而增大． 【选做题】本题包括A ，B 两小题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．（10分）已知a ，b R ∈，矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值5的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，点(2,1)P -在A 对应的变换作用下得到点(1,2)P '-，求矩阵A ．【解答】解：a Q ，b R ∈，矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵A 属于特征值5的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，点(2,1)P -在A 对应的变换作用下得到点(1,2)P '-，∴1155115a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，且2112a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ∴552122a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=-⎪⎪-+=⎩，解得2314a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩， ∴矩阵2314A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． [选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线14cos :4sin x C y θθ=⎧⎨=⎩，（其中θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为cos()3πρθ-=1C 与曲线2C 交于A ，B 两点，求AB 的长．【解答】解：曲线2C的极坐标方程为cos()3πρθ-=，转换为直角坐标方程为：0x +-．曲线14cos :4sin x C y θθ=⎧⎨=⎩，（其中θ为参数），转换为直角坐标方程为2216x y +=．所以圆心(0,0)到直线0x -=的距离d ==所以24AB ===．【必做题】第23题、第24题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．23．（10分）如图，矩形ABCD 所在的平面垂直于平面AEB ，O 为AB 的中点，90AEB ∠=︒，30EAB ∠=︒，AB =3AD =．（1）求异面直线OC 与DE 所成角的余弦值； （2）求二面角A DE C --的正弦值．【解答】解：（1）以O 为原点，在平面ABE 中过O 作AB 的垂线为x 轴，OB 为y 轴， 过O 作AD 的平行线为z 轴，建立空间直角坐标系，90AEB ∠=︒Q ，30EAB ∠=︒，23AB =3AD =．132BE AB ∴==(0C 33)，(0D ，3-3)，(0A ，3-0)，3(2E 3，0)， 3,3)OC =u u u r ，3(2DE =u u u r 33，3)-，设异面直线OC 与DE 所成角为θ， 则9||62cos ||||1218OC DE OC DE θ==u u u r u u u rg u u u r u u u r g g ∴异面直线OC 与DE 6（2）Q (0AD =u u u r ，0，3)，333(3)2DE =-u u u r ，(0DC =u u u r ，230)，设平面ADE 的法向量(m x =r，y ，)z ，则30333302m AD z m DE x y z ⎧==⎪⎨=+-=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，取1y =，得(3m =-r 1，0)， 设平面DEC 的法向量(n x =r，y ，)z ，则230333302n DC y n DE x y z ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，取1z =，得(2n =r ，0，1)， 设二面角A DE C --的平面角为θ， 则||233|cos |||||455m n m n θ===r rg r r g g2310sin 1()5θ∴=-，第21页（共21页）∴二面角A DE C --的正弦值为10．24．（10分）对于任意的1x >，*n N ∈，用数学归纳法证明：1!nx x e n ->． 【解答】证明：①当1n =时，设1()x f x e x -=-，(1,)x ∈+∞，则1()10x f x e -'=->， ()f x ∴在(1,)+∞上单调递增，()f x f ∴>（1）0=，即1x e x ->， ∴当1n =时，原命题成立；②假设当n k =时，1!kx x e k ->对任意(1,)x ∈+∞， 当1n k =+时，设11()(1)!k x x g x e k +-=-+，则1()0!k x x g x e k -'=->， ()g x ∴在(1,)+∞上单调递增， ∴1()(1)10(1)!g x g k >=->+， ∴11(1)!k x x e k +->+， 由①②知，1!nx x e n ->成立．。
2018-2019无锡高三期末考试全卷解析
