平方根
平方根的运算法则
平方根的运算法则平方根是数学上常见的概念，它可以帮助我们求解一些与平方相关的问题。
在运算中，平方根也遵循一些特定的法则，掌握这些法则可以更加高效地进行计算。
本文将介绍平方根的运算法则，并举例说明。
一、平方根的定义平方根是指对一个非负数 a，找出在非负数集合中的一个数 b，使得 b 的平方等于 a，表示为b = √a。
其中，a 称为被开方数，b 称为平方根。
二、平方根的运算法则平方根的运算法则主要包括以下几个方面：1. 同底数相乘的平方根等于各底数的平方根相乘即：√(a*b) = √a * √b例如：√(4*9) = √4 * √9 = 2 * 3 = 62. 同底数相除的平方根等于各底数的平方根相除即：√(a/b) = √a / √b例如：√(16/4) = √16 / √4 = 4 / 2 = 23. 求一个数的平方根后再进行平方，等于其绝对值即：(√a)^2 = |a|例如：(√9)^2 = |9| = 94. 平方根的乘方等于被乘方数即：(√a)^n = a^(1/n)例如：(√64)^3 = 64^(1/3) = 4^3 = 645. 同一数的乘方根可以转化为同一数的乘方即：√(a^n) = a^(n/2)例如：√(5^4) = 5^(4/2) = 5^2 = 25三、应用示例下面将通过示例来进一步说明平方根的运算法则。
示例1：求解√(9*16) = ?按照第一个法则，可以分别计算√9 和√16，然后再相乘：√(9*16) = √9 * √16 = 3 * 4 = 12因此，√(9*16) = 12。
示例2：求解(√144)^2 = ?根据第三个法则，先计算√144，再进行平方：(√144)^2 = |144| = 144因此，(√144)^2 = 144。
示例3：求解√(5^6) = ?根据第五个法则，可以转化为同一数的乘方：√(5^6) = 5^(6/2) = 5^3 = 125因此，√(5^6) = 125。
平方根与立方根
平方根与立方根在数学中，平方根和立方根是两个常见的运算符号。
它们分别表示一个数的平方和立方的根。
平方根表示一个数的二次方根，而立方根则表示一个数的三次方根。
平方根和立方根的概念在解决数学问题和实际应用中都有着广泛的应用。
一、平方根平方根是指一个数的二次方根，通常用符号√来表示。
对于一个非负数x，其平方根为正的实数y，满足y^2 = x。
平方根可以通过计算或者近似的方法来求解。
1.计算方法计算平方根的方法有很多种，其中最常见的方法有以下几种。
（1）二分法：该方法通过猜测一个数的平方根，然后逐步逼近最终结果。
首先确定一个上下界，然后根据猜测的平方根和实际值的大小关系进行二分查找，最终得到较为准确的结果。
（2）牛顿法：牛顿法是一种迭代的方法，利用函数的斜率来逐步逼近平方根的值。
首先选择一个初始值，然后通过迭代计算来逼近平方根。
（3）开方公式：对于一些特定的数，可以使用开方公式来直接求解平方根。
例如对于完全平方数，它的平方根就是这个数的整数解。
2.近似值除了精确计算平方根，我们还可以使用近似值来表示平方根。
例如在科学计算中，经常使用的近似值是保留2位小数的平方根。
例如，√2的近似值为1.41，√3的近似值为1.73。
二、立方根立方根是指一个数的三次方根，通常用符号∛来表示。
对于一个实数x，其立方根为实数y，满足y^3 = x。
立方根和平方根类似，可以通过计算或者近似的方法来求解。
1.计算方法计算立方根的方法与计算平方根类似，有多种常见的方法可以使用。
（1）二分法：通过猜测一个数的立方根，然后利用二分查找来逼近最终结果。
（2）牛顿法：利用函数的导数和斜率来迭代逼近立方根的值。
（3）开方公式：对于一些特定的数，可以使用开方公式来直接求解立方根。
2.近似值立方根的近似值也可以使用在实际计算中。
例如在物理学中，常用的近似值是保留3位小数的立方根。
例如，∛2的近似值为1.26，∛3的近似值为1.44。
总结：平方根和立方根是数学中常见的运算符号，它们表示一个数的二次方根和三次方根。
平方根_算术平方根_立方根
平方根、算术平方根、立方根区别1. 平方根、算术平方根的概念与性质如果一个数x的平方等于a（即），那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根），记作：，这里a是x的平方数，故a必是一个非负数即；例如16的平方根是±4，从定义还可得出：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根；0的平方根只有一个0，即为它本身。
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，表示为，例如16的算术平方根是，从定义中容易发现：算术平方根具有双重非负性：①；②。
2. 平方根、算术平方根的区别与联系区别：①定义不同；②个数不同；③表示方法不同；④取值范围不同：平方根可以是正数、负数、零，而算术平方根只能取零及正数，即非负数。
联系：①它们之间具有包含关系；②它们赖以生存的条件相同，即均为非负数；③0的平方根以及算术平方根均为0。
3. 立方根的定义与性质如果一个数x的立方等于a（即），那么这个数x就叫做a的立方根（或三次方根），记作：。
立方根的性质：正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。
二、解题中常见的错误剖析例1. 求的平方根。
错解：的平方根是剖析：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而是一个正数，故它的平方根应有两个即±3。
例2. 求的算术平方根。
错解：的算术平方根是3剖析：本题是没有搞清题目表达的意义，错误的认为是求9的算术平方根，因而导致误解，事实上本题就是表示的9的算术平方根，而整个题目的意义是让求9的算术平方根的算术平方根。
，而3的算术平方根为，故的算术平方根应为。
仿此你能给出的平方根的结果吗？三、典型例题的探索与解析例3. 已知：是算数平方根，是立方根，求的平方根。
分析：由算术平方根及立方根的意义可知联立<1><2>解方程组，得：代入已知条件得：所以故M＋N的平方根是±。
例4. 已知，求的算术平方根与立方根。
分析：由已知得联立<1><2>解方程组，得：所以因而的算术平方根与立方根分别为。
平方根ppt课件
平方根的历史背景
平方根的早期发展
在古代文明中，人们已经意识到某些数的平方的值。例如，古埃及人和古巴比 伦人已经知道π和√2的近似值。随着数学的发展，人们对平方根的认识逐渐深 入。
电容
在计算电容时，需要使用平方根来 计算电容器容纳电荷的能力。
在日常生活中的应用
建筑测量
在建筑测量中，需要使用平方根 来计算建筑物的面积和体积。
土地测量
