2019-2020年高三数学上学期解析几何15抛物线的方程及其性质(2)教学案(无答案)

2019-2020年高三数学上学期解析几何15抛物线的方程及其性质（2）教学案
（无答案）
【教学目标】能根据条件熟练地求出抛物线的标准方程，培养学生分析问题、解决问题的能力
【教学重点】能从函数的角度来理解抛物线，并能解决一些综合问题．
【教学难点】抛物线的性质及简单应用．
【教学过程】
一、知识梳理：
1．点P (x 0，y 0)和抛物线y 2
=2px (p >0)的关系：（1）P 在抛物线内(含焦点)⇔20y <2px 0； （2）P 在抛物线上⇔20y =2px 0； （3）P 在抛物线外⇔20y >2px 0．
2．焦半径：抛物线上的点P (x 0，y 0)与焦点F 的距离称作焦半径，记作r =PF ．
（1）y 2=2px (p >0)，r = ； （2）y 2
=-2px (p >0)，r = ；
（3）x 2=2py (p >0)，r = ； （4）x 2=-2py (p >0)，r = ．
3．焦点弦：AB 为抛物线y 2=2px (p >0)的焦点弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦的中点M (x 0，y 0) ． （1）x 1x 2=2
4
p ； （2） y 1y 2=-p 2；
（3）弦长l =x 1+x 2+p ，x 1+x 2=p ，即当x 1=x 2时，通径最短为2p ．
二、基础自测：
1．抛物线2
4y x =的焦点到准线的距离是 ． 2．以双曲线2
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x y -=的一条准线为准线，顶点在原点的抛物线方程是 ． 3．抛物线C 与双曲线x 2－y 2
＝1有相同焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是 ．
4．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么PF ＝ ．
三、典型例题：
例1．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，
求证：（1）y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； （2）1AF ＋1BF
为定值； （3）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．
【变式拓展】设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，反思：点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点O．
例2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，焦点F的坐标为(1,0)．（1）求抛物线C的标准方程；
（2）设M，N是抛物线C的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之积为－4，直线MO、NO与抛物线的交点分别为点A、B，求证：动直线AB恒过一个定点．
例3．已知抛物线C：y＝mx2(m>0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.
（1）求抛物线C的焦点坐标；
（2）若抛物线C上有一点R(x R,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；
（3）是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；
若不存在，说明理由．
四、课堂反馈：
1．抛物线y 2＝4mx (m >0)的焦点到双曲线x 216－y 29
＝1的一条渐近线的距离为3，则此抛物线的 方程为_______________．
2．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线方程为x 2=2py (p >0)，若直线x -y -2=0与该抛物线相切， 则实数p 的值是 .
3．抛物线C ：y 2＝4x 焦点为F ，点P 在抛物线上，且PF ＝3，则点P 到直线x ＝－1的距离为________．
4．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .过点F 作倾斜角为60°的直线与抛物线在第一象限的交点为A ，过点A 作l 的垂线，垂足为A 1，则△AA 1F 的面积是________．
五、课后作业： 学生姓名：___________
1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y －2＝0，则a 的值是 ．
2．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是 ．
3．抛物线28y x =的焦点到准线的距离是 ．
4．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23
＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边 三角形，则p ＝ ．
5．一动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则动圆必过定点_________．
6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ．
7．已知抛物线y 2=2x 上的两点A 、B 到焦点距离之和为5，则以线段AB 为直径的圆与准线位置关系为 ．
8．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2
的值一定等
于 ．
9．如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，CO 为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N .
（1）若点C 的纵坐标为2，求MN ； （2）若AF 2＝AM ·AN ，求圆C 的半径．
10．如右图所示,在直角坐标系xOy 中,射线OA 在第一象限,且与x 轴的正半轴成定角060,动点P 在射
线OA 上运动,动点Q 在y 轴的正半轴上运动,POQ ∆
的面积为（1）求线段PQ 中点M 的轨迹C 的方程;
（2）12 , R R 是曲线C 上的动点, 12 , R R 到y 轴的距离之和为1,设u 为12 , R R 到x 轴的距离之积.
问:是否存在最大常数m ，使u m ≥恒成立?若存在，求出这个m 值；若不存在，请说明理由.。