2018-2019无锡数学期末统考试卷解析2019.1.20一、填空题.1.设集合{}{}0,B 21A x x x x =>=-<<，则_______.A B = 2.设复数z 满足(1)13i z i +=-（其中i 为虚数单位），则z 的实部为_____________.3.有,,A B C 三所学校，学生人数的比例为3:4:5，现用分层抽样的方法招募n 名志愿者，若在A 学校恰好选出9名志愿者，那么_____.n =4.史上常有赛马论英雄的记载，田忌欲与齐王赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，先从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为_________.5.执行如图的伪代码，则输出x 的值为___________.6.已知,x y 满足约束条件10200x y x y x -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则z x y =+的取值范围是___________.7.在四边形ABCD 中，已知2,4,53AB a b BC a b CD a b =+=--=-- ，其中，,a b是不共线的向量，则四边形ABCD 的形状是_____________.8.以双曲线22154x y -=的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是______________.9.已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则该圆锥的体积等于_______.10.设公差不为零的等差数列{}n a 满足37a =，且1241,1,1a a a ---成等比数列，则10a 等于___________.{}21|01136253[0,3]1232123456789110x x y x p <<-=、 、、 、 、、 梯形 、 、 、 、11.已知θ是第四象限的角，且4cos ,5θ=那么sin()4cos(26)πθθπ+-的值为________.3sin cos 152sin 5142cos 22(cos sin )q qq q =-Þ===-解：易得：所求12.已知直线(2)(0)y a x a =+>与函数cos y x=的图像恰好有四个公共点11(,),A x y 22(,),B x y 33(,),C x y 44(,),D x y 其中1234,x x x x <<<则441________.tan x x +=44444(2)cos (,)2cos sin 22y a x y x x x x a x x pp =+=-Î-Þ==Þ=-+解：数形结合知：与切于，其中 所求．13.已知点P 在圆()()22:21M x a y a -+-+=上，,A B 为圆22:(4)4C x y +-=上两动点，且3AB =，则PA PB ⋅的最小值是________.222222431(6)2(3)1821213223192AB D AB CD CD CM a a a PCCM PD PC CD PD =-===+-=-+-=³-=-=-³-解：取中点， 又，故 则，故所求．14.在锐角ABC △中，已知2222sin sin 2sin ,A B C +=则111tan tanB tanCA ++的最小值为_________.2222222222222222()2()3111tan tan 1431313tan tan tan tan 4442a b c b c a BD AC D AD x CD y BD h x y x y x y h A C x y y h y y h xy h h A C A C h h h yh h y x y+=Þ=-^===Þ+=-Þ=---=++=++=+=+³++解：由正弦定理得： 如图，作于，设，， 则所求二、解答题.15.在ABC ∆中，设c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，已知向量)sin sin ,(B C a m -=，)sin sin ,(B A c b n ++=，且n m //.（1）求角C 的大小；（2）若3=c ，求ABC ∆的周长的取值范围.2222221(sin sin )()(sin sin )0()()()01cos 2(0,)322323sin 23si sin sin sin a A B b c C B a a b b c c b a b c a b c ab C C C a b ca Ab A B Cpp +-+-=+-+-=+-+-=-==-Î======解：（）由题意知： 由正弦定理得： 即：，由余弦定理知： 又，故；（）由正弦定理知：，n 1,(0,)33333)3(sin cos cos sin )3cos 3sin 33333cos 33)332(0,)(,)s 3333BA B C B A A B A b B A A A A Aa b c A A A A A p p p p p p ppp p p p +=-==-ÎÞ==-=-=-=++=++=+++ 由（）知：，则，均为三角形内角，故 周长 3in()(6,33]32A p +周长．16.在四棱锥ABCD P -中，锐角三角形PAD 所在平面垂直平面PAB ，AD AB ⊥，BC AB ⊥.