在土地测量中，需要使用平方根 来计算土地的面积和周长。
商业交易
在商业交易中，需要使用平方根 来计算商品的价格和利润。
05
平方根的注意事项
Chapter
平方根函数的奇偶性
平方根函数的值域
函数$y = sqrt{x}$的值域为所有非负 实数。
函数$y = sqrt{x}$是非奇非偶函数， 因为对于所有的x值，都有$sqrt{-x} neq sqrt{x}$。
平方根的几何性质
平方根与数轴的关系
在数轴上，一个数的平方根表示该数距离原点的距离。例如，4位 于2的右边，因为2是4的平方根。
平方根的除法性质
如果a和b都是正数，那么 $frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$。
平方根的加法性质
如果a和b都是正数，那么 $sqrt{a} + sqrt{b}$不一 定等于$sqrt{a + b}$。
平方根的函数性质
平方根函数的单调性
对于函数$y = sqrt{x}$，当x的值从 负无穷增加到正无穷时，y的值也从负 无穷增加到正无穷，因此该函数是单 调递增的。
平方根和立方根知识点总结及练习
基础知识巩固一、平方根、算数平方根和立方根1、平方根1平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a,那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：如果a x =2,那么x 叫做a 的平方根．2开平方的定义：求一个数的平方根的运算,叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义;3平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9,9的平方根是±3 4一个正数有两个平方根,即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算 5符号：正数a 的正的平方根可用a 表示,a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．6a x =2 <—> a x ±=a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的平方根 a 的平方根是x2、算术平方根1算术平方根的定义： 一般地,如果一个正数x 的平方等于a,即a x =2,那么这个正数x叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ,读作“根号a”,a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是,在等式a x =2 x≥0中,规定a x =;2a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时,a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时,a 是一个无限不循环小数;3当被开方数扩大时,它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小;一般来说,被开放数扩大或缩小a 倍,算术平方根扩大或缩小a 倍,例如=5,=50;4夹值法及估计一个无理数的大小5a x =2x≥0 <—> a x =a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x 6正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零; a a ≥00≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a a <0 a ≥07平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个,而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根,而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数; 3、立方根1立方根的定义：如果一个数x 的立方等于a ,这个数叫做a 的立方根也叫做三次方根,即如果3x a =,那么x 叫做a 的立方根2一个数a 的立方根,记作3a ,读作：“三次根号a ”,其中a 叫被开方数,3叫根指数,不能省略,若省略表示平方; 3 一个正数有一个正的立方根；0有一个立方根,是它本身； 一个负数有一个负的立方根； 任何数都有唯一的立方根;4利用开立方和立方互为逆运算关系,求一个数的立方根,就可以利用这种互逆关系,检验其正确性,求负数的立方根,可以先求出这个负数的绝对值的立方根,再取其相反数,即()330a a a -=->;5a x =3 <—> 3a x =a 是x 的立方 x 的立方是a x 是a 的立方根 a 的立方根是x633a a -=-,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面;典型例题分析知识点一：有关概念的识别 1、下列说法中正确的是 A 、的平方根是±3 B 、1的立方根是±1 C 、=±1 D 、是5的平方根的相反数2、下列语句中,正确的是A ．一个实数的平方根有两个,它们互为相反数B ．负数没有立方根C ．一个实数的立方根不是正数就是负数D ．立方根是这个数本身的数共有三个3、下列说法中：①3±都是27的立方根,②y y =33,③64的立方根是2,④()4832±=±;其中正确的有A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 4、()20.7-的平方根是A ．0.7-B ．0.7±C ．0.7D ．0.49 5、下列各组数中,互为相反数的组是A 、－2与2)2(- B 、－2和38- C 、－21与2 D 、︱－2︱和2知识点二：计算类题型1、25的算术平方根是_______；平方根是_____. -27立方根是_______.___________, ___________,___________.2、=-2)4( ； =-33)6( ； 2)196(= . 38-= .3、① 2+32—52 ② 771-7③ |23- | + |23-|- |12- | ④ 41)2(823--+4、1327-＋2)3(-－31- 233364631125.041027-++---3知识点三：利用平方根和立方根解方程1、12x-12-169=0； 212142=x 3125)2(3=+x知识点四：关于有意义的题a ,有非负性,a 0a a ≥0;要使1a有意义,必须满足a ≠0. 