（1）求证：//BC 平面PAD ；（2）平面⊥PAD 平面ABCD .1////2ABCD AB AD BC AD AB BC BC PAD AD PAD BC PAD DE PA E PAD PABPAD PAB PA DE P üüïïïï^Þýïïï^ïïþÞýïÌïïïïËþ^^=Ì 证：（）平面中 平面；平面 平面 （）作于点平面平面平面平面 平面 DE PAB AB DE AD DE PA AB PAD AB AD AD DE D üüïïïïïïÞ^ýïÞ^ïýïï^ïïþïïÌþ^= 平面 平面 AB PAD PAD ABCD AD PAD DE PAD AB ABCD üüïïïïïïïïïïïïïïÞ^ýïÞ^ïýïïïïïïïïïïïïþïïÌþ平面平面平面 平面，平面 平面17.十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至2020年底全面脱贫.现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作.经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植，2017年底该村平均农户年纯收入为1万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数.从2018年初开始，若该村抽出x 5户)91 ,(≤≤∈x Z x 从事包装、销售.经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高20x ，而从事包装、销售农户的年纯收入每户平均为)413(x -万元.（参考数据：331.11.13=，521.115.13≈，728.12.13=）（1）至2020年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫（每户年均收入不低于1万6千元），至少抽出多少户从事包装、销售工作？（2）至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到35.1万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由.33000(1005)(1)2012020 1.620(1.61)10051.151 1.23420194202022018()x x xx xx x xZ xxf x -+==--<+<Þ<<解：（）设至年底，种植户平均收入，设其解为 由题所给数据知： 又，，则，即至少抽出户答：至少抽出户从事包装、销售工作． （）设至年底，每户平均收入为万元{}2215(3)(1005)(1)420() 1.35100332010() 1.3519 1.3520330700194,5,62030x x x x f x x x f x x Z x x x x Z x x -+-+=-+++Î 则，假设能达到万元，则：，， ，， 解得： 答：当抽出从事包装、销售工作的户数不少于户且不超过户时，能到达，否则，不能．18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的离心率为32，且过点13,),2点P 在第四象限，A 为左顶点，B 为上顶点，PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点.D （1）求椭圆C 的标准方程；（2）求PCD ∆面积的最大值.2222222222314121(3,)1124c x y a b a b a cx b y 解：（） 代入点解得：标准方程为：；ìï=ïÞ=Þ+=íï=-ïî=Þ+=2221(2,0)(0,1)(,)00142(2)(0,)(,0)11(22)1(22)()2(1)(2)2(1)(2)2PCD P m A B P m n m n n n n mPA y x PB C D n PB y x m n m m n m mx S n n n m n m y m S △△ （）由（）知：，，设，，，且 ：，：，易得：，： 即：-><+==+++-ì-=+ï----ï-í-+-+ï=ï+î22222222(44)2(1)(22)2(1)(2)2(1)(2)2(22)(2)1(22)4212002284440CD PCD nm mn mn n n mn n n n m n m n m m n m m m n n S P P x y t t x y t y ty x y △ 显然最大时椭圆在点处的切线斜率为，设处的切线为， +--+-++===--+-++++-==---+=<ì=-ïÞ-+í+-=ïî2240161280222(2,2122PCD t t t y P S x △，△ 此时方程组的解为，即时，取最大值，最大面积为．-==-+=Þ=-ìï=-ï-íï=ïî19.已知函数2(0).2xa e x ax a =-->（1）当1a =时，求证：对于任意0,x >都有()0f x >成立；（2）若()y f x =恰有12,x x x x ==两处取得极值，求证：12ln .2x x a +<解：（1）当1a =时，()21e 2xf x x x =--，则()()()'e 1,''e 100x x f x x f x x =--=-≥＞，所以()'f x 单调递增，因为()()''00f x f =＞，所以()f x 单调递增，所以()()010f x f =＞＞；（2）由题意可知，12,x x 是方程()'0f x =的两个实数解，不妨设12x x ＜，()()'e ,''e x x f x ax a f x a =--=-，当0a ≤时，()''0f x ＞恒成立，()'f x 