1、若a 的算术平方根有意义,则a 的取值范围是 A 、一切数 B 、正数 C 、非负数 D 、非零数 2、要使62-x 有意义,x 应满足的条件是3、当________x 时,式子21--x x 有意义;知识点五：有关平方根的解答题1、一个正数a 的平方根是3x ―4与2―x,则a 是多少2、若5a ＋1和a －19是数m 的平方根,求m 的值;3、已知x 、y 都是实数,且334y x x =--,求x y 的平方根;知识点六：非负性的应用1、已知实数x,y 满足 2x -+y+12=0,则x-y 等于解答：根据题意得,x-2=0,y+1=0,解得x=2,y=-1, 所以,x-y=2--1=2+1=3．2、已知a 、b 满足0382=-++b a ,解关于x 的方程()122-=++a b x a ;3、若0)13(12=-++-y x x ,求25y x +的值;4、若a 、b 、c 满足01)5(32=-+++-c b a ,求代数式acb -的值;5、已知a 31-和︱8b －3︱互为相反数,求ab －2－27 的值;重点知识巩固考点、平方根、算术平方根、立方根 1、概念、定义1如果一个正数x 的平方等于a,即,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根;2如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a 的平方根或二次方跟;如果,那么x 叫做a 的平方根;3如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a 的立方根或a 的三次方根;如果,那么x叫做a的立方根;2、运算名称1求一个正数a的平方根的运算,叫做开平方;平方与开平方互为逆运算;2求一个数的立方根的运算,叫做开立方;开立方和立方互为逆运算;3、运算符号1正数a的算术平方根,记作“a”;2aa≥0的平方根的符号表达为;3一个数a的立方根,用表示,其中a是被开方数,3是根指数;4、运算公式4、开方规律小结,a的算术平方根a；正数的平方根有两个,它们互为相反1若a≥0,则a的平方根是a数,其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根;实数都有立方根,一个数的立方根有且只有一个,并且它的符号与被开方数的符号相同;正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0;2若a<0,则a没有平方根和算术平方根；若a为任意实数,则a的立方根是;3正数的两个平方根互为相反数,两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数;。
数学中的平方根性质解析
数学中的平方根性质解析一、引言数学作为一门精确的科学，有着丰富的性质和规律。
其中，平方根是一个重要的概念，广泛应用于各个领域。
本文将从数学的角度对平方根的性质进行解析，探讨其在数学中的重要性和应用。
二、平方根的定义平方根是指一个数的平方等于给定数的正数解。
例如，数学中常见的平方根有√2、√3、√5等。
平方根可以用符号√来表示，例如√2表示2的平方根。
三、平方根的基本性质1. 平方根的非负性：任何一个非负实数的平方根都是非负数。
这是因为平方根的定义要求解是正数。
2. 平方根的唯一性：对于一个非负实数，它的平方根是唯一确定的。
例如，2的平方根只有一个值，即√2。
3. 平方根的乘法性：对于两个非负实数a和b，(ab)的平方根等于a的平方根乘以b的平方根。
例如，(2×3)的平方根等于2的平方根乘以3的平方根，即√6=√2×√3。
4. 平方根的除法性：对于两个非负实数a和b，a除以b的平方根等于a的平方根除以b的平方根。
例如，(6÷2)的平方根等于6的平方根除以2的平方根，即√3=√6÷√2。
四、平方根的应用1. 平方根在几何中的应用：平方根广泛应用于几何中的长度和面积计算。
例如，一个正方形的边长为a，则它的面积为a的平方，即a²。
如果已知正方形的面积为S，那么它的边长可以通过计算S的平方根得到。
2. 平方根在物理中的应用：平方根在物理中的应用非常广泛，例如在力学中，根据牛顿第二定律可以得到物体的加速度与力的关系为a=F/m，其中F为物体所受的力，m为物体的质量。
如果已知物体的质量和受力大小，可以通过计算平方根得到物体的加速度。
3. 平方根在金融中的应用：平方根在金融领域中的应用较为复杂，例如在期权定价模型中，布莱克-斯科尔斯模型使用了平方根来计算期权的价格。
这个模型的核心思想是，期权的价格与标的资产价格的波动率有关，而波动率可以通过计算标的资产价格的历史波动率的平方根得到。
平方根的特征
平方根的特征
1什么是平方根？
平方根（Square Root）是一种数学运算，通过平方运算获得根数。
平方根定义为“一个数的平方根，是另一个数的平方，使其等于原来的数”。
也就是说，平方根是指一个数的开方运算，它是这个数的平方分解所获得的整数或实数。
2平方根的特征
（1）平方根是指一个数的开方运算，它是这个数的平方分解所获得的整数或实数。
（2）平方根的结果可以是正数、负数或实数。
（3）平方根的结果的平方等于原数，也就是说，
a×a=a
（4）正数的平方根是非负数，负数的平方根是非正数。
（5）平方根具有不可分解的性质（无法拆分）
3平方根的计算方法
（1）解方程法。
可以使用求解一元二次不等式的方法来求解平方根。
（2）原根法。
用给定的数字乘以它自身，直到最接近给定数字的结果即为最接近给定数字的平方根。
（3）对数法。
用求对数的方法来求解平方根
（4）折半法。
又称二分法，即取两个给定数字之间的中间数比较，直至最大或最小的数比给定数字更接近，即可确定最接近的平方根。
以上就是关于平方根的介绍，总的来说，平方根的特征是原数的开方，结果的平方等于原数，具有不可分解性质，有解方程法，原根法，对数法，折半法等计算方法。
平方根的运算
平方根的运算平方根是数学中的一种运算，用于求解一个数（被称为被开方数）的平方根。
平方根可以用数学符号√来表示，即√被开方数。
求解平方根的操作被称为开方运算，它是数学领域中非常重要的一个概念。
在本文中，我们将深入探讨平方根的运算方法和相关概念。
一、开方运算基本概念开方运算是指对一个数进行平方根的求解操作。
在数学中，开方运算可以分为两种情况：正数的开方和负数的开方。
1. 正数的开方对于一个正数x，求解其平方根可以使用根号运算√x，结果是一个非负数。
例如，√9 = 3，表示9的平方根是3。
当被开方数是完全平方数时，其平方根是一个整数；当被开方数不是完全平方数时，其平方根是一个无理数，不能精确表示。
例如，√2是一个无理数，不能被有理数表示为分数或小数的形式。
2. 负数的开方对于一个负数x，求解其平方根需要引入虚数单位i。
虚数单位i定义为√(-1)，它满足i^2 = -1。
因此，对于一个负数x，其平方根可以表示为±i乘以一个正数。
例如，√(-9) = ±3i，表示-9的平方根是±3i。
二、平方根的运算方法在进行平方根的运算时，常见的方法有以下几种：试除法、二分法和牛顿迭代法。
1. 试除法试除法是一种简单且直观的求平方根的方法。
该方法的原理是从一个猜测值开始，依次试除并逼近最终的平方根。
具体步骤如下：（1）选择一个初始猜测值，例如1。
（2）将被开方数除以猜测值，并计算商。
（3）将猜测值与商的平均值作为新的猜测值。
（4）重复步骤2和步骤3，直到猜测值的平方与被开方数的差小于所设置的误差范围。
试除法是一种较为原始的方法，计算过程中可能需要多次迭代才能得到较为准确的结果。
2. 二分法二分法是一种逐步逼近的方法，它通过不断缩小平方根的取值范围来逼近最终的结果。
具体步骤如下：（1）确定被开方数的上下界，例如0和被开方数本身。
（2）计算上下界的中间值。
（3）判断中间值的平方与被开方数的大小关系，如果刚好等于，则中间值即为所求的平方根；如果大于被开方数，则新的上界变为中间值；如果小于被开方数，则新的下界变为中间值。
平方数与平方根
平方数与平方根
一、平方数
平方数是指某个数的平方。
平方是将一个数乘以自己得到的结果。
例如，2的平方是4，3的平方是9，4的平方是16，依此类推。
平方数有很多重要的特性：
1. 平方数都是非负数，因为任何数的平方都不会小于等于0。
2. 平方数的单位位只能是0、1、4、5、6、9这几个数字。
这
是因为十位数是奇数和偶数交替出现，而个位数的平方只有0、1、4、5、6、9这几个结果。
二、平方根
平方根是指一个数的平方等于给定数的情况下的这个数。
例如，4的平方根是2，9的平方根是3，16的平方根是4，依此类推。
平方根也有一些值得注意的特性：
1. 平方根可以是非负数或者负数。
对于正数的平方根来说，只
有一个非负的平方根，而对于负数的平方根来说，有两个平方根，
一个是正的，一个是负的。
2. 平方根可以是无理数，即不能用两个整数的比例来表示的数。
例如，2的平方根是无理数，即不能用两个整数的比例来表示。
3. 平方根的近似值可以通过数值计算或者使用开方运算符来得到。
例如，√2约等于1.414，√3约等于1.732，依此类推。
总结：
平方数和平方根在数学中有广泛的应用。
平方数的特性帮助我
们在解决各种问题时能够更好地理解和计算数值。
平方根的概念可
以帮助我们解决方程和计算几何图形的边长。
平方根
；
；
0 的算术平方根是 0
10－4的算术平方根是
10 2 ；
（2）100的算术平方根是 10 2 的算术平方根是
10
1 10
49 ； 的算术平方根是 ； 64 0.9 ；0.81的算术平方根是 ；
7 8
1 （3） 2 的算术平方根是 2
81 13 49表示49的算术平方根，49＝7 温馨提示：求值时，要按照算术平方根的意义，写
49
2
0.0009
出应该满足的关系式，然后按照算术平方根的记法 2 2 2 写出对应的值．例如 13 表示13（或169）的算术平方根, 13 13 16 16 16 4 25 表示25的算术平方根。 表示 的算术平方根， ＝
非负数
a ≥0
（a≥0）
算术平方根具有双重非负性
• 平方根与算术平方根的联系与区别：
联系 （1）具有包含关系:平方根包含算术平方根， 算术平方根是平方根的一种。 （2） 存在条件相同：平方根和算术平方根的 被开方数都具有非负性
（3） 0的平方根和算术平方根都是0。
•平方根与算术平方根的联系与区别： 区别 （1） 定义不同： “如果一个数X的平方等于a， 那么这个数X叫做a的平方根”，“我们把一个正 数a的正的平方根， 叫做这个数a的算术平方 根”。 （2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一 个正数的算术平方根只有一个。 （3）表示方法不同：正数a的算术平方根表示 为√a，而正数a的平方根表示为±√ a. （4）取值不同：正数的平方根一正一负，互为 相反数；正数的算术平方根一定是正数。
2
（2）
∵ 10 10 6 ∴10 的平方根是 10 3 即 10 6 10 3
平方根的概念与性质
平方根的概念与性质平方根是数学中一个重要的概念，它广泛应用于各个领域。
在数学中，平方根是求一个数的平方的逆运算，可以将平方根定义为满足平方等于该数的非负数。
在讨论平方根的性质前，先来了解一下平方根的符号表示和计算方法。
在数学中，平方根通常用符号√来表示。
例如，√4表示4的平方根，它的值为2，因为2的平方等于4。
而√9则表示9的平方根，它的值为3。
在实际计算中，我们可以利用平方根的定义和公式进行求解。
在数学中，平方根具有以下几个重要的性质。
1. 非负性：平方根是非负数。
根据平方根的定义，如果一个数的平方根存在，则其平方根一定是非负的。
因为任意实数的平方都大于等于0，所以平方根的值不能是负数。
2. 唯一性：每个正数都有唯一的正平方根。
对于任意一个正数，它的平方根是唯一确定的。
例如，4的平方根是2，不存在其他正数的平方等于4。
3. 无理性：大多数数的平方根是无理数。
一个数的平方根如果不是整数，且不能表示为两个整数的比值，那么它就是一个无理数。
例如，2的平方根√2是一个无理数，它无限不循环地连续小数。
4. 代数性：平方根具有代数性质。
对于一个非负实数a和b，有以下代数性质成立：- 任意非负实数a，它的平方根可以表示为±√a。
- 平方根运算具有乘法运算的结合律，即√(ab) = √a * √b。
- 平方根运算具有除法运算的性质，即√(a/b) = √a / √b，其中b不等于0。
除了这些基本性质外，平方根还有一些其他的特性。
在几何学中，平方根的概念与求解直角三角形的边长密切相关。
根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于其他两条边平方的和。
因此，通过求解平方根可以得到直角三角形的边长。
在物理学中，平方根的概念与速度和加速度的关系密切相关。
加速度是速度对时间的变化率，而速度是位移对时间的变化率。
通过平方根运算，可以求解速度和加速度之间的关系。
在工程学和科学研究中，平方根还被广泛应用于信号处理和图像处理等领域。
平方根的概念和运算
平方根的概念和运算平方根是数学中的一个重要概念，它常常在各个学科中被应用，特别是在代数和几何中。
平方根可以帮助我们解决方程、计算几何问题以及进行数据分析等。
在本文中，我们将深入探讨平方根的概念和运算，并了解如何在实际应用中灵活运用。
一、平方根的定义和符号表示在数学中，平方根指的是一个数字的平方等于给定数字的操作。