单调递增，多只有一个实数解，不符题意，当0a ＞时，()''0f x ＜的解集为(),ln a -∞，()''0f x ＞的解集为()ln ,a +∞，所以()'f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增，所以()()min ''ln ln f x f a a a ==-，由题意，应有()min 'ln 0f x a a =-＜，解得1a ＞，此时()1'10f -=＞，所以存在()11,ln x a ∈-，使得()1'0f x =，()21221e 2a f a a --=-，设211s a =-＞，则()()21e 12s h s s =-+，()'e 1s h s s =--，由（1）可知，()'e 10s h s s =--＞在()1,+∞上恒成立，所以()h s 单调递增，所以()()1e 20h s h =-＞＞，即存在()2ln ,21x a a ∈-，使得()2'0f x =，所以1a ＞满足题意，因为()()12''0f x f x ==，所以1212e e 0x x ax a ax a --=--=，所以2121e e x x a x x -=-，12122121211122222121e e e 1''e e e e 2x x x x x x x x x x x x x f a x x x x ++--⎛⎫+--⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，设2102x x t -=＞，则()21212212e e 1e 1e 1e=e 22t tx x x x t t t x x t t---+----=-，设()()2e e 1t t F t t =-+，则()()'21e e ttF t t =+-，由（1）可知，()()'21e e 0ttF t t =+-＜恒成立，所以()F t 单调递减，所以()()0=0F t F ＜，即12''02x x f +⎛⎫⎪⎝⎭＜，所以12ln 2x x a +＜.20.设等比数列{}n a 的公比为(0,1),q q q >≠前n 项和为,n S 且1342,a a a =数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足*22(1),, 1.n n T n b n N b =-∈=（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）是否存在常数t ，使得1{}2n S t+为等比数列？说明理由；（3）设1,4n n c b =+对于任意给定的正整数(2),k k ≥是否存在正整数,(),l m k l m <<使得,,k l m c c c 成等差数列？若存在，求出,l m （用k 表示），若不存在，说明理由.解：（1）因为数列{}n a 为等比数列，且公比0q ＞，所以1342a a a =，所以4132a q a a ==，即12q a =，所以122nn n q q a q -=⋅=，因为()21n n T n b =-，所以()()()112112n n T n b n --=--≥，两式相减，整理得()()1211n n n b n b --=-+，当3n ≥时，两边同除以()()12n n --，可得1111221n n b b n n n n -=+-----，由累加法可知，()211311n b b n n n =+---≥，即()233n b n n =-≥，当1n =时，1121b b =-，所以11b =-，验证可知12,b b 均满足23n b n =-，所以()*23n b n n =-∈N；（2）由（1）可知2nn q a =，且1q ≠，所以()()()11212121n n n qq q qS q q q +-==----，①若1q t q -=，则()11n n q S ++=-，所以2111212n n n n S q t q q S t++++==+，即数列12n S t ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是公比为q 的等比数列；②若1q t -≠，则()()111221212n n q q S t q q t++=-+--，设()()1,21221q q A B q t q =-=--（其中,0A B ≠），则()1111212n n n nn S B q Aq B t q Aq B Aq B S t+++-+==++++，不为常数，所以数列12n S t ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭不是等比数列；综上，存在1q t q -=，使得数列12n S t ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是公比为q 的等比数列；（3）由（1）可知23n b n =-，所以11421n n c b n ==++，假设存在符合题意的,l m ，则112212121k m l +=+++，整理得()()212121421l k m k l +++=-+，取2l k =，则()()214121m k k +=++，解得243m k k =+，故存在2l k =，243m k k =+符合题意.以上解析由苏锡【纸短情长】工作室：王举、李光亮、杨继斌提供；郑重申明：未经允许，不得转载或进行商业用途！。