设a为一个非负实数，若存在一个非负实数b，使得b的平方等于a，则称b为a的平方根，记作√a。
其中，符号"√"叫做平方根号。
二、平方根的运算规则1. 平方根的运算法则根据平方根的定义，我们可以得出以下运算法则：- 非负实数a的平方根只有一个非负实数解；- 非负实数的平方根必定是非负实数，即√a ≥ 0；- 当a > b时，√a > √b；- 平方根与平方运算互为反运算，即√(a^2) = a。
2. 求平方根的方法常用的方法有以下两种：- 列表法：逐个尝试数字，直到找到平方小于或等于给定数的最大整数，即为其近似平方根；- 迭代法：通过不断逼近的方式，利用数学公式逼近给定数的平方根，达到所需精度。
三、平方根在实际应用中的运用平方根在各个领域中都有广泛的应用，下面我们将重点介绍三个方面。
1. 代数应用在代数中，平方根被广泛应用于解方程和求解未知数。
例如，对于简单的二次方程ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，求解x的值就需要用到平方根。
根据求根公式x = (-b ± √(b^2-4ac)) / (2a)，我们可以获得方程的实数根。
2. 几何应用在几何学中，平方根在计算长度、面积和体积等方面起着重要的作用。
例如，在直角三角形中，勾股定理就利用了平方根的概念。
根据定理，直角三角形的斜边的平方等于两条直角边的平方和，即c^2 = a^2 + b^2。
通过求平方根，我们可以得到直角三角形的斜边长。
3. 统计应用在统计学中，平方根可用于计算方差和标准差。
平方数与平方根
平方数与平方根平方数是指某个整数乘以自身所得的结果，例如1、4、9等都是平方数。
而平方根则是指一个数的平方等于给定的数，例如数值4的平方根是2。
平方数是数学中一个经典的概念，它不仅在数学上有着深刻的意义，也在日常生活中有着广泛的应用。
下面将从数学原理、几何图形和实际应用三个方面来探讨平方数与平方根。
一、数学原理平方数与平方根的关系可以用数学公式来表示，即平方根的平方等于给定数，也可以反过来说平方数是平方根的平方。
例如，数值4的平方根是2，而2的平方是4。
图解来看，数学原理如下所示：1² = 12² = 43² = 94² = 16...从数学原理上来看，平方数与平方根构成了一个完美的对应关系。
每一个正整数都有且只有一个平方数与之对应，同时也有且只有一个平方根与之对应。
二、几何意义平方数与平方根的关系不仅在数学上有意义，在几何学中也有重要的应用。
通过将平方数表示为正方形的面积，我们可以更加形象地理解平方数与平方根之间的关系。
举个例子来说，一个边长为1的正方形的面积是1，所以我们可以说1是一个平方数。
同样地，一个边长为2的正方形的面积是4，所以我们可以说4也是一个平方数。
而平方根则是指正方形边长的长度。
对于面积为4的正方形来说，它的边长就是2。
所以我们可以说2是4的平方根。
通过这样的几何意义，我们可以更直观地感受到平方数与平方根之间的关系，也更容易记忆和理解。
三、实际应用平方数与平方根在现实生活中有着广泛的应用。
以下列举几个例子：1. 菱形面积菱形是一个四边形，其中的两条对边互相垂直且长度相等。
我们知道，菱形可以分成两个等腰三角形，而每个等腰三角形的面积可以通过底和高的乘积除以2来计算。
在菱形的底和高相等的情况下，等腰三角形的底和高就是菱形边长的一半。
所以，菱形的面积可以通过边长的平方来计算。
2. 根据面积求边长在解决某些几何问题时，我们可能已知一个区域的面积，需要求出边长。
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例01．下列命题中，正确的命题是（ ）A ．绝对值等于它本身的数只有0B ．倒数等于它本身的数只有1C ．算术平方根等于它本身的数只有1D ．平方根等于它本身的数有： 0分析：绝对值等于它本身的数除0外，还有所有的正数，故不能选A ；倒数等于它本身的数是1和-1，故不能选B ；而算术平方根等于它本身的数有1和0，故不能选C ；平方根等于它本身的数有0，故选D ．解答：D ．典型例题二例02 下列5个命题中，正确的命题是（ ）①只有正数才有平方根；②2-是4的平方根；③5的平方根是5； ④3±都是3的平方根；⑤2)2(-的平方根是2-．A ．①②③B ．③④⑤C ．③④D ．②④分析：显然，①是错的，因为“0”的平方根还是“0”．②是对的．③是错的．因为5的平方根是5±．④是对的．⑤也是错的．因为4)2(2=-，4的平方根是2±．因此所给的命题中只有②、④是对的．解答：本题应选D ． 典型例题三例03．52±是254的平方根的数学表达式是（ ） A ．25452= B ．25452±=± C ．52254±= D ．52254±=± 分析 既然是“254的平方根”，根据平方根的表示方法，就应该用254±来表示． 解答 D说明 考查平方根的表示法．例04．2)4(-的平方根是（ ）A ．16B ．-4C ．4±D ．没有平方根分析 因16)4(2=-，16的平方根是4±．解答 C说明 正数的平方根有两个，零的平方根是0．典型例题五例05 x 分别取何值时，下列各式有意义？（1）x x -+ （2）2x （3）1-x（4）32--x x 解：（1）因为非负数才有平方根，所以⎩⎨⎧≥-≥00x x 解得0=x 即0=x 时，x x -+有意义．（2）根据算术平方根的定义，被开方数必为非负数．所以当02≥x 时，无论x 取何值，2x 有意义．（3）01≥-x 解得1≥x ，所以当1≥x 时，1-x 有意义．（4）⎩⎨⎧≠-≥-0302x x 解得2≥x 且3≠x ，所以当2≥x 且3≠x 时，32--x x 才有意义． 说明①命题目的：进一步加深对负数平方根概念的理解．②解题关键：掌握好平方根定义并且会解不等式（组）．③错解剖析：如第（1）题⎩⎨⎧≥-≥00x x 不会解．第（4）题2≥x 且3≠x 写成2≥x 或3≠x ． 典型例题六例06．某数的绝对值的算术平方根，等于它本身，这个数必为（ ）A ．1或-1B ．1或0C ．-1或0 D1，-1，0分析 一个数的算术平方根等于本身的数只有0，1．所以某数为a ，则0=a ．∴ 0=a 或者1=a ，∴ 1±=a 或0=a ．解答 D典型例题七例07．以下语句及写成式子正确的是（ ）A ．7是49的算术平方根，即749±=B ．7是2)7(-的算术平方根，即7)7(2=-C ．7±是49的平方根，即749=±D ．7±是49的平方根，即749±=分析 7是49的算术平方根，应记为749=；7是2)7(-的算术平方根，记为7)7(2=-；7±是49的平方根，记为749±=±；所以只有B 是正确的．解答 B说明 a ±表示a 的平方根；a 表示a 的算术平方根．典型例题八例08．下列命题中正确的个数是（ ）（1）3.09.0=； （2）34971±=； （3）2)5(-的算术平方根是5-；（4）67±是36131的平方根． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 分析 （1）9.0表示0.9的算术平方根，根据平方根的定义，应该有09.03.02=，所以（1）错；（2）中971表示971的算术平方根，不能是负值，所以（2）错；（3）中2)5(-的算术平方根应为正数，所以（3）错；（4）中364936131=的平方根是67±，正确． 解答 A说明 考查平方根的定义和求法．典型例题九例09．下列结论中，正确的是（ ）A ．6)6(2-=--B ．9)3(2=-C ．16)16(2±=-D ．2516)2516(2=-- 分析 因6)6(2-=--；3)3(2=-；16)16(2=-；2516)2516(2-=--． 解答 A典型例题十例10．若一正数的平方根是12-a 与2+-a ，则______=a ．分析 因为一个正数的平方根有两个，且互为相反数．所以0)2()12(=+-+-a a ，故1,01-==+a a ．解答 1-典型例题十一例11．如果a 的平方根是2±，那么.______=a分析 因4)2(2=±，故4的平方根是2±．4=a ，2=a ．解答 2说明 a ±与a 的联系与区别．典型例题十二例12．使式子x x ++-23有意义x 的范围是________．分析 正数和零才能开平方，负数没有平方根．所以被开方数是非负数．故⎩⎨⎧≥+≥-,02,03x x ⎩⎨⎧-≥≤.2,3x x 32≤≤-x解答 32≤≤-x说明 a ±，0>a ，这是一个很重要的条件．典型例题十三例13．x 为何值时，式子12+x 有意义？分析 任何正数、负数及0的平方都是非负数，所以只有12+x 是非负数时，式子12+x 才有意义．解答 012≥+x ，得21-≥x ， ∴当21-≥时，式子12+x 才有意义． 典型例题十四例14 求下列各数的平方根．（1）9 （2）49223（3）0.81 解：（1）∵ 9)3(2=±∴9的平方根是3±，即39±=±．（2）∵4916949223=，49169)713(2=±， ∴49169的平方根是713±，即.71349223±=± （3）∵81.0)9.0(2=±∴0.81的平方根是9.0±，即9.081.0±=±．说明：①命题目的：给出一个正数，会求出平方根．②解题关键：一个正数有两个平方根并互为相反数．③错解剖析：容易犯漏掉负的平方根的错误．典型例题十五例15．求下列各数的平方根和算术平方根．（1）0.0064 （2）4922 （3）2)1312(1- （4）2)7(- 解答 （1）因为0064.0)08.0(2=±，所以0.0064的平方根是08.0±算术平方根是0.08．（2）因为491004922=，而49100)710(2=±，所以4922的平方根是710±，它的算术平方根是710． （3）因为1692513144169)1312(122=-=-，而16925)135(2=±，所以2)1312(1-的平方根是135±，它的算术平方根是135． （4）因为49)7(2=-，而49)7(2=±，所以2)7(-的平方根是7±，它的算术平方根是7．说明 本题考查求平方根和求算术平方根的方法．因为一个正数的平方根有两个，不要遗漏负的平方根．当被开方数是带分数时，应把带分数化为假分数，然后再求平方根，当被开方数是一个数字算式时，要先算出这算式的值，再求它的平方根，不这样做，容易造成错误．例如，说2)7(-平方根是7-，就错了． 典型例题十六例16．求下列各式中的x ：（1）02892=-x （2）81)1(2=+x ．分析 根据平方根的定义，或22a x =，则)0(≥±=a ax ，其中（2）中)1(+x 看成一个整体，先求出)1(+x 的值，再求x 的值．解答：（1）∵ 02892=-x ，即2892=x ．∴ 17289±=±=x ．（2）∵ 81)1(2=+x ，∴ 9811±=±=+x ，当91=+x 时，8=x ；当91-=+x 时，10-=x ．典型例题十七例17．已知x ，y 都为有理数，且322+-+-=x x y ，x y 的平方根=_______． 解答 因x x --2,2有意义，故⎩⎨⎧≥-≥-,02,02x x ⎩⎨⎧≥≤22x x 得.2=x 将2=x 代入式中，得23,3==x y y ．故.332±=±说明 提示题目隐含条件，利用平方根性质与概念解题．典型例题十八例18．已知0144252=-x ，且x 是正数，求代数式1352+x 的值．分析 只要求出x 的值，代入代数式1352+x 就可以了，关键是解已知方程．解答1：由0144252=-x 得251442=x ，∴512±=x ，又∵0>x ，∴512=x ． 当512=x 时，.1025213512521352==+⨯=+x 解答2 由0144252=-x ，得144252=x ，即144)5(2=x ，∴125=x ．把125=x 代入1352+x ，得.10252131221352==+=+x典型例题十九例19．如果031=+++-++z y x y x ，求z y x ,,的值．分析 已知条件是含三个未知数的等式，一般很难求出未知数的值，但注意到算术平方根非负这一条件可解．解答 ∵ 0,03,01≥++≥-≥+z y x y x∴ 031≥+++-++z y x y x ∵031=+++-++z y x y x ∴应有⎪⎩⎪⎨⎧=++=-=+,00301z y x y x解得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=.231z y x说明 求解本题的关键抓住了算术平方根非负这一隐含条件，如果若干个非负数的和为零，则每个非负数都必须为零．典型例题二十例20.选择题：下列命题（1）;2.04.0= （2）;43169±= （3）22-的平方根是2-； （4）2)3(-的算术平方根是3-；（5）57±是25241的平方根； （6）0的平方根是0，0没有算术平方根； （7）21的算术平方根是41. 中真命的个数是（ ）.（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4分析：判断上述命题的真假，要依靠各自本身的定义.（1）4.004.0)2.0(2≠= 2.0∴不是4.0的算术平方根.故（1）是假命题.（2）题中169是算术平方根，其结果是唯一的，不可能是两个值，所以（2）也是假命题.（3）题中422-=-，由平方根性质：负数没有平方根. 所以（3）也是假命题.（4）中2)3(-的算术平方根应是正数，而3-是个负数，不符合算术平方根的定义. 故（4）也是假命题.（5）,252412549)57(2==± 25241∴的平方根是57±. 此为真命题. （6）0的平方根0就是0的算术平方根，故（6）题也不正确.