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无锡市2019届高三上学期期末考试数学2019.01一、填空题：1、设集合A =｛x｜x＞0｝，B =｛x｜－2＜x＜1｝，则A∩B＝．答案：｛x｜0＜x＜1｝考点：集合的运算。
解析：取集合A，B的公共部分，得：A∩B＝｛x｜0＜x＜1｝2、设复数z 满足 (1+ i)z = 1－3i（其中 i 是虚数单位），则z 的实部为．答案：－1考点：复数的运算，复数的概念。
解析：z＝131ii-+＝(13)(1)(1)(1)i ii i--+-＝24122ii--=--，所以，实部为－1。
3、有A，B，C 三所学校，学生人数的比例为 3：4：5, 现用分层抽样的方法招募n 名志愿者，若在A 学校恰好选出 9 名志愿者，那么n = ．答案：36考点：分层抽样方法。
解析：设A，B，C三所学校学生人数为：3x，4x，5x，则总人数为：12x，所以，9312nx x=，解得：n＝364、史上常有赛马论英雄的记载，田忌欲与齐王赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，先从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为．答案：1 3考点：古典概型。
解析：设田忌的上中下等马分别为：A、B、C，齐王的上中下等马分别为：1、2、3，双方各先一匹马，所以可能为：A1、A2、A3、B1、B2、B3、C1、C2、C3，共9种，田忌的马获胜的可能有：A2、A3、B3，共3种，所以，概率为：P＝31 93=。
5、执行如图的伪代码，则输出x 的值为．答案：25考点：算法初步。
解析：第1步：x＝1，x＝1；第2步：x＝2，x＝4；第3步：x＝5，x＝25；退出循环结果为25。
6、已知x，y 满足约束条件1020x yx yx-+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则z = x+y 的取值范围是．答案：［0,3］考点：线性规划。
解析：不等式组表示的平面区域如下图，当目标函数z = x+y 经过点O（0,0）时，取到最小值为：0经过点A（1,2）时，取到最大值：3，所以，范围为［0,3］7. 在四边形ABCD 中，已知2AB a b=+，4BC a b=--，53CD a b=--，其中，,a b是不共线的向量，则四边形ABCD 的形状是．答案：梯形考点：平面向量的三角形法则，共线向量的概念。
解析：2453AD AB BC CD a b a b a b=++=+----学科网＝822(4)a b a b--=--所以，2AD BC =，即AD ∥BC ，且AD ＝2BC 所以，四边形ABCD 是梯形。
8. 以双曲线22154x y -=的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是 ．答案：212y x =考点：双曲线与抛物线的标准方程与性质。
解析：双曲线中，c 54+学科网＝3，所以，右焦点为F （3,0）， 抛物线的焦点也为（3,0），所以，32p=，p ＝16， 抛物线的标准方程为：212y x =9. 已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则该圆锥的体积等于 ． 答案：3π考点：圆锥的侧面积、体积的计算。
解析：设圆锥的底面半径为R ，因为轴截面是等边三角形，所以母线长为2R 3R ，侧面积S ＝12262R R ππ⨯⨯=，解得：R 3 所以，圆锥的体积为：V ＝21(3)33π⨯⨯⨯＝3π。
10. 设公差不为零的等差数列｛n a ｝ 满足 a 3＝7，且 a 1－1，a 2－1，a 4－1 成等比数列，则 a 10 等于 ． 答案：21考点：等差数列、等比数列。
解析：依题意，有：（a 2－1）2＝（a 1－1）（a 4－1），即2(71)(721)(71)d d d --=--+-，即：2(6)(62)(6)d d d -=-+，化为：236d d -＝0，因为公差不为0，所以，d ＝2，1037a a d =+＝7+14＝2111. 已知θ是第四象限角，且 cos θ＝45，那么sin()4cos(26)πθθπ+-的值为．答案：5214考点：同角三角函数，诱导公式，两角和的正弦函数。
解析：依题意，有：sin θ＝－35， sin()4cos(26)πθθπ+-＝sin cos cos sin 44cos 2ππθθθ+学科网＝23242525242()15-⨯+⨯⨯-＝5214 12. 已知直线y ＝a (x +2)(a > 0) 与函数 y ＝｜cos x ｜的图像恰有四个公共点 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4), 其中 x 1 < x 2 < x 3 < x 4，则x 4＋41tan x ＝ ．答案：－2考点：函数的导数及其应用，一次函数和余弦函数的图象，数形结合的数学思想方法。
解析：直线y ＝a (x +2)过定点（－2,0），如下图所示，由图可知，直线与余弦函数图象在x 4处相切，且x 4∈(,)2ππ，即a (x 4+2)＝－cos x 4，所以，a ＝44cos 2x x -+又44'(cos )'sin y x x =-=，即直线的斜率为：a ＝4sin x ，因此a ＝44cos 2x x -+＝4sin x ，即444cos 2sin x x x =-+ x 4＋41tan x ＝x 4＋44cos sin x x ＝x 4－x 4＋2＝213. 已知点 P 在圆 M ： (x-a )2 +(y －a +2)2 ＝1 上， A ，B 为圆 C ： x 2 +(y-4)2 ＝4 上两动点， 且 AB ＝23, 则 PA PB 的最小值是 ． 答案：19－122考点：圆的标准方程，平面向量的三角形法则、数量积。