（7）求21的算术平方根，应是对21进行开方运算，而非平方运算. 故此命题也不是真命题.解答：应选（A ）说明：平方根、算术平方根是非常重要的概念.其共同点：平方根和算术平方根都是对非负数的开方运算，0的平方根和算术平方极都只有一个0；其不同点是：一个正数的平方根有两个，两算术平方根只有一个；它们的联系是：算术平方根是平方根中的正的平方根.典型例题二十一例21．如果一个数的平方根是3+a 与152-a ，那么这个数是多少？分析：首先我们观察题目中给出的是一个正数的两个平方根，根据平方根的性质可知它们互为相反数，其和为0.解答：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以0)152()3(=-++a a ，解得4=a ,当4=a 时，73=+a ，即两个平方根分别为7和7-，故原数为49说明：关键抓住一个正数的两个平方根的性质，转化为求方程的解.典型例题二十二例22．求下列各式的值（1）;36 （2）;81.0- （3）;6425± （4）.14449- 分析：36是求36-的算术平方根；81-是求81的算术平方根的相反数；6425±是求6425的平方根；而14449-是求1444914449=-的算术平方根. 解答：（1）,3662=;636=∴（2）.81.0)9.0(2= ;9.081.0-=-∴（3）,6425)85(2= ;856425±±∴ （4）,14449)127(2= .1271444914449==-∴ 说明：a 、a -、a ±的区别是a 表示正数a 的算术平方根；a -表示正数a 的算术平方根的相反数；而a ±则表示正数a 的平方根.典型例题二十三例23．求下列各式中x 的值：（1）225)32(41=+x ； （2）21)1(22=-x 分析：这里要求灵活运用开平方的知识来解方程，如果把方程左边展开，则走入误区，必须运用开平方的知识求解.解答：（1）225)32(41=+x，22100)32(=+∴x ， 10321032-=+=+∴x x 或，则21327-==x x 或 （2）21)1(22=-x ，41)1(2=-∴x 211211-=-=-∴x x 或，则2321==x x 或 说明：本题不要将原方程利用乘法公式变形展开，把括号里的看作整体处理，因此问题就转化为求平方根问题. 但要注意一个正数的平方根有两个.填空题1．填空题（1）如果一个数的平方等于a ，这个数叫做a 的______．（2）一个正数有_______个平方根，它们是______关系．（3）0的平方根是________．（4）9的平方根是___________．（5）5.0-是________的平方根．（6）平方根是23±的数是_____________． （7）16的正的平方根是_______________．（8）41的负的平方根是__________________． （9）5是_______的算术平方根．（10）7的平方根是______________．2．填空题（1）149±是_________的平方根． （2）0169.0的平方根是_________． （3）_______的平方等于.25681 （4）972的平方根为_________． （5）81的算术平方根是_______．（6）2)3.1(-的平方根是________．（7）31-是a 的平方根，则=a _______． （8）_______是17的算术平方根．（9）2)8(-的算术平方根是_____．（10）若42=x ，则=x _______．3．填空题（1）412-的平方根是_______． （2）a 有意义，则a _________．（3）若7=x ，则=x __________．（4）=-222029______________．（5）若==x x ,62__________．（6）当4=a 时，=--aa 5)5(2________． （7）若22)71(=x ，则=x _____________．（8）当5=x 时2)9(-x 的平方根为_______． （9）求值：=-±2)16(___________．（10）若1)1(2=+x ，则=x ________________．参考答案：1.（1）平方根 （2）两，互为相反数 （3）0 （4）3± （5）25.0 （6）49 （7）4 （8）21- （9）5 （10）7± 2. （1）19681 （2）13.0± （3）169± （4）35± （5）3 （6） 3.1± （7）91（8）17 （9）8 （10）2±3. （1）23± （2）0≥ （3）49 （4）21 （5）6± （6）1 （7）71± （8）2± （9）16± （10）0或2-选择题1．选择题（1）下列各数中，没有平方根是A ．0B ．2)3(-C ．23-D ．)3(--（2）“254的平方根是52±”用数学式子表示为A ．52254±= B ．52254±=±C ．52254= D ．52254-=-（3）下列说法错误的是A ．3-是9的平方根B ．5的平方等于5C ．1-的平方根是1±D ．9的算术平方根是3（4）下列说法正确的是A ．任何数的平方根都有两个B ．一个正数的平方根是本身C ．只有正数才有平方根D ．负数没有平方根（5）下列计算正确的是A ．451691= B ．212214=C ．05.025.0=D ．749=--2．选择题（1）一个数存在算术平方根，则下列说法正确的是A ．它是一个正数B ．它是一个非负数C ．它是0D ．它是负数（2）16的平方根是A ．4B ．4±C ．4-D ．2±（3）下列没有平方根的数A ．81- B ．0 C ．10 D ．π （4）下列等式成立的是A ．b a b a +=+2)(B ．b a b a -=-2)(C ．a a =2D ．24a a =（5）下列说法中，错误的是A ．3是3的平方根B ．3是3的算术平方根C ．3的平方根就是3的算术平方根D ．－3的平方是3（6）2)5(-的算术平方根是A ．5-B ．5C ．5-D ．5（7）当9-=a 时，a 的值是A ．3B ．＋3C ．3±D ．无意义（8）下列语句正确的是A ．一个数的平方根一定是两个B ．一个非负数的非负平方根一定是它的算术平方根C ．一个正数的平方根一定是它的算术平方根D ．一个非零数的平方根是它的算术平方根（9）下列命题，①1的平方根是1；②1是1的平方根；③2)1(-的平方根是－1；④一个数的平方根等于它的算术平方根，这个数只有0一个正确的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4（10）一个自然数的算术平方根是a ，则大于此自然数并与之相邻的自然数的算术平方根是A ．12+aB ．1+aC ．12+aD ．1+a参考答案：1.（1）C （2）B （3）C （4）D （5）A2.（1）B （2）D （3）A （4）D （5）C （6）B （7）D （8）B （9）B （10）A选择题1．选择题（1）下列说法正确的是（）个①161的平方根是4±；②9-的算方平方根是3+；③36的平方根是6±；④11是11的算术平方根；⑤36的平方根是6- A ．1 B ．2 C ．3 D ．0（2）若a =1500，b =15，则b a ÷的值等于（ ）A ．1B ．2C ．10D ．101 （3）若9)2(2=-x ，则x 为（ ）A ．1或5-B ．1-或5C ．1或5D ．1-或5-（4）设2)5(-=x ，2)5(-=y ，则xy 的值为（ ）A ．5B ．5-C ．25D ．25-（5）设x 是16的平方根，2)4(=y ，则x 与y 的关系是（ ）A ．y x ±=B ．y x =C ．y x -=D ．y x ≠（6）若1)1(2=-+b a ，则b a +值为（ ）A ．0B ．2C ．0或2-D ．0或22．选择题（1）若x x -=-1)1(2，则x 的取值范围为 A ．1≤x B ．1≥xC ．10≤≤xD ．一切有理数（2）若22=+x ，则)52(+x 的平方根为A ．2B ．2±C ．3D ．3±（3）若某数平方根是3+a 和152-a ，则这个数为A ．4B ．3C ．18D ．49（4）下列说法中正确的是A ．因为3-的平方等于9，所以9的平方根是3-B ．因为零既不是正数也不是负数，所以零没有平方根C ．因为2)7(-的底数是7-，所以2)7(-没有平方根D ．因为81-是负数，所以81-没有平方根参考答案：1.（1）A （2）C （3）B （4）C （5）A （6）D2.（1）A （2）D （3）D （4）D解答题1．求下列各数的平方根和算术平方根（1）64； （2）0049.0； （3）4112；（4）1691-； （5）210；（6）2)5(-；（7）10081；（8）25.62．1．求下列各式的值（1）16.0； （2）169-；（3）412； （4）0144.0±； （5）40000±； （6）225991-3.求下列各数的平方根和算术平方根：（1）0196.0；（2）2)6425(-；（3）81；（4）7109.4⨯；（5）625-；（6）2)4(-4．求下列各式的值：（1）931； （2）3681+； （3）36.009.0-； （4）164164.0⨯； （5）)27()3(-⨯--； （6）1671-； （7）22)4()3(-+-； （8）2)2(4136--⋅参考答案：1.（1）8±，8 （2）07.0±，07.0 （3）27±，27 （4）无 （5）10±，10 （6）5±，5 （7）109±,109 （8）5.2±，5.2 2.（1）4.0 （2）13- （3）23 （4）12.0± （5）200± （6）561518-=- 3.（1）14.0±,14.0 （2）6425±,6425 （3）3±,3 （4）3107⨯±,3107⨯ （5）无 （6）2±，2 4.（1）1 （2）15 （3）3.0- （4）1 （5）9- （6）43 （7）5 （8）1解答题1．a 取何值，下列各式有意义（1）25+a （2）a 5-（3）27a - （4）122++a a2．求下列各式中的x 值（1）12=x （2）0492=-x ；（3）8122=x ； （4）0361162=-x ； （5）0142=-x ； （6）222259=+x3．求x 的值（1）4)1(2=-x （2）9)5(2=+x（3）16)12(2=-x （4）0)35(2=+x4．求值已知32)2)(2(=-+++y x y x ，求y x +的值．参考答案：1.（1）52-≥a （2）0≤a （3）0=a （4）全体实数 2.（1）1± （2）7± （3）41± （4）419± （5）21± （6）344± 3.（1）3或1- （2）2-或8- （3）25或23- （4）53- 4.6± 解答题1．求值 若22b a c +=，其中8,6==b a ，求c ．2．求值若222b a c +=，其中5,12==b a ，求c ．3．解答 代数式13--x x 有意义，求x 的取值范围． 4．求值 若01=+++b a a ，求101100b a+的值．5．解答 已知0)3(222=-+++-b a b a ，求a 、b 的值．参考答案：1.102.13±3.31≤<x4.25.1,4-=-=b a 10.1平方根（一）选择题：1．下列说法中正确的是（ ）．（A ）4是8的算术平方根 （B ）16的平方根是4（C ）6是6的平方根 （D ）a -没有平方根2．下列各式中错误的是（ ）．（A ）6.036.0±=± （B ）6.036.0=（C ）2.144.1-=- （D ）2.144.1±=3．若()227.0-=x ，则=x （ ）． （A ）－0.7 （B ）±0.7 （C ）0.7 （D ）0.494．36的平方根是（ ）．（A ）6 （B ）±6 （C ）6 （D ）6±5．若759.216.7=，759.2=a ，则=a （ ）．（A ）716 （B ）76.1 （C ）7610 （D ）0.7616．若1+x 有意义，则（ ）．（A ）1≥x （B ）1≤x （C ）1-≥x （D ）1-≤x（二）填空题：7．若b a =2，则b 是a 的__________，a 是b 的___________．8．9的算术平方根是__________，81的平方根是___________．9．若x x -+有意义，则__________1=+x ．10．()211-的负的平方根是___________． 11．如果a 的平方根是a ，则_______=a ；如果a 的算术平方根是a ，_______=a ．12．若1.1001.102=，则_________0201.1=±．（三）解答题：13．求下列各数的平方根：（1）425； （2）()24- （3）()()82-⋅-．14．计算：（1）256； （2）44.1-；（3）2516±； （4）01.0； （5）232⎪⎭⎫ ⎝⎛±； （6）410-±． 15．解方程：（1）942=x ； （2）()112=+x （3）()049121352=--x ． 【答案提示】（一）1．C 2．D 3．B 4．D 5．A 6．C（二）7．平方，平方根 8．3，±3 9．1 10．－1111．0，0或1 12．±1.01提示：9．由x x -+有意义，可得0≥x 且0≥-x ，所以0=x ，因此11=+x（三）13．（1）25±（2）4± （3）4± 14．（1）16 （2）－1.2 （3）54± （4）0.1 （5）32 （6）210-± 15．（1）23±=x （2）0=x 或－2 （3）78=x 或2146。