解析：取AB 的中点D ，因为AB ＝23，R ＝2，CD ＝43-＝1， 所以，PA PB ＝2()()3PD DA PD DB PD ++=-≥19－122。
C （0,4），M （a ，a －2）当C 、D 、P 、M 在一条直线上时，｜PD ｜最小，此时， ｜PD ｜＝｜CM ｜－｜CD ｜－｜PM ｜＝222(6)22(3)182322a a a +--=-+-≥-所以，PA PB ＝23PD -≥19－122，当a ＝3时取到最小值19－12214. 在锐角三角形 ABC 中，已知 2sin 2 A + sin 2B = 2sin 2C ，则111tan tan tan A B C++的最小值为 ．答案：132考点：正弦定理，三角函数，基本不等式。
解析：由正弦定理，得：22222a b c +=， 如图，作BD ⊥AC 于D ，设AD ＝x ，CD ＝y ，BD ＝h ，因为22222a b c +=，所以，222222()()2()y h x y x h +++=+，化简，得：22230x xy y --=，解得：x ＝3ytan()tan B A C +=-，tan tan C tan B 1tan tan C A A +=--，1tan tan 1tan tan tan A C A C B-=-+，111tan tan tan A B C ++＝11tan tan A C +tan tan 1tan tan A C A C -++＝21h x y xyh hh h x y -+++ ＝22434y h y h yh -+＝131344y h h y +≥二、 解答题： 15. (本小题 14 分)在 △ABC 中，设 a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，已知向量 m = (a ，sin C －sin B )，n = (b + c ，sin A + sin B )，且m n(1) 求角 C 的大小(2) 若 c = 3, 求 △ABC 的周长的取值范围.考点：平面向量的线性关系，正弦定理，余弦定理，三角恒等变换。
答案：（1）由m n ，得：a （sin A + sin B ）＝（b + c ）（sin C －sin B ） 由正弦定理，得：a （a + b ）＝（b + c ）（c －b ） 化为：a 2＋b 2－c 2＝－a b ，由余弦定理，得：cosC ＝－12， 所以，C ＝3π （2）因为C ＝3π，所以，B ＝3π－A ，由B ＞0，得：0＜A ＜3π， 由正弦定理，得：23sin sin sin a b cA B C===， △ABC 的周长为：a + b ＋c ＝23(sin sin )3A B ++＝23[sin sin()]33A A π+-+＝3sin 3cos 3A A ++＝23sin()33A π++，由0＜A ＜3π，得：3sin()13A π<+≤， 所以，周长C ＝23sin()33A π++∈(6,323)+16. (本小题 14 分)在四棱锥 P - ABCD 中，锐角三角形 PAD 所在平面垂直于平面 PAB ，AB ⊥AD ，AB ⊥BC 。
(1) 求证：BC ∥平面 PAD ； (2) 平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ．考点：线面平行，线面垂直，面面垂直的判定。
答案：（1）四边形ABCD 中，因为AB ⊥AD ，AB ⊥BC ， 所以，BC∥AD，BC 在平面PAD 外， 所以，BC∥平面PAD （2）作DE⊥PA 于E ，因为平面PAD⊥平面PAB ，而平面PAD∩平面PAB ＝AB ， 所以，DE⊥平面PAB ，所以，DE⊥AB，又AD⊥AB，DE∩AD＝D 所以，AB⊥平面PAD ， AB 在平面ABCD 内所以，平面PAD⊥平面ABCD17. (本小题 14 分)十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至 2020 年底全面脱贫. 现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作. 经摸底排查，该村现有贫困农户 100 家，他们均从事水果种植， 2017 年底该村平均每户年纯收入为 1 万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数. 从 2018 年初开始，若该村抽出 5x 户（ x ∈Z ，1 ≤x ≤ 9) 从事水果包装、销售.经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高20x ，而从事包装销售农户的年纯收入每户平均为 (3－14x ) 万元（参考数据： 1.13 = 1.331，1.153 ≈ 1.521，1.23 = 1.728).(1) 至 2020 年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫（每户年均纯收入不低于 1 万 6 千元），至少抽出多少户从事包装、销售工作？(2) 至 2018 年底，该村每户年均纯收人能否达到 1.35 万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由。